Luận văn bán kính Ổn Định của hệ phương trình vi phân Đại số có chậm

IIần hết các kết quả đã biết về tính ổn định của PTVP DS cé cham chỉ là đối với trường hợp chính quy có hệ số hằng hoặc một vài trường hợp.. Và dé thu được công thức tính toán bán kính

DẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI TRƯỜNG DẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHAM KIM QUY

BAN KiNH ON DINH CUA

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN DAI 86 CO CHAM

LUAN VAN THAC Si KHOA HOC

Hà Nội - 2015

DẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI TRƯỜNG DẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHAM KIM QUY

BAN KiNH ON DINH CUA

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHAM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Toán ứng dụng

Cán bộ hướng dẫn: PG8 TSKH Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2015

LOL CAM ON

Trước khi trình bày nội dung chính của luận vần, em xin bày tổ lòng

biết un sau sắc tới PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, người dã dành nhiều thời gian, công sức dé hướng dẫn và tặn tình chỉ bảo trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Nhân dãy em xin dược gửi lời cảm ơn đến ban lãnh dạo và các thầy cố

giáo, cáo anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung và khoa,

Toầu - Cơ - Tìn học nói riêng vĩ đã tạo mọi điều kiệu thuận lợi nhất, giúp

đã em trong thời gian em hoc tập, nghiên cứu Lại trường

"lôi xin âm ơn các anh chị và các bạn trong chuyên ngành 'Ibán ứng dụng vì những động viên và những $ kiến trao dối quý báu đối với bản thân trong thời gian qua Cuối cùng tôi xin bày tả lòng biết ơn gia đình, người thân luỡn là chỗ dựa về tỉnh thản và vật chất trong cuộc sống và

trong học tập,

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2015

Học viên

Phạm Kim Quý

DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

® 4C(U,o), C"): Không gian các hàm liên tục tuyệt đối từ [Ù, œ) vào

Mục lục

1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Một số khái niệm về ma trân .- 6

1.11 Ma tran Metzler, ma trận đương Nghịch đảo Drazin 6

1⁄3 Mặt số khái niệm về phương trình vi phân 18

2.1 Bán kính én định của hệ phương trình vi phân đại số 16

2/2 Bán kính ổn dịnh của phương trình vì phân thường có chậm 27

3.21 Háu kính Ổn dịnh của PVP Lhường có chậm 28 2.2.2 Hệ dương cóchậm 30

3 Bán kính ẩn định của hệ phương trình vi phân đại số có

3.2 Tính ổn định mũ của phương trình vi phân đại số có châm 39

3.3 Tính ổn định mũ vững ca 2Q 44

Ex(t) = Ar(t)+ De(t—71),

6d6 6 ADE Ce: 1 > C= [0,0¢),7 > O là độ trễ thời gian,

det E — 0

‘Lrong Ui ligu nay, mot Linh chdt P của hệ được gọi là sững nếu tính chất đó được bảo toàn khi một nhiễu tùy ý £ (đã nhớ) tác động lên hệ Ngoài việc quan tâm tới tính vững của một tính chất, người ta còn quan tâm tới độ sững của tính chất đó mà đại lượng quan trọng để đánh giá khái

niệm này là bán kink của thuộc tính (được đo bải mê-trio tương thích)

ferential Algebraic Hquations) và P'UVP thường có châm (Đelay Ordinary

Differential Egualians) TTong khi PTVP Ч là mõ hình toán học cø bản

cho nhiều hệ động lực trong nhiền lĩnh vực ứng đụng chẳng hạn nhĩ mô

phỏng mạch điện, lý thuyết điều khiển, động lực chất lỏng, kĩ thuật hóa,

học, thì PTVP ĐS có chấm là cần thiết để mô hình hóa những tác động

không tức thời (có chậm) Không giống như trường hợp PTVP thường có

chậm và PTVP Ч, việc nghiên cứu tính én định của PTVP ĐS có chậm

gặp nhiền khó khăn do nó bao gồm cả phần ràng buộc đại số và độ trễ thời

gian, thậm chí lý thuyết tồn tại và duy nhất nghiệm cũng mới thu được

Ít nhiều kết quả Khó khăn còn rõ rệt hơn khi phân tích tính ổn định của

nó IIần hết các kết quả đã biết về tính ổn định của PTVP DS cé cham chỉ là đối với trường hợp chính quy có hệ số hằng hoặc một vài trường hợp

có đạng đặc biệt Nhiền kết quả đã biết trong PTVP thường có chậm và

PTVP DS không thể chuyển sang PTVP DS co cham

Đài báo |ð| là cđ sở thực hiện luận văn Trong tài liệu này, các bác giả

đã nghiên cứu tính ổn định của hệ thông qua mỗi quan hệ của tập phổ với

tap Co cing với một số điều kiện kèm theo Và dé thu được công thức tính

toán bán kính ổn định của PTVP Ч có chậm, thì việc phân tích phức

tạp hơn cùng với việc sử dụng hàm truyền G(A)(fransfer fưncHione)

Trong luận văn, tác giả đề cập đến các dạng PTVP tuyến tính thuần

nhất hệ số hằng Luận văn gồm 56 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và,

tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương:

©@ Chương I Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng

vôi bún Lắt một số kiếu thức sử dụng trong luận vân, chủ yếu là các

kiến thức mở rộng về 1na trân, vée-to và chuẩn

© Chương 2 Mot số kết quả về bán kính ổn định Nội dung của chương là giối thiệu một số kết quả và công thức bán kính ổn định của DTVP D§ và PTVP thường có chặm tuyến tỉnh he sổ hằng như là

những trường hạp đặc biệt của phương trình vi phân dại số có chậm

© Chương 3 Báu kính n định của hệ phương trình vì phân đại

số có chậm Chương này là nội dung chính của hận văn ‘Tong dé, chứng tôi sẽ phân tích và chứng mình sác kết quả về bán kính ổn định phức của PTVP ĐS có chấm tuyến tính hệ số hằng Và kết quả là

đưa ra một công thứe tính toán bán kính ổn định

Quá trình tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề sẽ không tránh khỏi sai sót, hạn chế Do đó, em rắt mong nhận dược những góp ý của các thầy cõ để luận

văn được hoàn chỉnh

or

1.1.1 Ma trận Metzler, ma trận dương Nghịch đáo Drazin

Định nghĩa 1.1 Cho mà trần A= |ag| CR, 1 < i,j <n Khí đó:

1 A được gọi là một ma trộn Aiebler nếu lẤt cả các phần tứ, ngoại

trừ những phần tủ trên đường chéo chính, là không âm, tức là ai >

0,W #7

2 A được gọi là ma trận khong am (nonnegatine matria) và miết là A > 0

nếu nụ > 0,M, j — 1,9, 11

3 A dude goi l& ma trén duang (positive matric) nếu tất cả các phần từ

của A là dương, tức là ayy > 0, Vi, 7 = 1,2, ,n, RE hiéu A> 0

Trong đại số Luyến tính, chúng Lá đã biết đến khái niệm ma trận nghịch dao ofa mot ma trấn vuông khả nghịch Mở rồng khái niệm mày chúng ta

có các khái niệm nghịch đão khác, chẳng hạn: nghịch đảo nhóm, nghịch đản Drazin, nghịch đảo suy rồng, Trong phần này chúng lõi trình bày về khái niệm nghịch đảo Drazin và một vài kết quả liên quan.

Định nghĩa 1.2 Cho mơ trên AC CP*", Khí đú:

1 Số tự nhiên kí được gọi là chỉ số của A sà kí hiệu là ind(A) = k nếu

k là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn rank Á* = rank 4*+!,

8 Ma trần X € C"x" dược gợi là nghich div Drasin cia A néu X thou mãn đồng thời các biểu khúc

(aj Nghịch đảo Drazin của ma trận A luôn tồn tại oầ duy nhất,

(h) Nghịch đảo IXrnsin của ma trận lũy linh là ma trận không,

(c) Nếu P là ma trộn chiếu, P2 = P, có chi sé ind P <1 thi PP = P,

(4) (A) = (APY,

fe) (ATP = (APE,

Ví dụ sau chỉ ra na trận nghịch dao Drazin cia mot ma Wau suy bién

Vi dw Li Xét ma tran:

10 4— 100 1]

0009

Ta có rank 4 = 2, rank 4” = rank 4 = 1 nên ind(A) = 2

Vì det 4 — 0, nên không tên tại 4—T Thy nhiên ta có thể kiể

I0 0 x-|poul

000

thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 1.9, tức là AP _ X,

1.1.2 Khai triển kì dị

Khai iriéu ki di (Singular Value Decomposition) lA mot cong cu dai sé

tuyến lính rất mạnh và hữu dụng, được gử dụng trong nhiều bài toán liên

quan đến ma trận mà khi áp dụng cáo phương pháp như khử Causs hay

phan dich LU sé cho kết quả với sai số lớn, Phân tích SVD đựa trên định

lý san, xem [6]

Dịnh ly 1.4 Che Ac O'™" Khi đó luôn tồn tại các mà liện trite giao

vecmm VY eC" à ma trận đường chéo D := diag(ØI, , đy) trong

đá ơ;,Ö < ¿ < r, là các cần bậc hai dương (kể cá bội) của các giá trị riêng cũu ta trận A*A thâu tấm

được gọi là khai triển ky di của ma trân A

Các véc-tơ cột của ma, trận được gọi là các véc-tơ kỳ dị trái, và các vếc-td cột của ma trận W dược gọi là các véc-tơ kỳ đị phải, còn ø¿ được

gọi là các pid tri ky di otis ma tran A

Dé tim khai triển kì di cla mot ma tran A ta di tim các véc-tơ riéng

của các ma trận 4*4 và 4A*, Cụ thể các vềc-(d riêng đơn vị của 4*A là

các vều-Ld cột của V , còn các véœ-tLd riêng dơn vị của 44” là các véc-Ld

ác giá lrị kỳ dị của 4 là các cần bậo

8

của Á"A hoặc 4A”,

Ví dụ 1.8 Tìm khai triển là đi cho ma trận san:

trị kì dị là ơi — VŨ, 'Úa có các véc-Ld riêng ddn vị ng với cáo giá trị

riêng Ài và À; của ma trạn 4A” là

Ta có các véo-tơ riêng đơn vị ứng với các giá trị riêng À\, Às và Àa của ma

Cho cặp ma tran (E,A), E.A c K®*" Cap (5, A) due goi là chính

quy nếu tồn tại À € C sao cho det(A7Z— 44) # 0 Ngược lại, nếu với mọi

Ae C ma det(AZ — 4) = Ú thì va nối rằng cặp (7, 4) suy biến

Cho cặp (1, 1) là chính quy, một số phức À được gọi là một giá trị

riêng (hữu hạn) của cặp (7, 4) nếu deb(A# — 4) = Ú; tập ơ(, A) :=

1A€C: deti(AE— A) = 0} gọi là phố của cặp (Z, ⁄41) Trường hợp E = 7

10

ta có khái niệm phố cña ma trận A,ơ(.4) Nếu # suy biến và cặp (Ƒ, 4)

chính quy thì ta nói rằng (, 4) có giá trị riêng ao

"Trong khuôn khổ luận văn này, ta chỉ xét các cặp ma trận (Z2, z1) chính

quy Khi đó ta biến đổi về đạng chính tắc Wøierstrass-Kronecker, tức là

tổn vai các ma trân không suy biến W,7 ¢ C?*” sao cho

2 là cde ma tran dang Jordan va N la ma

Dinh nghia 1.5, Xét cp ma tran chính quy (E, A) uới D7, A € lế"X" được

tiết ở dạng chink tée Weicrstrass-Kroneckcr Néur <n va Ñ là lũy linh

chi sé v € {1,2, }, tée aN” =0,N'40,0=1,2 , v—1, thiv duge

gọi là chỉ số của cặp (E, A) tứng ái phương trình tí phan Ett) = Aa(t),

kí hiệu ind(ƒ, A) = u Nếu r = n thì la nói phương trình tí phân tương

(1.1), ta có đet[AE — 4) = 0 +> det(A7,T— J) =0, do dé of B, A) = ø(2) Hơn nữa, ta có đe(AP 4) = detWdol(Af, J).da(AN 1 ,).detT1

cho nên degdct(AZ 21) =degdet(AJ J) +degdet(AN J,_,} Do

dé, det deg(AZ — A) =rankE = r néu va chi néu ind(B, A) < 1

1.2 Chuẩn véc-tơ và chuẩn ma tran

Tiếp theo, ta nhắc lại về chuẩn véc-tơ và chuẩn ma trận, xem [ố

Gil) fla—y) < Ale) — f(8),V+,u € TK",

'Ta thường kí hiệu ƒ(>) bởi ||z |, tức là ƒ(z) — |z|

Một lớp các chuẩn thường được sử dụng là chuẩn p được định nghĩa

ax |x;| (chuan võ cùng)

|z

Cho ma trận 4 £ K”?“*, chuẩn của ma trận 4, kí hiệu là |4 |, cũng

được dịnh nghĩa tương tự như dịnh nghĩa chuẩn véc-tơ Các chuẩn ma trận thường sặp là chuẩn - p

Chuẩn-p là chuẩn được xác định bởi công thức | All; = maxzzp Lạ

'Ta có vài trường hợp đặc biệt tương ứng với chuẩn véc-td sau:

® Với ø — 1, tá có chuẩn cực dại theo cột:

lAIi — max BE Jag

12

® Với p = œ, ta có chuẩn cực đại theo đồng:

Một chuẩn khác được nhắc tới trong tài liệu này JA chuan Frobenius, kí

hiệu || r, được xác định như sau:

4lr:—~ v52

trong đồ ø;,2 = 1, min{m, 1) là các giá trị kì đị của 4

1.3 Một số khái niệm về phương trình vì phân

"Itøng phần này, ta nhắc lại một số khái niệm sơ bản ban đần về phương

trình vi phân và nghiệm của phương trình vi phân phủ tuyễn ẩn, tổng quát,

xem [4], [1], dang

trén I := (0,00) cùng với điều kiện đầu

Định nghĩa 1.8 Một hầm + : I—> IR" được gợi là nghiệm của (1.2) nếu

#Ă€ CI(,R*) ok z thõa mãn (L.3) tại lừng điểm; z được gọi là nghiệm của bài taán giá trị ban đều (1.2)- (1.3) nếu x là nghiệm của (1.2) tà thản

mãn (1.3) Điều kiện đầu (1.3) được gợi là tưởng thích nếu bài todn gid tri

đều tương ứng có íL nhất một nghiệm

với điều kiện đầu (1.3)

Định nghĩa 1.7 Mội nghiệm œ : Ð ry vẲ;la, so) của bai loin giá trị đều (1.4)- (1.3) được gọi là:

1 Ổn định nếu nổi mọi s > 0, lồn tại 5 > 0 sav cho

(a) bài toán má trị đầu (\.4) uới điều kiện ddu t(ty) = Zo la gidi

duge trén I udi moi By € K vdt [fy — zụ | < Š,

(b) nghiém x(t; to, 2a) théa mén |x{é;to,%o} a(t; to 20)| <e

2 On dink tiệm cin néu nd la dn dink va lần lại g >> Ù sao cho

(a) bei loán giá trị đều (14) uới điều kiện đều +(lg} = Fo le gidi

— x] <p,

được trên || udi moi Zy © K nát

(b) nghiém x(t; tp, By) thấu mãn lìm, ;ø | #(f: tạ, #a}

(a) bài toán giá trị đều (1.4) uới didu kien déu x{te) = Zo la gidi

dude trén I udi moi Ey © K vdt |) — zọ | < Š,

(b) nghiêm thda man ude hrong |sr(t;t9,%) x(t: tp, x9)| < Levit)

1 Mới mọi xạ C IR", bài toán giá trị đầu (L.4)- (1.3) có nghiệm duy nhất

9 Nghiệm #(L 1g, sa) pha thuộc lien tục sào dữ liệu, tác là nếu #(1) —

#(Œ;ta,#o) là một nghiệm của (1.4) (không thốa mãn (1.3)) thì

|z(;1a, za) — #0) | < e| ss — #(0)||-

Nhận sét Xét bài toán điều kiện đầu (I.4}- (1.3) và, gọi #!(£; tụ, zu) là

nghiệm của nó Khi đó bằng phép đổi biến z(¿) := x(t) — z*(f;fu, xu) thì z*(1;fu, #ụ) = Ú là nghiệm tầm thường cúa bài toán z(#} = ƒ, z()), ó đồ

ft f(t,x(t)) — f*(t,2°"(t; ty 29) Do đó, khong mat tinh tổng

FU 2(0) =

quất, ta có thể giả sử nghiệm là tâm thường, và tuong tu, gid sit ty = 0

a(t) — Ax(t)+ Dalt 7) (2.2)

cùng với điều kiện đầu

‘Lrong dé, A,D © KI", be tat be (0,00) 4 a(t) © 0" và hàng số

7 > 0 la độ trễ thời gian Hai trường hợp trên là những trường hợp riêng

của PTVP 1S có chậm

2.1 Bán kính én định của hệ phương trình vi phân

đại số

Xét bài toán giá trị dầu (2.1)-(1.3) với £,A € K"*" la cdc ma tran

inh quy và diều hiện đầu (1.3) là Lương thích

Vải hệ thuần nhất hệ số hằng (3.1) cũng với diều kiện dẫu (13) là

hang, cip (EZ, A) 1a c

tuving thich thi bai fodu (2.1)- (1.8) théa man diéu kiện duy nhất nghiệm

16

Khi dé, ta có thể mở rộng nguyên văn Dịnh nghĩa 1.7 cho PTVPDS Tuy

nhiêt

, nếu có nhiễn tác động vào hệ, thì tính tương thích của điền kiện

đầu có thể thay đổi, đo đó ta xét độ vững của các khái niệm ổn định đưới

lên tính tác động của nhiễu Vĩ dụ san đây cho ta thấy tác động của nhiễ

một giá trị đần tùy ¥ a4(0) 4 0, bai toán giá trị ban đầu

nhất bởi z\(0), do đồ nến cho trước zs(Ú) thì có thể điều kiện đầu này không tương thích Thực tế thì nhiễn nhỏ này đã làm thay đổi chỉ số của, (2.4), từ chỉ số 2 nếu £ — Ú thành chỉ số 1 nếu £ # Ö

"rong Ví dụ 9.1, nhiễu chỉ tác động lên hệ số 4, sẽ phíc tạp hơn nếu nhiễn xuất hiện trong hệ số của ở Xét vi du san

Vĩ dụ 3.9, Xét hệ bị nhiễu suy biến

sử Aog khả nghịch Nếu e = Ú thì ma trận đầu tiên suy biến, tức là ta có

PTVPĐ8 Hệ đã cho được viết lại thành

Ta biết rằng, với e đủ nhỏ, tính dn định tiêm cận của (2.7) không chỉ

phụ thuộc tính ổn định của hệ chậm tương ứng với PTVP thường căn bản

mà còn phụ thuộc vào hệ nhanh #¿ = 4aaza tương ứng với phương trình

đại số, xem |3]

"Trong ví dụ này, hạng của ma trận đầu tiên đã bị thay đổi khi ¢ thay

đổi từ không thành khác không Nếu z = 0 thi điều kiện đâu phải tương

thích để đảm bảo sự tồn tai của nghiệm, nhưng rõ ràng điều đó là không

cần thiết nếu e # Ú Khó khăn sẽ gia tăng nêu 4z› suy biến và/hoặc ma, trận đầu tiên chứa nhiễu có cấu trúc tổng quát hơn

Cho phương trình vi phan đại số (2.1) chính quy với điều kiện dầu (1.3),

luôn tồn tại ma trận chiéu P € K"*" sao cho P(x(ty) — zo) = Ú là tương

thích, tức là {2.1} với điều kiện đầu này có nghiệm duy nhất, xem [1] Xét

ws ‘ mm tâm nhà là đu để mm

nghiệm tầm thường ø — Ú Ta nối rằng nghiệm nay la dn dink mi néu

0,+ > 0 sao cho bai toán giá trị ban đầu

Lae= Ax, P(a(to) %)=0

I giai dude trén 1, Vig € K, va nghiém thỏa mãn ước lượng

lir(;£a,#a) | < Le 7% | Sy | WE > ta

Nếu nghiệm tầm thường là ổn dịnh mũ thì ta nói (2.1) là bu dinate rod,

Nhận xét rằng, tính ổn dịnh mũ là không phụ thuộc vào cách chọn ma

trạu chiếu 7 Hơn nữa, với lệ Luyễu tính hệ gố lằng thì tính ổn định mũ

là tướng dương với kính ổn định tiệm cận, đo đó ta không phân biết các

khái niệm này

18

Sử dung dang Weierstrass-Kronecker (1.1), ta thu được khang dinh sau,

xem [2]

Mệnh dé 2.1 Xét (2.1) oới (E, A) chính quụ Hệ (2.1) là én dink tiệm

cận nếu tù chỉ nếu (E, A) là on dink tiệm cặn, tức là (1, A) CƠ, ở đồ

€L là nữa trái mặt phẳng phúc

"Tiếp theo ta tìm hiểu sự thay đổi của phổ của cặp (, 4) chính qny

dưới tác động của nhiễu có cấu trúc trong các mưa tiện , 4 Giả sử bệ

(2.1) là ổn đình tiệm cận và xét hệ bị nhiễn

(E~ DBỊA1CI)2 = (A + DạA¿Œ)+, (2.8)

ada Aye KG — 1,2) là các nhiễn và A) Ee KY", CO) © KP TA,

các cắp ma trận hạn chế cân trúc nhiễn Cặp ma trận (BAC), ByAsCs)

=Œœ› =Œ,

được gọi là mội, zi cấu lrúc TẾ đơn giân, ta xét,

trường hơn HỊ — Hạ — được xem xét tương tự tật

A= lãi] B= (By Be,

va dat m =m, —m2,¢:= 1 = 9s Khi đó, xết tập các nhiễu gay bat én

định

Vel FB, ABC) :— {A c K*4, (2.8) sny biến hoặc không dn định tiệm cận)

Khi do ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 3.2 Hán kính ổn định dó cấu trúc của cấp (Đ, A) chân lác

đồng của nhiêu có cấu trúc nhỉ trong (2.8) duce dink nghia bởi

re (EB, A: B,C) = nlf |All, A € Va(B, A; B,C)},

4 dé || | la chuan ma tran sinh bồi chuẩn oecid, Thy vio & — C hay K —

Để thu được công thức tính toán bán kính ổn định, ta đưa vào các ma,

trận hàm

Gi(s) =—sC(sE — A) 1BỊ,G› = C(sE— A) 1Bạ,GŒ= GI G],

với ä C Ơ,Res > 0 Kí hiệu 3l là Lrục ảo của mặt phẳng phức, kếu quả,

san là tưởng tự nhữ trường hợp P'IVP thường

Dinh ly 2.3 Giá sử (E, 4) là chính quy tà ổn định tiệm cận Với chuẩn,

ma trận bắt kà sinh bôi chuẩn ucctö, bán kính én định phúc có cấu trúc của

(2,4) cho bồi công thức

¬

Không giống như bán kính ổn định phức, một công thức tổng quát cho

y nhiên, nếu

bán kính ổn dịnh thực không do dược với chuẩn bất kì,

xét chuẩn bmelide như một chnẩn vecto, thì thu được một công thức tính

toán như trong [12] Day Ta công thức được dựa trên khái niệm giớ ứrị kà

đị thực (phúc cá cẩu trúc được xác định bãi

pw(M) = (int{or(A), Ac K,va det’? AM) =0) ””,

đ đồ M € KP*", tùy vio K — C hay K— IR G day, o(A) là giá tri ld di

lầu nhất của A

Hỗ rằng, nếu A# là thực thì giá trị kì dị có cấu trúc phức và thực là

trùng nhau Nếu như công thức c(Mƒ) — øI(M) là tầm thường, thì cong

thie cia jag phức tạp hơn

Bồ đề 2.4 Giá frị là dị thực có cấu trúc của MỊ C KP*”" được cho bởi

HS(M) — THÍ #® |LTm MỸ ReA

ở đó, øa(A) là giá trị kì dị lớn thứ hat của A

Với việc hạn chế lên chuẩn Euclide và sử dụng lý luận như trong [12],

ta cd:

rP(E, A; B,C) —inf{oi(A), A e Vel E, A; B,C)}

= int inffo(A), AcK™4

và det(s( + BAC) (A+ BrAgC)) = 0}

= im inf{o)(A), Ae Kk“

và det(T ] (sE— A)'(sB)A,C — ByA,C)) — OF

— pint inf{o(A), Ae K"™4 va det(? — AG(s)) — 0}

—L

-{ sup ) :

Resa0

Do dó ta thu dược định lý sau

Định lý 2.5 Cid sử cap ma tran (Fi, A) la chính quy sà én định tiệm clin Khi dé, bin kink én dịnh phúc nà Hưực có

êm trúc của cặp (F, A),

do bồi chuẩn Iucbidc, được cho bởi công thức:

hợp RK — TR thì không như vậy, xem Ví dụ 3.3 Hơn nữa, không giống trường

hợp PTVP thường, ở đây, người ta không thể thay thế cận trên đúng bởi

giá trị lớn nhất (azimum) khi mà cặn trên dúng có thể đạt được tại võ

cùng, Chú ý rằng, khi hệ bị tác đậng bởi nhiều thì mot giá trị đặc trưng

tại võ cùng có thể trở nên xác định hoặc ngược lại, một giá trị dặc trưng

xác dịnh có thể tiểu ra võ cùng, Lức là có thể xảy ra tình huồng là chỉ số

hoặc số các giá trị đặu trưng xác dịnh của căn (9, 4) thay đổi huậc cặp

bị suy biến,

21

"Trong trường hợp hệ không thuần nhất, đặc biệt là sự gia tăng của

chỉ số có thể làm mắt tính giải được cña phương trình do giá trị ban din

không tương thích hoặc thiếu độ trơn của phần không thuần nhất Như ta,

đã thấy trong Ví dụ 2.1 và 2.2, điều này thậm chí xây re với nhiễu rất nhỏ

IEm nữa, trong khi bán kính ổn đỉnh của PTVP thường là luôn dương

thì với PTVP D8, bán kính ổn định có thể bằng 0 Để thấy điều này, xét

dang (1.1), ta có:

“Tương tự, nếu N ¥ Ú thì ||G¡{s)|| và ||Gs(s)|| có thể dẫn tới võ cùng khi

|z| dầu ti vũ cùng, vức là rŸ — 0 Do đó, nhiều trong (2.1) phải dược hạn

chế hơn nữa sao cho bần kính ổn định là đương

Phan chia các ma trận cầu trúc Œ, (sau khi biến đổi về dang (1.1))

?' =[Ới Œ],W HH, = [Bi Wily = I2 (2.12)

theo cấu trúc của (1.1) Dé thay rằng:

1 Nến ind(, 4) — Í thì sup |lŒ(s)|| < + nếu và chi néu C2 Aig = 0

9 Nếu ind(E, A) > 1 thì

GŒNTa —0, với ï— 0,1

CŒẠN!Bạ =Ú, với¿= 1,

sup [ Œ¿(ø) | < eo nễu và chỉ nêu {

sci

Quan sát này được tổng quát hóa trong kết quả sau

Mạnh đề 3.6 Xét cặp (E, A) chính qug lưỡng ứng uới PTVP Đ4 đụng (2.1)

Khi dé:

i) Néu ind(E, A) — 1 tha bén kink On định có cấu trúc của (2.1) là

séu CoByg ~ 0

ii) Nếu InÄ(E, 4) > 1 thà bán kink On định có cầu trúc của (3.1) là

dédng néu va chi néu CoN' By — 0, vdii — 0,1, ,k — 1 0a CoN* By —

ma trận hạng đủ thà r (T5, 4: D, C) > Ú nếu uà chỉ nêu Da = Ú cho trường

hap ind(F, A) — 1 aa N Biz — 0, N Bap — 0 trội tường họp ind(B, A) > 1

Tit Ménh dé 2.6 va dé don gian, giả sử các nhiễu dược giới hạn hơn nữa,

Dịnh nghĩa 2.7 Một nhiễu có cấu trúc như trong (3.8) được gọi là chấp

nhận được nếu nố không làm thaụ đổi cấu trúc lũ linh của đựng (1.L) của

2.4),

trị riéng oc được bảo toàn

ức là ta trận lũu linh N tà không gian bất biến trái ứng sồi giá

"Trong trường hợp ind(E, 4) — 1, ta có đặc trưng san đũa nhiễn chấp

nhận được phù hợp với (2.13)

Mệnh đề 2.8 Xct PY'VP DS (2.1) chink quy vdi ind(#, A) — 1 chin

tác động của nhiéu téng quét, phi edu tric (E+ Fle = (A+H)x Khé dé,

lần tại tru trận true giao P va ma trim hodn vi Q sae cha

đổi bán kính ổn định của (2.1) Iơn nữa, Mệnh đẻ 2.6 có thể được sử dụng

để đực trưng nhiễn chấp nhận được cho trường hợp ind(F, A) > 1

Tit dé ta thu duge Khodng cách đến cặp ma trận gần nhất có cẩu trúc

lũy lình thay đốt là:

đu(E, A;B,C) =in[||All,A = %2

và (9.8) không bảo toàn cắn trúc lũy lĩnh}

Do đó ta có được kết quả sau đây, xem |4|

Dịnh lý 2.9 Xét PTVP ĐS chính quy sới dạng (L1) Tùy theo rháếu dược

biến đổi thỏa mãn (3.13) vdi ind(E, A) = 1 hay (2.14) tái ind(E, 4) > 1

khá đó, khaảng cách (tương ứng) tải hệ gần nhất có cắu tric lily link thay

đổi dược cho bởi

del Fl A; B,C) — pe (ChB CyBn| ” nếu ind(P, 4) — 1,

hoặc

del EA; B,C) = ux(Ci Buy! nếu ina(P, A) >1,

Hon wita, néu di lidu la thite thi de(E, A; B,C) — de(E, A; B,C)

Bây già ta đỉnh nghĩa bán kính ổn định có cấu trúc của (2.1) và tầm công thức tính toán

Dinh nghia 2.10 Xét PTVP DS (2.1) chính quụ va ổn định tiệm căn

ii đó, bán kính du dink ob céu trúc của (9.1) sối nhiễu có cấu trúc (3.8)

được vác định bởi

re(B, A; B,C) = inf{||Al],A & Ve(#, A; B,C)

hotic (2.8)c6 cau tric lity link thay déi}

Rõ ràng rx(E, A: B.C) — min{rÿ(P, A,B,C), dg(E, A;B,©)}, điều

này được suy trực tiếp từ định nghĩa bán kính ổn định

Định lý 2.11 Xét P?VP 139 (221) là chánh giay nà ẩn định tiệm cận uới dang (1.1) Nhiễn cá cấu trúc thản mãn (3.13) néu ind(B, A) = | vd thin

24

mần (9.14) nếu Ind(P, A) > 1 Khi đố, bắn kính ổn định phúc có cấu

trúc của (9.1) uà của căp (P, A) là trùng nhau, tức là to(E, A;B,Œ) —

rự(Œ,.A:Ð, C) Hơn nữa, nếu dữ liệu là thực thì bán kính ốn định thực có

cấu trúc của (2.1) tà của cặp (D, À) cũng trùng nhau, túc là nu(E, A: B, Œ) =

re (BE, A B,C)

Nếu dữ liệu là thực thì G() là thực với s > 0, khi dé, do tinh lien tue

của ye(Gls)) Wén R!, ta c6 suppessoee(G(s)) > sup,eps = wa(G(oe))

Kết hợp các Định lý 2.3 và 2.9 ta có ngay phát biểu cho trường húp bán

trong khi nếu đữ liệu là thực thì bán kính ổn định thực có cấu Lrúc cố Lhể

được tính toán bởi công thức (2.11) Với PI'VP thường, hệ bị nhiễn trở

bị nhiều (2.8) bảo Loàn cả tính ốn định và cấu ort

kính ổn định phức có cấn trúc của (2.1) được cho bởi (1

thành bất ổn định nếu và chỉ nếu ít nhất một trong các giá

ay ra vdi PVP DS du

cña nhiễn ngày càng lớn, một giá trị riêng hữu han di chuyển tới vỏ cùng

trén Lrue aa, 1rong khi điều đó có thị

(lầm thay đổi cắn trúc lũy linh) và sau đó xuất hiện tra lai như một giá

trị riêng hữu han trên nửa phải mặt phẳng phức (không nhất thiết trên

true ao)

Vi du 9.3 Xét PTVP Đã tuyến tính hệ số hằng với nhiễn có cấu trúc chỉ

ở về phải Dè = (A— BAỚ), ð đó

"”"

Hệ này có chỉ số 1 và chỉ cố mộ giá trị dặc trưng À = —3

‘Va 06 G(s) = 1 — xh, do 46 |G(s)| = v1= tử với se 1E Tức là

Từ đó supg.„so ,z(G{6)) = 1 và ra(E, 4; Ö, C) = 1 Tuy nhiên, nhận xét

TAN SUP ie gy H#2(G(s)} 06 thé dat tai —oo nhimg khéng đạt trên trục Ảo

như trường hợp K = C Diéu này phản ánh những tác động khác nhau

của nhiễu phức và nhiễu thực được như được chỉ ra dưới đây

Viết lại PTVP Ч bị nhiễu (3.8)

ñ đ|b]~[”

Cho Á — 1, hệ (2.15) trổ thành

¡ liàl=EÍ hi:

do đó hệ có chỉ số 2 và phố là rỗng (chỉ có giá trị riẽng võ cùng) Tức là,

cap (E, A— BAC) 8 én dịnh nhưng chỉ số thay dồi

Với nhiễu A — 1 | tc, Rez > Ú thì

Suy ra (2.8) chỉ có một giá trị riêng là s Nghĩa là

ệc chọn ø C 21, |s| 3 |,

chuẩn của nhiễu phức xắp xỉ giá trị của re(E, Á; D, C) với độ chính xác

tùy ý và giá trị riêng hữu hạn chỉ xuất hiện trên trục ảo Nếu ta chỉ xét

nhiễu thực, tức s là thực, do s Í nên chuẩn của nhiễu thực xấp xỉ giá trị của rg(7, A; Ð, Ở) với độ chính xác tùy ý và giá trị riêng hữu hạn xuất

hiện trên nửa đương trục thực

Ổ phần tiếp theo, ta tiếp tuc dé cap đến tính ổn định cũng như bán

kính ổn định câa PTVP thường có chậm cùng với một trường hợp đặc biệt của nó là hệ đương có chậm

26

2.2 Bán kính ốn định của phương trình vi phân

thường có chậm

'Trong phân này, chúng tôi trình bày về tính ổn định vững và bán kính

ẩn định của hệ phương trình vi phân thường có chậm (Đelay Órdinary

&(Q 1 #— z) = A¿(0 1 Dư(L— ) (2.18)

‘Iny nhiên bằng cách đổi biến, ta có thể dua (2.18) về dạng (2.16) với kích

thước tăng gấp đời Do đó, ta chỉ xét (2.16) Trong mục này, ta chỉ đẻ cập

đến tính én định vững của (2.16), tức là xem xét tính ổn định tiêm cần,

ẩn định mũ của hệ khi các hộ số chỉn bác động của nhiễn và đưa ra công

thức bán kính ổn định của hệ

Định nghĩa 2.12 Một hàm x(t,@) : Ï —> K" được gợi là một nghiệm

của bài toán giá trị đầu (3.16)- (2.17) nếu z C AO(C") tà x(t, ó)

thỏa mãn (2.16) hầu khẩp nơi llàm điều kiện ộ được gọi là tương thích

tới (2.16) nếu bài toán giá trị đầu (2.16)- (2.17) có ft nhất một nghiệm

Hệ (2.16) gọi là giải được nếu vdi moi ham đầu tưởng thích ộ, bài toán,

giá trị đầu (2.16)- (2.17) có một nghiệm

"Trong định nghĩa trên, 4C{(I, C®) là kí hiệu khöng gian các hàm liên

tục tuyệt dối tit I vào n

Dịnh nghĩa 2.18 Nghiệun lềm thường của (3.16) dược gọi là:

1 On dink néu védi méie > 0, tan Waid > OL > 0 sao che edi mei

b,|I@l oo <8 Ua nghiens a(t, 6) thdu mén | u(t, 6)| <= mới mọt E > 0;

27

8 Ổn định tiêm côn nếu nó là Ấn định uà tồn tại 5 > 0 ao cho |@|x <

Š nghĩa là lim, s„ | c(t, )| = 0 vdt moi t > 0;

3 On dinh mii néu ton tai 6 > 0,L > 0 vay > 0 sao che véi |ol|, < 8

thi nghiém a(t, @) thản mãn ước luong ||x(t,¢)|| < Leo vdi moit > 0

Cũng giống như trường hợp PPVP Ч, đối với PTVP thường có chậm

tuyếu tỉnh hệ số hằng thi hai khái niệm ổu dịnh mũ và ổn định tiệm cận

là tương đương Hơn nữa, từ tính ấn định tiêm cận địa phương ta suy ra tính ổn định tiệm cận toàn cục

2.2.1 Bán kính ổn định của PTVT thường có chậm

Bay gid, ta dua ra công thức tính bán kính ổn định của (2.18) Trước

tiên, ta kí hiệu

A(s)i- at A De®, a(H) — {sc ©: det H(s) = Of

Khi đó, (2.16) là ổn định mũ nếu và chỉ nếu ø(H) C ÚC Giả sử (2.16) chịn tác động của nhiễu có đang

với

Ö đó Bị, C RPXẴ, CC RẺ ý — 1,9 là những mã trận cầu trúc cho trước,

A, co Ripa ý — 1,2 là các ma trận nhiễu Bằng cách kí hiện 4 :— [4 DỊ,

ta có thể biểu diễn lại (2.90) như sau

A~>2A—A- BÁC,

ð đó D:= [BỊ Bal, C= lứ é| va Ags iG Ai: Ta xác định trên

không gian tnyến tính các nhiễn dạng chéo khối mốt chuẩn xác đình bởi

| Aol] = [Aa] + [Ae |

Nến (2.16) ấn định mũ thì ta xác định

28