Sáng kiến kinh nghiệm bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân Ở trường phổ thông phần 2

Bồi dưỡng tr dup sảng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phỗ thông « Đây là sảng kiến kinh nghiêm đã được sở giáo dục đào tạo Hà Nội xếp loại B năm 2013 xin gửi tăng failieu.

Trang 1

Bồi dưỡng tr dup) sảng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phỗ thông

« Đây là sảng kiến kinh nghiêm đã được sở giáo dục đào tạo Hà Nội xếp loại B năm 2013 xin

gửi tăng failieu.vu”

Cho hàm số y =f(x) xác định trên (a.b) và có đạo hảm trên (a,b)

Kí hiệu d(f(x)) được gọi là vi phân của hàm số Ẩ(X) tại x

Và 4(7())= ƒ(@)4()

Bạch thị Thu Trang THPT Mi ite A @ iit “a

Trang 2

5)Dinh nghia tich phan

Cho hảm số y =f(x) lién tuc trén [a,5] Gia sir F(x) 14 mat nguyén ham của f(x)

trén[a,b] Hiéu sé F(b)- F(a) duoc gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác

định trên [a.b] của hàm số f (x), kỉ hiệu là [/@&

Ta cn ding ki higu F(x)

= F(b)- F(a)

Ta con goi f là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới

dấu tích phân va f(x) là hàm dưới dấu tích phân

6) Phương pháp đổi biến số

Định lí : Cho hàm số f(x) liên tục trên [đ;b]

Giả sử hàm số x= ø() có đạo hàm liên tục trên đoạn [z,Ø] sao cho

ø(a)=a.ø(Ø)=b và a< ø()<b với mọi t thuộc [ø,/]

Trang 3

Bồi dưỡng tư duy sảng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phan sau

hợp của f(x) lam u(x) va phan con lai dv = v (x)dx

2 Thue trang thuc té khi chua thực hién SKKN va giải pháp mới

Khao sát thực tế: Cho học sinh lớp 12A10 gồm 40 học sinh làm một đề gồm 3

câu hỏi trong thời gian 45 phút

Trang 4

- Các em hầu hết làm được câu 1 Tuy nhiên câu 2,3 chỉ có một số học sinh giải

được nhưng chưa thực sự trọn vẹn Một số học sinh thực hiện việc đổi biến ở câu 2

nhưng quên không đổi cân Một số học sinh còn chưa nắm vững công thức tích

phân từng phần Các em rất muốn có những lời khuyên đề tiếp cận được các các bài

tập trên

* Giải pháp mới: Tôi đưa ra 6 bài toán trong đó

1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh năm được

bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó

~ Đưa ra các ví du, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí

~ 8o sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống va

khác nhau giữa chủng,

- Chỉ ra các sai lầm mả học sinh dễ mắc phải

2 Rèn luyện cho học sinh yề mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

~ Thao tác tư duy: phân tích, so sánh,

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phủ hợp để giải quyết vẫn đề

- Phương pháp: phương pháp giải toán

3 Đổi mới phương pháp dạy học ( lay hoc sinh làm trung tâm )

- Sử dụng phương pháp dạy học phủ hợp với hoản cảnh thực tế

~ Tạo hứng thú, đam mê yêu thích môn học cho học sinh

Bach thi Thu Trang THPT Mi Dite A site “a

Trang 5

# Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phủ hợp với

từng loại đối tượng học sinh, Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập

5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản

- Phan dang bai tập và phương pháp giải

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập tổng quát, hoặc cụ thế hóa bài toán đó

~ Sau mỗi lời giải cần có nhân xét, củng cô và phát triển bài toán, suy ra kết

quả, bài toán mới Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sang tao

- Tuy nhién sử dung cách 1 ở một số bài tập có nhiễu wu điểm

+Không cân thực hiện các phép đổi cận không can thiết

+ Cách làm khá ngắn gọn, đơn giản, không mắt nhiều thời gian

Trang 6

- Ở cách 2 biển đổi dài hơn nhưng một sô bài tập tích phân phức tạp và công

kênh thì phương pháp đôi biên là sự lựa chọn thích hợp đề trảnh nhầm lân

~ Trong khi giảng dạy giáo viên nên định hướng cho học sinh làm bài tập bằng

nhiều cách, vừa có mục đích khắc sâu, cũng cỗ kiến thức, qua đó các em có thể

chọn cho mình cách giải thích hợp, tối ưu nhất cho mỗi dạng bài tập đồng thời

phát triển tư duy sảng tạo cho các em

- Trong quả trình học, một phương án được gọi là phát triển tư duy nếu các bài

tập giải xong dé tao nên các bài tập khác Giáo viên làm mẫu trước sau đó

Khi giải bài tập này ta làm như sau

ix te t+t2xe”, EEE — dx(l+2e)+e`, Se (nh VÔ Sóc —

Sau đó tiệp tục làm 7 trên

Trang 7

Bồi dưỡng trr duy sảng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông

Vậy ta có bài tập mới

3)Tinh tich phân le +e" ae (Bap s6 1-4in!

“Tương tự ta có thể sáng tạo một loạt các bai đụ sau

1.2) Tinh tich phan

Trang 8

afi đ(xsinx + cosx)

5 xcosxdy 5 d(xsinx + cosx

(feos _ = (elaine 008) teen obs

% xsinx+cosx “2 xsinx+cosx

Theo khao sat ở phần trước, theo phương pháp truyền thống thông thường

nếu học sinh làm xong bài toán Ƒ BA

h xsinx+ COSX giáo viên dừng lại ngay Sẽ không có định hướng để các em tiếp tục phát triển

tư duy, chính vì vậy không có nhiều em giải chính xác bài toán thi đại học A-

2011, nhưng nếu người thầy sử dụng theo phương pháp mới đưa ra các b:

toán tương tự và liên hệ chúng với nhau nhờ đó học sinh có thể dễ dàng giải

được các bài toán tưởng chừng khá phức tạp.Từ đó giúp tư duy của các em

linh hoạt hơn.Các em giải khá nhanh bài tập này

©) fi XSINX + COS + XOOSX y _

a fi xsin’ x-+sinxyeosx+xcosx 4, _ pj sinx(vsin.x + c0s.x) + x05 5

I: XSIN.X +COSX h SS aie nu xsinx+ COSx

Trang 9

Trang 10

=Ê(+3sin'x)'lý = 30+34n)s) | = 3

©)

Cach I:

tự a+ 4sin® x Cy [-sin'x+4sin'x Vi+3sin?x

[ Aeos” x + 4sin” x 41+ 3sin°x

Dit t= 1+3sin’x = oe sinaxde

Va’ cos’ x+b* sin’ x

Ta dat t = a’cos’x+ b’sin’x

Trang 11

- - = sinx(A+B) +cosx(B —A) Bước 2 Đồng nhât hệ sô ta được

sin x + ] là ham số doi voi sinx

nitro” professional

Trang 12

Vậy ta có SEN làm như sau:

Trang 13

*) Voi ( 1+cosx) =sinx

Dat 1+ cosx = t > dr=—sin xd

Trang 14

Dat (1+ 2e')= 19 dr=2e'de ere = 4

Đổi cân: x=05153, x=l=/=l+2e

bx (1+ 2e")+e" px te" +2x'e

Hay [Gee tet a PE tert eet

Trang 15

Tinh tich phan: [(1+—<S* _jae= [de +) SOS

7 x.SINX + cosx 5 ý X.SH1X + CO8 Ti

Hay i stinx+ Inet] 9 yg ~S+m24

Vậy trong trường hợp tổng quát ta có

+ Đi cận và tính tích phân theo t

Biểu thức ƒ(x) có thể có hoặc không có thành phần k.f(x) ở trường hop này

k=0

Bach thi Thu Trang THPT Mi Duc A crete wi with:

nitro’ * professional

Trang 16

Đài toán 4:Tính tích phân:

- Đặt L= sinx (ưu tiên mũ chẵn)

- Doi cận và tính tích phân theo t

Trang 17

- Dat t= cosx ( ưu tiên mũ chăn)

- Đôi cận và tính tích phân theo t

- Đặt t= cosx(nêu k>n), t= sinx (k < n) ( ưu tiên mũ lớn hơn)

- Đôi cận và tính tích phân theo t

Trang 18

sin? 2x(cos2x+ Ide =

“igja-ses4 cos 2vde+ ¡j4 ~—eos4x)đk =

= fooszde foosancosande l6) T6} + far feos ance = 16)" 164

Trang 19

Đặt t =tanx= đ/ =

cos” x

Đôi cận

Đôi cân: x=—==43.x=—==-~ 3 Vieng vã

=f : Tdw= Jea +t )dv= rare fra (5

- Doi cin va tinh tich phan theo t

án trong đề thi đại học sử dụng các quy tắc trên:

Trang 20

fain” xcos”" xảy ( trong đó k =1, n=0)

apf of! pale

Trang 21

Trang 22

Bình luận: Thông qua bài toán 4 thấy rằng sau khi giải xong bài tập , việc hệ thống

lại các dang tổng quát của bài tập đó là việc vô củng cần thiết điều đó làm học sinh

khắc sâu kiến thức và giải được một loạt các bài tập tương tự, giúp các em hứng thủ

và say mê hơn trong việc sáng tạo các bài tập mới, góp phần phát triển tư duy cho

Đây là tích phân của biểu thức có đằng thời sự xuất hiện của hàm sinx và cosx,

ta can biểu diễn sinx và cosx theo một an phụ nào đỏ, chỉ có thể là tan

Trang 23

2sin x+3€osx 2sinx+3cosx

= [eZee tien 40 ha Sco) 5,

Nhân xét: Trong bài tập trên ta tách

2sinx+l6cosx _ 2(2cosx~3sinx)+ 4(2sinx + 3cosx)

Vay làm thê nào đề có thé tách ra như vậy, hệ sô 2 và 4 tìm như thê nào?

Ta có (2cosx-3sinx)= (2sinx+3cosx)`

Phương pháp

Tach 2sinx+l6cosx =A(2cosx — 3sinx) + B(2sinx + 3cosx)

Hay 2sinx + lố cosx =(B — 3A)sinx + (2A + 3B)cosx

nitro" professional

Trang 24

-Tinh đạo hàm của mẫu số

( 5sinx + 3cosx) = 5cos x -3 sinx

Lới cách làm nhự trên ta có thể tạo ra vô sô các bài tập tích phân mới với kết

mud ra so đẹp Giáo viên có thê định hưởng cho các em học sinh thực hiện các

em sẽ rất hứng thú và say mê tìm tòi hơn, giúp các em phát triên tư duy, kết quả

học tap sé tot hon rất nhiễu

Ta có các bài toán tương tự sau: Tỉnh tích phân

Trang 25

5.4) Tính tích phân: [° 3 3sinx+ Scosx +24,

“Tương tự cách làm của bài tập 5.3 ta có phương pháp tổng quát để làm dạng toán

trên như sau:

Tông quát:Tính tích phân

Me sinx+ncosx+k

5 asinx+b€O§x+e

Buse 1: Dua msinx + ncosx + k =

A(asinx + bcosx + e )` +B(asinx + beosx +c) + C

-Tinh dao ham của mẫu số

( Ssinx + 3cosx) = Scos x -3 sinx

- Lay A, B, C la 2 sé bat ki, vi du A=1, B =5, C=5

Tử số = (5eos x -3 sinx) + 5(5sinx + 3cosx+2 )+5

22 sinx+20cosx+5 Vay ta co bài tập tích phân mới

Tinh tich phan:

nitro’? professional

T3, + co 2

dv thành tổng 3 tích phân mới

Trang 26

1)Trên là bài tập tích phân khá đơn giản tuy nhiên khi day đến bài tập này ta

không nên đừng lại ở đó, giáo viên nên hướng dẫn các em xây dựng hệ thông bài

tập mới trên hệ thông bài tập cơ bản, sau đó nâng thành dang tổng quát, xây dựng

hệ thông các bài tập tương tự tạo cơ hội cho học sinh phát triên năng lực sảng tạo

của mình

Cách sáng tạo bài tập mới:

iên đổi bài toán ban đầu

Thay t bang các hàm số của biển x để tạo các bài tập mới

Trang 27

kệ: Đặt t= cos x từ đó suy ra dt = dcosx = -sinx dx

Đổi cận cosx Sx=Ã,eosx=l=s x=0

Trang 28

Trang 29

*) Bằng cách làm hoàn toàn tương tự ta có bài toán:

A at ee

2) Tính tích phân eres

*) Xét bai toan (DH—B 2012)

(dai hoc An Ninh -1999)

Tĩnh tích phân J_ ta yet

Đặt L=2 + Inx thi dt =d Inx = 'Š x

t= 2 thì ln x =0 từ đó x =1

t= 3thi In x =l từ đó x= e

Inxdt x(2+Inx)

'Ta có bài tap

1) Tinh tích phân: ƒ —!"*#* _ ( Đại học khối B -2010)

Ì x0+mÐ)

*) Dai hoc khéi B -2010 ngoài cách làm trên ta còn có cách làm khác như sau

+) Phương pháp đưa vào vi phân:

i

3 dQ+inx) Hi 2dQ+Inx) _ 2] d(2+Inx)

=In3-In2- 22+)" = 13

+) Phuong phap tich ile từng phần:

Bach thi Thu Trang THPT Mi Dite A site “a

Trang 30

Ta thường tru tiên u theo thứ tự sau: Nhất log, nhi da, tam lượng, tứ mũi

Giải thích: log( hàm loga)

Ta có trong dấu tích phân có hàm đa thức vả hàm số mũ, vậy đặt u = x-2, dv=e"*dx

*) Nếu ta đặt t =sinx +2 khi đó

Trang 31

Có bài toán mới sau

2) Tính tích phân J a ( Đại học Bách Khoa Hà Nội 1995)

Trang 32

t= Vav+b +c hoaic t=VJax+b

Đăng phương pháp như trên ta có thể giải các bai tập sau:

Trang 33

Trang 34

*Vay ở cẩu ab khi gặp tích phân của các hàm ẩa thức f(x) ma mau số có bậc lớn

hơn bậc ở tử số mà mâu là phương trình bac 2 : ax’ +bx +¢ cd 2 nghiệm xị, x; ta

Từ đó tách tích phân phức tạp trở thành tổng của hai tích phân đơn gián

*) ở câu e ta tách thành tông các tích phân mới

"`

(ext dy ex+d (ex+d}

*) Ở câu d nếu mẫu không phân tích được thành nhân từ hay nói cách khác phương

trình œŠ +bx +e =0 có A<0 thì phân tích ax’ +bx +c = al (x-x,)? + m° |

Dét x- x, = mtant sau đó sử dụng phương pháp đôi biến số

*) Ở câu e và ƒ nếu f{x) là đa thức có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu

thì ta phải sử dụng phương pháp chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số đề từ tích

phân phức tạp chia thành các tích phân đơn giản hơn

Cách sảng tạo ra các bài tập tích phân phức tạp thực ra chỉ là tông các tích phân

đơn giản, giáo viên cũng có thê tự mình tạo ra các bài tập mới nhằm tạo nên cho

bản thân mình các tài liêu phong phú hơn

Vậy việc dạy và học toán không nên chỉ dừng lại ở việc giải bài tập sau đó gấp

sách lại ta nên xem xét lật đi lật lại bài toán xem có còn cách nao dé giải bài tập

nào khác không, bài tập này có liên hệ với các bài tập khác không?

Nếu giáo viên giúp cho học sinh thường xuyên luyện tập các kĩ năng như vậu

các em học sinh sẽ cảm nhận môn toản không còn khó và khô khan nữa, các em sẽ

thấy hứng thủ hơn khi học môn toán rất nhiễu

Bạch thị Thu Trang THPT Mi Bite A @ iit “a

Tiêu đề	Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông
Tác giả	Bạch Thị Thu Trang
Trường học	Trường THPT Mỹ Đình A
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2013
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	1,56 MB