Chuyên đề nghiên cứu số 2 chuyên ngành Đại số và lý thuyết số: Cơ sở của Đại số đường đi Leavitt có trọng số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO __.TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH Lê Minh Huy CƠ SỞ CỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT CÓ TRỌNG SÔ CHUYÊN ĐỀ NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC Thành pho Hồ Chi Minh - 202

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH

Lê Minh Huy

CƠ SỞ CỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT CÓ

TRỌNG SÔ

CHUYÊN ĐỀ NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC

Thành pho Hồ Chi Minh - 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

` ` A az z

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH

Lê Minh Huy

CƠ SỞ CỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT CÓ

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã so: DAIS833003

CHUYEN ĐỀ NGHIÊN CỨU SỐ 2

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS HUỲNH VIỆT KHÁNH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2024

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan mọi kết quả của chuyên dé nghiên cứu "Cơ sở của Đại số đường đi Leavittlà

thành quả nghiên cứu của cá nhân tôi đưới sự hướng dẫn của TS.Huỳnh Việt Khánh Nội dung

của chuyên để nghiên cứu có tham khẩm một số kết quả từ nguồn sách, báo, tạp chí được

liệt kê trong mục tai liệu tham khảo Tồi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm với chuyên để nghiên

cứu của bản thân.

Lê Minh Huy

Lời cảm ơn

Lời đâu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS Huỳnh Việt Khánh, thay đã rat tận tâm và nhiệt tình trong việc giảng day, hướng dẫn và giúp đỡ tôi vẻ các kiến thức nền tảng cũng như phương pháp để tôi hoàn thành chuyên dé nghiên cứu "Cơ sở của Đại số đường đi Leavitt”.

Bên cạnh đó, tôi xin bày tó lòng biết ơn đến quý thầy cô khoa Toán - Tin của trường Đại học Su Pham Thành phố Hỗ Chí Minh, vi đã trực tiếp giúp đỡ và giảng day tôi rat nhiều trong quá trình hoc tập Cao học và thực hiện chuyên đẻ này

Tiếp dén, tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu và quý thầy cô trong phòng Sau

đại học của trường Đại học Sư phạm Thanh pho Hỗ Chí Minh, đã tao mọi điều kiện thuận

lợi trong quá trình học Cao học tại trường Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng

nghiệp đã cổ vũ và động viên tôi trong suốt thời gian qua.

Mặc dù đã rất nỗ lực trong suốt quá trình thực hiện chuyên để, nhưng không thể tránh

khỏi một số sự thiểu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp cùng sự chỉ dẫn của quý

thầy cô và các bạn học viên

Lê Minh Huy

Mục lục

Loi cam đoan

Lời cảm ơn

Tóm tắt nội dung

1 Cơ sở của Đại số đường đi Leavitt

2 Cơ sở của Đại số đường đi Leavitt có trong số

Tóm tắt nội dung

Chuyên dé này giới thiệu về cơ sở của Dai số đường di Leavitt có trọng sé.

Bỏ cục của chuyên đẻ được chia thành hai chương:

¢ Chương 1 Cở sở của Đại số đường di Leavitt

Trong chương này, tôi sẽ trình bày vẻ cơ sở của Đại số đường đi Leavitt (là một trường hợp

đặc biệt của Đại số đường di Leavitt có trong sô).

¢ Chương 2 Cở sở của Dai số đường đi Leavitt có trọng số

Trong chương này, tôi sẽ trình bày vẻ cơ sở của Đại số đường đi Leavitt có trọng số và nêu

+ £ + a

một so ví dụ cụ thể.

Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên chuyên dé không thể tránh khỏi những thiểu sót.

Kính mong quý Thay Cô và các bạn đóng góp ý kiến bổ sung để chuyên dé được hoàn chỉnh

hơn.

Chương 1

Cơ sở của Đại số đường đi Leavitt

Đầu tiên, ta nhắc lai về khái niệm của Dai số đường đi Leavitt

Định nghĩa 1.1 (Đại số đường di Leavitt) Cho F là một dé thị và # là trường Một /ý-đại

số L(E) = L{E) sinh bởi tập hợp {n,e,e* |» € E°,e € E!)} và thỏa mãn các mối quan hệ

Gi) ưu = du {u,v € B°),

(ii) s(e}e = e = er(e), r(eje* =e* = c*s(e} {e € EB),

(iii) ng ee} ee’ sv (ve E? ) va

(iv) ef =dpr{e) (ve Ere,f € s7l{v)})

được gọi là dai sé đường di Leavitt của E.

Định nghĩa 1.2 Cho 7? là một dé thi bắt kỳ va là trường Ta đặt (E')” = {e* |e © BY} Đại số đường di Cohn của P với hệ số trong KW, kí hiệu là C/;(), là một K-dai số tự do sinh bởi tập hợp E° U E' U (E')", thỏa mãn các mỗi quan hệ (i), (ii), (iii), va (iv) của dinh

nghĩa l_l.

Nhận xét 1.3 Nói cách khác, €C+⁄(/2) là đại số có cùng phan tử sinh với đại số Lx(E), nhưng không can thỏa mãn mỗi quan hệ (v) Theo mỗi quan hệ (iv), ta có ef = ổ,/ríc)

trong C„(E) với e, ƒ € EB’, dé thấy họ {ee* | e € E'} là tập các lũy đẳng trực giao trong

Sau đây là một tinh chất được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của Dai số này

Mệnh dé 1.4 Cho E là một đồ thi bat kì và K là trường Lay | là ideal của Dai sé đường di

Cohn Cyy(E) sinh bởi tập hợp

v- À_ ee*|ve ne} ;

c€s=1(ø}

Khi đó, ta có đẳng cau K -đại sé

L(E) ¥ Og(E)/I

Nhận xét 1.5 Không giống như Đại số đường di Leavitt, các phan tứ của Cy (/Z) có thể được biểu diễn duy nhất bởi các tổ hợp tuyến tính của các phan tử Aw", với A và v là các đường đi

trong # thỏa man r(À) = r{x).

Mệnh dé 1.6 Cho E là đỗ thị bắt kì và K là trường Khi đó

B= {Àu" |À,u € Path(E).z(A) = r(v}}

là cơ sở của €w(E).

Chứng minh Cho A là K-khéng gian vectơ với cơ sở A Ta xác định một tích song tuyến

tính A theo công thức

ÀiÀjt5 nêu A» = vj, với À2 € Path(E)

(Ait7) (Às1?) = 4 Ài(01)“0; néu vy, = Agui với dị € Path(E)

0 trong trường hợp còn lại.

Để kiểm tra công thức này xác định một cấu trúc K’-dai số trên A ta chỉ cần chứng minh rằng

+ = y, Voix = (ÀitŸ} ((Az»‡) (Agus) và y = ((Ai9Ÿ) (Az»š)) (Àse3) Bang các phép tính

toán, ta có

Ay (ĐI) v3 nêu Ay = v2), và tạ = À¿À#?®$

AA, (x)’ vy nêu Uạ = Ages và Àa = bị;

Ay (0{} (02) 03 nu tạ = Àst2 và tị = Àat1

0 trong các trường hợp còn lai

Mệnh dé 1.7 Đặt go = — `, ,,„ee' Các phan tử q, là các phan tử lũy đẳng trong

Cy{(E) Hơn nữa, q.Ck(E)qu = ñ,„q.K với mỗi cặp v,w € Reg(E).

Chứng minh Bằng các phép tính đơn giản, ta thay rằng {q, | v € Reg(/Z)} là các phan

tử lũy đẳng trong Cx(E) Lay € E® và ƒ e E£L Nếu ƒ ¢ sv) thì e*ƒ = 0 với moi

e € s-'{v) Ngược lại, nêuƒ € s”Ì(+) thì ee’ ƒ = (0 với e # f, trong khi f ƒ“ƒ = ƒ Do đó

ta thấy rằng 3”.„„¡¿„)ee ƒ = wf, và tương tự YO, 1.) fee f", với mọi ƒ € FE) Vì vay

ƒˆq=0=wƒ

với mọi f € FE! và» € Reg(Z) Điều này dẫn đến ¿„Cy(E)4„ = Kq.qx„ = 4K

Định nghĩa 1.8 Cho Z là một dé thị tùy ý và K là một trường tùy ý Gọi X là một tập con bat kỳ của Reg(E) Ta ký hiệu J* là ideal K-dai số của C„(E) được tạo bởi các lũy đẳng

{q, | v € X} Đại số đường di Cohn của # liên kết với X, được ký hiệu là C# (EL), được

định nghĩa là của Ý-đại số thương

Cg(E)/IÈ.

Khi đó

C(E) = C*(E) and Lx (BE) = ChB).

Mệnh đề 1.9 Cho Ƒ2 là một dé thị tùy ý va K là một trường bắt kỳ: Dat X là mét tập con của

Reg(E) Khi đó, một cơ sở K của I* được cho bởi họ dq pt", với € X vad, € Path(E}) sao cho r(Ä) = r{u) = v Vớiu € X, đặt {cŸ cặ } là một phan tử của s`(u) Khi đó

một cơ sở K của CX (E} được cho bởi họ

B" = 8A (Ae, (e8,)"e* |r) = re) =v},

ở đây B= {Xv | r(A) = r(v}} là cơ sở của Cy(E} được cho trong Mệnh đề 1.6

Chứng mình Vì fq = 0 = q„ƒ, các phần tử Agyp*, với € X và A, € Path( 2) với

r{A) = v = ru), sinh ra J*, Để chứng minh rằng chúng là độc lập tuyến tính, giả sử rằng

có một phương trình

SN ko M4 =

trong Œ„(#}, với k,,, € K Thay thể phần bên trái bang một tế hợp tuyến tính của các

đơn thức Av", và sử dụng tính độc lập tuyến tinh của các đơn thức này (Mệnh đẻ 1.6), ta có

hey ye = O với mỌI +, fe

Đặt Ala cơ sở của FŸ vừa được xây dựng Để chứng minh phan thứ hai của mệnh đẻ, ta sẽ chứng minh rằng 4 U 4” là một cơ sở của Cx (FE) R6 ràng mỗi phan tử Av* của cơ sở B của Cx (EZ) có thể được viết đưới dang một tổ hợp tuyến tính của các phan tử trong AUF"

Ngược lại, bat kỳ tổ hợp tuyến tính khác rỗng của các phan tử trong # phải bao gồm một đơn thức dang Ae! (c}} v* với hé số khác không, và do đó nó không thé là một tổ hợp tuyến

tính của các phan tử trong 2“ Điều này dẫn đến ' L! #" là một cơ sở của Cx (E) oO

Vi /.(E)= CR 2), từ mệnh dé 1.9, ta có thể suy ra mệnh dé dưới đây nói về cơ sở của

Đại số đường đi Leavitt

Mệnh đề 1.10 Cho E là một dé thị tùy ý và K là một trường bắt ky Đặt

= {dv |r(A) =r()} là cơ sở của Cy(PB) được cho bai Mệnh dé 1.6 Đối với mỗi đính € Reg(E), đặt {c†, cÿ} là một phan tử của s”`(u) Khi đó, một cơ sở của

Lx( 2) được cho bởi họ

=#\ {des (€5,)" v" | r(A) = r(v) = v € Reg(E) }.

Chương 2

Cơ sở của Đại số đường di Leavitt có

trọng số

Đầu tiên ta nhắc lại về Đại số đường đi Leavitt có trong số

Định nghĩa 2.1 (Đại số đường di Leavitt có trọng số) Cho # là dé thị có trong số và

R là vành có đơn vị, ta định nghĩa Dai số đường di Leavitt có trọng số của #2, kí hiệu

là La(E,w), là đại số sinh bởi các tập hợp {| € E°}, {a+, au(a¡ [+ € E“} và

{aj, +++ Ohya) | œ € B* \ với các hệ số trong vành R, thỏa man các hệ thức

(1) tụ», = ổ„u, với mọi mv, € EB,

(2) sÍn}a; = arla) = a, var(ajat = a†s(œ) = af với mọi a € &* val <1 <= wla)

(3) Với 1 < i,j < max {w{a) | a € B*,s(a) = v}, ta có

2 2{aeE* s{a}=e} aya; = dij8(a)

(4) Lisismax(v(o}e(a')} ae a = Sant {C), với mol éœ, Œc£".

Định nghĩa 2.2 Ta đặt s(+} := 6, rất) := v,s (aj) = sla),r (as) = ra), slat) := rfa)

và ? (at) := s(a) với mọi € E*,a € # và 1 <i < wa) Ta kí hiệu (X) là tập hợp các

từ rỗng trong X := E°U £! U(E!)”.

Một từ p € (X)} được gọi là một đường di mó rộng nêu p = zz¿ z„ với n > I và

#t, ,#„€ BU (E')’ sao cho r(x) = 8 {aia}, 1 1S n— 1 hoặc p = 7 voix; € LE”.

Độ dai |p| của một đường di mở rộng p = z¡ z„ bằng n neun > 1 và zị, In €

E'U (E})” hoặc bằng 0 nêu œ = 1 var, € E°.

Đường đi mở rộng p được gọi là ẩm thường néu |p| = 0 và không tam thường nêu |p| > 1 Ngoài ra, ta có thể đặt s(p) := s (z¡), và r{p} := r (#ạ}.

Dinh nghĩa 2.3 Cho (E +} là một đổ thị có trọng số và tập

X := {t,©,ce7|u€E°¿cee E!,1<¡< u{e)} Kí hiệu (X) là tập hợp tất các từ hữu

han tạo ra bởi các phan tử trong X và (X) := (X) LJ từ rỗng Nếu A, B € (X), ta nói là một f con của A nếu ton tại Œ, j2 € (X) sao cho A = CBD Ta kí hiệu R(X} là vành tự

do sinh bởi X, nghĩa là 7 module tự do trái sinh bởi (X) tạo ra vành # bởi phép toán nhân

(Drew Vs r) (P«e sụw) = >> "y1.

Định nghĩa 2.4 (Phần tử chuẩn tắc của /#(X)) Với đỉnh ø € E®, ta cổ định e° € s !ír)

reg

thỏa mãn w {e") = w{v)} Các cạnh e" (v = EX.) được gọi la cạnh đạc biết Một từ A € (X} được gọi là từ loại J nếu A = at (z)' với € # không phải là đỉnh chìm và

1 < i,j) < wfa*) A được gọi là một từ loại neu A = a{đ; với a, 3 € E*, Một đường

di mở rộng được gọi là chuẩn tac nêu nó không chứa các từ loại I và II Một phan tử thuộc R(X} được gọi là chuẩn tắc néu nó thuộc không gian tuyên tính R(X} của tắt cả các đường

đi mở rộng chuẩn tắc

Định nghĩa 2.5 (Hệ rút gọn) Lay Š là tập hợp gốm các cặp phân tử z = (W, f,), với

W, € (X) và f, € R(X} sao cho tất cả các hệ số của f, năm trong tâm của #† Khi đó $

được gọi là một hệ rút gon R(X) Với mọi + € S và A, BE €X), ta kí hiệu ry, là tự đồng

cau R-médun của /#†{X) đi từ AW,B đến Af,B và giữ nguyên mọi phan tử thuộc (.X} Các

ánh xạ race : R{X) — R(X) được gọi là các nit gọn.

Định nghĩa 2.6 (Phần tử bat khả quy, dãy rút gon kết thúc) Ta nói rút gọn ? „„;; tác động

tam thường lên một phan tử a € R(X) nếu hệ số của AWW,B trong a bằng 0

Ta nói a là bat khả quy (dưới S$) nếu mọi rút gọn là tầm thường trên a (nghĩa là a không chứa

các đơn thức ATV, 8).

Ta kí hiệu R-médun con chứa tat cả các phan tử bắt khả quy trong R{X) là #{X)„„ Một

chuỗi hữu han các rút gọn r;, ,r„ được gọi là kết thúc trên a © REX) nếu r„ r(a) €

REX ue.

Định nghĩa 2.7 Mét phan tử a của R(X) được gọi là rút gon hữu han nêu với mọi diy vô hạn các rút gọn 7.1» r, tác động tim thường lên ?,_¡ z¡(2} với 2 đủ lớn

Nếu « là rút gọn hữu hạn thì bắt kỳ day i dai các rút gọn z,„ sao cho mỗi r, tác động không

tâm thường trên ?,_ r;(a), sẽ là hữu hạn, và do đó cũng là day kết thúc Theo định nghĩa

đó, các phan tử rút gon hữu hạn tạo thành một tập con của R-module kép của R(X).

Ta nói một phan tử ø € REX) là rút gọn duy nhất nêu nó là rút gon hữu han, và mọi ảnh của

nó qua tất cả các đây kết thúc của các rút gọn là giỗng nhau Giá trị chung này sẽ được ký

hiệu là ?s(2).

Bổ đề 2.8.

(i) Tip hợp các phần tử rút gọn duy nhất của R{X) tạo thành một R-médun con, vars là

mot ánh Xa song tuWen tính từ médun con nay vào it X) ig

(ii) Giả sửa,b,e € k{X}, với mọi đơn thức A, B,C với hệ số khác không tương ứng trong

a,b,e, tích ABC là rút gon duy nhất (Tit đó suy ra abe là rút gon duy nhất.) Lay v là

thành phan hữu han bat kỳ của rút gọn duy nhất khi đó œr(b]c là rút gon duy nhất, và

r„(œr(b]c) = r,(abc).

Chứng mình.

(i) Lay a,b € R(X) là các rút gọn duy nhất, và œ € F Khi đó aa + b là rút gon hữu hạn

Cho z là một thành phan bat kỳ của các rút gọn kết thúc trên aa + 6 BGI vì ø là rút gọn

duy nhất, nên tổn tại một thành phan rút gọn 1’ sao cho s’r{a) = r+„(2}, và tồn tại một thành phan rút gọn r” sao cho y”?“z(b) = r„(ð} Vì r(aa + b} là bat khả quy nên ta có

r{aa +b) = r”rfr(aa + b) = or “rfr(œ) + rˆrr(b) = ar;¿(œ) + r;Íb), và do đó ta có

điều phải chứng minh.

(ii) Vì (i) nên ta chỉ cần chứng minh (ii) trong trường hợp a,b, ¢ là các đơn thức A,B,C,

và ? là một rút gọn đơn ?p„; Khi đó, Arp„g()}C = rapxge(ABC), cũng chính là

ảnh của ABC dưới một rút gọn, và do đó cũng sẽ là rút gọn duy nhất vì tích ABC là

rút gon duy nhất.

Định nghĩa 2.9 (Ambiguity, Ambiguity giải được) Bộ năm (0,7, A, B,C) với o.r © €

và A, B,C € (X), sao cho ly = AB và W, = BC được gọi là overlap ambiguity của S.

Bồ ambiguity (z, 7, A, B,C) được gọi là giải được nêu tổn tại các thành phan của rút gon,

r vay’, sao chor(f,C) = r’ (Af,) Tương tự, một bộ năm (ø,z7, A, B,C) với ø # 7 và

A,B,C € 4X) được gọi là một inclusion ambiguity nêu W„ = BAW, = ABC và một

ambiguity được gọi là gidi được nếu Af,C và ƒ„ có thể được rút gọn thành một dạng biểu diễn chung.

Định nghĩa 2.10 (Nửa nhóm có thứ tự một phan liên kết với Š) Với một nửa nhóm có

thứ tự một phan trên {X}, ta định nghĩa thứ tự một phần < sao cho

B<P> ABC < AB'C

với mọi B, BY e (X}, A,C € (X) Ta nói < tương thích với Š nêu với mọi z € Š, ƒ„ là một

tổ hợp tuyến tính của các đơn thức < Wy

Định lí 2.11 Cho < là một nửa nhóm có thứ tự một phan trên (X compatible with S và thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm Khi đó, các điều kiện sau đây tương đương:

(1) Moi ambiguities của S là giải được.

(2) Mọi phan từ của R(X) là rút gon duy nhất dưới S

(3) RLX)¿, là tập hợp các biểu diễn cho các phần tử của vành R(X}/1, với I là ideal của

RX) sinh bởi các phan tửÄW„ — ƒ„(œ € 8).

Với những điều kiện trên, R(X){I có thể được xác định với R-môđun R{(X}„„ tạo thành

một vành với phép todn nhần ab = rs(ab).

Ching minh Dé thay rằng từ giả thiết, bằng quy nạp kết hợp với thứ tự một phan và điều kiên chuỗi giảm <, mọi phan tử của (X} và moi phan tử của RX), là rút gọn hữu hạn

(2) = (3) Để chứng minh (3), ta sẽ chứng minh R{X) = R{X}¿, @ J Giả sử ta có (2), rs

sẽ là một phép chiều của R{X) lên #{X}„„ DE thấy nhân của rs chứa trong 7 bởi vì mọi rút gon bién đổi một phan tử từ một thành phan thuộc J Ngoài ra, rs chứa J vì với mọi A, B, z,

ta có ?; (A(W, — ƒ,) B) = r,(AW_B) — 1, (Af,B) = 0 theo bố dé 2.8 Vay rg = J và ta

có RIX) = RUXSie @ 1.

(3) = (2) Giả rita € R{X) có thể rút gọn thành 6, € R(X)in Khi đó, b— bE REX San

ƒ = {0}, suy rab = È và a là rút gọn duy nhất

(2) = (1) Hiển nhiên theo định nghĩa (1) => (2) Giả sử ta có (1), khi đó mọi ambiguities

của Š là giải được với quan hệ < Bây giờ ta chỉ cân chứng minh tắt cả các đơn thức D € (X)

là rút gon đuy nhất vì các phan tử rút gon duy nhất của R(X) tạo thành một môđun con Ta

có tất cả các đơn thức < D là rút gọn duy nhất Vì vậy miễn của r, chứa tắt cả các môđun

con sinh bởi những đơn thức nay, ker của rs chứa /;; Ta sẽ chứng minh với hai rút gọn bat

kỳ r„.› VAN pray tác động tam thường trên D (và do đó mỗi rút gọn này biến D thành một

tổ hợp tuyến tính các đơn thức < D), ta luôn có rs (r„„a/(D)) = rs (r„;a(Ð))