Chuyên đề nghiên cứu đại số 1 chuyên ngành Đại số và lý thuyết số: Sơ lược về C ∗ – Đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO __.TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Phạm Minh Nguyên SƠ LƯỢC VỀ C* ~ ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC Thành pho Hồ Chi Minh - 2024... BỘ GIÁO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Phạm Minh Nguyên

SƠ LƯỢC VỀ C* ~ ĐẠI SỐ

CHUYÊN ĐỀ NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC

Thành pho Hồ Chi Minh - 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH

Huynh Phạm Minh Nguyên

SƠ LƯỢC VỀ C* - ĐẠI SỐ

Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số

Mã sô : DAISS33007

CHUYEN ĐỀ NGHIÊN CỨU SỐ 1

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS HUỲNH VIỆT KHÁNH

Thành pho Hồ Chi Minh - 2024

Lời cam đoan

Toi xin cam đoan mọi kết quả của chuyên để nghiên cứu: "Sơ lược về C* = đại số“là thành

qua nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của TS Huỳnh Việt Khánh Nội dung của

chuyên dé nghiên cứu có tham khăm một số kết qua từ nguồn sách, báo, tạp chí được liệt

kê trong mục tài liệu tham khảo Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm với bài luận văn của ban

thân.

Huỳnh Pham Minh Nguyên

Tóm tắt nội dung

Mục đích của chuyên để này là giới thiêu các định nghĩa, tính chất cơ bản của C*-dai số.

Định nghĩa 0.0.1 Cho A là một phức *-dai số Một phan tử thuộc A được gọi là phép dang

cu từng phan nếu 6 = bb*h Một phan tử b thuộc A được gọi là hình chiếu nếu b = ởŸ = 1".

Khi đó, mỗi hình chiếu đều là phép dang cự từng phan, và ở là phép dang cự từng phan nếu bb? là hình chiếu Nếu A chứa đơn vị thì b € A được gọi là dang cự nếu ð*b = 14 và được

gọi là một unitary nêu bh’ = b*È = lạ

Định nghĩa 0.0.2 Một A là một phức *-dai số được gọi là xác định dương nếu với

#isT2., Ta € Ama 3); ¡z?r, = 0 thì +, = 0 với moi? = 1,2, ,n Nếu 4 là xác

định đương, ta định nghĩa nón dương Ay „của A là tập tắt cả các phan tử của A có dạng

SO, ea Khi đó, ta xác định một thứ ty trên A như sau: với a,b € A ta nói œ < b nêu

b—a€ Ayy.

Tính chit 0.0.3 Cho E 1à dé thị tùy ý Khi đó đại số đường di Leavitt Lc(E) là một đại sé

tiên phổ dung C* -đại số déi với C* chuẩn trong dé < là thử tự được tao ra bởi nón dương Lc(F) „ trên Lc()}.

Lời cảm ơn

Lời đâu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS Huỳnh Việt Khanh, thay đã rat tận tâm và nhiệt tình trong việc giảng day, hướng dẫn và giúp đỡ tôi vẻ các kiến thức nền tảng cũng như phương pháp để tôi hoàn thành chuyên dé nghiên cứu "Sơ lược về C*-đại số".

Bên cạnh đó, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thay cô khoa Toán - Tin của trường Đại học Sư Phạm Thành phô Hà Chí Minh, vì đã trực tiếp giúp đỡ và giảng day tôi rat nhiềutrong

quá trình học tập Cao học và thực hiện chuyên để này.

Tiếp đến, tôi cũng xin cảm ơn quý thay cô Ban giám hiệu và quý thay cô trong phòng

Saudai học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hé Chi Minh, đã tao mọi diéu kiện thuận

lợi trong quá trình học Cao học tại trường.

Toi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cổ vũ và đông viên tôi trong

suốt thời gian qua Mặc di đã rất nỗ lực trong suốt quá trình thực hiện chuyên dé, nhưng

không thể tránh khỏi mét số sự thiểu sót Toi rat mong nhận được ý kién đóng góp cùng sự

chi dan của quythay cô và các ban học viên

Huỳnh Pham Minh Nguyên

Mục lục

Lỡi cam đoan

Tóm tắt nội dung

Lời cảm ơn

1 SƠ LƯỢC VỀ C*-DAISO

Ll - n Ha AaAa.a ee ee eee

Tài liệu tham khảo

Danh sách hình ve

Danh sách bảng

Chương 1

SƠ LƯỢC VỀ C*-DAI SO

11 C*-đại số

Định nghĩa 1.1.1 (Phép đối hợp - Involution) Cho A là một đại số Phép đối hợp là một

ánh xạ +: A => A thỏa man

i (2*) = 2, Va € A.

it (2+ yp =a" +ự,V£,p€ A.

iit (ay)* = ya Vay € A.

Cap (A, +) được gọi là đối hợp dai số hoặc *-dai số Nếu S$ là tập con của A, ta đặt

#*={a*lae< S}, và neu S* = S, ta nói Š là tư liên hợp Một đại số con tự liên hợp B của

4 là một *-đại số con của A và là một *-đại số khi có trang bị thêm phép đỗi hợp nhờ sư hạn chế Bởi vì giao của họ các dai số *-con của A là chính nó nên với mọi tập con Š của A đều

có một *-dai số /2 nhỏ nhất của A chứa S, được gọi là * -đại số được sinh bởi S

Nếu 7 là ideal tự liên hợp của A, thì đại số thương 4/7 là một *-dai số với phép toán được

cho bởi

(a+ I)" = a* + I{a € A).

Ta xác định một phép đổi hợp trên A mở rộng của A bằng cách đặt (a À)* = (a* A) Do đó,

A là một đại số +, và A là một ideal tự liên hợp trong A.

Phan tử a trong A là phan tử tự liên hợp néu a = a* Với mỗi a € A tổn tại các phan tử tự

liên hợp duy nhất b,c € A sao cho a = b + ic ( = sía +a") vàc= > (a = 29) Các

“ “1

phan tử a*a va aa” là các phan tử tự liên hợp Tập hợp các phan tử tự liên hợp của A được ký

hiểu là A,,.

Ta @ là được gọi là chuẩn tắc nếu a*ø = aa" Trong trường hợp này, +-đại số mà nó tạo ra là abel va à span tuyến tính với tất cả aa", trong đó m,n € Nvan+m > 0

Nếu A là đơn vị thì 1” = 1 (1' = (11")° = 1)

Một phan tứ p là một phép chiều nêu p = p* = p*

Nếu a € Inv(A), thì (a*)”Ì = (a-*}” Do đó, với mọi a € A,

a(a’) = ofa) = {AE C | À € z(a)}

Một phan tử trong A là khả nghịch nêu utw = wut = 1 Nếu u*u = 1, thì w là một phép đẳng cự, và nêu wu* = 1, thì là một phép đồng đẳng

Nếu ¿ : A =+ là một đồng cấu của +-dai số A và B va ¿ bảo toàn các phép toán, nghĩa

là, g {a"} = (¿(a)}*{a € A), thì ¿ là một *-đồng cau Ngoài ra, nêu ¿ là một song ánh thì

đó là một *-đẳng cau Nếu y : A > là một *-đồng cau, thì ker{¿) là một ideal tự liên hợp trong A và ¿2{ 1} là một *- đại số con của B

Tu dang cau của *-dai số A là *-dang cấu ¿ : A —> A, Nếu A là đơn vị và u là đơn vị trong

A, thì Adu: A A, a+ ưu”, là sự tự dang cau của A Tự đẳng câu như vậy được gọi

la inner Ta nói các phân tứ @, b của A là tương đương đơn vị néu tổn tai một u đơn vị của A

sao cho & = 4° Vì các đơn vi tạo thành một nhóm nên đây là một quan hệ tương đương

trên A Lưu ý rằng ø(a) = o{b) nêu a và b là tương đương đơn vị

Định nghĩa 1.1.2 (Banach *-dai số) Một *-dai số Banach là một *-dai số A cùng với một

chuẩn con với phép toán nhân day đủ sao cho Í|a*|( = ||ø|Ì(œ € A}

Ngoài ra, nêu A có đơn vị sao cho |(1|| = 1, ta gọi A là một *-dai sé Banach đơn vị.

Định nghĩa 1.1.3 (C7 -đại số) Một C’*-dai số là một Banach đại số sao cho

lla*a|| = lal? (ae A).

Một *-dai số con đóng của một đại số C* rõ ràng cũng là một đại số C* Do đó, ta sé gọi một đại số con #-đóng của một đại số C* là một đại số con Œ°

Nếu đại số C* có đơn vị 1, thì ||II| = 1, bởi và |(1|| = ||L*1/| = l|1|(2 Tương tự, nếu p là một phép chiều khác 0 thi |p|] = 1

Néu wu là một đơn vị của A, thì ||u|( = 1, vì |x|]? = ||u*w|| = |] | = 1 Do đĩ, z{(¿) C TT, vì néu A € Z(w) thì A“! € ø (w~!) = ø (w*), vì vậy |A| và |A~*| < 1: tức là |A| = 1.

Ví dụ 1.1.4 Trường vơ hướng £ là một €*-đại số cĩ đơn vị với phép đối hợp được xác định

bởi ánh xa liên hợp Ar A.

Định nghĩa 1.1.5 Nếu a là một phan tử của đại số Banach đơn vị A, thì bán kính phổ của

nĩ được xác định là

r(a} = sup |Al.

A€ơ(a)

Nhận xét 1.1.6 Ta cĩ r(ah} = r{ba) với mọi a,b € A.

Bổ dé 1.1.7 Nếu a [a phan tử tự liên hợp của C” -đại số A, thì +(a) = |\a|l.

Chứng mình Ta cĩ ||a#|| = ||a|l?, và do đĩ bang quy nạp ||a? || = |a|l?”.

“ | 1/2"

Vi vậy r(a) = lim„_,~ |Ìa" ye" = lim,+.0 \|a? = lia|| O

Tinh chat 1.1.8 Cĩ nhiều nhất một chuẩn cho một dai số * làm cho nĩ trở thành C° -dai sé.

Chứng mình Nếu || : ||, và |) - (|; là các chuẩn trên một +-dai số A biến nĩ thành một C*-dai

số, thì

llall; = lla*al, =r(a°a)= sup |À| (= 1,2),

À€ơ(a*à)

suy ra |a||¡ = |/all2.

Bổ đề 1.1.9 Gid sử A là một Banach đại số cĩ phép đổi hợp sao cho \\a\\? < ||a*a|| {a € A).

Khi đĩ A là một C* -đại số

Chứng mình Ta cĩ các bat dang thức

llall# < lla*a|( < lle'| lla|Í

suy ra |(a|Í < |(a*|| với mọi a.

Ta liên kết với mỗi C'*-dai số A với C*-dai số f(A) chứa đơn vị chứa A như một ideal.

Một nhĩm con trung tâm kép trên C*-dai số A là một cặp (L, 3) ánh xạ tuyển tính giới hạn

trên A, sao cho với mọi a,b € A

k(ab] = L(ajb, R{ab)=aR{b} và - R{(a)b = aL(b).

Bổ dé 1.1.10 Nếu {L R) là nhóm con trung tâm kép trên C° -đại số A, thi\|L\| = || RI.

Chứng minh Vì |aL{(b)|| = ||R(a)8|| < || RI) | a|||(6||, ta có

ll⁄(ð)|Í = sup [jal] < I|#lll|l

IIz|l<1

và đo đó ||| < || Rl] Ngoài ra, ||R(a)b|| = |la1(®)l\ < |I1|Illall|lð|l, suy ra

||#(a)ll = op (a)»|| < ILF||al

và do đó ||R|| < ||L|| Vay ||L|I = || RI.

z

1.2 Phức *-đại sô

Định nghĩa 1.2.1 Một phức *-đại số là A dai số trên C với phép dối hợp * théa mãn

(Ax)* = Ax", Wr € AWA € C,

Vi du 1.2.2 Cho F là dé thị Khi đó Le(E) là một phức*-đại số

Ching minh Xét ánh xạ *: Le(} + Le(E) với

À À,VÀ €C,U 0,6 mờ cv” me

Khi đó, ta kiểm tra được /.c{ 2) là một phức +-đại số.

Định nghĩa 1.2.3 (Nửa chuẩn) €*-nửa chuẩn trên phức*-đại số A là một hàm sé || - | :

A — [E* thỏa mãn các tính chat sau với mọi a, € A; A € £

i ||aủ|( <

||a||llb||-ii || + || < ||+|l +

llð||-iii ||a#*|| = |lal|? = ||œ |.

iv ||Àal| = |Allls||:

Nếu bố sung thêm tinh chất ((a|| = 0 = ø = 0 thì || : | là được gọi là C*-chuẩn

Một tiền- C*-đại số là một phức *-dai số A được trang bị C*-chuẩn

Định nghĩa 1.2.4 (Tích vô hướng và không gian tiển-Hilbert) Cặp (7 ()} trong đó H là

một không gian tuyến tính phức và (.) : Hx HC, (x,y) => {z, y) là một hàm số phức được gọi là một không gian tiền Hilbert (hoặc không gian unita) nếu các điểu kiện sau được

thoả mãn

1 f,z) = (x,y) với mọi +, € H (Kí hiệu (x, „} chỉ số liên hợp của số phức (+, z} ).

2 fa +.z} = (m,z} + fy, z} với mọi r,,z € H.

3 {Az,) = ÀÍz, w) với mọi +, € HLA € £Œ.

4 (x, x) > t với mọi r € Hy (z,z) = Ú => z = Ú.

Số phức (x,y) được gọi là tích vô hướng của hai phan tử z và y

Từ định nghĩa của không gian tién Hilbert suy ra

1 ‡0,z} = 0 với mọi y € A;

2 fx, Ay) = Adz, y) với mọi #,1/€ HA EC;

3 +, + z} = (£,) + (2, z) với mọi +, 1,z € H.

Định lí 1.2.5 (Bat dang thức Cauchy-Schwarz) Nếu (1, ),)bntkhnggianunitath

|(+, w}|Ÿ < (z,z) fy, y) với moi+,tụ € H

Chứng minh Với mọi sé phức À và với mọi z € H,

fe + Àụ,# + Ay) > 0 hay ‡,#} + A‡/, z) + Afar y} + |À|Ê( w) > 0.

(x.y) |z.)Ÿ

(yu)! (uy)

Từ đó, ta có bắt dang thức cần chứng minh

> 0.

Hay À = ~ được (2,2) =

Định nghĩa 1.2.6 (Không gian Hilbert) Không gian tién-Hilbert day đủ được gọi là một

không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.2.7 Cho A là một phức *-dai số Một phan tử ¿ thuộc A được gọi là phép đẳng

cu từng phan nếu b = bb*¿ Một phan tử 6 thuộc A được gọi là hình chiếu nêu b = ở = b”

Khi đó, mỗi hình chiều đều là phép dang cự từng phan, và ở là phép dang cự từng phan nếu

bù" là hình chiêu Nêu A chứa đơn vị thì b € A được gọi là dang cự nếu ¿*b = 1,4 và được

gọi là một unitary nêu bh’ = b*b = lạ

Định nghĩa 1.2.8 Một A là một phức *-dai số được gọi là xác định dương nếu với

Il a

#isZ2, v7a € 4 mà SO", aja, = 0 this, = 0 với mọi ¡ SD easy n Nêu A là xác định dương, ta định nghĩa nón đương 4, ,của A là tập tắt cả các phan tử của A có dạng

SO, aay Khi đó, ta xác định một thứ tự trên A như sau: với a,b € A ta nói ø < b nêu

b—a€,y.

Giả sử A chứa đơn vị Một phan tử a € A được gọi là bị chặn néu ø*ø < AL, với A là số

thực đương nào đó Tập hợp A, gồm các phan tử bị chắn trong A là *-đại số con của A

Một Œ*-nửa chuẩn || - |] được xác định trên Ay bằng cách sử dung thứ tự trên A như sau

llzll = inf {AE Ry : z*z < A? -1}

Khi đó, Ay chứa tat cả các phan tử phép dang cự từng phan của A

Cho A xác định dương chứa đơn vị phức *-dai số Một state của A là ánh xạ tuyển tính

ở : A — thỏa mãn 2(z*z)} > 0.Vz € A và ¿(1) = 1 Khi đó, tổn tại một tự đồng

cau thỏa mãn 4 {2*y) = ó{*z).Vz,w € A và theo bat đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

lỏ (z"w)|Ï < ð(z*z}¿(0`p).

Do đó L¿ = {2 € A| ð(z*z) = 0} Tà ideal (tráu của A và vành thương A/L, chứa một cấu

trúc tiền-không gian Hilbert được xác định bởi (+ + Lạ, + Ly) = ofa 3 y).

Khi đó tổn tại một biểu điển * xy : A + £(A/L;) á Ở đây Z (A/L¿) kí hiệu *-đại số

của toán tử liên hợp của không gian tiền Hilbert 4/⁄„ Một biếu diễn trên z„ được mở rộng

thành *-biểu diễn z¿ : A + Ø (Hy), với Hy := A/L, là không gian Hilbert day đủ của

Aj Lg, khi và chỉ khi với mỗi a € A ton tại hằng số dương ý (a} thỏa mãn

ô(h*a*qab) < K(ajo(b"b)

với mọi b € A Ta gọi một state như trên là một state bị chặn Dat S(A) là tập các state bị

chặn A Kí hiệu

|2|Ì.„a„ = SUP {ó(aa)'? lỏec s(A)} € [0, +00].

Bổ đề 1.2.9 TỒn tai nửa chuẩn C'+ ti đại khi và chỉ khi |øœ|luax < % với mọia € A Khi

nửa chuẩn C+ tôi đại trên A tương ting với || -

||u:ax-Chứng minh Giả sử |\a|| max < với mọi a € A Vid € Š(.4) ta xác định một *-biểu điển

như sau

my: A— B (Hạ)

sao cho ¿ {a‘a} = llra(a) | suy ra |] ||:„„„ is a C“-nửa chuẩn trên A Gọi ø túy ý thuộc

C"-nửa chuẩn trên A Đặt 7 là tap các phan tử a thuộc A sao cho p{a) = 0 Khi đó J là *-ideal của

Ava A/T là một tién- C”-đại số với p(a + 7} = ø(a} Đặt B là là không gian đây đủ hóa của 4/1 ứng với chuẩn ø Khi đó # là một €*-đại số, tổn tại *-déng cấu chính tắc 7 : A -+ Ö

Gọi a là phan tử tùy ý của A Khi đó, ton tại ở' của sao cho ở" (7 (a*a)} = ø(a)? Suy ra

ở := ởˆ7 là một state bị chan của A, và do đó

p(a)? = o{a’a) s |lallmaxz

-Suy ra ø < |] © |/max và đo đó |Í : |Í„a„ nửa chuẩn C* tôi đại trên A Giả sử tén tại nửa chuẩn

C* t6i đại trên A gọi là ø Với ta có

llallf „ = Sup {¿ (a°a) | 6 € S(A)}

= sup {lr (a*z)|| | € stay}

< sup {|| (a*a)|\ | z là *-biển diễn trên không gian Hilbert}

= pla)’.

Dinh nghĩa 1.2.10 Một A là một phức *-dai số được gọi là phổ dụng tién C’*-dai số nêu tổn

tại chuẩn Œ * ø trên A sao cho với mỗi đồng cấu * ¿° : A => B từ A đến C*-đại số có một

thác triển đồng cau * 4: : A > B với A là mở rộng của A ứng với ø

Mệnh dé 1.2.11 Cho A [a phức *-đại số chứa don vi.

1 A là một phổ dụng tiền C° -đại số khi và chỉ khi A xác định dương vào < Ì|all„ax„ < %

VỚI mọi œ € Ala # 0.

2 Nếu A là xác định dương và A = Ay, thì tất cả các state của A là bị chăn và nửa chuẩn

C*l| - || trên A được xác định bởi quan hệ thứ tự với nửa chuẩn C'° tối đại Do đó

lr|l = lÌzÌ|nax = sup{||x(r)|| | z : 4 —> BCH) là một biểu diễn *}.

Đặt biệt, thn tại một nữa chuẩn C* ti đại trên A

Chứng minh — 1 Áp dụng bổ dé 1.2.9.

2 Giả sử A xác định dương và A = Ag Nếu ở là một state của A và a € A, khi đó, do

a € Ay nên tổn tại hằng số đương K (a) và các phan tử 2, - rạ thuộc A sao cho

eat » = Kia) - lạ.

i=1

Với b € A, ta có btatabh + SO", (+¿b]° (eb) = K(a)b*b, và do d đương nên

o{b arab) < K(a)ó (bb).

Do đó, tat cả state của A đều bị chan

Nếu a là một phẩn tử của A và aa + SO" +?z, = À - la với z € 4 và À € Ry, suy

ra @{a*a} < A với mọi @ € S{A) Do đó

llall».x <

lla|!-Đặc biệt, theo bố dé 1 2 9, ta có Í| + /|„„„ là một nửa chuẩn C” tôi đại trên A Do || : ||

là một nửa chuẩn C* tôi đại trên A nên || - || < |] - || nay cũng là một nửa chuẩn C” tối

đại trên A, và do đó |} - || = |] -

Íimax-Nhận xét 1.2.12 Giả sử ( 4 || : |.u„„) là một tiễn đại số (có đơn vị) phổ dụng C'*-đại số, sao cho |} - |Í„„„ là C* là một chuẩn trên A Khi đó, không nhất thiết là nón đương A được mô

tả trong Định nghĩa 1.2.8 trùng với nón dương Ay = A, M A thu được bằng cách coi A là

một hệ toán tử Nón dương A, vẻ bản chat có thể được mô tả theo A theo mỗi một trong các cách thay thể tương đương sau

1 A, ={r€A:ó(z)>0 Vác S(1)};

2 Với z € , ta có

+z+€ A, <> # = lim z„ với day (2,) trong A.,;

fì-=»®o

3 £=+” vàz +cl€ Ay, với mọi e > 0.

Tinh chất 1.2.13 Gid sử A la một K-dai số chứa đơn vị với sr(A) = n > 2 vaer{A) <

sr(A) Khi do, với bắt kỳ (không nhất thiết chứa đơn vị) K -đại số B và ideal hai phía của B

sao cho B/I = A vàsr(T] <n, ta cổstr(B) =n.

Ching minh Xét phan mở rộng

0—+I —: B' — A’ —› 0

Lưu ý rằng A! ® A x K, vi A là chứa đơn vị Vi vậy, sr (A!) = sr(44) và er (A!) = er( A) Hơn nữa sr (`) < n Vin < sr(B) < sr (B') < n ta có sr(B) = n oO

Nhận xét 1.2.14 Giả sử rằng A là một đại số phức z-không chứa don vị Ta ký hiệu A

đơn vị hóa đại số © của A (xem chứng minh Hệ qua 1.2.13) và nhận thay rằng nó là một

«-dai số chứa đơn vị, với (a,À}* = (4*,À}, với a € 4 và À © C Khi đó mọi biểu diễn

A- zt WH) trên không gian Hilbert W% có thé được mở rộng duy nhất thành một

biểu diễn +-Z : A — B( 2) Dễ dang kiểm tra được rằng A là xác định đương khi và chỉ

nếu 1 là đương Hơn nữa, néu A được tạo ra bởi các phép đẳng cự từng phan thì rõ ràng-A

cũng vậy Do đó, nêu A xác định đương và được tạo ra bởi các phép đẳng cự từng phan và

nêu ||alÌ„„„„ > ( với mọi a € A khác 0 thì nó theo Mệnh đẻ 5.1.5, ta có A là một đại số tiên

C*-phé dụng đỗi với chuẩn

Ilellsa« = lal] = mí {A € R¿ | ata < À2 - 1Ạ},

trong đó < là thứ tự được tạo ra bởi nón dương ri trên A.

Tinh chất 1.2.15 Cho E 1à dé thi tùy ý Khi đó dai sé đường di Leavitt Le(E) là một đại

SỐ tiền phố dụng C" -đại số đôi với C* chuẩn trong đó < là thứ tự được tạo ra bởi nón dương

Le(E},, trên Lẹ(E}.

Chứng minh Ta có Lẹ(E} là một tién C* đại số Do đó Le(E) là xác định dương và

|lallua„ > 0 với mọi a € Le(} Hơn nữa, theo định nghĩa, rõ ràng là Le(/7) được tạo

ra bởi các phép đẳng cự từng phan oO