Luận văn tái chuẩn hóa và phép toán r trong Điện Động lực học lượng tử

MỞ ĐẢU Những thành tựu của điên đông lực học lượng tử Quantum Electrodynamics- QED dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biển với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tíc

DAI HOC QUOC GIA HA NOI TRUONG DAI HOC KHOA HOC TỰ NHIÊN

TAI CITUAN HÓA VÀ PHÉP TOÁN R

'TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THAC SI KHOA HOC

HaNội Năm 2015

TRUONG BAT HOC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phạm Tiến Dự

TẢI CHUẨN HÓA VÀ PHÉP TOÁN R

TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA Hoc:

Œ8.1SKH Nguyễn Xuan Lan

Tà Nội — Nam 2015

Đầu tiên, tôi xia gửi lời cảm ơn chân thánh và sảu sắc tới thầy giảo,

GS.TSKH.Nguyễn Xuân ITãn, là người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi dễ tôi có thể hoàn thành luận vẫn này, cũng như dã giúp dỡ tôi trong suốt thời gian

“học tập tại trường,

'Tôi cũng xin gửi lời cắm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cổ giáo và toàn

thể cân bộ bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng cứng như khoa Vật lý nói chưng, những ugudi di luôn tận lình dạy bảo, giúp dỡ và động viên cho tôi Tôi cũng xin gửi lời cản:

ơn tới các bạn trong bộ môn đã đóng góp, thão luận vả trao đổi ý kiến khoa học quý

‘bau để Lôi có thể hoàn thánh luận văn này

De thời gian và kiến thức côn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những, thiểu sót, rất mong nhận dược sự chỉ báo, góp ý của quý thấy cô và các bạn

Một lần nữa, tôi xin chân thành cắm on |

Hà Nội ngày tháng năm 2015

Học viên

Phạm Tiền Dự

Chương 1 — ĐẠI CƯƠNG VE TAI CHUAN HOA

1.1 Sma tran

1.1.1 Các điều kiện cho S- ma tran

1.1.2 Xée dinh S- ma tran

1.2 Quy tac Feynman va các giãn đỏ phân ký bậc thấp trong QHD

1.2.1 Khai triển S- ma trận về đạng N- tích

1.2.2 Quy tác Feynman trong QED

1.2.3 Hậc hội tụ của các gián đồ leynman bene Chuong 2— TACH PHAN KY TRONG GIAN ĐỒ MỘT VÒNG

2.1 Giãn 46 nang luong niéng cia electron Z

2.2 Gian dé phan eye photon

2.3 Gidn dé mat vorys bac ba

2.4 So sánh bản phương pháp khứ phân kỳ

Chương 3 TAL CUUAN LIGA VÀ PHÚP TOÁN R

3.1 Tái chuẩn hóa

Bang 1: Qui tắc Feynman trong QED 22 Bang 2: Các gián đề phân kỳ bậc thấp nhất trong QED 29

Bảng 3: So sánh phần phân kỳ thu được bằng các phương pháp khử phân

Bang 4 Quy 14c Feynman cho ly thuyét QED tái chuẩn hóa 58

Giản dé ning lượng riêng cia electron

Giản đồ năng lượng riêng của photon

Giản đồ dinh bậc 3

Quá trình lân xạ ánh sảng — ánh sang

Giản dễ năng lượng riêng của electron

Giản đồ phân cue photon

Giản đồ một vòng bậc ba

1iàm truyền toàn phần của eÌleCHGN cục co ác cà nà ttt vere

Bỗ chính bậc thấp nhat cia IPI cho electron

Bồ chính bậc thắp nhất cho IPT của phoeH

MỞ ĐẢU

Những thành tựu của điên đông lực học lượng tử (Quantum

Electrodynamics- QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biển với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá

trình vật lý phủ hợp khá tốt với số liệu thu dược tử thực nghiệm, với độ chính

áo đến bậc bất kỳ thao hằng số tương tác thoo lý thuyết nhiễu loạn a— - mm z

[10] Trong các lý thuyết trường tương tác thì QEI2 là lý thuyết được xây dựng

hoàn chính nhất Mô phỏng các phương pháp tính toán của các quá trình vật lý

trong QEL người ta có thế xây dựng công cụ tính toán cho Sắc động học lượng tur (Quantum Chromodynamics- QCD) lý thuyét tương tác giữa các hạt quark-

gluon, tong tác yếu hay các lý thuyết thống nhất cáo dạng tương tác — như lý

thuyết điện yếu và tương tác mạnh - và được gọi là mô hình chuẩn

Việc tỉnh các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp của lý

thuyết nhiễu loạn hiệp biển (các gián đỗ cây Fcynman, không chứa vòng kín ) lá

không gặp các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bể chính lượng tử bậc cao chơ

kết quả thu được, ta gặp phải các tích phân phân kỳ ở vửng xung lượng lớn của

các hạt ảo, tương ứng với các giản dồ Feynman có vòng kín của hạt ảo Các gián

dé nay diễn tả sự #&ơng tác của hạt với chân không vật l} của các trường tham

gia Luong lac va quan niệm hạt điểm không có kích thước cũng như không có

thể tích

Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân phân kỷ phải tiên hành theo cách tính toán như thé nao? Phin phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được

giải thích vật lý ra sao? Đỏ phần phân kỳ vào dâu để có kết quả thu được cho quá trình vật lý là hữu hạn Lưu ý, việc loại bé phân kỷ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ trọng yêu của vật lý lý thuyết kế từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cửu , tìm hiểu và giải quyết

Ý tưởng tái chuẩn hóa — pộp phần phần kỳ vào diện tích hay khối lượng, của

electron đầu tiên được Kraumer — Bethe, sau được các tác giả Schwinger

Feynman Tomonaga hiện thực hóa trong QED Cách xây dựng chung S-ma tran

và phân loại các phân kỳ thuộc Lyson Cách chứng minh tổng quát sự triệt tiêu

phan ky trong cáo số hang được tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn do

Bogaliubov — Parasyk tiến hành Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa diện

tích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trong tính

toán, kết quả ta thu dược là hữu hạn cho các biểu thức dặc trưng cho tương tác (

bao gồm tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống, của hạt) Khi so sánh với thực nghiệm kết quả thu được, khá phủ hợp với số liệu thực nghiệm Lý

thuyết trường lượng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc

trưng của các quá trình vật lý, được gọi là šÿ thuy& tái chuẩn hoá Các phương

pháp khử phân kỷ thông dụng trong lý thuyết trường hiện nay bao gồm: phương

pháp cắt xung lượng lớn, phương pháp Pauli Villars, phương pháp chỉnh thứ

nguyễn, và phương pháp R- toán tir do N.N Bogoliubov khởi xướng,

Tiếp nỗi khóa luận tối nghiệp đại học: “ Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và

các phương pháp khử phân kỳ trong mô hình 4°”, ta tiếp tuc nghiên cứu cho

điện động lực học lượng tử Trong khóa luận tốt nghiệp, chủng ta đã xem xét đến

ba phương pháp khử phần ky đầu tiên và ở đây chúng ta sé xcm xét đến phương

pháp khử phân kỷ cuỗi củng sử dụng phép làm đều của Boguliubov và toán tử

R

Afạc dích của luận văn này là chỉ ra ÿ nghĩa của việc tải chuẩn hóa, sử

dụng phép làm đều của Bogoliubov để tách các giản dé phân kỳ thành hai phần

hữu hạn và phân kỳ Cuấi cùng tái chuẩn hóa trong gần đúng một vòng và sử

dụng phép toán R để khử phân kỷ cho trưởng hợp ting quát

Luan vin bao pằm phần mở dầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu tham

khảo và một số phụ lục

Chương L Giới thiệu chung về lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong

mục 1.1 giới thiệu 8-ma trận và các điều kiện của nó, từ đó chỉ ra rằng các kỳ đị

trong lý thuyết trường xuất hiện là do sự bất định của †' — tích khi thời gian chập

nhau Mục 1.2 trình bầy vắn tắt việc xây dựng các giản đồ Teynman và Lổng kết

quy tic Feynman cho QED ‘liép theo đó là xem xét bậc hội tụ của các giản đồ

Feynman, từ đỏ chỉ ra ba giản để phân kỳ cơ bản nhất của QED

Chương 2 Xem xét chỉ tiết ba giản đồ phân kỳ đã đưa ra ở chương 1, từ

dó tách các tích phân tương ứng thánh hai phần: phần hữu hạn và phần phân kỳ,

bằng phương pháp làm đều của Bogoliubov Chỉ tiết được trình bầy trong các

mục: 2.1 lả giản dồ năng lượng riêng của clcctron, 2.2 là giăn đỗ phân cực chân

không của phơton và 2.3 là gián đỗ dinh bậc ba Cuỗi củng trong mục 2.4 chúng

†a sẽ so sánh bến phương pháp khử phân kỳ là : Cắt xung lượng lớn; Pauli-

Villars: Điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp lam déu Bogoluibov

Chương 3 Từ kết quả trong chương 2, ta xây dựng lý thuyết tải chuẩn

hóa cho QED Mục 3.1 đành cho việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng trong

QED cha gần đúng một vòng; Mục 3.2 chúng la sẽ đưa ra phén toán R để khử

phân kỳ dựa trên kết quả trong chương Ì về sự bắt định của TT - tích.

Phần kết luận liệt kế các kết quả thu được trong Bản khóa luận và tháo luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường,

Tương tự

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử #——1

va metric gid Kuclide (metric Feynman-hay metric Bogoliubov) tit c;

thành phần véctơ 4-chiéu ta chọn lả thực A=(4.4) gồm một thánh phần thời

gian và các thành phần không gian, các chỉ số a=(0.1.2,3), và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4-chiều và ký hiệu các thánh phần này

1.0 0 0) a-1 0 0

0 0 0-1 Chu ¥, tensor metric la tensor déixtmg g,,—g,, Va x,, =<" Thanh phan eda

véc tơ hiệp biến được xác định bằng cách sau:

Các chỉ số TIy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3

Ky hiệu tương đồng được sử dụng trong luận văn: ø =ô= p„z“

CHƯƠNG 1

ĐẠI CƯƠNG VẺ TÁI CHUÄN HÓA

Trong khỏa luận ]3|, chúng ta đã trình bầy phương pháp xây dựng lý

thuyết nhiễu loạn hiệp biến từ S- ma trận đến các giản dé Feynman cho tương tác đơn giản ø*, song cầu trúc và hình thức luận của lý thuyết sẽ có “mặt tương tự”

trong QED, va QCD Trong chương này, bằng một cách tiếp cận khác, chủng ta

sẽ xem xét: các điều kiện để xác định 3-ma trận, từ đé lý giải tại sao lại xuất hiện

các phân kỳ trong lý thuyết, trình bầy quy Lắc Fcynman và xác định bậc hội tụ của các giản đỗ trong QED

1.1 §-ma trận

Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yêu tổ

cla S —ma trận lần xạ Ma trận tán xạ được định nghĩa như sau:

Trong đó á( ©) 1a bién dé trang thai ban dau con (<0) 1a bién dO trang thdi cudi

cùng của hệ

Ngoài ra người ta còn đưa vào hàm g(x) với các giá trị số nằm trong

khoảng 0<g(x)<1 để mê tả cường độ tương tác Lúc g(x)—1, tương tác được

mở hết cường đô Như vậy ¿(x)g(x) là Lagrangian tương Lắc được đưa vào với

cường độ ø(x) Với hàm g(x) chúng ta có

Vai g—9( =)

rong cac truéng hop thuong ding S=S(1)

1.1.1 Các diều kiện cho S- ma trin

Dé cé duge sw chit ché vé mit todn hoc cũng như phủ hợp với các qui luật

của tự nhiên, trong ly thuyết nhiều loạn hiệp biến, §5- ma trận được đòi hồi phải

thöa mãn một số diều kiện

a) Điều kiện hiệp biển

Dưới phép bién déi Lorentz L

b) Điều kiện unita

Vĩ bão toàn chuẩn (norm) cua hàm sóng

#(8)#(2)~##

Nên tạ có

¢) Diều kiện nhân quá

Ching ta phái bảo đảm rằng điều kiện nhân quả được thỏa mân, nghĩa là bất kỳ

kiến cố nào xây ra trong Lương lắc cũng chỉ có ảnh hướng dến các quá trình diễn

Ta sau nó Dễ thu được công thức tường minh của điều kiện nhân quả, ta sẽ xem

xét trường hợp khi không thời gian giới hạn bởi miễn G, trong đó xác định hàm gz0 có thể được chia thành hai miền riêng rẽ G, và Œ, mà toàn bộ các diễm của

G nằm trong quá khử so với thời điểm r~— z và G thì nằm hoàn loàn trong tương

lai sơ với thời điểm đó

Tình 1.1 Miễn nhân quả

Vi thé trong trường hợp này ta có thể biểu diễn

“(x)= (xì! m(x) q3

Trong dó œ #0 chỉ trong G, và ø #0 chỉ trong G

Tại thời điểm z có thể xác định một trạng thái được đặc trưng bởi biên độ @,,

do điều kiện nhân quả sẽ không phụ thuộc vảo tương tác trong 6, và có thể viết

(ký hiệu G, >G, ở đây là điều kiện tất cả các điểm trong G, là tại thời gian muộn

hơn các diém trong G.)

Chủ ý, xa hơn, nếu G[ G, nghĩa là tất cả các điểm của hai miễn có liên hệ không

gian gần gũi và vi thể thứ tự thời gian của các miễn có thể bị thay đổi bằng một

phép biển đổi Lorentz thì đễ od

SẮm -ø:)=8#(m.)#(&)=#()8(4,) nếu G.T1G, a.)

Bay gidi ta xem xét dén dang vi phan cia diéu kién nhan qua Xem xét hai

trường hợp khác nhau giữa dạng của sự tương tác trong Œ, vả thứ được mê tả

bằng hàm tương tự trong G,:

#(x)—e'(x)+a.(>), ø”(x)~ gi(x)+a.() (1.10)

(dao ham của hàm cường độ theo thời gian từ thời gian z trở di thì đóng góp

của g, không đối }

Và S*(g, | 8,)-S°(2,)S*(a,) VOI G > G,

G1)

To đó

S(')8(z)=§(42)5(8)8(s,)Š(6)=9(e1)9(6:) (1.12) ( do điều kiện unita của § ma trận.)

Vì vậy S(g")3(ø') không còn phụ thuộc vào dạng cúa ø rong muễn ở, Nó dẫn đến sự phụ thuộc vào trạng thái của hệ trước thời gián z chứa trong #(g") là bị

triệt tiêu bởi phần trương ứng trong S(g) Vì thế trong trường hợp tổng quát hơn,

ta sẽ chấp nhận công thức thco sau của điều kiện nhân quả

Néu hai ham g"(x), g'(x) xây ra dồng thời với 2” <r ( thời gian dịch

xáo), thế thì tích #()5( ø') không phải phụ thuộc vào sự biển thiên đồng

thời của g', g' bởi giá trị tương tự trong miễn x°<z

Nếu ta đặt g{y)— e(x) và g'(y)—e(y)+2g(y), ở đó ðg(») là biến phân của

hảm gnhận gid trị khác không chỉ khi y" >z, thi ma trận S(g") có thể biểu diễn thành:

646: as(e)- J T5 Fagot 019

10

Và: - S(”)5(g)=5(ø)Š(ø)1 29(0)5()=1t #5(8)5() q19

không phụ thuộc vảo trang thái của hảm g với x” <¿<y"

IDựa vào biến đổi đạo hàm ta có thể thu được điều kiện nhân quá như là điều kiện

biểu thức:

35(s) Sa(y)

1 (ysa)- 18) s(2) (1.16)

La độc lập với hàm g(x) tại các điểm x< y Biến đổi tương tự, ta cũng có toán

tử nảy cũng có tỉnh chất tương tự cá trong trường hợp + | +

Vì thể cỏ thể chứng minh được rằng diều kiện nhân quá có đạng vi phân sau

ð_ (4%(ø)

5ø(x)| 2g)

ky higu x¢y cé nghia 1A x’ <y<y? va x1» có nghĩa là các điểm x vả y cách nhau một khoảng đẳng dang khéng gian

Điều kiện nhân qua buộc rằng sự cỗ xây ra cho hệ chí có ảnh hưởng đến

tiến trình của hệ trong tương lai mà không thể ảnh hưởng đến hành vi trong,

Ký hiệu xx y có nghĩa là x" " và x[l y có nghĩa là các diễm + và y

cách nhau một khoảng đồng dạng không gian

il

1.1.2 Xác định dạng của §- ma Lrận

Như đã dưa ra ở trên, ma trận tán xa cần thỏa mãn ba điều kiện: umta, hiệp

biến và nhân quả Các điều kiện đỏ đảm bảo cho ly thuyết của ta là bảo toàn

chuẩn, bất biến Lorentz và hợp với luật nhân quả tự nhiên Các điều kiện này,

đặc biết là diều kiện nhân quả sẽ ảnh hưởng dến việc xác dịnh đạng của 8- ma

trận Trong phần nay, chúng ta sẽ xem xét dạng của 5- ma trận khi kể đến điều

kiện nhân quả

Có thể chứng mình được rằng S- ma tran gỏ dạng,

Trong đỏ 7 là toán từ T-tch tức toàn Lử xắp đặt thời gian các điểm từ lớn đến

nhỏ

Dem phan tich (1.19) thanh day ta co:

Sa)“ Drees) T(x,))ø(x) e(x,)®4 dị, (1.20)

Chủ ý rằng ở đây dé don giấn hỏa biểu thức ta đã dồng nhất ký hiệu:

Lay ví dụ trường hợp bậc ba:

8;(x,%,z)=ŸT(L(x)L0)EG)) LÚT (LG)A 0 ,z}) L7 (E@)A,

5(4)=1: DEPTL) Ls, pa eC, ee,

HH DE YS (5 8,) at }a(e ) es, (1.30)

Ta sé thay thế biểu thức của S ma trận bên trên vào ba điều kiện hiệp biến, unita

và nhân quả Trước tiên chú ý rằng nếu hai toán tử gợi là multi-local thì chúng,

giao hoán với nhau Mà ở đây ta cé:

Có nghĩa là nếu hai ham g, va g, là xác dinh trong hai miễn không gian mả tất

cá các điểm thuộc miễn này thi déng dạng không gian ( spacclikc) với miền kia thì hai toán tử S(g,) va S(g,) là giao hoán với nhau Đây là một tính chất rất

quan trong,

Điễu kiện hiệp biển cho ta

Điêu kiện unita cho ta liên hệ phi tuyến:

( Nhóm các số hạng cùng bậc trong tích #(z)Š(a)—L và đồng nhất hai về dẫn

dến tất gả các bậc lớn hơn một đều triệt tiểu )

%(x,sx,) 1 Balen) | TP Gh Save ts) 8 Beet

Sáo 5, )~0 (1.33)

14

Cuối cùng điều kiện nhân quả khi viết lại dưới dang khai triển chuỗi của toán tử

#1(y,g) mà nó không phụ thuộc vào g(x) cho tất cả các điểm x<+y Ta GỖ:

Thay thé bidu thitc cia S ma tran vao ta déng nhit cdc bac theo tich phan theo

a(a) 2(s,Jax ds, (coi là bậu n)

8(x,x„ )=11 JSC )elades | FJ Sem )alm ele }ends, ban 13?

Lay biến phân:

Đây chỉnh là dạng của 8 ma trận dựa trên diễu kiện nhân quả

Định nghĩa lại với lưu ý loại trừ diểm x— y ta có

16

Có thể thấy với trường hợp x— y biểu thức của #, không được xác định theo

mới liên hệ truy hồi Vì thế cho nên để xét được trong tất cả các trường hợp ta cẦn đưa thêm vào một toán tử

Với A,(x,y}-0 khi xz+ y gọi là quasi-local ( giả định sứ)

Bang cach st đựng mối liên hệ truy hỏi ta cũng thu nhận được dạng của các bậc

tiếp theo Ví dụ như bậc 3, ứng với ä—2:

FE 5%) 028 (ys 2) |S, ( PIS Gsox) 18, 05xi l8 Gó) 8, (6x) (4)~8

q48)

1;(#w,z)— PƑ(L(x)ÐG)eG))+Èr(UL)A0s>))+£r(L(y)A:(:z)]+

L7 (L(G)A,(x,y)) LiA:(x,>.z) q49

Một cách tổng quát hóa thi #, chỉ chứa số hạng là T-tích của tất cả các lagrange,

các tích của laprange với toản tử A,„, tại các diễm còn lại và cuối cùng là số hạng giả định sử bậc n

5, (BJ PT (E(m L(%) 2%, + [YP EA Aa Aa PIA (Xe oh)

(1.50)

wy yo

3 ta st

So sánh ngược lại với công thức bidu dign dang ham mii: S(g)— Te!

thu được dạng thay thé của ham Lagrange

1(x)>t-(>xg)~ r{x)g(]=

HEAP Man on ebele) (0a )dy de, 5D

Như vậy, sự tính toán trong lý thuyết trường, do điều kiện nhân quả mà

chỉ chính xác đến một toán tử hermiuc, giả định xứ Điều này lý giải cho việc vì

sao các tính toán sau này cho các giản dé Feynman xuất hiện các phân kỷ trong,

các giản đỗ vòng Và cũng chỉ ra sự chặt chế về mặt toán học cho việc khử đi các

phân kỳ đó bằng cách tái chuẩn hóa khối lượng và điện Lích

1⁄2 Quy tắc Feynman và các giăn đồ phân kỳ bậc thấp trung QED

Ta tam thời không xét dến các thành phần chứa các toán tử giã dinh xứ ở

trên, và xem như chúng chỉ với ý nghĩa toán học Như đã biết trong lý thuyết

trường, sau khi tu được S-ma tran dudi dang các T-tích, ta sẽ sử dụng cách định

ly Wick dé đưa chúng về dạng tích chuẩn Các số hạng thu được sẽ được tương

ứng với các giản đồ Teynman theo qui tic: cdc ham trường ty do cho lương img các dường ngoài; các tích liên kết cho tương ứng các dường trong hiên kết giữa

hai điểm

1.2.1 Khai triển S-ma trận về dạng N- tích

Nhu ching ta di biết, khi viết 7 dưới dang N- tich thì

Diễu đó có nghĩa là trị số trung bình của 7 đối với chân không bằng

không và như thế loại trừ được vấn đề năng lượng chân không

Theo định nghĩa của T-tch:

18

4, (x, Jety (x)= (O|T (ze, (x, Jez, (x, ))]0) là tích liên kết còn ký hiệu ": :” là tích chuẩn

Ta xét trong QED, voi L(x) N(I*G).4,0)) - (FOO YO), CD)

wis)" ws) BO) VLD) Paws) BVO)

Các số hạng của biểu thức sẽ tương ứng với các giản dễ sau dây

Tình 1.2 : Giản đồ Feymman bậc hai

Tương Lự, xét với bậc ba, ta có

SH =e) TEP) YA) FOP VINA): FEY EA)

Hình 1.3 : Giản đồ Heynman bac ba

Ở đây ta đã gdp cdc giản đỗ có chưng dạng vào chung một giản đổ Dé cho đóng, góp chính xác của mỗi giản đỗ trên vào yêu tố ma trận, ta nhải thêm vào mỗi

giản dé dé thiva ss“ voi ø lä hệ số đối xứng của giản dễ được cho bởi công

thức :

wi

Với g 1asé hodn vị của đỉnh không lam thay đổi giản đồ với các đường ngoài

xác dịnh ø, là số cặp dink néi với nhau bởi ø dường giống nhau Lự liền hợp, Ø

là số đường nói đỉnh với chỉnh nó

Ví dụ với giản đề

"Hình 1.4: Giản dỗ một vòng của photon

Ta gĩ g—1;3„—l;ậ—2 và #—0 nên $—2

Sau khi thu được các giản đồ ta cĩ thể thu được ngay biểu thức của biên

độ tân xạ tương ứng với các giản đồ mà khơng cần biến đổi từ các yếu tố ma trận

bằng cách sử dung qui tic Feynman

1.2.2 Quy tac Feynman trong QED

Để thuận tiện cho việc sử dụng, đối với mỗi một loại tương tác, người ta

đều xây đựng qui tắc Feynman cho nĩ Như vậy thay vì phải tỉnh tốn từ 5-ma

trận, ta chỉ cần sử dụng qui tic Feynman 1a 06 thé thu duoc ngay biểu thức tương

ng với các giản đơ Ĩ đây, chúng ta sẽ đưa ra qui the Feynman cho ly thuyết

điện động lực học lượng tử, tương ứng mỗi yếu tố giản đồ với một thừa số của

Photon ở trạng thái đầu RAR

* Thira sé spinor được viết từ trải qua phải khi di ngược chiều dường

fermion Thứ tự này là cực kỳ quan trọng do nó là tích của các ma trận

tương ứng với các thừa số

œ- Với tất cả các vòng kín với xung lượng & ta phải lấy tích phân theo xung

lượng đó [đ'*/(2z)` Nó tương ứng được thêm vào trong biên độ

® Với các vòng kín fernnion ta phải lay vết và nhân thém nhin ti -1 voi mai

vòng

®- Nếu hai giản đỗ khác nhau một số lẻ các giao điểm fermion thì chúng phải khác đầu

Sau khi áp dụng qui tắc Feynman va thu được các biểu thức của biển độ

Feynman là các tích phân bốn chiều trong không gian xung lượng Do đã nói ở

kề ụ

trên, các tinh toán của ta chỉ cho chính xác dến một toán tử giá định sứ, nên không phải tích phân nào thu được cũng là hữu hạn mà một số chứa các kỳ dị

1.2.3 Bậc hội tụ của các giản dé Feynman

Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét sự phân kỳ của các giản đồ về mặt toán

học, từ đó xác định loại phân kỳ vả bậc phân kỳ của chúng Khi tính toán các

giản đồ Feynman (trong biểu diễn xưng lượng), theo qui tắc chung chúng ta phải

lây tích phân theo tật cả các đường xung lượng trong của giản đổ Tắt cả các tích

phân này đều cỏ dạng,

1=ƒfbi.b, p,)đfp,d b,.ếTp (1.59)

trong dé: F(p,,p,, p,) là hảm hữu tí vả là tỉ số của hai đa thức: n là số đường

xung lượng trong Tương ứng với mỗi dường xung lượng trong của Ítrmion-

Ta gọi E, : số đường xung lượng trong của electron

®,- số dường xung lượng ngoài của clcctron

F,: số đường xung lượng trong của photon

1, số đường xung lượng ngoài của photon

v : số đỉnh

Trong mỗi vỏng kin (loop) các dường xung lượng trong, số các đường trong

bằng số đỉnh: n= v, đồng thời lưu ý hai điểm sau

+ Mỗi dinh tương ửng với 1 đường photon, như vậy số dĩnh bằng tổng số dường,

photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó nổi

với hai đỉnh:

+ Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung luong electron, téng sé dinh bằng một

nửa số dường xung lượng cleetron

Số biển lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào

ra phải tuân theo dịnh luật bão toàn năng xung lượng Định luật nảy dược thể

hiện ở dạng của hàm đelta Theo tính chất của hàm delta : ]fŒ)8(p,)d'p- f(b,)

thi sé biên độc lập phải lây tích phân sẽ giãm xuống Nêu có n đường trong thì

s6 ham della chỉ chứa biển là các đường trong số là (n-1), và số biến số tiếp Lụo giảm di TỂng số dường trong là (F,+F,) Vậy số các biến dộc lập sẽ là

1 bậc luỹ thừa của mẫu sẽ lả :

Do § ~Ì và D ~

p

Thay (1.62) và (1.63) vào (1.64) và (1.65) ta thu dược

(1.66) (1.67)

Với K, là số biến độc lập, K, là bậc của mẫu, ta có thể viết dịnh tính

ap

Je Por (1.68) 1.68 Đưa vào tham số mới

+Nếu £ >0: tích phân nảy hội lu

+ Nếu <0 - tích phân này phân kỳ

dỗ Feynman tiéu bidu chira phan ky có dang cho đưới dây:

Hình 1.6 Giàn đồ năng lưựng

'tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên

Hinh 1.5: Số dường photon ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc

phân kỳ là: & ——I_» Phân ky tuyén tinh

Ilinh 1.6: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là: #—~2—= Phân kỳ bậc hai

Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường clcctron ngoài bằng 2, bậc

phân kỳ là: K—0_> Phân kỳ loạa

Hình 1.8: Số đường photơn ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là :—0= Phâm kỳ loga Yếu tố ma trận tương ứng với giản đồ

ie a

Gian dé [link 1.5 diễn tả sự tương lắc cla electron với các dao động

không (các thăng giáng ) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác

với chân không của trưởng điện từ Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng

riêng trường diện từ của clcctron ( hiệu ứng tự lương tác)

Giăn đồ Hình 1.6 điễn tá sự tương ác cúa phôtôn với chân không của

trường electron - positron - hay gọi là giản đổ năng lượng riêng của phôtôn

Giản để Hình 1.7 được gọi lả giản đồ đỉnh vả khi tỉnh toán giãn đồ này ta

cũng thu được biểu thức phân kỳ

Giản đồ Hình 1.8 diễn tả sự tương tác của phôiôn với chân không của

trường electron - positron - hay quá trình tán xạ của ảnh sáng - ánh sáng qua việc

sinh cặp electron - positron và sau đỏ lại hủy cặp này Dây là một quả trình vật ly

đặc biệt của diện động lực học lượng tứ chứng tôi không xem xét ở dây Nghiên

ctu qua trinh này chúng ta sẽ tính được những bố chính phi tuyển cho phương trình Maxwell Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ảnh sáng ánh

sáng, không tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell

Sô đường Số đường

xung lượng xung lượng,

Ví dụ Nhận xét photon N, electron N,

Giản đô chân không có

Giãn đồ năng lượng

- riêng của photon

nó hội tụ bất biến chuẩn

Tóm lại, trong các gián dỗ phân kỳ bậc thắp, rút gọn lại, La chỉ cần quan tâm dén

các giản đổ thử 2, 3 và 4

Như vậy, trong chương này chúng ta đã xây dựng được các biểu thức của

S$ — ma tran dựa trên các điều kiện của nó, chỉ ra rằng mọi tính toán trong lý thuyết sẽ chỉ chính xác dẫn một toản ti gid dinh sit, va vi thé các phân ky xuất

hiện trong lý thuyết khi không xem xét đến điều kiện đó là dễ hiểu Miột ý tưởng

s& nay sinh ở dây là ta có thể sử dụng các toán tử giá định sứ này dễ khử di các

phân kỳ, đây cũng chính là mục đích chính của luận văn Song song với đó,

chúng ta cũng đưa ra lý thuyết thông thường khí không xem xét đến điều kiện

nhân quả Chúng ta đã đưa ra cách xây dựng các giản đồ Feynman, qui tắc Feynman , xc dinh hé số đổi xứng cũng như bậc hội tụ cho các giản đề trong

QED Trong chương 2, La sé str dung phép lam déu Bogoliubov dé tách phần phân kỳ của các giản đồ đó

30

CHƯƠNG 2

TÁCH PHẦN KỲ TRONG GIẢN ĐỎ MỘT VÒNG

Trong chương 1, ta dã chỉ ra ba giản đồ đơn giãn chứa các phân kỷ trong

QED Trong chương nảy, chúng ia xem xét việc sử đụng phương pháp

Bogoliubov để tách oáo tích phân không hội tụ thành hai phần ( phần phan ky va

phần hữu hạn) của một số piãn dễ một vòng bậc thấp nhất của OBD Ta sẽ xem

xét lần lượt các giản đề: giản đồ năng lượng riêng của electron; giản đồ phân cực

photon và giản đỗ một vỏng bậc ha Phuong pháp Bogoliubov tương tự như

phương pháp của Pauli- Villars đã được trình bẩy trong [3] Chúng ta sẽ đưa vào

một (ham số vô cùng lớn 4ý, sau đó sẽ chuyển các tích phân phân kỳ thành một

tích phân tương ửng Sử dụng biểu diễn œ, sau đỏ áp dụng các tích phân Gauss

và các kỹ thuật tỉnh toán cuối củng chủng ta sẽ thu được các phân kỳ trong tích

phan ban dầu sẽ chuyển sang số hạng chita M

2.1 Gián đồ năng lượng riêng của electron >

Hình 2.1: Giản đồ năng lượng riêng cia electron

Giãn để này ứng với giắn dễ 1.5 trong chương 1, nó mỗ tá quá trình tương,

tác của một electron với chân không vật lý Quá trình tương tác này không làm

31

thay dổi năng lượng của hạt nên được gọi là giãn đồ năng lượng riểng của

electron Như đã biết, biển độ tán xa tương ứng với nó có phân kỳ tuyển tính

Ap dung qui tắc Feymann, ta có biên độ Feynman của sơ đỗ là:

Ba" (pk) — a bie Fie

Như đã biết, tích phân ở trên phân kỳ như |£'| Cần thiết phải làm đều (

xegularization ) hàm đó Theo phương pháp của Bogoliubov

Ở đây ta lấy một tham số A7 và hệ số tương ứng s——l Nếu lẫy gidi han Af se

thì các biểu thức sẽ trở về ban đầu Nên thay vi tính tích phân trong biểu thức ta

sẽ tính một tích phân thay thế rồi sau đó lấy giới hạn 4 »«

Ta só biểu thức của >(ø) được điều chỉnh thành biểu thức sau

x[4(2m—õ+£)sl£:t 4 (27)

Tích phân theo d& ở đây là một lich phần ho Gauss, chú y ring &- yk Ap

dụng tích phân Gauss sau đây:

Áp dụng các tích phân |A |, |B| và |C| vào tich phn then & trong (27) ta có

fete m—a+É) 4l?” SEÌ~ [2 (y4, +am— p) lemcee]

Ee Tag ene, im 9 mT), me] 2m(2„—— 8B

34