Luận văn giải một số phương trình tích phân kỳ dị và Áp dụng

Trong quá trình nghiên cứu về phương trình tích phần việc đưa giả trị kỳ dị của nhãn vào phương bình tích phan da đặt ra những vẫn đã khó nhưng đẩy hấp dẫn trong việc tìm nghiệm của phư

DẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGÔ ĐỨC HÀ

GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÃN

KY DI VA AP DUNG

LUAN VAN THAC si TOAN HOC

TiA NOI, NAM 2014

Lời cảm ơn

Luan van này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc của TS Lê Iuy Chuẩn Thầy đã đành nhiều thời gian hướng din cing xihư giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Töi muốn bày tỏ lòng biết ơn sáu sắc đến thay,

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thẫy cõ hoa Toán - Gơ

Tin hoc, Trường Dại học Khoa học Tự nhiên, Dại học Quốc gia là Nội, cũng xihư các thầy cô tham gia giảng day khóa cao học 2011 - 2013, đã có công lao day đỗ tôi trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường

Toi xin câm øn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan

tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của minh

Hà nội tháng { năm 2014

“Tác giá luận văn

Ngõ Đứo Hà

2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân

2.2 Phương trình tích phân Ábel 16 2.3 Giải phương trình tích phản ky đị với hạt nhân Logait 21 2.4 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit wen các đoạn rời

Mở đầu

Phường trình bái phần xuất hiện một cách tự nhiền khi nghiền cửa bài

toán giá trị biên của toán học vạt lý Trong quá trình nghiên cứu về phương

trình tích phần việc đưa giả trị kỳ dị của nhãn vào phương bình tích phan da

đặt ra những vẫn đã khó nhưng đẩy hấp dẫn trong việc tìm nghiệm của phương

trình tích phân Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị đã được xây

dựng và phát triển mạnh mẽ trong thể kỷ XXI Các kỹ thuật này gắn liễn với tên tuổi nhiều nhà, toán học nổi tiếng như: Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, B.N Mandal, À Chakrabartki,

Luan văn “ Gidi một số phương trình tích phân kỳ đị uà áp đụng" được chia

làm ba chương

Chương 1 bình bày những kiến thức chuẩn bị Tà cơ sổ lý thuyết cho hai

chương sau, bao sồm các khái niệm về phương trình tích phân, phương trình

tích phân kỳ đị, tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy Sau đó là một số

kết quả trong lý thuyết hàm biến phức: công thức tích phân Cauehy, công thức Poincaré - Bertrand

Chương 2 trình bày phương pháp Riemamn - Hilbert va Sp dung phương pháp này vào giải một sé phương trình tích phãn kỳ dị như phương trình tích

phan Riemann Ililbert , Abel, phuong trinh tich phần kỳ đị với nhân Togarit

Chương 3 trình bày một sỗ phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương

trình lích phần kỳ dị với hạt, nhân kỹ dị dạng Cauechy và dạng Togarit Những,

phương pháp này tránh dược những kỹ thuật phức tạp khi sử dụng phương

pháp biến số phức đã được mõ tâ ô Chương 2

Các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 được trình bày dựa trên tài

liệu tham khảo [5)

ili

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩu 1.1.1 Phường trình tích phần là một phường trnh ind trong đồ

hàm số chưa biết cỏ xuất hiện dưới dấu tích phần

trong đó À là hằng số, X(z,É) và ƒ{z} là các hàm đã biết, g(z) là hàm chưa

biết, Hàm #(œ,/) được gọi là nhân của phương trình tích phản

b) Phương trình tich phan Volterral i

Loại 1: [ Kla,tplthat — fla) A

Loại 3: g(x) +af K(a,dp(tdt = fla) ,

trong đó K(z,f), (2) là các hàm đã biết, ø{z) là hàm chưa biết Hàm K(x.)

được gọi là nhân của phương trình tích phân

1.2 Phương trình tích phân kỳ dị

Định nghĩa 1.2.1 Phương trình tích phân ky di là phương trình tích phân

có nhân Ấ (z,£) là hàm không bị chặn trên miễn lấy tích phân

1

Chương 1 Miễn thức chuẩn bị

Dita trên tính chất không bị chặn của nhằn, chúng tá có thể phân loại phương trình tích phân kỳ đị thành hai loại : Phương trình tich phan kỳ di

mạnh và phương trình tích phân kỳ dị yếu

Phương trình ích phân kù dị yếu là phương trình tích phân với nhân XX(z, £) thôn mãn diều kiện tích phần

với Ứ{z,f) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a,È] x [a,b], #(=, z) # U Khi

đó, phường tình lich phan

Chương 1 Kiên thúc chuẩn bị

É} nhận điểm £ — œ

hàm khả ví và E(ø,#) zC0 Khi dỗ nhân K(s

là điểm kỳ dị mạnh Do vậy phương trình tích phân tương ứng là phương trình

tích phân kỳ đị mạnh

Định nghĩa 1.3.1, Cho 1 mot đường cong hữu bau trong và ƒ là làm xác

định trên T ky di tai cp ET, va f Ƒ(04F không lồn bai theo nghia Riemann

Rõ rằng tích phần (1.8.1) không tồn tại theo nghĩa Riemann, Xét theo nghĩa

gia ai chinh Cauchy, ta 06

Chương 1 Kiên thúc chuẩn bị

1.4 Một số kết qua trong lý thuyết hàm biển phức

Định nghĩa 1.4.1 Chu tuyển trong là một đường cong đơn, đóng trong fE

Một chu tuyến trong C luôn được định hướng dương theo chiều ngược chiều

kim đồng hồ

Định nghĩa 1.4.2 Cha T là chu tuyến trong C Khi đó ki higu Dt 1a phần mặt phẳng phức nằm bên trong của chu tuyến P, 2- là phần mặt phẳng phức xầm bền ngoài của chu tuyến F

Định nghĩa 1.4.3 Trong mặt phẳng phức C cho đường cong Ï' đo được và hàm ¿(z) liên tục trên I" Khi đó tích phân

") = aif Win, 2eCr oni Jp

„ GIÁ sử £ là một tặp liên tháng và ƒ{z) là mặt hàm đơn

các hằng số đương 3# (gọi là hằng số Hẽlder)} và số dương œ,0 < œ < 1 (gọi là

số rnũ llölder) sao cho với mọi cặp điểm 21, 22 € £ ta đều có

lƒf() — f2)| š Äf|xi — za|”

Định lệ 144.1 (66T là chứ luyễn trong mất phẳng phuẩc Ö sà hầm g{x) thản mãn điều kiện Hồlder trên P Đạt

hi đó G(z) là mật hàm giải tích trên OVP

Định lý 1.4.2 (Bố đề có bán) Chó T đà chu luyễn long Ú nà œ là hàm dca

„mãn tiều kiện Hồlder trên TP Đại

Chương 1 Kiên thúc chuẩn bị

Chit 0: Định lý 1.4.9 đúng với mọi điểm trêu T, trừ các đầu mút, của TY khi

T là một đường öong mở Trong mặt phẳng phức C

Dinh ly 1.4.3 (Công thức tích phân Cauchy) Giá sử D là miễn bj chặn tới

bién Jordan do duge OD Néu ham Ƒ{(z) chỉnh hình trong D cà liên tue trong

D thi vdi diém 2 © D bắt kỳ la có công thúc

h #(#)

1 /#@ đệ — 2m J C—z

an

trong tú ÖÍ) là biên nó định kuớng dường cũu Ì),

Nhén sét: Công thức tích phân Caunehy biểu thị một tính chất đặc biệt là

giá trị của hàm chỉnh hình trong miền Ø hoàn toàn được xác định bởi các giá

trị của nó trên biến,

Định lý 1.4.4 Giá sử Ï là một đường cong đúng dordon trơn và hầm @(QÌ

thỏa mưu thêu kiện Holder t

uới mỗi t € Ì', ký hiệu

lim ®{z) = Gti) wa lim ®{<

eat eat `

=o (1)

Chương 1 Kiên thúc chuẩn bị

Khả dó ®*(1) cù ®~(1) lầm tại nà thầu tuïn nấu dông thiên:

trúi tù tién tei tt © Tote mat bén phdi cúa đường cơng định hướng đương T

Chúng mình Gọi D† là miền mặt phẳng phức nằm trong chu tuyến T va D7

là miền nằm ngoài chu tuyến T (Hình 1.1) Xét hàm ¿(7) — 1 chỉnh hình trên

D! và liên tuc trong D*, ap dung công thức tích phân Cauchy (1.4.4):

Chương 1 Kiên thúc chuẩn bị

Chương 1 Kiên thúc chuẩn bị

ata) = La(0 +<E / LO 3!” Đi J FH ter (14.10) ‹

2 Công thức Plemelj còn đúng trong trường hợp T là một dường cong mỏ (hoặc hợp hữu hạn của đường cong mả) và ¿ không trùng với các dau mut của T

Định lý 1.4.6 Giá sử @() là hom thỏa mãn điêu kiện Hồlder trên 1 Khi đó, tích phan ky di Cauchy

théa man diéu kién Holder uới trên T

Dinh lý 1.4.7 (Công thite Poincaré - Bertrand (PBP)) Cho T' la mét đường

cong kin va néu ¢ thỏa mãn điều biện llốlder trên T Khi đồ ta có công thức

PBF

Chững tính Đặt,

(1419

Do giá khiết œ{7) khỏa mãn điều kiện Hồlder trên TP nên theo Dinh ly 1.4.6 ta

g pi) théa man điền kiện Hồler với ¡ €T Da vậy,

(1.4.12)

(1.4.13)

Chương 1 Kiên thúc chuẩn bị

Thay két qua trén vao (1.4.14) va (1.4.15) thu duge:

Chương 1 Kiên thúc chuẩn bị

1.8 Phương trình tích phân kỳ dị trên chu tuyến

Bằng cách sử dụng công thức Plemcli, ta có thể giải được một số phương trình tích phân kỳ dị trêu đường cùng đơu, kín đơn giản,

Ví dụ 1.5.1 Giải phương trình tích phần kỳ đi

tít — 3}z(9) — — /

3 4

r

trong đó [ là đường cong kín đơn sao cho z = ở thuộc miễn ngoài [` và z =

thuộc miền trong T (Hình 1.2),

Chương 1 Kiên thúc chuẩn bị

Chương 2

Phương pháp Riemamn - Hilbert

giải phương trình tích phân trên

trong dé Gt), 9(t) 1a cdc ham Télder lién tue trén P

12

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

Bài tuần giải phương trình tích phân kỳ dị (2.1) dược dựa về tìm hàm (2)

giải tích trên CÀI" và thảa mãn phương trình (2.4)

Phương pháp Riemann - Hilbert 1a phuong phap tim him (2) giải tích trên XP (T là hợp hữu hạn các đường cong đơn, trơn không giao nhau, định hướng dương), với đáng điệu cho trước tại z — no, thôa mãn một trong hai

Lấy logarit hai về của phương trình trên và biến đổi, thu được

Inđ‡(£) — Indg() =InŒ(Œ), te LT

Do đó

[Imn%o]'ứ) - [In#;] @)—InGứ), teT (2143)

“Từ công thức Plemelj (1.4.6), tìm được

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

b) Bai (adn bién Riemann - Hilbert (RHP) không tuần nhất (1

Giả sử #ạ(>) là nghiệm của bài toán biên thuần nhất (1), khi đồ

ami | agin =3" + E(2)| (317)

trong đề B(z) là một hồn nguyễn, Nhất vậy (2.1.7) cho ta công thức nghiệm của bài toán RHP (ii)

Ví dụ 2.1.1 Giải phương trình (2.1) trong trường hep c(t) — p (ø là hằng số

với f(t) bi chan trong lan can t — 0, kỳ di yếu tại ¿ — 1 và giả thiết rằng hàm

0) cũng bị chân trong lần cận # — 0, kỳ di yếu tại ? — 1

14

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

Khi đó p = œ.cot xơ,

Bằng cách bạu chế hàm arụ trên (0,3], ta od

we (Ot) (2.1.13)

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

Chủ g Trang trường hộp @ — 0 (khi dã œ — ạ) phương trình (3.1.8) với

— (0,1) là phương trình tich phan loại I cho bởi

Phường trình tích phần Abel là phương brình có dạng

= 5

„óc (a1),

16

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

trong, đồ É << 1

Có khá nhiều nhà toán học đã tiến hành các phương pháp khác nhau để

giải (2.2.1) Sau đây, chúng ta tiến hành giải phương trình (2.2.1) bằng phương pháp Iũemann - IIilbert

Bước 1 Dưa phương trình về bài toán RHP tương ứng:

Giả sử ¿(#) là nghiệm của phương trình trên Đặt

a

&(2) -/ im

khi dó #{2) là hầm giải tích trên ƠN[ø, Z]

Vái z € [a, SI, ta có

Dat, U<pel(z=z | ty),

“fe = teh (hee fa aay

Tương tự như trên, tính được

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

Thay

is kal quá (3.3/64), (9.3.6) vào (2.2.1) và biến dối thu dược

(a(x) — d(x) O-(w) — (ax) — e*b(a))O- (a) = Bisin ru f(x), x © [on Jl

Hệ thức trén duge duta vé bai toan RHP

Bước 2 Giải bài toán RHP (3.2.7):

Xét bài toán TIIIP thuần nhất tương ứng của (2.3.7)

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

trong đó

By (x) — exp Độ (#)|,

vi WF(z) tim được như (2.2.9)

Bằng cách sử dụng công thức (2.3.6a), (2.3.6b) chúng ta tìm được nghiệm

của bai toan RHP (2.2.10) la

Bước ở Tìm nghiệm của phương trình (2.3.1):

‘Tit (2.2.11), lập luận tương tự như ở (*) (Bước 1), tìm được

GDF (x) — đệ (+)[e2F(AiA)(£) + (42A) (e)| + e |a, 5]

19

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

Vy nghiệm cũa phitung tinh (2.2.1) dude cho boi (2.2.13) hode (2.2.14)

äy dựng công thức nghiềm sửa phương trình {3.3.1)

Nếu đạo hàm hi{d) tén tai voi moi ¢ © [a, Z]., trơng đó

R(x) — Bf (x) + By (x) [(ALA)(a) — [eB] (x) — eB, (2) (Aa,

20

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

áo cũng thítc nghiệm (2.2.14) vi (2.2.15) là tưởng dương,

2.2 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân

Logarib

Nhiều vấn đề trong toán học vật lý mà để giải quyết nó đã đưa đến việc

xuất hiện phương trình tích phân kỳ đị với hạt nhân Logark Chúng ta nghiên cứu giải hai phương trình tích phân kỳ dị nhân Logarit thường gặp:

646 via) va f(z) la cde ham 06 dao ham trang khoang (a, )

Có một số cách giải phương trình (2.1.1) và (2.3.2), như của Porker (1972)

và Chakrabarti (1997) da chi ra nghiệm

;2() — aera mlz-aữ-nt [ME ứ— ø){2 — L) 1

: ae, 034)

31

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

Những kết quả trên chứa được trọn ven boi vi ughiéin (2.5

kỳ di mạnh trong đó các phương trình tích phân (2.3.1) và {

) hoặc (9.3.4) là

3.2) là kỳ dị yếu

Chakrabarti (2006) đã đưa ra phương pháp tìm nghiệm của phương trình

tích phân kỳ dị yếu (2.3.1) và (2.3.2) mà nghiệm thu được khong phải tích

phân kỳ dị mạnh

a) Phuong phép tim nghiệm phương trình tích phần (3.3.1)

Bước 1 Xây dựng bài taán RHT tương ứng phương trình (2.3.1):

Giá sử ¿(#) là nghiệm của phương trình (2.3.1) Dặt

slg, Ain (F—) = Aln (G2) — mia, 2 € (a, 2), (2.3.7)

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

Phương trình (2.3.17) là trường hợp đặc biệt cña bài toán THIP

Sử dụng cũng Lhíc (2.3.12), tực hiệu biển dỗi

8

2| [e0)4 + 4| —#®l)—® (z)

:

34

Chương 8 Phương pháp Riemann - Hữhet giải PTTP trên đường song mổ

“Tương tự bằng cách sử dụng (2.3.17) đối với hàm Q(+), tìm được

ani] eto A] = ago] - 3 Ja )In(t — z)dt — 2 ng — 2)

a (Ga =) +2K(2)], were fi (181)

Chọn một nghiệm ®ạ(2) của bài toán T:HP thuần nhất (2.3.0)

Bước 3 Tùn " của phương trình (2.3.1):

Biến đổi từ phương trình (2.3.21) thu được