Luận văn mô hình ising và Ứng dụng cho các chất sắt từ

Mômen tử của một đơn vị thể tích trong môi vùng đó gọi là từ độ tự phát - có nghĩa là các chất sắt từ có từ tỉnh nội tại ngay khi không có từ trường ngoài.. Đây lả các nguồn gốc cơ bản

ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Kim Qanh

MÔ HÌNH ISING VÀ ỨNG DỤNG CHO

CAC CHAT SÁT TỪ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

THã Nội - Năm 2014

Nguyễn Thị Kim Oanh

MÔ HÌNH ISING VÀ ỨNG DỤNG CHO

CAC CHAT SAT TU

Chuyên ngành: Vật lý chất rắn

Mã số: 60440104

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 T§ Bạch Hương Giang

2 GS.T§ Bạch Thành Công

TIà Nội - Năm 2014

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

MỤC LỤC

1.1: Đặc điểm của chất sắt từ Thun ee

1.2:Hién tuong chuyển pha vật liệu sắt từ

1.2.1.Pha và chuyén pha

1.2.2.Phân loại chuyển pha

1.2.3: Chuyên pha sắt từ-thuận từ

1.3: Mô hình Ising cho chất sắt từ

1.3.2: Lời giải chính xác cho mô hình hai chiễu

1.3.3 M6 hinh Ising ba chiét

1.3.4 Năng lượng tự do, mô men từ,, độ từ hỏa trong mô hình Ising

1.3.5 : Kết luận

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH ISING MÁT TRẬT TỰ VỚI TÍCH PHÂN TRAO

ĐỎI THĂNG GIÁNG VÀ ỨNG DỤNG ` ` 2.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising mắt trật tự „82

3.1.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising trật tự su 22)

pháp biển đôi tích phân

CHUONG 3 : KET QUA VA THẢO LUẬN

KẾT LUẬN 3tấnghogiRl0812M550.66g i rã di sce

TAI LIEU THAM KHAO Pe ee ee eee 57

Luận văn tốt nghiệp

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

LỜI CẢM ƠN

Em xin bay tỏ lòng cảm ơn sâu sac toi TS Bach Huong Giang va GS.TS

Bach Thảnh Công đã tân tình hướng dan va đông viên trong suốt quá trình thực

hiện luận văn để em có thể hoan thành tốt đẻ tải * Mô hình Ising và ứng dụng với các chất sắt từ”

Em xin gửi lời cảm ơn chân thảnh tới Th.S Nguyễn Văn Chỉnh -bô môn Lý

Sinh Học viện Quân Y đã nhiệt tinh giúp đỡ trong quả trình em thực hiện những,

tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

Em cũng xin gửi lời cảm on PTN tính toán trong KHVL, các thây cô trong bộ

môn Vật lý chất rắn và các thầy cô trong Khoa Vật lý - Trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, các thầy cô công tác tại trường Dai hoc Su Pham Ha Nội đã trang bị kiến thức chuyên môn cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp em hoàn thành luận văn này

Cảm ơn đề tài NAFOSTED 103.02.2012.73 đã giúp đỡ tính toản trên máy tỉnh

để thực hiện thành công luận văn này

Cuối củng em xin gửi những lời cảm ơn tới gia đình, bạn bẻ đã luôn sát cánh

động viên trong suốt quả trinh em hoc tap va hoản thảnh luận văn tốt nghiệp nảy

Ha Noi ngay 01 thang 08 nim 2014

MỞ ĐẦU Vật liệu từ được phát hiện cách đây hàng nghìn năm và ứng dụng tiêu biểu

nhất trong thời kì đó là kim la bản Chính la bản đã tạo điều kiện cho ngảnh bảng

hãi phát triển, góp phần tim ra các lục địa mới Việc phát hiện ra loại vật liệu nảy

với những tỉnh chất đặc biệt của nó đã tạo bước ngoặt lớn trong tiến bộ của loài

người Ngày nay, các vật liệu từ được ứng dụng rộng rãi trong các thiết bị hiện đại

của cuộc sống xung quanh chúng ta như điện thoại, la bản, ỗ cứng, ti vi Song

song với sự phát triển của các loại vật liệu từ là sự phát triển của ngành từ học

nghiên cửu các tỉnh chất và các hiện tượng của vật liêu đó Một hiện tượng quen

thuộc và nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhả khoa học chỉnh lả hiện tượng chuyển pha của vật liệu từ Các mô hình lý thuyết giải thích hiện tượng từ một cách

hiện tượng luận đã được đưa ra như mô hình lý thuyết trường phân tử Weiss (1907) giải thích hiện tượng sắt từ, mô hình Neel (1904-2000) giải thích hiện tượng phản

sắt từ và feri từ Tuy nhiên việc phát triển các mô hình vi mô đẻ giải thích được bản chất lượng tử của các hiện tượng từ luôn là nhiệm vụ cân thiết

Hiện nay, quả trình từ hỏa trong vật liệu có cạnh tranh tương tác như quả trình

cạnh tranh giữa phản sắt từ và sắt từ trong hợp chất, hợp kim perovskite pha tạp, sắt

tir pha tap .dang được nhiều phòng thí nghiệm trên thẻ giới nghiên cứu Đặc biệt

lả quá trình từ hóa ở nhiệt độ thấp với ảnh hưởng của từ trường ngoải trong vật liệu

da tinh the Ví dụ như công trình nghiên cứu của R Mahendiran [15] khảo sát sự

phụ thuộc của mô men tử vào trường ngoài của vật liêucho kết quả khá lý thú là tôn

tại của bước nhảy của mô men từ ở nhiệt độ thấp gân 0 độ Kelvi.Các nhảy bậc

trong đường cong từ hỏa ở nhiệt độ thấp trong môi trường cỏ tôn tại cạnh tranh

tương tác đã được khảo sát trong mô hình Ising hai chiều [7]

M6 hinh Ising (1920) là mô hình toán học đơn giản cho hiện tượng tử trong cơ

học thống kẽ Mô hình nảy bao gồm các biển độc lập được gọi lả spin có thể nhận

một trong hai giá trị là 1 hoặc -1 Các biên spm được sắp xếp trong mạng tình thẻ tại

các nút mạng vả chỉ tương tác với những lần cận của nó do nhả khoa học Ersnt

Ising (1900-1998) xây dựng củng với một số lý thuyết được nêu trong các công

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

trình khoa học ở trên là cơ sở đẻ giải thích cho quá trình chuyên pha từ trong các hệ

tử pha tạp mạnh và có cạnh tranh tương tác

“Trong luận văn nảy, tôi tiếp tục phát triển lý thuyết trên khảo sát quá trình từ hóa của vật liệu sắt từ dưới tác dụng của trường ngoài khác nhau vả cho các hệ thực (hệ hai chiêu, hệ ba chiều) mất trật tự và so sánh kết quả giữa lý thuyết với thực nghiệm Các tính toán được thực hiện trong gần đủng phương pháp trường trung

bình đựa trên đăng thức Callen vả khảo sát kết quả dựa trên phương pháp Monte

Carlo là phương pháp tính toán lý thuyết kết hợp với mô phỏng

Phương pháp nghiên cứu

~ Dưa trên mô hình Ising vả hệ thức Callen thực hiện các bước biến đôi giải tích theo cơ học thông kê đề xây dựng được biểu thức mô men từ tỉ đối trên một nút

mạng phụ thuộc vảo các thông số như nhiệt độ, từ trường ngoải đặt vào, xác suât

thăng giáng Từ đó sử dụng phân mềm hỗ trợ Mathlab tính toán số thu được kết

qua ve sự phụ thuộc của mô men tử tỉ đối vảo nhiệt độ và vảo tử trường ngoải phủ

hợp với lỷ thuyết chuyên pha vả thực nghiệm đã đo được

~ Ngoài ra sử dụng phương pháp Monte Carlo áp dụng cho một số trường hợp

cụ thê đề thu được kết quả tương tự so với phương pháp giải tích

Cấu trúc luận văn

Bén cạnh phân mục lục, mở dầu cầu trúc luận văn gồm ba phân chỉnh như sau:

Chương 1: Tổng quan vẻ mô hình Ising

Chương 2: Ứng dụng mô hình Ising cho quá trình chuyên pha

Chương 3: Kết quả và thảo luận

Kết luận

Danh mục tải liệu tham khảo vả phụ lục

Luận văn tốt nghiệp

Danh mục hình có trong luận văn:

Hình3.1: Đường cong từ nhiệt với các tham số z=4, h=0, p=0.5 và các giá trị

A=0.6(1);A = 0.8(2),A = 0.98(3); A = 1(4),A =1.001(5),A = 1.02(6);A = 1.1(7),A =1.106(8)

Hình 3.2 : Duong cong từ nhiệt với z=4, p=0.5 , h=0.002 vả các giá trị A

A=080);A = 1(2);A = 1.02(3);A = 1.106(4);,A = 1.11(5);A = 1.19(6)

Hình 3.3:Duong cong tir nhiét voi z=4, p=0.5, h=0.02 va các giá tri A A=0.8(1);A=1(2);A =1.02(3);A = 1,106(4);,A = 1.19(5),A =1.25(6)

Hinh 3.4 ; Duong cong tir nhiét voi z=4 , h=0.2 , p=0.5 với các giá tri A A=1.19(1),A =1.3(2);A = 1.401(3);A = 1.43(4);A = 1.45(5);A = 1.5(6)

Hình 3.5: Đường cong từ hỏa với Z=4, p=0.5 , delta=1.02 và các giá trị của h

Hình 3.6 : Đường biểu diễn sư phụ thuộc của mô men từ trên mộtnút mạng m vào

nhệt đô t kh z-6p-05, h0 va các giá ti A

A=06();A =0.82),A =1);A = 1.2(4);A =1.5(5);A =1.56(6)

Hình 3.7: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên một nút mạng mvảo

nhiệt độ t kh z=6/ p=05, h=0002 va các gid tị A

A=06();A = 0.8(2).A =1.2@),A =1.5(4),A =1.56(5)

Hình 3.8: Sự phụ thuộc nhiệt đô Curie vảo xác suất thăng giảng p với z=4, A=1.01

vả A=1.1 khi h=0

Hình 3.9 : Sự phụ thuộc nhiệt độphu thuộc t, vào xác suất thăng giảng với z=4, A

=1.15 ởh=0, h=1.2 vả h=1.Š

Hình 3.10 :Đỏ thị phụ thuộc của (p-t) với z=6, h=0, A=1.005 và A=1.1S

Hình 3.11: Sự phụ thuộc của nhiệt đột, vào xác suất p với z=6, A=1.15, h=0, h=1.5, h=1.6 vah=1.8

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Hình 3.12: Đỏ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vảo từ trườngvới z=4, A=1.03,

t= 0.01 va cac gia tri thăng giáng p=0.2 ; p=0.4; p=0.45

Hình 3.13 Đổ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vảo từ trường

vớiz=4p=02/t=00lvả các giả trị A của tích phân trao đổi lần lượt là

A=1.02(1),A = 1.03(2);A =1.04(3)

Hình 3.14: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men tử vảo từ trường với Z=4,

p=0.2, A=1.02 và các giả trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001, t=0.0001

Hình 3.15: Đường biểu diễn sự phụ thuộc mô men từ vảo từ trường vớiz=6, t=0.01, p=0.2 và các giả trị A của tích phân trao đổi A = 1.02(1);A = 1.038(2);A = 1.04(3)

Hình 3.16: Đồ thị (m-h) với z=6, Delta=1.04, t=0.01 vả p=0.1, p=0.3, p=0.5

Hình 3.17: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men tử vào từ trường với z=6, p=0.1, A=1,04 va cac gia trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001, t=0.0001

Hình 3.18 : Đô thị biểu điển m theo h với Z=4, t=0.01, delta=1.04,p=0.1

Hình 3.19:Đỏ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mô ment từ tỷ đối m vào từ trường h khi z=4,t=0.01,delta=1.04,p=0.5 bằng phương pháp Callen và Monte Carlo

Hình 3.20: Đỏ thị so sánh giữa lý thuyết và thực nghiệm cho mômen từ(rong đơn

Vi Hạ ) trên một nút mạng theo từ trưởng

Luận văn tốt nghiệp

CHUONG 1: SAT TU VA MO HINH ISING

1.1: Đặc điểm của chất sắt từ

~ Sắt từ là các chất có từ tỉnh mạnh và có mômen từ nguyên tử lớn (ví dụ như

sat la 2,2 jig, Gd la 7 pg ) Nhờ tương tác trao đổi các mômen từ nguyên tử định

hướng song song với nhau theo từng vủng (gọi là các đômen từ tỉnh) Mômen tử

của một đơn vị thể tích trong môi vùng đó gọi là từ độ tự phát - có nghĩa là các chất sắt từ có từ tỉnh nội tại ngay khi không có từ trường ngoài Đây lả các nguồn gốc cơ

bản tạo nên các tính chát của chất sắt tir,

-Hiện tượng từ trễ: Khi từ hóa một khỏi chất sắt từ các mômen từ sẽ cỏ xu hướng sắp xếp trật tự theo hướng từ trường ngoài do đỏ từ độ của mẫu tăng dân đến

độ bão hòa khi từ trưởng đủ lớn (khi đỏ các mömen từ hoản toản song song với

nhau), Khi ngắt từ trưởng hoặc khử tử theo chiều ngược, do sự liên kết giữa các

mômen tử và các đômen từ, các mômen từ không lập tức bị quay trở lại trạng thái

hỗn độn như các chất thuận từ mà còn giữ được từ độ ở giả trị khác không Có

nghĩa là đường cong đảo từ sẽ không khớp với đường cong từ hỏa ban đầu, va nêu

từ hóa và khử tử theo một chu trinh kin của từ trường ngoải, ta sẽ cỏ một đường cong kín gọi là đường cong tử trễ Và trên đường cong từ trễ, ta sẽ có các đại lượng đặc trưng của chất sắt từ như sau:

Cảm ưng tử, bacon Bs

Banter, Siêu Et nang

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

* Từ độ bão hỏa: là từ độ đạt được trong trạng thái bão hòa từ, có nghĩa làtát

cả các mômen từ của chất sắt từ song song với nhau

* Từ dư: là giả trị từ độ khi từ trường được dua ve 0

* Lực kháng từ: lả từ trường ngoài cản thiết để khử mômen từ của mẫu ve 0, hay là giá trị đề từ độ đổi chiều Đôi khi lực kháng từ còn được gọi là trường đảo từ

* Từ thâm: là một tham số đặc trưng cho khả năng phản ứng của các chất từ

tính dưới tác dụng của từ trường ngoài Từ thâm của các chất sắt từ có giá trị lớn

hơn 1 rất nhiều, và phụ thuộc vảo tử trường ngoài

* Nhiệt độ Curie: là nhiệt độ mả tại đỏ, chất bị mắt từ tính Ở dưới nhiệt độ Curie, chat 6 trang thai sat tir, ở trên nhiệt độ Curie, chất sẽ mang tính chất của chất

thuận từ

1.2:Hiện tượng chuyển pha vật liệu sắt từ

1.21.Pha và chuyển pha

Pha là một trạng thải của vật thê với các tỉnh chát và đôi xứng đặc trưng, Ta cỏ thể đưa ra một số ví dụ như pha rắn, pha lỏng của km loại và hợp kim, pha sắt từ,

thuận từ của các vật liệu từ

Chuyên pha là sự thay đổi trang thải từ mức độ đổi xửng nảy sang mức độ đổi

xứng khác hình thảnh các tính chất mới của vật liệu Đổi xứng ở đây có thể là đối xứng tinh thể (chuyên pha ran lỏng ) cũng có thẻ là đối xứng của tham số vật lý

khác(đổi xứng mômen từ trong chuyên pha sắt tử-thuận từ )

1.2.2.Phân loại chuyễn pha

Có nhiều cách phân loại chuyên pha Năm 1933, theo phân loại của

Ehrenfest [1] chuyển pha bậc n là chuyền pha trong đỏ cỏ các hảm thẻ nhiệt

đông thay đổi liên tục khi đi qua điểm chuyên pha (T=Te) và đạo hàm bậc n của

các thể nhiệt động theo nhiệt độ liên tục tại điểm chuyên pha vả đạo ham bac

n+] bị giản đoạn

Luận văn tốt nghiệp

“Trên thực tế chỉ cỏ chuyên pha loại 1 và chuyền pha loại 2

Theo lý thuyết Landao đưa ra năm 1937,chuyên pha gắn với tính chất đổi xứng của hệ và Landao đã đưa ra các tham sỏ trật tự gắn đặc trưng cho hệ vật lý Khi pha

đối xửng chuyên từ pha đối xứng này sang pha đối xửng khác thì tham số trật tự

cũng thay đổi giả trị

Chuyên pha loại 1: là sự biển đổi của hệ trong đó khỏi lượng riêng, các thể nhiệt động (trừ entanpi tự do G), entropi biển đổi gián đoạn ở điểm chuyên pha,

nhiệt chuyên pha có giá trị khác không.Ở chuyên pha loại | su sắp xép mạng tinh

thể (thay đổi kích thước giữa các nguyên tử và góc giữa các mặt tinh thể) xảy ra

trong khoảng nhiệt độ rất hẹp Hệ quả là đổi xứng tỉnh thẻ thay đôi đôt ngột và đồng thời trạng thải tỉnh thẻ, nội năng vả các đại lượng nhiệt động khác thay đổi xuất

hiện bước nhảy thẻ tích vả thu (tỏa)nhiệt chuyển pha.Vi dụ:sự bay hơi, nóng chảy,

kết tình

Chuyển pha loại 2: là sự biển đổi pha của hệ trong đó khỏi lượng riêng và tất

cả các thế nhiệt động biến đổi một cách liên tục, còn đạo hảm bậc hai của entanpi tự

do G theo các thông số vật lý của hệ (hệ số giãn nở,nhiệt dung ) biển đổi gián

doan.Tai điểm chuyên pha loại 2 không phân biệt được các pha Nhiệt chuyên pha

bằng không.Ví dụ biến đổi trạng thái sắt từ sang thuận từ, từ trạng thái siêu dẫn

sang trạng thái thông thường khi không có từ trường ngoài là chuyên pha loại 2

1.2

Khi đặt vật rẫn vào từ trường ngoài ma vat thay d6i tinh chat vat ly, ta nói vật

:: Chuyên pha sắt từ-thuận từ

rắn có tính chất từ Các đại lượng vĩ mô đặc trưng cho tỉnh chất từ của vật rắn là

+M6 men tir: là đại lượng đặc trưng cho độ mạnh yếu của nguồn từ

Xét một mạch điện kin có dòng điện cường độ I chạy qua, mômen từ gây ra bởi dòng điện trong mạch xác định bởi biểu thức

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Đối với nguyên tử, mômen từ của nguyên tử chủ yếu được gây nên bởi

mômen quỹđạo L và mômen spin S của các lớp vỏ điện tử không lap day

+Độ từ hóa (từ độ): là đại lượng vật ly được xác định bằng mômen tử của vật

liệu trên một đơn vị thẻ tích:

Trong đó: ?ï là mômen từ của các hạt vỉ mô trong đơn vị thể tích AV

+ Đồ từ cảm: lả đại lượng đặc trưng cho mômen từ do từ trường H gây ra trên

một đơn vị thể tích Môi liên hệ giữa đô từ hóa vả từ trường H có thể được biểu diễn

dưới dạng:

(1.3)

Với: +<0: Chất được gọi là nghịch từ có MỸ củng phương nguoe chiéu H

%0: Chất được gọi là thuận từ có M củng phương củng chiêu với HỶ

Chất thuận từ vả nghịch từ có đặc điểm chung lả: chỉ cỏ từ tỉnh tỏn tại khi cỏ

từ trường ngoài đặt vào và độ cảm từ nhỏ

~Quá trình chuyên pha sắt từ-thuận từ:

Khi không cỏ từ trường ngoải và ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ Curie chất cỏ từ

tỉnh rất mạnh gọi là chất sắt từ có trật tự từ tự phát Nguồn góc của sắt từ lả do các

spin điện tử thuộc các lớp điện tử không lắp đây(f,đ) Tương tác giữa các mômen từ

là hệ quả của tương tác giữa các điện tử trên các nguyên tử khác nhau hoặc giữa các điện tử linh động và các điện tử định xử trong từng nguyễn tử Hiệu ứng của tương tác nảy là sự chuyển dời từ các điện tử từ nguyên tử này sang nguyên tử khác hay

dan đến sự phân cực của các điện tử linh động tạo nên tương tác gián tiếp giữa các

mômen từ định xử

Xét hệ sắt từ đẳng hưởng khi không cỏ từ trường ngoài, ta ting dan nhiệt độ tử

T=0K

Luận văn tốt nghiệp

* Tại T=0K ở trạng thái cơ bản, các spm định hướng song song theo một

phương tủy ý

* Cho nhiệt độ tăng dân: cảng cỏ thêm nhiêu spm định hướng không có trật

tu(do chuyên động nhiệt phá vỡ sự song song ctia cac spin) nhưng tương tác trao đổi vẫn còn đủ mạnh đẻ giữ các spm song song trong một miễn nào đó gọi là các

đảm từ Các đám từ khác nhau thi định hướng khác nhau

* Tiếp tục tăng nhiệt độ: khi T=Te xảy ra sự cạnh tranh mạnh giữa hai xu

`

Hình 1.2: Sự thay đổi định hướng của đám spin theo nhiệt độ

1.3: Mô hình Ising cho chất sắt từ

Mô hình Ising là một trong mô hình đơn giản nhất vả phô biến nhất trong, biêu diễn tương tác và được đẻ xuất đầu tiên bởi Ernst Ising vào năm 1925 với sự tham

gia clia giao st Wilhelm Lenz [18] Mô hình Ising là mô hình toán học cho chất sắt

từ Ising chỉ ra rằng trong không gian một chiều không xảy ra quá trình chuyên pha

và ông cũng tranh luận rất nhiều trong hê mô hình chất sắt từ hai chiều vả ba

chiêu [16] Vấn đề nảy được sang tỏ vào năm 1941 khi Kramers vả Wannier đưa ra

mô hình toán học và tỉnh toán cho bài toản này.Đến 1944, Lars Onsager dua ra loi

giải chính xác cho mô hình Ising khi không có từ trường ngoải[18]

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Xuất phát toán học của mô hình: Coi như một mạng toán học có N nut mang

với một spin S ở mỗi nút Spin cỏ thê nhận hai gia tri+1 spin lén ( spin up) va -Ispin xuống (spin down).Do vậy có tổng 2Ÿ trạng thái trong hệ Tại vị trí thứ ¡ bắt ki trong

mạng tình thể được biểu diễn bởi một biến spin Sị, Năng lượng tương tác được định

: nghĩa: E,(S)=- EY Jy88,-DBS, ñ (4)

aye Trong đỏ: Biéu thi mé hinh Ising,

Jj théng s6 nang luong và ta đặt gi =1

<ij>: cặp spin lân cận gân nhau 1¿ là hằng số tương tác trao đổi.Để

dongian,ta đặt Jj = J và chỉ xét tương tác giữa lân cận gần nhất

Neu J > 0 khi đỏ trong trạng thải cơ bản các spim xếp song song, tương tác là

tương tác sắt từ

Nếu I < 0 khi đó trong trạng thái cơ bản các spin đôi song song,tương tác là

phản sắt từ

Dé đơn giản ta cho I > 0, xét sự kết hợp của các spi trong tử trường ngoải B

Ta coi các spin nằm đọc theo trục z khi từ trường ngoải B=B; Khi ở trong tử trường, ngoài không đổi B;= B > 0 nang lượng tương tác trở thành

a> m Tổng thống kê Z có dạng

1.3.1 Chuyén pha trong mé hinh mét chiéu

Trong không gian một chiều, mô hình Ising được xem xét lả một chuỗi các các

điểm trên một đường thẳng gồm N nút mạng, mỗi nút là một spm nguyên tử

Hình 1.3 : Mô hình Ising ID

Luận văn tốt nghiệp

Áp dụng điều kiên tuần hoàn biên cho các spin, các spin chỉ tương tác với các

spin lan can ở trong từ trường ngoài B Ta cỏ thể viết

Tổng thông kê Z được viết dạng,

ZaDSh DHA Dds eXPLB LEU SiSina + BSD] (1.9)

Kramer va Wannier bieu dién tong thong ké Z mot cach ré rang nhu sau

Z=VSh DHL Dane exPLB LE SiSina + 5 BCS; + Six1))] (10)

Kết quả lả ta phải tỉnh giả trị của các ma trận (2 x 2) Trong đó ma trận P là ma trận được xác định như sau

<S|P|S’> = exp { B[ JSS’ +šB(§ +S)]) (11) Trong dé S va S’ la déc lap voi giá trị + 1 Ta có các ma trận cơ sở

Ta có thể viết Z như sau :

Z=YE DH DHL, < SilPlS2 >< S2|P|S3 > < SylP|Sy >

= IHL, < SPS, >

“Ti

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

‘Voi aN AN la hai gia tri ctia P AN>A% Z chính lả vết của ma trận năng lượng

thứN với kết quả của điều kiện biên tuân hoàn cho công thức (1.5)

Det li “a a EK 4# — 2ae*! cosh(#B) + 2 sinh(2ÿJ)=0 (1.15)

Kết qua la:

A, = e*! [cosh(BB) + Jcosh?(BB) — 2e~27sinh (28J)(1.16)

KhiB=0

Ay = 2cosh (BN) q17 À_ = 2 sinh (BI) (118)

Trở lại trường hợp chung với B £ 0 Trong trường hợp nảy A_/A4 <1 giong

trường hợp J = B = 0 Trong giới hạn nhiệt đông ( N—»z ), chỉ có giá trị Â, là thích hợp Chúng ta sử dụng (A_ /3, )<1 vả năng lượng tự do Helmholt trên spin là :

=-I-kgTln[cosh(8B) + /cosh?(BB) — 2e~2/) sinh(2B/)(1.20)

Độ từ hóa của một spin lả:

10F_ sinh (BB)

2e~2B1s

‘cosh? (BB Cay (1.21)

Khi trường ngoài bằng 0 (B=0) độ từ hóa bằng 0 (m=0) ở mọi nhiệt độ Co

nghĩa là trong trường hợp này sẽ không có đô từ hỏa tự phát và trong mô hình Ising một chiều không cỏ tính sắt từ Nguyên nhân là do ở một nhiệt độ bắt kỉ, quả trình

xây ra theo hai khuynh hưởng cạnh tranh đối lập nhau: Xu hưởng sắp xếp các spin

thẳng hàng để năng lượng là cực tiêu và xu hướng sắp xếp ngau nhién de entropy 1a cực đại Trên tất cả, xu hướng để năng lượng tự do là cực tiểu với F= E — TS Trong

mô hình một chiêu, xu hướng sắp xếp thắng hàng của các spin luôn mất đi do không

cỏ đủ spin lân cận

Kết luận: Trong mô hình Ising một chiều không xây ra quá trình chuyển pha

theo nhiệt độ

1.3.2: Lời giải chỉnh xác cho mô hình hai chiều

Trong mô hình Ising hai chiêu với mạng spm được coi là mạng vuông lý

tưởng có số lân cận là 4 Dân dắt từ phép biến đổi giải tích thông qua ma trận

chuyên giao, Lars Onsager đã đưa ra lời giải chính xác cho mô hình hai chiêu vao

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Trong đó môi spin tương ứng với một nút mạng trong không gian hai chiều

Hamiltonian cỏ thể viết dưới dạng :

Khi đó ma trận chuyển giao P là một ma trận 2" x 2" dang

< Hj|P|u, > = exp {-[E(,,t„) + E(u,)]} (1.27)

Hảm tổng thông kê :

Z=Tr(P") (1.28)

Giống như bài toán mô hình một chiêu ta cần phải tìm trị riêng của P Theo

giới hạn nhiệt động, kết quả cuồi củng tính trong từ trường B=0 ta cỏ

a(T) =-KT h[2eosh(20D] -= ƒ7 đớin(1+[1— Ksin2Ø) (129)

KhiT>Tc tôn tại sự mắt trật tự khi B=0 Điều kiên của nhiệt độ tới hạn xảy ra quả trình chuyên pha là

1.3.3 Mô hình Ising ba chiều

Mô hình Ising ba chiêu hiện nay chưa cỏ lời giải chính xác Dưới đây là lời

giải mô hình Ising ba chiêu cho hệ orthorhombic đơn giản Mô hình Ising ba chiêu

các nguyên tử chiếm giữ: không gian trong mạng dang hình lập phương

Hinh1.5: M6 hinh Ising 3D

Chúng ta xét với mang orthorhombic don gian co m hang va n cot vi tri trong một mặt phẳng Mỗi vị trí được xác định trong hệ thông mang béi cac chi sé (i,j,k)

Mỗi vị trí có hai loai nguyên tử,tất cả chủng có định hướng đổi song song với nhau

Trong mô hình ba chiều, mômen từ spin S=1⁄2, chỉ tương tác với các spin lân cận

Trong một mặt, năng lượng tương tác là +Ï giữa nguyên tử với nguyên tử không lân cân khác trong một hàng vả +J' giữa các nguyên tử không lân cận khác trong một

Luận văn tốt nghiệp 15

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

cột Năng lượng giữa các spin lan cận trong một hàng vả một cột la —J, -J trong một

mặt phẳng, Năng lượng +J"(-J") là năng lượng tương tác giữa nguyên tử với nguyên

tử không lân cận(lân cận) với hai mặt phẳng lân cận với mặt phẳng chứa nguyên

tử Các nguyên tử không lân cận hay lân cận cỏ sự sắp xếp các spin đối song song

hoặc là song song, Hamiltonian của mô hình Ising ba chiều hệ othorhomic đơn

giản là

H=SL OVS mm 0993 Sos" LLL Seen rl pt ool tam (1.34)

Xac suat tim thay mang Ising orthorhombic đơn giản ở nhiệt độ T tỉ lẽ với

exp{-E/kgT}, trong đỏ E, là tổng năng lượng của hệ và kp lả hằng sỏ Boltzmann

- leK+neK +nc"K”]

Z = X toankhônggtan Ð (®eE+neK +)

‘Thé Ham nhiét déng hoc,hé m6 hinh Ising trong mang orthorhombic don giản

có thétim thông qua ham tong théng ké Z nhung van đề trở nên phức tạp hon trong

hệ Ising hai chiêu khi giới hạn tổng Z la 2"""" Theo nhu phat trién cia Kaufman

chúng ta coi như mỗi spin đều có thuộc tính gióng nhau Tất cả các nguyên tử đều

chỉ có một loại spin là +1,trong khi đó cỏn cỏ loại khác lả -l Vì vậy tương tác giữa

hai nguyên tử lân cận với spin lả #,J¿ là: -'K (hoặc là - #"K? hoặc là - 1K")

cho các hàng lần cận (hoặc các cột hay các mặt) Câu hình của một chất từ tỉnh có thể được chỉ rõ bởi trạng thái có giá trị của # tại mọi vị trí hoặc xét đến câu hình của

cả chuỗi Trong một mặt có n nguyên tử trong một hảng vả có L mặt, có 2" cầu hình

1<w< 2" Khi đó cầu hình của mô hình Ising orthorhombic đơn giản duge bieu

diễn bởi tập hợp { Vịx;, , Vụ }

Năng lượng tương tác trong hảng thứ ¡ của tất cả mọi mặt phẳng đều được

biểu diễn bởi E'(v,) Năng lượng tương tác giữa hai hảng lân cận trong tất cả các

mặt là E(, vạn) Năng lượng tương tác giữa hàng thứ ¡ trong hai mặt lân cận biểu

diễn là E “'() Vây kết quả năng lượng trong tỉnh thẻ biểu diễn là:

B= DEW) tL LW) +E LO Mia) e ‘ = : mi a =

(1.37)

Dựa trên đối xứng, ta thây rằng spin trong hàng thứ m trong mọi mặt phẳng

của tỉnh thẻ tác động với hàng trước đó trong củng một mặt Chúng ta tru tiên áp

dụng cho mô hình tỉnh thể hình trụ theo Onsager va Kaufman Tuy nhiên, trong trường hợp tinh thê 3D, có Ì hình trụ đồng trục đổi xứng với Ì mặt trong khi trong

mô hình 2D chỉ có duy nhất một hình trụ Ta có thể viết lại như sau:

Œ2)¿„„ =eXp(-E(i,v.)/ kạT),

Œ2)¿„ =exp(=E"0,)/k,7),

Tim thay xác suất của câu hình tỉ lệ

OM =H yn Can Man Cain, orn XX agg Mono, Cngy 1-39) Hâm tổng thông kê trở thành:

Z= Ð) Œ202)/,02/,-02),„02),„„7),„„ =aee(777)” Q.40)

eM

Từ mỗi vị tri i 1 < tị < 2"! ching ta tim được Vị, V; và Vị có ma trận 2"!

chiêu và Vạ, Vs la dung chéo Vì, Vạ vả Vạ trở thành:

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

=exp{K" tư, #1,„¡}= exp{K "4"}

Dé đơn giản ta bắt đầu sử dụng phương pháp chéo hỏa ma trận, chủng ta đặt

số lớn nhất giữa K, K" và K"” như tiêu chuẩn cho định nghĩa của K*.Chúng ta xác

định được Vị là hệ số vô hướng

Zz =(sinh2K) > draceV VV)" =(2sinh2K) Ta * (1.46)

Với 4 là trị riêng của ma trận VEV¿.V; Vị

Từ tổng thống kê (1.46) ta có thẻ tính được năng lượng thông kẻ, tham số

nhiệt động của hệ spm

1.3.4.Năng lượng tự do , mô men từ , độ từ hóa trong mô hình Ising

Trong mé hinh Ising 1D, Erst Ising gia thiét tất cả các spin của nguyên tử đều

tạo cặp và có hướng ngược nhau được mô tả ở hai trạng thái đặc trưng là trạng thái

lên (spin up) vả xuống (spin down)do đó từ trường được tạo ra bởi nguyên tử nảy

lại bị phá hủy bởi tử trường của nguyên tử khác nên khi xét một lượng lớn các điện

tử sắp xếp có spin theo hướng ngược nhau thi từ trường tổng công bằng 0 ~ không

có tử tính

Wilhelm Lenz giả thuyết: vật liêu có tỉnh sắt từ do các nguyên tử không tạo

cặp và có thẻ tạo ra được tử trường Từ trường tạo thành tác dụng lên các hạt tích

điện làm các hạt tích điện nảy dịch chuyển theo hai hướng: Một hưởng các hạt di

chuyên củng chiêu từ trường ~ các hạt nảy có mang năng lượng thấp, hưởng cỏn lại các hạt đi chuyên theo hưởng chóng lại tử trường — các hạt này mang năng lượng

cao.Giả sử vật liệu sắt từ được đặt trong một từ trường vả được giữ ở nhiệt độ

không đổi, khi đó từ trường nảy tạo ra trong mang tinh thé một độ từ hóa nhất định

do spin tại các nút mạng có xu hướng ở trạng thải “up” Những kết quả tính toán và thực nghiệm cho thấy, độ từ hóa tạo thành nảy phụ thuộc vảo từ trường và nhiệt độ: khi từ trường tác dụng giảm, ở vùng nhiệt độ cao mang tinh thé tro vé trang thai

không từ hóa (thuận từ), ngược lại ở vùng nhiệt độ thấp khi từ trường giảm vẻ 0 độ

từ hỏa của mạng tỉnh thể vẫn khác 0 (do một số lượng nhỏ các spin vẫn ở trạng thái

up) Độ từ hỏa nảy được gọi là độ từ hóa tự phát

Xét tại vị trí thứ j (bat ky) trong mang tinh thé voi một biển spin độc lập 8, (J=1, N), trong đó 8, chỉ có thẻ nhận một trong hai giá trị 1 hoặc -1 (hai trạng thái có thể có tại mỗi vị trí của mạng tỉnh thẻ) Với mỗi giá trị của S, tại một vị tri

của mạng tỉnh thẻ cho ta một trang thái (câu hình) của hệ do đó khi xét với mạng

tỉnh thể với N nút mang sẽ có tất cả 2” trạng thải

Giả thiết rằng, chỉ có tương tác giữa những lân cân gân nhất và tương tác giữa

các nút mạng với trường ngoài đóng góp vào năng lượng của hệ, khi đó năng lượng

tổng công của hệ được xác định bằng Hamiltonian

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

đ 7

Trong đó: /„ là các thông số năng lượng phụ thuộc vảo cường độ tương tác

giữa những lân cận gân nhát và # là trường ngoài Số hạng thứ nhất trong (1.47) lây theo tổng tất cả các cặp lân cận gân nhất trong mạng tỉnh thẻ, số hạng thử hai lây

Trong dé: 6 =k,7', ky la hang s6 Boltzmamn, 7 là nhiệt độ (nhiệt độ tuyệt

đổi), #f là Hamiltonian của hệ

Xác suất tôn tại một trạng thái bắt kỳ của hệ được xác định theo công thức

G day gidi han N — « duoc goi la gidi han nhiét déng hoc

Khi đỏ mô men từ được xác định theo công thức:

ộ

MÑ.)=g £(ñ./) (sl)

Quá trình chuyên pha của hệ vật lý mô tả bằng mô hình Ising được thể hiện

thông qua sự gián đoạn của biểu thức năng lượng tự do # hay trong đạo hảm của

nó Do đó để kiểm chứng các hẻ vat ly mô tả bằng mô hình Ising cỏ quá trình

chuyên pha hay không cân xác định được tỉnh giản đoạn hay liên tục của của hàm E

hay F’

1.3.8 : Kết luận

Nhu vay doi với mô hình một chiều không xảy ra quả trình chuyển pha, vật liệu không cỏ từ tính Với mô hình hai chiều và ba chiều xảy ra quá trình chuyển

pha tử sắt từ sang thuận từ, vật liêu cỏ từ tỉnh Trong những không gian cỏ số chiều

lớn hon 4 mé hinh Ising được giải thích bằng lý thuyết trường Mô hinh Ising chỉ

xem xét các spin trong mồi tương tác trao đổi với các spin lân cận nhất của nó với

số lân cận gần nhất này được xác định bằng biểu thức Z=2" ( d là số chiêu của mô

hình )

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

CHƯƠNG 2: MO HINH ISING MAT TRẬT TỰ VỚI TÍCH PHAN

TRAO DOI THANG GIANG VA UNG DUNG Trong chương nay chúng ta cùng xây dựng biểu thức tính mô men từ theo hệ

thức

Callen và phương pháp Monte CarlO cho m6 hinh Ising mat trat tur

2.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising mắt trật tự

2.1.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising trật tự

Hamiltonian cho mé hinh Ising cho mạng spin tuân hoản trong không gian với

trường ngoài ñ được viết như sau [13]

Ở đây, tổng được lấy với / chạy từ ! đến V và sử dụng điều kiên biên tuân hoàn8, =8,„„

Trong đỏ: S,, S, lan lượt là biển spin tại các nút mạng thứ j,k

7.k: Là những lân cân gân nhất

h: Là ký hiệu của trường ngoài (tính trong đơn vị năng lượng)

J: Là tích phân trao đổi giữa những lân cận gần nhất

Giả trị trung bình thông kê của biến spin tại một vị trí / bất kỳ của mạng tinh thể được xác định:

Tr§ e2”

Voi: p= w ky lashing sé Boltzmann va T là nhiệt độ tuyệt đối (K)

Trước hết Hamiltonian trong (2.1) có thẻ tách thảnh hai thành phan: s6 hang

thứ nhất kỷ hiệu là /,- bao gồm tất cả các liên kết tại vị trí / của mạng tỉnh thẻ và

số hạng thử hai - ký hiệu là Z7 ' không phụ thuộc vào vị trí /

Khi đó Hamiltonian trong biểu thức (2.1) cỏ thẻ viết lại

Trong mạng tỉnh thể spin tại các vị trí /,k khác nhau là các biển có thể giao

hoán cho nhau do đó ta có

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Biểu thức (2.13) là hệ thức Callen trong mạng spin tuân hoàn trong không gian

có số chiều bắt kỳvới spin $ = 211013]

Vận dụng những tỉnh toán giải tích đựa trên hệ thức Callen với mô hình Ising

sẽ xác định được một số các tham sỏ nhiệt động học như: mô men từ tổng công,

nhiệt độ chuyển pha Curie, độ cảm từ

2.1.2 Mô hình Isingmắt trật tự với tích phân trao đổi thăng giáng và hệ

h: kihiệu từ trường bên ngoài

Jj : tích phân trao đồi của nút mạng thứ ¡ vả j là lân cận gân nhất nhưng có thẻ

có giá trị khác nhau J va J’ voi xéc suat p va (1-p) Jj được coi như biển thăng

giáng vả tuân theo qui luật xác suất sau

O<psl

J: dic trưng cho trao đổi sắt từ với xác suất là p

J': đặc trưng cho trao đổi phần sắt từ với xác suất (1-p) khi A> 1, cỏn khi

A <1 nó cũng là trao đổi sắt từ nhưng với cường đô nhỏ hơn

J,A: là giá trị trung bình của tích phân trao đổi và độ thăng giáng của nó

Để xây dựng phương trình xác định giá trị trung bình thông kê của mômen từcủa mô hình Ising, chúng ta cỏ thể sử dụng hệ thức Callen tính toán giả trị trung, bình của spin ở vị trí bắt kỉ trong mạng tỉnh thể cỏ số chiều bắt kì và spin tủy ý Đối

với spin tủy ý hàm tanh(x) trong (2.13) được thay bằng hàm Brillouin Bạ(x):

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

s3, là biển spin ở nút mạng k Khi S=1/2 him Brillouin c6 dang ham tanh(ØE,)

đã biết ở trên theo công thức (2.13) Hai dẫu ngoặc trong công thức (2.17) có nghĩa

lả trung bình thông kê voi Hamiltonian Ising H va trung bình theo ham phan bo ngâu nhiên P(1j)

2.13: Phương trình đại số cho mômen từ trên một nút mạng nhận bằng

phương pháp biến đổi tích phân

Biển đổi Fourier cho về phải của công thức (2.11) dẫn đến phương trình tích

phân cho mô men từ [6]