Luận văn tính tuần hoàn và Ổn Định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ÔN ĐỊNH CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI 2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính 31 2.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

"TRƯỜNG DẠI HỌC hÁCII KHOA HÀ NỘI

—- EHœ ——

Nguyễn Thị Loan

TÍNH TUẦN HOÀN VÀ ON DINH CUA NGHIEM

CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRUNG TÍNH

LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

"TRƯỜNG DẠI HỌC hÁCII KHOA HÀ NỘI

—- EHœ ——

Nguyễn Thị Loan

TÍNH TUẦN HOÀN VÀ ÔN DỊNH CỦA NGHIỆM

CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIÊN HÓA TRUNG TÍNH

Ngành : Toán học

Mã số : 9460101

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚRG DẪN KHOA HỌC:

LOI CAM DOAN

'Töi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong Luan én Tink tudn hoan va

ẩn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trưng tính là công trình nghiên

cứu của riêng tôi Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của

tập thể TS Vũ Thị Ngọc Hà và T§ Lê Huy Tiễn Các kết quả trong Luan 4n

hoàn toàn trung thực và chưa từng được tác giả khác công bố trong bắt kỳ một

công trình nghiên cứu nào

Hã Nội, ngày 28 tháng 0Í năm 201

T8 Vũ Thị Ngọc Hà T8 Lê Huy Tiêu Nguyễn Thị Loan

LGI CAM GN

Luận án được thực hiện tại trường Đại học Hách lhoa Hà Nội, dưới sự hưởng

dẫn của tập thể TS Vũ Thị Ngọc Hà (Trường Dại học Tách khoa Hà Nội) và

‘TS Lé Huy Tiễn (Irường ĐHKH'LN-ĐHQCŒ Hã Nội

ơn sâu sắc đến hai giáo viên hướng dẫn của mình, những người đã tận tình giúp

„ töi xia bày tỏ lòng biết

đỡ tối trên con đường khoa học Dặc biệt là T8, Vũ Thị Ngọc Hà, những sự động viên, khích lệ của cô đã giúp tôi vượt qua nhiên trở ngại để vững tâm học tập

Trong quá trình học tập, nghiên cứu tại Trường Dại học Bách khoa Hà Nội

và tham gia seminar "Dáng điều tiện cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dung” do PGS.TSKILNguyén Thiéu Huy điều bành, tôi đã được Thây chỉ bao tan tinh, Thầy luốn tạo ra những thứ thách giúp tòi sự học hỏi, tìm tòi, sáng

tao Toi xin bày tổ lòng biết ơn và vô cùng kính trọng đến Thầy Dồng thời, tôi

cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cõ và những thành viên trong

nhóm serninar đã có những đóng góp, chia sẻ giúp tôi thuận lợi nghiên cứu

Toi xin trăn trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào Lạo, bạn

lãnh đạo cùng các thầy cô trong Viện oán ứng đụng vi ‘lin học, các thấy cô trong bộ môn Tuần ed bản Đại học Bảnh khoa Hà Nội đã luồn giúp đỡ, động

viên, tạo điều kiện trong quá trình nghiên cứu của tôi

Tôi cũng xin bày tô sự cảm ơn chân thành tối Ban Giám liệu, Khóa Khoa

học cơ bản Irường Dại học Sư phạm Kỹ thuật Lưng Yên, nơi tôi đang công tác,

đã tạo điền kiện thuận ki chớ tôi bọc lập và nghiên cứu

Sau cùng, tôi xin đành lời cảm ơn cho gìa đình, bạn bè, những người đỗ luôn

khuyến khích, động viên chia sẽ những khó khăn trong cuộc sống để

học tập và hoàn thành luận án

MUC LUC

1.1 Nửa nhóm lien tue manh va toan titsimh 15 1⁄2 Tính ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm 17 1⁄3 Không gian hàm Banach chấp nhận được - 19

1.5 Nhị phân mũ của họ tiến hóa Ba: Od 24 1.6 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính 27

17 Bất đẳng thứ nón c2 cv 28

Chương 2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ÔN ĐỊNH CÓ ĐIỀU KIỆN

CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI

2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính 31 2.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến

GH cu ocans ees EER Oe SUE eS Bee 35 2.3 Nghiệm tuần hoàn trong trường hợp họ tiền hóa có nhị phân mũ 37

Chương 3 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH

TIEN HOA TRUNG TINH CO TRE HUU HAN

TRONG KHONG GIAN HAM CHAP NHAN DUGC

3.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ

hữu hạn trong không gian hầm chấp nhận được - 3.2 Trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ

Chương 4 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH

TIEN HOA TRUNG TiNH CO TRE VO HAN

TRONG KHONG GIAN HAM CHAP NHAN DUGC

4.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ

vô hạn trong không gian hàm chấp nhận được

42 Nghiệ

4.3 Da tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn

tuần hoàn trong trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ

KẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ

1 Những kết quả đã đạt được .Ặ ee

3 Dề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo -

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN AN

Ljjoc(R_) := (u: BR > Ry | ue £y(u) với moi tap con do duge w Co Ry}

trong đồ á CC | nghĩa là bao đồng Ø là tập compact trong IR,

x Khong gian Banach

E : Không gian hàm Banach chấp nhận được

c — (—r,0], X)- không gian các hầm liên tục trén [-r, 0], r > 0,

nhận giá trị trong X được trang bị chuẩn ||ư|e = ee , IIu(£)l|

Cy Không gian các hàm liên tục trên (—oc, 0], nhận giá trị trong X

và HỘ en 0, được rang bị ebuds Jl, — sup cup Il

C4(I,X); Kh6ng gian cac ham liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX,

xác định trên I được trang bị chuẩn ||u }„ = sup | w(f)||,

MG DAU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân là một cõng cụ quan trọng để mô tả các hiện tượng

trong tự nhiên và kỹ thuật như quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứng-

khuếch tán, các mô hình cạnh tranh, Trong đó lớp phương trình vi phân mô

phương trình vi phân trung tính, việc nghiên cứu sự tồn tại và ổn định nghiệm

của chúng khá phức tạp Khi đó, bằng cách chọn không gian và toán tử thích

hợp, lớp phương trình này có thể được viết lại dưới dạng phương trình trung

tính trừu tượng trong không gian Banach thường được gọi là phương trình tiền hóa trung tính Trong luận án này chúng tôi sẽ xét các lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng,

dFu

với ó có thể thuộc không gian hàm Œ hoặc không gian giảm nhớ C„, toán tử tuyến tính ? + A() có thể không bị chặn trên không gian Banach X và T- tuần hoàn theo biến †, toán tử sai phân F : C => X tuyến tính bị chặn, toán

tử trễ phi tuyến ø : #¿ x € — X là 7-tuần hoàn và liên tục Lipschitz hoặc

#-Lipsehitz Hàm ¿ gọi là hàm lich sit ("history function") được định nghĩa bởi

u;(0) = u(t + 8) với 0 € [—r.0Ì hoặc Ø € (—,0]

Phương trình tiền hóa trung tính phát sinh từ nhiều ứng dụng như hệ sinh

ý tín hiệt

thái quần thể, hệ khuếch tán, hệ xị „.Ta có thể tham khảo trong

Wu [3], Wu & Xia [4],

cho mạng lưới đường dây truyền tải Chẳng hạn, tác giả đã xét một mạng lưới

nhiều ví dụ và ứng dụng của dạng phương trình này

và chỉ ra mô hình của nó tương ứng với phương trình

trong dé ham u thude C := C({-r,0], X) véi r > 0 và không gian Banach X

của các hàm trên đường tròn đơn vị S!, tite là X = H!(S!) hoặc X = C(S'),

hàm lịch sử được xác đỉnh bởi w¿() := u(t + Ø) với Ø € [—r,0] và † > 0 Các

toán tử tuyến tính ? và ® bị chăn từ C([—r, 0], X) + X goi lA toan tit sai phan

và toán tử trễ Lý thuyết về phương trình tiến hóa trung tính sau đó đã được

phát triển bởi nhiều tác giả khác (xem Adimy & Ezzinbi [5], Wu and H Xia

6], Adimy, Ezzinbi & Laklach [7], Adimy, Bouzahir & Ezzinbi [S] và các tài liệu

tham khảo trong đó) Trong Hale [9, 10] đã nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm lớp phương trình tiến hóa trung tính ö-tô-nôm, mang lại các kết quả quan trọng về tính ổn định, tính hút và sự rẽ nhánh của nghiệm xung quanh

một trạng thái dừng

Để nghiên cứu đáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa trung,

tính (1), không thể không nghiên cứu đến sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm tuần

hoàn của phương trình cũng như chứng minh tính ổn định (có điều kiện) của

nghiệm tuần hoàn đó trong trường hợp toán tử A() hàm phi tuyến ø(f,1) là

T-tuần hoàn theo £

Điểm qua lại lịch sử về bài toán nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phan Nam 1950 Massera (xem [11]) đã nghiên cứu chứng minh được mối liên hệ giữa nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn của phương, trình vi phân thường Sau đó được Zubelevich mở rộng vào năm 2006 (xem [12]) Với phương trình vi phân

hàm, nhìn chung có một số phương pháp thường được sử dụng, như phương

pháp Massera (xem trong [13, 14]), phương pháp điểm bất động, chẳng hạn như

trong Hale & Lopes [15], Chow & Hale [16], Benkhalti, Bouzahir & Ezzinbi [17]

hoac Benkhalti, Elazzouzi & Ezzinbi [18] Cách tiếp cận phổ biến nhất được sử dụng theo hướng này là tính bị chặn của các nghiệm và tính compact của ánh

xa Poincaré théng qua mot số phép nhting compact (xem Serrin [19], Yoshizawa [20], Priiss (21, 22], Burton [23], Liu, N'Guerekata & Minh [24]) Tuy nhiên,

trong một số tình huống thực tế, chẳng hạn như trong trường hợp phương trình

vi phân đạo hàm riêng với miền không bị chặn (theo tất cả các hướng) hoặc

phương trình có nghiệm không bị chặn thì phép nhúng compact không áp dụng

tuần hoàn Huy [25] đã sử dụng phương pháp Massera kết hợp với các hàm tử

nội suy để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của dòng chất lỏng

xung quanh chướng ngại vật quay, trong đó, không gian nội suy được sử dụng

ert, Hieber & Huy [26] kết hợp

giữa các hàm tử nội suy với tính trơn của nửa nhóm và lập luận tô pô thu được

kết hợp với phương pháp ergodie Sau đó, Geiss:

nghiệm tuần hoàn của bài toán dòng chất lỏng

Gan day, Huy & Dang [13, 14, 27, 28] da sit dung phương phap ergodic dé

chứng mỉnh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình; san đó

kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall hoặc bất đẳng thức nón chứng minh sự tồn tại duy nhất và tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần

hoàn, cũng như đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của

một số lớp các phương trình tiến hóa không 6-tô-nôm có trễ hữu hạn hoặc võ

hạn Mở rộng sang phương trình tiến hóa trung tính, bài toán về nghiệm tuần

hoàn đến nay vẫn có nhiều hấp dẫn, góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết

phương trình vì phân, phương trình đạo hàm riêng,

Mặt khác, trong lý thuyết định tính của nghiệm các phương trình vi phân,

sự tồn tại của các đa tạp tích phân cũng là một vấn đề trọng điểm cần nghiên

cứu Các kết quả về đa tạp tích phân góp phần mang lại bức tranh hình học về

đáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình xung quanh một điểm cân bằng

hay xung quanh một quỹ đạo xác định Vì vậy mà nó đã thu hút được nhiều sự

quan tâm của các nhà toán học Khởi đầu là các kết quả của Hadamard [29],

Perron [30, 31], Bogoliubov & Mitropolsky {32, 33] đã nghiên cứu về sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với phương trình vì phân trong J8" Năm 2009, Huy [34] đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp bắt biến đối với phương trình tiền hóa không

6-tô-nõm nửa tuyến tính trong không gian Banach Tiếp sau đó Huy [35] đã

chứng minh sự tồn tại của loại đa tạp bất biến mới đó là đa tạp ổn định bất

biến thuộc lớp chấp nhận được Vẫn tiếp nối mạch nghiên cứu, năm 2014 Huy

& Duoe [36] da chỉ ra sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến và đa tạp tâm

ổn định cho phương trình tiến hóa có trễ Gần đây, các nghiên cứu của Huy & Bằng (xem [37, 38, 39, 40]), véi

nhận được tác giả đã chỉ ra được sự tôn tại của đa tạp ổn định bất biến, đa tap

không ốn định, đa tạp tâm đối với nghiệm đủ tốt (rem [41J) (%mild solution")

của phương, trình tiến hóa trung tính trong trường hợp trường hợp phần tuyến

việc sử dụng lý thuyết không gian hàm chấp

tính có nhị phân mũ với điều kiện tổng quát của toán tử trễ phi tuyến Và một

Luận án vừa được công bố mới đây trên cổng thông tin Dao tạo của trường Dại

học Bách khoa Hà Nội (xem [42]) da chứng minh sự tồn tại da tạp ổn định,

không ổn định, da tạp tâm của phương trình tiến hóa trung tính xung quanh

nghiệm không của phương trình Tuy nhiên, sự tồn tại đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu

Những phân tích trên đây là lý do để chúng tôi chọn dé tai “Tinh tuan hoàn

va ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính” Bằng cách sử dụng, phương pháp Masera cùng lý thuyết nửa nhóm, chuỗi Neumamn, nguyên lý điểm

bat động cùng điều kiện liên tục Lipschitz hoặc ¿-Lipschitz kết hợp với lý thuyết không gian hàm chấp nhận được chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại tính duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính Mặt khác, với việc sử dụng phương trình Lyapunov-Perron kết hợp bất đẳng thức Gronwall

Cụ thể, chúng tôi sẽ nghiên cứu các lớp phương trình tiến hóa trung tính

trên không gian Banach X có dạng

dFui

dt

= A(t)Fuy + g(t,ur), t € [0, +00), (2)

với các điều kiện:

© Toán tử # rš (0) là tuyến tính (có thể không bị chăn) trên không gian

Banach X và 7-tuần hoàn theo biến f

e Toán tử F : H - X tuyến tính bị chặn gọi là toán tử sai phan ("dif- ference operator"), ở đây ?( có thé là không gian hàm €Œ hoặc Œ„ với

€ := C((—r.0].X).C; là không gian giảm nhớ (ƒading memony spaces")

được định nghĩa trong chương I, mục 1.4

& Hàm ứ được gọi là hàm lịch sử và được xác định bởi w(0) := u(f + 6) với

0 €[T—r.0| nếu phương trình có trễ hữu hạn hoặc Ø € (—se.0| nếu phương

trình có trễ vô hạn

© Todn tit phi tuyén g: Ry x H —> X được gọi là toán tử trễ, T-tuần hoàn

và được xét trong các trường hợp sau:

— Trường hợp 1 Toán tử ø liên tục Lipschitz theo ở € C, không gian

7 là không gian hàm C

~ Trường hợp 2 Toán tử ø thỏa mãn ¿-Lì gian hàm chấp nhận được M (xem trong mục 1.3, Ví dụ 1.1), ?í là

hitz với ¿ thuộc không

không gian hàm Œ, phương trình có trễ hữu hạn

~ Trường hợp 3 Toán tử g thỏa mãn ¿-Lipschitz với ¿ thuộc vào không gian hàm chấp nhận được M, ? là không gian giảm nhớ C;, phương trình có trễ vô hạn

Khi nghiên cứu những lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng (1), chúng tôi đã gặp phải khó khăn chung là: Các toán tử # và A(t) không tác động trực tiếp vào trạng thái w(f) mà vào Puy, khi đó công thức biến thiên hằng số chỉ có giá trị đối với Fw, (xem công thức (2.18)) Để khắc phục khó khăn nà

xuyên suốt luận án, chúng tôi giả thiết toán tử sai phân ?* được biểu diễn dưới dang F = 69 — (69 — F), vdi do là ham Dirac tap trung tai 0 (xem [1, Chương 3]) Khi đó, với một số điều kiện của toán tử W := ẩy — F, va stt dung phuong

pháp Massera kết hợp với chuỗi Neumamn chúng tôi nhận được một

và kết quả về tính tuần hoàn cho trạng t

Wu [3], Huy & Bang [37])

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

® Mục đích nghiên cứu của luận án:

(i) Nghiên cứu sự tôn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của các lớp phương,

trình tiến hóa trung tính dạng (2) trong các trường hợp toán tử phi

tuyến ø liên tục Lipschitz, £-Lipschitz với ham Lipschitz phụ thuộc

vào thời gian ? và thuộc không gian hàm chấp nhận được, giá trị ban đầu có thể thuộc không gian hàm € nếu phương trình có trễ hữu hạn hoặc không gian giảm nhớ đ„ nếu phương trình có trễ vô hạn

10

(ii) Nghiên cứu tính ổn định đối với các nghiệm xung quanh nghiệm tuần

hoàn của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2)

(iii) Xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn

của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) khi toán tử

phi tuyến ø thỏa mãn ¿-Lipschitz, với phụ thuộc # và thuộc không,

dang (2) với một số điều kiện thay đổi của toán tử trễ phi tuyến ø

® Phạm vi nghiên cứu của Luận án: Trong luận án chúng tôi nghiền cứu một

số lớp phương, trình tiến hóa trung tính có dạng (2) với một số trường hợp

của toán tử trễ phi tuyến ø Cụ thể:

~ Nội dung 1 Xét trường hợp toán tử ø liên tục

trình có trễ hữu hạn Trường hợp này chúng tôi

Lipschitz phương,

sử dụng không gian

các hàm liên tục bị chặn nhận giá trị trong không gian Bannach A'

để chứng mỉnh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, kết hợp với

nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Growall để chứng mỉnh tính ổn định (có điều kiện) của các nghiệm xung quanh nghiệm tuần hoàn

đó

= Nội dung 2 Xét trường hợp toán tử ø thỏa mãn ¿-Lipschitz với ¿

thuộc không gian hàm chấp nhận được, phương, trình tiến hóa có trễ hữu hạn Khi đó, ngoài việc chứng mỉnh sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn, tính ổn định, chúng tôi còn chứng minh sự tồn tại mot da

tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn đó nhờ bất

đẳng thức nón và định lý ánh xạ co

~ Nội dung 3 Xét trường hợp toán tử ø thỏa mãn ợ-Lipschitz va yg

thuộc không gian hàm chấp nhận được nhưng phương trình có trễ vô

hạn Bằng việc sử dụng không gian giảm nhớ, sự tồn tại duy nhất

tính ổn định có điều kiện của nghiệm tuân hoàn cũng như sự tồn

tại một đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình được chứng minh

1

3 Phương pháp nghiên cứu

e Sử dụng phương pháp Massera cùng với chuỗi Nenmann, kết hợp lý thuyết

nửa nhóm và dạng của toan tit sai phan F dé chứng minh sự tồn tại, tính

duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính

Sử dụng nguyên lý điểm bất động, điều kiện liên tục Lipschitz hoặc ¿-

Lipschitz két hợp với lý thuyết không gian hàm chấp nhận được để chứng

minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa

trung tính nửa tuyến tính

Dựa vào phương trình Lyapunov-Perron kết hợp với tính chấp nhận được

của không gian hàm để chứng minh sự tồn tại nghiệm bị chặn của phương

trình tiền hóa trung tính khi họ tiến hóa có nhị phân mũ

Sử dụng phương trình Lyapunov-Perron, chuỗi Neumann kết hợp bất đẳng, thức Gronwall hoặc bất đẳng thức nón cùng nguyên lý điểm bất động của

ánh xạ co cho các đánh giá xét tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần

hoàn của phương trình tiến hóa trung tính

Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron để chứng minh sự tồn tại một đa

tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình

tiến hóa trung tính

Ket qua của luận án

Luận án đã đạt được một số kết quả chính sau đây:

¢ Ching minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn tính ổn định có điều kiện của một số lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) trong các trường hợp:

(i) Toán tử phi tuyến ø liên tục Lipschitz và phương trình có trễ hữu

hạn

(ii) Toán tử phi tuyến ø thỏa mãn ¿-Lipschitz, với ¿ là hàm phụ thuộc

f và thuộc không gian hàm chấp nhận được M, phương trình có trễ hữu hạn

12

(iii) Toán tử phi tuyến g thỏa mãn ¿-Lipschitz, ¿ thuộc không gian hàm

chân nhận dược M, phương trình có trế võ hạn

® Chứng mình sự tồn tại đa tạp tích phân ổn định địa phương xung quanh nghiềm tuần hoàn cũa cầu lập phương trằnh dang (3) khi toán tử ø thâa

mãn ø-Lipschitz, với œ thuộc không gian hàm chấp nhận được, phương

trình số trế hữu hạn hoặc vũ hạn

Các kết quà trong luận án là những đóng góp mãi vào lý thuyết phương trình

vi phân hàm, phương trình tiễn hóa trung tính, các kết quả này có thể được sử dụng trong nghiên cứu dáng diệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân

hàm Các kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố trong 03 bài báo {02 bài thuạc danh raụe SCIE, trong dé OL bai thước Q1, 01 bài thuộc Q2, 0L bài thuộc danh mye ESCL/Scopus) được liệt kẻ ở “Danh mục các công trình đã công bê của luận án” Một phần hoặc tất cA các kết quả này đã được báo cáo tại:

© Seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình ví phân và ứng dụng" Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

« Hội nghị oán học Miễn rung - [ấy Nguyên lần thứ 3, Buõn Mẽ 'Lhuột, 3-4/8/2019

ð Câu trúc luận án

Ngoài phần Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liện thăm khẩn, Danh mịịc các công trình đã công bồ súa luận án, Chỉ

mục, luận án được chia thành bốn chương nhu sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở để

phục vụ cho các chương tiếp theo Nội dụng sũa nó bao gầm oác kiến thức

nhí nhân mĩ của họ t1 ra, chương này

phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiễn hóa nứa tuyến tính

và định nghĩa đa tạp ổn định địa phương

Chương 8 Sự tồn tại uà tính ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn đối

uới phương trình tiến hóa trung tính Chương này chúng tôi chứng mình

sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, tính ổn định có điều kiện của lớp

phương trình (2) khi hàm phi tuyến ø liên tục Lipschitz và phương trình

có trễ hữu hạn

Chương 3 Nghiệm tuân hoàn của phương trình tiến hóa trưng tính có trễ hữu

hạn trong không gian hàm chấp nhận được Bài toán được nghiên cứu ở

chương này là chứng mình sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, tính

ổn định có điều kiện của lớp phương trình có trễ hữu hạn dạng (3) nhưng,

Chương 4 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính có trỄ uô

hạn trong không gian hàm chấp nhận được Với điều kiện hàm ban đầu thuộc không gian giảm nhớ +, phương trình có trễ võ hạn, toán tử phi

tuyến ø thỏa mãn ¿-Lipschitz, với ø thuộc không gian hàm chấp nhận

được, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại tính duy nhất, tính ổn định

(có điều kiện) nghiệm tuần hoàn của lớp phương trình dang (3) và chứng minh sự tồn tại một đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hoàn đó

của phương trình

14

CHƯƠNG 1

KIEN THUC CHUAN BI

Trong chuong nay, ching tdi sé trinh bay một số kiến thức chuẩn bị cho luận

án Trước tiên là những khái niệm cơ sở và các tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh cùng toán tử sinh của chúng, Tiếp đến, chúng tôi trình bày về tính ổn

định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm, không gian hàm chấp nhận được trên

nửa đường thẳng, không gian giảm nhớ và tính nhị phân mũ của họ tiến hóa Cuối cùng chúng tôi trình bày các kết quả về nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa và định nghĩa đa tạp ổn định địa phương của nó

1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh

Những kiến thức được trình bày trong mục này là những khái niệm cơ sở nhất về nửa nhóm toán tử và toán tử sinh của chúng Tài liệu tham khảo chính

của chúng tôi là Engel & Nagel [13]

Định nghĩa 1.1 Cho không gian Banach X Mot họ các toán tử tuyến tính bị

chan (T(t)) 55

nhóm) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

trên X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc Cụ-nửa

() T(0) =1 (với I là toán tử đồng nhất);

(ii) T(t +s) = T(t)T(s) vdi moi t, s > 0;

(iii) im T(t)x = T(O)x vai moi x € X

Dinh nghia 1.2 Gia sit (T(t)),, 1a mot mia nhom lien tue manh trén khong

gian Banach X Toán tử A: Ð(A) C X —> X được xác định bởi

T(t)x—x

Ag := lim

t0+

trên miền

D(A) = {: eX: lim TẾ Ki tồn tại trong ÄX - ¿,

toÙT được gọi là tốn tử sinh của nửa nhĩm (T(t)), „ trên khơng gian Banaeh X

Xấu 4 là tốn tử sinh của nữa nhĩm (1()),„¿ thi ta néi (T9), ạ là nửa tài

nhấn sinh ra bởi A, và cịn được viết cách khác là (e!4) _„

Định lý 11 Giá sử A là lốn tử sinh của nữa nhĩm liên tụe manh (T)),ụ trên khơng gian Donach X Khi đĩ,

( A: Đ(A) G X —\ X là một luắm từ huyền lính;

(Ủ nếu œ 6 D(A) 0a (T())x € Đ(A) nà

1x = T(tAx = AT(t)x vdi moi t > 0;

t (ii) wii moi L> 0, EX ln os [ Tis)xds € D(A);

Định nghĩa 1.8, Cho (4,74)) Tà tốn Lử tuyến tính dồng trong khơng sian

Banach X 'lập các giá trị chink quy (tap giải) của A, ký biếu là 2(4), với

0ø(4) = {A 6 CÍĨA! — A) Tà một sọng ảnh}

Khi dé

BỘ, A):— (AT — Ay 3, voi © (4) dược gọi là gidi thite cha A,

ơ(4) :— C\ ø{A) được gọi là tập phổ của 4

Định lý 1.4 Trên khơng gian Banach X, nếu (L())

0 là một nửa nhớm liên

tục mạnh, thi tén tại các hồng số M > 1 nà tu € TR saa cho

ITG)||< Afe°t vdi moi t > 0

Khi đĩ, v6i todn tt sinh (A, D{A)) ctia ntta nhém (V(t) ta 06 cde tink chat

sar

16

(i) Néwd € C sa0 cho R(A)\x = fe-MT(e)xds tén tai udi moi e © X th

được gọi là biểu diễn tích phân của giải thức Tích phân ở đây được hiểu theo

nghĩa tích phan Riemann suy rong

t

=

J e~**T(s)xds = Jim J e*T(s)xds 30

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về ổn định mũ, nhị phân mũ

của nửa nhóm liên tục mạnh, đặc trưng phổ cho tính ổn định và nhị phân của

nửa nhóm (xem Engel & Nagel [43] Engel [44})

1.2 Tính ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm

Định nghĩa 1.4 Cho nữa nhóm liên tục manh (T(t)

được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại = > 0 sao cho

với toán tử sinh (A, Ð(4))

§, et vai

jim £f()| =0

Định nghĩa 1.5 Trên không gian Banach X, nữa nhóm liên tục mạnh (T(9)),ụ

được gọi là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nêu X có thể viết thành tổng trực

tiếp X

sao cho các nửa nhóm hạn chế (T;(t))

@ X„ của hai không gian con đóng, (T()),„„-bất bién X, va Xu

à (Tu()),„; trên Xu thỏa

tpo tren Xs, man:

() Nửa nhóm (T:(t)),„„y ổn dinh ma déu tren X,

(ii) Toán tử Tụ(t) khả nghịch trên Xụ và nita nhém (Ty(t)~!),,) 6n dink ma

đều trên Xu

17

Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định ma déu va hyperbolic ciia

được gọi là cân phổ của toán tử tuyến tính A

Định nghĩa 1.7 Cho nữa nhóm liên tục mạnh (T(t)),„., với toán tử sinh (A, Ð(4))

trên một không gian Banach Khi đó, số thực

wo = wo(A) := inf {w ER | IM > 1: |T(9)||< Me", t > 0}

được gọi la edn tang trudng cia nita uhém (T(t), 9

Nita nhém (T(t)),59 dn định mũ đều khí và chi khi wo(A) < 0 Tuy nhien,

trong thực tế, nửa nhóm rất khó xác định tường mỉnh, còn toán tử sinh có thể

xác định cụ thể Do đó, để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều, ta cần đến "Dịnh lí Ánh xạ phổ " sau đây

Định nghĩa 1.8 Nửa nhóm liên tục mạnh (T(1)),„ụ với toán tử sinh 4 được gọi

là thỏa mãn Dịnh lí Ánh wa pho nếu

ø(T())\{0} =e) với mọi t>0

Lưu ý: Trong trường hợp tổng quát, điều kiện s(A) < 0 không kéo theo tính

ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t)),„ạ sinh bởi toán tử A (chẳng tàu

han, xem Neerven [45, Ví dụ 1.2.4]) Tuy nhiên, nếu (T(t))

lý ánh xạ phổ thì ta có đặc trưng:

vạu théa man Dinh

(T(9),„„y ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0

Tiếp theo, giả sử T := {z€C:

z| =1} là đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức Khi đó, để đặc trưng cho tính nhị phân mũ của nửa nhóm ta có

định lý sau (xem Nagel [13])

Định lý 1.8 Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T(Đ)),„„ụ, các mệnh đề sau là tưởng

đương:

18

() Nữa nhóm (T(t)),„ụ có nhị phân mũ

(ii) z(T()) nT = Ø vdi mot/moi t > 0

Trường hop (T(t)), 55

của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương uới

thỏa mãn Dịnh lj anh xa phd va A la toán tit sinh

(iii) o(A) NR =

Trong định lý trên, lưu ý rằng, giả thiết (T()),„„ thỏa mãn Định lý ánh xạ

phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là phổ ø(4) và ø(T(t)) thỏa mãn

ø(T(t)) CT e8) ;= {ze^:Acø(A).|z|=1} — với mọit >0

1.3 Không gian hàm Banach chấp nhận được

Không gian Lioe(fR,) những hàm số nhận giá trị thực khả tích địa phương trên

R; (đồng nhất các hàm bằng nhau A-hầu khắp nơi) sẽ trở thành một không gian

nel

Fréchet véi cdc nita chuan p,(f) = ƒ |ƒ(Đ|dt với mdi n € Z (xem Massera

n Schäffer [17, Chương 2, §20))

Định nghĩa 1.9 Một không gian vector E gồm các hầm thực đo được theo nghĩa

Borel trên R„ (đồng nhất các hàm bằng nhau A-hầu khắp nơi) được gọi là một

không gian hàm Banach trên (R,,B,À) nêu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(0) E là một dàn Banach với chuẩn ||: le, tite là (Z, ||- |Jg) là một không gian

Banach, nến ¿ € E, là một hàm thực đo được Borel sao cho

l(-)| < le(.)|_ A-hầu khắp nơi thi d € # và ||0||z < |lelle

(ii) Ham đặc trưng x4 thuộc không gian E véi moi A € B cé do do hitu han

sup ||xq <oo, inf |ly >0

ee IIxự¿+1jlz RỂ Xi+rlllz

19

(ii) BS Lijoc(Ry), tite là, với mỗi đoạn compaet 7 C R¿ tồn tại s6 By > 0

sao cho ƒ |ƒ(#)|dt < 8z||fl| với mọi ƒ € E

J

Định nghĩa 1.10 Không gian ham Banach E được gọi là không gian hàm chấp

nhận được (hoặc đầy đủ hơn là không gian hầm Banach chấp nhận được) nếu

nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(ñ) Tôn tại hằng số AM > 1 sao cho vdi moi [a,b] C Ry, va voi moi g € E ta

(ii) Khong gian E la Tỷ-bất biến và Tz-bất biến với mọi r € R¿, trong đó Tỷ

và Tz được định nghĩa như sau :

g(f—r) vớit>r>0,

Trot) =

với TT >t > 0;

TƑv(t):=¿(t+7) véi moi t > 0

Hơn nữa, tồn tai cdc hing s6 N, va N2 sao cho

Tile <N và |Tỹllg<Ns véi moit € Ry

Ví dụ 1.1 Các không gian Lebesgue Lp(R) vdi 1 < p < oo (xem Massera v & Schäffer [47, Chương 2, Dinh ly 23.V]), va khong gian

Nhan xét 1.1 Néu E là mot khong gian ham Banach chap nhan được thì

EM

Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banaeh chấp nhận được

(xem Huy [46, Mệnh đề 2.6, Massera & Schäffer [4r])

Mệnh đề 1.1 Giả sử E là một không gian hàm Banaeh chấp nhận được Tu có

các khẳng định sau:

(i) Cho y € Lijoc(Ry.) sao cho y > 0 va My € EB Véi moi o > 0 xét các hàm

He va Mp ade dink béi

& s I

“L 4 i € & &

Khi d6, Nip va Mp thude khéng gian E Dac biét, néu ¿ € M (điều nay

được thỏa mãn nếu yp € B- xem Nhén wét 1.1) thi Ap va Mp bi chain, va

trong đó Ai, TỪ, Nụ, Ny được zác định trong Dịnh nghia 1.10

() Với mọi a > O.e~ € EB

(iii) Với mọib > 0,e € E,

Trong không gian hàm Banach chấp nhận được M xác định bởi (1.2), xét

tập các hàm tuần hoàn chu kì 1:

P:={ƒ€M: ƒ là hàm 1-tuần hoàn} (L5)

Khi đó, với mỗi hàm dương ¿ € P, ta có đánh giá sau (xem (L4, (1.8))):

lAzell~ < {kell và

Hơn nữa, trong không gian Banach X với chuẩn ||- || ta định nghĩa

với chuẩn được trang bị |l/lls := lÌI/C)lllv Rõ ràng, 9W là một không gian Banach Chúng tôi luôn gọi 9t là không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach chấp nhận được M

Ngoài ra, trong luận án này, để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính chúng tôi còn cần sử dụng đến

không gian C¿(I X) là không gian các hàm liên tục bị chặn trên Ï, nhận giá

tri trong khong gian Banach X, với Ï là toàn bộ trục Ï hoặc nửa đường thẳng

ïR, = [0.%) hoặc R_ = (—ae.0] chuẩn được trang bị ở đây là chuẩn sup xác

định bởi

Uellesc.xy sup fn

Tiếp theo chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian giảm nhớ sẽ được sử dụng

trong bài toán trễ võ hạn

1.4 Không gian giảm nhớ

Định nghĩa 1.11 Cho không gian Banaeh X, Không gian giảm nhớ là không sian Banaeh Z (với chuẩn ||: ||z) bao gồm các hàm đi từ (—%.0] đến không

gian Banach X sao cho các tiên đề sau được thỏa mãn (xem {24, 50, 51, 59]):

(A) Tồn tại hằng số dương HH, các hàm liên tục không âm, bị chặn địa phương

K(-) va M(-) trén [0, 00) sao cho nếu z là một hàm liên tục đi từ (—ae, a)

đến X và #; € Ƒ với mỗi 7 < a, thì với mọi £ € [r:a), ta có

(i) EF,

(ii) ánh xạ £ + z; liên tục theo t,

ti) Hz(0|| < linlz < KŒ—z) sụp Jils)|+ Mứ—z)|e:lz

T<s<

(B) Nếu dãy {ó„} với ó„ € Z hội tụ đều đến hàm ó trên tập compaet thuộc

(—o0, 0} va {Gn} 1a day Cauchy trong Z thì ó € Z và |ló» — ó||z —> 0 khi

n> ©,

22

Vi dụ 1.2 Không gian sau là một ví dụ điển hình của không gian giảm nhớ

(xem [24]) Trên không gian Banach X, với hàm h : (—ae,0] —> (0.) không

gian xác định bởi

Chie { :óc C((—s.0J,X) va lim fe = 0Ì, (L8)

Is(II

với chuẩn được trang bị là |ló|Ì, = sup ——— 8 llelln su (8)

Trong trường hợp đặc biét, h(@) = e77”, ta c6 ví dụ sau,

Ví dụ 1.8 Không gian xác định bởi

lerly = súp e2 liz(t + 9)||

0<

0<0<t

Nếu z(;) tuần hoàn chủ lổ 1, thì

lol; = sup e™ix(8)| < sup [las

trình ổn định hoặc có nhị phân mũ Mớ đầu là kết quả của Perron (xem [53])

năm 1930 xét trên không gian C;(R„.R"), Tiếp đến, trong các sách chuyên khảo

23

của Massera & Schiffer (xem [47, 54, 55]), Daleckii & Krein (xem [56]) da chi

ra tính nhị phân mũ của nghiệm trong trường hợp toán tử A(0) bị chặn Đền

nim 1978, Levitan & Zhikov (xem {57]) đã mở rộng kết quả cho trường hợp vô hạn chiều với lớp phương trình xác định trên toàn đường thẳng Sau đó, Huy [46] da đặc trưng tính nhị phân mũ của nghiệm dựa vào không gian hàm chấp

nhận được trên nửa đường thẳng trong trường hợp toán tit A(t) không bị chặn

1.5 Nhị phân mũ của họ tiến hóa

Xét bài toán Cauchy

du

u(s) =a,

trong đó (A0).P(A0)), ạ là họ các toán tử tuyển tính trên không gian Banach >

X Khi đó, nghiệm (cổ điển) của bài toán Cauchy (1.12) là hàm w := u(-,s,0) €

C1([s, 00), X) sao cho u(t) € D(A(t)) va ứ thoả mãn bài toán Cauchy (1.12) với

moi t > s

Định nghĩa 1.12 Bài toán Cauchy (1.12) được gọi là dat chỉnh trên các không

gian Y;,¢ > 0, nếu thỏa mãn các điền kiện sau:

() Yí€ Đ(A(0)) là các không gian con trù mật trong X

(ii) mỗi z € Y; thì bài toán Caucby (1.12) có duy nhất nghiệm u(-,s,x)

(ii) nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu, tức là, nếu s„ —> s và

Y,, 3 tn 3 © € Yý thì ñ(f,sạ,#u) —> ñ(f,s,+) đều theo ? trên mọi đoạn

Định nghĩa 1.13 Một họ các toán tứ tuyến tính bị chặn (U(f.s)), „ trên

không gian Bannach X gọi là họ tiến hóa (liên tục mạnh, bị chăn cấp mũ ) nêu

24

(i) U(t,t) = Id va U(t,r)U(r,s) = U(t,s) vdi moi > r > s > 0,

(i) ánh xạ (f,s) + U(.s)z liên tục với mọi z € X, ở đây

U(t.s) = T(t — s) Điều kiện để bài toán Cauchy đặt chỉnh hay sự tồn tại của

họ tiến hoá, chúng ta có thể tham khảo trong Pazy [58] hay Nagel & Nickel [59]

"Trong luận án này, chúng tôi sẽ xét những họ tiến hóa có nhị phân mũ, ổn định mũ được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.14 Cho U := (U(t,s)),.,.9 la mot ho tién hóa trên không gian

(1) Họ tiến hóa # được gọi là có œh‡ phân mũ trên (0,00) nếu tồn tại họ các

toán tử chiếu tuyến tính bị chặn P(#) trên X với £ > 0 và các hằng số dương,

N, v sao cho:

(a) U(t,s)P(s) = P(t)U(t.s), t>s>0,

(b) Anh xa han ché U(t,s)) : KerP(s) + KerP(/) f > s > 0, là đẳng cấu,

và ánh xạ ngược được biểu diễn bởi U(s.t)) = (U(t,s))) 1, 0< 8 <t,

(c) ||U(t,8)al| < Ne") ||] voi x € P(s)X t > s > 0

(4) |IU(s.f)\zl| < We-*#=*®||z|| với z € KerP(t), t > 5 > 0

Toán tử chiếu P(f), t > 0, goi là toán tử chiếu nhị phân, và các hằng số Ñ, w

gọi là các hằng số nhị phân

(2) Họ tiến hóa # được gọi là ổn định mũ nếu nó có nhị phân mũ với toán tử

chiếu nhị phan P(t) = Id véi moi t > 0 Nói cách khác, # gọi là ồn định mũ nếu tồn tại các hằng số dương Ä và sao cho

|U(t, s)|| < Ne“ voi mọi £ > s > 0 (1.13)

25

Ta chi ý rằng, với các tinh chat tit (a) dén (d) của toán tử chiếu nhị phân P(t) suy ra

1 H :=suppso ||P(t)|| < 00,

2 t+ P(t) lien tuc manh

(xem Minh, Räbiger & Schnaubelt (60, Bổ đề 4.2]) Chúng tôi tham khảo trong Huy [16] cho các đặc tính của họ tiến hóa có nhị phân mũ trong không gian hàm

Tit phép chiéu P(t), t > 0 tren X, ta xét ho toan tit P(t), t > 0 tren C (xem

thém Boutet, Chueshov& Rezounenko [61]) nhit sau:

P(t) :C + C, (P(t)d)(0) = U(t — 0,1) P(t)4(0) vai moi 9 € [=r,0] (1.16)

Từ đó ta có (P(t)? = P(t), va toan tit P(t), t > 0 là toán tử chiếu trên C Va

ImP(t) = {6 € C : (0) = U(t — 8, t)a, V0 € [-r,0], a € ImP(t)}

Tương tự như vay, tit phép chiéu P(t), t > 0, tren C, ta xét họ toán tử P,(t), t >

0 nhit sau:

P(t) : C, + C,, (P,()6)(0) = U(t — 6, t) P(t) (0) véi moi 6 € [-90, 0] (1.17)

Khi d6, (P,(t))? = P,(t), suy ra P,(t),t > 0, la todn tit chiéu tren Cy Và ta

cũng, có

ImP,(t) = {6 € C, : 6(0) =U(t — 8, t)a, VO € [-00, 0], a € ImP(t)}

26

1.6 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến

toán Cauchy (1.19) có dạng w(f) = U(f, s)u(s) và với điều kiên ban đầu, u(0) =

uọ € X, nghiệm đủ tốt của phương trình (1.18) là hàm z liên tục và thỏa mãn

sao cho nghiệm của bài

Có thé tham khao trong Wu [3] dé tim hiểu chỉ tiết về nghiệm đủ tốt của phương,

trình vi phân hàm và mối quan hệ của chúng với nghiệm mạnh và nghiệm cổ

U(t+T.8+T) =U(t,s) vdi moit > s>0 (1.21)

Đồng thời giả sử thêm rằng, không gian Y' được xem là không gian con của

zm

không gian Y” (qua phép nhúng chính tắc) là bất biến dưới tác động của toán tử

U'(T,0), trong đó U'(T.0) là toán tử liên hợp của toán tử U(T 0)

Tiếp theo, để chỉ ra tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hoàn của phương, trình tiến hóa trung tính trong Chương 3 và 4 một công cụ hữu hiệu cần sử

dụng là bất đẳng thức nón, nên trong chương này chúng tôi sẽ nhắc lại khi

cũng như định lý về bất đẳng thức nón sau đây (xem trong Daleckii& Krein [56,

Chương T]):

1.7 Bất đẳng thức nón

Tịnh nghĩa 1.15 Một tập đóng K trong khong gian Banach W duce goi là nón

niễu nó Lhổa mãn các điền kiện:

(+ € K tiầ Àz € K, với mọi À >0,

(li) với zi.za € K thì zị +zs € K,

CHƯƠNG 2

SU TON TAI VÀ TÍNH ỒN ĐỊNH CÓ ĐIỀU KIỆN

CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐÔI VỚI

PHƯƠNG TRÌNH TIÊN HÓA TRUNG TÍNH

Cho không gian Banach X với một tiền đối ngẫu tách được Y Xét phương trình tiến hóa trung tính có dạng

duy = AF + alta), € [0, +00), m9 = 0 € C, (3.1)

với toán tử £ + A(t) tuyén tính (có thể không bị chặn) trên không gian Banach

X, T-tuần hoàn theo biến #, toán tử #': € => X tuyến tính bị chặn được gọi là toán tử sai phân, không gian hàm Œ được định nghĩa bởi Œ ;:= Œ([—r 0], X), toán

tử phi tuyến ø :Ï3¿ x C > X là toán từ trễ, T-tuần hoàn và liên tue Lipschitz

e định bởi w¿(6) := „(ft + 0)

theo ở € Ở, Hàm ứy được gọi là hàm lịch sử vì

với Ø € [—r, 0]

Trước khi trình bày bài toán chúng tôi đưa ra một số giả thiết và định nghĩa

Giả thiết 2.1 Toán tứ sai phân F`: € —y X được cho ở dạng Fó = 6(0) — Wd uới mọi ở € Œ, ở đâu W € £(Œ X) thỏa mãn ||W|| < 1

Nhận xét 2.1 Nếu W không có trọng tại Ú, tức là với mọi e > Ö tồn tại một

hằng số dương ổ < r sao cho

IIf(2)l| < «|ló|| với mọi ó € Œ thỏa mãn suppẻ € [—ổ, 0],

sau đó bằng cách thay đổi chuẩn trong không gian hàm € chúng ta có thể thu

được một chuẩn tương đương sao cho với chuẩn tương, đương mới này trên không

gian C ta có ||W|[ < 1 (xem chỉ tiết trong Huy & Bang [37])

29

Gia thiét 2.2 Todn tit tré phi tuyén g : (0,00) x C+ X théa man các điều kiện

sau:

(1) |Ig(,0)\| <7, (7 la hang số không âm),

(2) ham g(t,v) là T-tuần hoàn theo t vdi méiv € C, (2.2)

(8) lân tại các hằng số dương p uà L sao cho:

llg(t v1) — g(t, v2)|| < Ll}vr — valle Vei s2 € €, |mile < ø, |talle < ø

Định nghĩa 3.1 Xét phương trình (3.1) với họ toán tử (A(f))¿o được xác định

sao cho bài toán Cauchy (1.12) đặt chỉnh Khi đó, với họ tién héa (U(t,5)) 50

được sinh bởi họ toán tử (A(f)):x0 phương trình tích phân

+

Pu, = U(,0)Fua + [vena uy)dr với mọi t > 0 (2.3)

0 được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1)

Khi đó, bài toán được đặt ra như sau:

BÀI TOÁN Xét phương trình (2.1) với họ (A(t)),.9

(U(t.s)), 59 thỏa mãn Giả thiết 1.1, toán tử sai phân F thỏa mãn Giả thiết

sinh ra họ tiến hóa

9.1, toán tử phi tuyến ø thỏa mãn Giả thiết 2.2 Chứng minh:

© Sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt 7-tuần hoàn của phương trình (2.1)

¢ Tính ồn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn thu được

Năm 2016, Huy & Dang [13 14] đã công bố hai nghiên cứu về nghiệm đủ tốt

tuần hoàn của phương trình tiến hóa với hàm phi tuyến là toán tử Nemytskii

liên tục Lipschitz, và trường hợp hàm phi tuyến g(†.1) thỏa mãn ¿-Lipschitz

4 định lý dạng Massera được sứ dụng để chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa khi họ toán tử (A(f)),ụ

tién hoa (U(t,s)), 9 có nhị phân mũ Dồng thời cũng chỉ ra được tính ổn định

sinh ra họ

có điều kiện của nghiệm tuần hoàn thu được Nhưng khi thay phương trình tiền hóa bởi phương trình tiến hóa trung tính, tức là phương trình mới là phương trình vừa có trễ lại vừa có cä sớm bài toán trở lên phức tạp hơn nhiều Khi giải

quyết bài toán này chúng tôi đã gặp phải những khó khăn sau:

30

1 Phải phân biệt Fu, thay cho u(t), trường hợp này công thức biến thiên

hằng số chỉ có giá trị đối với Ƒw, Nói rõ hơn, chúng tôi chỉ biết nghiệm

đủ tốt của các phương trình tiến hóa trung tính thỏa mãn phương trình tích phan (3.3), là một quan hệ ẩn được biểu diễn bởi toán tử sai phân F

và hàm lịch sử ø của trạng thái mà không phải là một biểu thức tường:

minh cia trang thai ¡ trong phương trình

9 Vì trễ xuất hiện trong đạo hàm nên nó có thể thành sớm, đó đó phải xử

lý hỗn hợp cả trễ cả sớm

Để khắc phục những khó khăn này, chúng tôi đã phải: Sử dụng đạng của

toán tử #' cùng với chuỗi Neuman để rút được œ từ /;, đồng thời kết hợp với

sử dụng phương pháp Massera để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm

tuần hoàn của phương trình trung tính tuyến tính Từ kết quả của phương trình

tuyến tính, với việc sử dụng nguyên lý điểm bất động chúng tôi sẽ chứng minh được cho phương trình nửa tuyến tính Và điều đáng nhấn mạnh ở đây là kết quả của bài toán trừu tượng trên lại hoàn toàn phù hợp với trường hợp họ toán

tử (A(0)),„ sinh ra họ tiền hóa (U(f,s)),„„„„ có nhị phân mũ vì trong trường

hợp này chúng tôi có thể chọn véc-tơ ban đầu từ nghiệm bị chặn đó

Các kết quả chính của chương nằm trong các định lý: Dịnh lý 2.1, Dịnh lý 3.2 và Dịnh lý 2.4

Nội dung của chương này được viết theo công trình [CTI] trong Danh mục

các công trình đã công bố của luận án

2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung

tính tuyến tính

Cho hàm ƒ nhận giá trị trong không gian Banach ÄÝ, chúng tôi xét phương

trình tiến hóa trung tính tuyến tính không thuần nhất với hàm chưa biết u(-)

có dạng

dFu, FP = Al Fut F(t) 1 € (0,00), ea)

up = 6€C:=C ((-r,0],X), toán tứ (A()),„„y được xác định sao cho bài toán Cauchy

đặt chỉnh Điều này có nghĩa là, tồn tại họ tiến hóa (U(† s ))¿>s>o sao cho nghiệm

của bài toán Cauchy (2.5) được cho bởi (f) = U(,s)u(s)

Phương trình tích phân

t

Fu; =U(t,0)Fug + / U(.7)f()dr với mọi t > 0 (2.6)

ý

được gọi là nghiệm đủ tối của phương trình (2.4)

Bỗ đề 2.1 (xem Dang [62, Dinh lý 2.1.3]) Cho khong gian Banach X, ho tién

héa (U(t.S)) 050

ƒ €O(Ñ¿ Ä) tồn tai xy € X sao cho

théa man Giả thiết 1.1 tà chúng tôi giả sử thêm rằng: Với

là T-tuần hoàn tà ||ie|| < (M + T)K€*||(f||c,œ,.x) Hơn nữa, nếu họ tiến hóa

(U(t.s)) 5459 thda man

im ||U(t,0)a\| = 0 vai x €X sao cho U(t.0)e bi chan trong Ry ato

thi xác định ở trên là duy nhất

Sử dụng Bồ đề 2.1, ta có định lý sau chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm

đủ tốt T-tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính truyền tính (2.6)

Định lý 2.1 Giả sử các giả thiết của Bổ dề 2.1 đúng tà toán tử sai phân P thỏa mãn Giả thiết 9.1 Khi đó, phương trình (3.6) có một nghiệm ñ(1) là T-luần

hoàn thỏa mãn

Hơn nữa, nếu họ tiến hóa (U(t.3)), „ thỏa mãn

lâm IU(,0)2||= 0 với x EX sao cho U(t,0)x bi chặn trong R,, — (2.9)

thì nghiém a(t) la duy nhất

32

Chứng mình Cho # là véc-tở bạn đầu trong Bổ đề 2.1 sao cho

¡ 1(£) = U(t.0)ê + [ve T)ƒ(r)dr với t >0

6 day, @(t)(—r < t <0) là kéo dài tuần hoàn của (f) trên khoảng [—r.0) Vì

0{£) là T-tuần hoàn, nên ©(f) là 7-tuần hoàn Ta có, Q € C, ([-r, +00), X) va

a(t) = |ư - #) "| (i) (2.13)

Nhờ Giả thiết 2.1 ta thu được

Fa = a(t) — Wa) = (1a) (t) — [a] ()= lứ -¥) a] (t) véi moi t > 0

0

33

Rõ ràng, từ phương trình trên cho £ = 0 ta thu được Pủo = #

nghiệm của phương trình (2.6)

Vi Q(t) là T-tudn hodn nén (WO)(T) = ¥(Ar) = Y(M%) = (WO) (0) Tit do ta

có (wo) (T)= (wo) (0) với mọi n € N Do do,

ñ(T) = > (#9) (0) = (= wa) (0)

- (> *) 0) ()= ((- 9) 9) (0)

=ñ(0) Suy ra ñ(£) là 7-tuần hoàn Mặt khác, ta có

Cuối cùng, ta sẽ chứng mình nếu họ tiến hóa (U(t

thì nghiệm đủ tốt 7-tuần hoàn là duy nhất Thật vậ

nghiệm tuần hoàn chu kì 7 của phương trình (2.6) Bằng kỹ thuật kéo dài tuần

5));>„„ạ thỏa mãn (2.9),

cho #i(#) và a(£) là hai

hoàn trên khoảng [—r 0) có thể xem ñ¡(£) và ña(f) là T-tuần hoàn trên [—?, s)

Tiếp theo với việc đặt Øị = (I — W)ñi và 9ạ = (I— Ÿ)ña, ta có

fies ext) = ,Đ)áy + [U(r)f)dr với # >0,

voi —r<t<0

6 day 7 va d2 kéo dai T-tuan hoan trén

0) tương ứng của vy va vy Khi do,

dat & = 0) — M2 suy ra ® là T-tuan hoan va véi moi t > 0 ta thu được

H(t) = U(t, 0) (#1 — &2)

Vi O() bi chặn tren By, tit ding thức (2.9) suy ra Jim |IĐ(0)| = 0 Điều này

cùng với tính tuần hoàn của ® thu được ®(/) = 0 véi moi t > 0 Do dé, 2) = 9

Cho không gian Banach X với không gian tách được Ÿ (X = Y”) Ta xét

phương trình tiến hóa trung tính sau

dFuy

—“ = A(t)Fu + g(t u),t > 0, dt eH (2.17)

ug = €C = C([-r,0],.X),

trong đó, toán tử A(f), £ > 0 nhận giá trị trong X, giả thiết của Bổ đề 2.1

được thỏa mãn, toán tử sai phân # thỏa mãn Giả thiết 2.1, toán tử phi tuyến

4:|0,%) x Œ => X thỏa mãn Giả thiết 2.2 Phương trình (2.17) có nghiệm đủ

dám ||UŒ.0)#||— 0 tới x € X sao cho U(t,0)x bị chấn trong Ry oe

35

Khi đó nêu L uà + đủ nhỏ để

va a(t) là hàm kéo dai T-tuin hodn cia u(t) trén khodng [-r,0) Liu ý rằng,

sự tồn tại va duy nhất của vw thỏa mãn (2.22) được suy ra từ Định lý 2.1

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng nếu Ƒ và + đủ nhỏ, thì phép biến đổi ® đi

từ BỈ vào chính nó Thật vậy, với bất kỳ v € BY va ø thỏa mãn Giả thiết 2.2,

Vậy, với v € BT ,» theo định nghĩa của ® va tit (2.24) ta thu được

tủa L và + chúng tôi sẽ chỉ ra được ® : BÍ + BT

là một ánh xạ co Thật vậy, với v1, € BF, dat wy = (v1), wy = ®(0ạ) và

tớ = ty — tạ Khi đó, theo định nghĩa của ® ta thu được se là nghiệm duy nhất

T-tuần hoàn của phương trình

ì Ñị < puên “mm <1 Do đó, ®: Br — Bf la mot anh xa co

Vậy, tồn tại điểm bất động duy nhất ñ € Bƒ của ánh xạ ®, và theo định nghĩa

của ®, hàm ứ này là nghiệm đủ tốt duy nhất 7-tuần hoàn của phương trình (3.17) và thỏa mãn |lñ |œ(-„=~),x) < Ất oO

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu trường hợp họ toan tit (A(t)),.9 sinh ra ho

tiến hóa (U(,)),„.„„„ có nhị phân mũ tsp

2.3 Nghiệm tuần hoàn trong trường hợp họ tiến hóa có nhị

phân mũ

Khi họ tiến hóa (U(f,s)):>s>0 có nhị phân mũ, bằng việc sử dụng phương

trình Lyapunov-Perron, sự tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình (2.6) được

chứng mỉnh thuận lợi Vì vậy, sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của

37

phương trình (2.6) được chứng minh và từ đó suy ra sự tồn tại và duy nhất

Bồ đề 2.2 Cho họ tiến hóa (U(t,s)), 9 có nhị phân mũ uới toán tứ chiếu

nhi phan tuong ting P(t) vdi t > 0 va cée hang s6 nhi phan N,v > 0 Cho FEC (R,,X), vig théa man Giả thiết 2.2 Khi đó các mệnh đề sau đứng

(a) Cho w € C,(Ry,X) duge cho bdi

(b) Cho u € Cy ([—r, 00), X) la mét nghiém ctia phitong trinh (2.18) thản mãn

sup ||u(t)|| < p vdi mỗi p > Ú cố định Khi đó, u thỏa mãn

Nhận xét 2.2 Bang tinh ton true tiép 6 thé chimg minh diéu nguge lai eta

mệnh đề (a) và (b) ở trên cũng đúng với # > 0, tức là:

1 Nghiệm của phương trình (3.27) là nghiệm của phương trình (2.20)

38