Luận văn phương pháp không lưới rbiem với miền Địa phương tròn giải hệ phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYEN VAN VINH PHUONG PHAP KHONG LUGI RBIEM VỚI MIỄN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Chuyên ngành: Cơ h

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN VAN VINH

PHUONG PHAP KHONG LUGI RBIEM

VỚI MIỄN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

LUẬN VĂN THẠC SÌ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN VAN VINH

PHUONG PHAP KHONG LUGI RBIEM

VỚI MIỄN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng

Mã số: 60440108

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HUỖNG DẪN KHOA HỌC

TS Bai Thanh Tú

Hà Nội - 2015

LOI CAM ON

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tời thầy giáo hướng dẫn TS Bui Thanh Tũ, người đã giao để tài và quan tâm, tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực

biện luận văn này

Em cũng cũng xìn chân thành hãy lở lòng biết tin chân tối loàn thể các thầy cỗ giáo trong

khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Iại học Khoa học TỰ nhiên - DHQGI1N đã đạy bảo cnng

cấp kiến thức bổ ích cho em trong suốt qná trình học tập và nghiên cứu tại Khoa

Em xin câm ơn các thầy cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Phòng Công tác và chính trị sinh viên, trường Dại học Khoa học Tự nhiên - DHQGITN đã tan điều kiện thuận ldi trong

quá trình thực hiện lận van

Nhân dịp này, em xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã huôn động viên, tạo điều kiện cho em trong

suốt quá trình học tập và thực biện luận vẫn này

Mục lục

2 _ Phương pháp không lưới RBTEM giải nhương trình Navier-Stokes 5

2.1 Phương trình tích phân biên và phương pháp đối ngẫu tương hỗ 5

2.3 Phương pháp không lưới RBIEM 13

Chương 1

Giới thiệu tổng quan

Phương pháp phần tử biên (BEM) để giải phương trình Navyicr-Stokes là mội trong những

bài loán được các nhà khoa bọc quan lâm Khi dùng phương tình lich phân biển, số hạng

phi tuyến xuất hiện trong tích phân miễn Có nhiều phương pháp khác nhau để giải số hạng

phi tuyễn đó như Zheng et al |11J đùng phương pháp nghiệm riêng, Power va Partridge [7]

sử đụng phương pháp đối ngẫu tưởng hỗ (ORM) Nhưng kết hợp giữa BEM và DRM chỉ giải được các bài loán dòng chẩy phức tạp với số Reynolds nhỏ bằng 40 hay 100 Bằng phương

pháp phân chia miễn con |4, 8| I*ower và Mingo đã giải bài toán cho s6 Reynolds cao hơn

với độ chính xác cao hơn Tuy nhiên phương pháp IL:M-IDRM đã xắp xĩ đạo hàm của vận

tốc trong số hạng phi tuyến thông qua hàm bán kính cơ số và tạo ra phương trình đại số tuyển

tính với số phương trình lơn hơn số ẩn làm tăng độ phức tạp của bài toán

Bên cạnh đó phương pháp không lưới kết hợp với phương trình tích phân biên đang được quan tâm rộng rãi bởi tính chính xác mà phương trình tích phân biên mang lại Trong

đó phương pháp không lưới tích phân miền địa phương (L.BIE) đưa ra bởi Zhu ct al [12, 13] giải bài loán Poison và bài loán nhỉ tuyến dựa trên xấp xỉ địch chuyển bình phương lỗi thiểu với ý tưởng tạo ra biên địa phương trên mỗi nút Sau đỏ Sellomatos và Sequeira |0]

dùng LIBIL: để giải phương trình Navier-Stokes với cách tiến cận dùng phương pháp nghiệm

đi kèm để xắp xỉ số hạng phi tuyến Gắn đây, Popov và Bui [5] đưa ra phương pháp không

Tưổi dựu trên phương trình tích phần biên và hàm bán kính cơ sở (RBIEM) để giải bài toán

khuếch tấn nhiều, trong đó phương trình tích phân biên được áp dụng trên mỗi miền con địa

phương tương ứng với mỗi mit Khi dé RBLEM tao ra hé phương trình đại số tuyến tính với

số phương trình bằng số ẩn để giải ma trận hệ số là ma trận thưa RBIEM được áp dụng để

giải hệ phương trình Navier-Stokes, trong đó với mỗi nút trong miễu tính toán, có bảy ẩn số

tương ứng với bảy phương trình tích phân biên Thay vì phải xắp xỉ biến đạo hàm riêng của

vận tốc in hầm bắn kính cơ xổ

Ý tưởng của phương pháp RBIEM là xây dựng một miễn con địa phương ứng với mỗi

nút bên trong và trên biên miễn tính toán VỀ lý thuyết, những miễn con dịu phương này có thể có hình dạng bất kỳ Khi đá để tích phân trên biên của miễn bất kỳ, RBIEM phân rã biên thành những phần tứ tích phân trên biên địa phương sẽ được tính trên từng phần tử và sau đó

được ghép lại Trên thực tế, để thuận tiện trong quá trình tính toán, miền con được RBIHM

tạo ra là những miễn tròn Nhưng khi đó, để tính tích phân biên có thể dùng phương pháp

khác đơn giản hiệu quả hơn việc phân rã biền,

“Trong luận văn này phương pháp không lưới IRBILM cải tiến được ất Để thuận

tiện, ta gọi phương pháp RBIEM cải tiếu là m-RBIEM (modified RBIEM) Để tính tích phân

trên biên của miễn con, thay việc rồi rạc biên thành các phẫn tử bằng cách thêm vào các nút

trên biên, phương pháp không lưới m-RBIEM sẽ sứ dụng hệ tọa độ cực để tính trực tiếp các

tích phân khi miền con có dạng hình tròn Phương pháp rn-RBIEM đưa ra lời giả: số chính xác hơn, tiết kiệm thời gian tính toán hơn và dễ dàng hơn trong việc lập trình giải các bài

toán thực tế

Cấu trúc luận vấn được trình bày như san:

- Chương I: Giới thiệu tổng quan về phương pháp không lưới đùng phương trình tích phân

biên

- Chương 2: Đề cập phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes

- Chưởng 3: Phường pháp RRIEM với miễn địu phương tròn giãi hệ phương trình Navier-

Stokes

- Chương 4: Kết quả số.

Chương 2

Phương pháp không lưới RBIEM giải

phương trinh Navier-Stokes

2.1 Phương trình tích phân biên và phương pháp đôi ngâu

tương hỗ

Phương pháp đối ngẫu tương hỗ DRM (Dual Reciprocity Method) được kết hợp với phương pháp phương trình tích phân biên BZM (Boundary Element Method) dùng để chuyển

số hạng tích phân miễn thành tích phân trên biên khi giải phương trinh Navier-Stokes

“Xót phường trinh Navier-Stokes cho chất lông không nến được:

Fi: là lực tác động theo hướng ¡;

đụ: là lensd ứng suất tướng ứng trường vận tốc và áp suất (14, 9).

2.I PIIƯƠNG TRÌNII TÍCTI PIÂN BIEN VA PITUGNG PITAP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ

Vi chit lang Newton ta cé:

gì — puju; 1a sb hang phi tuyén;

ty = Oj; nj: JA vectd phdp tuyén huéng ra ngoai mién S;

zỷ: là trường nghiệm vectơ vận tốc của phương trình Stokes

'Trong trường hợp hai chiều nghiệm uj, va ø* có dạng:

2.I PIIƯƠNG TRÌNII TÍCTI PIÂN BIEN VA PITUGNG PITAP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ

trong dé f (x) là hầm bán kính cd sở phụ thuộc vào bán kính điểm cần xắp xỉ x và điểm lân cận y", ø = 1 W, Hàm /*(x) chỉ phụ thuộc vào giá trị R= |x »"| là khoảng cách

Tam ƒ (x,y") với m — & + |, +2, +4 là hàm toần cục mổ rộng nội suy trên các điểm

lân cận y"" và chỉ phụ thuộc vào rọa độ của điểm x(xị,x2) [rường hợp A=3, ta có:

'rong đó biểu thức giải tích cho trường Stokes (#ˆ" (y), A {y)) rưdng ứng với các hàm xắp

xỉ được có thể được đưa ra bằng phương pháp tiếp cận để xuất bởi Power và Wrobel.

2.I PIIƯƠNG TRÌNII TÍCTI PIÂN BIEN VA PITUGNG PITAP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ Khi đó trường vận tốc và lực kéo bổ trợ có thể được tìm như san:

al) — & | (se*toge— Zn") | 6) — 8â: (4EÊ logR — SRP (29)

BP) 9g fog 3 sit — Fede log 3 › n

trong trường hợp /” (+) =r?logz vớif=+ y"và#=l|x y"|, Biển thức lực kếo bổ trợ

2.I PIIƯƠNG TRÌNII TÍCTI PIÂN BIEN VA PITUGNG PITAP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ

ary xg [naỗi + niốu + mẫu — 2 (nâu + m ơtiễm + mS)

(2.12) elm ds miỗu mỗu WSS}

Tring hop 3:

t0) =m,

đệ" — 3 (381 — 28ySy — 51180) + 35 (ấn — ơuễn)

~3xde (Sd + 81:82)

~3Qn:Buỗu + mỗuỗi-Em ð¡ỗn + m18u81)]

+2em [miễn + niễu +niễu — 20m ơuễn + ngơn + nơuơn |

laÏ[myỗu | mổa miơu 2myỗnễn|}

Áp dụng định lý Green cho trường vận tốc mới (8! (x) ,đ#" (x)) ta cĩ:

amy = fated ones, [si GxaÄP"6)45

LÍs(sy)/"0)ã,á@

a

Trong đĩ ?"' được cho bồi #!" (y) — ơi; (1, () ,#tt (y)) n; 0)

'Tích phân miễn trong (2.3) được viết dưới dạng:

ok) T0) 8do=~ [ipGa)4"0)45,

- J wig 94" 5, + 4).

2.I PIIƯƠNG TRÌNII TÍCTI PIÂN BIEN VA PITUGNG PITAP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ

Rồi rạc hóa biên S, phương tình (2.16), (2.17) cho ta công thức tính giá trị vận tắc và các

đạo hàm riêng của thành phần vận tốc theo các biến x¡,x2 tại nút n:

(2.18)

22 NỘI SUY HÀM GIÁ TRỊ

"Trong đó 71 6, G8, 11,8, là các hệ số đĩ kèm với vận tốc và đạo hàm của (hành phần vận

tốc theo biến x,xa Các hé sé HE, Gi, Hf 4, Of; 4 thu duge từ tích phân trên các phản tử biên

được phân rã trong các phương trình (2.16), (2.17) Giá trị uf, uf, trong cOng thức (2.16),

(3.17) là giá trị của vận tốc và đạo bàm thành phẩn vận tốc theo biển xị,x; tat ede mil a,

(a=

ham ban kinh co 56 RBE sé dude trinh bay & muc tiép theo

we NM) trên biên tròn địa phương Các biến này thu được nhỗ nhép xắp xï nội suy dùng

2.2 Nội suy hàm giá tri

Suy) duty)

Oxy? ax dịnh bằng hàm bán kính cơ sở /(,zy) để nội suy giá trị xung quanh các nut zs, z

22 NỘI SUY HÀM GIÁ TRỊ trong đó: f;, s, (s,e; xác định cho các nút y =

2.3 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM

Phương nháp không lưới RIBIBM sẽ tạo ra mỗi miễn con địa phương ứng với mỗi nút

trong miễn tính toán Các phương trình tích phân biên sẽ được tạo ra để giải các ẩn tại mỗi nút Để tính toán các tích phân trong phương trình (11) biên địa phương sẽ dược phân rã thành các phần tử bởi các nút trên biên Giá trị của tích phân biên sẽ được tính toán đựa trên

thông tin của trường vận tốc, áp suất, đạo hàm vận tốc tại các điểm trên biên

Hình 2.1: Miễn con hình tròn phân bổ bài toán

Phương pháp RBIEM đưa vào 7 ẩn tại mỗi nút gồm thành phần vectơ vận tốc zị, 2, các đạo

iin xj, xn: Sat, SEL, $2, 92 vii ip suất p Tại mỗi nút

7 phương trình tưởng ứng với 7 ẩn được tạo ra Khi đó RBIEM sẽ tạo ra một hệ phương trình

hầm riêng của thành phần vectd theo

đại số tuyến tính với số phương trình bằng số ẩn Giá trị s;, sự „ tại nút n trên biên địa phương

trong công thức (2.18), (2.19) thu được bằng cách áp dụng công thức (2.23), (2.24), (2.25)

tương ứng với nút y là nút a trên biên dịa phương, khi dó ta có:

Na Na

13

2.3 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM

Thay công thức (2.27), (2.28) (2.29), (2.30) vào (2.18), (2.19) ta có giá trị vận tốc và đạo

hàm thành phần vận tốc theo các biến xị.xz tại những nút cho trước trên miễn tính toán như

2.3 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM

'Từ phương trình (3.32), (2.43) ta có phương trình cho đạo hàm riêng thành phan thi i cia

vectơ vận tốc theo biến x; tại nút n biểu diễn qua vận tốc, áp suất, đạo hàm vận tốc tại nút a

2.3 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM

Sử dụng nhép xắp xỉ DRM kết hợp với phương trình tích phân biên cho áp suất, ta có phương

trình tích phân biên cho áp suẤt:

—¥ Š (me Lowe apt ( pine hima 2p VÔ phu, ane

24 SỐ TẠNG PHI TUYẾN

Hệ số chưa biết ơi” trong phương trình (2.35), (2.36), (2.41) được xác dịnh bằng cách

xây dựng hệ phương trình từ phương trình (6) cho nút xỶ, — T,m:

ml

Kí hiệu F là ma trận mà các thành phần dược cho bởi Z(#,y") — /Q#,y")@?'8;, khi dó

địt — [IOX,y9)] 7 oily) Kal bup với gị — uy, là có:

Việc xấu định các hệ số chưa hiết x‡! được thực hiện bằng cách xây dựng các phương

trình thu được khi áp dụng phương tình (2.6) trên các điểm y":

"Thay phương trình (2.52) và nhương trình (2.46), số hạng phi tuyến g;(x} có thể được xắp xỉ như sau:

24 SỐ TẠNG PHI TUYẾN

Cuối cũng thay phương trình (2.53) và phương trình (2.47) cho ta biểu thức của các hệ số af"

19

Chương 3

Phương pháp RBIEM với miền địa

phương tròn giải hệ phương trình

Navier-Stokes

Để tỉnh các tích phân biên trên miễn địa phương tròn trong các phương trình (2.16),

(2.17), (2.37), thay cho việc rồi rạc biên thành các phần tử bằng cách thêm vào các nút trên

biên, phương pháp m-RBIEM sẽ tính toán trực tiếp các tích phân biên đó băng cách tham số

hóa các biến trong hệ tọa độ cực Thay vào công thức (2.23), (2.24), (2.25), (2.26) vào các

+3 «{- [to)ft0)4+ [se )f0)ás +it wl

mal

ard

2ã

orf, Out, pin Teh ~~ [jee dS, it gi ay —

mg) — YL AER al + 5 hMene 3} nöijk

+E |ten" [anne } uy) | ‘ lxị a oo

[ocr BO? 4 anor) BO]

YY neh jake XL Yu BL rRis 5”

Để tính các tích phân từ (3.4)-(3.15), tọa độ điểm y = (y\,y2) trên biên tròn Š,, bán kính r

được tham số bôi: yị = xị | zcosØ; y2=.49 | rsin@; Øc (0;2Z) Khi đó:

trong đồ: mị — cos(Õ), mạ — sin(8)

Giác phương trình (3 L7), (3.18), (3.20) được sử dựng cho phương pháp m-RRTEM Khững

phương trình đó là đơn giản hdn so với phương trình (2.35), (2.36), (2-41)

Chương 4

Kết quả số

Phần này sẽ đưa ra titi git số cũa phương phấp m-RBIEM với bài todn démg chy di qua

hình hộp vuông trong khâng gian 2 chiều Đây là bài toán được dùng để kiểm tra tính chính

xác phương pháp số giải bài toán chất lỏng Bài toán được phát biểu như san:

Cho đồng chất lồng ổn định di qua mặt trên cũa hình hộp với vận tốc theo phương ngang là

hằng số, vận lốc theo phương dục bằng không Điều kiện không trượt và không thẩm được

ấp dựng trên các mặt còn lại của hình vuông Phương pháp m-RBIEM sẽ được sử dụng để

giải bài toán trên với hai trường hợn số Reynolds Re=100 và Re=400 Lời giải số cho hôi

m-RBIEM được so sánh với lời giải của Ghia [2], dùng phương pháp sai phân hữu hạn với