Luận văn dãy số và một số phương pháp giải toán về dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đặng Thị Thảo DÃY SỐ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP.

ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đặng Thị Thảo

DÃY SỐ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKTI NGUYEN VAN MAU

HÀ NỘI - NAM 2011

1.3 Mél sé bai loam 4p dung 2 "¬¬ 18

2.1 Một số phương pháp giải bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số 18

3.1.1 Thương phấp quy nạp .o ¬ 1B

2.1.3 Phương pháp sử dụng phương trình sai phần, lính chất,

của hàm số ng ng kg kg ky ky va 24

9.2 Một số phương pháp giải bài toần lầm giới hạn tủa đầy số 38

2.2.1 Giới hạn của đây số lắp co 38 2.2.2 Giới hạn của đây rung bình Cesaro 41 3.3.4 Giới hạn của đây phân tuyến tính 48 2.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số trong số học 48

3 Một số phường pháp thiết lập bài toán mới về dãy số

3.1 Xây dựng dãy số hội tụ sinh bởi các đại lượng trung bình

MỞ DẦU

Dé tai về dãy số thuộc mọt lĩnh vực rất khó và rộng (xem [[ - [S]), sử dụng

nhiền kiến thức khác nhan cña toán học Me tiêu của luận văn này nhằm đề cập đến một số vấn để cơ bản của dãy số liên quan đến chương trình toán bậc phố thông Nội dung chủ yêu cũa dễ tài "Dãy số và một số phương phấp giải toán về đãy số" la hệ thống một số phương pháp giải toán về dãy sổ và một số cách xây dựng bài toán mới về dãy số Đó là một số phương pháp giải bài toán

toán về dây số trong số học và bài toán ước lượng tổng và tích của dãy số Và

ố, bài toán tìm giải hạn của dã

nhữ thiết lập dây số tí các dại

lượng trung bình, dãy số là nghiệm cửa họ phương trình Để giải quyết được

những bài toán này, ta cần những kiến thức tổng hợp về tính chất dãy số giới

hạn của, dãy số, Mie tiên của hiận văn là hệ thắng phương pháp và xây dimg

bài toán minh họa, tổng quát về các vấn đề đã nêu ở trên

« Chương 1 trình bày một số kiến thức eơ bân của đãy số gồm một số định

nghĩa, định lý, một vài dãy số đặc biệt và một số bài toán áp dụng

ải toán về dãy sé Vi xắc định công thức Lổng quất cña dãy số hệ thông các phương pháp như Chương 2 hệ thông một số phương pháp gi bài toán

lượng tổng và tích của dãy số, hệ thống các phương pháp như sai phân,

đại số, sử dụng số phúc

& Chương 3 trình bày một số cách 1 ỗ nhĩ thiết lập dãy số từ các đại lượng trung bình (trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa), dãy số là nghiệm của họ phương trình

lập bài Loán mới về dãy

Tác giả xin bày tô sự kính trọng và lòng biết dã sâu sắc đến G8.TSRH

Nguyễn Văn Mậu Thấy dã tận tình hướng dẫn, chỉ hảo cho học tra trong qué

trình bọc tấp, nghiên cứu và giúp tác giả hoàn Lhành được luận văn này

"Hắc giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo Khoa

Toản - Cơ - Tìn học và seminar Phương pháp Tuán sơ cấp của Lrưỡng Đại học

Khoa học Tự Nhiên- Dại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét, góp ý cho bản luận

văn mày,

Xin bày tổ tình cầm chân thành tới gia đình, bạn bè đã quan tâm, động viên

và giúp đỡ Lắc giả trong suốt quá trình học tập tại bring

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sơ suất vì vậy tác giả rất mong được các thầy cd giáo, các bạn dỗng

nghiệp góp ý để bản luận văn được hoàn thiện hơn

“Tác giả xin chăn Lhành cm dụ!

Hà Nội, nụùg 25 thông 11 năm 9011

Học viên Dang Thi Thao

Định nghĩa 1.1 Dãy số là một bàm số kừ N* (hộe N) vào một tập hợp số

(N,Q, B,C) hay mot tập con nào đồ của các tập hợp tren Các số hạng của dãy

số thường được kí hiệu là ứn,n, #n,n thay vì u{n),e(r), e{n), ø(n) Bản thân day

nỗ được kí hiệu là {ey}

Nhận xét I.I Vì dãy số là một trường hại: dặc biệt của hầm số nến nỗ cũng,

cĩ các tính chất của một hàm số

Định nghĩa 1.3 Day số {u„} được gọi là đãy số tăng (giảm) nếu với mọi n

ta 06 ungi > ứn(ty+t < un) Day số tăng hoặc giảm được gọi chung là day den

Một dãy số vita bi chén trén, vita bi chặn dưới được gọi là dãy bị chặn

Định nghĩa 1.8 Dãy {u›} được gọi là một dãy tuần hồn (cộng tính) nêu tồn tai gỗ nguyên đương ï gau cho

a

Số nguyên dương † nhá nhất để dãy {nạ} thôa mãn (1.1) dược gọi là chủ kỹ eở

sô côa, đây

Dãy [u„} được gọi là ruột dãy phân tuần hoàn /cộng tính) nếu tên tại số

nguyên dường # sáo cho

un = gle+ b+ (a—4)(-1)"4}], a6eR

Gidi Gid sit up = buy = a Theo giá Khiếu, đấy số {a} tudin hoàn chủ kỳ 3 nến

ta CỐ

tin—2 — Mn, VEN

- Xếu œ— 28 { 1 thì ứạ — øapjq — ä— Ale bs (a BE 1PM),

ấu ñ — 3E thì tụ — tap — b— ] œ+b+ (&— B)(—1)2—-T,

re — Flat o> (6-1, we

Ngược lại, nếu u, c6 dang

1

tạ = gla +8 — (a 8)(-17TH1, abe R, neN

thi với mọi ø c Ñ Ea có

1

slats (oa — gleth+ (0 —B)-1)" "Y= aay

đây 3 —

Suy ra sự là đây tuần hoàn chu kỳ 2

Ví dụ 1.2 Chứng minh ring moi day sé {ux} phan tuần hoàn cộng tính chu

Ngược lại, tá thấy mọi đây xác dịnh theo (1.3) dễu là đấy phản luẫn hoàn cha

Nhận xét 1.3 Day tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi đó là đãy bằng

Định nghia 1.4 Day {up} dược gọi là một đãy tuần hoàn nhãn tính nến tồn

tại số nguyên đương s {s > 1) sao cho

Giải Nhận thấy voi moi x © N déu có thể viết dưới dang a — 2°

" gjyrx với w— #"{3k +1), meNt, keÑ,

Ngược lại, dễ thấy {z„} xác định như trên là đãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2

Ví dụ 1.4 Chứng minh ring dãy {u„} phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 khí

và chí khi đãy có dạng,

ay, lity ý với n lế,

1y — ý Tuyp + — VỚI n= 9?"†l(2kb+1) meÑ*, keN,

Eokkl với n=927(2k+ 1), me", keN

vdi nipi 2 € N déu cd thé v

dưới dang m — (2h +1), di moi s ¢ N Do dé

wer néi s=2m, me Nt,

Un — as Qh} — an) { ug.) neu g— # | |, vá A C "

Vi vay

a„ tùy ý với m lễ,

tn = Ó Tgg | với n— 2H Í(3k+1), meN*, keN,

tayi — vớin=22/9k |1), mcÑ®% kcN

Ngược lại, dễ thấy („} xác định như trên là dãy phản tuần hoàn nhãn tính chu

kỳ 3

Nhận xét 1.3 ¡) Dãy phân tuần hoàn chu kỳ ? là đấy tuần hoàn chu kỳ 21

ii) Day phan tuẫn hoàn nhãn tính chu kỳ s là dãy tuần hoàn nhản tính chu ky

“2,

Định nghĩa L.5 Ta nói đấy số {z„} có giới hạn hữu han a khi ø dẫn đến võ cùng nếu với mọ

>0, tốn tại một số tự nhiên Aụ (phụ thuộc vào dãy số xp va

£) san cho với mọi œ > Nụ bà cỗ |#u — 4| < £

và 87) sao cho với mọi n > Ay ta có |zp| > A4

lim ta ——90 + WM > 0,=No € N: vn > No, [eal > Mf

notte Day số có giới Lan hữu lạn được gọi là dãy hội tụ, Dãy số khong có giới hạu hoặc dẫn dến vô cùng khi ø dần dến võ cùng gọi là dãy phân kỹ

Dinh lý 1.1 (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ) Nếu {zz}, {z»} là các dãy hội tụ và có giới ban tương ứng là a,b thì các dãy số {Zz+nk, {En — ta}, {sUn}

và {=} cũng hội tụ và có giối hạn tương ứng a+b, a—, mồ, ic (Trong trường

a

hop day số thương, ta giả sử g„ và s khác không)

h lý 1.2 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức) Cho dãy số {z„} có

giới hạn hữu hạn ï, nếu 3úWọ ¢ Bs vn > Np ta cé a

Dinh lý I.8 (Định lý kẹp) Cho ba day 98 {on}, {yn}: len} trang dé an vA za

có cùng giới hạn hữu hạn œ và Au € Ñ: Vn > Au ta có tn < on < en Khi dé yn

Dịnh lý 1.5 (Về dãy các đoạn thắng lồng nhan) Cho hai dãy số thực {a„},

{by} sao cho

a) VneN, nụ < bạ;

B) WnelNÑ, [amsi, n1] C Ísa, bạ];

G) by Tag +0 khi m— ae

Khi dé tén tại duy nhất số thực a sao cho filz,, bạ] — {a}

Định lý 1.8 (Rolzana-Wei

một dãy con hội tụ

Từ một đấy bị chấn luôn có thể trích ra

Định nghĩa 1.6 Day z„ được gọi là dãy Cauchy nếu Ve > 0, 3A CN: Vm,n >

An, [Em — #a|

a, cấp gỗ dã cho

Với d > U ta có cấp số cộng tiến và đ < Ú ta cá cấp số cộng lồi

Ví dụ I.5 Dãy các số tự nhiên lễ: 1,3,5, ,2n — 1, là một cấp số công với công sai đ = 2,

í dụ 1.6 Dãy —3,1,5,9,13,17

,25 là một cấp số cộng với cing sai d — 4

Tinh chat 1.1 Nếu {ư„} là một cấp số cộng thì kế từ số hạng thứ hai, mỗi số

hạng (trừ số hạng cuối đối với cắp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng hề nó trong dãy, tức là,

'Tính chất 1.3 (Tổng n sé hang dau tiên của một cấp số cong) Gid ait {un} 1a

một cấp số céng V6i méi sé nguyén duong vn, gọi 3„ là tổng của n số hạng đầu

tiên của nó (S„ — ưy | ug | um) Khi đó, ta có

được gọi là một cắp số nhân

Khi đấy số {uu} lấp thành một cấp số nhân thì thương ạ — “Ê được gọi là công

uo

bội của cắp số đã, cho

Ví dụ 1.7 Dây số {u„} với up = 2" là một cấp số nhân với số hạng đầu với

+ị — 3 và công bội ạ — 3.

Ví dụ 1.8 Dãy —2,6,—18, ã4, —183 là một, cấp số nhãn với số lung dẫu uy — —2

và công hội 4 — —3

“Tính chất 1.4 Nếu {z„} là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cắp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng dững kế nỗ trang đầy, Lức là,

2

HỆ — fg—1p+1-

'Tính chất 1.5 (Số hạng tổng quát của một cắp số nhân) Nếu một cắp số nhân

có số hạng đầu là wị và công bội ¿ Z 0 thì số hạng tổng quát „„ của nó được tính theo công thứu sau

tin — logy ty, Vn 6 Ñ lập thành một cấp số cộng

Nhận xét 1.5 Nếu |ạ| < 1 thi {u,} được gọi là cấp số nhân lùi vô bạn Tổng

của cấp số nhân lùi võ hạn được tỉnh theo công thức

uy

log

S=

Chú ý 1.1 Đối với các day số {ư„] xác dịnh theo công thức truy hồi

Und = au, |b abo R,

T1

có thể xem như một, cấp sé say rong (khi a — 1 1a thú dược một cấp số

khi 6 — 0 ta thu được một cấp số nhãn)

được gọi là cấp số điều hòa

Ví dụ 1.9 Chứng mình rằng dấy 85 {un} (un #0.¥n ©

điều hòa khi và chỉ khi

Day sé Fibonacci rit đặc biệt này được một người Y tén 1a Leonardo Fibonacci

céng bé nam 1202 và được biến háa hầu như vô tận Chính diều đó, đã thu hút

được rất nhiều sự quan tâm cũng như làm chúng ta say mề nghiên cứu, khám

nhá các Lính chất, của, nó

‘Vay day sé Fibonacci 18 dãy số như thế nào?

Ban đầu, ông Fïbonacci xét bài toán sau:

Giá sử có một cặp thô mắn dễ cứ cuỗi mỗi tháng lại sinh ra một cặp mới Nếu mỗi cặp mới đó cũng lại để sau một tháng và nếu không có cơn nào bị chết

cã thì nan mỗi, năm có bao nhiều pặp thỏ?

Và đó là tiền than cña đãy sỗ được xác định bằng cách liệt kê các phần tử

như sau:

1 L1 2 38 5 8 18 21 34 55 89 144 233 377 610 987

Trong đồ cáo phần tử nằm trong d này luôn luôn bằng tổng cña 3 số liền

trước nó Nếu lấy tổng hay hiệu của các số liên tiếp chúng ta sẽ được một dãy

số tương tự.

Định nghĩa 1.11 Dãy gỗ Fibonaeei là dãy số dược định nghĩa bối

fo—0, fi— 4, Ya e By faze — lại + Saw

Day 86 Vibonacci cé r4t nhiéu tinh chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiên

trong nhiều lĩnh vực khác nhau, Chúng ta có công thức sau để tìm số hạng long

quat ctia day sé Fibonacci:

Néi chung, cde day số xác định bởi cong thite truy hi faa = fata + fa (0H fo, fA bất kỳ) được gọi là dãy Fibonacci mở rộng,

Công thức Binet

Day Earey

Định nghĩa 1.12 Dãy Farey Z„ với mỗi số nguyên dương n là tập hợp các

phân số tối giản dang ? với 0 < a < b<n và (a,b) — 1 sắp xếp theo thứ tự tăng

là các số hạng liên tiếp trong dãy Earey thì

pip

h tant -gp — T1 và E p

ng là đấy dã cho phải khỏa mãn hệ thức

2m |m — đam + aan, Ym, n EN (1?)

18

Điều kiện đũ Giả sử đây {a„} thỏa mãn điều kiện (1.7) Ta chứng minh

day {a„] là một cấp số cộng với công sai đ= a1 ao

Thay im — 0 vào (1.7) ta được

Giải, Đặt nay — bn, Vn © N, khi dé ay — c?“ và (1.11) có dạng

git — ghratbou mn EN

hay

Dan mn — dom + bon, m,n © AL (1.12)

“Theo bài boần 1.1 tử (1.19) chính là diều kiện

cấp số cộng với công sai d — 6) — &

Theo nhén xét 1.4 ta oé điều phải chiing minh,

fin và dũ dể dãy {„} lặp thành

Bài toán 1.3 Cho dãy số {un} là một cấp số suy rộng thỏa mãn điều kiện

Mal) — amy, +6, abe R

Vậy nên, nên a s1 thì

Theo quy nap, tao

Néu a — ¡ thì uạ là một cắp số cộng với công sai b Do dé

(wr tual Bur i (re Dele

Bai loan 1.4 (¥MO, 1994, Bing B) Cho dãy số Fibonaedi {ua},(n — 1,34 )

+) Với m — 4 sử dụng hệ thức đã biết của dãy Fibonacci

ag) | — tiếp — taktay 1+ 1Ý — 1,3,3,

‘Ta có

KH Tri sa .-.ẽn nn

16

hay

a

th, p+ wd, — 1+ Deere teakeg + Bey we WE 1,23,

Vậy m = 4 là cỗ duy nhất thỏa mãn điều kiên để bài,

Bài toán 1.5 (THTT/ T12/ 410) Với số nguyên đương n lớn hơn 2, tìm số các bam sé

ƒ:{1,3, ,n}— {1,2,3.4,5}

thoả mãn tính chất

|f+1)—ƒ(K)|>3 với &c {1,9, ,n}

Giải Ta sử dụng nhận xét san đây: Nêu hàm số ƒ thoả mãn điều kiện bài ra

thì với mọi ø > 2 cho trước 1á luôn có #ín) 2 3 Thật vậy, nếu đín) — 3 thủ suy

Ta ƒ{nS— 1) < 0 hoặc ƒ{n — 1) > 6, điều này là võ lí

Ký hiệu an,b„, dạ,ep là số các hàm ƒ : {1,3, ,n} — {1L3,3,4,5} thoả mãn

tính chất dã cha ứng với ƒím) Lương ứng lần lưới băng 1,2,1

Khi đó thì aạ = sa và 6, = dạ = 1, nên

Œạ+1 = £n Tiẩn, Ủng1 —=Ên, €a+1 —= 8n TÚn, đạn | — 0n

“tiếp theo, ta cần tính tổng # — an | ồn | dn | en 'Ứa có ga — d> và bạ — dạ, Hằng

phường phấp quy nạp, lửa ob a, =e, va by = dp Do vay,

đá [2 — Êạ| 1E tấu [1 — Gap a — Prep = tap — Ane

Do vay, {an} chính là dãy Fibonaci {#„} với cách chon fy = 0, #1 = 1 Tiếp theo,

ta thély ug —2— Fy va ay — eg | dy — 3 — Fy Do d6, ap — Fy voi a > 2, Suy ra

S = laut fa) = Pen) = 2p vidi >

1) Gác bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số(bản chất đại số),

2) Các bài toán tầm giới hạn của dãy số(bản chất giải tích)

3) Các bài toán về đây số Lrong số học

4) Các bài toán ước lượng dãy số

Các phương phầp cơ bản để giải các bài Loán dãy số trên khá da dụng, Chúng,

ta đi xét cụ thể một số phương pháp đó

2.1 Một số phương pháp giải bài toán tim sé hang

tổng quát của dãy số

2.1.1 Phương pháp quy nạp

Nguyên lý quy nạp

Nếu khẳng định #{n) thỏa mãn hai điều kiện sau:

a) Đúng với w = kụ (số tự nhiên nhỏ nhất mà #(z) xác định),

b) Tit tinh đúng dẩn của S(n) dối với m — ¿ (hoặc đối với mọi giá trị của

®, Rọ Sm € 8) suy ra tính đúng đắn của 6(n) đối với œ = ¿ + 1, thì #/n) đúng với

moi n 2 kp

Giả sử khẳng định 7) xác định với moi n > tạ Để chứng mình 7x) ding với moi n(n > in) băng quy nạp, ta cần thực hiện hai bước

18

a Od sd quy nap

Thực hiện bước này tức là ta thit xem su dting diin cia 2'{n) vai n — ty, nghĩa

là xéy 7(fe) có đúng hay không?

b Quy tap

Giá sử khẳng định #n) đã đúng với œ =1, (£ > to) (hoae déi vai moi a, (to s

n < ()) liên cơ sở giả thiết này mà suy ra tính đúng đắn của Tựa) đối với

%S—£+1, tức #+ 1) đúng

Nếu cả bai bước trên đều thỏa mẫn, thì theo nguyên lý quy nạp, Tín) đúng,

vai mọi > fa

"La xét một số bài toán mà sử dụng phương pháp quy nạp để tìm số hạng

tẩng quát của day sé

Bài toán 2.L Xác dịnh số hạng tổng quát của dãy số {u,} cho bai he thức sau

“Thật vậy, theo trên thì (2.1) đã ding tới n

Giả sử (2.1) đúng tới ø, khi đó

Vậy (2.1) đúng với œ I 1 nên ( 2.1) đúng với mọi n c Ñ*

Bài toán 3.2 Cho đấy {s„} xác định bôi công thức

tị =ỗ, tạ = 19, un = Stina Bupa, HCN, mB,

‘Lim sé hang téng quat uy

wey) = Se, Guy) = 5B"! Atty 6P ok) = gah aah = gh? ght?

Vậy tư =311 21! với mọi ø C Ñ*

9.1.2 Phép thế lượng giác

Nhiều đãy số cá công thức phức tạp e6 thể trở thành các dãy số đơn giản

nhờ phép thế lượng giác Dể áp dựng được thủ thuật này, điều cần thiết là biết

và một, chút nhạy cẩn Loần lọc

các cũng thức lượng giác v

Bai todn 2.3 Cho day sé (un) xác định bởi công thức

L w= H 2,

“Ta chứng rainh được u„ = =T

nghiệm tích bằng 1 nên ta có thể viết công thức tổng quát của đãy như sau

nghiệm (cùng dấu với ơị) của phương trình:

này oổ hai nghiệm tích bằng 1 nên ta cố thể viết công thức tổng quái của day

bằng cách đất a — sứ - 3 Khi đồ bằng quy nạp ta chứng tình được Dư:

Giải, Từ công thức truy hồi của dãy, gợi la nhớ riến oồng thức lượng giác

sin? a + cosa — 1 ¢> 1 — sin? a — cos? av

Vay

” © rom c3 200g — ti +90027) —t =") _ W849

ta đặt ø = tan a,ð = tan 4, khi đó ta chứng mính được uy = tan[a + fn — 1)|

Bài toán 2.7 Tìm công thức tổng quát của dãy số (un)

Dé xác định những đãy dạng uị = œ, dua¿t | bin = fa, NON, a1 =o, a =

B, dtp) | btm teun | — fa, n> 2, uw — a, us — 8,u3 — 4, Atm 2+ dual | + oun —

24

Bint — fay 22 2,- lori dd a, bye de, 8.7 Ta che Midi 88, a £0 va fa Th bide

thức cña n cho truée (da thức, hàm mũ, hàm lượng giác), ta sử dụng các kiến

thức về phương trình sai phân

Bai todn 2.8 Tìm zạ biết,

Giải Phương trình dic: iritng 3? — 24-41 — 0 có các nghiệm kếp À — 1 Ta ed

Un — tin + uh, trong d6-@, — (A+ Ln).1" — A+ bn va ut — (on +t)

‘Thay us, vio phutong trinh, ta duce

(n+ U|a(n — 1) +ð| — 3n”{an + ð) + (n — 1Ì la(n — 1) —ð|— n+ 1,

Vay

tin — 4 — Bh pen

Đài toán 2.10 Tìm ưạ, biết

tị — Lý uạ —Ú, upp) — đun — đưa 4 — E2”, ni 2,

26

Giải, Phường trinh dae trưng À2 — 2À — 8 — 0 cồ nghiệm Ai — —I và Az — 3 Tà

C6 Un — tin tue + ust, trong dé ty — Á,(—1)? + L3”, tà — an = 6, ult — ee

“Thay uý vào phương trình tay 2, đưa + =n, tà được

“Ta xét tiếp một số bài toán phức tạp hơn và để xác định dãy số ta phải sử dụng

đến tính chất cúa hàm số {wud hoàn cộng tính, tuần hoàn nhân tính)

37

ag, vei n — OC mod 5)

ay, néu n= 1(medd)

Ye — 4 dạ, nếu n— 2(mod5}

ag, tiêu n— 3(mod5]

ay, nếu m=4(modð)

Suy ra

nêu n = U(mod5) nêu n = 1(m0d5) nếu n.= 2(mo45)

nếu m — ä(mod5) nếu r‹ = 4(uodŠ}

Món | Pe len =" 4 oa =1a ly

Dit w 2m = em: TS được

` Sam — #m +5 (2.14)

38

Dil gm — tm — log, gm Khi dé (2.14) 6 dang

Yom Ym — 0

Nhận xét răng, mọi z € N đều có thể viết dưới dạng ru — ø°k với (&,a) — 1,» 6Ñ

Vi vay tim — U; vôi tụ — †ẹ 6 l§ túy ý

Do vậy, khi m + TỄ— = a2£ với (6a) =1 thì tạ = íy + leg ¡mép €lR tùy ý,

Đài boán 2.13 Xác định các dãy số {u„} thỏa mãn điều kiện

trong đó ga tính theo công thức (2.17)

Bài toán 2.14 Xác định các dãy số {u„} thổa mãn điêu kiện

than | 1 — 3m, 7% — 0.1, 2, (2.18) Giéi DAL n +1 —m, m—1,2, Khi dé od thé vit (2.18) dudi dạng

tam 1 — Stim 1, m— 1,2,

29

hay

VỚI vy — Una, Vin € Nt

Tit (2.19) ba cố mà — 0, Pi tq — mB Fy, me NE THE vac (2.19) Lá dược

(0m) Suy, = lim 3

Đám — ¥m, Vic NP,

Vay {ym} JA day tuan ho&n nhãn tỉnh chu kỳ 2, Khi đó theo ví dụ L3 ta có

trong đó mại tính theo công thức (2.20)

Đài toán 2.15 Xác định các day 36 {a,} thỏa mãn diều kiến

Vậy {w„} là dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 Khi đó theo ví dụ 1.4 ta e6

dim kùy ý với m lẽ

Em — Ệ Years với m cé dang 24498 41), sk EN (2.24)

Yoke, với m cô dạng 22(2k+ 1), se Ñ, keN,

30

“Từ đó suy ra

logs

tim — Đyy‡i — 1+ ry py

trong đó „+ tính theo công thức (2.24)

Bài toán 3.16 Xác định số hạng tổng quát của dãy số {u„}, nến uạ thảa mãn

2.1.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa

Giả sử dãy {u„} thôa mãn điều kiện

Giải hệ phương trình nãy, ta thu được z1, z»,

sẽ có biểu thức tuyển tính cần tim

,, sau đố thay vào (2.28) ba

Plt ty te 2s ee Cab) tn ba Unie +e Fk Un ke

“Tiếp theo, cần kiểm nghiệm cöng thức nghiệm bằng phép quy nạp,

Bài toán 3.17 Cho dãy {u„} xác đình bởi

tị — L, 02 — Ì, tạ — Un n23,neN (2.29)

Chứng minh ring {un} la day s6 nguyên

Giải 'La biểu điễn dãy số trên dưới dạng

»

trang đố mị,nạ,b 6Ñ

Từ (2.29) ta cá

tạ =

ti, w=

Giải hệ trên, ta tim due a; — 4, a,— —1, b— 0 Từ đó ta có công thức

Ta chứng minh công thức (2.31) bằng quy nạp

Thật vậy, với ø = 3 1a Gỗ tạ = 3= 4ug — tị nên công thức (3⁄31) chúng,

Giá sử công thức (2.31) đúng với mọi n < £ tức là ba có

UA Tổng +— đấy 2 — te 3

= Ap = Mena} = thee Atty — tag

Do đồ công thức (2.31) dũng với n— +1, nền công thức 2.31) ding vai ¥n > 8, neN

Vậy dãy số (uạ) xác định bởi cõng thức trên là đãy số nguyên

i ai" — dab + đa —

“et?

b

Giải hệ trên ta tim duge dy - ——*—, d — -1 dg — 0 Tu dé ta, có cong thức

Đó là diều phải chứng mình

'Eừ bài toán trên ta có bài toán tổng quất sau

Bài toán 2.19 ‘lim eq, khi biét ey — a, gạ — ở và

Đây chính là đạng phương trình sai phần đạng, phân thức roà chúng 1a đã biét

cách giải (Hài toán 2.18)

Bài toán 2.20 Cho dãy số {an} thỏa mãn điều kiện

ug — 0, ứị — |, tại — ðữy | V2đu[ 1, Ve CB

‘Tim céng thie của số hạng tổng quát up, theo a

Giải Giả sử dạng biểu thị tuyến tính của u„ là

Bay gid, bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được rằng đãy số {u„} thỏa

mãn diều kiện gau

Thật vậy, với n — 1 la có 12 — ăm + V2 +1 — TẾ — TÔ — ag Vay (2.37)

'Irừ về với về của (2.08) và (2.39) ta được

(ua — we)(un_a + ue — Lung) — 0

Do mui 220, Và €Z2 nêu 0gịa — TÔM p4 — tạ

Suy ra, đấy {u„} có phương trình đặc trưng

an na” 2v6)" 1 aye” | 276)", Vac N

Tit bai toán trên ta có bài toán tổng quất sau

37

1a chứng mính (2.37) đúng với n = È I 1, tức

(2.38) (2.39)

Bai tofin 2.21 Tim on khi bibl ry — ø và

ep

at fb+az Liên

trong đồ ø >Ú, a>1, a2—b— 1,

Yott — Qin — Vouk +

Phương trình này chính TA phương trình sài phần dạng căn thức đã biết cách giải (Hài toán 3.20)

2.2 Một số phương pháp giải bài toán tìm giới han

tụ của dãy sẽ phụ Lhuộc vào tinh chal của ham f(r) vi zo, Mot đặc điểm quan

này hoàn toàn xác định khi biết ÿ và giá trị ban dau 29 Do vậy sự hội

trọng của dãy số dạng này là nếu ø là giới hạn của đãy số thì a phải là nghiệm

của phương trình z — ffx) Ching ta có một số kết quả cơ bản sau:

Định nghĩa 2.1 Hàm số ƒ : ¿2 —: 7) được gọi là một hàm số co trên /) nếu tồn

tại số thực g, 0< ạ< 1 sao cho |ƒ(z} #(w)|“<al£ w với mọi z,w thuộc Ð,

Dinh ly 2.1 Nếu ƒ(z) là một hàm số eo trên D thi diy số {z„} xác định bởi

u G

zae—€ J2, #n+i — ƒ(a) hội han cia day sổ là nghiệm duy nhất trên

42 của phương trình z = ƒ()

Chưững minh Véi moi a > m thì áp dụng định nghĩa hàm số co, ta cố

len — tm| — |f(Ea—i) — (ml) < alta — tm—i| € <đ”|#g—m — xọ| (2:42)

38

Từ đó, In có

l£u — ty < ay —aa]+ + |e — má| < (?~Ê + + 1)|m1 — ol

suy ra [z„} bị chặn

Xéi e >0, từ (2.42), đo g < 1 vA [atom — #ú| bị chặn rêu la suy ra tôn lại N san

cho gŸ #p_m — zọ| < e Suy ra {an} 1a day Cauchy va do đó nó hội tụ

Để tim gidi han day số dạng này ta sử dụng một số phương pháp như dùng

định nghĩa, tính đơn điệu và bi chặn của đãy số và tính chất hàm số co ở trên

Hài toán 2.22 (VMO, 1994, Dảng D) Cho số thực ø Xết dãy số {zn},(n = 0,1,2, ) dược xác dịnh bởi:

#0 =

fy — Ui ì — SH Tạ ¡

với mợi ø — 1,2,8,

Chimg minh rang day {z„} có giới hạn hữn hạn khí n đân tới đương võ cực Hãy

tìm giới hạn đó

Giải

+) Nếu ø— 0 khi đó ø» — 0 với mọi ø€ Ñ*, suy ra lim wn — 0

11) Xét ao — a> 0, tit sinw < ø với mọi « > 0 suy ra øạ > 0 với mọi » € N*, Ta

có bất đẳng thức quen thuộc sinz > z— Š với mọi z > 0 và dấu bằng xây ra khi

Suy ra day {zn},(m — 1,2,3, ) la dãy đơn điều giảm và bị chặn dưới bởi số 0

Do đố tồn tại giới hạn lim z„ = œ với œ > 0 mà « = ÿBœ — 6sinœ