Luận văn tính duy nhất và Ổn Định của bài toán calderón

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRAN THE DUNG TÍNH DUY NHẬT VÀ ÔN ĐỊNH CỦA BÀI TOÁN CALDERÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Il Nội — 2015... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC: TỰ NHIÊN TRAN TIE DUNG TÍNH D

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRAN THE DUNG

TÍNH DUY NHẬT VÀ ÔN ĐỊNH CỦA BÀI

TOÁN CALDERÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Il Nội — 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC: TỰ NHIÊN

TRAN TIE DUNG

TÍNH DUY NHAT VA ON ĐỊNH CỦA BÀI

TOÁN CALDERÓN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KIIOA HỌC:

T§ ĐĂNG ANH TUẦN

Hà Nội 2015

LOI CAM GN

Luận văn dược thực hiện và hoàn thành bại Khoa Toán - Cy - Tin học, Trường Đại

học Khoa, học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của 'LS Dặng Ảnh 'uẫn Xhân dịp nay téi xin được gửi tới thây lời biết ơn sâu

sắc nhất Tôi cng xin gửi lời biết ơn sân sắc tới Thể Chit Van Tiệp, người đã giúp đã,

gửi cho tới những tài liệu tham: khảo Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn với T8 Nguyễn

Auh Ta, người dã có những ý kiến, giúp đỡ tối về nội dung cùng như việc dọc bản thảo

và cho tôi những ý kiến chỉnh sửa quý báu để tới có thể hoàn thành tốt Luận Văn này 1öi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cỗ trong BG mou Giải tích, Khoa Toán - Cơ 'Iim học, trường ĐHKH+N - DHQGHN về sự động viên khích lạ, giúp đỡ cũng nhu

những trao đổi hẩ ích trong mnốt quá trình học tập và công tác Tôi xin được gửi lời

cảm ơn tối các thành viên lớp Kã3A1T khóa 2003-2012 rrrờng DAKHTN ~ ?HQGHK

vẽ việc giúp đở tôi trong việc sử dụng latex

Tôi xin chân thành cm on Ban giám hiện, Phàng San đại học, Ban chú nhiệm Khoa

Toán - Cơ - Tìn học, Phòng Đầu tạo, Phòng OTCT - 5V, trường Đại bọc Khoa học

Tự nhiền, ĐHQCHN đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tới trong quá trình học tập

cũng như nhiên cứu

Cuối cùng, tôi xin được gửi lài cảm ơn tới người thân, bạn bè những người đã giúp

đã, động viên tôi trong quá trình thực hiện Luân Văn này

Hà Nội, ugày 23 thắng 01 năm 2015,

Học viên

Trần Thế Dũng

1.2 Khong gian Sobole|

2.2.1 Ước lượng với q =)

2.2.2 Ước lượng với 0Ì

(TÀI LIỆU THAM KHẢO]

[1 Ước lượng Carleman|

(4.2 Tinh duy nhất trên Ø9 |}

4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

e© R: lập hợp số tự nhiền

œ Z¡: Tập hợp số nguyên khônz âm

© [9], [00 : Tương ứng là thể tích của © và diện tích của Ø0

© §" '; Mat cầu đơn vị trong IE",

« Ø(a,r) : Lình cẫu rad tâm ø bán kính r

« 4A: Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và E, AAE = (A\R)LI (BÀ A)

8b VOL a = tại dại vấn) CC" và b= (by bại cóc by) CC" thì ao = 3 uiùp,

© la: Véia = (a, 2%,

ma in) EC thi [a = yale

&

» div (u) Chua: QC R® > C* duge ade dinh béi uf) = (ua (2), wale

khi đó ta định nghtia div (u) — D7 Ogee

e Ô®u : Đạo hầm riêng cấp a| — oy tay + + +a ota ham sé a

© Vu: due dink aphia Vu = (ru, dou, - nu)

—_——

© |¥u : được định nghĩa Vư|

® Du: dược định ngần bởi Đyu — lởja,

«® ác: được định nghĩa bởi 2u = (Ủy, Đạu, -

& |Đu: được định nghĩa bởi |Du| — f 3° [Deel?

a

« %4: được định nghĩa hổi 9 — Dƒ" ĐẸP ‹ Dựng,

6 Vu -V © được định nghĩa Vụ - Vụ — Shay Ope

« ï:: Hàm liên hợp phức cña hầm 1

MỞ ĐẦU

0.1 Giới thiệu bài toán

Cho một vật thể dẫn điện, gọi E(z) là điện trường tại vị trí z của vật thể u(z) là

điện thế tại vị trí z của vật thể, /(z) là cường độ đồng điện tại vị trí z của vật thể,

hi đó ba đại lượng này có các mối quan hệ như sau:

1 Mối liên hệ giữa điên trường và điện thế B = —Vu

2 Dịnh luật Ohm cho ta #(#)/(#) = E(+) trong đó f(z) là tính cản trở của vật thể

tại vị trí z Ta có thể viết phương trình trên đưới dang

trong d6 >(x) = pay la tinh din cia vat thé tai vi trí z

3, Giả sử vật thể không có nguồn hay tu, khi đó dòng qua biên của hình cầu mở Ö bất kỳ bằng 0 tức là

fs 1:14 =0,

OB

trong đó là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài của Ø

Gia sit ring J kha vi, khi đó theo định lý Gauss - Green (xem [5|), đẳng thức trên

Phương trình {0.2} được gọi là phương trình vật dẫn

Với giả thiết trên miền © vật thể không có nguồn hoặc tụ, cho một điện thế ƒ trên

bien OQ sẽ cảm sinh một điện thế w trong ©, thỏa mãn bài toán bien Dirichlet

Công thức 0-1} không phụ thuộc vào việc chọn hàm ø € H'(@) sao cho vlyq =

(A+ƒ./)ao là năng lượng cần để duy trì dòng trên biên, với định nghĩa trên A là ánh

xạ tuyến tính bị chặn từ H3(09) tới H-3(AQ)

Bài toán ngược Calderón đi xác định hàm + khi biết thông tin về ánh xạ A„ tức

là nếu như ta đo được dòng trên biên A„ƒ, V/ € H3(Ø9), ta muốn xác định + Một

trong số các ứng dụng của bài toán ngược Calderón là bài toán như thăm dò địa vật

lý, khi đó @ sẽ được hiểu là Trái Đất, hay bài toán điện não đồ với @ là não của con

người

Xoay quanh bài toán ngược này người ta thường nghiên cứu một số dạng sau:

1 Xót bài toán điện não dé, ta đo dòng điện trên bề mặt vỏ não để tìm bệnh của

một người, ta quan tâm tới việc nếu tại hai thời điểm khác nhau cùng một người, nếu cho ta cùng dòng điện đo được trên bề mặt vỏ não thì eó giúp cho chúng

ta xác định được cùng một bệnh hay không? Hay nói cách khác, bài toán ngược

Calderón có duy nhất nghiệm hay không? Theo ngôn ngữ toán học tính duy nhất

7

của bài toán ngược Calderón được phát biểu như sau Nếu A,, = A,, thi có suy

ra được +ị = +¿ hay không?

“— Cho biết dòng trên biên Asƒ, _ V/ € #f3(Ø9) hãy tìm cách xây dựng lại hàm + Trong Luan Vin nay, ching ta khong tim hig

bài toán này

° Trong thực tế, trong quá trình đo các dòng trên biên, vì những lý do khác nhau

sẽ xảy ra những sai số nhất định Một câu hỏi đặt ra, với sai số cho phép đó liệu

có thể giúp chúng ta biết được gần đúng thông tin về vật dẫn hay không? Câu

hỏi trên được phát biểu dưới ngôn ngữ toán học: Nếu ||A+, — » ÌÏJz}(z)_,#-3(øa)

bế liệu có thể suy ra được || — 32||u»y bé hay không?

> Bài toán duy nhất nghiệm ta nghiên cứu tính duy nhất của bài toán khi ta biết được dòng trên toàn bộ biên ØQ Tuy nhiên trong thực tế, chẳng hạn © là não

con người, không phải lúc nào chúng ta cũng có thể đo được dòng trên toàn bộ

biên mà chỉ có thể đo được dòng trên một phần nào đó của biên Vậy nếu như ta chỉ đo được dòng trên một phần của biên thì ta có suy ra được tính duy nhất của

vật dẫn hay không? Theo ngôn ngữ toán học: Nếu F là tập con của ØO và nếu

Ay Slr = Ay fle, với mọi hàm ƒ thì có suy ra được +¡ = +¿ hay không?

Một số kết quả liên quan tới bài toán ngược Calderón: trong trường hợp ø = 2, K

Astala va L inta trong [Z] chứng mình được tinh duy nhat cia A, trong trường,

hợp + € L*(Q) Với n > 3, A, Panchenko, L Päivärinta và G Uhlmann trong [I3} chi

ra tính duy nhất của A„ với + € CŸ(Ø) Trong [IQ], A I Nachman đưa ra một cách xây dựng lại hầm 7 tit anh xa Ay, G Alessandrini trong [Í| chứng minh ước lượng ổn định dạng log cho hàm + € C2(Õ).+ bị chặn đều trong #73*®(O) N Mandaehe trong,

HŨ] chỉ ra rằng ước lượng ổn định dạng log là tối ưu H Heck trong [7] chi ra ước lượng

ổn định dạng log với + e CỶ!“(Ø) H Heck và J

N Wang trong [§| chỉ ra ước lượng

ổn định dang log — log trên Ø© cho hàm + € H*+4(Q) cho bài toán dữ liệu không đầy

đủ

“Trong Luận Văn này, chúng tõi sẽ trình bày các kết quã trong trường hợp > 3 dựa

trên tài liệu tham khảo chính [EFTJ Cụ thể ở chương 2, chúng tôi sẽ trình bày kết quả

về tính đuy nhất của J Sylvester va G Uhlmamn [Tð| với + € C2(Ð) Ta chứng mình

8

sự tồn tại nghiệm CGO (complex geometrical optics) của bài toán cho phương trình Schrödinger (TA +q)u =0, g € L*(Q) có dạng u(+) = e'**(a(z) + r(z)) trong đó C€ €" thỏa mãn €-€ = 0 và ø € H?(O) Ta sử dụng nghiệm CGO dé chitng minh tính duy nhất của ánh xạ A¿ từ đó suy ra tính duy nhất của ánh xạ A+ Chương 3, chúng

ta trình bày kết quả về tính ổn định cia G Alessandrini trong [1] cho hàm dương

+€ H*(9),s > ÿ +2 cụ thể ta có ước lượng

lln — 32|r=e» < #(|[Âm — Ai [tr (sạy.ư—3ae)*

trong d6w:R— Ry la him don điệu không giảm thỏa mãn /imø(/) = 0 và

*IIni¿l># 1 ø() <C|M|'”, 0<t<=

Chương 4, chúng tôi trình bày kết quả về tính duy nhất của ánh xạ A„ của A L

Bukhgeim va G Uhlmann trong [| với + € C2(Ø) khi ta chỉ biết một phần dữ liệu

trên bien Ø9.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta dura ra các khái niệm và một số kết quả Các kết qnÄ

này chúng Lôi không dưa ra chứng mình ở trong Luận Văn này Các khái niệm và kết

quá này sẽ được dùng tới ở các chương sau

1.1 Các không gian /,C*

Dudi day ta xét Ø C R” là tập mở

Dinh nghĩa 1.1 Cho p là số thực dường sao cho Ì <% p < so

{i) Dink nghấu không gian I2{(Q) tới

T(Ð) — {u: 1 —è C c1 đa được Ít < toc},

10

Định nghĩa 1.3 Ai hằm da dược ¡ trên Q dược gọi là bị chặn cốt yêu trên Q nếu

tồn tại hằng số k sao cha

kh(œ)| <k hkn trên 6

Côn dưới đứng của tập các hằng số k ở trên được gọi là côn trên đúng cốt tiếu của |u

trang Ñ tà được kí hiện bài

ulli=iy — €55 sup|u(z) xen

Định nghĩa L3 (j) Không gian các hèm có dạo hàm tới cấp k liên tục trên Q được

CE(Q) = fu c CS) ¡ức có gid compact }

fiv) Khong gian ede him uC CHR") co dav hie Ou bi chin va lidn tue đều trêu 9

sửi moi |a| < k được kí biệu là C*(Ø), Chuẩn của CÀ(Ö) được che bi

"

Định nghĩa 1.4 (0 Từ nói rằng Q có biên thuộc lớp C® nếu uồi mỗi p € ÔQ tổn tại

một lân cận U{(p) của p uà một tì phôi lớp CF

Up: U(p) > R"

sao cho

1p(U(p)n19) ={+ € R" : rụ > 0}, 1„(U(p) n9) ={z € R" : z„ = 0}

(ii) Ta nói rằng Q cá biên trơn nếu các hầm t)ụ.p € Ô trong (¡) là vi phôi thuộc lớp

ce

Từ đây về sau, nếu không giải thích gì thêm thì 9 luôn được hiểu là @ C * mở, bị chặn với biên trơn

Dinh nghia 1.5 (i) Ta ndi ring ham f : 02 — C thude ldp C* va viet f C“(09)

nếu tồn tại hệ (U(p),y),p € ØQ như trong Dịnh nghĩa

fous! : RB"! + C thude lép C Chudn trong khong gian CÍ(0Q) được xác

định bởi

sao cho ham

[Fllescony = IF © Wy "leew ant)

(ii) Ta néi ring ham f : 0% — C thude ldp C* va viet f € C*(09) nếu lần tại hệ

(U(p) up).p € OQ nhut trong Dink nghi 2’! > C thude

lap C®

Dinh nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ (U(p), up) p € 02

“Ta cần một số kết quả về chuỗi Fourier trong không gian Z2(Q) với Q =

H là một không gian Hilbert

() Hệ {ej]j£\ được gọi là hệ cơ sử của khong gian H néu vdi moi x € H cé duy nhét

chuỗi Š2z¡c¡ hội tu tới z

BA

Ta có kết quả về không gian Hilbert tách được như sau:

Định lý 1.7 ([jJ) Nếu {e;}j\ là hệ trực chuẩn của không gian Hilbert lách được H, khả đó các khẳng định sau là tương đương:

Ta chứng mình được 12(Q) với Q = [—m,z]" là không gian Hilbert tách được Tích

võ hướng trong Ƒ2(Q) được định nghĩa

(u, v= ay f unde, u,v € L(Q)

9

'Từ định lý trên ta có kết quả sau

Định lý 1.8 Nếu ƒ € /2(Q).Q = [—m,3Ì" tù {ey]yeze là hệ trực chuẩn của L^(Q)

théa man diéu biện (ii) trong Dịnh lý[I-7] thì ta có:

(i) chudi Fourier

YS Levon,

kezn

hoi tu trong L4(Q) tai ham f

hội tu trong Lề(Q) tôi hàm ƒ thỏa mãn (ƒ.«v) = cụ Wk EZ"

1.2 Không gian Sobolev

Trước khi đi vào định nghĩa các không gian Sobolev ta cần tới định nghĩa của biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier của hàm ƒ € L!(R") được xác định bởi

(9

Khi f € £2(R") ta khong thé định nghĩa biến đổi Fourier của hàm ƒ như công thức

vì có thể ƒ e'€*/(z)dz không hội tụ Khi ƒ € F2(R") ta sẽ định nghĩa biến đổi

ØNier như sau

Đặt X = {ƒ € L!(R") : ƒ € L!(R")} Khi đó, với mỗi ƒ € L2(R") tồn tai day {f,} CX sao cho ||f„ — ƒ|Irsœ=) => 0 khi n => s Do {ƒ„} C X nên {ƒ,} C X Từ đẳng thức

Planeherel, ta có

fn — Srnll 2202) = |lỮn — fnllra@an) —> Ú khí n.m > 00

Do đó {ƒ,} là dãy Cauchy trong 72(E") Do Ƒ2(R") là không gian đủ, nên tồn tại

hầm giới hạn Ê của dãy {,} trong 12(E") Khi đó hàm /ˆ được định nghĩa là biến đổi Fourier cia hm f € F2(8")

Dinh nghĩa 1.9 (i) Cho s €R,s > 0, ta định nghĩa không gian H*(R") như sau

H(R") = {u € L2(R") ‘fa + |£l)"lñ(€)|Êđ < <},

|li|[i»¿ae) zác định như trên

TTa có định lý sau

Định ly 1.10 ([@))

() Nếu u€ H**Ê(R") vdis > 4 vak €Z,, thiwe C*(R"), Hơn nữa

llullcs¿a»› < Cllelliu <(e=)

(ii) Nếu u € H*(R") uà s >0, nếu ƒ € C(R*"), f có các đạo hàm riêng Ð*ƒ liên tục

tà bị chặn đều uới |a| < k Với k > s là số nguyên thà ƒu € H*(R") Hơn nữa

|fwlli-(e») < If llemanyllullacan

(iti) Néwo,B ER va0<t <1, thi

[fll pe—neseagany € llMllrtesllwllisga, — Vue tA) IR),

'Ta cần khái niệm về không gian Sobolev 77*(O) với s € R và Q C R” là tập mở, bị

chặn với biên trơn

Định nghĩa 1.11 Không gian H*(O).s > 0 được định nghĩa bởi tập tắt cả các hàm

uw € LM) sao cho u=v|q vdi ø € H*(R"), vdi chuẩn

llullii-(oy ml wag [Hea

Trong trường hợp s € Z¿ ta có thể định nghĩa các khong gian H*(Q) theo cách khác

như sau:

Định nghĩa 1.12 Cho s € Z,

(i) Khong gian H*(Q) duoc dinh nghia la bao đầu đủ của không gian

weer): / |arude < co},

lai<sa

tới chuẩn

linlime = (3) [Ixf4s)È, (12)

lal<s 0

Khi đó H*(O) là không gian Hilbert với tích uô hướng

(w.0)m-(e) = dD | Oud ode

lalSsä

(ii) Không gian HẠ(Q) là bao dầy đủ của CỹS(Q) với chuẩn được xác định như trong

t3

“Trong trường hợp s < 0 ta có định nghĩa với không gian H*(©) như sau:

Định nghĩa 1.13 Không gian H*(©) là không gian đối ngẫu của không gian Hạ “() Tương tự với không gian #f*(R") ta có định lý sau

||n|liza-o«««s¿ < |lwllizveyllellạ, — Vue 27995#(0),

Một số kết quả về không gian #*(©) khi s € Z

Định lý 1.15 ([8) Cho s € Z

16

(i) Cho ƒ :Q —x C có đạo hàm tới cấp |s| bị chặn, liên tục Ánh xạ

we {vu E CMD): |lvl| ;pmoeto.ei(g) < too} 4 fu

có duy nhất mở rộng tới một ánh xa tuyén tink, bi chan trén H*(Q) va ton tai

hằng số Cl„ chỉ phụ thuộc tà |s| van sao cho

|Lfw|lirstey < Cjslø||f [cay ||tlu-ee): Và € (6)

() Vớia €7 KhiU < s < al, gid sit ring tap

{o € Œl(6): ||e|[i«ay < se}

trù mật trong H*(Q) Khi đó ánh xa

ớ €{o | CMH (Q) ||p|[g»«slen(ay < SE} > Ov

có duy nhất mở rộng thành ánh wa tuyén tinh, bị chặn từ H*(Q) tới H*~!%l(Q)

Bồ đề 1.16 ([9) Anh va Ø, : H"() — Hhh1(Q), 1,3,-°-,n là ánh xa liên tue

Ngoài các không gian Sobolev //*(R*),//*(Q), Hạ(O) chúng ta còn cần tới không gian H*(00)

Do @ C TR* là tập con mở, bị chặn nên Ø9 là một tập compact Từ đó, tồn tại

1,21, sao cho 02 ¢ UU (py) Chon hàm xj € Cÿ⁄(Up),L < j < Ä,

(iv) H~‡(09) là đối ngẫu của HỀ(09)

Mệnh đề 1.19 (Ï) Cho l,L € Z và s € R sói] < s < L Giá sử rằng

ƒ€ Caz((IIFI(0@) Khi đó ánh va

uc C*(09) + ƒu

có mở rộng duy nhất thành ánh zạ tuyến tính, bị chăn trên H*(09) wa tén tại hằng số

€ chỉ phụ thuộc trào 9, maz{|l|,|L|},n saa cho

vdi moi u € H*(AQ)

Định lý sau cho ta mối lien hé giita cée khong gian Sobolev H*(@) vdi khong gian

l8

{Ù R là m2 rộng củu r, tắc là: Ru = ru dối trời CC C9(Ô)

ti) R bị chấn, tức la

IRullge tga) & Clemo ; Sam S

(ii) PT taan, inh

(iv) Voi méi f & H°~2(OQ), tan tat w € H(Q) sao cho

RuT— Ƒ tà - ||H| tsạy

Iflliz-1e:

fv) Hat nhân của R là HẠ(U) Cˆ(9)

Nhậu xét 1.21 Theo trên ta có KerR — HẠ(0)^ H*(Q) nên với g— L thì KerR — HỊ(G) Với äc KerR Hà Ba = 0 tác là tao = 0 Vậy tà có uc HO (O3 alau = 0 tà

uc HU

Chương 2

Tính duy nhất

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thì ta luôn giả thiết rằng @ CR” a tap con

mỡ, bị chặn với biên tron va n > 3

Trong chương này chúng ta nghiên cứu kết quả về tính duy nhất của bài toán

alderón được chứng mình bới J Sylvester va G Uhlmann trong [[5] như sau

Định lý 3.1 Cho +,3; là hai hàm đương thuộc lớp C2(Q) Néu Ay, = Ary tà =1;

Bổ đề sau cho ta mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán và bài toán

Bồ đề 2.3 Cho hàm dương + € C2(8) và u € HẦ(0) thì uối q= € 0a có

19

Trong đẳng thức trên lấy tổng ÿ từ 1 tới ø và nhân cả hai về với —1 ta nhận được

~V ‹+V(ˆ?u) = +Ì(~A + 4)u

Khi u € H1(Q), tdn tai dãy {uy} C C2(Đ) sao choy “9 „, Theo trên ta có

Ấp dụng ý () của Dinh Wy[L14) voi k= s = 1, f = 7-2 © C'@) tà nhận được

Woden — 9H lacey < No herg lan ull aray-

Lấy giới han khi k + 00 của @.5) va sit dung 24) ta nhan dite

Ap dung B6 aé[L.16) ta nhân được

Ilô(+ 3e) — Øj(+-3w)||tsey < C|ln3wy =+7*M|lmạm, WF = 122+ yr

Trong cho k + 00 va chi ¥ L6} ta nhận được

firm] — yon) + Oyler) = 9,

(2.13) Lại có

Sử dụng và lấy giới hạn khi & => se trong [2-14], ta nhân được

1imlI= V+3VG?a)= (—V -3V(73))|l-ve =0,

2

Nếu q€ L*(9) xét bài toán Dirichlet cho phương trình Sehrödinger

(2.17)

với f € H3(0Q) Ta néi rằng u € H'(@) là một nghiệm yếu của {2.17} nếu ula =f,

và với mọi ¿ € HJ(@) thì ta có

J (Vu - V£ + que) dt

a Bài toán (Õ-17} được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau:

1 (Tồn tại) Với mỗi giá trị biên ƒ € /J3(09) tồn tại nghiệm yếu w € H'(Q)

2 (Duy nhất) Nghiệm u là duy nhất

3 (On dinh) Toan tit f + œ liên tục từ #3(Ø9) => H'(), tức là tồn tại hằng số

C > 0 sao cho

llullire S CIF ll 8 cory:

Nếu bài toán cho phương trình Sehrödinger đặt chỉnh, khi đó ta có thể định nghĩa ánh

xạ DN như sau

A¿:H3(09) ¬H3(09)

au

fF loa

Một cách hiểu khác của ánh xạ A¿„ như sau:

(A¿f:9)äa = [ove -Vb+quu)dr — VƑ,ø€ H3(00),

a

trong đó ứ là nghiệm của bài toán còn ø là hàm bat ky thuée H4(Q) vdi vlan = 9

Bố đề dưới đây chỉ ra tính hợp lý của định nghĩa trên và hơn nữa A¿ là ánh xạ tuyến

tính bị chặn

Bổ đề 2.4 Nếu q € L™(Q) sao cho bài toán

tuyến tính từ H3(00) uào H~3(ÔQ) và thỏa mãn

đặt chỉnh khi đó A„ là ánh xạ

(Agf.Mon=(f-Aggon ÝJ.g€ HÌ(00).

23

Chứng mình Cô định ƒ € H3(09) xét anh xa T : H2(9Q) + C duge cho béi

T(g) = [ove Vout que)de,

Vay dinh nghia cia T(g) khong phu thude vaio vige chon v

(ii) Tính Liên tục của ánh xạ 7: Do g € H3(0Q) nen theo Dinh ly

vy € H'(Q) sao cho

tồn tại

liullinen < Clay ®al

“Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và Dịnh

suy ra 7: H‡(Ø0) —x € là ánh xạ tuyến tính, liên tue Từ đó tồn tại một phần

tit Ay f € H~3(Ø9) sao cho (A¿ƒ,g) = T(g) Anh xa

Aq: H3(09) +H~3(00)

font

(iii) Tinh ty lien hợp cia Ag: Voi f,g € HÀ(Ø6) va u,v là nghiệm của bài toán 2

sao cho ulan = f, vlan = g thi

(À,ƒ;)øä = J (Vu-Votque) dx = J (Vo Vutquu)dr = (Ago, fon = (fr Aggon:

n

Bồ dé sau cho ta tính tồn tại, duy nhất nghiệm của bài toán tổng quát của bài toán

Bồ đề 32.5 ([8J) Với mỗi Fe H~'(9) ƒ € HÌ(09) tồn tại duy nhất u HÌ(O) sao cho

Ý:+Vu = P trang 9

tJan = ƒ

Hơn nữa, tồn tại hằng số C sao cho

|lullieei < C(LƑ|lu-t@ + ÍÍf y3 ¿ạy)-

Với q = —A,A > Ú là giá trị riêng của toán tử Laplace trong @ thì tồn tại

u € H}(O).u # 0 sao cho Au = qu, Khi đó ||u||¿ey > Ú còn lltll„3¿ạy = 0 tức

là tính ổn định của bài toán {2-17} bị phá vỡ Vay bài toán không phải lúc nào cũng đất chỉnh Bổ đề sau cho ta mối liên hệ giữ ánh xa DN A„ và nh xa DN Ay va một điều kiên để bài toán dat chỉnh

25

Ching minh (i) Ton tai: C6 dinh f € H4(AQ), cin chi ra ton tai nghiem u cit

phuong trinh @.17) Do ƒ € H3(09) và + € C2(Ø) nên theo Định lý

+~*ƒ € HÌ(00) Theo Bỏ đè|.5] tốn tại duy nhất nghiệm ø € #'(9) của phương

Do là nghiệm của phương trình @.18) nen Ve € Hi (Q) ta e6

Với ý € HẠ(Ô) thì yp = 7-20 € AE(Q) Tir dé, ta 06

[ (oe e +am)de= f (wu vohg) + Panteae

26

(ii) Duy nhất: Giả sử wy ứạ là hai nghiệm của phương trình 217), khi đó ứ = wy — uy

sẽ là nghiệm của bài toán

(-A+q)u=0 trong 2,

“Theo chứng mình như trên, ta suy ra y~3u 1A nghiem của bài toán

V:-+Vu=0 trong 9

(2.24)

Do w =0 là một nghiệm của bài toán P:24} nên theo Bồ đè|2:5] bài toán

có nghiệm tằm thường, từ đó bài toán |

Để chứng mình Dịnh ly 2.1] ta edn téi bé dé sau

Bồ đề 2.7 (JØJ) Với giả thiết như trong Định lị|

at

Chứng mình Dịnh lý B.3)kéo theo Dinh ly Bal)

Chitag minh Gi sit 71.7% € C?@) va Ay, = Ayy

Dat qj = 922, j = 1,2, khi đó q € L*(Q) Theo Bồ đề E-] bài toán Dirichlet cho

~A +4, được đặt chỉnh Theo Bỏ đè.7]và giả thiết của Dịnh lý

Khi 46/77 55 là nghiêm của phương trình Từ Bồ để P.7] ta nhận được

v5ilana = /8laa Kết hợp với phương trình Sehrödinger với hàm ø đặt chỉnh ta nhận

được Vi = v52 trong 2 và do đó +¡ = 32 trong © ñ

Véi q = 0 Ta tim nghiém cita phuong trinh —Au = 0 dudi dang u(x) = e**,€ € C^,

Ta 06 dju(w) = Ø/(e'**) = iQje** hay Dju(#) = Qe** từ đó Du(z) = Ge, Ta 06 D+ Du(x) = ¢-Ge'S*, Do =A = D- D nên nếu 6(z) = e** là nghiệm của —Au = 0 thì ta phải có € -€ = 0 Viết C— ReC+¿lmC, khi đó ta có

€-C= (Re€+iin€)(Re€ + ¡Im€) = ReC - Re€ — Im€ - In€ + 3i1m€ - Re€

Do đó €-€ = 0 trở thành

ReC - ReC— Im€ - Im€ = 0,

ImC- ReC=0 hay

Xét phương trình khi g =0

Dinh ly 2.9 Tén tai hang sb Cy = Cy(Q.n) sao cho vdi bat kỳ C € " mà

€:C=0.|C| > 1 thà uới bat ky f € L?(Q) phương trình

có một nghiệm r © H3(Q) thảa man

(0 lIrllisø < RRIUllize:

30

8 ||Ltrll[is„y Š Ga|Ufflisei,

fH) [| Dell gas š @lllIllra-

Chứng mảnh 'heo phân tích ở phẫn đầu, với mỗi ( © ( thỏa mẫn ¢-¢ — 0 06 thé

vidt duéi dang ¢ — s(uy + iim) trong đồ s — & vA wa» là các vectø đơn vì, sao cho

{G en,aa} là hệ trực giáo trong BR" Bằng cách quay hệ trục Lọa độ nếu cầu, ba giả sử tầng øi — eị — (Úc: VÕ) 2y — ey — (0,1, - ,0), Khi đó phường trình cần giải số trổ thành

(D+ D+ 28th +4D)))r — f

Do (21a tap bj chan nên tồn tại £ > 0 sao cho 12 C [-L, L]" Véi L > 0 tay ý ta có thể sử đụng kết quả về chuỗi Fonrier cho các hàm trong không gian Hilbart tách được TÃ([—F, T]*) Da đó không miâm tính tổng quất mià sử rằng © @ =

Tế đăng kiểm tra dude {ux }rezn 1A hệ trực chuẩn trang 7.7(Q)

Néu v ¢ £°(Q) va (oun) = OVE CZ thi

3

Vay (ve2"*, uz) = 0,Vk € Z", suy ra øe=‡2 = 0 hay ø = 0 Theo Dinh ly

thể biểu diễn dưới dạng chuỗi

ƒ= 3) lien với fe = (foun)

IIIPrlllJ5¿ = ®IPrlba= 35 bá¿P+3 net) = 3) lnifEtse)lP,

|lš + gel? + 2aky| > |k+ gel? — 3ã|# + 32 2 di + anh

'Từ đó và chủ ý s > ì 1u, nhậu dược

Jk+ se lr| = [e+ sar ris + eal? Timpal < 16s Bae +51 16s ful

Nếu |k + 3ea| > 4s Khi đó

[lh + seal? + 2ska| > |E+ zea|?— 2s|k + zea| > z|k+ zeal

ết hợp với chú ý s > š ta nhân được

|IUP'rI||,s„ạy < 164|l/|lis«@ = 33€| II/llis.e›:

2.2.2 Ước lượng với g#U

Giả sử C € C" thỏa mãn € : € = 0 và |é| đủ lớn Định nghĩa G¿ là toán tứ nghiệm

: LA(Q) ~>H2(0)

frr,

với r là nghiệm của bài toán (D- Ð + 9€ - Ð)r = ƒ được xác dinh trong Dinh ly 2.9}

Định lý 2.10 Cho ạ € L*() Khi đó tên tại Cạ = Cụ(Q,n) sao cho C € C" thỏa mãn € + C =0 tà |C| > maz{C0lld|lr=(a), 1} sà bắt kì ƒ € 12(Q), phương trình