đưa ra công thức nghiệm của phương trình tích phân Tredholm loại hai với nhân Hernii - ác kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo J9|... Xét phương trìn
Trang 1LUAN VAN ‘THAC SY KHOA HOC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HOC:
T8 LÊ HUY CHUAN
Hà Nội - Năm 9014
Trang 2PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHẦN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHẦN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI
Trang 3Các phương trình tích phân xuất hiện rất tự nhiên khi ta nghiên cứu các
bài toán lý khuyết cũng như cắc bài toán xuất phát Lừ vặt lý, cở học, - Hai
loại phương trình tích phân rất quan trọng được nghiên cứu và phát triển vào
đầu thé ki 20 la phương trình tích phan Fredholm va phương trình tích phan Volterra Trong luận văn này ta chí xét phương trình tích phân Fredholm Ta sẽ nghiền cứu sự tồn tại nghiệm của phương trãnh tích phân Eredholm loại hai và
chỉ ra phương pháp giải cụ thể trong một số trường hợp
Tuan van dude chia thank ba chương:
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này cung cấp cơ sở lý thuyết cho
hai chương sau, bao gồm định nghĩa vẻ phương trình tích phân và phân loại các đạng phương trình tích phân Sau đó là một số tính chất và kĩ hiệu liên quan đến phương trình tích phân Eredholm loại hai Thứ ba là định lý Fredholm trong trường lợp nhân có dạng Lách biểu,
Chương 3 Phương trình tích phan Fredholm loai hai đối với nhãn tổng quát Mục dích của cường này là trình bay về phương trình ti
1 phan
Fredholm loai hai, dita ra mét 36 phucng phap gidi 1A phutong phap thé lién tiép,
phương pháp xấp xỉ lên tiếp và một, số ví dụ mình họa Sau đỏ ta sẽ kết hap cA
hai phương pháp này để chứng minh định lý ErcđhoÌm trong trường hợp nhãn
tẩng quát và đi xây dựng toán tử giải của nó
Chương 3 Phương trình tích phân Eredholm loại hai đối với nhân
Tĩermitian Chương này đưa ra khái niệm hạt IIerritian, một số tính chất của
hại nhân và toán tử HeriniLian Sau đó chứng mình đỉnh lý Hithert-SchmirlH và
đưa ra công thức nghiệm của phương trình tích phân Tredholm loại hai với nhân
Hernii -
ác kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo J9|
Trang 4Lời cảm ơn
của T§ Lê Huy Chuẩn Thây đã dành nhiễu thời gian hướng dẫn cũng như giải
đấp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muỗn bày tố
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
Qua day, 161 xin giti
đi quý thầy eG Khoa Toan-Ca-Tin hoe, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Dại học Quốc gia Là Nội, cũng như các thấy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 3013, lời cẩm dn sâu sắc nhất đối với công lan đạy dỗ trong suất quá trình học tập của tôi tại Nhà trường,
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tấm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tối hoàn thành tốt nhiệm vụ của
minh
Ha Noi, thdny U8 nit 2014
Tác giả luận văn
Đào Thị Thanh
Trang 5KIEN THUC CHUAN BI
1.1 Khái niệm phương trình tích phân
Định nghĩa 1.1 Phương trình tích phân là một phương trình mà ham cin Bim
xuất hiện dưới dấu tích nhãn
Xét phương trình tích phãn tuyến tính cá dạng
da
trong đó
« f(z) là hàm cho trước, có giá trị phức và liên tục trên đoạn Íz,ó];
e (z0) là hàm cho trước, liên tục trên [ø.ö] x [a,ö], có giá trị phức và được
gọi là nhân;
ø À là hằng số phức cho trước;
ø s(z) là hàm cần tìm, luôn được giá thiết là khả tích theo nghĩa Riemann,
Ta có thé phân loại như san:
Thương trình trên được gọi là phương trình Eredhohn loại một,
2 Nếu hệ số A ⁄ 0 thì phương trình trên được gọi là phương trình tích phân
Fredholm loại hai
Nếu nhân &{z,£) cố tính chất /{{z,t) = 0 với mọi ¿ > z thì phương trình (1.1) trổ thành:
Trang 6Chương 1 KIEN THUC CHUAN BI
3 Nếu A z0 thỡ ta được phương trỡnh
dre) -{f X(.9)e(Ddl — (3),
a
và gọi là phương trỡnh tớch phan Volterra loai hai
4 Nờu A — 0 thỡ ta được phương trỡnh
2
ƒ đớ,)g()4t — fe),
2
và gọi là phương trỡnh tớch phản Volterra loại một
Trong luận văn này, chỳng ta chỉ xột với phương trỡnh Eredholm loại hai
Bằng phộp biến đổi, ta cú thể viết phương trỡnh tớch phõn Eredholm loại hai
Cla, 6] = {f : [a.6] +: f liờn tục trờn œ,#},
Cle 4) = LF: Qed] > Cs f Hen tue tren Ql, Ht,
Rlu,đ là tập hợp cỏc hầm giỏ trị phức và khả tớch trờn |z, 0|,
Với mỗi ƒ e Ứ|a,J ta kớ hiệu
Trang 7be
thar f feast
Nếu (ƒ,2) — 0 thì ta nói ƒ và ø trực giao
“la có bất ding thtte Cauehy-Schwarz
ff nova < (/ a) (wert)
Định nghĩa I.2 (Hệ các bầm Lr: chuẩn) Tập {¿a()} các
được qọi là một hệ trực chuẩn nếu
Định nghĩa 1.3 (Hệ đầy đủ) Cho @ — {yulz)}22, la hệ cde ham trực chuẩn
và ƒ € #°|u,b| Nếu [ trực giao uổi mọi phần tử của ® xảu ra khi va chi khí
ƒl — 0 thi he © được gọi là hệ đầu đủ,
Dat Pn — {ới, 2m} là tấp con hữu hạu của ®, Nếu ƒ € span{#„‡ thủ Là
só chuỗi Tourier hội tụ
Zớ) —(
2001) 01) — sỉ + Em 0m (8),
trong đồ (ƒ,puồ; ñ= 1 ,ma dược gọi Tà là hệ số Fonrier Lhứ ø sũa ƒ{z)
Dịnh nghĩa 1.4 (Sự hội tạ đều) Cho {/a(z)} là đấy các hầm rác định trên
lab] Ta abi day {fala} edi te
tần tại số nguyên Ñ = N{e) sao cho uới mọi n > N thilfalz) flx}| <« vdi moi
reé [aA
iii hitra fix) beta ah néu wdi moi £ > 0,
Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Déy v6 han (fa(e)} ede ham vác định trên
[a,b| hội bụ đu nễu tà chỉ nễu vdi moi c > 0, tén tại số nguyên N(c) sao cho
udii moi im > Ne), [fal2} — fala) < £ nổi mới œ e |a,h]
Dinh lý 1.3 Néu {falu)}% 1 là dấy các hàm khả tich héé tu déu tdi ham f(x) trén [a, 6], thà ƒ(e) cũng khả tích trên Ja,
[ le — Nụ [ file
bị nã
Trang 8Chương 1 KIEN THUC CHUAN BI
'Từ đố ta suy ra rằng nêu chuỗi Ð "a„(z) hội tụ đều đến Ø{z) trên (a,b) va voi
fal mỗi 7, uafe) kha tich trén |a,ö| thì
[ se" ƒ an(+) dt,
la “tủa
Định nghĩa 1.5 (Hồi tụ trung bình) 2ốy {f2(2)} trong RẺ|a,b, được gọi là hội
tụ trung bink tdi ham giới han f(x) trong R[a,b| nếu
;
lim fu — fle — tim (/ Ifa) — fale
om, im tf
Định nghĩa 1.6 (Toán tử Eredholm) Cho K(z,t) la ham ade dinh trén Q[a, |
và khả tích thao từng biển trên œ,b., líí hiệu toán từ
ts) asp {HEE sóc? ne eah
và gọi nó là chuẩn của toán tử K
Trang 9Ménh d€ 1.1 Néu nhan K(2,t) cd ||K (2,8) 9 < œ thì
[KIB < |#lÄllelỗ Ve © R*la, 6]
Chatag minh Ap dụng bắt đẳng thúc Cauchy-Schwarz ta có
Từ định nghĩa ta suy ra:
(Ù Với mọi ø,ở thuộc ®2|a, ð| thà (g,0) — œ, R0)
(ii) Với mọi >1 Đủ (KP9* = (Km,
h nghia 1.9 (Mian) Tap 2c C md, khác rỗng wa liên không được gọi là
một tn
trong Ö
Định nghĩa 1.10 Cho tiểu Q sĩ hàm ƒ 0 — C,
( Hàm ƒ được gọi là hầm giải tích trên Q nêu ƒ khả í tại mọt điểm cc Q
() Hàm ƒ được gọi là hầm phân hình trên Q nếu tồn tại tap P< san cho:
- Ð không có điểm gidi han trong Q;
- f(z) là hầm giải tích trang miền Ð
- Mọi điểm của P đều là cực điểm của ƒ(z)
Định nghĩa 1.L1 #ăm ƒ:C — được gại là hàm nguyên nếu ƒ là ham gidi
tích trên toàn mặt phẳng phite C
Trang 10Chương 1 KIEN THUC CHUAN BI
1.3 Phitdng trinh tich phan Fredholm loat hai véi nhan tach
ala) = fle) + AS a(x) ( { Tv)
Khi đó phương trình trên trổ thành
trong đó 1 là ma trận đơn vị cẤp œ xn, A — (a¿) là ma trận cấp n x n vai cdc
phẫn tử được xác định như trên, f — (/¡, -, /»}T
số phải tìm
và b— (eI,**+,en)T là các hệ
Trang 11trị của ĐỊA) 'Ia xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Đ(A) ¿ 0 Trong trường hợp này A được gọi 18 gid tri chink quy của nhân, Khi đó hệ tuyến tính trên có nghiệm duy nhất
trong dé wdj( ÀA) — (Dji(A)} a ima trận phụ hợp của ma trận (LAA) Do
đó mỗi hệ gỗ œ¡ có biển điễn
Trang 12Chương 1 KIEN THUC CHUAN BI
Truéng hop 2: D(A) = 0 Trong trường hợp này A duge goi 1A giá ír‡ riêng
của nhân Giả sửt Ay là một giá tri clang, nyhia Fh DO) — 0
Xếi trường hợp f= 0 Khi đó hệ phương trình (1.5) trở thành
Chi #4 tran (6) để kĩ hiệu rằng nghiệm AI Tả hăm tiông cũa nhân Lưởng
ứng với giá trị riêng A¿ Mỗi nghiệm của phương trình thuần nhất sẽ có dạng
Pe
gol
trong đó uj Ia hang sé ty ¥, chi 36 tren {hj là để kí hiệu răng Œ9(z;A¿) là
nghiệm tổng quát của phương trình tích phân thuần nhất trên
Xi trường hợp T 7 0 'Th sẽ sit dung bé dé sau:
Bé dé 1.1 Cho B = (bij)nxn va BY = lbj);„n Khó đó nếu det(B) = 0 thì hệ không thuầu nhÃt Tâx — f có nghiệm nễu uà chi née f true giao udi lit cả các nghiệm của phương trình liên hợp thuần nhất Bry = 0
Tit bé dé nay, ta thấy hệ tuyến tính (T— A¿A)e — £ có nghiệm nếu và chỉ nếu
T trực giao với tất cả các nghiệm của phương trình
11
Trang 13Vi nia trấn (T— A¿A) và (T— AsA)* có cùng hạng và số khuyết nên phương, trình
(1.8) cũng có „ nghiệm độc lập tuyến tính Lại có
AzAJƑd=( WAd=( WA d=
Vì vậy nếu
ag) — (6 Oa) Pag?
Tà một trong py nghiệm ủa hệ (1.9) thĩ
trong dé 4; = [ ald) VEE, sạn = | Gl) bi(é}dt “Lt (1.10) va (1.12) suy ra
4ÚÌ{A¿) là nghiệm của (1.3) khi và chỉ khi nó là nghiệm của (1.12) vai A = Ay
Tir dé, ta có kết, quả sau:
Định lý 1.1 ( Định lý Fredholm đối với hat nhân tách biển) Xé? phương trình tích phân Tredhaim laại hai
b
a(x) = /61+A Ƒ Œ,tø(04t
trong đó À là tham số phúc, ƒ{œ) € CÍn.b| uà Ríœ.£) C ((Q|a,b]) là hạt nhân tách biển có dựng (1.4) Khi đó:
fi) Nếu À là giá trị chính quy câu nhâm thà puddag trànÀ có nghiệm duy hid
biểu điễn dưới đựng
°b
[ Re, BAF,
trong db R(w,t;A) được sác định bài công thúc (1.8)
12
Trang 14Chương 1 KIEN THUC CHUAN BI
(ii) Néw dla gid tri viéng etia nhdn Li plitong trình thuần nhất
b
w(œ) — af K(zx,tho(t}de
có nghiệm không tầm thường Hơn nữa, phương trình không thuần nhất có
nghiệm khỉ và chỉ khí hàm Ƒ(+) trực giao với tất củ các hàm riêng của
phương trình thuần nhất liên kết
Trang 15PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
FREDHOLM LOẠI HAI VỚI
NHAN TONG QUAT
Ở Chương 1, ta đã xét phương trình tích phân redholrm loại hai với X/e,)
là nhãn tách biển thuộc Œ(Qa.ð]) Th dã chứng mình dịnh lý Fredholm về
trúc của các nghiệm của phương trình phụ thuộc vào À 'Irong chưởng này ta sẽ
'
nghiên cứu phương trình tich phan Fredholm loai hai với nhân tổng quất
2.1 Phương pháp thế Hên tiếp
Định lý 2.1 (Định lý thay thể Hến tiếp) Xét phương bình lích phim, Fiedieolrn
loại hai
pd
viz) = fla) 1 af Kitz.Đ)e(Đải, (2.1)
trong dé » la mot tham số phúc, ƒ(œ) e Ca, tâ K(z,tf) lề một nhân thuộc
ŒiQIø,5) Mu A|(b—a) súp |Kœ.f)| < 1 Hà phương lrồnh có nghiệm dụng
Trang 16Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VOI NHAN TONG auar
Khi đó phương trình (2.2) có thể viết gon lại là
ple) — f(a) + Aontx) + p(x)
T
liên tục ø{z) trên đoạn [a,b] va day øz(z) hội tụ đều đến 0 trên đoạn [ø,ủ] Thật
vậy, vì |K(z,£]| < M nên |„(z,f)| << M7%(b — a)P—1, Da đá
chững mình rằng nến |A|AM(È— ø) < 1 tủ dãy ø„(œ) hội tụ đền đến hàm
fi
Xe [ Kale,016)8, < (BIMT6 =øjP" MU, A
VI |À|Af(b— a) < 1 nến khi n clit lan thi ¥m > 7, ¥e > 0, ta od
m
|em(£) —øw(@) S [= aare-o] MIS
Ant
cabana apt — Leh
S (Ale ad} T-RIM@=a}
ce
Trang 17Mặt khác, ta có |an(z)| < |A| A4 [lel (ALM — a))” Do 46 za(») hội tụ đền tới 0
trên a,b| khi ø — too
Vay gla) = f(x) + Ao() hay
si
Ví dụ 3.1 Giải phương trình tích phân Iredholm sau:
ñ
16
Trang 18Chương 2 PHƯƠNG TRINH TICH PHAN FREDHOLM LOAI HAI VOI NHAN TONG
2.2 Phuong pháp xấp xỉ liên tiếp
“Trong phần này, ta sẽ giới thiện mội, phương pháp khắc dễ giải quyết phương
trình tích phân I'redholm loại hai Diễm thuận lợi của phương pháp này là ra sẽ
sử dụng cách chứng mình sự hội tụ khác và thủ được một kết quả, tốt hơn trong
trường hợp chuỗi toán vử giải có bán kính hội tụ lớn
Xét phương trình tích phân Etedholm loại hai
b
lx) =/0+a | Kím,1}e(8)4 (2.3)
Đầu tiên ta chọn xAp xi bac khong yo(x) 1A mot ham gid tr] thye, vdi a < sb
“Thông thường ta sẽ chọn ¿o(z) c {0,1,z,e"} Xấp xỉ bậc một ¿¡(+) của nghiệm
Xấp xĩ bão bai zs(œ) của nghiệm œ{ø) thụ dược bằng cách thay thế ø() trong
phương trình (2.3) bởi ¿i({z) ta được
gaz] = F(x) 1 af Kila, ter (t)dt
@ Cit tiép tuc phuong phap nay, ta sé thu được xấp xỉ bậc mœ + 1 của nghiệm v(x)
theo công thức truy hồi san
b
porate) = (0) LÀ { Kletentijul vin 20 ,
17
Trang 19CiQlu, 8) Néu |A ||Klly < L thà phương trình trên có nghiệm duy nhat va nghiệm
đề được cha bởi công thúc
ù
vel J6) +A [ Riei)J(Dai
trong đó Rẳu,L;À) là toán tử giải được xác định như sau
Rear, tA) — ` AT u(e,#)
Trang 20Chương 2 PHƯƠNG TRINH TICH PHAN FREDHOLM LOAI HAI VOI NHAN TONG Qua
Ta sé chitng minh ring néu [Al ||] < 1 thi day op(e) hoi tu déu téi ham gidi
han ofx), còn day wy1(x) hội tụ về U khi n —+ eo Ấp dụng bất đẳng thức
Canchy-Sehwarz đối với hại, nhãn lắp tá được
leeefs [ [ ã»aeso22} ( Ƒ ad)
Lấy tích phân trên cả hai về của bất đẳng thức này theo biển ¢, ta được
Do đồ mỗi số hạng trong tổng øa(z) đền được đánh giá bái hất đẳng thức
V/®13 |Ílb Teg = (le Al (| Ao)”
b
Am [ Kin t) ft <
a
“Từ đó ta suy ra rằng nêu như A| [Allg < 1 thi chudi {on(x)} hoi tu tuyệt đối
mì giới hạn duy nhất z(ø) trên đoạn fa, A] Cling sit dung dank gi
Trang 21
Nhu vay từ hai điều trên ta suy ra rằng
e(œ) — ƒ(œ) — Aø[)
Chứng mình lính duy nhất nghiệm: Giả sử phương trình (3.5) cĩ hai nghiệm
phân biệt g(z) và ?(e) Dặt ð(z; = ø(z) — Ø(z) Khi đĩ ð(z) thỏa mãn phương
Chứng bê phương trình (2.5) cĩ nghiệm dny what cr
Vi du 2.2 Giải phương trình tích phân sau
1
¢(e) —1+ af z+'®+'®2(p)át,
0
Lời giải Trước hết ta thầy răng
sup|#(z,Ù =1, A=3, a=0, b=1 toa)
Trang 22Chương 2 PHƯƠNG TRINH TICH PHAN FREDHOLM LOAI HAI VOI NHAN TONG Qua
Vi vay ta cd thể áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải phương trình nay
Dâu tiên ta đặt xấp xỉ bậc không là gụ(z) = 1 Khi dé x4p xi bậc một là
Trang 23với nhãn tách biển Ở 9.2, ta đã chỉ ra phương pháp xấp xỉ liên be để giải
: Izy, phần
này, ta sẽ kết hợp cá hai phương pháp này để xảy dựng các định lý Fredholm
đối với #⁄(z,£) c C(@la,ð]) là nhân tổng quát và A là tham số phức tùy ý
"Trước hết, 1a giả sử tham số phúc À thuậc đĩa đồng A„— (A: [Al < a}, trong
đó p là số cỗ định và có thể lớn tùy ý Ta sẽ bắt đầu bằng việc phân tích nhãn
Kứ,t9)
"heo định lý xấp xỉ Woierstrass, nhân K{z,‡) có thể phân tích thành tổng
phương trình này nếu như #(e,¿) là nhân tổng quất và với |A| <
Chon p= _ Khi dé néu |A| < ø thì |À| <
viết lại phương trình (2.6) đưới dạng
ø
Vì p(t} khả tích nên P(z;A) liên tục trên [a,ðỊ, Vì À < 1 nên theo định lý
[KI xấp xỉ liên tiếp, nghiệm ix) của phương trình (2.8) tan tai, lién tue trén [a, 6]
và được biểu diễn bởi
h
em) — hm À) + af Rela, ts A) FUE; Aydt,
@ 22
Trang 24Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VOI NHAN TONG auar
Git) = Keaplet,8) + f{ Rens: A) Keel) A (2.12)
Ta thay rang Ge(z,t: A) cd dang tách biên bởi vì
Trang 25Như vậy, phương trình (2.10) trở thành phương trình tích phân Fredhobn loại
hai với nhân tách biến Ta có thé giải được phương trình này bằng phương pháp
đã được mô là ð Chương 1 Tùy nhiều, ä đây có mội sự khác biệt đó là nhân vẫn còn phụ thuộc vào tham số A Ta sẽ giải quyết phương trình (3.10) này như SAU:
‘Vhay biéu dién cia Ge(«,t;A) trong (2.13) vao phucng trinh (2.10) ta duge
ví) — fetes) +S cif) [ale] + Aa; A)], (2.14)
i=l
trong dé ta dit
aa} — f ania, +
Giả sử rằng mỗi nghiệm cña phương trình (2.10) đều có dạng này Thế thì ta
A} Trong phương trình (2.14), ta thay thể œ bởi f, đối chỉ
số của tổng từ ¡ thành 7, sau đó nhân câ hai về của phương trình với ủ;(Ð) rối
lay tich phan từ ø tới b, ta thu được
Trang 26Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VOI NHAN TONG auar
và gợi Dz(A) là định thite Predholm Ta thay D,(A) là hàm giải tích của À trên
đĩa đóng A¿ Khi đó số nghiệm của hệ phương trình (2.18) phụ thuộc vào giá
tri cia Dp(A) Ta 8 xem xét, hai trường hợp sau:
"Trường hợp 1: 2z(A) z U Khi đó hệ phương trình tuyến tính trên có nghiệm
trong đồ ađj{T— ÀA(3)) — (/1A)) là mà trận phụ hợp của T— ÀA(A) Mối
e¡(A) có thể được biểu diễn dưới dạng
Nhan Se(x.é;4) 1a hèm phản hình của A trên đĩa đóng A¿ Hơn nữa nó cồn là
hàm tách biến đối với hai biến x va ¿ Thay ƒ;(z;A) vào trong biểu diễn trên
cit, g(a) ta Un được dang thủ gọn của nghiệm của phương trình (2.10) và cũng, chính là phương trình (2.6) như sau
nh
is) = Hed 1a f Cees arta,
25
Trang 27Ti (2.9) ta thấy đ,íz,E A) rương đối nhỏ Do đó từ (2.18) ta thấy &(ø,£A) là
;A), Mà 6,(,2;À) là hầm phân hình nên f2z,#; A) cũng là hàm phân hình trên A„ Hơn nữa, ¿(z,#; À) còn là hàm phân hình trên thành phần chính của T,
toần mặi phẳng phức, Giả sứ lấy mật gố Lùy ý Ø sao cho 0< ä< Z, Khi đá bằng
lập luận tương tự ta cũng xây dựng được toán tử giải ;(z.# À) là hàm phân
hình trên Az, De đó nghiệm của phương trình (2.10) có dạng
Ỷ
ve} — J) 1 af ,(,b;A)/0)ảt
Nhưng vì nghiệm là duy nhất nên a(t A) = Gee, A} ren dy Nhit vay
,(œ,£A) là hàm phân hình thác triển wit Ue(e.t Aj Ma Z có thể lớn tùy ý
A) có thể dược thắc triển thành một hàm phân hình tren toàn
mặt phẳng phức la ki hiệu sự khai triển duy nhất này là #{z,1;A) và gợi là
ù on) — f(x) + Ƒ R(œ,t; A)ƒ(),
lạ
uới toán tử giải duy nhật Rịa, t;À) âược sác định nhaứ trên,
Định lý 2.4 (Định lý Fredholi thứ tư) Xét phường trình lách phân thuầu nhất
26
Trang 28Chương 2 PHƯƠNG TRINH TICH PHAN FREDHOLM LOAI HAI VOI NHAN TONG Qua
Chứng rảnh, Định thiên T,(3) Tà một hầm gi Veta Len dia dong Aq Ta
sé chiing minh Ag A, hitu han véi moi ø > 0 Ciả sử phản chứng ring Agn Ay
vô hạn, Khi đồ Ø„(A) có võ hạn không điểm trong A„ Vi Dy(A) la ham gidi tich theo À nên Ø;(A) = 0 trên Az Điều này võ lí vì D,(0) — 1 Do đó chỉ tồn tại hữu
Trường hợp 2: D„(A} — đet(T— AÁ(A}) — 0 Trong trường bop này chỉ có
hữu hạn giá trị A thuộc A„ sao cho /z(A) = U Ta xem xét hai kha nang sau:
(i) Néu f[A) =0 Đã hệ tuyển tính
qŒ AA(lje(A;—0
có p(A) các vector nghiệm khác 0 độc lập tuyến tính cf(A), j7 — 1,3, ,p(A) và
nghiệm đó được viết dưới dạng
cay
“Thay các giá trị của cj(A) vào phương trình (2.14) ta thu được nghiệm của
phường lãnh (2.6), Nếu f(a) = 0 wen 3,8 thì É
quát của phương trình thuần nhất tương tng vi
Chỉ số trân (z) để kí hiệu rằng ø/(z, A) là một hàm riêng của nhân 4f(z,¿) Nếu
1x kí hiện Gels A) là nghiệm tổng quất của phương trình dich phan thuằn nhất
tương ứng với nhân #(z,7) thì nó có dạng
LIÊN „
4A) — Soon),
j1
trong đó œ; là hằng số tùy ý, chỉ số trên (n) để kí hiệu rằng ø3{z; A) là nghiệm
tổng quất sũa phương trình thuần nhất Tưởng ứng với giá Lrị riêng A Tieng iar
như ở Chương 1, ta sẽ đi xem xét mối liên hệ của, phương trình (2.6) với phương
trình thuần nhất liên kết trong trường hợp A là giá trị riêng của nhăn tổng quát
aT
Trang 29“thay Ñít,z) vào (3.19) ta dược
2z} — t(& 9Ä Rang œ}ọ (ải — xf
‘Ya thay phương trình
là phương trình không thuần nhất với nhân có chuẩn đủ nhỏ, do vậy áp dụng
định lý xấp xỉ liêu tiếp La thủ dược nghiệm 2œ) có dạng,
Ta thay Got 2A) có đang tách biến nên phương trình (9.29) là phương, trình
tích phan thuần nhất với nhân bách biến Vì vậy, nghiệm của nó có dang
Trang 30Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VOI NHAN TONG auar
Do do 4 18 giá trị riêng của nhãn X(¡,z) tương, ứng, voi „(A) hàm riêng đã cho
Lại có phương trình (9.22) và phương trình giz) = af G.(+.t;À)e(04L có hạt
nhân liên kết nên chúng phải có cùng số hàm riêng độc lập tuyến tính, nghĩa là WA) = 4X) Tit dé, tá oố dịnh lệ sau:
Định lý 2.5 (Dinh ly Fredholm thit hai}
tà số các hầm riêng độc lập tuyến lính của phương trình thuận nhất trên bằng
tới số hầm riêng của phương trình tuyén tink thuần nhất liên kết
ö đíø) — xf Cele A) wea,
a Nếu ó(z) là một nghiệm của của phương trình thuần nhất trên thì từ biểu diễn (2.11) và (3.21) ta có
Trang 31
Từ đó ta thấy rằng f,(;A) true giao vdi wie) néu va chỉ nếu /(z) trực giao với
nghiệm +(z) của phương trình thuần nhất liên kết
viz) = fla) 1 af Ktz,e(0át,
trong đó À là một tham sẽ phức, f(z) C C[a.b| gà K(z,t) C C(Qla,b) Nếu A là
ô nghiệm khí
một giá trị riêng của nhần K(z,t) thì phương trình tích phân trẻ
va chi khé f(a) tree gion tới tốt cả các hèm riêng của phương trình thuần nhất
2.4 Cấu trúc của nhân giải
© phan này, ta sẽ đi xây dựng cấu trúc của nhân giải khi A là giá trị chính
quy Ta thu được các kết quá dưới đây:
Dinh ly 2.7 Nhân giải tặc t,AÀ) có thể duạc biểu diễn như là thương của hàm
nguyễn D(e,t;À) tà DA) đã cho bôi các chuỗi lừy thừa
Trang 32Chương 2 PHƯƠNG TRINH TICH PHAN FREDHOLM LOAI HAI VOI NHAN TONG Qua
mì Km -.=n.a.a^ () —(A— del ™eol 3 D(A} eA) mee c2VÀ) A)
Tw do suy ra Ay là một cực điểm đơn của á;(A) với thăng dư —mạ Do đố, ð;(A)
qhỉ có các cực điểm đơn trùng với các không điểm của D„Ô) Vì [xŒ,E,À) là sự
hạn chế của A(t, tA) trén dia Ap nên ó;(A) cũng là hạn chế của hàm
Suy ra các khöng điểm của Đ(A) trùng với các không điểm của Dp{A) trong A,
và có cùng bội Do đó Ø2(z,¿:A) là hàm nguyên của A Theo Định lý 3.2, với À
Trang 33Vì 2(z,£;A) là hàm nguyên nên nó có khai triển Maclaurin
Det a= >> Lome, «oa = > e