Luận văn tiếp cận một số bài toán hình học sơ cấp bằng hình học xạ Ảnh

Đây là chương chính của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và mô hình của mặt phẳng xạ ảnh añn, Euclide vào việc chứng minh một số định lý và giải bài toán hình học sơ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN SƠN

TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

BẰNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà nội - 2017

1.4.3 Bổ sung phần tử ảo vào mặt phẩng xa ảnh thực

uyên tác đôi ngân

1.4.1 Phép cộng tuyên giữa hai trường điểm |

1.2.2 Anh xa xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chứm đường,

1.2.3 Nghiên cứu ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất

bang toa dé Descartes | 7

1.2.4 Phép biến đêi xạ ảnh trên mot dang cấp một bac nhat 9 13_ Gíc đường cong bậc hai và lớp hac hai 10

1.3.1 Một số đành lờ cơ bản liên quan đến đường cong bậc hai,

2.6 _ Mộtsố tính chất Euclide đặc trưng của phép biến đổi xạ ảnh eliptic

trên đường thẳng và đường tròn

Mở đầu

Hình học xạ ảnh là môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính Nhiễu định lý hình học nổi tiếng cũng như nhiễu bài toán hình học hay trở nên đơn giản

đưới góc nhìn của hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữu

hiệu trong việc nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh năng khiếu về hình học ở

trường phổ thông

Mục đích của luận văn này là trình bày một số khái niệm trong mặt phẳng xạ ảnh

anh cua mat phang afin, Euclide và đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh để định

hướng cho lời giải sơ cấp của các bài toán hình học

Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 Cơ sở lí thuyết hình học xạ ảnh phẳng

Trong chương này, tác giả trình bày tóm lược các kiến thức cơ sở về mặt phẳng xạ

ảnh và các khái niệm xạ ảnh nghịch đảo, xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất và

bậc hai, ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai Ngoài ra để khai thác được nhiều ứng dụng của hình học xạ ảnh, tác giả sử dụng mô hình xạ ảnh añn, Euclide có

bổ sung các phần tử vô tận

Chương 2 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp

Đây là chương chính của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và

mô hình của mặt phẳng xạ ảnh añn, Euclide vào việc chứng minh một số định lý và

giải bài toán hình học sơ cấp thông qua các ví dụ được chọn và phân loại thành những

đạng toán khác nhau, mục này cũng để xuất và chứng minh một tính chất đặc trưng

của phép biến đổi xạ ảnh eliptic trên đường thẳng và trên đường tròn Phần cuối của chương trình bày mở rộng định li Steiner, Fre'gier

Luận văn được hoàn thành đưới sự hướng dẫn, chỉ bảo rất tận tình của PGS.TS

Vũ Đỗ Long Tác giả cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy về sự giúp đỡ quý báu này Nhân đây tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Vũ Lương, Đỗ Thanh Sơn đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trong quá

trình thực hiện luận văn này

Mặc dù bản thân đã có cố gắng nhiều trong quá trình thực hiện nhưng luận văn

không thể trách khỏi những thiếu sót Rất mong được sự chỉ bảo, góp ý của các quý thẩy cô và các bạn đồng nghiệp

Xin chân trọng cảm ơn,

Hà Nội, tháng 1 năm 2017

Người viết luận văn: Nguyễn Văn Sơn

Hình học h chuyên nghiên cứu các tính chất xạ ảnh của các hình, tức

là các tính bất biến qua phép ch tuyên tâm (xem mục (1.2.2), chang han như tương quan đồng quy, thẳng hàng tính chat chia điều hòa, tính suy biến hay không suy biến của đường bậc hai Các khái niệm được xét trong các

định lí của hình học xạ ảnh cũng đều là những khái niệm xạ ảnh, chẳng hạn

như điểm, đường thẳng, tam giác, tứ giác toàn phần, đường cong bậc hai, tí

kép Trong hình học xạ ảnh, người ta thường nghiên cứu những ánh xạ từ

một tập hợp đối tượng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) này sang một tập hợp đối tượng khác Các tập hợp đối tượng đó được gọi là những đạng

Định nghĩa 1.1.1 Hàng điểm thẳng là tập hợp tất cả các d cùng thuộc một

đường thăng, Dường thẳng nàu được gọi là giá của hàng điểm Mỗi giá có thể

chứa nhiều hàng điểm khác nhau

Định nghĩa 1.1.2 Chùm đường thẳng là tập hợp tắt cả các đường thẳng trong

mặt phẳng va cùng đi qua một điểm Diểm này đư, là giá (hay tâm) của

chùm Mỗi giá có thể chứa nhiều chầm đường thăng khác nhau

2 Các dạng cấp hai

Định nghĩa 1.1.3 Trường điểm là tốp hợp tất cú các điểm cùng thuộc một

mặt pháng dã cho Mặt phẳng nầy dược gọi là giá của trường Một giá có thể

chữa nhiều trường điểm khúc nhau

Định nghĩa 1.1.4 ?zường dường thẳng là tập hợp lút cả cắc dường thẳng cùng

thuộc một mặt phăng đã cho Mặt phẳng nòu được gọi là giá của trường Một

giá có thể chứa nhiều Irường dường thẳng khác nhau

1.1.2 Phương pháp nghiên cứu hình học xạ ảnh

Để nghiên cứu hình học xạ ảnh, có thể dùng những khái niệm và tính chất

không xạ ảnh của những hình học khác (hình học an, hình học luclide, ) làm phương tiện hoặc nghiên cứu độc lập

Theo cach thi nhất, ta xem những tính chất xa ảnh là một bộ phận lẫn vào trang những tính chất khá của hình học añn và hình học Tinelide, sau đó sử

dụng kiến thức của những hình học này để nghiên cứu, sau cùng, ta thế hiện

các kết quả thu được đưới đạng xạ ảnh để dược những kết quả của hình học xạ ảnh,

Theo cách thứ hai, ta xây dựng hình học xạ ảnh thành một môn đi

hoàn toần không dùng gì đến các tính chất không xạ ảnh làm phương tiện

Mỗi cách nói trên đều có những n diểm riêng, cách thứ nhất thì tự nhiên (phù hợp với lịch sử phát triển của hình học) và gần gũi với toán phổ thóng

hơn, còn cách thứ hai thì lại khoa học hơn và tiên loi han Những kiến thức được trình bày trong chương này là Lheo đường lối thứ nhất

lập,

ae được gọi là tỉ số kép của bên điểm thang hang A, B,C, D va duge ky hiéu

ia (ABCD) Nhu vay

( ) CB’ DB (ABD)

Néu ti s6 kép (ABCD) = 1 thì ta nói cặp điểm C,D chia điều hòa cặp

điểm A, B Khi đó ta cũng nói bốn điểm 4, 8, Œ, Ð lập thành một hàng điển

điều hòn, hay cặp điểm A, Ở và căp điểm Ó, l2 liền hợp điều hòa uới nhau

Định nghĩa 1.2.2 Co bin dudag thilng u,b, c,d đồng guụ tại điểm O Khi dé

mot cat tuyến biến thiên, cắt chim bỗn đường thủng đó tại bồn diém A, B.C, D

có tỉ số kếp không đổi 1ì số kép không đổi nàu được gọt là tỉ số kép của chùm

bổn đường thẳng đã cho, ký hiệu là (abcd) hau (OA,OB,ÓC,OĐ)

Nếu tí số kếp (abcđ) — —L thì ta nói cập đường thing c,d chia diéu hòa cặp

đường thẳng a,b Khi đó tá cũng nói bốn đường thẳng a,b, e, ở lập thành một

hòa, hay cặp dường thẳng ø,b và cặp dường thẳng e,đ bên hợp điều

hồu tuổi nhan

chùm &

Địmu lí 1.2.1 Trên mỗi đường chéo của tứ giác toần phần, bai đỉnh đối diện

chia diều hòa hoá giao điểm của dường chéo đó tới hai dường chếo còn lại,

Định lí 1.2.2 ?2 mỗi điểm chúa của một hình bốn dink toàn phan, hai cơnh

chia điều hòa hai đường thằng nỗi diém chéo dé uới hai điểm chéo còn lại

1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chùm

đường thẳng

Định nghĩa 1.2.3 Cho hai đường thẳng d, d' cắt nhau tại điểm 1 va mot điểm

Š nằm ngoài hai đường thẳng đó Với mỗi diém M thuộc d, Ea cha ứng uới điểm,

M! thude d! suo cho 8.M,M! thiing hàng Tương ứng dá là mmội song ảnh từ d

lên đ”, nó được gợi là phớp chiếu tuyên tâm, tới tâm Š, từ đ lén a’

Định nghĩa 1.2.4 Cho hai cham đường thẳng tâm O va ' tà một đường

thẳng s không di qua O,O' Với mỗi dường thẳng m thuậc chèm (O), ta cho

dương ứng uới đường thẳng mử của chùm (C!) sao cho s,+n trẻ đồng quụ Tương

ung đó là một sơng ảnh từ châm (Q) lên chầm (Oy, nó được gọi là phép chiếu

auyén true, vdi lrụe s, từ chùm (Ò) lên chùm (O')

Định nghĩa 1.2.5 Mal sony dnh giữa hai dụng cấp mỗi dược gọi là một nh,

zạ #ạ ảnh nếu nó bảo toàn tỉ số kếp

Theo định nghĩa tren thì phép chiều xuyên tâm và phép chiếu xuyên trục

đều là những ánh xạ xạ ảnh Phép chiếu xuyên Lãm và, phép chiếu xuyên trục

được gọi chung là ánh xạ phối cảnh San đãy là một số tính chất cơ bản của

ảnh xạ xạ ảnh và ánh xạ phối cảnh

Dinh li 1.2.3 Mot énh xa xa dnk f > A —> Al gitta hai đường thẳng A, AU udi

AFA’ la tich etia hai phép chiéu ruyén tim

6

Dinh lí 1.2.3 Mọi ánh zạ zạ@ ảnh ƒ : O —¬ O' giữa hai chùm đường thẳng tam O,O! uới O # O!' là kích của hai phép chiếu xuyên trục

Định lí 1.2.4 Diéu kiện cin va di dé mot anh xa zạ ảnh giữa hai đường thẳng

phân biệt trở thành một phép chiều tuyên tâm là giao điểm của hai đường thăng

đó tự ứng

Dinh lí 1.2.4) Diều kiện can va đủ để một ánh a ảnh giữa hai chùm đường

thẳng phân biệt trở thành một phép chiếu xuyên trục là đường thẳng di qua hai tâm của chúng tự ứng

Định lí 1.2.5 Cho ba điểm phân biệt A, B.C bất kỳ trên đường thắng A va ba điểm phân biệt A', B',C" bat ky trên AI Tồn tại duy nhất ánh xa xa ảnh Ƒ biến

A,B,C theo thú tự thành A', B',C"

Định lí 1.2.5) Cho ba đường thẳng phân biệt a,b,c bắt kỳ thuộc chùm (O) uà

ba đường thang phân biệt at, Đ,e' bất kỳ thuộc chùm (O1) Tồn tại duy nhất ánh

wa xa inh f bién a,b,c theo thứ tự thành a',Ù,e,

1.2.3 Quan hệ ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất

bằng tọa độ Descartes

Trong hình học xạ ảnh người ta thường dùng một loại tọa độ riêng đó là toa

độ #ø ảnh Trong mục ta sẽ dùng tọa độ Descartes thông thường làm công

cụ trung gian để nghiên cứu một số tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng

ap một nhất Tuy nhiên ở đây, đường thắng Euelide đã được bổ sung một điểm xa lận mà ta gan cho hoành độ œ (—% hay + cũng chỉ một điểm

xa vô tận của đường thẳng đó)

Định lí 1.2.6 Cho hai diém M, M' lần lượt nằm t

độ tương ứng là œ,a" Diều kiện cần uà đủ để có một ánh zạ œụ

là giữa œ tà #ˆ có một liên hệ nhất biển:

vận dụng được vào một lớp bài toán hình học sơ cấp Trước hết ta đưa ra định

nghĩa sau về điểm giới hạn

Định nghĩa 1.2.6 Cho ánh va xa anh ƒ: A —¬ AI Gọi J' là ểm của hàng

AI, ứng tới d a vd tan trén hàng điểm A tà gọi I là điểm của hàng A ứng uới điểm œa 0ô tận trên hàng điểm A' Hai điểm I,J' được gọi là hai điểm giới

hạn

Hệ thức sau đây thể hiện đặc trưng về lượng của ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thang

Định lí 1.2.7 Cho ánh xa ca ảnh ƒ : A —+ A!,M C— ÁM' Nếu chọn các

Như vay trong m6 hình añn hay mô hình Euelide của mặt phẳng xạ ảnh,

ốn xạ ảnh (tỉ số kép) được diễn tả bằng một bất biến về lượng thông qua

độ dài của đoạn thẳng Từ đây ta có thể áp dụng vào việc phát hiện và chứng

minh những hệ thức có dạng 4A7.47A7 là một hằng số (khi cạp điểm A/, Af chuyển động trên hai đường thẳng nào đó)

Trường hợp đặc biệt khi hai điểm giới hạn 7, J' đều ở xa vô tận, hàm nhất

Dựa vào định lí này ta có thể đề xuất những bài toán chứng minh mot he

thức không đổi có dạng

minh mét hé thite khong

tiêu chuẩn nhận biết một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm

Định lí 1.2.9 Nếu từ mỗi điểm ME của mmột đường thẳng (hàng diém) A, ta

sác định được điểm AM" trên đường thẳng (hàng iém) A’ bing những phép dựng

hành sao cho

i) Gitta M va M' cé mot liên hệ một đối một (kể cả phần tử ảo nếu có), nói cách khá ánh za ƒ: Á —+ ATM —: À' là một sơng án

?j) Các đường uà mặt dùng trong các phép dựng hành để xác định cặp điểm

tương ứng M, M' la những đường à mặt đại số

Khi đó ánh sa Ƒ: A —> AT, M:—¬ ÁF' là một ánh xạ zạ ảnh giữa hai đường

Các định Ií[1.2.6|và[1.2.9|cũng đúng đối với hai chùm đường thẳng (đối ngẫu của hai hàng điểm)

Dinh li 1.2.10 Cho hai dudng thiing m,m! lan luot thude chim tim O,O! va

có hệ số gác lương dng la k,W Điều kiện cầu vis di dé cb mot ảnh sạ uạ ảnh

#:O —+ Œ là giữa k nà kì cá một liên hệ nhất biển:

Dinh nghia 1.2.7, Àfô£ ảnh tạ vợ ảnh giữa hai hàng cùng giá d (tương ứng,

giữa hai châm cùng lâm (Q)) được gọi là một pháp biểu đổi mạ ảnh (hay biến

hành sạ Ảnh) của đường thẳng d (lương ứng, của chùm (O))

Vì hai hàng cùng giá hay hai chùm cùng Lâm nên có Lhể xảy ra trường hợp

hai phần tử tương ứng trùng nhau Những phần tử đó được gọi là những phân

tử kép (Hay phần tử bất động)

Định nghĩa 1.2.8 72 gọi ruột phép biểu dối sụ ảnh của dường thẳng (hay của một chùm, đường thẳng) là thuậc lagi bụbobolie, parnbolic bay eliptie tùy theo nó

có bai, một hau không có điểm (hay dường thẳng) bất động thực nào, Trường

hợp phép biến đối za ảnh loại chptic, tuy không có phần tử bất động nào thuc,

ứa bảo răng mó có hai điểm (hay đường thẳng) áo liên hap

2 Một số tính chất đặc trưng

Dinh lf 1.2.11 7tong một phép biến đổi mạ ảnh logi hạ hebolic của đường thang,

hai điểm bất động cừng tới cặp điểm tương từng tạo thành bắn điểm có tỉ số kép

không đổi

Định Hí 1.3.11' Trong một phép biến đổi ro ảnh loại hụbcbolic của một chùm

dường tuẳng, hai dường thẳng bắt dộng cùng uối hai dường thẳng tưởng tông tạo

thành bỗn đường thẳng cả tỉ số kép không đổi

Dinh lí 1.2.12 Diệu kiện cần va đủ để một phép biến đổi xa ảnh loại hạụbebalic

trên một dường thẳng trỏ thành một biên đổi dồng dựng là muội trong hai diém

bất động ở uô tân

Định lí 1.2.13 Trong một phép biến đổi xa ảnh loại chiphic của đường thẳng A

luôn lẫn tụi hai điểm đối mứng nhau qua À sao cho từ tối điểm đó luôn nhần

đoạn thẳng MI M' nỗi cặp điểm tương ứng M, MỊ' bất kỳ dưới một gốc định hướng

không đổi

Dinh lí 1.2.14 Bằng một phép chiếu xuyên lâm ta có thể biên một phép biễn

déi ca dnh loại parabolic (hành ruột phép biến dối dũng cụ trên đường thẳng

tucbde

Hệ quả 1.3.1 Nếu chọn diÖn bái dộng của phép biễu dối cu ảnh loại parabolie

làm qốc hoành độ thà một phép biến đổi parabolic sẽ có dạng

3 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của một đạng cấp một, bậc nhất

Định nghĩa 1.2.9 Môi pháp biến đổi rụ ảnh Ƒ : d —¬+ d (lương ứng, Ƒ :

(Ó) — (O)j) được gọi là phép biến đổi sa ảnh đấi hợp của đường thẳng d (hing ting, của chèm (O)) nêu Ƒ? — lúa

Định lí 1.2.15 Mội phép bidu hink 2a ảnh khác phép đồng nhất Ƒ : d — d

(huờng tĩng, Ƒ : (O) — › (O)) là pháp biển hành đối hợp khí tà chỉ khí nó có

hai điểm phần biệt M, M' sao cho f(M) = M' va f(M’) = M (tung ứng, hai

đường thẳng phân biét m.m! seo cho f(m) =m! tà f(m!) =m)

Dinh Ii 1.2.16 Néw mot phép bién hinh déi hap f , kde phép dong nhdl, có tnột phần từ bất đông thà nó cồn có một điểm bắt đông nữa Khi đó cấp phần tủ

bất déng néy chia điều hòa mới cập phần từ Lưởng ứng của Ƒ

cho biết hui phầu tử phân biệt tà ảnh của chúng

1.3.1 Một số định li cd ban liên quan đến đường cong

bậc hai, lớp hai

Định lí 1.3.1 (Định lý Sieincr) Nếu ƒ là một únh za zạ ảnh giữa hai chùm

dường thẳng (A) va (8), không phải là phép chiếu suyên trục thà quả lich giao

điểm của hưi đường thẳng tưởng ứng là một đường cong bậc hai không suy biển,

đường cong nàu tiếp xúc tối ảnh uà tạo ảnh của hai dường thẳng (AB),(BA)

Định lí 1.3.1° Nếu ƒ là một énk ca ru ảnh giữa hai đường thẳng œ 0à b, không

phải là pháp chiếu suyên lâm tà hành bao của đường thẳng mỗi hai điểm lướng

tứng là một đường cong lớp hai Dường cong này tiếp múc tới a, b tại cúc điểm là

ảnh tà tạo ảnh của &(1b

Nếu ƒ là phép chiêu xuyên tâm thì hình bao nói trên là một cặp điểm, trong

đó có một điểm là giao điểm của hai giá œ và b

Dinh Ii 1.3.2 (Wink Ki Pascal) Mot lue gide nội tiếp một đường cong bậc hai

khi uà chỉ khi ba cặp cạnh đối diện giao nhau theo ba điểm thẳng hàng

Định lí Pascal có nhiều áp đụng trong việc nghiên cứu các đường cong bậc

hai Khi đường cơng bậc hai suy biến thành cặp đường thẳng thì ta tìm lại được

định lí Pappus Vậy định lí Pappus là :nột trường hợp riêng của định lí Pascal

Ngoài ra dinh lí Paseal có thế áp đụng cho các trường hợp đặc biệt, khí lục giác

suy biến thành ngũ giác, tứ giác, hoặc tam giác Dịnh 1í đối ngẫu của định lí Pascal chính là định lí Brianchon

Định lí 1.3.3 (Định lí Brlanchan) Một lục giác ngoại tiếp một đường cong lớp

hai khi tà chả khi các đường thẳng nỗi các đình đốt điện đồng quy

Định lí Brianchon có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các đường cong

lắp hai Khi dường cong lấp hai suy biến thành cặn đường thẳng thì ta thu được

định lí đối ngẫu của định lí Pappus Dịnh lí Brianchon cũng đúng trong trường

hợp lục giáo suy biến thành ngũ giáo, sứ giác, tam giác

Định lí 1.3.4 7n (ai duy nhất một đường cong bậc hai di qua nim diém bat

kì trong mặt phẳng, trơng đó không có ba điểm nào thẳng hồng,

Định 1í 1.3.4' Tön tại duy nhất một đường cong lớp hơi tiếp xúc tới năm

đường thẳng cho trước, trong đó không có bu đường lhiỗng nào đồng quy

Dinh lí 1.3.5 (Định lí Desargues thứ hai) Một dưỡng công bậc hai biên (hiển

trong một chùm đường cong bậc hai uạch lên trên bất kỳ đường thẳng nào một

hàng điểm liên hệ rạ ảnh đối hop mới nhu

1.3.2 Ảnh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai, lớp

hai

Định nghĩa 1.3.1 Cho bốn điểm A, Ð,C, D thuộc đường cong bậc hai C Ehông

suy bién Theo dinh li Steiner, vdi hai diém P, P' thuộc Ở, ta có (P)A(P), do

dé (PA,PB, PC,PD) — (P'A,P’B, PC, PID) Nohia la (PA,PB,PC, PD)

không đổi, không phụ (luộc sào diém BP Ti sd kép không đổi này được gọi là tỉ

số kếp của bốn diém A, B,C, D tren C, ky hi@u la (ABCD) hay (ABCD) (néu

không sơ nhằm lẫn)

T1

Hình 1.1

Tương tự, theo định lí đối ngẫu của định lí Steiner ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3.1' Cho bốn tiếp tuyến a, b,c,d của đường cong lớp hai C khong

suy biến Khả đó uới mỗi tiếp tuyến p bất kà của C a stp cat a,b, c,d lan lượt

tai A, B.C,D thi ti (ABCD) khong doi Ti không đổi này được

gọi là tỉ số kép của bốn tiếp tuyến a.b,e,d của C, ký hiệu là (abed)e hay (abed)

(nếu không sợ nhằm lần)

Trước khi đưa ra định nghĩa ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai,

ta đưa ra định nghĩa về ánh zạ nghịch déo xa ảnh giữa hai dạng cấp một bậc

nhất và bậc hai (lớp một và lớp hai), trước hết ta có nhận xét sa

Nhận xét 1.3.1 Cho một đường cong bậc hai Ở va một đường thang A, S la một điểm cỗ định trên C, sét tương ứng f :C —+ A,M + + M’, trong đó M khác 8, còn AI" là giao điểm của SÁT uới đường thẳng A Nếu M trùng T thà

SM//A, khi đó ƒ(T) là diém v6 lận trên A Nếu AI trùng 8 thi f(S) la giao

điểm của A uới tiếp tuyến tại 9 của C Rõ ràng điểm AM“ được xác định duy

nhất, ngược lại uới mỗi điểm AI' trên A có duy nhất điểm AM trên C sao cho

ƒ(M) = M' Nhu vay ƒ là một song ánh, hơn nữa ƒ tà ƒ~Ì đều là những song ánh bảo toàn tỉ số kép

Định nghĩa 1.3.2 Cho đường cong bậc hai Ở uà một đường thẳng A, S là một

điểm cố định trên C, xét tudng ting f : C —+ A,M — AI, sác định như ở

nhận sét trên Khi đó ƒ va f~ là những song ánh bảo toàn tỉ số kép uà cùng

được gợi là ánh zạ nghịch đảo rạ ảnh tâm S giữa đường cong bậc hai C uà đường

thẳng A

Nhận xét 1.3.1’ Cho mét đường cong lớp hai Ở uà một điểm O, s là một tiếp

tuyến cố định trên Ở, xét tương ứng ƒ : C —> (O),m — mĩ, trong đó m khác

s, con m! la đường thẳng nối giao điểm mmí\s oà O Nếu m trừng i thi (i)

là đường thẳng ï' qua O à song song tới s Nếu m trùng s thì ƒ(s) là đường thang di qua O tà tiếp điểm của s uới C Rõ ràng đường thang m' duoc xác định duy nhất, ngược lại uới mỗi đường thắng tm' thuộc chùm (O) có duy nhất đường

thẳng m của Ở sao cho ƒ(m) = ml Như vay ƒ là một sơng ánh, hơn nữa ƒ tà

fo! đều là những song ánh bảo toàn tỉ số kép

Tùy theo số tiếp tuyến thực với Œ vẽ từ @ mà ƒ có hai, một hoặc không có đường thắng bất động thực nào

Định nghĩa 1.3.2 Cho đường cong lớp hai € tà một chùm đường thẳng tâm

O, trén C lay mot tiếp tuyến s cố định, xét tương ứng ƒ :Œ — A,AM — AI,

xác định như ở nhận sét trên, Khi đó ƒ uà ƒ~! là những song ánh bảo toàn tỉ

số bép uà cùng được gọi là ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh trục s giữa đường cong lớp

hai € uà chùm đường thẳng (O)

4 sit d.d’ la hai đường thẳng và € là một đường cong bậc hai cho trước Hai điểm $5, S cố định nằm trên C Khi đó tích của một ánh xạ nghịch đảo xạ anh tam Š từ đ lên Œ và một ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh tâm S” từ đ lên # là một song ánh bảo toàn tỉ số kép giữa đ và #' Như vậy một ánh xạ xạ ảnh giữa

hai hàng điểm thẳng có thể được thiết lập bằng cách lấy tích của hai ánh xạ

dao xa anh tim ð từ Ở lên đ và một ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh tâm #5 từ ở lên

Ở là một song ánh bảo toàn tỉ số kép giữa Ø và Ở' Vì trên một đường thẳng có

thể eó vô số phép biến đổi xạ ảnh nên dựa vào ánh xạ nghịch đão xạ ảnh, ta có

thể tạo ra võ số song ánh bảo toàn li số kép giữa hai đường cong bac hai,

Tương tự, dựa vào ánh xa nghịch đảo xạ ảnh giữa hai dang cA ip mat Tp một

và lớp hai, ta cũng thiết lập được võ số song ánh bảo boàn tỉ số kếp giữa hai

đường cong lớp hai

Định nghĩa 1.3.3 Trong snặt phẳng, cho hai dường công bậc hai (lớp hai)

không suụ biển CC", Một sơng ánh ƒ : — › €' bảo toàn tỉ số kép của bốn phần

tử bắt kà được gọi là một ánh xa xa ảnh giữa hai đường cong bậc hai (lớp hai) C

aa Cl

Dinh Ii 1.3.6 Một ánh sự eạ ảnh giữa hai dường cong bậc hai (lớp hai) dược

sắc định duy nhất khi biết ảnh của ba phần tử đôi một không trùng nhau

Định nghĩa 1.3.4 Mal song dnk fC — Ở từ một dường cong bậc hai (lúp

hai} C lên chánh nó, bảo toàn ti số kếp của bốn phần tủ bất kì được gọi là một

phép biển đổi sca ảnh liên đường cong C

‘Luang tự phép biến đổi xạ ảnh trên một dạng cấp một bậc nhất, một phép

biến đối xạ ảnh trên mật đường cong bậc hai (lóp hai) khác phép đằng nhất có

không quá hai phần Lử bắt động thực

Dịnh nghĩa 1.3.5 7u gọi một phép biến đổi sạ ảnh trên một đường cong bậc

hai (lớp hai) là thuộc loại hụbebolio, parabolic ha eliptie tầu theo nó có hui, mbt hay không cá điểm (hay đường thửng) bắt động thực nào Trường hop phép biễn

déi xạ ảnh loại cliptic, tuy không có phần từ bắt động nàa thực, ta bảo rằng nó

có hai điểm (hau đường thẳng) áo liên hợp

#

Định nghĩa 1.3.6 Một phép biển déi aa ảnh ƒ trên một đường cong bie hai

(lớp hai) được gọi là phép biển hình đối hợp nếu ƒ? là phép đồng nhẤt

Định lí 1.8.7 (Định li Hdgior) Nếu Ƒ :Ơ — › € là mội pháp biến lành đối hợp

của đường cong bậc haiC, khác phép đồng nhất, thì đường thẳng nối bắt kì một

cặp điểm tương ứng nào cũng luận đi gua một điểm có định

Dinh li 1.3.77 Nếu Ƒ : C —+ Ở là một phép biến hành dối hợp của đường cong

lip hai C, khác phúp đồng nhất, thì giaa điểm của hai đường thẴng tương ứng

bắt kà nằm trên ruột đường thẳng cố định.

1.4 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp hai

1.41 Phép cộng tuyến giữa hai trường điểm

Định nghĩa 1.4.1 Một song ánh giữa hai trường điểm được gọi là một phép

cộng tuyến nếu nó bảo toàn tính t fing hang ctia ba diém bat ki

Dinh lí 1.4.1 Cóc phép cong tuyến bảo toàn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng

(hay bốn đường thẳng 0 q19)

Như vậy

thành một hàng điểm (hay chùm đường thẳng) liên hệ 3

chùm) đã cho Vì vậy người ta nói rằng các phép cộng tu

1 Tọa độ xạ ảnh của một điểm

Định nghĩa 1.4.2 Cho hai trục Oz,O lần lượt cắt một đường thẳng thứ

ba 6 X.Y Chon E la mét điểm không nằm trén Ox,Oy va XY Goi E, =

EY 9 Ox, E, = EX) Oy Ung véi méi điểm M trong mét phang, goi M, =

MX Oy, M, = MY Oz, ta c6 hai số

Theo định nghĩa này thì tọa độ của điểm E 1A E(1,1), no được gọi là điểm

đơn vị Trong nhiều trường hợp, để tiên lợi, người ta thường dùng foa độ zạ ảnh

thuần nhất

15

Định nghĩa 1 độ, Cho điểm M có tọa độ zạ anh (x,y) Khi dé b6 ba s6

“Theo định nghĩa này thì B(1:1:1),0(0:0:1),X(1: 0:0), Y(0: 1:0)

Với các điểm nằm trên đường thắng XY, ta đều có z' = 0 Vì vậy z = 0 là

phương trình của đường thắng XY

Bes,

2 Phương trình đường thẳng

Giả sử trong mặt phẳng xạ ảnh có một hệ tọa độ xạ ảnh xác định bởi tam

giác tọa độ OXY, điểm đơn vị E và có một đường thẳng ở Trong mặt phẳng

nay, ta thêm một hệ tọa độ Descartes vung géc Tu, Jv va goi P 1a điểm

có tọa độ Descartes 1a (1,1) Gọi 7P, lần lượt là hình chiếu của P lên Tu,»

(Hình

Xét phép cộng tuyến xác định bởi hai tứ giác tương ứng OFE„E.E, và IP,PP,, biến đường thẳng ở thành đường thẳng A Giả sử điểm A7 có tọa độ xạ ảnh

là (z.y) qua phép cộng tuyến này, biến thành điểm N c6 toa do Descartes

là (u,») Khi đó vì phép cộng tuyến bảo toàn tỉ số kép nên ta có z = u va = + Hơn nữa phương trình của đường thẳng A đối với hệ tọa độ Descartes

cé dang Au + Bu + Œ =0, do vậy phương trình của ở trong hệ ảnh

có dạng 4z + Bự + Œ = 0 Nếu dùng tọa độ xạ ảnh thuần nhất z', , z' thì ta

3 Điều kiện cần và đũ để ba điểm thẳng hàng

see be a m 1, B iC ey sử A(a, : : by : b3),C (er : cg: ca)

ay dạ dạ

bị bạ bạ| =0

C1 €2 Œ

4 Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng đồng quy

Cho ba duéng thang u,v, w Gia sit u(u, : ug: ug), v(vy : v2: v3), w(wy : we

16

ạ) Điều kiện cần và di dé ba diém A, B,C thing hàng là:

Ww Ủy ug

BL tụ 0| =0

tị Ul, 0a

1.4.3 Bố sung phần tử ão vào mặt phẳng xạ ảnh thực

để tránh những bất tiện khi nghiên cứu hình học xạ ảnh thực, ta nhúng

ti phẳng xạ ảnh thực P vào mặt phẳng xạ ảnh phức P›(2), nghĩa là xem mỗi

phần tử của H; là một phan tử thực của #2(¡), khi đó thì những phần tử không

thực của ?2(2) dược gọi là những phần tử ảo của Ph

Nếu như trong hình hạc phức trên mặt phẳng ?›(/), người ta nghiên cứu

những phép cộng tuyến có hệ số bắt kì, thực hay ảo thì trong hình học xạ ảnh trên mặt phẳng #; cá bổ sung các phần tử ảo, người ta chỉ nghiên cứu những phép công tuyến có hệ số thực Vì vậy trên phương diện hình học xạ ảnh phức thì không có sự phân biệt giữa các phần tử thực và ảo, còn trong hình học xạ ảnh trên mặt phẳng P; có bổ sung các phần tử ão thì các tính chất thực, ảo là những bất biến xạ ảnh

Như vậy ta có thể đùng các phần tử ảo làm trung gian, tiện lại cho việc

mghiên cứu hình học xạ ảnh thực Nó liện lợi ở chỗ khi La nghiên cứu một vấn

đề gì hay phát biển một kết luận, ta không cần phân biệt các phần tử mà ta

đang xét là thực hay do, do đó không phải phân chia nhiều trường hợp Diễn này

cũng tương tự như khí ta bổ sung các phần tử võ tận vào mặt phẳng Tmelide

để khỏi phải phan biệt các trường hợp cắt nhan hay không cắt nhau của các đường thẳng

1.4.4 Phép đối xạ, nguyên tắc đối ngẫu

Địmh nghĩa 1.4.4 Người ta nói răng giữa hai trường điểm nà dường thẳng có

tnột liên hệ dối za niểu

i) Ung vdi mỗi điểm của trường nàu thì có một đường thẳng của trường kúa

tà chỉ một mà thôi,

ii) Ung tới mỗi đường thẳng của trường này thì cá một điểm của trường kia

wa chi mal ma bhai,

ii) Tương quan én thudc gitta điểm tà đường thẳng được bảo toàn,

Định Ii 1.4.2 Pháp dối sụ có tuN chất nạ ảnh, nghĩa là mọi dạng cấp mặt thi ting nói một dạng cấp môi khác Hôn hệ đổi a dang đã cho

Dinh nghĩa L.4.5 Đênh cạnh mỗi mệnh để phát biểu nên những tương quan

giữa các điểm nà đường thẳng trong mắt phẳng rụ ảnh, fa có một mệnh đễ thú

17

hai được tìm ra bằng cúch thay vào trong mệnh đề thú nhất mọi chữ "điểm"

bằng chữ " dường thẳng" nà raợi chữ đường thẳng bằng chữ "điền", Hai mệnh

Tựa vào phép đối xạ của mặt phẳng xạ ảnh ta có nguyên tắc sau đây gọi là

nguyên tắc đốt ngẫu trong mặt phẳng xạ an

Nguyên tắc đối ngẫu: đai mệnh đề dấi ngẫu oới nhau lhà cùng đúng hoặc

cùng sai

Mọi hình trong mặt phẳng đều do điểm và đường thẳng cấu tạo thành nên

mỗi hình có một hành đốc ngấu Iình đối ngẫu của một đường cong bậc øœ là

một đường cong lớp œ và mỗi điểm của đường thứ nhât ứng với một tiếp Luyễn

của đường thứ hai Mỗi đường thẳng có thể được xem là một đường cang bậc

1, có lình đối ngẫu là mội đường cong lớp 1, Lức là một điểm

1.4.5 Cực và đối cực

Định nghĩa 1.4.6 Hai điểm M, N được gọi là liên hợp uới nhan đối nói đường

cơng bậc hai Ở nếu hai giao điểm của Ủ với đường thẳng MỊN chúa điều hòa cặp

diém M,N

Định lí 1.4.3 Quỹ tích các điểm N én hep odi mat diém ci dink M doi với

tnột đường cơng bậc hơi cố định là một đường thẳng Dường thẳng nàu được gọi

là đường đối cực của điểm M đôi vdi đường cong đã cho

Dịmh lí 1.4.4 Mọi đường thẳng m trong mặt phẳng đều cô một điểm Af duy

nhật nhận ra làm đường thẳng đấi cực đối uới một đường cong bậc hai không

suy biến C Diểm A4 nàu được gọi là cực của đường thẳng m đối uồi đường cong

bậc hai C

Dinh lí 1.4.5, Nếu một đường thẳng m uà một điểm N thuộc nhan thi cuc M

tù đường đổi cục n của chúng cũng thuộc nhau

Định nghĩa 1.4.7 Hui đường thdng m,n dive goi là liêu hợp oối nhau dối cdi đường cong bậc hai Ó nếu chúng đã qua cứo của nhau đối với đường sông đó Dinh li 1.4.6 Hai dường thẳng biên hợp vdi nhau dội oi mal dung cong bậc

hai C chia diéu hòa hai tiếp tuyén vdi C suất phát từ giao điểm của hai đường

thitng dé cho

18

Ví dụ 2.1.1 Cho hai đường thắng phân biệt d.d" Các

d, A', B',C! nam trénd' Goi M = ABN A'B'

Khi dé M,N, P thang hang (Dinh li Pappus)

trường hợp riêng của định lí Pascal, tuy nhiên ta

ánh xạ phối cảnh (phép chiến xuyên tâm) để chứng

19

Chứng mình Gọi I la giao điểm của đ và #' và gọi R.S lan lượt là giao điểm

của BA" và AC", BC! và ƠA' Khi đó (BSMA') = (IC'B'A’) (phép chiếu

tam 4 xuống đường thang A’B’), va ([C'B'A’) = (BŒ'PR) (phép chiếu tâm

€ xuống đường thắng BC’) Do dé (BSMA') = (BC'PR) Nint vay hang (B.S, M, A\, )A(B.C', P.R, ) Hon nita B = RC'N SA’, giao điểm của hai

hang tự ứng Do đó các đường thắng SŒ", A7P, A'R đồng quy tức N thude MP

Bay giờ bằng cách thể hiện định lí Pappus trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng añn, ta sẽ thu được nhiều kết quả khác nhau của hình học sơ cấp

Gia st J = dnd’ Xét tập hợp diem T = {A, B,C, A’, B',C’, M,N, P, T}

Gọi A là đường thẳng võ tận Ta lần lượt xét các trương hợp sau:

1) Không có điểm nào của tập T thuộc đường thẳng A, AfIT = 0 Ta có

s cuả hình học sơ cấp (xem

9) T thuộc đường thắng A, AT = {T} Ta thu được bài toán sau:

Bài toán 2.1.1 Cho hai đường thẳng phân biệt d,d' song song Các điểm

A,B,C nam trén d, A', B',C' nam trénd' Goi M = ABN A'B', N = ACNA'C',

P=BCOBC' Khi đó M.N,P thang hang

Tời giải Ấp dụng định lí Menelaus lần lượt cho các tam giác ŒWB, 'PC",

tương ứng với các cát tuyến (W.AC"),(RŒ4') ta lần lượt có

NR AC C'B _

NC AB'ŒR `

RŒ CP AB'—

RP CB’ AC!

Mặt khac do d//d' nén Ap dụng định lí Thalès ta chứng minh được

NƠ AC' _ BP ƠB'_, MAI AB -

3) AnT ={A,N, P} Ta được bài toán sau:

Bài toán 2.1.2 Cho hai đường thẳng phân biệt dd" cắt nhau Các điểm A,B,Ơ nằm trên d, A', B!,C!" nằm trên d' sao cho AB'//A'B, BC'//B'C, khi

đó AC!//AUC

20

Loi giải (xem [I|, trang 46) Trường hợp An7 = {AÁM, N, P, 1} có thể chứng

minh dé dang dita vào tính chất của hình bình hành

4)AnT ={A', BC} Ta được bài toán sau:

Bài toán 2.1.3 Cho ba điểm A, B,C thẳng hang va ba diém M,N, P sao cho

AN//BP,BM//CN,CP//AM Khi dé M,N,P thang hang

Hinh 2.2

vi gidi Gia sit MP c&t dudng thang ABC tại K (trường hợp không cất

có thể kiểm tra dễ dàng) Gọi N’ 1a giao diém ctia MP va AN, Ta chttng minh

CN nén N N' Vay M,N, P thang hang

Bây giờ xét mệnh đề đối ngẫu của định lí Pappus ta thu được định lí sau:

Định lí 2.1.0 Cho ba đường thẳng a,b,e đồng quy tại D toà ba đường thẳng

a’,b'.c dong quy tai D' Xét cdc dudng thang m,n, p vdim quaaNnd! vaa'nb,

n quaand via'Ne, p qua be vablNe Khi dé m,n, p dong quy tại một điểm

Chitng minh Goi I =a! Ne, J =aNe, K = mfp Ta can ching minh J, J, thang hang That vay, goi N = cnb', P= 6N¢,Q = bra’, R=anv Ap dụng định lí Pappus cho hai đường thẳng b, vai ba diém thang hang D!, R, N trén

Hình 2.3

Tương tự, nếu xét bài toán đối ngẫu của các bài toán [2.2.1] [2.2.2] 2.2.3) ta

cũng thu được : những bài toán khác nhau Như vậy từ một định lí của hình học

xạ ảnh, khi thể hiện vào mô hình xạ ảnh của mặt phẳng an, ta thu được nhiều

kết quả khác nhau của hình học añn Ví dụ tiếp theo là một bài toán về hai tam giác thấu xạ ba lần

Ví dụ 2.1.2 Cho hai tam giác ABC va A'B'C' sao cho AA’, BB',CC" déng

quy tai S, AB’, BC',CA' dong quy tai T Chitng minh rằng AC", BAI,CB! cũng đồng quụ tại một điểm

Hình 2.4

1) Lời giải ạ ảnh Chọn tam giác ABC làm tam giác tọa độ và # là điểm

đơn vị, A(1 :0: 0), B(0: 1:0), Œ(0:0: 1), S(1 : 1: 1) Khi đó các đường thẳng

AA BH, CC" có phương trình lần lượt là = z,z = z,z = Vì 4, ',C! lần lượt me n trên S44, S, SƠ nên chúng có tọa độ là: A/(ø: 1: 1),(1:b: 1),

C"(1: 1: ¢) Do vay tọa do cde dudng thang AB’, BC",CA' là AP!(0: —1:

22

b), BC'"(c: 0: -1),CA(-1: a: 0) Vi AB’, BC’,CA’ dong quy nén ta có

2) Lời giải sơ cép Goi U = AC'N CB Ta can ching minh A’, B,U thing

hang That p dụng định lí Pappus cho hai đường thang TB! va SC’ voi

ba điểm 7 4, ! trên TP' và ba điểm S,C,C! trên sơ" ta có

TƠn SA = A',TŒ'n SP! = B, AC'nŒB'=U

là ba điểm thẳng hàng

Vậy AC’, BA',CB' dong quy tai U

Bây giờ lần lượt cho $,T,U ra vo tan, ta sẽ thu được những bài toán khác

nhau của hình học añn

Bài toán 2.1.4 (Cho S ra v6 tan) Cho hai tam giác ABC va A'B'C' sao cho

AA'//BB'//CC' va AB’, BC’, CA’ dong quy tai T Ch mình rằng nếuLAC"

cat CB! thi AC’, BA',CB' dong quy tai mot điểm (Hành

Loi gidi Goi D là giao diém cia AA’ vA BC", E 1a giao diém cita CC’ va

AB’ Gia sit AC" cit CB’ tai U Ta chitng minh A’, B,U thang hang Ap dung

dinh lf Menelaus chon tam gidc C’BA véi cát tuyên #!ƯC ta có

'Từ những đẳng thức trên ta có

AD UA BC

AA UCT BD =1

Áp dụng định lí Menelans đảo cho tam giae ADC’ ta c6 A’, B,U thang hang

Tương tự ta có hai bài toán sau:

Bài toán 2.1.5 (Cho S.T ra v6 tan) Cho hai tam gi

cho AA'//BB'//CC' va AB'//BC' //CA' Chitng minh

thì AC", BACB! đồng quụ tại một điểm

ABC va A'EŒ" sao

ing néu AC" cat CB’

Bài toán 2.1.6 (Cho cả ba điển S.T.U ra 0ô tận) Cho hai tam giác ABC tà

A'BIC! sao cho AA'//BB'//CC! va AB'//BC! //CA! Chitng minh ring néu

AC"//CB! thì AC’//BA'//CB

Hinh 2.5 Dưới đây là bài toán đối ngẫu của bài toán xạ ảnh ban đầu

Bài toán 2.1.7 Trong mặt phẳng cho các đường thẳng a.b,e,a',b,c' sao cho

ba điểm A = afaf,C = bnW, B = end thẳng hàng oà ba điển B! = an

bne,C! =erta' thẳng hang Chitng minh ring khi db anc.bNa',env cing

thẳng hàng

24

Tời giái Áp dung định lí Pappus cho hai đường thắng d qua A, B,C và # qua A’, B’,C’ ta c6 AC’N CA’, AB'N BA’, BC'F BIC thang hang

Vậy an,bna1,en thắng hàng

Ví dụ 2.1.3 Giả sử tứ giác ABŒD ngoại tiếp một đường trờn uới các tiếp điểm

tưởng ứng trên các cạnh AB, BƠ,CD, DA là AI, P,N,Q Chứng mình rằng khi

đó MN, PQ AC, BD đồng quy

Hình 2.6 Hình 2.7

Lời giải sơ cấp cho ví dụ này hoàn toàn tương tự lời giải của bài toán [2.2.3]

được xét ngay sau đây Trên phương diện xạ ảnh thì ví dụ trên chính là định lí Brianchon cho hình đỉnh Tuy nhiên, dưới cách nhìn của xạ ảnh, từ ví dụ

này ta có thể đề xuất ra những bài toán khác nhau của hình học sơ cấp như

Sau

Bài toán 2.1.8 Cho bin điểm M,N, P,Q nằm trên đường tròn (O) theo thứ

tự đó Giả sử các tiếp tuyến vdi (O) thỏa: các tiếp tuyến tại M uà Q cắt nhau

tại A, tiếp tuyến tại N cắt tiếp tuyến tại P oà cắt AQ lần lượt tai C.D, tiếp

tuyến tại P cắt AI lần lượt tại B Chitng minh ring MN,PQ,AC,BD dong

quy

Tời giải Xét trường hợp N, P ở trên cung nhỏ A/Q Gọi 7 là giao điểm của

M AC Xét hai tam giác AA/T và CNI ta c6 AMI = CNI va AIM bit

với TC, do đó ta có

IA MA a 4 MA

Suy ra TC NC Như vậy 7 chia trong đoạn 4Œ theo tỷ số Ne

25

Tương tự, gọi ¿ là giao điểm của cặp dường thẳng 4G, PQ Xét tỷ số diện

tích hai tam giác 4QJ và CP, đề ý AM = AQ,CN = CP ta được

Nghĩa là ⁄ cũng chia trong đoạn AC! theo ty số Ne Suy ra J tring /, vay

AC, MN, PQ déng quy tai J

Tương tự, BD, MN, PQ cing ding quy tai J

Trường hợp 4, nằm trên cung lớn 3Q thì ta cũng chứng minh tương tự, lúc đó 7,7 cùng chía ngoài đoạn 4C theo cùng một tỷ số nên trùng nhan, đo

đó La cũng có BD, MỊN, DO cũng đồng quy Lại 7

Khi diễm cho diểm 4 ra vô tận ta có bài toán sau;

Bài toán 2.1.0 Cho đường trồn dudng kink MQ Hai diém N,P nam trén

cung MQ sao cho liép tayén lai N vdi (O) edit cde tidp tuyén tai Q va tai M

ần lượt 6 D va B’, tuyển với (O) lại P cắt các tiếp tuyến lại Q vd tat M

› lượt ở 1 nà H Chứng mình rằng

&) Cúc đường thing BD,MN,PQ déng quy tại một điểm I nao dé

b) Cée dung thing B'D!',MP,NQ déng quy tai mal diém J néo dé

c) Cée diém I J,C cing nam trén mét dudng thing song song vi MB

đ) Cúc dudng thingy NQ.BD, BIL! ding yuy

e) IO vudng gée vdi BD! va JO vudng gée vdi BD

dời giải, a) Gọi 1 là giao diém cha PQ vai BD Xét hai tam giác /J/@ và

BIP tacé DIQ ba vii BIP va IPB = 1QD, do đó ta có

Su p THIP PLPB

QD Suy ra iB _ ~~ Nhu vay / chia trong đoạn 81) theo tỷ số QD

trong đoạn BD theo tỷ số TC, Vậy MỊN, PQ, DD đồng quy bả T

b) Tuang tu, WP, NQ, B'P! déng quy tại một điểm J nao dé

Hình 2.8

Do vay IC song song véi BB’

Tương tự JC cũng song song với ÿ' Do đó ta có 7,J,C cùng nằm trên

một đường thã ig Song song vdi MB

y rằng các đường thắng BD, 8'D', NP lần lượt là dường đối cực của các điểm ”, 7, C Mà theo chứng minh trên thì ba điểm này thẳng hàng nên

ba đường thẳng 8D, Ð'D' và XP đồng quy tại một điểm

e) Vì BD và !'D' lần lượt là đường đối cực của J, J nên ta có ïØ vuông góc

với B!D' và JÓ vuông góc với BD

Ví dụ 2.1.4 Cho tứ giác toàn phần AEDBCP Chứng mình rằng các trực

lâm K,L,AM,N của các tam giác AAEF,ABDF, ACDE.AABC (hành|2.)

1) Lời giải xa ảnh Gọi a, b, e, d lần lượt là các đường thẳng BC,CA, AB, DE,

ký hiệu Azmnp là tam giác có đỉnh là các giao điểm của các đường thẳng

m

Bổ sung vào mặt phẳng afin đường thẳng võ tận A Khi đó các đường thẳng

cùng vuông góc với đường thẳng ạ có cùng một điểm vô tận, ký hiệu là g

Theo giả thiết ta có K = Et FB,L = Fan De, = Dồn Ea Ap dung

định lí Pappus cho cée bd ba (a, 0,2) va (D,E, E) ta có W,L,.M thắng hàng

Tương tự L, AM, V cũng thẳng hàng Vậy bốn điểm K, L A1, N cùng nằm trên

một đường thắng (gọi là đường thẳng Steiner của bốn đường thẳng a,b, e, đ)

9) Lời giải sơ cấp Ta có EM//FL (vì cùng vuông góc với BƠ) Tương

tu, DL//EK,DM//FK Vi D,E,F thẳng hàng nên theo bài toan [2.2.3] ta có

K,L,M thang hang

37 p Khi đó K, L, A1, N lần lượt là trực tâm của các tam giác Abed, Aaed, Aabd, Aab

với các ký hiệu hình vẽ như trên ta có bài toán sau:

Bài toán 2.1.10 Gọi 4’, B’,C’ lan lượt là hành chiếu ouông gác của A, B,C

lên đường thẳng d, khi đó các đường thăng uuông góc uới BƠ, CA, AB theo thứ

tự tại A', BC" đồng quy tại một điểm

Diém déng quy nay dude gọi là trực cực của đường thẳng d đối uới tam giác

ABC

Loi giải Theo vi du[2.2.4|ta c6 K,L, M,N cimg nam trén mot dudng thang

Goi O, = BON C’ Vi diténg thẳng vuông góc với d vé tit trùng với đường

thẳng vuông góc với ở vẽ từ #' nên L = Den H4 Tương tự, M = Dồn Œ14

Theo định lí Pappus ta có Ø¿, A7, thẳng hàng Như vậy giao điểm Ø„ của

dudng thang KLMN va B’b nằm trên C*e Tương tự, giao điểm O, nay cũng

nằm trên ta các đường thẳng 4ø, Ð'5, C"z va KLMN déng quy tai O,

'Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét 2.1.1 Cho tứ giác toàn phần mác định bởi bốn đường thẳng a,b,e, d,

khi đó các trực cực của a,b,e, d theo thứ tự đối uới các tam giác Abcd, Aacd, Aabd, Aabe

cing nim trên đường thẳng Steiner của tứ giác toàn phần đã cho

28

Vi du 2.1.5 Nếu một lục gide vita noi tiép mot conic (C) vita ngoai tiếp một

conie (C") (lục giác lưỡng ic) thi ai 5 ip dinh doi

điện à ba đường thẳng nối các cặp tiếp điểm của các cặp cạnh đỗ của lục

giác đồng quụ tại một điểm

Giả sử lục giác ABŒDEF vừa

nội tiếp (C) vừa ngoại tiếp (C") Khi đó

theo định lí Brianchon thì ba đường thẳng

AD, BE CF dong quy tại 1 Goi M,N, P.Q,F

là các tiếp điểm của các cạnh FA, AB, BC,

CD, DE, EF với (C!) Ta chứng mình MQ, W1

đồng quy tại J va J trùng J Thật vậy, vì lục

giác đã cho nội tiép conic (C) nén ba giao

điểm 7,U,V của ba cặp cạnh đối diện, 4

và ED; BC va EF; CD và FA, cing nam

trên một đường thẳng Nhưng vi T,U,V lan

lượt là cực của các đường thẳng Vñ PS, MQ

niên suy ra ba đường thắng này đồng quy tại Hình 2.11:

Ta con phai chứng mỉnh 7 trùng 7 Gọi K, L lần lượt là giao điểm cilia BC va

FA, CD va FB Ap dung dinh If Brianchon cho hình bốn đỉnh ŒLEK nội tiếp, tacé KL, FC,MQ,SP đồng quy tại J, tite la FC di qua J Tuong tu AD, BE cing qua J Vay 7 trùng J va sau duténg thang AD, BE,C'F, MQ, NR, SP dong

quy tại 7 Mệnh đề được chứng minh

Nhận xét 2.1.2 ¡) Nếu từ một điểm cỗ định, uẽ ba đường thang cit mét conic

cho truéc tai sáu điểm, từ sáu điểm này dựng các tiếp tuyến uới conic thi luc

giác tạo thành nội tiếp trong mot conic

ii) Nếu thay conic bởi đường tròn thì ta được bài todn của Hình học Euclide

Lời giải của bài toán trong trường hợp này hoàn toàn tương tự lời giải trên

2.2 Một số bài toán chứng mỉnh đại lượng không đổi

hoặc chứng minh một đẳng thức liên quan đến độ

dài đoạn thẳng

Vi dụ 2.2.6 Cho hai duéng thing xx’ va yy! cat nhau tai O Mot điểm T cỗ

định nằm † d thay đổi luôn đỉ qua Ï tà cắt các

đường th £ hành bình hành DOBEI tới D,E lần

lượt thu

a) DM.EN không đổi

Ox, Oy lan ‘huot là hướng điợng trên

hai đường thẳng xa’ va yy’ Xét Anh

xạ ƒ : ( — (/).\M —— N,

1 ta có ƒ là một ánh

theo định lí

xạ xạ ảnh g ¡ hàng điểm trên

xa’ và yw, hơn nữa các điểm D,E

chính là các điểm giới hạn 7, j' trên

hai hàng, Do đó theo định lí

nếu chon các điểm D, E theo thứ tự

làm gốc tọa độ trên hai trục thì ta có

: không đổi

định & ta xét trường hợp đặc biệt khi A7 trùng Ó thì NV cũng trùng

Ó do đó ta có k Ø.EO ab, không đổi b) Chọn điểm Ø làm gốc chung cho hai trục, từ hệ thức ĐÃ.EN = —ab ta có

(DO + OM)(EO + ON) = —ab

© DƠ.ON + EO.OM = OM.ON

Chia hai về đẳng thức trên cho AT

b) Chứng mình tương tự trong lời giải xạ ảnh

Vi du 2.2.7 (THTT, bài T5/291, 1996) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O Một đường thẳng | thay đổi ludn di qua O, cit tia CB, ede canh

AC, AB lần lượt tại M, N,P Chứng mình rằng biểu thức sau không phụ thuộc

tị trí của L:

AB AC BC PA.PB + NA.NC_ MB.MC

Lời giải sơ cấp có thể tìm thấy ở số báo nói trên, sau đây là lời giải xạ

anh: Loi giải Qua ÓØ kế các đường thắng ##,G71,1K lần lượt song song với

ĐŒ,CA, AB, tạo thành các hình bình hành BEOG,CKOF, AHOIT Vi O la

tam đường tròn nội tiếp tam giác 4 BC nên đó là các hình thoi Dat m = OF =

OG = BG.n = O1 = OF.p= OH = OI

Hoàn toàn tương tự như ví dụ Ð.2.6| bằng cách xét ba ánh xạ xạ ảnh trên

các đường thẳng tương ứng một cách thích hợp ta chứng minh được các đẳng

Cộng các đẳng thức trên về theo về ta dude (2-1)

Trường hợp đặc biệt nếu tam giác 4BC là tam giác đều có cạnh bằng a thi

P từu Ú chạy trên (O), AP,ỚP lần lượt cắt d tại M va N Goi BE, F lan lượt là

giao điểm của duới BC, AD Chứng mình rằng EN.FM là một hằng số

Hình 2.13

9) Lời sơ cấp Xét hai tam gidc ENC va FAM tacé E

PAB Do đó hai tam giác này đồng dạng Tit d6 ta duge EN

không đổi

,0=M =

=-EO.FA

Ví dụ 2.2.9 Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng d tiếp xúc uới (O) tại điểm A Một điểm P thay đổi trên (O) Giả sử PB, PC cắt

d tai M,N Céc duéng tron (PMC) va (PNB) cit d lan lượt tại I, J Chứng minh rang

Trên đường thẳng ở chọn chiều của 4Ï làm chiều dương Xét ánh xạ ƒ : đ— d.M — N, dễ thấy ƒ là song ánh, hơn nữa các hình trong phép dựng xác định cặp điểm tương ứng A/, Ý' 1s những đường đại số Do đó theo định lí I.2.9|thì ƒ là một phép biến hình xạ ảnh trên đ, hơn nữa ƒ cht có một điểm bat động duy nhất là 4 nên nó là phép biến hình loại parabolic

a) Goi K,L lần lượt là giao điểm của Œ7, 87 với (O) Ta chứng mình được CL//BK //a Do vay 7,7 là hai điểm giới hạn của ƒ trên ở Từ đó nếu ta chọn

àm gốc tọa độ trên hai hàng (cùng giá) của đ thì theo định Ií[1 ta có

JM = k, khong Để xác định * ta xét trường hợp đặc biệt, Aƒ = 4 khi

9) Lời giải sơ cấp

a) Ta kiểm tra được hai tam giác 7

IC.JB = IƠ.TN = IA? Suy re

b) Theo câu trên ta cé IN.JM = —TA’ Suy ra

M va dé ¥ TA = —JA ta duge

= AT, Ngoài ra đễ thấy hai tam giác ATŒ và B.AC đồng dạng,

33

8) Chứng mánh rằng khí P chuuến động trên (O) thà ta luôn có

Tài giải Trên dường thẳng (4B) chọn hướng của AB Ia hướng dương Theo

dấu hiệu nhận biết về ánh xạ xa ảnh thì ánh xạ ƒ : (48) —: (AB), M — N

là mật phép biến hình trên (4/), hơn nữa có 4, ở là hai điểm kép thực Vậy ƒ

là phép biến hình loại hybebolic

1) Lời giải xạ ảnh, a) VÌ f(A) — A, f(B) — By f(M) — N nen (ARMIN) —

k, khong đổi Do dé ta cé (ABMN) — (ABool) Suy ra

b) Vì ƒ: (AB) —> (AB), AI — Ä là phép biến hình có hai d điểm giới hạn

la I J(f(co) =I f(J) oo) nên theo dinh

eliptic, parabolie uà hạụbebolic trên đường thẳng khả rét các uị trí tương đối của

đường thăng d uà đường tròn (O) Trong đó, vi dụ 2.2.10, cau a) chinh la noi

dung ctia bo dé Haruki Con vi dụ |2.2.9 là trường hợp đặc biét ctia|2.2.10 khi

A=B

i) Kết luận của bổ đề Haruki uẫn còn đúng nếu ta thay đường tròn (O) bởi

mot co (cem "Haruki's Lemma for Conics", Yaroslav Bezverkhnyev, Forum

Geometricorum, Volume 8 (2008) 141-145)

35

ii) Néu diém P thỏa mãn đồng thời thà tứ giác ABŒD nội

được, có thể sử dung bat dang thite Ptolemy để chứng minh (xem "Harul

lemma and a related locus problem", Y Bezverkhynev, Forum Geom., 8 (2008) 63-72)

s

Vi du 2.2.11 (A tr 132]) Qua diém C nam trong duéng tròn (O) kẽ ba dãy

ACB, MCN, PCQ sao cho AB cắt NP,MQ ở D,E thì D thuộc AC, E thuộc

Vay C là trung điểm DE „

Cách 2: Giả sử 4Ø cắt đường thẳng (vô tận) A tại " Xét phép biến hình đối

36

Hình 2.17

hợp ƒ : (AB) —¬ (AB) xác định bởi quan hệ chia điều hòa cặp điểm C, F Khi

đó theo giả thiết ta có

F(C) = ©, f(A) = B, f(B) = ASF) =

Mặt khác theo định lí Desargues thứ hai thì đường thẳng (44) cắt ba cặp đường

thang (MN, PQ) (MP NQ).(MQ NP) cia tit điểm A7N PQ và cắt đường bậc hai đi qua bén diém M,N, P,Q theo bốn cặp điểm tương ứng trong cùng một liên hệ đối hợp Rõ ràng liên hệ đối hợp này trùng với ƒ vì chúng có chung hai cặp điểm tông ứng Do đó D,E và 4, cùng chia điều hòa cặp C,F Vay

& AC.BC.CE + CD.BC.CE = AC.BC.DC + AC.DC.CE

Chia hai vé cho AC.DC.BC.EC ta cé diéu can chimg minh

8) Lời giải sở cấp:

37

a) Cách 1: Vẽ A/'N! đối xứng với A7W qua OC (hinh [2.16) Nói DM' ta

chứng minh ACM'D = ACME That vay ta có CM = CM’, Đi = Cy Vì

N!//AB nên N= = Ci Tit Tit dé VSUY Tả tứ giác PDƠAW' nội tiếp, và do đó dé

đằng chứng mình được DM'C = = EMC Tom lai ta cé ACM'D = ACME Tit

đó suy ra C 1a trung điểm DE

Cách 2: Giải tương tự cách 4 của lời giải xạ ảnh ở trên

Nhận xét 2.2.4 Hài toán con bướm có nhiều cách giải, trong đó ngoài cách

in dụng chưa hết kết quả của định Desargues thứ hai Giả sit MP ig bo dé Haruki ta quan tâm cách thứ ba trong lời giải xa ảnh d

va NQ cắt đường thẳng AB lần lượt tại S,T thà cặp S,T ig cha điều hòa

cap C.F Ngoai ra mỗi d 1C có thể em là một cặp điểm tương ứng trùng

nhau Từ đó ta có thể phát biểu bài toán cơn bướm dạng tổng quát như sau:

Bài toán 2.2.11 Cho hai đường thẳng d uà A Một đường cong bậc hai (C)

di qua bốn điểm 4, B,C, D Đường thẳng d cắt A tại F, cắt (C) tại M, AM" va

cắt các cặp đường thẳng (AB,ŒCD) (AC, BD) (AD, BC) theo thứ tự tại các cặp

điểm (N, N!) (PP) (Q.@) Gọi E là một điểm bất kỳ trên d Khi đó trong

(EF) thi hai cặp điểm còn lại cũng chia điều hòa cặp (E, F)

Bài toán 2.2.11' Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Giả sử

AD cắt BC tại E tà đường thẳng d uuông góc uới OE cắt các đường thắng

AC, BD, AB,CD lan lượt tại M,N,P,Q Chứng mình rằng E là trung điểm

của MA va PQ

Hời giải Trong bài toán trên, hai cặp điểm chia điều hòa cặp Z, F chính là

E, E va hai giao điểm (ảo) của ở với (O) Bây giờ để giải bài toán ta xét trường,

hợp đường thẳng đ không có điểm chung với (Ø) (các trường hợp khác chứng mình tương tự) và chỉ chứng minh Z là trung điểm MN (viée chứng minh # là trung điểm PQ là tương tự)

Cach 1: Ndi OM, ON, vé OH, OK lan lượt vuông góc với 8D, AC tại 7!, K

Khi đó vì các tứ giác EOHN và EKOAM nội tiếp nên ta lần lượt có

38

.a

Hình 2.18

ape Z Fs 5 3 a EA BaP ED

Dễ thấy hai tam giác BBD va EAC đồng dang nén EDH = ECK va sna

EC * 9 a

2E từ đó suy ra hai tam gide EHD va EKC dong dang, do dé

Từ (Ð.5) và ta được EON = EOM Từ đó suy ra EM = EN

Cách 2: Gọi #, L lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (AC, BD),

(AB,CD) và gọi I, J theo thứ tự là các giao điểm của #L với 4D, BƠ Xét

tứ giác toàn phần bởi bốn đường thẳng 4, CD 4D, BC, theo tính chất của tứ giác toàn phần và tính bảo toàn tỷ số kép của chùm qua phép cắt, ta

có (ADTE) = (BCJE) = —1 Suy ra (RA, RD RI, RE) = —1 Do đó các giao điểm của chùm #(RA, RD, R1, RE) với đường thắng d lập thành hàng điểm điều hòa Mặt khác #L là đường đối cực của # nên #L.LOE, suy ra RL//d Từ

đó d bị các đường thẳng RA, RD, RE chan thanh hai doan thang bằng nhau,

đ lần lượt tại M, N Chứng mảnh E là trung điểm MA