Trong đó chù yếu nghiên cứu chuyển động cơ học và cân bằng cùa chất điểm và hệ các chất điểm và cùa một vài mõ hình vật rắn dơn giản.. Nội dung chủ yếu cùa tĩnh học gồm các ván le sau: -
Các khái niệm cơ bản và hệ tièn đề tĩnh học
CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN VÀ
HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
Trong chương này, chúng ta sẽ giới thiệu ba khái niệm cơ bản: lực, vật rắn tuyệt đối và cân bằng, cùng với một số định nghĩa quy ước như hệ lực, hệ lực tương đương và ngẫu lực Tiếp theo, chương sẽ trình bày hệ năm tiên đề tĩnh học của vật rắn tự do Cuối cùng, chúng ta sẽ thảo luận về các khái niệm liên kết, phản lực liên kết và nguyên lý giải phóng liên kết, nhằm hỗ trợ việc tính toán cân bằng cho các vật rắn chịu liên kết.
Lực là một khái niệm cơ bản trong cơ học, nhưng việc định nghĩa nó một cách chính xác rất khó khăn Thay vào đó, lực thường được giải thích thông qua các ví dụ cụ thể Ví dụ, trong hình 1.1, bàn tay phải tạo ra một lực để giữ cho vật nặng chịu trọng lực G không bị rơi.
Lực là một đại lượng vật lý có thể so sánh với tác dụng của trọng lực, như thể hiện qua hình 1.2, nơi lò xo phải dãn ra để tạo ra một lục cân bằng với trọng lực của vật nặng treo vào nó Chúng ta thừa nhận sự tồn tại của trọng lực và tác dụng của nó, từ đó rút ra kinh nghiệm hàng ngày cho thấy lực có thể được đo lường và so sánh với trọng lực.
Lực được xác định bởi ba yếu tố chính: độ lớn, hướng và tác dụng Để biểu diễn lực, chúng ta sử dụng đại lượng véc tơ lực, ký hiệu là F Véc tơ lực có gốc trùng với điểm đặt của lực, phương và chiều tương ứng với phương và chiều tác dụng của lực, và độ dài tỷ lệ với độ lớn của lực Đường thẳng mang véc tơ lực được gọi là đường tác dụng của lực Đơn vị đo lực là Newton, ký hiệu là N, với 1 N = 1 kg·m/s².
Trona hệ toạ độ Descartcs vuông góc (hình 1.3) véctơ lực F được biểu diễn dưới dạng
Trong đó, ẽ, ỵ là các véc tơ đơn vị trên các trục tọa độ, còn Fx, Fy, Fz là các hình chiếu của véc tơ lực F trên các trục Ox, Oy và Oz Độ lớn của lực F được xác định bởi định lý Pythagoras, với công thức f = √(Fx² + Fy² + Fz²).
Hướng cùa lực F dược xác định bời các cỏsin chỉ hướng
F F F b) Vật rắn tuyệt đối, Vật rắn tuyệt đói là tập hợp các chất diêm mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ cùa nó luôn luôn không đổi.
Dưới tác dụng của lực, vật rắn lý tưởng không bị biến dạng, nhưng thực tế, vật rắn thường bị biến dạng một chút Khi các biến dạng này không đáng kể, chúng ta có thể coi vật rắn là tuyệt đối Trong giáo trình này, để đơn giản hóa, chúng ta sẽ gọi vật rắn tuyệt đối là vật rắn.
Hệ quy chiếu là một vật thể được chọn làm mốc để theo dõi chuyển động của vật rắn Trong cơ học, hệ quy chiếu thường đi kèm với một hệ tọa độ, mà thực chất chỉ là công cụ tính toán Để đơn giản hóa, đôi khi người ta sử dụng trực tiếp hệ tọa độ thay cho hệ quy chiếu.
- Vật rắn cân bằng Một vật rắn được gọi là cân bằng nếu nó đứng yên
(không thay đổi vị trí) đối với mỏt hệ quy chiếu đã chọn.
Hệ lực là tập hợp các lực tác dụng lên một vật rắn, được ký hiệu là (F1, F2, Fn) Hai hệ lực được coi là tương đương khi chúng có cùng tác dụng lên vật thể.
Hai lực tác dụng lên một vật rắn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tác dụng cơ học lên vật đó Điều này có nghĩa là hai lực này cùng tạo ra trạng thái chuyển động hoặc cân bằng giống nhau cho vật rắn Chúng ta ký hiệu sự tương đương này bằng dấu "s".
(F i ,F2, ,F„) = (ộ í ,ỷ 2 , ,ịni) c) Hợp lực cùa hệ lực Nếu hộ lực (F ị, F f F n ) tương đương với một lực R, thì lực đó được gọi là hợp lực của hộ lực đã cho
Hệ lực không phải lúc nào cũng có hợp lực Một hệ lực được gọi là hệ lực cân bằng khi các lực tác dụng lên một vật rắn không làm thay đổi trạng thái chuyển động hay sự cân bằng của vật đó.
(1) Ngẫu lực Một hê gồm hai lực song song, ỵ £ \ * / ngược chiều cùng độ lớn được gọi là một ngẫu lực (hình 1.5) Ky hiệu ngẫu lực (F , F ') Hình 1 5
Khoảng cách giữa hai đường tác dụng của hai lực thành phần của một ngẫu lực được gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực Mặt phẳng E chứa hai lực của ngẫu lực được gọi là mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực.
Khái niốm ngẫu lực do nhà bác học người Pháp, Louis Poinsirt (1777-1X59) (Jưa ra nãm 1SÍ )4
Vật rắn tự do là những vật có khả năng di chuyển linh hoạt từ vị trí này sang vị trí khác mà không bị cản trở, trong khi vật rắn chịu liên kết là những vật có ít nhất một di chuyển bị hạn chế Một hệ nhiều vật rắn được coi là cân bằng khi tất cả các vật rắn trong hệ đều ở trạng thái cân bằng.
Hệ tiên đề là tập hợp các mệnh đề được công nhận mà không cần chứng minh, với yêu cầu các mệnh đề phải độc lập và tối thiểu về số lượng để phục vụ nghiên cứu đối tượng Để nghiên cứu cân bằng của vật rắn tự do, hệ tiên đề tĩnh học bao gồm 5 tiên đề Khi xem xét cân bằng của vật rắn chịu liên kết, nguyên lý giải phóng liên kết có thể được thêm vào, tạo thành tiên đề thứ 6, từ đó hệ tiên đề tĩnh học sẽ bao gồm 6 tiên đề.
Hệ tiên đề trong tĩnh học bao gồm 5 tiên đề cơ bản Tiên đề 1 xác định điều kiện cần và đủ để một vật rắn tự do cân bằng dưới tác dụng của hai lực: hai lực này phải có chung một đường tác dụng, cùng độ lớn và ngược chiều nhau Ý nghĩa của tiên đề này là quy định tiêu chuẩn cân bằng cho vật rắn dưới tác động của hệ lực đơn giản nhất Tiên đề 2 liên quan đến việc thêm hoặc bớt một lực trong cặp lực cân bằng.
Hệ lực tác động lên vật rỗng không thay đổi khi thêm hoặc bớt một cặp lực cân bằng Tiên đề 2 nhấn mạnh sự quan trọng của các phép biến đổi tương đương trong lực Tiên đề 3 đề cập đến tiên đề hình bình hành lực, khẳng định mối quan hệ giữa các lực tác động.
Hai lực đặt vào cùng một điểm thì có hợp lực.
Hệ lực phảng và diều kiện cân bằng của vật rán phẳng
HỆ L ự c PHẢNG VÀ ĐIỂU KIÊN CÂN BẰNG CỦA
Hệ lực phẳng bao gồm các lực nằm trong cùng một mặt phẳng và là một khái niệm quan trọng trong các bài toán kỹ thuật Mặc dù chưa phải là hệ lực tổng quát, việc nghiên cứu hệ lực phẳng là cần thiết và điển hình cho phương pháp khảo sát các hệ lực khác Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích các bài toán liên quan đến việc thu gọn hệ lực phẳng thành dạng đơn giản và xác định điều kiện cân bằng của vật rắn phẳng dưới tác động của hệ lực này.
1.1 Véctơ chính a) Địnli nghĩa 2.1 Cho hệ lực phảng (Fị,F2, -,F„} Véctơ chính của hệ lực phảng, ký hiệu là R' , là tổng hình học các véctơ lực thành phần cùa hệ
*=| b) Cách xác địnli véctơ chinh
Pliuơng pháp chiếu: Chiếu lực thành phần Fk lên hai trục toạ độ vuông góc Ox và Oy ta F ty đựợc F ^ F ^ F f y )
Từ (1.1) ta có hình chiếu cùa R' trên hai trục 2 1 to ạ đ ộ là
Phương pháp vẽ: Ta có thể xác dịnh véctơ chính bằng phương pháp vẽ đa giác lire
Mômen chính của hệ lực phẳng đối với một điểm được định nghĩa qua công thức mômen của lực F đối với điểm O Mômen đại số của lực F tại tâm O được tính bằng đại lượng m0(F) = ± F d, trong đó d là khoảng cách từ điểm O đến đường tác dụng của lực F.
Trong (1.3) ta lấy dấu công (+) nếu lực F quay quanh o ngược chiều kim đồng hổ và lấy dấu trừ (-) nếu lực F quay quanh o thuận chiều kim đồng hổ.
Trong công thức (1.3) d là khoảng cách từ tâm o dến đường tác dụng cùa lực
F và được gọi là cánh tay đòn. b) Phương pliáp giải tícli xác định mónten của lực F đối với điểm o
Trong hệ toạ độ Oxy, lực F có biểu diễn
F = F J I + Fyẽy , điểm dặt của lực có toạ độ A (xA, y A).
Ta có công thức tính mômen fủ0(F ) = x AFy - y AFx
Theo hình 2.3 ta có: ủi0(F )= +Fd = F (x As ỡ n a - y Acosa)
Công thức này hay được sừ dụng khi ta sử dụng công cụ tin học.
K h ái rũỊm m òm en của lực (lôi với m ộ t tâm d ã được sử d ụ n g từ thời A risto teles (BC 38 4 -3 2 2 ) và
Khái niệm mômen đã được trình bày rõ ràng lần đầu bởi Lcimudo ¿ĩ V iĩu i (1452-1519) và sau đó được phát triển bởi nhà bác học Giovanni Bôndetti (1330) Định nghĩa 2.3 về mômen cho biết rằng mômen chính của hệ lực phẳng đối với tâm O là một đại lượng đại số, được tính bằng tổng các mômen đại số của các lực thành phần thuộc hệ này, lấy đối với tâm O.
Trong ví dụ 2.1, hệ ba lực F1, F2, và F3 nằm trên cùng một mặt phẳng như hình 2.4 Cần xác định véc tơ chính và mômen chính của hệ lực này đối với tâm O Các giá trị lực được cho là F1 = 3N, F2 = 2√2N và F3 = 4N Toạ độ các điểm trong hệ thống cũng cần được xem xét để tính toán chính xác.
Lời giài Véctơ chính của hệ lực là
Từ đó ta có â ; = 0 + 2 + 4 = 6(AO, R'y = 3 + 2 = 5 (N )
Mômen chính cùa hệ lực đối với tâm o ỈÃ q = ĨĨÌQ(Fị ) + lĩiQ (F2 ) + ÌĨỈQ ) = 3.2 - 2sỉĩ ,\Ỉ2 - 4.4 = -1 4 (Ncni) §2 THU GỌN HỆ L ự c PHẲNG
Định lý 2.1 cho biết rằng khi thu gọn hệ lực phẳng đồng qui, chúng ta sẽ nhận được một hợp lực Hợp lực này được đặt tại điểm đồng qui và được biểu diễn bằng véctơ chính của hệ lực đã cho.
Cliứng minh Cho hệ lực ị^Fị,F2, ,Fn^áỒng qui tại o Áp dụng liên tiếp tiên đề 3 ta có
Mômen dại số của ngẫu lực được định nghĩa qua hệ thức: \( M(F,F') = \pm Fct \) Hệ thức này giúp xác định mối quan hệ giữa các lực tác động trong hệ thống, từ đó thu gọn hệ ngẫu lực một cách hiệu quả.
Dấu cộng (+) lấy khi ngẫu lực quay ngược chiều kim đồng hồ, dấu trừ(-) lấy trong trường hợp ngược lại.
Theo định nghĩa 2.4, ta có m(F, F') = mA{F'B) = mBự A) Điều kiện tương đương của hai ngẫu lực nằm trong cùng một mặt phẳng được thể hiện qua Định lý 2.2, trong đó hai ngẫu lực được coi là tương đương khi mômen đại số của chúng bằng nhau, tức là niF„FO = m ự 2,F i) => r ô / Ĩ X A / ặ).
C h ứ n g m i n h Gọi A ị là đuỉmg tác dụng của lực F ị , A2 là đường tác dụng cùa lực F2 Như thế có hai khả năng xảy ra: hoặc A| cắt A2 hoặc
Trường hợp 1: Aị cắt A2 ờ o còn AỊ cắt A'2 ở O ' T a trượt lực Fị đến o ( F | =ÕĂ) và lực f ; đến O ' T ừ /4 kẻ A B IIO O ',A C I/A2
Phân tích lực F theo hai thành phần theo trục A2 và đường thẳng OO' cho ta F = (F3, F4) Tương tự, lực F{ cũng được phân tích thành hai thành phần theo các trục A2 và OO', với kết quả là F{ = (F3, F¡).
Do = 2SiAŨAƠ - 2 = |ủ ^ F 3, / l3')| và hai ngẫu lực (Fị,F{) và (Fj.Fj) cùng chiéu quay nên m{Fị,Ẽí') = m(FìyFị).
Chú ý đến già thiết ta suy ra m(F3, F j) =m{F2, F{ ) Hai ngẫu lực (F2, F{ ) và (F j.F /) có cùng cánh tay dồn, cùng chiều quay nên f 2 = f „ f í = f ; (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
TrưiniỊỊ lụrp 2: A| //A -) K ẻ hai đường thẳng son g song ổ và 5' cắt A| và
A ị T ư ơng tự n h ư phần trên ta c ó thể b iến d ổ i ngẫu lực v ề ngẵu lực ( F y F ị ) mà /TớI = ; ô
Hai ngầu lực (F ị ,F{) và (Ft,FJ ) c ó m ôm en ĨĨÌỊ = nì2 T heo trên ta có
(F : ,F ị ) = { F i F l ) D o đ ó = ( A , F Í ) Định lý được chứng minh x o n g
Từdịnh lý 2.2 ta suy ra các hệ quả sau:
Ngẫu lực lên vật rắn không bị ảnh hưởng khi thay đổi cánh tay đòn và trị số của lực, miễn là mômen đại số của ngẫu lực giữ nguyên.
- Ta có thể di chuyển tuỳ ý một ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó.
- Tác dụng cùa ngẫu lực lên vật rắn được dăc trung, hoàn toàn bởi mômen đại sô' cùa nó.
Hình 2.8 c) TI iii Ịọn liệ ngầu lực phđng
Hình 2.9 Định lý 2.3 Thu gọn hệ ngẫu lực phảng ta dược một ngẫu lực tổng hợp
Ngảu lục tổng hợp là sự kết hợp của các ngẫu lực trong mặt phẳng, thể hiện qua tổng hợp các mômen đại số của các ngẫu lực thành phần.
Để chứng minh, ta xem xét trường hợp 11=2 với hai ngẫu lực F1 và F2 có momen là M1 và M2 nằm trên một mặt phẳng Theo hệ quả của định lý 2.2, ta giả thiết rằng hai ngẫu lực này có cùng cánh tay đòn và cùng chiều quay Hình vẽ (2-9) sẽ minh họa cho mối quan hệ này.
Việc mở rộng chứng minh sang trường hợp I I > 2 hoàn toàn tương t ự
Định lý 2.4, hay còn gọi là định lý dời lực song song, cho biết rằng một lực F tác động tại điểm A có thể được thay thế bằng một lực F' = F tác động tại điểm B, kèm theo một ngẫu lực có mômen tương đương với mômen của lực F tại điểm B.
Chứng minh Cho lực F đạt tại A Tại B ta đặt một cặp lực song song cùng trị sô' và cùng đường tác dụng F ' và F " mà F ' = F ta có :
Định lý Poinsot về thu gọn hệ lực cho phép chuyển đổi một hệ lực phẳng bất kỳ tại một điểm tâm tùy ý thành một lực và một ngẫu lực.
22 đặi tại tâm o và dược biểu diễn bằng véctơ chính cùa hệ, ngầu lựe có mómen bằng mômen chính của hệ lực lấy đối với tâm o
Chửng mi nil Áp dụna định lý dời lực song song ta có (hình 2.11) ự i - Ạ - - F„) = ự ; , ủ / y và (/ằ„ự t ),/Ti0 ự 2 ằ0 (F„)) c) Ảnh hường của lâm thu gọn
Thu gọn hệ lực phẳng vẻ hai tâm thu gọn o và A khác nhau, ta duợc ự i,F1, ,F,,) = (R0 ,M 0) với R0 = ỵ j Fk, ữ 0 = Ỵ Jũio [Fk )
Véctơ chính Rọ và RẢ là giống nhau và không phụ thuộc vào tâm thu gọn, trong khi các mômen chính AÍ q và M A lại phụ thuộc vào tâm thu gọn theo quy luật đã được xác định Định lý 2.6, hay còn gọi là định lý biến thiên mômen chính, khẳng định rằng mômen chính của hệ lục phẳng (Fị, F2, , F„) phụ thuộc vào tâm thu gọn theo quy luật cụ thể.
Trong dó M 0 , M A là mỏmen chính của hệ lựe dối với o và A, R'Ả là véc tơ chính cùa hệ lực đặt tại A.
Chứng minh Theo công thức (1.4) ta có
= z ( x i F iy - y>Fi* ) - X A X F iy + y A z F ix z " a ( ^ ) = z '"o ( ^ ) - {XAR'y - y A K )
Hệ quả Khi véctơ chính cùa hệ lực bàng không, mômen chính của hệ lực khỏng phụ thuộc vào tâm thu gọn.
Dạng chuẩn của hệ lục phẳng là dạng đơn giản nhất mà hệ lực có thể chuyển đổi tương đương Các dạng chuẩn này giúp phân loại và phân tích các hệ lực phẳng một cách hiệu quả.
Hệ lực không gian và điều kiện cân bằng của vật rắn không gian
HỆ L ự c KHÔNG GIAN VÀ ĐIỂU KIỆN CÂN BẰNG
CỦA VẬT RẮN KHÔNG GIAN
Hệ lực không gian là tập hợp các lực có đường tác dụng không nằm trong cùng một mặt phẳng Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét hai vấn đề cơ bản trong tĩnh học: chuyển đổi hệ lực không gian về dạng đơn giản và xác định điều kiện cân bằng của vật rắn trong không gian.
Mômen của lực F đối với một điểm O, ký hiệu m0(F), là một đại lượng véctơ có phương vuông góc với mặt phẳng chứa điểm O và lực F Mômen này có chiều hướng xuống mặt phẳng, sao cho khi nhìn từ đầu mút của nó, lực F sẽ quay quanh O theo chiều ngược kim đồng hồ, với trị số được tính bằng Fd.
Trong đó d là khoảng cách từ o đến dường tác dụng cùa lực F
Liên hệ với khái niệm tích hữu hướng của hai véc tơ trong toán học ta có công thức n,0 (F ) = F x F (1.1) Hình 3.1
Nếu kí hiệu thì ta có r = xex + yey + ze2
Neu sir dụng khái niệm ma trận đối xứng lệch r cùa véc tơ ĩ (hay còn gọi là toán tử sóng r )
- y X 0 thì công thức ( 1.2) có dạng ma trận như sau
Biểu thức (1.4) cho phép tính toán mômen của lực đối với một điểm trên các phần mềm máy tính một cách dễ dàng Định nghĩa mômen của lực đối với mỗi trục được thể hiện qua mômen đại số của lực F đối với trục A, được tính bằng công thức m&(F) = m0(ủ = ± F 'd ' (1.5).
Trong d ó F 'lá hình chiếu cùa lực F lẻn mặt phing E vuông góc với trục A, còn o là giao điểm của trục A với mặt phảng E, d' là lchoàng cách từ 0'đến F ' :
Mômen của lực F đối với trục A bằng hình chiếu của véctơ mômen của lực F tại điểm o nằm trên trục A Điều kiện để mômen này bằng 0 là khi lực F song song với trục A hoặc khi lực F cắt trục A.
Chọn trục z trùng với trục A, mặt phẳng tọa độ Oxy là mặt phẳng E Gọi A' là hình chiếu của điểm A dưới tác dụng của lực F trên mặt phẳng Oxy Khi đó, điểm A có tọa độ A(x,y,z) và lực F được biểu diễn dưới dạng F(Fx,Fy,Fz), trong đó Fy = F'y.
Theo biểu thức (1.2) ta có hc [/ằ o(F )] = xFy - y F x (1)
Mặt khác theo công thức (1.4) trong chương 2 ta có ỡằa(F) = ĨĨ70(F') = xFy - yFx = xFy - yFx (2)
T ừ ( l) và (2) ta suy ra ¡ĩìầ(F ) = hcầ [m 0 {F)}i
Trong hệ lực không gian, hai đại lượng đặc trưng quan trọng là véc tơ chính và véc tơ thành phần Véc tơ chính của hệ lực không gian, được ký hiệu là (F1, F2, , Fn), là tổng hợp hình học của các véc tơ thành phần thuộc hệ.
Cách xác định Hình chiếu của Ề ’ cùa trên các trục toạ độ là
Mômen chính tại một điểm o của hệ lực không gian được định nghĩa là tổng hình học của các véctơ mômen của các thành phần lực trong hệ, tính từ điểm o.
Cáclt xác định Sử dụng công thức (1.6) ta có
Thi dụ 1 Hình lăna trụ có các cạnh a , b và c chịu tác dụng của các lực từ
F\ den Fh như hình vẽ 3.4.
Trong dó Ft = Fi = F , F ị = FA = 2 F, F¡ = Fh = 3F , b = a ,c = 2 a Hãy xác định véc tơ cliính R ' và véc tơ mỏmen chính đối với điểm A và B.
Lời giòi Véc tơ chính của hệ lực
Các hình chiếu trên các trục toạ dộ là
Mômen chính của hệ lực đối với điểm A và điểm B
Từ hình vẽ ta có
M B: ị = aF ịM B\ = y ll2 + 42+ l2 aF = ^ a F §2 THU GỌN HỆ L ự c KHÔNG GIAN
Để thu gọn hệ lực không gian đồng quy, ta có thể xác định một hợp lực Hợp lực này được xác định tại điểm đồng quy của hệ lực và được biểu diễn bằng véctơ chính.
Chứng minh Cách chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh định lý thu gọn hệ lực đồng quy phẳng.
Mômen của ngẫu lực là một đại lượng vectơ, ký hiệu là m, có phương vuông góc với mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực Chiều của mômen tuân theo quy tắc ngược chiều kim đồng hồ, và trị số của nó được tính bằng công thức |m| = F d, trong đó d là cánh tay đòn của ngẫu lực và F là độ lớn của lực tác dụng.
Chú ỷ Liôn hệ với định nghĩa mỗmen cùa lực đđi với một điểm ta có m ự , F ') = mAự ’) = mBự )
Mômen của ngẫu lực được coi là một véctơ tự do Theo định lý, hai ngẫu lực trong không gian sẽ tương đương nếu chúng có véctơ mômen bằng nhau.
Chứng, minh Đặt vào giao diểm hai đường chéo cùa hình bình hành ABCD m ột c ạ p c â n b ằng ( F ị , F ị ) m à F ị = F|
Do ằ;(Fị,Fị ) = /ằ(Ft.FÍ) mà c/ị = ch nờn Fị = F-, Do ( /7, F ị ) s (Fị, Ạ ) , ta cổ ớ F,./;') ô (F, f?, F3,F3) s (F j , Fj.Fj', F,)- (4^2 )
- Ta có thể ili chuyển song song trong không gian ngẫu lực tác dụng lên vật rắn.
Véc tơ mômen của ngẫu lực đặc trưng cho tác động của ngẫu lực lên vật rắn Để tìm gọn ngẫu lực trong không gian, ta áp dụng định lý lý học, từ đó thu gọn hệ ngẫu lực không gian thành một ngẫu lực tổng hợp.
Véc tơ mômen cùa ngẫu lực tổng hợp bằng tổng hình học các vectơ mômen cùa các ngẫu lực thành phần.
Chứng minh Để đơn giản ta chứng minh theo trường hợp n=2 Cho ngẫu lực
(F i,F i)n ằm trong mặt phẳng E|, ngẫu lực nằm trong mảt phảng E2 Có hai khả năng xảy ra: E| song song với Ej hoặc E| cẳt El-
Nếu E ậ//E._2 Theo định lý trtn la dua hai ngẫu lục về cùng một mặt phẳng, áp dụng định lý thu gọn -ngẫu lục phảng là xong.
Nếu E| cảt E2 theo một đường thẳng, ta Hình 3.7 đưa hai ngẵu lực Ãi|,/n2 về cùng cánh tay đòn như hình 3.7
Từ đó ta có iợi(R, R ) = AB X R = AB X ( f j + ^2 j
Định lý dời lực song song cho phép thay thế một lực F tại điểm A bằng lực F tại điểm B, đồng thời thêm một ngẫu lực có véctơ mômen tương đương với mômen của lực F tại điểm B.
Chứng minh tương tự như trong trường hợp hệ lực phẳng Một hệ gồm lực và ngẫu lực (F, M₀) được gọi là một tócxơ lực.
Như thế toòcxơ lực (F , 0) là một lực Tọócxơ lực (0,Ã/o ) là một ngẫu lực Toócxơ lực (0,0) là một hệ lực cân bằng Nốu M 0 / / F , toócxơ lực
Hệ lực xoắn (F, M0) được định nghĩa qua định lý Poinsot, cho phép rút gọn hệ lực không gian (F1, F2, , Fn) về điểm O, từ đó tạo ra một tọa độ lực (R', M0) Trong đó, R là véctơ chính của hệ lực, và M0 là véctơ mômen chính của hệ lực đối với tâm O.
Chúng ta có thể thu gọn hệ lực (F₁, F₂, , Fₙ) tại điểm O thành một hệ lực đồng quy (F₁, F₂, , Fₖ) và một hệ ngẫu lực (M₀) tại O Tiếp tục quá trình thu gọn, hệ lực đồng quy sẽ cho ra một lực tổng hợp R = ∑ Fₖ, trong khi hệ ngẫu lực sẽ cho ra một ngẫu lực tổng hợp M₀ = I - Mₖ.
( I - A F„) = (R'0 M 0 ) cl) Ả nh hưởng cùa tâm thu gọn
Thu gọn hệ lực không gian về hai tâm thu gọn 0 và A khác nhau, ta được v ớ i R o = ỵ F k, M o = ỵ i ĩ > o ự k )
