Luận văn Ứng dụng phương pháp tách biến giải một số lớp phương trình Đạo hàm riêng

Dằng việc sử dụng phương pháp tách biến kết hợp với nguyên lý chồng chất nghiệm và khai triển hàm heo Hệ cơ sỡ trực giao, ta có thể giải quyết, một, số lớp các phương Trình đạo hàm r

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN TUẤN ANH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN

GIẢI MOT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH DẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012

DAI HOC QUOC GIA HA NOI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN 'TUAN ANH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN

GIẢI MOT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH DẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCTI

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KIIOA HỌC:

TS LE HUY CHUAN

Ha Noi - 2012

sik ore Ste Bea e ele tke omnes ies ean ean VA eRe Me TORSION: 2

.|Các loại phương trình đạo hàm riêng|

1.2: |Chu6i FOUti CE sje semicsce evacuate KHẢ HH9 100/0 102800800109 ÄSỐ 6

LỒI MỞ ĐẦU

Phương pháp tách biển là một trong những phương pháp quan trọng để

giải bài toán biên cũa phương trình đạo hầm riêng tuyển tính Nó đã được sử

dụng trong suốt thế kỹ qua, và ngày nay vẫn là một phương pháp rất quan

trọng và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực Dằng việc sử dụng phương

pháp tách biến kết hợp với nguyên lý chồng chất nghiệm và khai triển hàm

heo Hệ cơ sỡ trực giao, ta có thể giải quyết, một, số lớp các phương Trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất

Mục tiêu của luân văn này là tìm hiểu và trình bày lại các kết quá vẻ

việc áp dụng phương pháp tách bién vào việc giải một số phương trình đạo

tan g buyến tính không thuần nhất trong không gian hai chiền

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia

Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng hai chiều Sử dụng phương pháp

tách biến và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình sóng, phương trình

nhiệt và phương trình Laplace trên hình chữ nhật, hình tròn

tới thầy giáo hướng dẫn T§.T£ Huy Olnẩn

Ein xăn gửi Ki cảm cn sã

Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành

luận văn này Nhân dip nay om xin gửi lời cảra ơn của mình tời toàn bộ các thấy cô giáo trong khoa Toán-Qe-Tin học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng ein

trong suốt quá trình học tập tại khoa

Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp Cao học khóa 2010-3013

chuyên nghành Toán, khoa Toán-Cœ-1ïn học đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các loại phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng với ẩn là hàm u(¡ „#n) với các biến

trong đó # là một hàm của các đối số trên Cấp cao nhất đạo hàm riêng của

w, có mặt trong phương trình, được gọi là cấp của phương trình Phương

trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính, néu F tuyến tính đối với ẩn hàm

1 và tất cả đạo hàm riêng của nó

Xét phương trình cấp hai của hàm hai biến

tại mọi điểm trong một miền G déu

b# — ae =0 Nếu phương trình

thuộc cùng một loại thì ta nói rằng phương trình Ay thuộc loại đó trong miền

Bằng phép đổi biến ta có thể đưa phương trình loại ellip, hypecbỏn, và

parabôn về cấu dạng chính Lắc

1 Dạng chính tắc cña loại ellip là

2 Dạng chính tắc của loại hypecbôn là

tuy — tuy — ®(m, 16 t„,ty) HOA tuy — đ(T,E, tr Hạ, Hy)

3 Dạng chính tắc của loại parabôn là

ty — PCE, Y, thy they Uy)

Một số phương trình đạo hàm riêng trong vật lý và kĩ thuật: Phương trình

và phương trình Poisson hai chiều

2a + deo f(x,y)

chúng thuộc loại ellip

Định Ii 1.1 ([Bi Tr 106] Nguyên lý chồng chất) Nếu uị 0à uạ là nghiệm của

phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất, thì bất kỳ tổ hợp tuyến

tính u = ciui + csua, trong đó cị va ca là hằng số, cũng là một nghiệm

Ngoài ra nếu uị 0à uạ thỏa man một điều kiện biên tuyến lính thuần nhất, thà u = cu + caua cũng sẽ thỏa mãn

1.2 Chuỗi Fourier

Định nghĩa 1.1 (Hàm liên tục từng khúc) Một hàm số ƒ được gọi là liên

tục lừng khúc trên đoạn |a,b] nếu ƒ(a*) va ƒ(b~) tồn tại, va f la xác định

sà liên tục trên (œ,b) Irừ một số hữu hạn điểm mà tại đó giới hạn trái nà giới hạn phải tồn tại Một ham tudn hoàn được gọi là liên tục từng khúc nếu

nó liên tục từng khúc trên mọi đoạn [a,b] bat i

Định nghĩa 1.2 (Hàm trơn từng khúc) Một hàm ƒ, xác định trên đoạn [a,b], được gọi là trơn lừng khúc nếu ƒ tà ƒ' là liên tục từng khúc trên la, b) Nội hàm tuần hoàn là trơn từng khúc nếu nó là trơn từng khúc trên mọi doan [a,b]

Dinh li 1.2 ({3) Tr 30] Biểu diễn chuỗi Fourier) Giả sử rằng ƒ là một hàm tuần hoàn uới chu ky 2x trơn từng khúc Thì uới mọi z chúng la có

#@*)+ ƒœ—)

n=1 trong đó các hệ 86 Fourier ag.an.b„ được xác định bởi

6

bạ=— | f(x)sinnade (n=1,2.3 )

T J0

Định lí 1.3 ([3] Tr 39] Biểu diễn chuỗi Fourier: chu kỳ tùy ý) Giả sử ƒ

là hàm tuần hoàn chu kà 3p, trơn từng khúc Chuỗi Fourier của hàm ƒ được cho bởi

a + (ay cos 2 + by sin “= 2), (1.2.6)

Choi Fourier hoi tu tdi f(a) néu ƒ tiên tục tại x va hoi tu toi 5

nếu không liên tục lại œ.

Trên khoảng 0 < z < p, chui

Định lí 1.5 ((7j Tr 178] Khai trién chudi Fourier sin kép) Cho f(a.y) la một liên tục trén mién K = {(x,y)|0 < œ < a,0 <y <b}, vdi céc dao ham riéng fr va fy bi chan, đồng thời các đạo hàm riêng ƒ; ƒụ fzụ liên tục Khi

đó chúng ta có thể khai triển ƒ(œ.u) thành chuỗi Fourier sin kép như sau

nt —C x, y)sin asin“ ydedy

B ai J, feu)sin Eersin Fudedy

1.3 Ham Bessel

Phuong trinh Bessel bậc p > 0 là

xy" + ay! +(e —p*)y=0, >0, (1.3.1)

8

Một nghiêm của phương trình Bessel là

Ham Bossel J; có võ số không điểm dương, Chúng ta kí hiệu các không

điểm theo thi? tig Ging din

Ú < apt < ape << apy <

Do dé a,; dude goi là không diểm đương thứ j cia ⁄; Chúng ta được các

Dinh Ii 1.6 ({3] Tr 252] Tính trực giao của hàm Bessel đối với một lượng)

J JỆ(Ajz)rd# = FTpui(Opj) voi G= 1,2 (1.3.8)

Định lí 1.7 ({3) Tr 253] Chuỗi Bessel bac ø) Néu ƒ là trơn từng khúc trên

[0.a] thì ƒ có một khai triển chuỗi Bessel bậc p trên khoảng (0.a) được cho

ay! (x) + xy! (x) + (A?+? — p°)u(z) = 0, (13.10)

cùng uới điều kiện biên

1(0) hữu hạn - y(a) =0, (1.3.11)

khi X= Ap; = 222, va ching la nghiém duy nhất của

ra các bội uô hướng Hơn thế nữa, các nghiệm thỏa mãn

như nậy chúng trực giao trên đoạn |U.a} đối lượng hàm œ

10

xy" +ay! — (a? +p*)y =0 (1.3.13)

Hàm Bessel chỉnh sửa thứ nhất dương và đồng biến trên miền x > 0

Hàm

2

1_p(#) — Tp( 1.3.14

cũng là thỏa mãn của phương trình Bessel chỉnh sửa, và độc lập tuyến tính

p(#)=

với I„ Hàm này được gọi là ham essel chỉnh sửa thứ hai, Đặc biệt hầm Bessel chỉnh sửa thứ hai không bị chặn gần 0

Định lí 1.9 (3 Tr 239] Khai triển chuỗi kép Fourier-Bessel) Cho ham ƒ(r.0) xác định liên tục trên 0 < r < a uà 0 < Ø < 3m, tới các đạo hàm

riéng fr va fo bi chặn, đồng thời các đạo hàm riêng ƒ„ fa, f„ø liên tục Khi

đá ƒ(r.8) có thể khai triển thành chuỗi như sau

(r8) = 32 2 Jin (Ännr)(Amn cos mổ + Bynn sim), (13.15)

m=0n=1 trong đó hệ số amy Va bmn cho bởi

1.4 Các định lí về tính duy nhất của nghiệm

Định lí 1.10 (Bi Tr 90) Phương trình Laplace) Giả sử 9 là một miền

giới nội uới biên 6 trơn từng mảnh và ƒ(P) là một hàm liên tục cho trước

trên S

Giả sử hàm u(P) điều hòa trong ©, liên tục trơng miền đóng Q@US tà tại

biên S giá trị của hàm u trùng với hầm ƒ(P) Khi đó u(P) được ác định

một cách duy nhất trên QU 8

Chứng mình Giá sử bài toán có hai nghiệm là ạ(P) và uạ(P) Dat o(P) = trị(P) — uạ(P) thì ø là hàm điều hòa, liên tục trong miền đóng Q@U Š và œ|s = 0 Theo nguyên lý cực đại trên biên, ta có »(P) = 0 trong ©, do đó

(P) = ua(P) trong 9

Định lí 1.11 (|| Tr 72] Công thức Green) Giá sửQ là một miền giới nội

trong IR®, giới hạn bởi biên 6 trơn từng rảnh, TỪ là vécto pháp tuyến trong

của 8 Giả sử u(œ,), 0(œ.u) là hai hàm bất kà có đạo hàm riêng cắp hai liên

tục trong Q va các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền đóng QU 8

Chứng †a có công thức Green như sau

trong đó Ø là biên của 9,

Dinh li 1.12 ([2] Tr 351] Phương trình nhiệt) Giả sử u(z.,#) là nghiệm

của bài toán

sao cho nó khả oi liên tục hai lần đối vdi (x,y),

một lần đối uới L trên V Khi đó nghiệm u(œ t) được zác định một cách

duy nhất trên V

Chứng mình Để tiện cho việc trình bày, chúng ta xét ø — 1 Dé chứng minh

định lí ta ching minh rang néu w(x, y.t), u2(a,y,t) là hai nghiệm bất kỳ của

thì hiệu u(a, yt) = wa (x,y, t) — ua(w,y,t) =0

trong V Thue vay, hiéu u(x, y,t) thỏa mãn:

Ot Ox? * Oy? ) » (wyt) eV,

u(z,.0) =0 (ay) € 2 (0.1) =0, (ay) €S,t>0,

Goi t la mot gia tri sao cho t > 0 Xét tích phân:

Vay u(a,y,t) =0 tren V

Xét bài toán truyền sóng Giả sử @ C R? la mot miền giới nội ta kí hiệu

V = {(x.y,t) | (.) € f > 0}, tìm nghiệm ø(z, ,£) của phương trình

eee, 40) =(xy), (ey) €9, (1.4.9)

và điều kiện biên

trong đó $ la bien cia Q

Định lí 1.18 (DI Tr 294) Phuong trinh song) Gid sit u(a,y.t) la nghiém

của bài toán — 1:4.10) sao cho nó nà các đạo hàm riêng của nó cho

tới cấp hai liên tục trên Ứ Khi đó nghiệm u(œ,.1) được xác định một cách

duy nhất trên V

Chứng mình Để tiện cho việc trình bày, chúng ta xét a = 1 Để chứng minh

định lí ta chứng minh rằng nếu 4(z.,f) u2(œ,1.f) là hai nghiệm bất kỳ

u(%, 1, E) = (0E) — ua(+.,Ê) = 0

14

trong V Thue vay, hiệu u(x, y.¢) thỏa mãn:

Goi ¢ 1 mot gid tri sao cho t > 0, Xét tich phan:

I(t) = I[ (u? +2 +u2) dedy

JIQ

Đạo Him theo ‡ tích phấn phụ thuộc tham số # ta có

Øều 0u 0w Ou , Ow du T)=2 © II, (ao Ot +e eg CUNOUN ay oi

Ap dụng công thức Green ta được

suy ra ưz(#,,0) = u(&,,0) = 0, (#,) € 9, kết hợp

ta được I(0) = 0 Như vậy I(t) = 0,Vt > 0, hay

u(x, 0) = f(x)

Hình 1.1: Hình dạng ban đầu của dây bi kéo ra, u(z,0)

1.5 Phương trình sóng một chiêu: Phương pháp

tách biến

Giả sử một đoạn dây đàn hồi được kéo dài trên trục thực với các đầu

mút được gắn chặt tại # = 0 và z = ⁄ (Hình[1.1} Cho #(z;#) biểu thị vị trí

và điều kiện ban đầu

u(a.0) = f(a) và ee, 0)=g(x) với 0<œ<1 (1.5.3)

Điều kiện biên là trạng thái ở hai đầu day bị giữ chặt trong mọi thời

điểm.Trong điều kiện ban đầu cho hình đáng ban đầu của dây là ƒ(œ) và vận

tốc ban đầu là ø(z)

Chúng ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp tách biến Để làm nổi bật ý tưởng của phương pháp này chúng ta chia ra làm ba bước cơ bản

16

Bước 1: Tach biến trong

toán bây giờ là tìm X và 7' nên đơn giản hơn Lấy vi phân

Nếu X(0) # 0 hoặc X(L) # 0, thì 7) = 0 với mọi £ > 0, và như vậy, từ

„ w đồng nhất không Đề tránh nghiệm tầm thường, ta xét

X(0)=0 va X(L)=0

Như vậy chúng ta đi đến bài toán giá trị biên trong X:

X"—kX=0, X(0)=0vàX(U)=0

Bước 2: Giải các phương trình độc lập

Nếu k dương, lấy & = „È với ' > 0, lúc này phương trình ẩn X trở thành

X" — PX =0,

với nghiệm tổng quát

X (x) =e) cosh pa + ¢ sinh per

Do X(0) =0 va X(L) = 0, kéo theo X = 0 Như vậy, trường hợp È > 0 cho

nghiệm tầm thường

Khi k =0, phương trình vi phân rút gọn thành X” = 0 với nghiệm tổng quat X(x) = cya + ca Chỉ có một khả năng duy nhất thỏa mãn điều kiện biên của X đó là e¡ = e¿ = 0, một lần nữa dẫn đến nghiệm tầm thường

w = 0 Khả năng cuối cùng cần kiểm tra là

=p? <0

Bài toán giá trị biên tương ứng ẩn X là

X ”+/?X=0, X(0)=0vàX(L) =0

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phan là

X = ¢) cos pur + cg sin pur

18

Điều kiện X(0) = 0 kéo theo ¢ = 0, va do dé X = cysinyx Diéu kien X(L) =0 kéo theo

Chú ý rằng giá trị âm của ø chúng ta nhận được nghiệm như nhau ngoại trừ

sự thay đổi về đấu: do đó các nghiệm tương ứng với các › âm có thể bỏ đi

Bây giờ chúng ta quay trở lại

và thể k= —w# = — (%#)” ta được

m2

ra ( T) T=0 „2

Nghiệm tổng quát của phương trình này là

Th = bn cos Ant + bf sin Ant,

Các nghiệm trên còn được gọi là các nghiệm cơ bản của phương trình truyền

sóng Vì tất cả các nghiệm trên đều thỏa mãn phương trình tuyến tính đồng

theo nguyên lý cộng nghiệm, mọi tổ nhất và điều kiện biên

19

hợp tuyến tính cũng sẽ thỏa mãn Tuy nhiên không khó để

như là một nghiệm của bài toán giá trị biên

Bước 3: Chuỗi Fourier nghiệm của toàn bộ bài toán

Để giải quyết vấn đề một cách trọn vẹn Chúng ta cần phải xác định rõ

các hệ số chưa biết b„ và bạ để hàm u(x; #) thỏa mãn điều kiện ban đầu

Bất đầu với điều kiện thứ nhất trong tại thời điểm ban đầu

Ta đã xác định được tất eA cdc hé 54 trong chudéi dai diện cho nghiệm + Ta

tóm tất lai kết quả như sau

Két qua 1.1 Nghiém của phương trình truyền sóng một chiều

Pu

Oe

với điều biện biển

u(U;) —0 sà u(L;#) —0 oới mọi >0

tù điều kiện bam dầu

u{z,U) — f(x) va ae (z, 0) — g{x) tới U < # < b,

(giả thiết thêm rằng ƒ, g có thể khai triển thanh chudi Fourier va théa man

điều kiện tương thích f(0) — ƒ(L) — g(0) — g(T) — 0}

Chương 2

Phương trình đạo hàm

riêng hai chiều

2.1 Dài toán giá trị riêng của phép biến đổi

dua at gp aoe Orda Vey<h (21.1)

với điều kiện biên

+(z,U)=U, u(z,b)=U với U<z<«,

(2.1.2) uf0,y}—0, ula,y)—0 vai O<y <b.

Gia sit u(«, y) = X(œ)Y (0) thay vào tách biến, và sử dụng điều kiện

Nghiệm của phương trình là X = eicose + ca sin gia Thế vào

điều kiện biên của X suy ra e¡ = Ú, g= tạ = ##, m=1,2, , va do đó

Kết quả 2.1 Gia trị riêng của bài toán

với điều kiện biên

6(a,0)=0, 0<0<2n (2.1.8) Giải quyết bài toán này có nghĩa là xác định giá trị của k (giá trị riêng) dé

có nghiệm không tầm thường và tìm các nghiệm không tầm thường đó (hoặc

trở thành phương trình Bessel chỉnh sửa

bae m, và có thể chỉ ra rằng trong trường hợp nghiệm bị chặn va R(a) = 0

chỉ có thể là nghiệm tầm thường Vậy chúng ta xét k > 0 và

thành phương trình Bess bac m dạng tham biến Theo Định Ií[L8] nghiệm

không tầm thường của Í là bội hằng số của 7„(Au„r) đó là nghiệm

tương ứng với giá trị riêng k = A?,„ Chúng ta có được kết quả như sau

Kết quả 2.3 Giá trị riêng của bài toán

k=ANn =( TH), m=0/18, ,n= l2 (2.1.11)

trong dé ann là không điểm đương thứ n của hàm Bessel Jm Méi gid tri

riêng Am, tưởng ứng các hàm riêng

cosmO Jm(Amnr) va sinmO Jm(Amnr)- (2.1.12)

(Chú 1ý rằng uới m = 1,2, chting ta c6 hai hàm riêng khác biệt cho một giá trị riêng.)

24

Nói cách khéc, néu dmn(r0) = cosmØ J(Amar) hoặc Ómn(r.Ø) =

sinm# Jm(Amnr) thi Admn = —Xnnmn Va mn (a, 0) = 0

2.2 Phuong trinh Laplace

2.2.1 Phương trình Laplace trên hình chữ nhật

Bài toán 2.2.1 (Phương trình Laplace trên hình chữ nhật) Chúng ta xem xét phương trình

Pu, Pu

=s†Taz=Ù at aye 0<z<a, r<a 0<y<b y (2.2.1) 2.2.1

Phương trình này được gọi là Phương trình Laplace hai biến Trong phần

khi z là xác định trên biên của hình chữ nhật Dể

rõ hơn, chúng ta thiết lập điều kiện biên Dirichlet

u(x,0) = filx), u(a,b) = fo(x), O<a<a,

u(0,y)= gly), ula,y) =go(y), 0<<b,

Hinh 2.1: Bai toan Dirichlet tong quat trén mot hinh chit nhat

Một bài toán bao gồm phương trình Laplace trên một miền phẳng cùng

với giá trị xác định trên biên được gọi là bài toén Dirichlet Nhu vậy bài toán chúng ta vừa nêu là bài toán Dirichlet trên một hình chữ nhật Trước khi đi

25

vào bài toán tong quat diy di, ching ta sé bắt đầu giải quyết trong trường,

hợp đặc biệt khi /¡.g¡ và øa bằng khong

Giải quyết bài toán biên được mô tả trong Hình ăng sử dụng phương,

pháp tách biến Chúng ta bắt đầu tìm nghiệm tích „(œ,) = X'(œ)Y(y) Thế

nghiệm tầm thường, Đối với k = ¿2 > 0 chúng ta nhận được nghiệm X =

€1 Cos pv + cy sin px Thế vào điều kiện biên của X suy ra e¡ = Ú,

Như vậy chúng ta tìm được các nghiệm tích

Bãy giờ chúng ta quay trở lại bài toán tổng quát mô tả trong Hình.1|

Đường lối là chia bài toán ban đầu thành bốn bài toán nhỏ, như mô tả bởi

HinhB3l

Goi trị, tra, U3 uị là nghiệm của các bài todn nhé 1.2.3.4, tutdng ting Bang

tính toán trực tiếp, chúng ta thấy rằng hàm

= lui + ta + tạ + tạ

là nghiệm bài toán ban đầu cho trong Hình |3.1| Như vậy chúng ta chỉ cần

xác định w,œa,uz, uạ Hàm uạ đã được tìm ra trong phần trên Chúng ta có

+

„=ñeœm a u=0

+

"=0 a

Hinh 2.3: Tinh chất tuyến tính được sử dụng chia bài toán Dirichlet thành

"tổng" bến bài toán Dirichlet đơn giản

Chúng ta đã hoàn thành việc giải quyết bài toán Dirichlet trong Hinh 2.1]

Chúng ta tóm tất kết quả như sau

Kết quả 2.3 Nghiệm của bài toán Dirichlet hai chiéu trong Hinh [2.1] la

trong đó các hệ số A„, Bụ Cụ tà Dạ được xác định bởi

Bài toán 2.2.2 (Phương trình Poisson trên hình chữ nhật: Phương pháp

hàm riêng) Tìm nghiệm của phương trình Poisson

=f&.W) 0<x<a, 0<y<b, (2.2.9)

với điều kiện biên

u(œ0)=0, u(x,b)=0 vei 0<œ<«,

(2.2.10) u(0,y)=0, u(ay)=0 voi O<y<b

Tời giải Chúng ta xét nghiệm có dạng

vn) = ST Bạn sin “Trẻ “Tự,

n=1m=1 trong đó #„„ là hằng số cần xác định Chúng ta dé dang kiểm tra ứ thỏa

mãn điều kiện biên Như chúng ta đã biết các hàm sin "“zsin 1# là hàm

riêng của biến đổi Laplace trên hình chữ nhật, với giá trị riêng tương ứng là

Thé w vao phuong trinh chúng ta nhận được

giả thiết rằng các hàm ƒ\.fz.øị.ø› khai triển được thành chuỗi Fourier,

ƒ(œ.) khai triển được thành chuỗi Fourier kép và thỏa mãn các điều kiện

tương thích ƒq(4) = g2(0) 92(b) = fa(a), fo(0) = o1(b).91(0) = fr(0)

Lai giải Nghiệm của bài toán hỗn hợp tổng quát là

với điều kiện biên

u(a,0) — #cos 22,

u(0 0) = sin 3,

Tời giải Nghiệm của bài toán là

trong đó ø là nghiệm của bài toán

Pv 4 Ox?