GIAO AN GIAI TICH 12 BAN CO BAN_ HOC KI 2

- Kỹ năng: Sử dụng thành thạo 2 phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số.. - Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv,năng

Trang 1

- Kỹ năng: Sử dụng thành thạo 2 phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số.

- Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv,năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đờisống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội

- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ

II CHUẨN BỊ

- GV: soạn giáo án đầy đủ kịp thời; chuẩn bị các phiếu học tập; Sách GV, GK, TK

- HS: Xem lại các kiến thức về nguyên hàm; Đọc trước bài tích phân; Sách GK, BT

III THỜI LƯỢNG

- Tiết 49: Giới thiệu phương pháp tính tích phân “ Đổi biến số”

- Tiết 50: Giới thiệu phương pháp tính tích phân “ Tích phân từng phần”

IV TIẾN TRÌNH VÀ NỘI DUNG LÊN LỚP

1 Ổn định lớp (3’)

2 Kiểm tra bài cũ: Em hãy nêu định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân?

3 Bài mới

III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

Hoạt động 4

Cho tích phân I =

1

2 0

(2x1) dx

a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x + 1)2

 và so sánh với kết quả ở câu a.

Định lí 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn

[a;b] Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục

trên đoạn [a;b] và  u x( ) với mọi x[a;b]

sao cho f(x) = g(u(x)).u’(x), g(u) liên tục trên [

Trang 2

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS

Giải: Đặt u = sinx, ta có u’= cosx, du = cosxdx,

sin2xcosxdx = sin2x(sinx)’dx = u2du

Khi x = 0 thì u(0) = 0, khi x =

Định lí 2 “Cho hàm số f(x) liên tục trên

đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm

liên tục trên đoạn [;  ] sao cho () = a; () =

b và a  (t)  b với mọi t thuộc [; ] Khi

Trang 3

2 0

1

.1

11

“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có

đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

Gv giới thiệu cho Hs vd 8, 9 (SGK, trang 110,

111) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu

câu hỏi của GV

01

Trang 4

+ Dặn BTVN: 3, 4, 5, 6 _ SGK, trang 113

Ngày soạn : 31/01/09

(Phương pháp tính tích phân)

I MỤC TIÊU

- Kiến thức: Nắm vững các phương pháp tính tích phân

- Kỹ năng: Sử dụng thành thạo các phương pháp tính tích phân

- Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ

được lợi ích của tốn học trong đời sống, từ đĩ hình thành niềm say mê khoa học

II CHUẨN BỊ

- Gv: Soan giáo án đầy đủ, kịp thời Chuẩn bị phiếu học tập, các bài tập tiêu biểu

- Hs: Ôn lại kiến thức đã học, các ví dụ Làm các bài tập về nhà, các bài tập thêm

III NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:

Tiết : 51

1 Ổn dịnh lớp (3’)

2 Kiểm tra bài cũ: (5’) Nêu phương pháp tính tích phân bằng cách đặt ẩn phụ?

3 Bài m iới

Bài 1 Tính các tích phân sau

2 3

2 1

x x

Trang 5

+ Gọi Hs nhận xét bài giải của từng Hs.

+ Nhận xét, bổ sung và cho điểm + Nhận xét đúng, sai và bổ sung.+ Ghi nhận

Bài 3 Sử dụng phương pháp đổi bién số,

11

6 0

660

IV CỦNG CỐ (3’)

+ Nhắc lại các kiến thức đã áp dụng trong tiết học.

+ Ôn lại phương pháp tích phân từng phần, các ví dụ Làm các bài tập còn lại

Tiết : 52

1 Ổn định lớp (3’)

2 Kiểm tra bài cũ: (5’) Nêu phương pháp tính tích phân từng phần?

3 Bài mới

Bài 4 Tính các tích phân. + Thực hiện

Trang 6

+ Gọi 2 Hs thể hiện câu a) và b).

+ Gọi Hs nhận xét bài giải

+ Nhận xét và cho điểm

1)

13

ln1

1

1ln(1 )

x

x x

+ Gọi 3 Hs thể hiện bài giải

+ Gọi Hs nhận xét lời giải của bạn

+ Bổ sung và cho điểm

1

12

+ Ghi nhận

IV CỦNG CỐ (3’)

Trang 7

+ Nhắc lại các phương pháp tính tích phân, nhận dạng các hàm số để lựa chọn phương pháp tính.+ Ôn lại bài học trước, xem trước bài §3 “ứng dụng của tích phân trong hình học”.

- Kỹ năng: Biết cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành,diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, thể tích của vật thể, thể tích của khối chóp vàkhối chóp cụt, thể tích khối tròn xoay

- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv,năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đờisống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội

II Thời lượng

- Tiết 53: Giới thiệu khái niệm diện tích hình phẳng

- Tiết 54: Giới thiệu khái niệm thể tích, thể tích hình tròn xoay

III Chuẩn bị của thầy và trò

- GV: soạn giáo đầy đủ, chuẩn bị các hình vẽ trong sách giáo khoa

- HS: Ôn lại các kiến thức đã học, đọc trước bài mới

IV Nội dung và tiến trình lên lớp

So sánh với diện tích hình thang vuông trong

hoạt động 1 của bài 2

+ Giới thiệu kiến thức sau:

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ

Trang 8

Hoạt động của Gv Hoạt động của Hs

thị của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b],

trục hồnh, và hai đường thẳng x = a, x = b

được tính theo cơng thức:

S = ( )

b a

f x dx

 (1)+ Gv giới thiệu cho Hs vd 1 (SGK, trang 115) để

Hs hiểu rõ cơng thức vừa nêu

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

+ Gv giới thiệu kiến thức sau

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hai hàm số y = f 1 (x), y = f 2(x) và các đường

thẳng x = a, x = b được tính theo cơng thước:

S = 1( ) 2( )

b a

+ Giải phương trình f1(x) – f2(x) trên đoạn [a; b]

+ Giả sử phương trình cĩ hai nghiệm là c, d

(c<d) Khi đĩ f1(x) – f2(x) khơng đổi dấu trên

các đoạn [a;c], [c; d], [d; b] Trên mỗi đoạn đĩ,

chẳng hạn trên đoạn [a; c] ta cĩ:

+ Gv giới thiệu cho Hs vd 2, 3 (SGK, trang 116,

117) để Hs hiểu rõ cơng thức vừa nêu

-1

1 2 3

x y

Hoạt động 2 : Em hãy nêu lại cơng thức tính

thể tích khối lăng trụ cĩ diện tích đáy bằng B và + thảo luận nhĩm và nhắc lại các cơng thức

Trang 9

Hoạt động của Gv Hoạt động của Hs

chiều cao h?

1 Thể tích của vật thể:

Người ta chứng minh được rằng thể tích V

của vật thể V giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q)

được tính bởi cơng thức

V = ( )

b a

S x dx

Gv giới thiệu cho Hs vd 4 (SGK, trang 118) để

2 Thể tích khối chĩp và khối chĩp cụt:

Bằng phép tính tích phân, ta tính được:

+ Thể tích khối chĩp: V = 1

3B h (B: diện tích đáy, h: chiều cao khối chĩp)

+ Khối chĩp cụt: V = 1 ' '

3 B BB B h(B: diện tích đáy lớn, B’: diện tích đáy nhỏ, h: chiều

cao khối chĩp cụt)

III THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY

Hoạt động 3 : Em hãy nhắc lại khái niệm mặt

trịn xoay và khối trịn xoay trong hình học

Gv nêu bài tốn (SGK, trang 120), từ đĩ đi đến

cơng thức tính thể tích khối trịn xoay:

Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng

giới hạn bởi các đường: y = f(x), trục Ox,

x = a và x = b quay quanh trục Ox được xác

định bởi cơng thức:

V = 2( )

b a

f x dx

Gv giới thiệu cho Hs vd 5, 6 (SGK, trang 118) để

O

V Củng cố

+ Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức

+ Dặn BTVN: 4,5 SGK, trang 121

Trang 10

“ Ứng dụng của tích phân trong hình học”

- Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ

được lợi ích của tốn học trong đời sống, từ đĩ hình thành niềm say mê khoa học

II CHUẨN BỊ

- Gv: Soan giáo án đầy đủ, kịp thời Chuẩn bị phiếu học tập, các bài tập tiêu biểu

- Hs: Ôn lại kiến thức đã học, các ví dụ Làm các bài tập về nhà, các bài tập thêm

1 Ổn dịnh lớp (3’).

2 Kiểm tra bài cũ: (5’) Nêu các công thức tính diện tích hình phẳng và thể tích

hình tròn xoay?

3 Bài m iới

Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới

6

2 3

Bài 2 Tính diện tích hình phẳng giới + Thể hiện.

Trang 11

hạn bởi đường cong y = x2 + 1, tiếp

tuyến của nó tại điểm M(2 ;5) và trục

Oy

+ Nhận xét, bổ sung và cho điểm

Phương trình tiếp tuyến là : y = 4x - 3

Bài 3 Parabol 1 2

2

y x chia hình tròn

có tâm tại gốc toạ độ, bán kính 2 2

thành hai phần Tính tỉ số diện tích của

2

1 2

quay tam giác đó xung quanh trục Ox

3

03cos

3

2

3 1

13

)3

+ Nhắc lại các kiến thức đã sử dụng trong bài

+ Nhắc Hs làm bài tập về nhà phần ôn tập chương III ( Số 1 - 7 trang 126-127)

Trang 12

I MỤC TIÊU

- Kiến thức cơ bản:

1 Định nghĩa nguyên hàm Bảng nguyên hàm Phương pháp tính nguyên hàm.

2 Định nghĩa tích phân Tính chất và phương pháp tính tích phân.

3 Ứng dụng của tích phân trong hình học : Tính diện tích, tính thể tích.

- Kỹ năng:

1 Thuần thục trong việc tính nguyên hàm, tính tích phân.

2 Aùp dụng thành thạo việc tính diện tích, thể tích bằng công cụ tích phân.

- Gv: Soan giáo án đầy đủ, kịp thời Chuẩn bị phiếu học tập, các bài tập tiêu biểu.

- Hs: Ôn lại kiến thức đã học, các ví dụ Làm các bài tập về nhà, các bài tập thêm.

1 Ổn dịnh lớp (3’).

2 Kiểm tra bài cũ: (5’): Nêu các PP tính nguyên hàm và bảng các nguyên hàm?

3 Bài m iới

Bài 3 Tìm nguyên hàm

3 2

+ Gọi Hs đứng dậy nhận xét

Trang 13

 

2

1) (2 )sin ; ) x ;

+ Gọi 4 Hs lên bảng thể hiện

+ Ghi nhận

IV Củng cố: (2’)

+ Gv nhắc lại các kiến thức đã sử dụng trong bài đđể Hs khắc sâu kiến thức

+ Dặn Btvn: Làm các bài tập còn lại ( Bài 6, bài 7 trang 127)

Trang 14

Bài 6 Tính

1 2

b) Quay hình D xung quanh trục Ox

Tính thể tích khối tròn xoay được

tạo bởi

2 2

+ Dặn Btvn: Làm các bài tập còn lại của chương 3 và các bài tập trong SBT; Ôn lại toànbộ các kiến thức đã học trong chương 3

Trang 16

- Tö duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II CHUẨN BỊ

1 GV: Soạn Giáo án, SGK, Phiếu học tập, …

2 HS: Ôn lại kiến thức cũ, Xem trước kiến thức mới, SGK, …

III NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP

1 Ổn định lớp(2’)

2 Kiểm tra bài cũ: Nêu các bước biện luận pt bậc hai ax2 + bx + c = 0

3 N i dung bài m iội dung bài mới ới

+ Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó, a, b

thuộc R, i 2 = - 1 được gọi là một số phức.

+ Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần

Em hãy tìm phần thực và phần ảo của các số phức

trong ví dụ 1 vừa nêu và của các số phức sau: -3 + 5i,

4 - i 2, 0 + i, 1 + 0i

+ Tập trung theo dõi, nhận kiến thức chủđộng theo sự hưỡng dẫn của Gv

+ Nhận kiến thức chủ động theo sự Hdcủa Gv

+ Tập trung theo dõi và trả lời các câuhỏi của Gv

+ Thực hiện : Phần thực : -3; 4 ; 0 ; 1

Phần ảo : 5 ; - 2; ; 0

Trang 17

Hoạt đñộng của Gv Hoạt đñộng của Hs

3 Hai số phức bằng nhau:

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực

và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK, trang 131) để Hs

hiểu rõ khái niệm vừa nêu

+ Phần thực bằng - 1, phần ảo bằng  3

+ Phần thực bằng - 1, phần ảo bằng 3

4 Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi điểm M(a; b) trong một hệ toạ độ vuông góc

của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức :

z = a + bi.

Gv giới thiệu cho Hs vd 3 (SGK, trang 131) để Hs

hiểu rõ khái niệm vừa nêu

Hoạt động 3 :

a/ Em hãy biểu diễn trên mp toạ độ các số phức sau:

3 – 2i, - 4i, 3

b/ Các điểm biểu diễn số thực, số thuần ảo nằm ở

đâu trên mp toạ độ?

+ Nhận kiến thức chủ động theo sự Hdcủa Gv

+ Thực hiện:

12

32

 i ; 1 + 3i ; -1  3i ;-1 + 3i

+ Tập trung theo dõi, nhận kiến thức chủđộng theo sự hưỡng dẫn của Gv

+ Thực hiện:

Biểu diễn số phức z = 3 – 2i, z = - 4i,

z = 3 là các điểm: A = ( 3; -2) ; B( 0; -4);C( 3; 0)

Các điểm biểu diễn số thực có dạngM=(a; 0) nên chúng nằm trên trục Ox,các điểm biểu diến số thuần ảo có dạngN=(0; b) nên chúng nằm trên trục Oy

y

xO

b

aM

Trang 18

5 Môđun của số phức:

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm

M(a; b) Khi đó, độ dài của vector OM

Qua hoạt động trên, ta thấy các cặp số phức: 2 + 3i

và 2 – 3i; - 2 + 3i và -2 – 3i được biểu diễn bởi những

điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.

Định nghĩa:

Cho số phức z = a + bi Ta gọi số phức a – bi là số

phức liên hợp của số phức z, ký hiệu là : z = a - bi.

Ví dụ 5 : z = - 3 + 2i và z= - 3 – 2i ; z = 4 – 3i và

4 + 3i là những số phức liên hợp

Hoạt động 6 :

Cho z = 3 – 2i Em hãy:

a/ Tính z và z Hãy biểu diễn z và z lên mp toạ độ

+ Thực hiện:

a/ z  3 2 ; i z 3 2i  z = z.b/ z  3222  13;

z  32 ( 2)2  13  |z| = |z|

3

-3

2-2

M

M’

N

N’

Trang 19

“Số phức”

I MỤC TIÊU

- Kiến thức cơ bản: Hiểu được số i, số phức, phần thực, phần ảo, mơđun, số phức liên hợp

- Kỹ năng: Biết cách biểu diễn hình học của số phức, tính được mơđun của số phức, Biết cáchtìm số phức liên hợp, tìm được ĐK để hai số phức bằng nhau

- Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv,năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của tốn học

II CHUẨN BỊ

2 HS: Ơn lại kiến thức cũ, làm các bài tập trong SGK, SGK, …

3 Ổn định lớp(2’)

4 Kiểm tra bài cũ: Lấy một số phức, biểu diễn hình học số phức đĩ, tìm số phức liên hợp cảunĩ? Giải phương trình: x2 - x + 1 = 0

5 N i dung bài m iội dung bài mới ới

Bài 1 Tìm phần thực và phần ảo của các số

d) z7i  a = 0 , b = -7

+ Nhận xét đúng sai+ Ghi nhận

Bài 2 Tìm các số thực x và y, biết :

a) (3x-2) + (2y+1)i = (x+1) - (y-5)i ;

b) (1-2x) - i 3 = 5 + (1-3y)i ;

c) (2x+y) + (2y-x) = (x-2y+3) +(y+2x+1)i

+ Gọi 1 Hs lên bảng trình bày

Bài 3 Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp

điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều

kiện :

+ Thực hiện : Các điểm biểu diễn số phức z được xác địnhtrên các hình sau :

Trang 20

a) Phần thực của z bằng - 2 ;

b) Phần ảo của z bằng 3 ;

c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2);

d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1 ; 3] ;

e) Phần thực và phần ảo của z thuộc

cả hai đường thẳng đĩ ;e) Nằm giữa bốn đường thẳng : x = - 2 , x = 2 ,

y = -2 , y = 2 , đĩ là hình vuơng tâm O cạnh 4.+ Nhận xét đúng sai

Bài 5 Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp

điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều

O, bán kính bằng 2 và nằm ngồi hình trịn tâm O,bán kính bằng 1 ;

d) Tập hợp cần tìm là giao của đường trịn (O ; 1)

và đường thẳng y = 1, đĩ là điểm : M = ( 0 ; 1 ).+ Nhận xét đúng sai

IV CỦNG CỐ

+ Dặn Btvn: Làm các bài tập còn lại và các bài tập trong SBT Chuẩn bị bài mới:

“Cộng , trừ và nhân các số phức”

Trang 21

SỐ PHỨC

I MỤC TIÊU

- Kiến thức cơ bản: khái niệm phép cộng, trừ, và nhân hai số phức

- Kỹ năng: Biết cách tính cộng, trừ, và nhân hai số phức

- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv,năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới

II CHUẨN BỊ

4 HS: Ơn lại kiến thức cũ, Xem trước kiến thức mới, SGK, …

4 Ổn định lớp

5 Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghĩa số phức, số phức liên hợp?

6 N i dung bài m i:ội dung bài mới ới

1 Phép cộng và phép trừ

Hoạt động 1

Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (xem i là biến),

hãy thu gọn các biểu thức sau:

a/ A = (3 + 2i) + (5 + 8i)

b/ B = (7 + 5i) – (4 + 3i)

Qua hoạt động trên ta thấy, phép cộng và

phép trừ hai số phức được thực hiện theo

quy tắc cộng, trừ đa thức.

Hs hiểu rõ khái niệm vừa nêu

Theo quy tắc nhân đa thức (xem i là biến), hãy

tính biểu thức sau: (chú ý: i2 = - 1): (3 + 2i).(2 + 3i)

Qua hoạt động trên ta thấy, phép nhân

hai số phức được thực hiện theo quy tăc

nhân đa thức, sau đĩ thay i 2 = - 1 trong kết

quả nhận được.

+ Thể hiện:

a/ A = (3 + 2i) + (5 + 8i)

= ( 3 + 5 ) + ( 2 + 8 )i = 8 + 10i ; b/ B = (7 + 5i) – (4 + 3i)

Trang 22

Hoạt đđộng của Gv Hoạt đđộng của Hs

Hs hiểu rõ khái niệm vừa nêu

- Kiến thức cơ bản: Nắm vững các khái niệm phép cộng, trừ, và nhân hai số phức

- Kỹ năng: Biết và thành thạo các phép cộng, trừ và nhân hai số phức

- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv,năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới

II CHUẨN BỊ

2 HS: Ơn lại kiến thức cũ, Xem trước kiến thức mới, SGK, …

1 Ổn định lớp

2 Kiểm tra bài cũ: Nêu cơng thức các phép cơng trừ và nhân hai số phức?

3 N i dung bài m i:ội dung bài mới ới

Bài 1 Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 - 5i) + (2 + 4i); b) (-2-3i) + (-1 - 7i);

c) (4 + 3i) - (5 - 7i); d) (2-3i) - (5 - 4i)

+ Gọi Hs thể hiện lên bảng

+ Thể hiệna) (3 - 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + ( -5 + 4)i = 5 - i b) (-2 - 3i) + (-1 - 7i) = (-2 - 1) + (-3 - 7)i = - 3 - 10i;c) (4 + 3i) - (5 - 7i) = (4 - 5) + (3 + 7)i = -1 + 10i;d) (2-3i) - (5 - 4i) = (2 - 5) + (-3 + 4)i = -3 + i

Trang 23

c)    - 2i ,    12 i;

d)    19 - 2 i ,    11 + 2 i + Nhận xét đúng, sai

+ Ghi nhận

Bài 3 Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 - 2i)(2 - 3i); b) (-1 + i)(3 + 7i);

d) ( -2 - 5i).4i = (0 + 20) + (- 8 + 0)i = 20 - 8i + Nhận xét đúng, sai

b) (2 + 3i)3 = 8 + 3.4.3i + 3.2.(3i)2 + (3i)3

= 8 + 36i - 54 - 27i = - 46 + 9i.(2 + 3i)3 = (2 + 3i)2(2 + 3i) = (-5 + 12i)(2 + 3i)

= (- 10 - 36) + (-15 + 24)i = - 46 + 9i + Nhận xét đúng, sai

Tiêu đề	Giao án Giải Tích 12 Cơ Bản - Học Kì 2
Người hướng dẫn	P. Nguyễn Văn A
Trường học	Trường THPT Đô lơng
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo án bài giảng
Năm xuất bản	2008-2009
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	1,86 MB