Luận văn thạc sĩ Toán giải tích: Giải tích hàm lũy đẳng

MỞ DAUGiải tích hàm thông thường nghiên cứu các không gian vectơ tôpô trên trường số thực hoặc số phức với các phép toán tự nhiên và các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa chúng.. Ví dụ đơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP.HO CHÍ MINH

Lê Đại Dương

GIAI TÍCH HAM LŨY DANG

LUẬN VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP.HÒ CHÍ MINH

Lê Đại Dương

GIẢI TÍCH HAM LUY DANG

Chuyén nganh: Toan Giai Tich

Mã số 60 46 01 02

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

NGUOI HUONG DAN KHOA HOC

PGS TS NGUYEN BICH HUY

Thành phố Hồ Chi Minh - 2015

LỜI CẢM ƠN

uận văn được hoản thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Nguyễn

Li Huy Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thay - người đã

cung cấp tài liệu, từng bước hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học cùngnhững kinh nghiệm thực hiện dé tài và truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt

quá trình thực hiện luận văn.

Xin chân thành cảm ơn quý thay cô trong tô Giải tích, khoa Toán — Tin trườngĐại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp tôi nâng cao

trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt khóa học cao học.

Chân thành cảm ơn quý thây cô phòng sau đại học trường Đại học Sư Phạm

Thành phó Hồ Chi Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này.

MỤC LỤC

MODY nana 1

Chương 1 NỬA VANH VÀ NỬA TRUONG LUY DANG ««ccecccsec 3

Mg, Ngưnh HD No cố nan ni nrnaaaaaaoail

1 1.2, Nũanilimiliy ĐH onnggineiiniieininiitiiiieittiiiiinii8241040133148121624838360 3

1/13 NữaãnlöidläNc;s::::¡:::::iaannnrioiionogiiaiiiiiiiioiiioiiisgiosiiiaztiaid 4

1.14 Nữa nhóm lũy đăng a = đầy OU) =H0ẤVÙÌkuaoaaeioineiosieoaarau 4

1.1.5 @ —dOng cầu và b — đồng aU ccccessessseesteetseestsesstessseasseneneees 6

1.1.6 Anhxaa— chính quy và ö —chính quy c cccccsccesssssscssesssssessecsseesseees §

1.1.7 — Tính nửa liên LụC SH HH TK 10 1.1.§ — Các vídụ ossseasssneseonsonensonssnensencsuensencsnsnssncsssassscsseostsessenseses 13 1.2 Nứa vành và nửa trường lũy đăng Ví dy sesseseeseneseneeneseneenenneneenennes 17

1.2.1 — Nữa vành lũy đăng cung nọ nu ng ng mg nh 17

25 TNf6ti00nElBY(in7‹eoaaoeaaeaaaaaeaoaoaeaeaeraroraenanaue 18

l223 (CC WUD nanannnnnanninrnintsititiiatitiiiiiiiiidfiđ11180116310201370108338510353138310320ã33 18

SEBS, NA NHÀY Na ccsassacannscsnarasncnsessnessrsassansessosnnsssestsnsssoassnnssosstsnsssereanesien 19

1.3.1 Nira vành @ — day đủ và b — đầy đủ -ccccccvccreccrrecrreerres 19

1.3.2 Dàn b — đầy GU cccceccsccessoessesssessscssessessessecssesssesuessnssesssesssesaessesseessensees 19

1.3.3 Dàn Có th 0 cccccccccccocsiccniossoissiinnitas10222522156210235818655880565858258856585886550886858 20

1.4 Làm đầy nửa vành -s s©-z++z2Ekz+xxeSEEE EEEEEEEeCEAcEAerEerrsrrkerrerrkerrrerre 21

lẠI[ -— THaiTGOfE:c:ccccoenorioioerioiooiiniiioiiiiiitiiitiagiiiEi125351201355113531231358318 21 1.4.2 Nua vành a — chính quy và ò = chính quy - 21

Chương 2 NỬA MODUN LUY DANG, KHONG GIAN LUY ĐÁNG 25

2.1 Các khái niệm cơ bản Không gian lũy đăng -ecc-c<ccseccee 25

2.l.1 Các Kháiniệmcơbản eeeeeeessseeeeoseosee 25

2.1.2 Nửa môđun day đủ và nửa môđun chuẩn tắc -.2- s22 26

2.1.3 Không gian lũy đăng 331136148631441186312353384318g3148315543183343233444314439539353453413831853 27

2.2 Ánh xạ và phiềm Bằnn:tuyYềnHh, :cccccccicccL200510066112201660115a614661254453614854856 28

2.3 Nua môđun và không gian lity đăng liên kết với dan vectơ 30

Chương 3 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BBA citscsoac59625516253155165555356181360329385288835383838333883336353530 34

Bull, Định(Hieỡ Bán ve pHiệmiBồfiasususnnannnnnnnitoiioittiitiitilitiaittetiiatosttssinee 34

MỞ DAU

Giải tích hàm thông thường nghiên cứu các không gian vectơ tôpô trên trường

số thực hoặc số phức với các phép toán tự nhiên và các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa

chúng Từ những năm 1980, xuất phát từ việc nghiên cứu các phương trình Vật lí Toán, nhà toán học Xô viết V.Maslov và các học trò của ông đã xây dựng Lí thuyết

-Giải tích lũy đăng Trong -Giải tích lũy đăng các hàm số, độ do, metric nhận giá trị

trong các nửa vành lũy dang, tức là các nửa vành với phép cộng @ có tính chất

a@a = a Ví dụ đơn giản nhất và cũng thường dùng nhất về nửa vành lũy ding làtập Iš L{-+se} với phép cộng © và phép nhân © được định nghĩa như sau

a@b= min {a,b}, a@b =a-+b (1)

Tương tự như không gian vectơ với phép cộng giữa hai phần tử và phép nhân

phan tử với số thuộc IR hoặc có thẻ xây dựng các nửa môđun với phép cộng lũy

đăng giữa các phận tử và nhân phần tử với các số thuộc nửa vành lũy đăng, từ đó xâydựng được Giải tích hàm lũy đăng với các hướng nghiên cứu tương tự Giải tích hàm

thông thường.

Một số ánh xạ trên một không gian hàm với các phép toán thông thường về cộng hàm và nhân hàm với số có thể không là ánh xạ tuyến tính, nhưng khi xét các

phép toán (1) thì không gian ham đó là nửa môđun với phép cộng lũy đăng và ánh xạ

là tuyến tính Nhờ đó ta có thê nghiên cứu chúng nhờ Giải tích lũy đăng Đây chính là

một trong các lí do mà Giải tích hàm lũy đăng được các nhà Toán học tir nhiều nước

quan tâm, nghiên cứu vả tìm được những ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực Tính

toán khoa học, Vật lí - Toán, Toán kinh tế, Xác suất — Thống kê

Giải tích hảm lũy đăng là một lĩnh vực tương đối mới của Toán học và chưa

được phô biên rộng rãi trong cộng đông Toán học ở nước ta, các tài liệu tham khảo

tiếng Việt cũng chưa có Việc thực hiện luận văn Thạc sĩ với đề tài “Giải tích ham lũy

đăng” giúp hình thành một tài liệu tham khảo về Giải tích ham lũy dang

Mục tiêu của luận văn là trình bày chỉ tiết và hệ thống các khái niệm và kết quả

cơ bản của Giải tích hàm lũy đăng như nửa nhóm, nửa vành, nửa trường lũy đăng, nửa

môđun lũy đăng; không gian lũy đăng: các ánh xạ và phiém ham tuyến tính; các định lí

cơ bản dạng định li Hahn - Banach, Banach - Steinhaus, đỗ thị đóng

Luận văn được viết dựa trên việc tìm hiểu các sách chuyên khảo và các bài báo

khoa học có liên quan đến dé tài Phân tích tông hợp các kiến thức thu được và trình bày chúng theo thé thong nhất, khoa học và chỉ tié

Luận văn gồm 3 chương với các nội dung chính của từng chương như sau:

Chương 1 Nửa vành và nửa trường lũy đăng Trong chương này trình bay các khái

niệm cơ bản của Giải tích lũy đăng như nửa nhóm lũy đăng, nửa vành lũy đăng, tựa

trường và nửa trường lũy đăng cùng các ví dụ điền hình Khái niệm về nửa vành day

đủ và quá trình làm đầy nửa vành được trình bày ở cuối chương

Chương 2: Nita médun liy đăng, không gian lãy đăng Chương 2 tiếp tục trình bày

các khái niệm nửa môđun lũy đẳng và không gian lũy đẳng Các kết quả vẻ ánh xạtuyến tính và các phiếm hàm tuyến tính trên các không gian lũy đăng a — chính quy và

b —chinh quy là nội dung quan trong của chương này Ngoài ra, các nửa môdun và

không gian lũy đăng liên kết với dan vecto cũng được giới thiệu và nghiên cứu.

Chương 3: Các định lí cơ bản Chương 3 cũng là chương cuối cùng của luận văn.

Chương này phát biéu và chứng minh các định lí cơ bản của Giải tích hàm lũy đăng

như định lí cơ bản về phiém ham, định lí dang Hahn — Banach, định li Banach —

Steinhaus và định lí đồ thị đóng, tích vô hướng, định lí Riesz - Fischer

Chương Í

NỬA VANH VÀ NỬA TRƯỜNG LŨY DANG

1.1 Nira nhóm lũy dang

1.1.1 Nửa nhóm

Nhắc lại rằng, nửa nhóm là một tập hợp khác rỗng được trang bị một phép toán

có tính chất kết hợp gọi là phép cộng (với nửa nhóm cộng) hay phép nhân (với nửa

nhóm nhân) Một nửa nhóm có phan tử trung hòa hay đơn vị (ta gọi là phan tử 0 vớinửa nhóm cộng và phần tử 1 với nửa nhóm nhân) là một vị nhóm

1.1.2 Nửa nhóm lũy đăng

Định nghĩa 1.1 Xưa nhóm lấy đăng là một nửa nhóm cộng S với phép cộng có tính

chat kết hợp kí hiệu là @ sao cho z @a = x với mọi z € S Nếu nửa nhóm này làmột vị nhóm thì phan tử trung hòa cua nó được kí hiệu là 0 hay 0¿

Một nửa nhóm lũy đăng là một tập được sắp thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự

trong định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.2 Trên nửa nhóm lũy đăng Š ta xét quan hệ thứ tự < sau

z < nếu z @ = với z,€§

Quan hệ thứ tự < trên là quan hệ thứ tự bộ phận.

Trong mục này và các mục tiếp theo, ta luôn giả thiết rằng các nửa nhóm lũy

đăng và các nửa vành lũy đăng đều được sắp thứ tự với thứ tự xét ở trên Các quan hệ

thứ tự >,<,> được định nghĩa tương tự Chăng han, quan hệ z < được hiểu là

# ŠS U Và ? # Ụ.

Có thê kiêm tra rằng Dịnh nghĩa 1.2 là hợp lí và xác định một quan hệ thứ tự.

Từ định nghĩa suy ra 0 < x với mọi x € S nếu 8 là vị nhóm Gọi I hay I, là phần

tử của Š thỏa mãn z <I với mọi x € Š (nếu phan tử đó ton tại) Khi đó phan tử này

là duy nhất Rõ ràng 0 = infS = sup@ và I = supS = inf Ø trong đó @ là tập con

rong của S

1.1.3 Nửa nhóm dan

Một nửa nhóm lũy đăng là một V — nứa dan hay nửa dan trên theo nghĩa với

x.y € Ø bất kì thì tập {x,y} tồn tại sup{z,y} = x V y Dé thấy,

sup { 2, 1} =+z@®.

Do đó lớp tat ca các nửa nhóm lũy đẳng trùng với lớp tất cả các V — nửa dàn.

Cho nửa nhóm lũy đăng S là một dan có thứ tự Với x,y € Š, kí hiệu

inf {x.y} =a2Ay

sup {x,y} =xrpy

Ta gọi Š là một nứa nhóm dan hay đơn giản là một dan.

Định nghĩa 1.3 Nửa nhóm lũy đăng S° được gọi là đối ngẫu với nửa nhóm lũy đăng

Ÿ nếu S$” có tập con gồm tat cả các phan tử của Š được trang bị với phép cộng lũyđẳng z, + z A ự

Chú ý rằng các phép toán VY = @ va A có tính chất kết hợp và giao hoán với các tập toán hạng bat kì.

1.1.4 Nửa nhóm lũy đẳng a — đầy đủ (b — đầy đủ)

Cho Š là tập được sắp thứ tự bộ phận Š được gọi là day đu nếu mọi tập con

X của Š (kể cả Ø) đều có inf X và sup X Tập S$ được gọi là day đủ bị chặn nếu

moi tập con khác rong của Š bị chặn trên (tương ứng bị chan dưới) thì có cận trên nhỏ

nhất (tương ứng có cận dưới lớn nhat)

Bồ đề 1.1 Nếu mọi tập con 5, bị chặn trên của $ có sup, thì mọi tập con S, bị

chặn dưới của S đều có infS, Nếu mọi tập con X, bị chặn dưới của S có

inf X, € S thì mọi tập con X, bị chặn trên của Š đều có sup X, € S Trong đó

1 Phép nhúng i: Š — $ bảo toàn các cận trên đúng và cận dưới đúng tôn tại

trong Š Nhờ đó ta có thé đồng nhất Š với tập con của $.

2 Lat cát ƑÍ X ]trùng với sup{i{ X)}) với mọi X C S, nghĩa là mọi phần tử của

$ đều là cận trên đúng của tập con X nào đó của 9.

3 Nếu 6 đầy đủ thì $= Ø và 9 = 8.

4 Nếu {X,} _„ là họ các tập con của S thì sup/ÍX„} = (UX, | trong 3

a

aca

với chú ý rang 1(uX, | =n(X,).

5 S$ có cau trúc của nửa nhóm lũy đăng (x Sy= sup{x,y}) Nếu § là nửa

nhóm lũy đẳng thì phép nhúng S$ — $ là một đồng cấu nửa nhóm Trong

trường hợp này, ta nói Š là a — zở rộng của S.

Tập hợp S, gồm tat cả các lát cắt dạng 7 {X), trong đó X chạy trong tập tất

cả các tập con bị chặn trên của S$, là tập đầy đủ bị chặn S, là nửa nhóm con của S.

Nếu Š là nửa nhóm lũy đăng thì S, được gọi là b — mở rộng của 8

thấy S, gồm tat cá các phan tử của S làm trội từ các phan tử của Š Lat cắt

D

I{Ø} € S, là phần tử 0 của S,.

Định nghĩa 1.4 Nửa nhóm lũy đăng Š được gọi là a — đẩy đủ nêu S được sắp thứ tự

va S$ đầy đủ ý được gọi là b — đẩy đu nếu 6$ được sắp thứ tự ý day đủ bị chặn và cóđơn vị 0.

~ _

Có thé thay S = S,

? U {I,} với I, = supS có thé thuộc Ÿ Nếu 8 là một nửa

nhóm lũy đăng — đây đủ thì $ =o.

Cho nửa nhóm lũy đăng S Kí hiệu @X va AX lần lượt là sup{ X} và

infÍ X) với X C S$ nếu các cận này tổn tại, nghĩa là nằm trong S$ Khi đó, trong nửa

nhóm lũy đăng a — đây đủ, tông trên định nghĩa cho tập con bat ki; trong nửa nhóm

lũy đăng b— đầy đủ, tông định nghĩa cho các tập con bị chặn trên, kê cả Ø

Cho X là một tập con của nửa nhóm lũy đăng Š Ta kí hiệu

Up(X) = I(X) ={w e Slr < w.Vz e X},

Low(X) = {y C Sly <a,vre X}.

1.1.5 2 — đồng cau va Ù — đồng cấu

Với hai nửa nhóm lũy dang S$ và 7’ ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.5-a Gia sử các nửa nhóm 9 và T là a — đầy đủ Ta nói một đồng cấu

g:S — T' liên tục đại số hay một a — đồng cau nêu

Nghia la

af sup] = sup g({X) (1.2)

zeX eX

với X là tập con bat kì của S.

Điều kiện (1.2) còn được gọi là liên tue đơn điệu.

Định nghĩa 1.5-b Cho Š và 7 là các nửa nhóm lũy đăng b — đầy đủ Một đồng cấu

g:8 — T' được gọi là liên tục đại số bị chặn hay b — đồng cấu nêu điều kiện (1.1) hay (1.2) được thỏa mãn với X C 8 bị chặn trên.

Với các nửa nhóm lũy đăng Š va 7 bat kì, đồng cấu ø: S — 7 là b —dong

cấu nếu nó có thé mở rộng tới ¬ bởi một b —đồng cau F : S, — T, của các nửa

nhóm lũy dang — day đủ tương ứng

Áp dụng (1.1) cho tập rỗng ta thay rang các a — đồng cầu và b — đồng cầu

biến ( thành 0 nếu phan tử 0 tổn tại Trong trường hợp tong quát, một a — đồng cau

S — T không nhất thiết biển I, = supS thành IL, = supT cho di cả hai đều tồn tại

Mệnh dé 1.1 Tích của các a - đồng cấu (tương ứng các b - đồng cau) là một a —

đồng cau (tương ứng một 6 — đồng cau).

Mệnh dé được suy ra trực tiếp từ các định nghĩa.

Kí hiệu Hom ( S8, Ì là tập gồm tất cả các đông cấu từ nửa nhóm lũy đăng 5ì

vào nửa nhóm lũy đăng S,; Hom, (S,,5,) chỉ tập gồm tat cả các a — đông cau vàHom, (8u) là tập gồm tat cả các b —déng cau từ nửa nhóm lũy đăng ö - đầy đủ

Š, vào nửa nhóm lũy đăng 6 —day đủ S,

Mệnh đề 1.2 Các tập hợp Hom(.5,,5,), Hom, (S,,S,} va Hom, (8,,S,} là các

nửa nhóm lũy đăng với các tông tương ứng Nếu S, là nửa nhóm a — đầy đủ (tương

ứng b— day đủ) thì Hom, (S S,} (tương ứng Hom, {S,.$, )) là nửa nhóm a — đầy

đủ (tương ứng b — đây đủ)

Từ các định nghĩa trực tiếp suy ra mệnh đề trên.

1.1.6 Ánh xạ a— chính quy và 6 —chinh quy

Định nghĩa 1.6 Cho Š là một nửa nhóm lũy đăng Đặt X= = Low(Up{(X)) với

X€CS.Tagọi X= là o - bao đóng của X.

Chú ý rằng ø — bao đóng của tập rong có thé không rỗng.

Định nghĩa 1.7 Cho Š va 7’ là các nửa nhóm lũy đăng Ánh xạ ƒ : S — 7' được gọi

là a — chính quy nêu ƒ ( x*) c/{ X) với mọi X CS f được gọi là b — chính quy

nếu f{X*] C f(X}” với mọi tập bị chặn trên X CS

Dễ kiểm tra các ánh xạ b — chính quy và do đó các ánh xạ @ — chính quy là các

đồng cầu nửa nhóm lũy đăng Phát biểu mạnh hơn được trình bay trong Mệnh đề 1.3.

Ví dụ Trên E trang bị cấu trúc nửa nhóm lũy đăng với phép toán @ = max.Ánh xạ ƒ: R — E là đồng cau nửa nhóm lũy đăng từ R vào chính nó nếu ƒ không

giảm Đồng cấu ƒ là b —chính quy (a — chính quy) khi và chỉ khi ƒ nửa liên tục dưới

(khái niệm nửa liền tục dưới được trình bày cụ thê ở các phần tiếp theo).

Có thé kiểm tra các mệnh dé sau đây một cách dé dang:

Mệnh đề 1.3 Cho Š và T là các nửa nhóm lũy ding Ánh xạ ƒ: S > 7 là a—

chính quy (tương ứng b —chinh quy) và biến 0 thành 0 khi và chỉ khi ƒ là a - đồng cầu (tương ứng b — đồng cấu).

Mệnh đề 1.4 Dong cấu ƒ từ nửa nhóm lũy đẳng S$ vào nửa nhóm lũy đẳng T là a — đồng cấu khi và chỉ khi ƒ là b -đồng cấu và Up( f{X)) = Up(ƒ(#]) với mọi

X CS không bị chặn trên.

Định nghĩa 1.8 Cho Š,7' và U là các nửa nhóm lũy đăng Ánh xạ ƒ: Sx T > U

được gọi là a — đồng cau tách (tương ứng ở —đồng cấu tách) nếu cúc ánh xa

f(s.-} ithe f(s.+) và ƒ(-t) Bh ƒ(s.t) là các a —déng cau (tương ứng b—

đồng cấu).

Mệnh đề 1.5 Cho Š,7' và U là các nửa nhóm lũy đẳng Khi đó:

—— ~ ~ ————

l SxT=SxT trong đó Sx TS, T thứ tự là mở rộng của tích trực tiếp

Sx T,S.T Nghĩa là tòn tại một phép đăng cấu chính tắc đồng nhất các nửa

nhóm này.

2 Các đăng thức sau đăng thức sau đây là đúng:

Low( X x Y } = Low( X ) x Low ( Y ) (1.4)

Up(X x Y) = Up(X}) x Up(Y]

(L5)

Với XC §,VCT.

3 Ánh xạ /:Sx7—+U được gọi là a-đồng cau tách (separate

homomorphism) (tương ứng ö —déng cấu tách) khi và chỉ khi ƒ có thể mở

~

rộng duy nhất tới S (tương ứng tới 5y) bang một ø —đồng cấu rời rac

~

f:SxT — U (tương ứng b — đồng cấu rời rạc / : $,xT, — U,).

Ta chứng minh Mệnh đẻ 2.3 cho trường hợp Š và T là a—day đủ va a —

chính quy Đề ý rằng, trong nửa nhóm lũy đăng a — day đủ ta có:

X = Low(@X) (1.6) với mọi tập con X Cho ƒ là ánh xạ a — chính quy Áp dụng (1.6) ta được

f(@x) € /{X*]

Do đó f(@X)e ƒ(XŠ)c f(X) = Low(@f(X)) nên ƒ(@X) < ef (X) Vì

các đồng cầu bảo toàn thứ tự nên f(@X) > @f{X) Dẫn đến f(@X) = of (X) hay f là — đồng cấu.

Bây giờ cho ƒ là a — đồng cấu thì ƒ(@X} = Sf(X) Do ƒ bảo toàn thứ tự nên từ (1.6) ta có điều phải chứng minh

f{ X*) = f(Low(@X)) c Low(f(@X)) = Low(@f(X)) = F(X).

Các phát biéu khác được chứng minh tương tự.

1.1.7 Tính nữa liên tục

Kí hiệu R =RuU {-00, +00} Trén R xét thứ tự thông thường < và trang bị

cau trúc tôpô thông thường trên E thì không gian tôpô dong phôi với [-1,1].

Một ham ƒ : 7 — R xác định trên không gian tôpô 7' bat kì được gọi là nita

liên tục đưới nêu với mỗi số thực s thì tập 7 = {t ef f(t) < s} đóng trong T’ Điều kiện này tương đương với tập T= {t eT f(t) > s} mở trong 7’ Khái niệm

nữa liên tục trên được định nghĩa hoàn toàn tương tự Hàm £ nửa liên tục trên khi và

chỉ khi =ƒ nửa liên tục dưới Rõ ràng, một hàm nhận giá trị thực liên tục khi và chỉ

khi hàm này nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới Ta gọi tập hợp

epi(f)= {(ts)|/() <s} c?xR

là dé thị trên của hàm ƒ Một hàm ƒ nhận giá trị hữu hạn nửa liên tục dưới khi và chi

khi đô thị trên của f đóng Do đó một tập con của T là tập mở (tương ứng đóng) khi

và chỉ khi hàm đặc trưng của nó nửa liên tục đưới (tương ứng nửa liên tục trên).

Giả sử {ƒ,} _„ là họ các hàm ƒ,:7 = R Khi đó bao dưới inf, ƒ (tương

ứng bao trên sup, f,) là hàm xác định trên T và xác định inf, 1, (t}) (tương ứng

sup, (f, (t)}) với mỗi t € 7’ Ta có kết quả nồi tiếng sau đây: bao trên của họ {f, }

các hàm nửa liên tục dưới trên ?' thì nửa liên tục dưới Và ta có kết quả tương chotrường hợp bao dưới của họ các hàm nửa liên tục trên.

Khái niệm nửa liên tục có thé mở rộng cho các ánh xạ f : T > S trong đó 7

là không gian tôpô và Š là tập được sắp thứ tự bộ phận Ta nói f nửa liên tục dưới

£ ^

nêu tập

T, ={teT|/(t) < s} (1.7)

mở trong T với mọi s € S Ánh xạ ƒ nửa liên tục trên nêu f nửa liên tục dưới với

thứ tự đôi ngẫu trong S

Định nghĩa 1.9 Niza nhóm lũy đăng tôpô Š là nữa nhóm lũy đăng S được trang bịvới tôpô sao cho nửa nhóm con S’ = {se S$ s <b} của $ là tập đóng với mọi

bes.

Mệnh đề 1.6-a Giả sử T’ và S là các nửa nhóm lũy đăng tôpô b — đầy đủ, S là a —

day đủ, và với mỗi nửa nhóm con bị chặn, khác rong X c 7 ta có BX € X trong đó

X la bao đóng của X trong 7 Khi đó đồng cấu ƒ:7 — S với /ƒ(0r] = 0; là

a — đồng cau khi và chỉ khi / nửa liên tục dưới.

Chứng minh

(=) Gia sử f nửa liên tục đưới Với nửa nhóm bị chặn bat kì X CT, đặt

s = @ƒ/(X) Rõ ràng X € 7} với 7 được định nghĩa trong (1.7 } Ta có 7} đóng và

từ giả thiết có @X € T, hay ƒ (@X) <s= @f(X) Vì f bao toàn thứ tự nên

f (@X) > ef (X] dẫn tới ƒ ( @X] = Of ( X) với X là nửa nhóm con bị chặn và

không rong trong 7 Với tập X bắt kì và Ø = X € 7, ta kí hiệu XẾ là nửa nhóm

con của 7' sinh bởi X, nói cách khác X® bao gồm tất cả các tông hữu hạn của các

phan tử trong X¥ Do f là đồng cấu nên /ƒ(X®) = /(xŸ và với chú ý rằng

@X =@X# ta được

Ta chỉ cần chứng minh thêm ƒ(@Ø) = @f(@) và điều này hiển nhiên đúng do

f (0; ) = 0, Chiều đảo của mệnh dé được chứng minh.

(=) Gia sử ƒ là a — đồng cấu Ta cần chứng minh 7} đóng trong 7 với mọi s € S

tức là cần chỉ ra rằng mọi lưới các phần tử của T, có giới hạn trong T

Giả sử z„ € T, và z = limz,

“

Đặt t= G2, = supz, thì S(t) = @f(x,)= sup f(x, }- Do vay f(t) <s (Vì

f(z.) <8) f(a) < f(t) (vì z<( va đồng cấu f bao toàn thứ tự) và

# € địa CT, hay + € T, Vậy đồng cấu f nửa liên tục dưới.

Mệnh dé được chứng minh.

Mệnh đề 1.6-b Giả sử / : 7 — S$ là đồng cấu nửa nhóm lũy đăng tôpô ö — đây đủ,

f(0r) = 0, và với nửa nhóm con bị chặn trên Ø = X CT thì @X € X.Khi đó, f

la b —dong cau khi và chỉ khi thu hẹp của f là nửa nhóm con T* = {t = TỊt < a}

nửa liên tục dưới với mọi x € 7’.

Do 7 là nửa nhóm lũy dang a — day đủ và ƒ (7 `) thuộc nửa nhóm lũy đăng

a =đầy đủ S/Ì = {se #|s < f(x)} nên mệnh đề I.6-b là hệ quả trực tiếp của

mệnh dé 1.6-a

Nhận xét 1.1 Gia sử nửa nhóm lũy đăng tôpô T thỏa các điều kiện của mệnh đẻ 1.6-a

(tương ứng mệnh dé 1.6-b) thì nửa nhóm con bất kì X C 7' cũng thỏa mãn các điều

kiện này nếu X đóng với tôpô trên 7' và đóng với tông bất kì các tập con (tương ứng

các các tập con bị chặn trên).

1.1.8 Các ví dụ

Ví dụ 1.1 là nửa nhóm lũy đăng với phép toán z @ = max {x,y} = sup{z,}

và thứ tự thông thường < Kí hiệu 8 =RU { —œ} là vị nhóm lũy đăng có đơn

z@®y= mìn {z,y}, tương tự ta có vị nhóm BR =R U{+œ} và mở rộng

min

Rain =RU {+00} U {-co} RO rang R =k va Rina = Rmin.max min

Ví dụ 1.2 l3,„ = [0,1] với phép toán z 3 y = max {z,w}.

lnax “”“

Ví dụ 1.3 # là nửa nhóm lũy dang với phép toán x © y = max {z, y} Kí hiệu

F7

“max =#U {-=} là nửa nhóm lũy đăng b —day đủ có don vi 0 = —oo mà ta đã

bo sung thêm Tiếp tục bỏ sung thêm phan tử lớn nhất | = +00 cho % ta được mở

max

Rinax Các nửa nhóm lũy đăng Z, va Zmin được định nghĩa hoàn toàn tương tự.min

Ví dụ 1.4 Cho X là tập hợp bat kì và Š là nửa nhóm lũy đăng Kí hiệu Map{ X,$)

là tập gồm tat cả các ánh xạ ƒ : X —› Š Trên Map( X,Š} ta định nghĩa quan hệ thứ

tự như sau

fxqge f(x) < g(z),Vzc€ X

(18)

Map(X J ) với thự tự trên và phép toán f,g > ƒ © g là nửa nhóm lũy đăng

Ví dụ 1.5 Kí hiệu B{ X,S) là nửa nhóm con của Map( X,Š} gồm các hàm bị chặn thì Đ(X,8) b—đầy đủ khi và chỉ khi Š 4 —day đủ Trường hợp S = IR ta viết

B(X) thay vì 8(X,S)

Ví dụ 1.6 Kí hiệu Œ( X) chỉ tập gồm tất cả các hàm nhận giá trị thực liên tục trên

không gian tôpô X Trên đó ta xây dựng phép toàn ƒ © g sao cho với mọi z € X

(L9)

Khi đó Œ ( X } là nửa nhóm lũy đăng

Ví dụ 1.7 Kí hiệu USC(X) (tương ứng (7SŒ(X}))) là tập các hàm thực nửa liên

tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới) trên không gian tôpô X Ta đã biết rằng hàm f(a) nửa liên tục trên nêu

f(x) = int(f(2))

"

(1.10)

với mọi x € X với {ƒ } là họ các hàm nửa liên tục dưới Khi đó USC(X) và

LSC(X) là các tập con của tập được sắp thứ tự bộ phận Map(X,) Do vay

USC(X) và LSŒ( X] được sắp thứ tự bộ phận với thứ tự cảm sinh sau

cho USC(X) và LSC{X) thì USC(X) và LSC(X) trở thành các nửa nhóm lũy

đăng và đều là các nửa nhóm con của Map | X,R ).

Nhận xét 1.2 Một cách tông quát, các cận trên đúng va cận dưới đúng của các tập vô

hạn trong Map( X, 3) và trong các nửa nhóm con USŒ ( X), LSC(X) không trùng nhau Chi có cận trên đúng rong #S( X) cũng là cận trên đúng trong Map( X &)

và chỉ có cận dưới đúng trong USC(X) cũng là cận dưới đúng trong Map(X,E)

Moi tập bị chặn dưới trong USC (X) đều có cận dưới đúng nên từ bô đẻ 1.1 suy ra

nửa nhóm lũy đăng USC(X) là một dàn b -đầy đủ Lập luận tương tự ta có LSC( X } cũng là một đàn b — đầy đủ.

Ví dụ 1.8 Nhắc lại răng hàm ƒ : X — R được gọi là lỗi nêu đồ thi trên epi{ f) của

f là tập con lỗi cha XxE và f được gọi là lõm nếu —ƒ là hàm lỗi Tập

Conv ( X, R) các ham thực lỗi xác định trên tập con lỗi X của một không gian vectơ

nado đó là một nửa nhóm lũy đăng (và là một đàn b — day đủ) với phép toán (1.12).

Conv ( X, E:) là nửa nhóm con của Map( X,R) và phép nhúng là một a — đồng cấu.

Ví dụ 1.9 Tập Cone( X,R) các hàm thực lõm xác định trên tập con lồi X của một không gian vectơ nao đó có cấu trúc của một nửa nhóm lũy dang với thứ tự cảm sinh(1.11) Cone ( X, IR) là một đàn nhưng không là nửa nhóm con của Map{ X, IR).

Ví dụ 1.10 Cho ( X,¿} là không gian độ đo và 7} ( X,ø¿} là không gian Banach các hàm j: = khả tích (khả tích theo độ đo ¿) trên X Ta có /}( X,j) là một nửa nhóm

lũy đăng hoàn toàn bị chặn được trang bị phép toán (1.12) và thứ tự (1.11), nghĩa là

f (x) = g(x) hau khấp nơi Kết luận trên còn đúng cho không gian Banach

LP(X,u) với 1< p < %.

Ví dụ 1.11 Giả sử { X, 0) là không gian mêtric và lip x) là nửa nhóm các ham thực

trên X thỏa mãn điều kiện Lipschitz

|/(z)— ƒ(ø)| < ø(=v)

(1.13)

a

lip( X } có câu trúc của một nửa nhóm lũy dang định nghĩa bởi (1.11) và (1.12) Bô

sung thêm phan tử đơn vị 0y cho lip(X}) ta được vị nhóm kí hiệu là lip ( X hi

Nhận xét 1.3 Các nửa nhóm USC{X), LSC(X), Conv(X,E) lip{X) và

L?{ X,} là đầy đủ nhưng không 5 — đầy đủ hay a — day đủ Nếu bê sung thêm phan

tử 0 cho các nửa nhóm này ta được các nứa nhóm — day đủ

1.2 Nửa vành và nửa trường lũy đăng Ví dụ

Nửa vành và nửa trường lũy đăng là các đôi tượng chính của toán học lũy đăng

1.2.1 Nửa vành lũy đắngĐịnh nghĩa 1.10 Niza vành lấy đẳng là một nửa nhóm lũy đăng K với phép cộng @

và được trang bị thêm phép toán nhân có tính chất kết hợp sao cho với mọi phan tử

1#,,z£€kK

Chú ý rằng a @ # < a G@ y nếu z < ÿ với mọi z a € K.

Phần tử 1€ K là don vị của # nếu 1 là phan tử trung hòa với phép nhân,

nghĩa là với mọi z € K

l@Gz=rOl=r (1.15)

Trong các phan tiếp theo, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả thiết rằng tat cả các nửa

vành lũy đăng đều có đơn vị

Phan tử 0 6 K là phan tử trung hòa với phép cộng trong K , nghĩa là với mọi

œ€ K tacó z@Ú = z và

+@0=0@z =0 (1.16)

Phan tử 0 € K con kí hiệu là 0, Nếu không nói gì thêm ta giả thiết rằng 0 = 1.

Nếu một nửa vành có phan tử 0 thì đó cũng là phan từ 0 của nửa nhóm cộng trongnứa vành Tuy nhiên, điều ngược lại có thé không đúng Ching hạn, Ñ là nửa vành

với các phép toán @ = max, © = + Phần tử 1 chính là phần tử Ø của nửa nhóm

cộng nhưng không phải là phần tử 0 của nứa vành.

Nửa vành lũy đăng K là giao hoán nếu phép nhân trên nửa vành X có tính

giao hoán,

1.2.2 Nửa trường lũy đăng

Dinh nghĩa 1.11 Nira vành chia lấy đăng là một nửa vành lũy đăng có đơn vị mà mọi

phần tử khác 0 đều khá nghịch Nửa trường lũy đăng là một nửa vành chia lũy đăng

giao hoán.

1.2.3 Các ví dụ

Ví dụ 1.12 Các ví dụ trong mục 1.1.8 ở trên, ngoại trừ Ví dụ 1.11, đều có cau trúc củanửa vành lũy đăng với các phép nhân thích hợp Trong ví dụ 11, nếu ta định nghĩaphép nhân © = min, ta được một nửa vành lũy đăng không có đơn vị

Trong Ví dụ 1.1, ta định nghĩa phép nhân là phép toán cộng thông thường Với

Rmx ta có # © (+00) = z @(+0c) = +00 = sup im = I và đẳng thức (1.13)

đúng với mọi + = 0 Ngoài ra, 1 = 0 Nửa vành lũy đăng I với các phép toán trên

thường được kí hiệu là # (max, +).

Map(X,S) là nửa vành lũy đăng nếu S là nứa vành lũy đăng Trường hợp nay, ta

định nghĩa

với mọi z € X Phép toán nhân trong các ví dụ còn lại ở 1.1 được định nghĩa tương tự

với lưu ý phép nhân các hảm thực

(/©ø)(z) = s(x) + ø(z) (1.18)

VỚI mỌi «EX.

Ví dụ 1.13 Cho $ là nửa nhóm lũy đăng và Hom (S, 9) là nửa nhóm lũy đẳng các tự

đông cau từ $ vào $ Hom (8.8) là nửa vành lũy đăng với phép hợp các ánh xạ.

Nếu không giải thích gì thêm, ta luôn giả thiết rằng các nửa vành lũy đăng 6 —

đầy đủ đều có phan tử 0.

Mệnh đề 1.7 Cho K là nửa vành chia lũy đăng và là nửa nhóm b —day đủ Khi

đó K là đàn b — đầy đủ Suy ra nửa trường lũy đăng b — đây đủ là dàn b — đầy đủ

Chứng minh

Ta cần chứng minh các đăng thức (1.19) và (1.20) Trường hợp y = 0 là tầm

thường Nếu y + 0 thì y khả nghịch nên các phép vị tự # + z © ÿ và # + yer

khả nghịch và bảo toàn thứ tự, do đó bảo toàn cận trên đúng và cận dưới đúng Các

đăng thức (1.19) và (1.20) được chứng minh.

z(@®ty= sup { x, y} với #, € Š và z @ 0 = 0@ z = z với mọi z € S).

Mệnh dé 1.8 S, là nửa vành lũy đẳng với các phép toán cộng x © y = sup{x,y},

phép toán nhân z © y = zy và định nghĩa z @© 0 = Ú @ z = x với mọi z € Sy.

Mệnh dé 1.9 Nếu Œ là một nhóm dàn có thứ tự day đủ bị chặn thì G, là nửa vành

chia lũy đăng b — đầy du, nghĩa là mọi phan tử khác không của Œ„ đều khả nghịch.Moi nửa vành chia lũy đăng b — đầy đủ đều có dạng G, với G là nhóm dàn có thứ tự

day đủ bị chặn.

Các mệnh dé trên Suy ra trực tiếp từ các định nghĩa.

Mệnh đề 1.10 Mọi nửa vành chia lũy đăng b —day đủ đều giao hoán (đều là nửatrường lũy đăng)

1.4 Lam đầy nửa vành

Cho K là nửa vành lũy đăng

1.4.1 Tựa trường

Định nghĩa 1.15 Phan tử z 6 K là tựa kha nghịch nếu tồn tại tập X gồm các phan

tử khả nghịch của K sao cho z# = GX.

Ta gọi nửa vành K là twa vành chia nêu mọi phan tử khác không của K đều

tựa khá nghịch.

Định nghĩa 1.16 Nửa vành K là đóng nguyên nếu x < 1 và tập {e" |n = L2 ) bị

chặn trên với mọi z € K.

Định nghĩa 1.17 Tựa vành chia lũy đăng K là ta #ưởng nêu đóng nguyên

Mệnh dé sau suy ra từ định nghĩa Mệnh đề 1.11 Nita trường đóng nguyên là tựa trường.

1.4.2 Nửa vành a — chính quy và 6 — chính quy

Cho K là nửa vành lũy đăng Với nứa nhóm lũy đăng K ta có thẻ xây dựng

~ ,

các ø — mở rộng K va b —mé rộng Ky Bay giờ, ta xem xét điều kiện để trang bị K

(tương ứng Ks) trở thành nửa vành lủy đăng a — day đủ (tương ứng ö — đây đủ) Ta

định nghĩa

n:KxK —K

(z.u)>+@®w

Định nghĩa 1.18 Nua vành K được gọi là @ — chính quy (tương ứng b —chính quy)

nếu ø có mở rộng duy nhất it ; K x K — K (tương ứng i : Ks x Kp — Ks) xác

định cấu trúc nửa vành lũy đăng a — đầy đủ (tương ứng b —day đủ) trên K (tương

ứng trên K b).