Chuyên đề nghiên cứu 2 chuyên ngành Đại số và lý thuyết số: Hệ P-độc lập tuyến tính trong nhóm Abel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH HO THỊ THỦY TUYÊN HỆ P-ĐỘC LẬP TUYÊN TÍNH TRONG NHÓM ABEL CHUYÊN ĐỀ NGHIÊN CỨU 2 THÀNH PHÔ HO CHÍ MINH - 2024... BỘ GI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH

HO THỊ THỦY TUYÊN

HỆ P-ĐỘC LẬP TUYÊN TÍNH TRONG

NHÓM ABEL

CHUYÊN ĐỀ NGHIÊN CỨU 2

THÀNH PHÔ HO CHÍ MINH - 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

HỒ THỊ THỦY TUYÊN

HỆ P-ĐỘC LẬP TUYÊN TÍNH TRONG

NHÓM ABEL

Chuyên ngành: Đại sô và Lý thuyêt sô

Ma sô: DAIS833017

CHUYEN DE NGHIEN CUU 2

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC:

TS PHẠM THỊ THU THỦY

THÀNH PHÔ HO CHÍ MINH - 2024

LỜI NÓI ĐẦU

Chuyên dé 2 tap trung vào việc nghiên cứu khái niệm và các tinh chất của hé p-độc lap tuyến tính trong nhóm Abel, một chủ dé quan trong trong toán học cao cắp Hệ

p-độc lập tuyến tính không chỉ là một khái niềm trim tượng ma còn có ứng dung rong rãi trong lý thuyết nhóm và các lĩnh vực liên quan Chuyên đẻ sẽ trình bày chỉ tiết

về cau trúc của các hệ p-déc lập tuyến tính và cách chúng hình thành nên các nhóm

Abel.

Một phan quan trọng của chuyên dé này là tổng trực tiếp: giúp củng cố và làm rõ

thêm các nội dung đã học Tổng trực tiếp là một céng cu quan trọng trong lý thuyết

nhóm, cho phép chúng ta phân tích và kết hợp các nhóm con để tạo ra những nhóm

lớn hơn với cấu trúc rõ rang

Nội dung chính của chuyên dé bao gỗm việc nghiên cứu các tính chat co bản của

hệ p-độc lập tuyến tính và nhóm sinh bởi chúng Điều này bao gồm việc xác định các

tiêu chuẩn để một hệ là p-độc lap tuyến tính và khám phá mối quan hệ giữa nhóm

sinh bởi hệ này và nhóm con thuần túy

Mục lục

BẢNG KÝ HIỆU

1 Hệ độc lập

1.1 Tổng trực tiếp

II 8n n eee eee 6 ẽ Eố ố Eẽ Í Í Aädd

2 Hệ p-độc lập tuyến tính trong nhĩm Abel

2.1 Hệ mđộc lập

2.2 p-độc lấp và p-thuan túy

Tài liệu tham khảo

10

15

BANG KÝ HIỆU

N,2,.Q.R Tap hợp các số tự nhién, số nguyên, số hữu tỷ, số thực

tt | g n chia hết g

lem(sm, n} Bồi chung nhỏ nhất của hai phan tử m,n

IG Tích trực tiếp, của ho các nhóm {G,};zr

iCÍ

Ba, Tổng trực tiếp của họ các nhém {Gi} cc;

tcÍ

ofa) Cấp của phan tit a

AJB Nhóm thương của nhóm A theo nhóm con B

NG; Giao của họ các nhóm con {Gj} ic;

ict

UG; Hop của ho các nhóm con {G;};¿r

tcÍ

{ay}ie Họ các phan tử a, với chỉ số ï € J

BCA B là tap con của A

Bsa B là nhóm con của A

r{A) Hang của nhóm A

tp A) p-hang cla nhém A

fa) Nhém cyelie sinh bởi phan tứ a

re) Tap hợp rỗng

—a Phan tử đỗi cha a

ú Phan tử Khong

Chương 1

Hệ độc lập

1.1 Tổng trực tiếp

Định nghĩa 1.1.1 Nhóm A được gọi là tổng trực tiếp (trong) của họ {B,};:¡ các nhóm con của A nếu:

1) A= SOB, = {$)b(lL€ J} trong đó quy ước khi ghi XD, thì hau hết trừ mật số

et ef iel hữu han các bị = 0,

2) BAY B; =0 với moiie Ï.

“1

Chú ý 1.1.2 Ta nhắc lại một số tính chat đã biết của tổng trực tiếp:

i) Nếu A= B@C thì C% A/B

ii) Nếu A = @B, thì moi phần tira € A có thể biểu diễn một cách duy nhất thành

ies

c= Yb, với b, € Bie I.

ef

iii) Nếu A = @B; va với méii € I sao cho C; < B, thì

tel ¡€J

iv) Nếu A = @ B, với mỗi B, là một tổng trực tiếp B, = ® By; thì

?

A= PQ Bi.

‘ }

v) Nếu A= @@B¿ thi A = ®, Bi với Bi = ®@Bụ,

t+ 2 2

vi) Nhám xoắn A là tổng trực tiếp của các p-nhém A, (bao gỗm các sỗ nguyên tỗ p

khác nhau) Các Ay được xác đỉnh duy nhất bởi A

A=Qa,

Pp

Mệnh dé 1.1.3 Nếu A= BSC và nến G là một nhám con của A chứa B thì

G = Bea(Gnc).

Chứng minh Ta chứng mình G = B+(GNC) That vay, Ay g € G < A Do A = Bac,

nén g có thé được viết dudi dang g =b+c, với b€ Ö và c€ Ơ Vìg€ G và 8C G,

nên be G, Do đó, e = g—b€ G Vice C và G, nên e€ GNC Do đó, g = b + e với

be BvàceGnC Vay

GOB+(GNC).

Ngược lại, lẫy be Ø và e€ GNC Vì 8€G vàGnñŒC€G, ninb+ceEG Do đó,

B+t(GnC) C G.

Vay G = B+ (Gn(Œ).

Tiếp theo ta chứng mình BN{GNC) = 0 Thật vay, lẫy a € BA(GNAC) Khi đó,

a€Bvàac€GnC Vì GnCCC:, nền a €C Vice Bvàa€C, nếna €6 BNC.

Do A= BSC, nên BNC =0 Do đó, a = 0 Suy ra

BN(Gne)=o.

Vậy G= Ba(Gnc).

Mệnh dé sau cho ta cách tính cắp của phan tử trong tổng trực tiếp.

Mệnh dé 1.1.4 Nếu a€ A= BOC và cóa =b+c(b€ Bye € C) thi ofa) là bội chung nhỏ nhất của o(b) và ofc)

Chứng mink Già sử a € A = B @C và a=b+c với b€ P.cc€ C.,

Dat m là bối chung nhỏ nhất của off) va ofc) Ta có mb = me = 0 Suy ra

ma = m(h+c) = mb+me =0+0=0 (trong A) Vậy

ofa) | m (1.1)

Mặt khác, gia sử &a = O với k € © Khi đó doa = b+e ta có kb+ke = k(b+c) = ka = 0.

Theo tính chat của tổng trực tiếp (Chú ý 1.1.2) suy ra kb = 0 và ke = 0 Do đó có

o{b) | k và ofc) | k Điều này din đến m | k Do đó

ofa) >m (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra ofa) = m Vay ofa) chính là bôi chung nhỏ nhất của ofb)

và ofc) Oo

Dinh nghĩa 1.1.5 Cho A là nhám và nhóm con B Nhóm con H của A được gọi là

nhóm con B-cao của A nếu H thỏa mãn 2 điều kiện:

i) HNB=0.

ii) Với moi nhóm con H’ của A sao cho H < H < A ta cá H'OB F< 0.

Bồ dé 1.1.6 Cho nhóm A và các nhớm con A,.i € I của A Cho B là nhóm con của

mọi nhóm Aj,i € 1 Nêu A/B = @(A;/B) va A; = B @ C, với C; < 4;,¡ € I thì

A=B® (e-)

Bồ dé 1.1.7 Cho nhóm A có nhóm con B và số nguyễn tố p Nếu C là nhám con

B-cao của A thia € A,pa € C kéo theo a€ D@ C < A.

Chứng minh Cho a € A và pa € C.

TH1: a€C ViCN B =0 (do C là nhóm B-cao) nén hiển nhién a € BOC.

TH2: a ¢g C Do C là nhóm Ö-cao nên tổn tại phan tử b € (C,a} OB véi b # 0 Tức là

b=ec+ ka với c€ Œ,k€ # (13)

Giả sử p | & Khi đó vì pa € C nên ka € C Suy rab=c+ha eC Vậy b€ŒñnB =0.

“Từ đó b = 0, vỏ lý Vay (&,p) = 1 Khi đó tẳn tại các số nguyên r,s sao cho rk+sp = 1

Ta có

a = (rk + spja = r(ka} + s{pa).

Từ (1.3), thay ka = b — e, được:

a=r(b—c) + s(pa} = rb = re + s(pa)

Vì rẻ € B và —re + s(pa) € C (do pa € C) nên từ đẳng thức trên ta có a € A

dude biểu điễn bằng tổng của một phần tử thuốc B và một phan tử thuộc Œ Do đó

ace BSc Oo

Bổ để 1.1.8 Cho B là nhóm con và C là nhóm eon B-cao của A Khi đó A= BEC

nếu và chỉ nêu A thỏa mãn điền kiện: với mọi a € A,b € Bye € C nếu pa = b+ thì

pl’ = b với một € B nào đá.

Chứng minh Giả sử A= BSC và pa = b+c(&€ A,b€ B,ccC).Do A=B@CŒC

nên a = + # (Wb € Bic’ € C) Khi đó

b+c = pa = p(E +c) = pb’ + pe’.

Suy ra

b — pl! = pe’ = e

Ma b — py’ € B, pứ — c€ Œ và BNC = 0 nên b — pl’ = pe’ — c= 0 Vậy pl’ = b.

Giả sử pa = b + ¢ sao cho pb! = b với bf € nào đó Xét phần tửø — b' € A, ta có

p(a — b) = pa — pb’ = pa — b= c€ Ơ

Theo Bé đề 1.17 ta có a =bˆ€ B@C Vậy a€ BOC, tức là A = B@C Oo

1.2 Hệ độc lap

Dinh nghĩa 1.2.1 Cho nhóm A, mot hệ {a:, - , ae} các phan tử khác 0 cia A được

gọi là đặc lập néu từ hệ thức

mag te + ngay =O (ny € B),

ta suy ra

nya) = = ngữy = 0.

Một hệ L bắt kỳ của nhóm A được gọi là độc lập nếu mọi hệ con hữa han của nd

đều đặc lập

Bồ đề 1.2.2 Một hệ L = {a,}¿¿¡ là độc lập néu và chỉ nếu nhám con sinh bởi tập L

là tống true tiếp của các nhóm con cyelie (a;),i € I

Chứng minh Nếu L độc lập thì với mỗi ¿ € J, giao của {a,} với nhóm con sinh bởi tắt

cả các a; với a; € L,j # i phải bằng 0 (phần tử đơn vị) Do dé {L) là tổng trực tiếp

của các nhóm {ay} € J.

Ngược lai, nếu có

(L) = úa),

ie!

Và mịaa + +: + yay, = 0 thì theo Chú ý 1.1.2, vi phần tử 0 có biểu điễn duy nhất là

=0+ - + nôn nya; = 0 với mọi ¿ 0

Dinh nghĩa 1.2.3 Cho A là nhám và L là mật tập con của 4 Một phan tử g € A

được gọi là phụ thuộc vào L của A nếu ton tại n.1m,nạ, ny € © và các phan tử

ae L.

0 # ng = nay + -© - + nay.

Một tập K của A được gọi là phụ thuộc vào L nếu mỗi phần titg € K đều phụ

thuộc vào tập L.

Nếu K pha thuậc vao L và L cũng phu thuậc vàa K thì hai tập K và L được gọi

là tưởng đương nhan.

Chú ý 1.2.4 Dễ thấy phan tử g € A phụ thuậc vào L khi và chỉ khi {L) 9 (g} # 0

Định nghĩa 1.2.5 Nhóm con của nhóm A được gọi là nhóm con thiết yếu nêu

ENB #0 với mọi nhóm con B # 0 của A Khi đó thì nhám A được gọi là một mở

rộng thiết yếu của E

Mệnh đề 1.2.6 Nhóm con E của A là nhóm con thiết yêu khi và chỉ khi với moi

phần tử a khác 0 của A, ta cá EM (a) # 0

Chứng minh Hiển nhiền nếu F là nhóm con thiết yến của A thì EO (a) # 0 với mọi

a#\q0.

Ngược lại, giả sử với moi a khác 0 thuộc A ta có EN (a) # 0 Cho B là một nhóm

con khác 0 của A Khi đó tên tại b khác 0 thuộc Ø Do đó 2ñ) # 0, nên ENB # 0

Vay là nhóm con thiết yếu của A oO

Vi dụ 1.2.7 Cho A là một p-nhóm Khi đó nhóm con Alp) gồm tắt cả các phan tử

a€ A sao cho pa = 0 là mặt nhám con thiết yếu của A That vậy, lấy a € A và a # 0

Dat o(a) = ph,k > 0 Khí đó o(p*~'a) = p nên 0 # p°*!a € Alp] Vậy Alp] (a) # 0.

Theo Ménh dé 1 2 6 ta có Alp) là nhám con thiết yếu của A

Mệnh dé 1.2.8 Mot hệ độc lập M của A là tối đại khi và chỉ khi (M)} là mặt nhóm

con thiệt yếu của A

Chứng minh Cho M là một hệ độc lap của A Ta có M là đốc lập tối đại khi và chỉ

khi mọi phan tử ø khác của A déu phụ thuộc vào M, nghĩa là (Ä/) (g} # 0 Theo Mệnh dé 1.2.6, điều này tương đương với (AM) là nhóm con thiết yếu của A L]

Mệnh đề 1.2.9 Moi hệ độc lập tối đại trong một nhóm con thiết yếu của A đều là

hệ độc lập tôi đại trong A

Chứng minh Giả sử E là một nhóm con thiết vếu trong A và M là một hệ độc lập

t6i đại trong E Lay ø khác 0 bat kỳ thuộc A Vì # là nhóm con thiết yéu của A nên theo Mệnh dé 1.2.6 ta có EN tg) # 0 Khi đó tốn tại phan tử 0 # h € EN (ø} Do M

là hệ tối đại trong # nên Ah phụ thuộc vào M, bay (kh) (M) # 0 Mà {k) < (ø} nên

{g) 0 (M) # 0 Do đồ ø phu thuộc vào M Vay M độc lấp tối đại trong A Oo

Chương 2

Hệ p-độc lập tuyến tính trong

nhóm Abel

2.1 Hệ p-độc lập

Định nghĩa 2.1.1 Cho A là mặt nhóm, p là số nguyên tô và {a,};cr là một hệ các phan

tử trong A Hệ {a,},:¡ được gọi là p-độc lập nếu với moi hệ con hữu han {a), , ac}

và với mọi số nguyên dương r, từ hệ thức

mya, + + + ngay € p'A với nịa; # O.n,; € 5,

ta SHY ra

p’ | rn, với moi? = 1, ,k.

Chú ý 2.1.2 Nếu hệ {a,} không p-đặc lap thì ton tại r € Ñ, hệ con {a), ,a,} và

các hệ số m,?tạ, nự không chia hết cho p* sao cho

yay + +: - + pay € p’ A.

Ví du 2.1.3 Nếu a € A’ = () p'A thì la € p'A nhưng p’ {1 với mọi r > 0 nên {a}

không p-độc lập Do dé, nếu A là nhóm p-chia được thi A chỉ có một hệ p-độc lập duy

nhất là 0.

Mệnh dé 2.1.4 Nếu A = Qịa,) với o(a,} = p%,i € I thì hệ {a,},¿¡ là p-độc lập

aes

Chứng minh Giả sử

mya; £ - + ryay = pb €pA với nya, # 0.

Vibe A= Ga} nên ta có b= Y kja; Suy ra

> nay = » Pp mya;.

Với i = 1, ,4, theo tinh chất của tổng trực tiếp, ta có:

p mya; = nya; # 0

{ny — p’m, ja; = 0.

Suy ra p*TM | np — p’'m, Ma p’mya, # 0 nên +? < œ¿ Do đó p° | my với moi? = 1, É.

fay {a;} là p-déc lap oO

Mệnh dé 2.1.5 Nhóm con B sinh bởi hệ p -độc lap chi bao gồm các phần tử có bậc

vô hạn hoặc các phan tử có bậc là lũy thừa của p

Chứng mink Cho B = {b);¿r với {b,}¿¿¡ là hộ pđộc lập Giả sử tốn tại phần tử b= Sonik € B có bac hữu han là m và m không là lũy thừa của p Đặt m = p*k với

vel (&.p) = 1,k > 1 Khi đó ofp*b) = &, nén nguyễn tố cùng nhau với p” với mọi r Do đó

ta có p* | pŠb = (pnb; € p`A Do {by }ics là hệ độc lập nên do dé p" | p*n, với moi

es

r (võ lý) Vay mọi phan tử của B đều có bac võ han hoặc có bac là lũy thừa cha p 0

Mệnh đề 2.1.6 Cho nhóm A, néu hệ {a,};¿; là p-đốc lập thì nó là hệ độc lập trong

A.

Chứng minh Cho hệ {a;}icy là p-độc lap Giả sứ hệ {a;}icy là không độc lap Khi đó

tén tai các số nguyên nj, 2, ,t„ sao cho

ma, + ‹ +inggd¿ = Ova na, £0, = Lf.

Khi đó nya, £ - +nay € p'A với mọi số nguyên dương + Mà {a,},c; là p-déc lap

nén p” | ny với i = 1, với mọi số nguyên dương + Suy ra ny = 0 với moi i = 1,k Suy

ra na; = Ú, mâu thuẫn với giả thiết Nhu vậy, hệ {a,};¿¿; là đốc lập trong A I8

Chú ý 2.1.7 Chiều ngược lại của Ménh dé 2.1.6 không đúng Một hệ độc lập có thể

không p-dộc lập Ví du cho nhóm A = {a} và ofa} = ph {n > 1) Khi đó hệ {pa} độc

lập nhưng không là p-dée lập vì 1 - (pa) = pa € pA nhưng pt 1.

Mệnh dé 2.1.8 Cho nhóm A và hệ {a,},¿r là p-độc lập Với mọi bộ số {ma,]¿cr sao

cho (m;,p) = 1 với moit € I thi hệ {m;a¿};ar¡ cũng là p-độc lập.

Chứng minh Giả sử

tnnya + + + ngay € p A vôi numa; # Ún, € F.

Cho i = 1,É Vì hé {a,},-r là p độc lắp nên p' | ny Ma (ra,,p) = 1 nên p" | ny Vậy

hệ {mn;a,};¿r là p«độc lập

|

2.2 p-độc lập và p-thuan túy

Mệnh dé 2.2.1 Cho p là số nguyên tố và {a,}¿s¡ là một hệ độc lập trong nhám A,

trong đó bậc của a; hoặc là lũy thừa của p hoặc là võ hạn Nêu nhóm con sinh bởi hệ

{a,};er là nhám con p-thuằn túy của A thì hệ {a,};c¡ là p-độc lập

Chứng minh Đặt

C = {ai}ier = Bia).

ec!

Gia sử C là nhóm con thuần túy của A và

Rap +++ +Đya¿ €?A.

với y nguyên đương va na; # 0, i = 1, É Do C là nhóm con p-thuan túy nên tổn

tai các số nguyễn nu, {i = L, ,k) sao cho

nya, + + + yay = p’ (mya, + + + may}.

Suy ra (re) — pl) jay + -++ + (ng — p’m, Jay, = OVI hệ {a¡}s;z; đốc lập nên

{ry — p’m,)a; = 0 với mọi 2 = 1, ,

k-Ta có hai trường hợp:

e Nếu o(a¡) = % thì nị — pra, = 0 Do đó prÌn,

e Nếu o(a,) = p* với s; € Ñ* thì p* | n; — pm, Mà ta có (ny — phm,)a¿ = Ú nên

p'm¿a¿ = na, # 0 do dé p'm, # O hay r < s; Khi dé p" | p*, lại cô pTM | nj — pm,

nên p" | nụ.

Vậy hệ {a;¡};s; là p-độc lap trong A n

Mệnh dé 2.2.2 Cho A là nhóm Một nhóm con sinh bởi mat hệ p-doe lập trong A

là nhóm con p-thuần túy trong A

Chứng minh Cho Ở là nhóm con sinh bởi một hệ p-đốc lập {a¡}¿¿¡ Giả sử

cc€€CngA với r € R'.

TH: e = 0 thì e € p'C.

TH: c # ( thì ta có thể viết

C= na, +-‹‹ + ngay € pA với nịa, # Ú,¿ = 1, ,É

Do hệ pđộc lip nên với mọi ¿ = Ì, ,k ta có p" | my hay tồn tại số nguyên m, sao cho

ny, = p’m, Khi đó

c= p (mya, + + + mag) € pC.

Do dé C là nhóm con thuần tiy của A n

Dinh lý 2.2.3 Cho A là nhóm không chia được Hệ {a,};¿c¡ là một hệ p-độc lập tôi

đại của A néu và chỉ nêu nhám B sinh bởi hệ {a,}¡-¡ thỏa man các điều kiện sau:

(i) là một tong trực tiếp của các p-nhóm cyclic và các nhóm eyelic võ hạn;

(ii) B la nhám con p-thuan túy trong A;

(ui) 4/B là nhóm p-chia được.

Chứng mink Đặt B = @la,).

«cl

Gia sử là nhóm con của 4 và thỏa mãn ba điều kiện trên Khi đó vì B là nhóm con sinh bởi hệ p-thuẳn túy nên từ Ménh dé 2.2.1, ta có {2¡};¿z; là hệ p-độc lập Ta

sẽ chứng minh hé này là p-độc lập tối dai Cho g là phan tử khác 0 bat kì của A Vì 4/P là nhóm chia được nên ta có p | g + B Khi đó tổn tại m, ,m, € Z sao cho

ta toe + nay € pA Vip tl nến hệ {a;}¿-; U {g} không là p-độc lap Do đó

{a,};ez là hệ pmđộc lập tối dai của A

Giả sử {ø;}¿c; là một hệ pđộc lap tối đại của A Khi đó theo Mệnh đề 2.1.5 ta có

B là một tổng trực tiếp của các p-nhém cyclic và các nhóm cyclic võ han và theo Bồ

đề 22.2 ta có B là nhóm con thuẫn túy trong A

Ta cần chứng minh A/B là nhém p-chia được Lay g ¢ B Ta có 3 trường hợp:

THỊ: ø(ø} = p' Ta chứng minh p | ø + B bằng quy nạp theo ¢

Với ® = 0 ta có g = 0 nin p| g + B.

Giả sử p | a+ với mọi a có cấp nhỏ hơn p’ và gia sử ø(g) = p’

Vi {ø;},=r là hệ p-độc lấp tối đại cha A và ø ¢ {a,};:; nên hệ {a;};z; U {g} không

là p-độc lập và tồn tại một r € N*,ø € A và tap con hữu han J € J {J có thể bang ø}

sao cho

upg + »` wpa =pae pA (2.1)

id

trong đó

8<r, 5 <7, (2.2)

(u, p) = (ap) = 1 và up’q £0, wpa, # 0 Vì o(g} = p' và up’g # 0 nên

s<t (2.3)

Từ (2.2) ta suy ra p"A € pt Do dé từ (2.1) ta có SO uyp*a; € p*A Do tính p-độc lap

ies của hệ {a,};¿; nên ta có

$s; với mọi ¡ € J (2.4)

Như vay, từ (2.1) (2.2) (2.4) ta có p*(ug + 3” tạp”C “ai — pˆ—*a) = 0.

J

Dat

g =ug + Ss up *a, — p’*a,

tet

Tw (2.3) ta có

0(g') S p* < p (2.5)

Hon nữa via, € Ở,? € J nên ug — g + B= p’*a+ Ö.

Từ (2.2} suy ra

plug-g +B.

Mặt khác theo giả thiết quy nap, từ (2.5) ta có p | g + B suy ra p | ug + Ma

(u,p) = 1 nên ta có p| @+ Ö.

TH2: ð(g) = up* với (u,p) = 1 Khi đó ofag} = p? nên theo THỊ ta có p | ug + B.

Mà {u,p}) = 1 nên p | g + B.

TH: o(g) = co Chứng minh tương tự THỊ, ta có vôi ø' = ug+ SO up" *đ; —p"TM*a

ied

thi

plug-g +B (2.6)

pg =0 (2.7)

Từ (2.7) ta suy ra ofg’) | p* nên theo THỊ ta có p | g + B Do đồ từ (2.6) ta suy ra

p|ug + B Mà (u,g) = lL nén p| g + Ö.

Vay 4/7 là nhóm p-chia được Oo

Nhận xét 2.2.4 Nhóm B thỏa man ba điều kiên ở Dinh lý 2.2.3 được gọi là nhám

con p-cơ sở của A.