Luận văn momen từ dị thường của electron và phương pháp Điều chỉnh thứ nguyên trong Điện Động lực học lượng tử

Feynman Dựa vào lý tHưuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giá đã nêu củng với việc tái chuẩn hóa khỏi lượng vả điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quá trình vật lý

ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI

TRUONG ĐẠI HỌC KTIIOA HỌC TỰ NIIÊN

PHẠM THỊ THUẬN

MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

VÀ PHƯƠNG PHÁP DIÊU CTIÏNIT THỨ NGUYÊN TRONG

ĐIỆN ĐỌNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI TRƯỜNG DẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THỊ THUẬN

MOMEN TU DI THUONG CUA ELECTRON

VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỄU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRƠNG

ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 60.44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giáo viên hướng dẫn khoa học

GS TSKH Nguyén Xuan Hin

Hà Nội - 2012

MỤC LỤC

CHUONG 1: PHUONG TRINH PAULI VA MOMEN TU CUA ELECTRON 7

MO DAU

Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích: điện hay còn gọi là

điện động lục học lượng tử QDD, đã được xây đựng khả hoàn chỉnh Sự phát triển của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J Schwinger, R Feynman

Dựa vào lý tHưuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giá đã nêu củng với việc tái chuẩn hóa khỏi lượng vả điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quá

trình vật lý qua lương tác điện tù, sẽ định tỉnh lẫn định lượng, Ví dụ rửuz sự địch

chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc mömen tử dị

thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và

với dộ chính xác cao./1, 4, 613, 15,17/

ỗ liệu thực nghiệm trùng nhau

Phương trình Dirae chơ electron ở trường điện từ ngoài, tương tác của electron với trường điên từ, sẽ chứa thêm số hạng tương lác từ tỉnh mới Cường dộ của

tương lác nảy dược mô tả bằng mémen lừ slcerom ,, và nó bằng

“h _ a -C (va @ 14 khdi luong “tin” va điện tích “trần” của

ame “”|h— 2m họ

electron, 4, - goi 1A magneton Bohr) Cac higu tmg phn cue cia chan khéng— khi

tinh các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho mômen từ

cleotror, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng ølectron(m, —> mạ} vú điện tích cleclron

(@ >e,) 86 dan dén su đóng gớp bê sưng, mà nó được gọi là mồmen từ dị thường

Tam ý, chỉ số R — ký hiệu giá trị được lây từ thực nghiệm

Tuy nhiên, thục nghiệm đo được mémen 1ừ của ploclron bằng z:— I,003875 ,„„ giá tr này được gọi là mômen từ dị thường của eleotron J Schwinger /13/ là người

đầu tiên tĩnh bố chính cho miômen từ dị thường của clectron vào năm 1948 và ông thu được kết quả phù hợp với thục nghiệm ( bô chính cho mômen từ của eleeiren khi tính các giãn đồ bậc cao cho QED, sai sề tính toán với thực nghiệm vào khoảng

10”? %4) Biểu thức giải tích của mômen từ dị thường electron vé mặt lý thuyết đã

được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trường lượng lữ

Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phân mở đầu, ba chương, kết

luận, tải liệu tham khão và một số phụ lục

Chương 1 Phương trình Pauli và mômen từ của elerron Phương trình

Pauli vA mémen tir di thưởng có thẻ thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất

phát từ phương trink Schrodinger bing ae duy biện tượng luận la thụ ẵược phương, trình Pauli với sẽ hạng tương tảc của mémen ti electron với trường ngoài /1/ Mục 1.2 đành cho việc nhận phương trình Paul bằng việc lây gần đúng phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường: điện từ ngoài trong gân đúng ( 3) v—]ã vận tắc

của hạt, cỏn ¢ 1a van tốc ảnh sáng Các bổ chỉnh tương déi tỉnh tiếp theo cho

phương trình Pauli ở gần dúng bac cao hon (⁄ ) thu dược bằng việc sử dụng phép biển đếi Fouldy-Wouthuyen ở mục 1.3

Chương 2 Các giản đề Feynman cho dong gép vào mômen tử dị thường

của electron Xuất phát từ Lagrangee tương tác của eleotron với trường ngoải ta nêu

vấn lắt các xy dung S-matran trong muc 2.1 cho bài toàn tân xa cleetren với trường điện từ ngoài Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynrnan trong gần đúng một

vòng đông góp cho mrömen từ dị thường của electron Mục 2.3 dành cho việc thâo luận

ý nghĩa vật lý của hệ số dạng diện từ, dắc biệt trong gan đúng phí tương dối tỉnh

Chương 3 Mômecn từ dị thường của electron trong gin đúng một vòng

Trơng rực 3.1 sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu lưm và phan phân kỳ cho gian dé Feymman trong gan dùng một vòng, Việc tính biểu thức bo chính cho mômen từ đị thường trang gần đúng một vòng được tiến hành ở mục 3.2

Lưu ý, việc tinh mômecn từ dị thường của electron là bài toán phức tạp, trong Luận văn

này bước đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bai toan bằng việc

bỏ qua phân kỳ hểng ngoại liên quan đến khỏi lượng photen, bỏ qua việc tái chuẩn hóa khốt lượng, diện tich của eleotron, hàm sóng của clectron và trưởng điện tỉ: ngoài liên quan tới các đường ngoài trong giản đồ Feynman, và tính toán tới phân đỏng góp chủ

yêu nhất liên quan đến giản đã đỉnh Feyraman cho mômen từ đị thường của electrơn

Phân kết luận ta hệ thông lại những kết quả thu dược và thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự

Trong Bản luận văn nảy chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử —e—1 và

metric Feynman Cac vécte phan bién là tọa độ

(9 0 0 -1j

Các chỉ số Hy Tạp lặp lại có ngụ ý lấy Lang tir 0 dén 3

CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRINH PAULI VA MOMEN TU CUA ELECTRON

Phương trình Panli và số hạng Inong tic pitta mémen tir ofa eleclron voi trường,

điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger bằng cách kế thêm spin cia electron va tong t4c của mômen từ với

trường ngoài được giới thiệu ở mục L1; ¡⁄/ Từ phương trình Dưae cho cleetron ở

trường diện tử ngoài, thực hiện phép gan ding phí tương dối tinh ở gân dùng bộc ( ⁄ )

ta co phuong trình Pauli cho electron với mômen từ Nghiên cứu các bế chính tương, dối tinh cho phương trình Pauli 6 gan ding bie cao ta phải sử dụng phép biến đổi

Fouldy-Wouthuyen

1.1 Phương trình Panii

Phương trinh Pauli mô tả hạt cỏ spin bằng 12 chuyên động trong trường diện từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng Phương trinh Pauli

có đạng phương trình Selrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm song y

trong phuong trinh Pauli không phải là một vô hưởng có một thành phần g(Ƒ,f) phụ thuộc vào các biến không gian vả thời gian, mả còn chứa biển số spin của hạt là z, Két qua dé cho ham sóng y(r,s.,} là một spinor hai thành phân

#4 la magneton Bohr, con & 14 cae ma ban Paul Khi dal hạt vào trường điện lừ

ngoai, ta cd thém nang hrong turong tac phụ.

Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thục hiện các phép thay thế đưới đây

trong phương trình Schrodinger

«5 fy

— S4

tˆoR-se

Kế thêm spin của hạt thi phương trinh mô tả phai có thêm một năng lượng phụ

tụ “` SỞ, Kết quả ta thu được phương trình

ở dây ø(z), 4ữ) là thế vô hướng và thế véc tơ của trường diện từ Phương trỉnh (1.6)

là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta cỏ thể giải thich dược hiệu ứng Zeenaim

1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đổi tính

Xuất phát từ phương, trình Dirac cho electron trong trưởng ngoài ở dang chỉnh tắc ta

Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết các

spinor hai thanh phân

fun

We Wap

Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biển thành hệ phương trinh

nt cal 3 SÂM, (ea mee")

Trong đỏ chí số u kí hiệu “tên” (hai thành phản trên) và d — “dưới” (hai thành phân

Digu nay có nghĩa như sau: trong trường hop nghiém duong thi spinor y, lién hé voi

y, ¥a trong trudng hop nghiém am thi spinor y, lién hé véi y, thira sd (¥/ ) Thay

(1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dương 1z có

Củng với việc sử dụng các đồng nhất thức sai:

(eA|(e8) = (4a) —1e(4x 8),

đảng đến bậc (2) củng với toán tử và tự liên hợp #7” Nếu chứng ta giới hạn ở

nghiệm dương, có nghĩa hai thành phần đâu , thí phương trình này với độ chính xác

mye? trùng với phương trình Pauli dé cho hạt có spin 12 trong trưởng điện từ ngoài Thật

đáng chú ý đặc biệt ỏ chỗ quá trình giới hạn phi tương đổi tỉnh hóa của phương winh Dirac ở trường ngoài sẽ tự đông dan din sé hang (ong tac “WB giữa mômen từ (hay, spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó eleetrem có mômen từ đứng khác với tí số

Di với hạt không phải là cơ bán, như các protơn hay cac neutron qua trỉnh giới hạn

trên đẫn đến các kết quả sai 4Z!—~aS/(m,e) Rõ ràng trong những trường hợp này

liên kết tối thiểu không đủ dễ kẻ thêm trường, điện từ ngoài Chính vì vậy dễ cho những,

Dé hoàn chỉnh phan này, chúng †a cũng phải lưn ý các biểu thức để cha mật độ xác

suất và mật độ đồng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính xảo

(va) fa

a

a-.J~s— a nev! )y 2 ty! py | (1.18)

Chúng liên hệ với nhau bing phuong tinh lign tue 4p/ar+ Yj— 0 và trong trường hợp nghiệm dương , các biểu thức nảy trùng với công thức của lý thuyết phi tương, đối

tính,

1.3 Các bể chỉnh tương đối tính cho phương trình Pauli

Ta đã chỉ ra rằng việc lẫy giới hạn phi tương đổi tỉnh phương trình Dữac ở trường,

điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc ( #2) và sai s6t trong Hamilton

ở bậc 1⁄4) Trong giới hạn này A là chéo nhưng các nghiệm âm và dương là hoàn

toàn “phân ly ” Đề chéo hóa toán tử Hamilten ở các bậc cao hơn một cách hệ thống,

thì la phải kế thêm các bổ chính tương đối Lính, bằng cách sử dụng phép biến đổi

Fouldy ~Wouthuyen cho phương trình Dirae

ó đây œ và (1©) là các toán tử chân (chéo) và toán tử lẻ (không chéo) Sứ dụng

việc chọn phép biến đổi Fouldy -Woutiayen thích hợp Ƒ—øŸ,'—#F, với muc đích là thay đối các biếu điễn mới trong đỏ œ cao hơn và sao hơn bậc (v/c) sao cho không động chạm đến diễu nó sẽ dưa dễn chéo hỏa toán tử K dung dẫn tới bậc (v/c) Như vậy sau phép biển đổi thứ nhất, ta cân thu được

mục Khự' =0, ự =Uy K'=UKU ' q22

K'=B-e'-a, ø+z=d|S) “=0[n) (hay cao hơn) (1.23)

Và phép biến déi thứ hai ta có

Ching ta có thế nghiên cứu lại phép khai Iriển Baker-Hausdorf (1.60) cũng như công

thức (1.62) cùng với phép thay thể cho việc tinh toán t, > đ cho việc tính toán kết quả

(1.27

11

Như la dã thấy ø bây giờ đã nông lên hai bac (vic) Từ đây chúng ta nhận dược loán

tử &'—/g+£ đúng đến bậc (Ah đứng trong phương trình Pauli (1.16)

Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép biển đổi Fonldy —Wouthuyen thứ hai với K” cùng

aust lee (a, ,)+[s„.,]#,ø}

= th [53 (1e_6,+4,\ rE.) Tea E| me (4 A9 ế ƒ

- Khi các $.8, là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy -Wouthuyen U,Ư, cũng là những phép biến đổi unta Điều này có nghĩa bất biển của giá trị trang tình như phép biến đôi U [Jo

- Để cho toán tũ Dirac — Hamillen, điều này có nghữa 34/8—0 khi sự biến đổi

- Phương pháp Fouldy —Woutruyen chỉ chấp nhận cho những vân để vật lý trong vùng,

đúng đẫn của một bại ö đây phép khai triển Foully —Wouthuyen là hội lụ

- Phép biến déi Fouldy —Wouthuyen cho lý thuyết Dirac phép biến đối Fouldy

Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bắt kỳ hữu han

nảo dây Viết phương trình Diae (1.7) dưới dạng,

Củng với oác toán tứ chấn z”, 1 e'”— Ø{v`/c”} và toán tứ lế ø' -— O(v/c) lặp lại

Thanh phan thir tu ở về phải là bộ chính tương đối tính cho thể năng, Thành phần thứ

năm là bỏ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin term vả có thể

gia lốc chuyên động lắc của olecron Thành phần cuối cùng chứa năng lượng tương lắp pitta spin của electron (hoặc là mômen từ ) vả mỗmen gúc quỹ dạo Nhận thấy rằng, trong thành phản này được lây một cách chính xác bằng thừa số 4 trong mẫn số' Trong trường hợp của thế Coulomb Ƒ(z)= Z¿/z bai thánh phản cuối củng là

RL? a(n) va Lek ac

6 day sé bang Dawin chi anh hướng tỏi các s-ưạng thái

' Trong cơ học lượng tử phí tương đổi tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau

Lương hệ nghĩ của lực trung Lâm sinh ra từ trường ở vị trí của slectrom và lương láo vii spin

của nó Tuy nhiên, khi chuyển động khỏng đông nhất của clcctron không phải lý do xem xét

thi số hạng này quả lớn và lớn hơn 2

16

Tổng kết

- Bac thap nhất (giới hạn phi tương đổi tính) phép gần đúng phí tương đối tính của

phương trình Dirae sẽ đẫn đến việc chóo hỏa toán tử Hamillon tự liên hợp Từ đây suy

ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trước đây nỏ đồng nhất cho phương trình phí tương đổi tính Pauli cho hại có spím bằng 1⁄4

- Noi chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirae “Hamilton là toán tử chóo chỉ là

gan dimg Diéu này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp louldy

Wouthuyen ma trong dé toán tử Harnilon được chéo hóa thành công ở các bộc cao hơn

{(v7e) Đôi với phần chấn của toán tử được chéo hóa vả toán tử Hamilten tự liên hợp là dung din dẫn bậc được nghiên cửu (v/z), mà tù dây la thu dược lý thuyết một hại đễ

cho hat va cho phan hat

- Thép biển đối Fouldy -Wouthuyen, tương tự như phép biển đổi Eeshbach-Villars, là phép biến dỗi không định xứ va bi “loang ra ” của biển số tọa dộ một độ dài số thể sọ sánh với bước sóng Compton

- Phương pháp Fouldy — Wouthuyen chỉ thích hợp cho gác trường hợp, thứ nhất phép khai triển (»/e) là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp nhận

Hamiltonian của phương trinh có đạng

n= Lp elf eo al

ä mẽ tả tương tác của moment từ riêng 7 với từ trưởng ngoại #Ÿ Hạt có spin bằng,

14 có điện tích e, sế có mêmen Lừ

- Mémen tit di thutng trong QED va gian dé Feynman

Theo lý thuyết Dirac mémen ti ciia clectron cé dang

My = = - magneton Bohr

me

“theo thực nghiệm phát hiện rnömen từ dị thường của electron

“—⁄(I+a)

4= gợi là phần đi thường — không thể giải thích trong cơ học lượng tổ, vì chân:

không ở

là chân không toán học - không có gì Trong QED ta xem xét đưới đây

lò chân không vật lý - chân không có hại ão và kế thêm tương tác của hại với chân không vật lý:

18

CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐÔ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ

DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

Xuất phát từ Lagranoe tương tac ova electron với trường ngoài ta viết S-matran

tương ứng ở mục 2.] cho bài toán tán xạ elceror với trường điện từ ngoài 4"(x)

ta phản tích các gián đỗ I'eynman trong gần đúng một vòng cho đóng

Trong mục 2

góp vào mômet từ đi thường của electron Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật

lý của hệ số dạng điện từ, đặc biết tưng gần đúng phí tuơng đổi tính

Neel — ext 4 \ ¬

trong đó p,, ø là các xưng lượng ở trạng thái đầu vả trạng thái cuối của electren

Quá trình tán xạ nảy có thê mô tả bởi cáo giản đề Feynman / 2,3 ,4/ theo lý thuyết nhiều loạn hiệp biến Giân dễ Feynman trong gần đúng, bậc thấp nhất (a) theo điện tích e,

và các giản dé Feynman tiép theo mô tả các bậc cao (bỏ chính) cho quá trình tán xạ này

(xem Hình 2)

TRnh 1 Céc gidn 46 Feynman cho tin xa electron ð trường ngoài theo lý tuyết

nhiễu loạn hiệp biển trang gẫu đúng một vòng

——® ˆ đường clectron

š trường diện từ ngoài

LV, Gung photon Gidi thick hink vé I: Gian dé (1a) elcctron có xung luong p, bay vao ving co trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng, ø; ở gần đúng bậc thấp nhất Cúc gián

đỗ mô tả các bồ chính bậc cao cho Hương tác

của clectron với chân không vậi ly- chân:

không của trường điện từ và chân không của trường electron-pozitron

"Trong bản luận văn này chúng la chỉ giới bạn các giản đỗ Feyruuan (e) và (b1) ch dong góp vào mômen từ dị thường của electron, còn ba gián đỗ còn lại (b2), (b3), (b4)

liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electren, chuẳn hóa điện tích của eleotron,

sắc hả sóng của eleetron và hàm sóng của trường diện từ ngoài Ngoài ra ta còn bỏ

qua phan kỳ hềng ngoại liên quan đến khỏi lượng photan, và chỉ giữ lại phần đóng gop chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đình Feynruan (bì) cha mômen từ dị thường của electron

Yếu tố mø trận trong bậc thấp nhật của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứmg với giảu

dé Hinh 1.(a) theo quy tic Feynman cé thé viét như sau:

(ø S n)=—e | d5b(p,|N(#G)r,Gl)-g7 GÓI mồ: GA)

Vi trudng ngoai Az" (x) Ikhéng phai la todn tử mà là hàm số thông thường nên ta cỏ

thể bỏ ra ngoài N-tích và ( ø,| | ø,), dồng thời khai triển các toán tử (+) và F(x)

thánh các toán tử sinh húy hạt

vei: ÿ)(x):toàán tử hủy ể'; /”)(x] toán tứ hủy ế;

g(x) :toan ti sinh ø”; - w*?{x):toán tứ sinh e"

Khi chuyển các toán tử sinh cleewon €“(ƒ3) từ phải sang Irái và chuyển c¡

hủy electron €7; } từ trải sang phải thi các số hạng thứ nhất, thử ba và thứ tư của (2.6) bi triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ bai cho đồng góp vào yếu Lỗ mua trậu

up, yuu me ‘ny (2.6b)

trong đó: #(P,}: spinor của electron ở trạng thai đầu, (p,}=”)(p lớn:

AX (py, m)= jet ar uN ee (x}d4e

R —-2m| mg ] “aps ea 2) (ar) an Pas es)

và được gọi là biên độ tán xạ của eleotron trong trường điện từ ngoài tĩnh (rường thé Coulomb) trong gân đúng bậc nhật của lý thuyết nhiễu loạn theo electron

2.2 Các giãn đồ Feynman cho đóng góp vào mômeu từ dị thường,

Tổ kế thêm các bổ chính bậc cao, thì chúng ta cân thay z,z“z bằng đại lượng tổng, quất hơn mả nó tương ứng với các giản dò Feynman má ta gọi là các giản dổ dính