Luận văn một số thuật toán runge kutta với bước lưới thay Đổi giải một lớp phương trình vi phân Đại số

Các tác giả đã nghiên cứu chỉ số lạ của bài toán và đề xuất các thuật toán đưa bài toán PTVPĐS dạng 0.0.1 về dạng chính tắc không có tính lạ, sau đó áp dụng các công thức rời rạc hóa để

DAT HOC QUOC GIA HA NOT

TRUONG DAI HOC KHOA HOC TY NHIEN

Phan Quang Tuyén

MOT SO THUẬT TOÁN RUNGE - KUTTA VỚI

BƯỚC LƯỚI THAY ĐỔI GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2019

DALHOC QUOC GIA HA NOI TRUONG DAI HOC KHOA HOC TU NHIEN

Phan Quang Tuyén

MOT SỐ THUẬT TOÁN RUNGE - KUTTA VỚI

BƯỚC LƯỚI THAY ĐỔI GIẢI

MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8460112.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DÂN KHOA HỌC

PGS TSKH Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2019

LOI CAM ON

“Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc tới thầy giáo PŒS TSKH Vũ Hoàng Linh, người đã trực Hếp hướng

đân, chỉ dạy để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết on chân thành đến Khoa Toán- Cơ- Tin học,

Phòng Sau dại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội — Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như quý thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa cao học 2U17-

2019 đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin gửi lời âm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, các đồng nghiệp ở

Khoa khoa học cơ bản, Trường Sĩ quan Tháo binh, nơi tôi đang công tác, đã luôn

hổ trợ, động viên và tạo mọi diều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn này

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Duy Trường, giảng viên trường 5ĩ quan lục quân 1, cùng toàn thể bạn bè, anh chị ern lớp cao học 2017-

2019 đã động viên và giúp đỡ cho tôi trong quả trình thực hiện luận văn

[E2_ Phuong phap Runge-Kutta cho phuong trinh vi phan thuong] 18

[C21 Prong phip Ringe Kia Mogg] "

(E22 Se van Go nha phương pháp Rang Kon], 20

1 Trường hợp phương trình vi phân đại số dạng nửa hiện chỉ số 1] 25

2_ Trường hợp phương trình vi phân đại số không có tính lạ| 27

Không gian véc tơ m chiều trên IR, ()

Không gian ma trận thực cỡ z1 x tạ Không gian các hầm véc tơ rn chiều khả vi liên tục cấp p Không gian các hàm ma trận cỡ mạ x zrz khả vỉ liên tục cấp ø

Ma trận đơn vị cấp k Hạng của ma trận A

Hằng số nào đó

Vô cùng bé cùng bậc với h#

Điều phải chứng minh

Bài toán giá trị ban dầu

Gn dinh tuyét dai

Thương trình vi phân thường

Thương trình vi phân đại số

LỜI MỞ DẦU

Trong thực tế, chúng ta gặp rất nhiều bài toán trong các lĩnh vực khoa học kĩ

thuật như cơ học, hóa học, hệ mạch điện, lý thuyết điều khiển, động lực học chất

lông, v.v được mô hình hóa đưới dạng một hệ hỗn hợp các phương trình vi phan

kết hợp với các ràng buộc đại số Các hệ đó được gọi là phương trình vi phan đại sé (PTVPDS, DAEs) PTVPĐS có dang téng quát

F(t,x,x) — 0, (0.0.1)

trong dot € 1 — [0,7], £1 R® x R™ — RY, m,n € IN Néu ma tran Jacobi

của E theo +“ không suy biến, theo dịnh lý hàm ẩn, từ phương trình (0.0.1) ta có

thể giải được x' — ƒ(†,x), đây chính là đạng của phương trình vi phân thường

(PTVPT) Trong trường hợp tổng quát, ma trận Jacobi của F theo +” có thể suy biến Khi đó, chúng ta có một PTVPĐS, hay còn gọi là phương trình vi phân ẩn

Ví dụ 0.0.1 J5, Exammple 1.3 ]Xét một con lắc đan có khỗi luong m vi chiéu dai 1 Dat

tới tham số Lagrange A Phuong trình chuyển động của con lắc có dạng

mo’ + mg +2Ay = 0, x2+?-=0

Đây chính là một PTVPĐS có chỉ số 3 tới các biến là x,y, u,v, A

Giả sử, ta đi giải bài toán giá trị ban đầu (BTGTB) (0.0.1) với điều kiện đầu

x(0) = xo, Xo € IR" Su ton tại và duy nhất nghiệm của BTGTBĐ (0.0.1) phụ

thuộc vào điều kiện ban đầu xọ

Trong ví dụ (0.0.1) để hệ (0.0.3) có nghiệm thì điều kiện ít nhất ta cần có là

xã + tà = lễ Không những vậy, điều kiện ban đầu của PTVPĐS còn có thể liên

quan đền đạo hàm của các ràng buộc tại thời điểm ban dau, xem [3]

Các PTVPĐS xuất hiện từ các bài toán thực tế thường là các hệ rất phức tạp,

không có hy vọng giải đúng, trong khi nhiều trường hợp chúng ta chỉ cần biết

thông tin về nghiệm số hoặc nghiệm gân đúng với mức độ chính xác nhất định

rộng từ các phương pháp số cho PTVPT Tuy nhiên, có nhiều ví dụ cho thấy các phương pháp quen thuộc giải PTVPT khi áp dụng cho PTVPĐS gặp những khó

khăn như: lời giải số không ổn định hoặc thậm chí không tồn tại, xảy ra hiện

tượng giảm cấp chính xác, v.v Trong những năm cuối thế kỉ 20 đâu thế kỉ 21,

các nghiên cứu tập trung vào PTVPĐS dạng ẩn Nhóm tác giả P Kunkel và V, Mehrmann đã có những nghiên cứu một cách có hệ thống các PTVPĐS dạng (0.0.1) có chỉ số tùy ý Các tác giả đã nghiên cứu chỉ số lạ của bài toán và đề xuất

các thuật toán đưa bài toán PTVPĐS dạng (0.0.1) về dạng chính tắc không có

tính lạ, sau đó áp dụng các công thức rời rạc hóa để thu được nghiệm số của bài

| khong suy bién doc theo nghiém x(t) (0.0.5)

Tác giả V.H Linh và V Mehrmann [7] đã nghiên cứu tính chất của bài toán

(0.0.4) và để xuất các phương pháp một chân nửa hiện (HEOL), phương pháp

đa bước nửa hiện (HELM), phương pháp Runge-Kutta nửa hiện (HERK) để giải

hiệu quả các PTVPĐS (0.0.4) không có tính cương

Khi nghiên cứu một lớp PTVPĐS có cầu trúc dạng

ƒ,x,E()*') =

g(t-x) =0,

trên đoạn [0,T], trong đó E € CÍ(I,R""“") và các hàm f = ƒ(f,u,0) : 1 x IR" x

R"™ > R", g = g(t,u) : 1x R" > R", (m,my,m2 € N,m = m, +m) du tron

(0.0.6)

10

và có các đạo ham riéng bi chan Gia str BIGTBD co nghiém duy nhat x(t) và

l2] không suy biến đọc theo nghiệm x(t) (0.0.7)

Day là một lớp các PTVPĐS nằm trong dang PTVPĐS không có tính la (0.0.4) Hai tác giả V.H Linh và N.D Trường

pháp Runge-Kutta nita hién (HERK) và phương pháp Runge-Kutta an (IRK) dé

đã nghiên cứu và đưa ra các phương

tìm nghiệm số và đánh giá sai số, cáp chính xác

Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện đã được kế thừa từ phương pháp Runge- Kutta cho PTVPT được áp dụng cho lớp bài toán (0.0.4) và (0.0.6) Phương pháp

HERK được các tác giả V.H Linh và V Mehrmann [7], V.H Linh và N.D Trường,

[8] áp dụng cho bước đi đều h Trong luận văn này, tôi tiếp tục nghiên cứu

phương pháp HERK áp dụng cho bài toán (0.0.4) và (0.06) dựa vào hai kết

quả trong [7], [8], kết hợp với phương pháp nhúng với bước lưới thay đổi h để

tìm nghiệm số, đánh giá sai số và bước lưới h

Ngoài Lời mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn của tôi được chia

ra gồm 3 chương

Chương 1 Giới thiệu

Trong chương thứ nhất, tôi sẽ trình bày lại các kiến thức cơ bản vẻ: Phương trình

vi phân đại số, phương pháp Runge-Kutta cho PTVPT, đánh giá sai số và lựa chọn bước đi bằng phương pháp nhúng

Chương 2 Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện giải PTVPĐS

Trong chương thứ hai, tôi sẽ trình bày phương pháp Runge-Kutta nửa hiện để

giải PTVPĐS cho 3 trường hợp: PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 1, PTVPĐS không

có tính lạ, PTVPĐS không có tính lạ và có cầu trúc

Chương 3 Phương pháp Runge-Kutta với bước lưới thay đổi giải PTVPĐS

Trong chương này, tôi sẽ trình bày phương pháp nhúng với bước đi l: thay đổi kết hợp với phương pháp Runge-Kutta nửa hiện trình bày trong chương 2 Sau

đó thực hiện một số thử nghiệm số để so sánh và có sự đánh giá với trường hợp

áp dụng phương pháp Runge-Kutta với bước lưới đều li

11

Hà Nội, ngày 28 tháng 11 năm 2019

Hoc viên

Phan Quang Tuyển

Chuong 1

Giới thiệu

Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm cơ bản va các kiến

thức bổ trợ sẽ được sử dung trong luận văn Phần dẫu tiên, chúng la sẽ giới thiệu vẻ PTVPĐS Phân thứ hai, tôi sẽ trình bày tóm tat vẻ phương pháp RK cho

PTVEI Phần cuối cùng của chương 1, tôi sẽ trình bày việc đánh giá sai số và lựa chọn bước đi bằng phương pháp nhúng áp đựng cho PTVPT

1.1 Phương trình vì phân đại số

1.1.1 Khái niệm và phân loại phương trình vi phân đại số

Phương trình vỉ phân dai sé dang téng quát là phương trình

Nhận xét 1.1.1 Trong oí dụ trên ta thấu đạo hàm x) không xuất hiện Giải phương

trình đầu tiên của {T2}, ta được xị = xị + 1 Thay xị nào phương trình thứ hai, thì

phương trình sẽ được oiết lại là

xi =xi+L

Ta thâu phương trình đầu tiên của (ET-3) là một phương trình oi phân, trong khi đó

phương trình thứ hai là một phương trình đại số Niue ody, nói một cách dễ hiểu, thì một

PTVPDS sé bao gồm các phương trình tỉ phân kết hợp oới các ràng buộc đại số

Dé thảo luận về câu hỏi sự tồn tại và duy nhất nghiệm của PTVPĐS, chúng ta

xét BTGTBĐ (T-T-] với điều kiện x(to) = xo, fo € 1x0 € R™

Định nghĩa 1.1.1 ([5])

Cho CR(1,C") là một không gian oéc tơ lắt cả các hàm khả oi, liên tục k lần từ một

đoạn 1 oào không gian nóc lơ phức C"

1 Một hàm x € CÌ(L,C") được gọi là một nghiệm của {[-T-T) nếu nó thỏa mãn

(ETT) lại từng điểm

2 Một nghiệm x của PTVPĐS(-TT) thỏa mãn điều kiện ban đầu được gọi là nghiệm

của BTGTBĐ

3 Một điều kiện ban đầu x(to) = xo được gọi là tương thích tới PTVPĐS (1.1.1) nếu bài toán (1.1.1) kết hợp tới điều kiện ban đầu có ít nhất một nghiệm Khi đó, bài loán tới diéu kién x(to) = xo goi là giải được

14

Thông thường các PTVPĐS có cấu trúc toán học tùy thuộc vào phạm vi ứng dụng nhất định Do đó, chúng ta có các hệ PTVPĐS phí tuyến, PTVPĐS tuyến tính, PTVPĐS nửa hiện, PTVPĐS ẩn hoàn toàn

1 Phương trình vi phân đại số phi tuyến

Trong PTVPĐS ,, nêu hàm F là phi tuyến đối với bất kì các biến í, x„

hoặc x7 thì nó được gọi là PTVPĐS phi tuyến

PTVPDS c6 dang A(t)x’ + B(t)x(t) = q(t) Ở day, A(t) va B(t) là ma trận

nx n, tuyén tinh, Néu A(t) = A và B(1) = B thì ta sẽ có PTVPĐS tuyến

tính với hệ số hằng

3 Phương trình vi phân đại số ẩn hoàn toàn

PTVPDS dang (1-1-1) thuéc dang én hoan toàn

1.1.2 Chỉ số của phương trình vi phân đại số

Một cách phân loại khác của PTVPĐS dựa vào độ phức tạp của bài toán là

phân loại theo chỉ số (index) Trong lý thuyết PTVPĐS có rất nhiều loại chỉ số,

trong luận văn ta chỉ quan tâm tới chỉ số vi phân (differentiation index) và chỉ số

lạ (strangeness index)

Định nghĩa 1.1.2 Phương trình oi phân đại số ƒ (t, x(t), x'(E)) = 0 có chỉ số là nếu

pla sé lin lay oi phân lối thiểu

Chỉ số vi phân như là một thước đo về khoảng cách giữa PTVPĐS với PTVPT

qua các phép lấy đạo hàm Thước đo này dường như không phản ánh được chính xác bản chất của PTVPĐS bởi trong đó chúng ta hẳu như chỉ quan tâm tới tính chất vi phân mà không để ý đến đặc trưng của các ràng buộc đại số Thực tế, các

15

ràng buộc đại số đôi khi làm cho bài toán trở nên phức tạp hoặc đôi khi làm cho bài toán trở nên đơn giản Tiếp theo, chúng ta đề cập tới khái niệm chỉ số lạ đã được P Kunkel và V Mehrmann dua ra phản ánh được cả bản chất vi phân và

các đặc trưng của phần đại só của PTVPĐS Để định nghĩa chỉ số lạ, chúng ta xét

Giả thiết 1.1.1 ({5]) Ton tai cac 6 nguyén p, a, d sao cho tập nghiệm

Ly = {(E 212 poop eH) c Rữ+2)*1 | Fu(t,x,x, ,x(t1)) = 0} (1.1.6)

khác tông tà mỗi (to, Xo, xả, 2Ÿ Dy € LL, đều tồn tại một lân cận đủ nhỏ sao cho

trong lân cận đó các kính chất sau được thỏa mãn

1 Chúng ta có rank Mụ(t,x,x', , Ít) = (+ 1)n — a trên Lụ sao cho lần tại

một hàm ma trận trơn Z2 có cỡ (It -† 1)n x a có hạng lớn nhất theo từng điểm thỏa

man ZJM, = 0

2 Chuing ta c6 rank Ap(t,x,x!, ,x\"*))) = a, trong dé Ay = ZEN, [In.0 0)

sao cho ton tai mt ham ma trin tron Tz c6 ch n x d,d =n —a, c6 hạng lớn nhất

theo từng điểm thỏa mãn Â2T› = 0

16

3 Chúng ta có rank Fy (t,x,x!)Ta(t,x,x!, ,xứCP1)) = 4 sao cho lần tại một hàm

ma tận trơn Z\ có cỡ n x d 0à có hạng lớn nhất theo từng điểm, thỏa mãn

rank Ê1Tạ = đ, trong đó Ê\ = Z] Fy

Định nghĩa 1.1.3 Xét PTVPĐS dạng , giá trị nhỏ nhất ụ € TN sao cho F thỏa

mãn giả thiết (1.1.1) được gọi la chi sé la ca (LTA) Nếu ụ = 0 thì PTVPĐS

được goi la khong cé tinh la (strangeness-free)

Nhan xét 1.1.2 1, Muc dich chinh cita chi sé vi phan la dura ra khodng cach dé biến

đổi PTVPĐS trở thành một PTVPT Tuy nhiên, nghiệm của bài toán sau khi biến

đổi thường không trùng tới nghiệm của bài todn ban dau

2 Mục đích chính của chỉ số lạ là đưa ra khoảng cách biến đổi bài toán PTVPĐS trở

thành một PTVPĐS có cùng nghiệm nhưng có tính chất giải tích tốt hơn Tính

chất đó có thể tách biệt được phân ràng buộc vi phan va phan rang budc dai số cho

các biến Từ đó ta có thể thu được PTVPT bằng tiệc giải biến đại số từ các ràng

buộc nà thế nào các phương trình còn lại

Lý thuyết về chỉ số lạ cho PTVPĐS phí tuyến tổng quát (Í-T-T) đã được nghiên

cứu Trong bài báo ([5]) có thuật toán biến đổi dạng (f-E.T) về một PTVPĐS dạng,

không có tính lạ (0.0.4) Chúng ta quy ước rằng khi nhắc đến chỉ số của PTVPĐS

mà không nói gì thêm thì đó là chỉ số vi phân của bài toán Dựa vào đó, chúng

ta giới thiệu lớp PTVPĐS thường gặp có dạng:

1 PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 1 (Hessenberg chỉ số 1), xem ([B])

x! = f(t,x,2)

O= (t,x,z)

(1.1.7)

Trong đó, ma trận hàm Jacobi g- duge gia thiét la không suy biến với mọi

1 Từ phương trình thứ hai của (T7), theo định lý hàm ẩn ta có thể giải

raz = (t,x), thé vào phương trình thứ nhất ta thu được phương trình vi phân đối với x là x' = ƒ(t,x,@(t,x))

17

Như vậy, chúng ta có thể thấy PTVPĐS có chỉ số vi phân bằng 1 nhưng có chỉ số lạ bằng 0 hay đạng không có tính lạ

2 PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 2 (Hessenberg chỉ số 2), xem ([ð])

x = flt.%,2)

Giả thiết rằng, ma trận Jacobi gy f- không suy biến với mọi f Biến đại số z

không xuất hiện trong phương trình thứ 2 của (Ï-T8} Từ phương trình thứ

hai của ([.T:8), lấy đạo hàm theo f ta được:

0= g.,x) + &(t,x)ƒf(,%,Z),

tiếp tục lay đạo ham theo f, ta được:

0= &u(t,x) + gie(t x) f (t.x,2) +f (t%,2)(Sxt(ts x) + Sex(t x) f (Ex, 2))

+gx(t, x) (filt x,2) + f(t x,z) f(t x,z) + f(t,x,z)Z')

Từ giả thiết, ma trận Jacobi g;/: không suy biến với moi t Suy ra,

z'=_ ~(&(,*)£<(t,x,2))ˆ`(gu,x) + gx(t,x)f(,x,z) + f(t,x,z)(8u(,3)

+#u(t,x)ƒf(t,x,z)) + x(t,x)((t,3,2) + cú,x,z)f(,x,z)))

Ta cần 2 bước lấy đạo hàm để mô tả z' nên PTVPĐS (1.1.8) có chỉ số 2

1.2 Phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vi phân thường,

Các phương pháp một bước, tiêu biểu là các phương pháp Runge-Kutta (RK)

có ưu điểm là đơn giản, dễ lập trình, đễ dàng thay đổi và điều chỉnh bước lưới

khi tính toán Phương pháp RK được hai nhà toán học người Đức là Runge và

Kutta xây dựng từ 1895-1901 Trong phần này, tôi sẽ trình bày sơ đồ rời rạc, sự

ổn định và tính hội tụ, cắp chính xác, miễn ÔÐTĐ của phương pháp RK hiện

18

1.2.1 Phương pháp Runge-Kutta tổng quát

Tổng quát, phương pháp RK š nắc cho PIVET ¥/ = f(t) có thế dược viết

trong đó, lu — fmy1 — lạ Y{ 2 VỮnT—+ + c¡h„) là nghiệm xấp xỉ tại điểm nắc

Ty — tat ils, Í — 1,2, ,s Các hệ số của phương pháp RK thường được cho

1.2.2 Sự hội tụ và tính ổn định của phương pháp Runge-Kutta

Phương pháp RK có thể được viết lại theo phương pháp một bước dưới dạng

Yn = Yn—1 t lta (tna) Yn Mtn), (1.2.7)

trong đó Ÿ thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y, tir dé suy ra phuong pháp RK

tới p < q-+r + 1 tà p < 2q +2, thì phương pháp RK tương thích tà có cấp hội tu là p

Để tìm hiểu về miền ÔÐTĐ của các phương pháp RK hiện, ta nhớ lại rang

miền ÔÐTĐ của một phương pháp được xác định bởi giá trị của z = h„À, chúng

ta cho |yn| < |yn—1| khi áp dụng phương pháp cho phương trình thử y/ = Ay Ta

thu được công thức

Yn = R()Wu—¡ = [L+zBP(I— z4)” HỆ tụt, (1.2.9)

trong đó 1 = (1, 1, 1)" Nhu vay, ham ổn định của phương pháp RK tổng

quát trên là R(z) = 1+ zbT(I — zA)~Ì1 và miền ÔĐTĐ của phương pháp RK là

S={z=hyA EC : |R(z)| <1}

20

1.3 Đánh giá sai số và lựa chọn bước di bằng phương pháp nhúng

Một số PTVPT có thể có các nghiệm mà nó thay đổi một cách nhanh chẳng

trong một khoảng thời gian và lại thay đổi

ột cách chậm chạp trrng một khoảng:

thời gian khác Do đó, chúng 1a không thể sử dụng bước đi h trong phương pháp

RK như một hằng số, thay vào đó chúng ta nên sử dụng Ù nhỏ khi mà nghiệm thay đổi nhanh chóng theo thời gian Một phương pháp số mà tự động lựa chọn

bước lưới trong mỗi bước là một phương pháp thích nghỉ Một lớp các phương

pháp thích nghỉ cho việc giải PTVPT là các phương pháp nhúng RK

1.3.1 Ý tưởng của phương pháp nhúng RK

Trong phẩn này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số cách để ước lượng sai số và diễu

chỉnh bước lưới h — ñ„ — f„ - !„_+ Cho mỗi thanh phan j cia y, (1 <j < in), ta

sử dụng sai số tương đối (RTOL) hoặc sai số tuyệt đối (ATOL„) Chúng ta muốn

chon b cho mỗi j, (1 << j < mm),

[yal & frac[ATOL; + |(yj)u|RTOL],

ở đây frac là hệ số an toần (frac=0.8 hoặc 0.9) Để cho thuận tiện và tránh rắc rỗi

chơ các phương pháp RK người ta sử dụng sai số địa phương, ,1<j

Ý tưởng của phương pháp nhúng là chúng ta đi tỉnh hai nghiệm xắp xỈ gu và

$n tai In, sao cho Ủx — 1u là ước lượng sai số địa phương của hai nghiệm xắp xỉ Chúng ta kiểm tra bắt đẳng thức |jn — yu| < TƠI Nếu bắt đẳng thức này không

thỏa mãn thĩ bước lưới ñ sẽ bị loại và bước lưới khác ñ sẽ được lựa chọn thay thế

Nếu phương pháp chơ việc tim „ có cấp chính xác p thì Íz(W) = ch? LÍ, Vì vậy,

chúng ta có thé chon A thea man

h

và lặp lại quá trình này cho đến khi một bước lưới chấp nhận được tìm thay Néu

j1

bước lưới được chấp nhận thì từ cùng công thức có thể được sử dụng để đoán

một bước lưới lớn hơn h;+¡ — ñ cho bước tiếp theo

2I

13.2 Phuong pháp nhúng RK

'Từ ý tưởng của phương pháp chúng ta cần hai nghiệm xp xi Yr Va Pn tai fa cho bài toán 1⁄ — ƒ(f,y) Một cặp phương pháp RK có cấp ƒ và ø -+ 1 sẽ làm tất

việc này Chìa khóa của các phương pháp nhúng là với một cặp phương pháp RK

nhu vậy sẽ chung tính toán trên cùng một nắc Như vậy, chúng ta sẽ xuất phát

từ công thức s nắc có cấp ÿ _ 1 sao cho có công thức khác với cắp ø dược nhúng trong đó

Chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu kết hợp cho một phương pháp nhúng:

“TT

TT

2 2

Phương pháp nhúng Eehlberg 4(5) có 6 nắc sử dụng phương pháp RK cấp

4 được nhúng trong phương pháp RK cắp 5 Phương pháp nhúng Iehlberg,

4(5) có hệ số sai số của nghiệm t„ có cắp chính xác 4 là nhỏ nhất

Phương pháp nhúng Dormand-Prince có 7 nắc sử dụng phương pháp RK

cấp 4 được nhúng trong phương pháp RK cấp 5 Phương pháp nhúng

Dormand-Trince 4(B) có

ê sai số của nghiệm 1#; có cấp chính xác 5 là

nhỏ nhất Trong khi thực hiện bước tính tiếp theo ta thường chọn nghiệm

¡ chính xác cao hơn thay thế cho „_¡ Hơn nữa, ta thấy bộ hệ số

của bŸ trùng với hệ số tại nắc thứ 7, do dé phương pháp nhúng Dormand-

Prince thực chất ta thực hiện có giá như phương pháp RK có 6 nắc Vĩ vậy, phương pháp nhúng Dormand-Prinee sẽ có độ chính xác tốt hơn phương

pháp nhúng Eehlberp.

Hinh 1.2: Cap Dormand-Prince 4(5)

Dựa vào ý tưởng và bảng kết hựp của phương pháp nhúng RK ta có thuật toán:

Thuật toán 1.3.1 Chứng ía giải phương trình t — f(1,v) trên đoạn [to, tr], nới sai

số cho trước là TOL, uà điều kiện ban đầu W(fq) = Vụ-

1 Vớiy„ \ đã biết, bước lưới h — hạ đã cha, biến đắm k = 1, ta link yn 0a Gn

2 Ta so sánh, nêu lu — wụ| < TOL,

« Từ chấp nhận bước đi h,

233

« Tụ tính lại yn 04 Gn với Wu—i trong bước thứ nhật đã biết được thay thể bằng

nghiệm của phương pháp RK có cắp chính xác cao hon Pu,

Tiép tuc qué trinh giéng nluc bude tink dau tién cho tai ki dimg Igi Khi dé, cuing

ta co thé in ra két qua nghiém chink xac, sai sd cha hai nghigin xdp xi, sai sd thyc té ctta

nghiệm số uà nghiệm chính xác, vé đồ thị nghiệm chính xác so ui dé thi nghiệm số, ma

24

Chuong 2

Phuong phap Runge-Kutta nửa hiện

giải phương trình vi phan dai sé

Trong chương này, tôi sẽ trình bày chỉ tiết các phương pháp Runge-Kutta nửa hiện cho 3 rường hợp: PTVPĐS đạng nửa hiện, PTVPĐS không có tính

lạ, PTVPĐS không có tính lạ và có cầu trúc Các kết quả chính của chương này

đưa vào [7], [8]

2.1 Trường hựp phương trình vi phân đại số dạng nửa hiện chỉ số 1

Các phương pháp số cho PTVPDS đạng nửa hiện chỉ số 1 đã được nghiên cứu

và phát triển trong những năm cuối của thể ki 20 IIướng nghiên cứu hết sức tự

ô của PTVPT cho PTVPĐS Trong,

ham F: 1x R™ x R™ 3 R™ va Gi Tx R™ x R™ — R™ 1a cdc ham đủ trơn

Hon nia, ta gid sty ma tran Jacobi

G,(, y(), z()}, (2.1.2)

25

là không suy biến trong lân cận của nghiệm chính xác

Để xây dựng nghiệm số, ta lấy lưới lạ < H < ty Để cho đơn giản, ta xét lưới đều với bước lưới là h Tắt cả các kết quả áp dụng cho bước lưới đều vẫn

đúng khi mà ta áp dụng cho bước đi thay đổi h Giả sử, các hệ số của phương

pháp RK s nắc có cấp p được cho trong bảng Butcher

“iế- với A=lagjs b=[hibi b]T, c= [era J"

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp RK ban đầu là phương pháp hiện thì rời rac

hóa của chúng ta sẽ là phương pháp nửa hiện Trên đoạn [f„, t1], giả sử chúng

ta đã có xấp xỉ yn © y(tn), Zn % z(t„) Đặt Y¡ ~ y(tn + ei), Z; z(E„ + c¡h) là

các xấp xỉ tại các điểm nắc Lược dé RK s nắc cho PTVPĐS được viết dưới

dạng

Y= nth ay F(T, Yp Z)),

jl

0=G(T;, Yi, Zi) PAY Based)

Yast = Yn +h YO BF (Ty Yir Zi),

= 0= G(uct, Wn+ts Zn+1);

trong d6 Tj = tn + cjh, h = tha — tne

Điều kiện „ theo định lý hàm ẩn, từ phương trình thứ hai của 2.1.1) ta

có thể giải ra được z = j(f, y) trong một lân cận của nghiệm Như vay,

Giải Z, từ phương trình thứ 2 của (2T3) va thé vao phương trình thứ nhất và

thứ ba của ta thu được sơ đỗ RK cho sẽ có dạng

ngoài ra ta còn xác định được z„¿¡ = #(f„+, „1) từ phương trình thứ 4 của

(213) Chuing ta chỉ ra rằng các thành phần của nghiệm số ự của (-T-3} giống

như nghiệm số của phương pháp RK áp dụng cho PTVPT @.1.4) Do dé, chting

ta có kết quả về sự hội tụ sau cho sơ dé RK

Định lý 2.1.1 Giả sử rằng

thỏa mãn trong một lân cận của nghiém (y(t), 2(t))

của -TT) oà các giá trị ban đầu là Hương thích Cho một phương pháp RK cắp p, sơ đồ

RK ấp dụng cho PTVPĐS hội tụ cắp p, nghĩa là,

lly —y(tn)|| = OCH"), |l2n —2(tn)|| = OCH), gới ty — lọ = nh < const

Nhận xét 2.1.1 Ta sử đựng phương pháp RK ban đầu ở dạng hiện thì ta có phương pháp RK dạng nửa hiện, uiệc thực hiện cài đặt cho (2.1.3) khá đơn giản Chúng ta xác

định giá trị nắc Y¡ hiện uà giải phương trình đại số cho Z¡ uới ¡ = 1, 2, s Sau đó,

chúng ta tính w„+ tà giải phương trình đại số cho z„, \ Các phương trình đại số có thể được giải một cách hiệu quả bằng phương pháp lặp Neroton

2.2 Trường hợp phương trình vi phân đại số không có tính lạ

Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra đạng của PTVPĐS không có tính lạ và sau

đó sẽ giới thiệu phương pháp RK nửa hiện cho việc giải số Để tiện theo dõi, ta

nhắc lại công thức của PTVPĐS dạng:

ft, x(),x(Ð)=0

sứ, x(P)) =0, trong đoạn I = to, ty], với điều kiện ban đầu x(fo) = xo Giả sử rằng ƒ =

ƒ(,x,x)) : IxIR" xIR" —š R và g = g(t,x) : Ix IR" —› R*, trong đón = đ+a,

(2.2.1)

là các hàm đủ trơn và có các đạo hàm riêng bị chặn Hơn nữa, ta gia str rang (221)

là PTVPĐS không có tính lạ, nghĩa là ma trận Jacobi

fe0,x(), #'())

là không suy biến doc theo nghiệm x(f)

27

2.2.1 Phan tich bai toan

Trong phần này, để nghiên cứu giải tích của phương pháp số, chúng ta có thể

giả sử BTGTBĐ có nghiệm duy nhất x* (f) đủ trơn và có các đạo hàm riêng

bị chặn trên I Hơn nữa, ƒ và ø được giả sử là đủ trơn với các đạo hàm riêng bị

chặn trong lân cận của nghiệm x*(1), f € I Theo mục đích vẻ giải tích, giả sử

các thành phần của x trong có thể được sắp xếp lại và phân hoạch thành

x = [x], x3], trong dé : I> RY, x9 : —› IR", để mà ma trận Jacobi g„;

của g ting vdi bien x2 (hode fy cua g ứng với biến x{ ) là khả nghịch trong lân cận của nghiệm Nếu gy; là không suy biến thì (Z:2-T) có thể biến đổi thành đạng, xem (IBÌ)

Như vậy, PTVPĐS không có tính lạ dang -Z.T) sẽ có chỉ số vi phân là 1

Tuyến tính hóa 2T) theo nghiệm chính xác x* ta thu được PTVPĐS tuyến

pháp RK nửa hiện: tính tương thích, ổn định và hội tụ

PTVPĐS dạng 2T) tổng quát hơn PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 1, đó là trường hợp đặc biệt khi fy, = Id va fy, = 0, x4 chi lién quan dén ràng buộc

đại số Tuy nhiên, ràng buộc đại số được cho đưới dạng hiện và nó có thể được

28

khai thác khi xây dựng phương pháp số cho (22.1) Hon nita, chting ta c6 méi quan hé gitta PTVPDS (22.1) va PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 2 Giả sử, các

thành phản của x được sắp xếp lại và phân hoạch để mà fy, khong suy bién, dat

ott, v0, 209, yo) = [FOO 2O.40-20) |, a(t, wid) =stt 0)

Tính đạo hàm của ¿ theo

-[t2#

w= [ é a]:

theo gia thiét fy, = fy, la ma tran khong suy bién nén gy 1a ma tran khong suy

bién, Theo dinh ly ham an, tan tai ham g sao cho (2.2.0) c6 thé duoc viet lại dưới

Theo gia thiét (22.2), ma trận [ fs Z nà không suy biến và fu, khong suy

biến, từ lý thuyết đại số tuyến tính ta suy ra #x; — gx it fy, Ja ma tran khong

suy biến Do đó, y(@/)ˆ 10:(t,0(1),z(f),v'(f)) = [u:],w(Ð,z(Đ),w'(1)) là ma trận không suy biến Như vậy, phương trình là PTVPĐS dạng nửa hiện có chỉ số 2

Phương pháp số cho PTVPĐS chỉ số nhỏ hơn hoặc bằng 2, bao gồm dạng nửa hiện, đặc biệt là PTVPĐS không có tính lạ dạng là lớp các phương pháp

29

ẩn như phương pháp trùng khớp RK và phương pháp BDE, có sự hội tụ và cấp

chính xác giống như PTVPT

Trong phần này, tôi sẽ trình bày phương pháp RK nửa hiện (HERK) để giải

PT xuất phát từ phương pháp số giải một lớp đặc biệt các PTVPĐS ma

trận nửa tuyên tính có dạng

EiŒ)X'ứ) = Fít, Xứ), 0= 4;(ĐX(Đ,

trong dé Ey : I> R’*", Ap : I> R™" la céc ma trận hàm liên tục và X : I

(2.2.8)

R"*!(1 <1 < đ) và F : Ix R"*! ~› IR?“! cũng là các ma trận hàm không tuyến

tinh Viée giai s6 cdc PTVPDS dang (22.8) voi ma tran E(t) = [E\(t)" Ag(t)")

không suy biến, phát sinh trong quá trình phân tích sự ổn định của PTVPĐS qua

việc xáp xỉ số mũ Lyapunov hoặc khoảng phổ Sacker-Sell Các bài toán này lấy

khoảng tích phân I dài nên ta sử dụng phương pháp nửa hiện sẽ mang lại hiệu

quả tốt

2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện

Xét phương pháp RK hiện s nắc được cho trong bảng với c¡ = 0

Chúng ta giả sir rang aj4,; # 0 với ¡ = 1,2, ,s— 1 và b; = 0 Xét đoạn

(tn—1 tn] va gia str ta c6 xấp xỉ x„_† x(f„_1) Dat Uj © x(ty—1 + eit) la xấp xỉ

của nghiệm tại nắc thứ ï và K; © U/ 1a xắp xỉ của đạo hàm của LH, ¡ = 1, , s

Như vậy, sơ đồ RK hiện được cho trong bảng trên sẽ được viết

Chúng ta để xuất phương pháp RK nửa hiện (HERK) dựa vào cho PTVPĐS

2T) Tại nắc dau tién, ta da c6 Uy = x„_¡ Tại nắc ¡ + 1 xắp xỉ cho LÍ,;¡ được

giải từ hệ phương trình đại số

1 [U¿i-xri Cl Al hc (a) f (- + oh, Uji, ied [aaa h ai+tjKj| ] =0, ng

(6) g(u-1 +ei+tb, Hịyg) =0, Ì=1,2, S—1

Áp dụng phương pháp này cho hệ đặc biệt PTVPĐS ma trận dang (223), ta

có hệ phương trình tuyến tính đưới dạng ma trận

trong đó tí” i=lhi-i+dih, i=1, -,s

Bay giờ, chúng ta sẽ chỉ ra phương pháp HERK £-2-TØ-.2-TT) là phương,

pháp HERK áp dụng cho PTVPĐS nửa hiện chỉ số 2 dạng (Z7) Giả sử, ƒ„ là

ma trận không suy bién va dat U; = (UI, UJ)", Ki = (KI, Ki)" tuong ứng

31