ly thuyet & cac dang bai tap trong kgian

Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa2  .. Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa2.. Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB:  M là trung điểm của đoạn thẳng AB... Xác đ

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Trong không gian Oxyz cho: A x ; y ;z ,B x ; y ;z và A A A  B B B

 1 2 3  1 2 3

a a ;a ;a , b b ;b ;b

Khi đó:

 B A B A B A

1 AB   x  x ; y  y ;z  z

 B A2  B A2  B A2

2 AB  x  x  y  y  z  z

 1 1 2 2 3 3

3) a b   a b ;a b ;a b 4 k.a  ka ;ka ;ka1 2 3

5 a  a a a 6 a   b a1b ;a1 2 b ;a2 3 b3

a

9 a   b a.b 0   a b a b a b 0 2 3 3 1 1 2

 

11) a, b,c   đồng phẳng  m,n: a mb nc   hay a, b c 0  

  

12) a, b,c   không đồng phẳng  m,n: a mb nc   hay a, b c 0  

  

13 M chia đoạn AB theo tỉ số xA kxB yA kyB zA kzB

Đặc biệt: M là trung điểm AB: xA xB yA yB zA zB

14 G là trọng tâm tam giác ABC: xA xB xC yA yB yC zA zB zC

15 G là trọng tâm tứ diện ABCD: xA xB xC xD yA yB yC yD zA zB zC zD

16 Véctơ đơn vị: i (1;0;0); j (0;1;0);k (0;0;1)  

17 Điểm trên các trục tọa độ: M(x;0;0) Ox; N(0; y;0) Oy;K(0;0;z) Oz  

18 Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: M(x; y;0)Oxy ; N(0; y;z) Oyz ;K(x;0;z) Oxz

19 Diện tích tam giác ABC: ABC

1

2

 

20 Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD AB, AC

 

21 Thể tích khối tứ diện ABCD: ABCD

1

  

22 Thể tích khối hộp ABCD.A 'B'C'D' : VABCD.A ' B 'C ' D ' AB, AD AA '

  

2 CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác.

 A,B,C là ba đỉnh tam giác  AB, AC 

không cùng phương hay AB, AC  0

 G x ; y ;z là trọng tâm tam giác ABC thì: G G G

Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa

2

 

Suy ra diện tích của hình bình hành ABCD là: SABCD AB, AC

 

 Đường cao: 2.S ABC

AH

BC





Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

 Chứng minh A, B, C không thẳng hàng

 ABCD là hình bình hành  AB DC

 

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

 AB;AC;AD   không đồng phẳng hay AB;AC AD 0  

  

 G x ; y ;z là trọng tâm tứ diện ABCD thì: G G G

 Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD 1 AB;AC AD

  

Đường cao AH của tứ diện ABCD: BCD

BCD

 Thể tích hình hộp: VABCD.A ' B'C ' D ' AB;AD AA '

  

MẶT CẦU

1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Ph ương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R :

S I;R : x a  y b  z c R 1

Trong không gian Oxyz phương trình 2 2 2

x y z 2Ax 2By 2Cz D 0    là phương trình mặt cầu khi: A2B2C2 D 0 Khi đó mặt cầu có:

Tâm I A; B; C   

Bán kính R A2B2C2 D

2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S : x a  2y b 2z c 2 R2 và mặt phẳng   : Ax By Cz D 0   

Tính: d d I;  Aa Bb Cc D2 2 2

  

  Khi đó, nếu:

 d R : mặt cầu (S) và mặt phẳng   không có điểm chung

 d R : mặt phẳng   tiếp xúc mặt cầu (S) tại H

- Điểm H được gọi là tiếp điểm

- Mặt phẳng   được gọi là tiếp diện

 d R : mặt phẳng   cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn

Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng  ) :

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(): ta có ud n

 

 Tọa độ H là giao điểm của (d) và ()

Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng:

 Tọa độ H là giao điểm của (d) và ().

 Bán kính r R2 d2 với d IH d I;   

3 Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

 

z z a t







  



và S : x a  2y b 2z c 2 R2  2

 Thay phương trình tham số (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t

 Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm

2 CÁC DẠNG TOÁN

Vấn đề 1: Viết phương trình mặt cầu:

Dạng 1: Biết trước tâm I a;b;c và bán kính R: 

Phương trình: S I;R : x a    2y b 2z c 2 R2

Nếu mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A thì bán kính R IA

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB

 Tâm I là trung điểm AB

2

 Phương trình S I;R : x a    2y b 2z c 2 R2

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng   :

 Tâm I là trung điểm AB

 Bán kính R d I;  Aa Bb Cc D2 2 2

  

 Phương trình S I;R : x a    2y b 2z c 2 R2

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

 Giả sử mặt cầu (S) có dạng: x2y2z22ax 2by 2cz d 0     2

 Thế tọa độ của điểm A, B, C, D vào phương trình (2)

 Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d

 Viết phương trình mặt cầu

Dạng 5: Mặt cầu đi qua A, B, C và tâm I  : Ax By Cz D 0    :

 Giả sử mặt cầu (S) có dạng: x2y2z22ax 2by 2cz d 0     2

 Thế tọa độ của điểm A, B, C vào phương trình (2)

 I a;b;c      Aa Bb Cc D 0   

 Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d

 Viết phương trình mặt cầu

Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A

Tiếp diện () của mc(S) tại A: () qua A, vectơ pháp tuyến n IA



PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vectơ pháp tuyến của mp : n 0 là véctơ pháp tuyến của    n  

Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa

2 Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng   : hai vectơ không cùng phương a,b  là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng    a, b  có giá cùng song song với  

3 Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến n và cặp vectơ chỉ phương a,b : na, b

4 Phương trình mặt phẳng   qua M x ; y ;z có vectơ pháp tuyến 0 0 0 0 nA ; B ; C :

( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0       Mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0     thì có vectơ pháp tuyến nA ; B ; C

5 Phương trình mặt phẳng đi qua A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c :     

1

a b c 

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến.

6 Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz): x = 0; (Oxz): y = 0; (Oxy): z = 0.

7 Chùm mặt phẳng :

Giả sử       ' d trong đó: ( ) : Ax By Cz D 0     và ( ') : A 'x B' y C'z D' 0    

Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2n2 0 : m Ax By Cz D     n A 'x B'y C'z D'     0

8 Vị trí tương đối của hai mp   và  ' :

( ) ( ')    A : B : C A ' : B' : C' ( )   ( ') AA ' BB' CC' 0  

( ) ( ')

A ' B' C' D'

( ) / /( ')

A ' B' C' D'

     

9 Khoảng cách từ M x ; y ;z đến ( ) : Ax By Cz D 00 0 0 0     

d M;

 

10 Góc gi ữa hai mặt phẳng : 1 2

n n cos

n n

  

 

( , )

2 CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C:

 Cặp vectơ chỉ phương: AB,AC 

 Mặt phẳng   đi qua A (hoặc B hoặc C) và có vectơ pháp tuyến nAB, AC

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB:

 M là trung điểm của đoạn thẳng AB

 Mặt phẳng   đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB



Dạng 3: Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB)

 Mặt phẳng   đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB

 hoặc vectơ chỉ phương của đường thẳng d

Dạng 4: Mp  qua M và song song ( ): Ax + By + Cz + D = 0

 Mặt phẳng   đi qua M và có vectơ pháp tuyến n   n A;B;C

Dạng 5: Mp( ) chứa (d) và song song (d / )

 Lấy điểm M x ; y ;z    d

 Mặt phẳng   đi qua M và có vectơ pháp tuyến 0 nu , ud d '

Dạng 6 Mp( ) qua M, N và vuông góc  :

 Tính MN

 Tính n MN, n

 Mặt phẳng   đi qua M (hoặc N) và có vectơ pháp tuyến n

Dạng 7 Mp( ) chứa (d) và đi qua M

 Lấy điểm M x ; y ;z0 0 0 0   d

 Tính MM 0 Xác định vectơ chỉ phương ud của đường thẳng  d

 Tính n MM , u0 d

 Mặt phẳng   đi qua M (hoặc M ) và có vectơ pháp tuyến n0 

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mp   nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với

mp   , viết tắt là n    

Nếu u (x ; y ;z ), v (x ; y ;z )  1 1 1   2 2 2 là 2 vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song (hoặc nằm trên) mp   ( u, v  còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp  ) thì:

2 Phương trình tổng quát: Ax By Cz D 0    với 2 2 2

A B C 0 Vectơ pháp tuyến: nA;B;C

qua M (x ; y ;z )

VTPT n (A ; B ; C)







4 Trường hợp đặc biệt Cho mp   : Ax By Cz D 0    Khi đó:

* D 0    đi qua gốc tọa độ

* C 0;D 0     song song với trục Oz; C 0;D 0     chứa trục Oz

* B C 0;D 0      song song với mp(Oyz); B C D 0      chính là mp(Oyz)

(Các trường hợp khác suy ra tương tự)

5 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng   : Ax By Cz D 0    và  ' : A 'x B' y C'z D' 0   

( ) / /( ')

A ' B' C' D'

      ( )   ( ') AA ' BB' CC' 0  

( ) ( ')

A ' B' C' D'

 Chú ý: Ta quy ước nếu một “phân số” nào đó có “mẫu số” bằng 0 thì “tử số” cũng bằng 0

6 Phương trình theo đọan chắn của mặt phẳng

Mp   cắt Ox tại A a;0;0 , cắt Oy tại   B 0;b;0 , cắt Oz tại   C 0;0;c có phương trình là: 

Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa

1 , abc 0

7 Góc của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng   : Ax By Cz D 0    và  ' : A 'x B' y C'z D' 0   

Gọi  là góc của hai mặt phẳng, ta có: cos 2 AA ' BB' CC'2 2 2 2 2

 

8 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mp   : Ax By Cz D 0    và điểm M x ; y ;z Khi đó:0 0 0 0

 

d M ;

 

Dạng 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng:

Bài Toán 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua M x ; y ;z Và Có Vectơ Pháp0 0 0 0

Tuyến nA;B;C 0.

 Phương trình mặt phẳng   là: A x x  0 B y y  0 C z z  0 0 hay

Ax By Cz D 0    với D Ax0By0Cz0

Bài Toán 2: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua 3 Điểm A, B, C Không Thẳng Hàng.

 Tính AB;AC AB, AC

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n k AB, AC  

với k là số thực khác 0

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng  

Bài Toán 3: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua M x ; y ;z Và Vuông Góc Với0 0 0 0

Đường Thẳng   Cho Trước.

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là vectơ chỉ phương của đường thẳng  

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng  

Bài Toán 4: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua M x ; y ;z Và Song Song Với Hai0 0 0 0

Đường Thẳng   1 , 2 Chéo Nhau Cho Trước.

 Tìm vectơ chỉ phương u 1

của đường thẳng  1 và vectơ chỉ phương u2 của đường thẳng

2

 Tính u , u1 2

 

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n k u , u  1 2

với k là số thực khác 0

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng  

Bài Toán 5: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua Đường Thẳng  1 Và Song Song Với Đường Thẳng 2 Cho Trước.

 Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng  1 và u2 của đường thẳng 2

 Tính u , u1 2

 

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n k u , u  1 2

với k là số thực khác 0

 Chọn điểm M x ; y ;z  0 0 0 0  1

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng  

Bài Toán 6: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Chứa Hai Đường Thẳng   1 , 2 Song Song.

 Chọn điểm M x ; y ;z   và 1 1 1 1  1 M x ; y ;z   2 2 2 2  2

 Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng  1 hoặc vectơ chỉ phương u2 của đường thẳng

2

 Tính u , M M1 1 2

 

hoặc u ,M M2 1 2

 

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n k u , M M  1 1 2

hoặc n k u , M M ;k 0  2 1 2 



   

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng  

Bài Toán 7: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua M x ; y ;z Và Vuông Góc Với Hai0 0 0 0

Mặt Phẳng     ,  Cho Trước.

 Tìm vectơ pháp tuyến n1 của mặt phẳng   và vectơ pháp tuyến n2 của mặt phẳng  

 Tính n , n1 2

 

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n k n , n  1 2

với k là số thực khác 0

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng  

Bài Toán 8: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Chứa Hai Đường Thẳng   1 , 2 Cắt Nhau.

 Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng  1 và u2 của đường thẳng 2

 Tính u , u1 2

 

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n k u , u  1 2

với k là số thực khác 0

 Chọn điểm M x ; y ;z   hoặc 0 0 0 0  1 M x ; y ;z  0 0 0 0  2

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng  

Bài Toán 9: Viết Phương Trình Mặt Phẳng   Đi Qua Đường Thẳng  1 Và Vuông Góc Với Mặt Phẳng   Cho Trước.

 Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng  1 và vectơ pháp tuyến n1 của mặt phẳng  

 Tính u , n1 1

 

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n k u , n  1 1

với k là số thực khác 0

 Chọn điểm M x ; y ;z   0 0 0 0  1

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng  

Dạng4: Hình chiếu của điểm M

1 H là hình chiếu của M trên mp 

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp (): ta có ad n

 

 Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và ()

Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa

2 H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)

 Viết phương trình mp qua M và vuông góc với (d): ta có n ad



 Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và ()

Dạng 5: Điểm đối xứng

1.Điểm M đối xứng với M qua mp / 

 Tìm hình chiếu H của M trên mp () (dạng 4.1)

 H là trung điểm của MM/

2.Điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d: /

 Tìm hình chiếu H của M trên (d) (dạng 4.2)

 H là trung điểm của MM/

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc

Đường thẳng d đi qua M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương 0 0 0 0 ua;b;c có :

- Phương trình tham số của d:

o 0 0

z z ct







  



- Phương trình chính tắc của d: x x0 y y0 z z0

(abc 0)

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Đường thẳng d đi qua M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương 0 0 0 0 u a;b;c và đường thẳng d ' đi qua

M x ' ; y' ;z ' và có vectơ chỉ phương u ' a ';b';c' Khi đó:

+ d và d ' cùng nằm trong một mặt phẳng '

[u, u '].M M  0



+ d và d ' cắt nhau '

[u, u '].M M  0 [u,u '] 0  



d / /d ' [u, u '] 0 [u, M M ] 0     



0 0

d d '  [u, u '] [u, M M ] 0    



[u, u '].M M  0



3 Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng d đi qua M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương 0 0 0 0 u a;b;c và mặt phẳng

  : Ax By Cz D 0    có vectơ pháp tuyến nA;B;C Khi đó:

+ d cắt ( )  Aa Bb Cc 0  

+

Aa Bb Cc 0

d / /( )



  

 +

Aa Bb Cc 0

d ( )



   



+ d ( )   u / /n  u, n 0

4 Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u a;b;c và đường thẳng d ' có vectơ chỉ phương

u '  a ';b';c' Gọi  là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:

0

u u '

a.a ' bb ' cc'

a b c a ' b' c'

u u '

5 Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương ua;b;c và mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến

n A;B;C Gọi  là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng   ta có:

u n

Aa Bb Cc sin

u n





6 Khoảng cách từ điểm M x ; y ;z đến đường thẳng  có vectơ chỉ phương u1 1 1 1 

:

+ Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng   qua M1 và vuông góc với 

- Tìm tọa độ giao điểm H của  và mặt phẳng  

- d M ; 1   M H1

+ Cách 2: Sử dụng công thức:  1  1 0

M M , u

d M ;

u

 

 



7 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương u0 0 0 0 

và đường thẳng '

 đi qua M ' x ' ; y ' ; z ' và có vectơ chỉ phương u'0 0 0 0 

+ Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng   chứa  và song song với '

- Tính khoảng cách từ M ' mặt phẳng 0  

- d( , ') d(M ' ,( ))   0 

+ Cách 2: Sử dụng công thức:

'

u, u ' M M d( , ')

u,u '

  



 

2.CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có vectơ chỉ phương u

:

 Sử dụng công thức phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc

 Đường thẳng d đi qua A và B có vectơ chỉ phương u AB



Hình Giải Tích Trong Không Gian GV: Lê Hữu Hòa

 Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương

 Đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương của đường thẳng

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ( )

Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u u  

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp( )

Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u n 



Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên  :

Cách 1:

 Viết phương trình mặt phẳng   chứa (d) và vuông góc với  

 Đường thẳng d ' là giao tuyến của   và  

Cách 2:

 Xác định A là giao điểm của d và  

 Lấy điểm M, M A trên d Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vuông góc với  

 Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của  với  

 Đường thẳng d ' chính là đường thẳng AH

Đặc biệt: Nếu d song song   thì đường thẳng d ' là đường thẳng đi qua H và song song d

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc 2 đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ):

Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương uu ,ud1 d2



 

   

Dạng 6: phương trình đường vuông góc chung của  d và 1  d :2

 Chuyển phương trình đường thẳng    d , d về dạng tham số và xác định 1 2 u ,u 1 2

lần lượt là vectơ chỉ phương của    d , d 1 2

 Lấy A, B lần lượt thuộc    d , d (tọa độ A, B phụ thuộc vào tham số).1 2

 Giả sử AB là đường vuông góc chung Khi đó: 1  

2

AB.u 0

* AB.u 0









 

  Giải hệ phương trình  * tìm ra giá trị của tham số Từ đó tìm được A, B

 Viết phương trình đường vuông góc chung

Dạng 7: PT qua A và d cắt d 1 ,d 2 : d = ( ) ( ) 

với mp() = (A,d1) ; mp() = (A,d2)

Dạng 8: PT d //  và cắt d 1 ,d 2 : d = ( 1 )  ( 2 )

với mp (1) chứa d1 //  ; mp (2) chứa d2 // 

Dạng 9: PT d qua A và  d 1 , cắt d 2 : d = AB

với mp () qua A,  d1 ; B = d2  ()

Dạng 10: PT d  (P) cắt d 1 , d 2 : d = ( )  (  ) với mp() chứa d1 ,(P) ; mp() chứa d2 ,  (P)