Luận văn hệ phương trình elliptic Á tuyến tính cấp hai

Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mổ rộng các kết quả về tính giải được của bài loán Dirichlel cho một phương trình elliptie á tuyến tính cấp hai sang trường bạp hệ phương trình ell

THÂN NGỌC THÀNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ELLIPTIC A TUYEN TINH CAP HAI

Chuyén nganh: TOAN GIAL TICLL

Mã số: 60.486.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS, HÀ TIỀN NGOẠN

Hã Nội Năm 2016

Mỡ đầu

1 Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Sobolev

1.11 Không gian hàm 1„(O), 1<

1.1.2 Không gian W(Ø)(1<pøe<+sa1eÑ)

11.3 Không gian W2”(Ð) (1<p< +aod e Ñ)

12 Không gian Holddr

1.2.1 Không gian CŒ3,ƠMWØỔ) co

22 Đánh giá chuẩn Holdor của đạo hàm cấp I clin nghiệm qua các

độ lớn và đạo hàm cấp một của Hồ .ị

2.3 Đánh giá chuẩn Holder của ẩn hàm "

3.4 Đánh giá đõ lần đạo hàm cấp một của nghiệm : trên bien 22

2.5 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp một của nghiệm trên toàn miền

2.6 Định lý tên tại nghiệm của bãi toán Diichlet

Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mổ rộng các kết quả về tính giải được

của bài loán Dirichlel cho một phương trình elliptie á tuyến tính cấp hai sang

trường bạp hệ phương trình elliptic á tuyễn tính cấp hai Dưới sự hướng dẫn

của PGS T8 Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với đề tài

"Hệ phương trình elliptic á tuyên tính cấp hai"

Luận văn được chia làm hai chương:

« Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

@ Chương 2: Bai loan Dirichlet cho hệ phường trình ellipláe á tuyển tính cấp hai

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev, Molder, Dịnh lí Leray-Schauder để làm cơ sẻ chứng minh định lí tồn tại nghiệm

á tuyến tính cấp hai Chương 2 - nội dung chính

cho hệ phương trình elli

của Luận văn, trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 4 tuyến

tính cấp hai Xây dựng và chứng mình các dánh giá tiên nghiệm cho hệ Cuối

cùng chỉ ra sự tồn tại nghiệm của hệ bằng cách áp đụng Dịnh lí Leray-Schauder

“Tài liên tham khảo chính cho Inận văn là tài lieu |3|

tài Sự nhiệt tình đó đã động viên em rất nhiều để có thể hoàn thành luận van

nầy,

Tée gia xin chân thành cắm on Ban Giám hiệu, Phong Dao tạo Sau đại học,

Khoa Toán-CŒ- Tin, cde thay oS di Lạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành

Hà Nội, ngàp 7 thắng 12 năm 2016

Túc giả

Thin Ngee Thành

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Khong gian Sobolev

1.1.1 Không gian hàm L,(§8, 1< p<oc

Dinh nghĩa 1.1 7¿(O) là không gian Hanach các hàm đo được u xác định trên

Ø, nhãn giá trí thực và p - khả tích sao cho

| lu(z} Pde < +ọc

a Chuẩn dược định nghĩa trong không gian r„(Ð) là

+4(#)|[L„‡e) = J u(x) Pax

2

trong dé |u(x)| la gid tri tuyét đối của u(x)

Khi p — +90, Lro(f)} IA khong gian Banach cdc hàm bị chặn trên tì với chuẩn

|lw|l.„ esasup |ư(z)| = imf{A;|w(x;| < A2 hầu khắp nai trong 0}

Nhan xét L1, Néu Jc LM; 9 ¢ Lo) thi

f seas < | fede fire Juate

th

4

(.ø là cáo hầm bình phương khả tíđ),

Nếu &c #„„(9) và Ƒ,ø€ ra(R) thì

[me <lal, [ae

Q

1.1.2 Khéng gian W!?(9) (1 < p< +00;1 € A)

Bink nghia 1.2 Vdi Vie N51 < p< +c, ta có

wP(Q) = fulz) € bp(Q); D%ulx) € Lp(Q), Ver: fol < A,

Banach

Khil=1,p = 2 thì

WĐ2(0) — {u © Lo(Q); Diu € La(2)}

Không gian W '“(©) được trang bị tích võ hướng

1.1.3 Không gian Wi#(9) (1 <p < +o0;l € N)

Định nghĩa 1.3 Không gian W¿“(0) với 1 < p< +ao là bao đồng của Cự»(U)

trong chuẩn của không gian (9)

ii) Hai chuẩn tương đương trong W!#(@)

Illts<ø = 3” lID®lfƒ eý,

C(M = {u(x); u(x) lién tue trong 2},

CR — fule) CR: Dtuc COM

Không gian Ở(X) thực rang bị chuẩn |Jƒ|| = mas{|f(»)||z e X}, chủ

định khoảng cách trong C(X) như sau

nầy xác

ø(1.3)= l[f s[ =max([f@œ) s(z)|ec X}

Dinh nghia 1.7 Liọ F các hàm số thuộc C(X) được gọi là liên tục đồng bậc

nến với mọi £ > Ú, lồn bại ä > 0 saa cho |f() — ƒ00)| < € dũng với mụi œ, € X

thỏa mãn d(z.ø) < ổ và với mọi ƒ F

Ho I được gọi là b¿ chặn đếu nếu tồn tại hằng số A7 sao cho

“I>ong phần này sẽ trình bày Định lý Schauder vẻ đánh giá chuẩn |z|x.x.¿ với

+(z) là nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Ơu thể ta xét định

lý sau

Dinh lý 1.2 (Định tý Schauder) Giá sử QC RE là tập mở bị chăn có biên 8eŒ#2 với xe (01) 4

lạnh bắt

él loắn lữ T rắc

đu — g(*)0z,x, + bi(2)0z, + fz )ju

trong dé tit day vé sau khi sấp các chỉ số lấp trong rnột biểu thức, thà la sẽ hiểu

là lấy tổng theo chỉ số lặp đã tà ta giả thiết các hệ sễ thân mãn

|elzz.+ < Cale + lalers2 + [élos.0),

trong đó Ở là hằng số phụ thuộc tụ+,À 14,2 va khong phe thude vdo u

1.3.3 Định ly Leray-Schauder về điểm bắt động của một họ các ánh xạ

Dưới đây trình bày định lý điểm bất động Lcray-Schauder để chứng minh sự tồn tại nghiệm Trước tiên ta trình bày dịnh nghĩa liên quan

Định nghĩa 1.8 Cho Ø\, Ø; là hai không gian Banach Anh xa @: 3B) 3 Be

được gọi là haàn foàn liên tục nếu nó liên tục và biễn mọi tập bị chặn trong tị

thành Lập compaetL tương dối trong Be

Dinh ly 1.3 (Dinh bj Leray-Schauder) Gid st H là không gian Danaeh

dầu đú tà 9t là tập mã, bị chan trong HW Dat Wh — Nx [0,1] Khi dé phuong

trình

có it nhất một nghiệm lrong 9\ uới mọi L © |0, L| nếu cúc điều kiện sau được thỏa

mãn

C1) ®(u,t) mác đệnh uù hoàn loầm tiêu Lụe brén TE,

(8) tiặu,t) liền tue déu theo t trén 3,

(3) Với mai t c J0,1| thà phương trình (1.1) không có nghiệm trên biên của 9t

(4) Phương trình (1.1) có nghiệm véi 1 — 0

9

1.4 Phương trình elliptic á tuyến tính cấn hai

"Trong phần này sẽ trình bày về bài toán Dirichlet cho một phương trình

elliptic á tuyển tính cấp hai

Với x6 Q 1É, xé, phường tình dạng báo Loan

với điểu kiện biên

GI(S, ty tụ, T) = đi, ti tuy); HẦT, tà tạ, T) = BẦT, tà tu)

Ta cũng giả sử thêm các điều kiện sau đối với các hệ số đúng với mọi z e ©, Jul < Myr €|0,1 và p bất kỳ

ale, usp +(e Hel) pei OF < war bh? — (16 PT! oy IT IPI) ôn; Sw pl} (

trong đó A,, là các hằng số đương và m > 1 Khi đó, ta có các dánh giá tiến

với cáo hãm, Añi, Mẹ và 8 dược xác đính Lí các đại lượng n, Mƒ,m,À,é trorip

(15),(1.6) Xét định lý tồn tại nghiệm cho bài toán (1.4)

Định lý 1.4 Giả sử các điều kiện sau được thổa man

So n là gác hầm liên bục lheo tyuyp,= tà thủu tuấn điều

Ôm;` ðu ` Ôi

kién Holder theo z.u,p tới số mũ u > 0 déu theo + ¢ [0,1];

cức lhiằnh nạ,

10

vo) Ode ha ote , Oa, Oa ti yg ns eee Ot,

(©) Cac ham as(z,u, pr), d(x, 0,0,7) tà 3p Bw ôn ta ede phan ti thuée Con €

< Af,|p| < A4} liên tue đều theo tham số rC |0, 1]

“Ta viết lại phương trình q3) dưới dạng

Tis = táj(8y th, the) tera, + Aa, Hn) — 0

Dịnh lý 1.5 Giỏ sử các điều biện sau được thảa mãn

(a) Với z € Ô tà up bất kỹ, cúc hàm aji(+,.p),afe,u,0) là các ham do được,

ai(x,u,p) khả tí theo x,u,p tà các bất đẳng thức (1.8),(1.9) được thúa mãn;

í hb) Voi eT, \u < M — max(mai

(h) Voin eG, |u max(marlgi: Vận tù p bắt kụ, các lưàma mm, tụ, p), ale, up) ; „1u, po), OL, th, P)

thỏa mãn dan gid (1.5), (1.6);

nee pa, Ôm On, Baz tg oh mnt a - ° fe} Ce hàm a cau Greed Hen tue Holder nội s6 mit» > 0 theo x,u,p tiêu

Bài toán Dirichlet cho hệ phương

trình elliptic á tuyến tính cấp hai

2.1 Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp bai Bài toán

Khi đó hệ (2.1) là hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

aglaw) = an(sÙ, - A|KP < au(ms)6@ < ¡6 °y A,w= cam >0, (2.2)

2.1.2 Bài toán Dirichlet

Bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình (2.1) là bài toán tim ham vecto

%(z) xác định trên t) thỏa mãn hệ phương trình (2.1) và điều kiện biên

với g(z}c G2248), # là biên của @

2.2 Đánh giá chuẩn Holder của đạo hàm cấp ! của nghiệm qna

các độ lớn và đạo hàm cap mot cia nd

"Trong phần này ta sẽ xét hệ phương trình tổng quát hơn hệ (2.L)

dụ(e,0)05 2y 1d 0,0 uy) = 0/Ï = 1,2) (2.4)

trong đó œ là hàm véc tơ A' phần tử

aij(œ 0) và dÀ(z,4,p) là hàm võ hướng thỏa mãn điều kiện (23), Khi đó ta có

định lí

Định lý 3.1 Giá sử mơ) là một nghiệm của thuộc C2Ủ(Q) của hệ (24) nà

ag(s,u) khả ơi theo xy vii ul trén mién

Rec ful <M = mm |

J] p S sngx |Vul}

Ông Ha am) là các hèm đo được bị chặn bởi Mạ trong Bz,’ Gul

miền trên, Nhi đố, tần tại y > U saa cha chuẩn sa | với L= 1,3) n €2 9

Nếu thêm thầu biện w € C2°(Q),uls — 0 0d S 6 C? là sáp chuẩn |mmj|ya mới

1=1,2 ,n bị chặn bởi hằng số phụ thuge vde n,N,M, My, Mz, va S Hang sb + được xác định bởi các giá trin, N,M,My,Mo,d tà tính chất của biên S

Ching mink Do a,j(w,«) là hàm kha vi theo z; và ui nén ta cố thể viết lại

hệ (2.4) dưới dạng bảo toàn

Từ giả thiết tiên nghiệm Aƒ — mu |a(2)| về Àf\ — mạc Vớ| ta thu được đánh giá

max |A' (2, x, tte)| < e(M, Ma)

13

Khi đá mỗi phường trình của bí

1ï 15.1, Chương 3, [2| thả với mỗi u'(x),2 = 1,2,

kẻ(z)|li„v trong dé 0 2 theo các đại lượng

(2.5) là phương trình đạng bảo toàn Theo Định

£=1,2, ,.N ‘Ta phát biểu kết quả này cho hệ (2.4) như sau

Dịnh lý 2.2 Giá sử u(x) là một nghiệm của hệ phương trình (2.4) thuộc

ag(œ,0),a(s,u,p) € C*2(ĐU, uồi Đà được mô tá nhà trong phát biểu eda Dinh

Đ Ø1 Khi dũ chuẩn lin pape di OF CO dude dank ii Heer evi

nN, M, My, luliyor (Q' C2" CQ), khoảng cách từ @' tái biên của Ö° tà các

chardin a4," a lal %6, Mya

22() uly — 0,6 C XS“ thi chuda luleran

khang vuct quá một hằng số sác định hãi

Nếu thêm diéu kién ula) ¢ C

mịN, A1, ANH, le, leg(*,9)|x, sp; laf(>,%, Pligg ot

tù biển 8,

2.3 Đánh giá chuẩn Holder của ẩn hàm

Trong phần này để đánh giá được chuẩn |a|ya với (2) là nghiệm của hệ (3.1)

ta cần phải giả sử các điều kiện sau đúng với mọi z c ©,|a| < 4 và p bất kì

trang đồ bỆm,t,p) — (Pin), (œ,m,p), bŸ(m,u,p)); cQM) là dai Tượng dã bé

được xác định bởi 1, M,ACM) và „(M) trong (27) và (28); Pip, M) + 0 khí

pl ex

Ta di xét định lí san

Dinh ly 2.3 Gid sit u(x} € C2(Q) là một nghiệm của hệ (1+1) với các giả thiết

đi Rêm (2.7) (8.40) đúng với tội œ C Ö,|u < Mà và p bắt kì, đồng thời ta có

(2M + 1ONJe(M) <A Khi đó với QC Q bất kì, tần tại một đánh giá cho chuẩn

laly» phụ thuộc vào tụ ÁN, NỈ, À( MÔ, HÔM), c((M), oà Píp,M)

Néu gid thiết thêm u c Ct'(Q) vd biên S thân mãn : Tôn tại bai số dương ag vd

đụ sao ¿ho tới hình cầu bật Kì lÍp cũ lầm tuẩm tren € tù bẩm kính p < đụ thà nổi

mọi phần dụ, của miễn giao % xQ ta đều có

mes 9ý, < (1 — Ap) mes Ky

thì tên tại một đánh giá cho |ul+o theo các đại lượng n, Ý,1M, ACM), n(M), c(M),

Ptp M) |u|s,s, 29.09 Chả số + dua: rác định từn, N, M, AM), H(M), c(M), PÍp, M), , 40; Bụ

Để Liện trình bày, tá ký hiện hầm số mổ (z) — el fan) vi £12 WXen tick

vô hướng của hệ phương trình (2.1) với véc tơ —n(z) € Wa' (I!) Lây tích phân

Chon ham n(x) — (Qu+ 1wNel}@i2), trong dé &(e) € We'7(s2) vA ef 1A véc to don

vị của không gian véc tơ N chiều có thành phần thứ ¡ khác 9

— bi) ann — bn] de — 0 (3.1)

d5

“Tiếp tục chọn ®(>) — C?(z) max{2(mm — k)¿2;0}, với E 1:

trơn có giá compaet nhận giá trị thuộc [0;1] trong hình cầu #„ c ©

Ang — {0 © Ky x Qa (a) > &}

Sử dụng điều kién elliptic (2.7) ta cé đánh giá về trái của (2.14)

| [Rayuste (wh W)C? 1 aywl,, wh, 2? |de

oa [2IVMIỀ(mf — k2 — [Vui ÊC?]+r (2.14)

hee

thin dice

Đã dánh giá về Lrấi, La nữ dụng diều kiên (3.8)

|4.C| < (2M 1 ONDA) 1 Ply, MCL 1 |pÊ)

kết hợp với giả thiết của định lí về c(A#) ta có |cL | < Alp|3 1 c¡, trong đó cị là

trong đố +! dược xác định Lữ các hãng số trong giả thiết,

Chọn k thỏa mãn

À

it Ak Wake SH i -

ta Win dude: bat, dang trite san

wt PCdn <4 ‘ul ỨC Yoder + mes Ap (2.15

trong [Ï Khi đó, theo Dịnh lí 8.2, Chương 2, [2], ta đánh giá được «4|; + với

“Fương tự trong (3.13), ta chọn #; là hình cầu bất kì giao với biên # Khi đó,

đánh giá (2.15) cũng đúng với & thỏa mãn điều kiện

ing gỗ phụ thuds vae a, N, MX

2.4 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp một của nghiệm trên biên

Dé danh giá mạx [Vu| ta cần giả thiết biến 5 € O? Ta di xét dinh Ii sau

Định ly 2.4 Giá sử tím) là môi nghiệm của hệ phương trình (32.1) trong không gian C2(()nCHÖ) thủa mãn u ¿ =0 Dẳng thời hệ phương trình (2.1) thủn mãn

trong đồ 3 là đạo hàm theo véc tơ pháp tuyễn z của biên & y

Chon 2p € 8 var —1,2, ,.N san che

Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng

du?

ay lew <0

Khi đó, đặt

i” <a + = tử + |uÌÊ

Tẩy dạo hầm theo vác lở pháp Luyển cũa biên Ø bá dược

te — SỀ(z, uy} | Wa, wu)

Xét v", d(y) 1 cdc ham xác định bởi phương trình ø” — @{o”) thỏa mãn o'(y) > 0

Suy ra

WE, PUES Way 7 OE, FOUL TF

“Thế vào trong (2.18) tá nhận dược phương trình

auj(x, wet, ,, + Saigel on, — Saijue,tee, + birt, + (210, + Spee, v, — eats, + O05, „

xuan a " 2 6

may mpi, — paige, + 201/001, — bye, — Sey

Áp dụng các giả thiết (2.8), (2.9) cho các hàm cụ, b; ta có đánh giá

2

say (E,W), — tT Un — oy gee, — MIP, gf Wits iy

< ([Vul + 1)[Ve" [ef AF) + 3 +|Vi?;(£+ P)(M —1) (2.17)

Chon ¢ sao cho (2 1 1ịc < A, từ (2.17), thu được bất đẳng thức

a

18