Luận văn giải số phương trình vi phân Đại số bằng phương pháp Đa bước

6 2 Phuong phán đa bước giải phương trình vì phân đại số 2.1 Sự hội tụ của phương pháp da bước.... Lời nói đầu Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lầu, rong khi đó lý thuyế

TRUGNG DAI HOC KHOA HOC TU NHIEN

NGUYEN THI HAI DUNG

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉsố1l 1

1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao 2

1.2 Phương pháp da bước giải phương trinh vi phan 5

1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp da bước 5 12.3 Một số phương pháp đa bước cụ thể 6

2 Phuong phán đa bước giải phương trình vì phân đại số

2.1 Sự hội tụ của phương pháp da bước 18

2.2 Một số phương pháp da bước giải phương trình vi phân

3.3.2 Sự hội tụ của BDE

3.4 Phương pháp đa bước tổng quái

Lời nói đầu

Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lầu, rong

khi đó lý thuyết phương trình vi phan ẩn, trong đó có phương trình vi phân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trổ Tại dãy Phương trình vì phân đạ là bài toán đặt không chỉnh, vì vậy

có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thé tìm thấy ở phương trình vỉ phân thường Ví dụ như ma trận hệ số là ma tran suy biến, sự tồn tại và duy nhất nghiệm phụ thuộc vàa về phải, , khiến việc nghiên cứu những vấn đề định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại sỗ trở nẽn phức tạp hơn nhiều so với phương, trình vỉ phân thường

Phương trình vi phân đại số cố nhiều ứng dụng rộng rãi, chúng

mô phẳng các hệ động lực eó ràng buộc, chẳng hạn như hệ egd học, hệ mạch diện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực học chất

lỏng và nhiều lĩnh vực khác Động thái chuyển động của một đối tượng vật lý thường được mê hình hóa qua hệ nhương trình vì phân Nhưng nếu các trạng thái của hệ thống vật lý chịu một số ràng buộc (vẻ vi tri, năng lượng, ) thì các hạn chế đó được mõ tä bởi các phương trình (ràng buộc) đại số Những hệ như vậy bao gồm các phương trình vi phân và

ảnh đại số, được gọi là hệ phương trình vỉ phân đại số

iệm chỉ số được sử dụng trong lý thuyết phương trình vi phân đại số lo dộ phức tạp của một phương trình ví phân dại số đấi với phương trình vi phân thường Chỉ số là một số nguyên không âm,

cung cấp thông tỉn hữu ích vẻ cấu trúc toán học và sự nhức tạp trong

việc phân tích hệ nhương trình vi phản đại số

'IYong luận văn này, chúng Lôi trình bày một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phần chỉ số 1 và phương trình vi phan chi

2, cụ thể là phương pháp Euler ẩn và phương pháp BDF k bước Ngoài

phần mở đần, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn dược chia thành

Chương 1: Giới thiệu

“trình bày phương trình vi phần đại số chỉ số 1 và phương trình vi phản

đại gố chỉ số cao Trình bày một số phương pháp đa bước cụ thể giải

phương trình vi phân và diều kiện ổn định của phương pháp da bước

Chương 2: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phần

đại sé chỉ số 1

Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 1, phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, sự hội tụ của bài toán

nhiễu suy biển Lấy ví dụ mình họa và thử nghiệm số

Chương 3: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phần

đại số chỉ số 3

Trinh bày dạng tổng quát của phương trình ví phân dại số chỉ

phương pháp da bước ấp dụng cho bài toán, ảnh hưởng cúa nhiễu, sự hội tụ của phương pháp BDF và phương pháp da bước nói chung Lay

ví dụ minh họa và thử nghiệm số

“ay

iv

Lời cảm ơn

"Irước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin cẩm on Baa chủ nhiệm khoa Toản - Cơ - Tin học cùng toàn thể các thầy I:

giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Dại học

Khoa học Tự nhiên - Đại học Quác sía Ià Nội, đã giảng đạy tận tình

và tạo điền kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt luận văn

Đặc biệt, tối xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS

Vũ Hoàng Linh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tỉnh chỉ bảo tôi

trang suốt quá trình tôi hoe tận và thực hiện luận văn

Nhân dịn này, tôi cũng xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và động viên trong suốt thời gian toi học tập

Cuỗi cùng, tôi xin cảm ơn tất cä các bạn, các anh, các chị, em trong

lớp cao học Toán khóa 2010 - 2012 và khóa 2011 - 2013 đã tần tình giúp

đỡ và dông viên tôi trong quá trình học tập

Xin chân thành cảm ơn!

Giới thiệu

1.1 Phương trình vi phân đại số

1.1.1 Thương trình vi phân đại số chỉ số 1

Chương 1 Gidi thea

tit dé suy ra In |z| $ =z+C

Phương trình (1.3) được gọi là phương trình vì phân đại số Ta có

thể thấy, phương trình vi phân đại số là sự kết hợp giữa phương trình

vi phân và phương trình đại số

1.12 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao

Dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số là phương trình vi

phán ấn

trong đồ w : R —> IR” là lời giải, 7 : IR x R™ x R™ G R”™ 1a ham sé, ae

suy biển

Định nghĩa 1.1 Phương trình ví phân đại số (1.4) có chỉ số vi phân

đ— zm niễu z¡ là số nhỏ nhất của các vi phân

niểu ø; là khả nghịch trong lần của lời giải

Vì vậy bài toán (1.6), (1.7) 6 chi sé vi phan là 1 nếu g, kha nghịch

Hệ chỉ số 2 Xét phương trình vi phân dại số

Trong đó z không có mặt trang ràng buộc đại số Lấy đạo hàm (1.8)

ta thu được "ràng buộc ẩn"

Nếu ø„(ø)/z(,z} khả nghịch trong lân cận của lồi giải thì nhương

trình (1.8), (1.10) là phương trình chỉ số 1 Lấy vi phân phương trình

(110) cho ta phương trình vì phân của 2, vì thế phương trình (1.8), (1.8)

là phương trình vi phân chỉ số 3 Nếu giá trị ban đầu thỏa mãn Ö — đo}

và 0 — gy(0)ƒ(wo, zu) thì ta gọi chúng là "tương thích" Chỉ trong Lrường

hợp này, phương trình (1.8) và (1.8) có lời giải duy nhất dịa phương

Chỉ số nhiễu

Quan niệm thứ hai về chỉ iải thích chỉ số như là tieu chuẩn (đơn

vị đo) về độ nhạy cảm của lời giải đối với nhiễu của bài toán cho trước

Định nghĩa 1.2 Phương trình (1.4) có chỉ số nhiều g — m doc theo lời

giải u{z) trên [Ũ,Z), nếu mm là số nguyên nhỏ nhất sao cho mọi lời giải

?{z) của phương trình có nhiễu

Chương 1 Giai thagn

Hệ chỉ số 1 Dể tính toán chỉ số nhiễu của phương trình (1.6), (1.7), ta

với về phải của (1.15) là đủ nhỏ

Trừ (L.13) cho (1.8), lẫy tích phan tt 0 > 2, sit dung diéu kiện Läps-

chỉ cho ƒ và ước lượng trên cho #(œ)— z() cho ta e(#) = ||ỹ(>) — ()||

Bất đẳng thức này cùng với bất đẳng thức (1.15) chỉ ra chỉ số nhiễu

của bài oán là 1

Hé chi sé 2 Xét nhiễu của phương trình (1.8), (1.9) như sau:

0— gỡ] +0) (19

Đạo hầm (1.17) ta được

0= ø(0)/0

Nếu đ„(g) ƒ.(, z) là khả nghịch ta có Lhể gử dụng ước lượng cho trường

hợp chỉ số 1 (vi d(x) thay hởi gạ((z))ð(z) + Ø(r)) thu được

Do wée higng nay phu thuée vao dao ham bac nhất của Ø nên chỉ số

nhiễu của bài toán là 2

1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân

1.3.1 Điều kiện én định cũa phương phấp đa bước

Phương pháp da bước tổng quát áp dụng cho bài toán giá trị ban đầu

Chương 1 Gidi thea

Đưa vào rHỘI cử gổ mới các vecbd m+¿ là các vecLd riéng cha J lung

ứng với giá lrị riêng À ba có

(om — whe) yma + + (00 — 480) =O, w= AA (1.23)

với ø(@) — Sait 7, a(¢) — ue †

Phương trình (1.23) có lời giải ổn định nếu tất cả các nghiệm của

(1.24) nhỏ hơn hoặc bằng 1, ( eụ thể | ¢ |< 1 va| G |< lnéug là

nghiệm bội

Định nghĩa 1.3 Tập hợp 6 — {/¿ € C, mọi nghiệm €;() của (1.24) thỏa

mãn | @;(¿) |< 1,nghiệm bội thỏa mãn | ¢;(4) |< 1} được gọi là miền

- Nếu „ — 0, từ phương trình (1.24) sny ra ø(C) — 0 Do đó 0c 8

1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể

Thương phap Adams

Kí hiện #o | th JA các điểm lưới, „,1„_,- ,u—k—L là các xắn

xỉ của các nghiệm chính xác (œ„), ý („ -;#(£„ x11) của nhương

Về phải của phương trình (1.26) xuất hiện lời giải chưa biết y (x), nhưng Lừ các xấp xỈ Wa,M»—1,-.-„ 0a—kại đã biết, giá trị

có thể tìm được và nó thay hầm ƒ (, „ (#)) trong phương trình (1.26) bởi

đa thức nội suy tại các điểm tt wy), t=n—-k11, n}

Đa thức này có thể được biểu diễn bằng sai phan Li

Với kT— 1,3, 3,4 ta thu được các công thức sau:

k=1: Ynil— Yn + hn (Phương pháp Buler hiển)

Chương 1 Giới thiệu

hoặc đặt „ = €" và chia cho ¢" ta c6

(esfxxi-lrsf-b +.) =#|"0+^i € 72 ẹ a xe [ve

Khi đó đường cong quỹ tích nghiệm trở thành

k1

Yull-

jo

Vi k = 1 ta thu được đường tròn của phương pháp Euler, tâm là —1

Các đường cong trong hình 1.1 là đồ thị với k = 2,3 6 và ta thấy miền ổn định có kích thước giảm Do đó phương pháp này không thích

hợp giải bài toán cương

Công thức (1.28) thu được bằng cách lấy tích phân các đa thức nội suy

(1.27) từ z„ đến z„¿¡, tức là bên ngoài khoảng nội suy (#„-z¿+1.#„)

Điều đó cho thấy, một đa thức nội suy thường là xắp xỉ yếu bên ngoài

khuảng này Do đó, Adains nghiên cứu phương phấp trong đồ phương trình (1.27) được thay thế bằng các da thức nội suy mà sử dung them

điểm (z»+i, fa+a), bức là

Da đó, các công thức thu dược thường có dạng

Yu = Yat h(Bfiat + bof) +

Với k— 0,1,2, 3 ta có các công thức

k=0: gan =fa+thf-=a + hƒ (¿v0 i)

b=ä3: 1 =u'l h(jrlx 1T gia T mến 1L mùa 3):

Phương pháp Adam ẩn ấp đụng cho phương wink thit yf = Ay cd

Chuang 1, Gidi thagu

Khi đó đường cong quỹ lích nghiệm urd thanh

-A

Công thức dự báo hiệu chỉnh

“Thông thường để tính y„¿: trong phương trình ẩn ta sử dụng kết

quả ¿¿¡ của phương pháp Adams hiển như một biến độc lập trong Øàf(#„‡u ai) Nó phá hủy tính ổn định của phương pháp Điều kiện

ổn định thay đổi như sau: Công thức

1541 = Ya + also + YI(n a1) ĐA(ã 2a — 12-5) + )-

Đó chính là ¿ trong (1.25) và (1.26) Đặt g„ = ¢" va chia cho ¢", ta

được phương trình bậc hai chủ ¿

Với ¿ = cð, phương trình (1.27) có hai nghiệm Điều này cho Lhấy

2 đường cong quỹ tích nghiệm xác định miền ốm định Đường cong này dược mô tã ở Hình 1.3 và so sánh nó với phương pháp ẩn ta thấy chúng

Chương 1 Gidi thea

Đường cang này đi chuyển lên xuống theo truc ao pitta Li vA cho phép

mién én dinh trong khoảng (—¡, | 7) Tắt cả các giá trị riếng ở bên trong

nửa trái của mặt phẳng phức cho ta tính không ổn định Đây chính là 1í do nghiệm thứ hai —1 của ø(C) di chuyển ra ngoài vòng tròn đơn vị khi di chuyển về äm võ cực Hiện tượng đặc biệL này được gọi là "lính khống ổn định yếu" của quy tắc trung điển và là "điểm đi vào" của điều kiện ổn định nhanh Dahlqnist

Với k — 3 ta có công thức

Yo — Yat + ft (5s + hs) :

Phương pháp Milne- Simpson

Ta Jai xét các phương trình tích phần (1.32) nhưng ta thay tích phan

hai các da thức p* (£), trong đá ngoài ƒ¿, , ƒa—k+1 ta cũng nội suy #„_—1

Như thường lệ, va thu được công thức

hại =U +h (ấn + đớn + Nên + tin hiến)

đi chuyển lên xuống theo trục ảo giữa +23 Vì vậy nó có đáng điện

gần giống phương pháp Nystrom hiển với các khaảng ổn định to nhả

12

Hình 1.4: Đường cong quỹ tích nghiệm của phương phép Nystrom vi Milne

Giả sử xấp xỉ Mà ki cc;e của lời giải chính xác của phương trình

(1 25) là đã biết Để xác định công thức của „ 1 ta xét các đa thức g (+)

các giá trị {(0;,}, ¿T— m— & | 14+: ,m 1 1} Đa thức này cá

iểu diễn bằng sai phần lùi, cụ Lhể

Giá trị „¡4 sẽ được xác định bằng cách cho đa thức g(z) thỏa mãn

phương trình vi phan tại ít nhất một điểm lưới, tức là

Chương 1 Gidi thea

Ấp dụng công thức gai phân lùi ` FH unt = = Af, cho phugng tinh

jal

thit y’ — Jy la cd

Kl

s JV BmH — Net

Thay „„¡ là các vectơ riêng của /J, A là giá trị riêng tương ứng, ta

được

£1

` 7V Men =HĐu+i M= hÀ,

: EBV ins

Do đó phương pháp là ổn định A và có cấp chính xác là 3 Tuy nhiên

với k = 3.4.5.6 miền ổn định của phương pháp càng ngày càng không

ổn định ở một nửa trục ảo Với = 7 công thức không ổn định

Chuang 1 Gidi thafa

Dinh lý 1.1 Nếu phương phứp đe bước (1.20):

mem Tik 1m 1Ð Ðd6fm — Bkmik Ð.- + 8m)

Om+k T Ge—1m3k—1 TP + G0 = hÖs‡i + Bifm)

phải thỏa mãn |c| > 1 với VIe(u) < 0 Do đó, Re(/) > 0,Y|s| > 1

Ngược lại, dat p — a Giả sử có công thức (I.33) và công thức là tối giản Ta cố dinh yo, #e(¿a} < 0 và gọi ¿a là 1 nghiệm của nhương trình

OimikÐ đ 1Umik 1T trA0Um — Bfkmik + 8 ñm)

Khi đó ta có o(¢o) # Ú, suy ra ga — ae Va Lit (1.38) ta suy ra [él < 1

Ta có thể chỉ ra rằng cụ là nghiệm đơn nến |g] — 1 Vi go 1A đấi số

liên tục nên từ (1.33) suy ra |@o| — 1 và Tte(n) < 0 (mâu thuẫn) Vì vậy chứng tỏ rằng Re(/s) — 0, nghiệm thỏa mãn |@›| — 1 là nghiệm don

‘Trong lan can nghiệm ta có

ld) alg)

và từ (1.33) suy ra Ơi Z 0 Tuy nhiên, điểu này chỉ có thé xay ra néu Gy

là nghiệm đơn của (1.20)

'Tx thấy phương pháp đa bước với bậc p > 3 không ổn định - A Định

lý sau sẽ giải thích điều này

= Mo = C1(6- @) + (C—O) +

Định lệ 1.2 Phương phap da bude ổn định - A phải có bậc p< 2 Nếu

hà bằng số sai số lhủa tuần Ó < 3} Qua tắc lành thang là

phương pháp én dink - A bée 2 vdi C — 3

16

Nhắc lai: Dinh lý III.2.4 trong [2]

Thương pháp da bước (1.20) có bậc p nếu và chỉ nếu một trong các diều kiện tương dương sau thôa mãn:

i panos San Bil g4 — lo

? (2) he (eh) OG), hot;

iii) ¢ as) Sa (s)~ O(&—1)?) +1

Chứng minh

Theo dinh ly TIT.2.4 tia eó: vì phương pháp đa hước có bậc ø nên

o(e") —he (ec) =O (HP 1), Aad

Chương 1 Gidi thea

Đây là đặc điểm của công thức hình thang: Re( ) — 0 với || — 1

Đo đó, C chính là miền ổn định Vậy, Lừ (1.38) La có

gửi

Giái bạn của đ(C} là nghiệm của ø(C) với miền ổn định không năm

ngoài vòng tròn đơn vị Vì vậy thea nguyên lý cực trị, (1.35) vẫn đúng

với mọi vị Lrí nằm ngoài đường trùn đơn vị Cho £ — 1+e, Ree > 0, |z|

nhỏ ta cố (1.38) suy ra —Œ — > 0 hoặc d(¢) = 0

Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1

2.1 Sự hội tu của phương pháp đa bước

Bài toán nhiễu suy biến có dạng

2! — gly 2),

trong dé y, 2 là các vectd Giả sit f,g JA hầm vectơ đủ trơn có số chiều

giỗng như ,z Dặt ¿ = 0 La được phương trình ví phân đại số

là khả nghịch trong lân cận của lời giải Khi đó phương trình (2.3) cá

nghiệm duy nhất địa phương z — ŒÚy) hay vào phương trình (3.2) ta

được

Do đó phương trình vi phân đại số (2.2), (2.3) thỏa mãn điều kiện

(2.49 là phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Phương pháp da bước áp dung cho bai toán (2.1) TA:

» Unt — be s Bf nti tnt), (2.6)

19

Chuong 2 Phương phán đa bước giữi phương trình tí phân đợi số chỉ số 1

Dinh lý 3.1 Giả sử phương trình vi phan dat sé (2.2), (2.3) thỏa mãn

điều kiện (2.4) Xét phương pháp u bước cấp chính súc p, Ổn định tại

0 ud co (0 nà eo nằm trong miền ấn định) tà giả sử sat số của giá tri

¡k&— 1 tà O(l”) Khả đó sai số loàn cục của

Công thức (2.9) là ấn định truy hỗi với 6, — ø(„, z„) vì o¿ nằm trong

miền ổn định của phương pháp Cùng với giả thiết giá trị ban đầu ta

suy ra ð„ — O(0#) với mại ø > ñ Theo định lý hàm Ấn /(wa, zạ) — bn có

Sự hội tụ của bài toán nhiễu suy biến

Ma tran Jacobian cua,

y= f(y.2),

«2 — g(y,2),

20

fof

cty el,

và nó e6 giá trị riêng xấp xỉ e~'A, trang đó A là giá trị riêng của g,

‘Ta giả sử giá trị riêng của g; có phần thực âm hay chính xác han, ta

giả LhiếU giá trị riêng À cia gy, 2) nằm trong | arg — ø |< œ với (w, z)

là lần cận của lời giải

có dạng

Định lý 2.2 (Lubích 1991) Giả sử phương pháp da buốc có bộc p, ổn

định - A(œ) uà ổn định mạnh tại co Nếu phương trình (2.1) thda mãn

điều kiện (2.8) thì sai sẽ bị chăn uới h > € oà nh < x — œu sác định bởi

Chuong 2 Phương phán đa bước giữi phương trình tí phân đợi số chỉ số 1

'Ix định nghĩa gai số toàn cục bởi Á#» — tu —/(®n), À#a — tạ — #Z(#n)

và đưa vào gai phân

Ta d& định nghĩa đạ,đị, , d¿_† nến phương trình (2.15) luôn đúng

với số ñm n Giải Aw, cho ta

Age BC re (OAL — Som (Oey,

j-0

ju trong dé r,(0) 1 hé sé trong gidi thite rai rac (vai ye — 0)

—k +, 0) — (Š (c} — H) sy =F; (ie!

( tức là hệ

dãy r;(0) là bị chan, vit điền kiện Tâpachitz của ƒ(w,z) ta cổ

lAm| <5 Š(MAw|+ 6 |Azl)+@32 [all 2.16)

với

Agate = Yat 0(a+ii Zn—i) — 0(( +), z(6ei)) — đÄmm+¡), (2.19)

va Ag; = 0 véi j < k Te lại định ughia eg,eI, , ec—L sao cho phương

trình (2.18) đúng với n 4m và giải phương trình (2.18) cho ta Az,

Khi đó thay vào phương trình (2.20) ta được

Aza] < ye (Z| Ayyl| +4] Axl) + C15 oe ‘llesll- (223)

Chương 2 Phương pháp đa bước giải phương trình tí phẩm đại số chỉ số 1

Sử dụng phép quy nạp Là cố

| Agn|| < #a, |Ãzz | < tr, với điều kiện ‡ < 1 và b < hạ Do đó (2.34) có Lhể viết lại như sau

tia — tạng + hAfu, + AN, + C3 dp |, ui — 0,

Nếu ¿ đủ nhỏ thì ø = «/(1— 4) < 1 va néu he < fig thi cae gia tri riêng

của A(®) là khác nhau và 4(0) có thể chéo hóa như sau

Vì thế dạ,dị, ,d¿ ¡ là tế hợp tuyến tinh ciia Ayo, , Aye 1 va

eo, 1, ,cá— là tổ hợp tuyến tính của Az, va #Az;, 'ừ đánh giá (2.20)

21

va (2.8) la guy ra điều phải chứng minh

Vì giả khiết của ? (ø = ¡”, < 1) la có thể chững mình định lý cho một

khoảng đủ nhỏ (nhưng © độc lập) Khoảng compact [xg,F 6 thé xdc

định bởi khai triển lặp đi lập lại của ước lượng ở trên

én n dink A(q), 6n dinh chat tai oo va phương trình vi phân thỏa mãn diều

ng A cla g.(y,2) nim trong | arg—a |< a vi giai Do dé tap hap giA tri riéng của 9, (y

đối trong lân cận compaet của lời giải) là tách từ {+ð(C

Ý tưởng về một rài rạc trực tiếp rất đơn giản: xấp xỉ ự và ' bởi công

thức rời rạc đa bước hoặc Runge Kutta Ví dụ áp dụng phương pháp

35