Báo cáo bài tiểu luận môn giải tích 1 Ứng dụng tích phân thể tích vật thể tròn xoay

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOABÁO CÁO BÀI TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY NHÓM L20_16... NỘI DUNG ĐỀ TÀI VÀ DANH SÁCH THÀNH VIÊNĐỀ TÀI 7 Tìm hiểu về ứng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH 1

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN

XOAY

NHÓM L20_16

NỘI DUNG ĐỀ TÀI VÀ DANH SÁCH THÀNH VIÊN

ĐỀ TÀI 7

Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox, Oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục Oy Yêu cầu:

Câu 1: Nêu rõ cách xác định công thức tính thể tích bằng cách sử dụng tổng Riemann Câu 2: Dựng hình vật thể quay quanh Oy bằng phần mềm bất kì

Câu 3: Đưa ra ít nhất 4 ví dụ cho:

*Dạng bài toán cho hàm cụ thể, xác định trong miền giới hạn bởi x = f(y), x = 0, a ≤ y ≤ b

và miền giới hạn bởi x = f(y), x = g(y), a ≤ y ≤ b

*Dạng bài toán không cho hàm cụ thể, nhưng cho bảng số liệu tương ứng với miền giới hạn bởi x = f(y), x = 0, a ≤ y ≤ b và miền giới hạn bởi x = f(y), x = g(y), a ≤ y ≤ b

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

GVHD: Lê Nguyễn Hạnh Vy

STT Họ và tên MSSV

1 Lê Minh Quân 2412893

2 Hoàng Minh Trí 2413625

3 Trương Vĩnh Phát 2412613

4 Huỳnh Tấn Tiến 2413468

5 Đào Quốc Tuấn 2413765

6 Phạm Văn Quang 2412849

7 Đào Duy Hưng 2411334

MỨC ĐỘ ĐÓNG GÓP

Lớp học phần: L20 Nhóm:   16 Mã đề tài:7

STT Họ và tên MSSV Công việc được phân công đóng góp Mức độ

(%)

Ký tên Ghi chú

1 Lê Minh Quân 2412893 Làm câu 2, làm và tìm

ví dụ câu 1

14%

2 Hoàng Minh Trí 2413625 Làm word,tìm ví dụ

câu 3 14%

3 Trương Vĩnh Phát 2412613 Thuyết trình, làm

powerpoint, hỗ trợ cho các bên khác

16%

4 Huỳnh Tấn Tiến 2413468 Làm word, tìm ví dụ

câu 3

14%

5 Đào Quốc Tuấn 2413765 Làm câu 2, powerpoint 14%

6 Phạm Văn Quang 2412849 Làm word, tìm ví dụ

câu 3

14%

7 Đào Duy Hưng 2411334 Làm word, tìm ví dụ

Tổng cả nhóm 100%

Nhóm trưởng (Ký và ghi rõ họ, tên)

NHẬT KÝ LÀM VIỆC

Lớp học phần:L20 Nhóm:16 Mã đề tài:7

Nội dung Thời

gian

Họ và tên MSSV Đã thực

hiện

Ký tên của nhóm Nhận xét

trưởng

Thuyết trình Trương Vĩnh Phát 2413625 Làm

powerpoint Hoànthành tốt

nhiệm vụ Đào Quốc Tuấn 2413765 Làm

powerpoint Hoànthành tốt

nhiệm vụ Tìm hiểu các

ví dụ câu 3 và

làm câu 1

Phạm Văn Quang 2412849 Làm câu 3 Hoàn

thành tốt nhiệm vụ Hoàng Minh Trí 2413625 Làm câu 3 Hoàn

thành tốt nhiệm vụ

Lê Minh Quân 2412893 Làm câu 1,

tổng hợp ví

dụ câu 3

Hoàn thành tốt nhiệm vụ Đào Duy Hưng 2411334 Làm câu 3 Hoàn

thành tốt nhiệm vụ Huỳnh Tấn Tiến 2413468 Làm câu 3 Hoàn

thành tốt nhiệm vụ Dựng hình

quay quanh

Oy (câu2)

Lê Minh Quân 2412893 Dựng hình

bằng matlab Hoànthành tốt

nhiệm vụ Đào Quốc Tuấn 2413765 Dựng hình

bằng matlab Hoànthành tốt

nhiệm vụ Trương Vĩnh Phát 2413625 Dựng hình

bằng GeoGebra

Hoàn thành tốt nhiệm vụ Viết báo cáo Phạm Văn Quang 2412849 Viết báo cáo Hoàn

thành tốt nhiệm vụ Đào Duy Hưng 2411334 Viết báo cáo Hoàn

thành tốt nhiệm vụ Hoàng Minh Trí 2413625 Viết báo cáo Hoàn

thành tốt nhiệm vụ

Huỳnh Tấn Tiến 2413468 Viết báo cáo Hoàn

thành tốt nhiệm vụ

Nhóm trưởng

(Ký và ghi rõ họ, tên)

NHẬN XÉT CỦA GVHD

MỤC LỤC

NỘI DUNG ĐỀ TÀI VÀ DANH SÁCH THÀNH VIÊN 2

MỨC ĐỘ ĐÓNG GÓP 3

NHẬT KÝ LÀM VIỆC 4

NHẬN XÉT CỦA GVHD 6

GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI 8

Câu 1 Tổng Riemann 9

1.1 Sơ lược về tổng Riemann 9

1.2 Cách tính tổng Reimann và các loại tổng Reimann 9

Câu 2: Dựng vật thể quay quanh trục Oy bằng phần mềm GeoGebra 11

2.1 Tìm hiểu về Geogebra 11

2.2 Đoạn code 12

2.3 Hình ảnh và kết quả 14

Câu 3: Các ví dụ 15

3.1 Dạng bài toán cho hàm cụ thể 15

3.2 Dạng bài không cho hàm cụ thể 16

KẾT LUẬN 18

Tài liệu tham khảo 19

GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

Giải tích 1 là một trong những học phần bắt buộc và quan trọng của tất cả sinh viên

Trường Đại học Bách Khoa – Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, vì nó được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khoa học, và là nền tảng quan trọng cho các kỹ sư tương lai

Cũng vì lí do đó, chúng em – các sinh viên khóa K24, bằng những kiến thức và hiểu biết của mình, chúng em xin được phép giới thiệu đến quý độc giả bài báo cáo về chủ đề

Ứng dụng tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay.

Chúng ta đã được làm quen với khái niệm về nguyên hàm, tích phân từ cấp Trung học phổ thông, nhưng chưa biết rõ được cách mà tích phân xác định hoạt động như thế nào Do đó bài báo cáo tiểu luận nhằm để độc giả hiểu rõ hơn về tích phân xác định và ứng dụng của nó vào việc tính thể tích của vật thể tròn xoay – cụ thể là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oy

Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ths.Lê Nguyễn Hạnh Vy, đã tận tình giúp đỡ, chia sẻ những kiến thức chuyên sâu cũng như đã dành những góp ý quan trọng cho chúng em, nhằm để bài báo cáo có thể hoàn thiện một cách tốt nhất

Chúng em rất mong nhận được sự góp ý và nhận xét của các Thầy, Cô, các độc giả

để giúp nhóm chúng em cải thiện những thiếu sót

Chân thành cảm ơn quý độc giả đã dành thời gian đọc bài báo cáo của chúng em

Câu 1 Tổng Riemann.

1.1 Sơ lược về tổng Riemann.

Được phát hiện bởi nhà toán học người Đức, Bernhard Riemann, tổng Riemann chủ yếu được dùng để tính gần đúng diện tích của phần bị giới hạn bởi đường cong trên đồ thị

Để tính tổng Riemann, ta chia nhỏ vùng cần tính diện tích thành nhiều hình dạng

(hình chữ nhật, hình thang, hình parabol,…) mà chúng cùng nhau tạo thành một vùng

có hình dạng tương tự với vùng cần tính diện tích, sau đó tính diện tích mỗi vùng này và cuối cùng cộng tất cả lại với nhau

Tuy nhiên, do vùng được tạo thành bởi các hình đã chia không hoàn toàn giống với

vùng cần xét nên giá trị của tổng Riemann không giống với giá trị cần tìm Để giảm sai

số, ta chia vùng cần xét thành vô số hình với chiều rộng vô cùng bé (gần như bằng 0) Khi đó giá trị hữu hạn của tổng Riemann sẽ gần với giá trị tích phân Riemann hay tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b]

Phương pháp này hiệu quả khi ta cần tính tích phân mà không biết chính xác hàm

f(x), chỉ biết tập hợp gồm toạ độ các điểm x và f(x) trong một miền xác định hoặc

những hàm f(x) không có nguyên hàm rõ ràng

1.2 Cách tính tổng Reimann và các loại tổng Reimann

Dùng tổng Riemann để tính xấp xỉ tích phân ∫

a

b

f ( x )dx với n đoạn phân hoạch (một số cách nói khác là n đoạn chia, n hình chữ nhật,…)

Δn: là khoảng phân hoạch → Δ n = b −a n

f ( x ) f (a) f (a+∆ n) f (a+2 ∆ n) … f (b−∆ n) f (b)

a) Tổng Reimann trái: ∆ n ¿

Ví dụ:

Để tính thể tích vật thể khi miền giới hạn bởi đường cong y=f(x) và trục hoành:

vì không có hàm số cụ thể nên ta không thể tính như bình thường vậy nên chúng ta dùng tổng Reimann trái theo yêu cầu đề bài như sau:

Bước 1 : xác định công thức tính thể tích bằng tích phân và xác định đoạn phân hoạch:

→ V =π∫

5

10

f2

( x )dx, n=10

Bước 2: Tính Δn=b −a n =10−5

10 =12 Bước 3: dùng công thức tổng Reimann trái;

∫

5

10

f2( x) dx ≈ Δn.[f2(5)+f2(5 ,5)+f2(6)+…+f2

(9 ,5)] = 287

→ V= ¿ 287π, chọn E

b) Tổng Reimann phải: ∆ n ¿

Ví dụ:

Giải:

Đề bài yêu cầu ta dùng tổng Reimann phải để tính xấp xỉ thể tích phần bao bởi thủy tính của bóng đèn: V =π∫

0

5

f2( x )dx

Bước 1: Tính ∆ n=5−0

10 =1 2

Bước 2: Lập bảng, ta thấy bóng đèn nằm ở 2 phía của trục Ox nên ta phải lập lại bảng giá trị dựa theo đề bài cho

f ( x) 0 1 1,225 1,22

5 1 0,73 0,63 0,625 0,625 0,625 0,625

Bước 3: Áp dụng công thức Tổng Reimann phải;

∫

0

5

f2( x) dx ≈ ∆ n ¿

→V =3 ,8 π (c m3

) chọn A

c) Tổng Reimann trung tâm (tổng giữa):

Δn ¿

Ví dụ:

Giải:

Đề bài yêu cầu dùng tổng Reimann giữa (trung tâm) để tính gần đúng ∫

3

10

❑f ( x) dx, ta làm như sau:

Bước 1: Tính ∆ n=10−3

5 =7 5

Bước 2: Áp dụng công thức của tổng Reimann giữa (trung tâm)

∫

3

10

f ( x) dx ≈7

5.¿ 5,1+3,5+6,8+6,2+5,1] = 37,38

→ Chọn A

Câu 2: Dựng vật thể quay quanh trục Oy bằng phần mềm

GeoGebra

2.1 Tìm hiểu về Geogebra

GeoGebra là một phần mềm hình học động, đại số, thống kê và vi tích phân dành cho việc hỗ trợ giáo dục toán học và khoa học trong trường học Là một phần mềm đa nền tảng, GeoGebra hiện thuộc sở hữu của công ty công nghệ giáo dục Ấn Độ Byju's

GeoGebra còn là một trong những phần mềm phổ biến nhất dành cho các Giáo viên bậc THCS và THPT ở Việt Nam, nhằm để tạo ra những hình ảnh, đồ thị, …góp phần làm sinh động tiết học và dễ tiếp cận hơn

2.2 Đoạn code

2.3 Hình ảnh và kết quả

Câu 3: Các ví dụ

3.1 Dạng bài toán cho hàm cụ thể

Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox dùng phân hoạch theo Oy

Thể tích vật thể tròn xoay xác định trong miền giới hạn bởi , = 4, trong khoảng

Gọi x= 4= f(y), = g(y)

Thể tích vật thể tròn xoay xác định trong miền giới hạn bởi , x=0, trong khoảng

3.2 Dạng bài không cho hàm cụ thể

Ví dụ 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox dùng phân hoạch theo Oy

Thể tích chậu cây với bảng số liệu tương ứng miền giới hạn bởi x=f(y),x=g(y) quanh trục

Ox, trong khoảng

y g(y) f(y)

1 0.63 0

2 1.88 1.25

3 3.13 2.5

4 3.63 3

5 5.63 5

- : Giá trị của hàm tại điểm

- : Giá trị của hàm tại điểm

- : Bề dày của mỗi lớp đĩa (khoảng chia đều giữa các giá trị y)

- : Số đoạn phân hoạch

= 1

=

Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Oy dùng phân hoạch theo Oy

Thể tích quả bóng với bảng số liệu tương ứng miền giới hạn bởi x=f(y),x=0 quanh trục

Ox, trong khoảng

y f(y) y f(y)

0 0 3.5 2.992

0.5 1.658 4 2.828

1 2.236 4.5 2.598

1.5 2.598 5 2.236

2 2.828 5.5 1.658

2.5 2.992 6 0

- : Giá trị của hàm tại điểm

- : Bề dày của mỗi lớp đĩa (khoảng chia đều giữa các giá trị y)

- : Số đoạn phân hoạch

=0.5

35.94 8π

KẾT LUẬN

Qua việc tìm hiểu ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích của vật thể tròn xoay quanh trục Ox, Oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục Oy, ta có thể rút ra những kết luận sau:

 Khái niệm chính xác của Tích phân không liên quan gì đến Nguyên hàm hoặc Đạo hàm cả Việc một tích phân bằng nguyên hàm và thế cận chỉ là vô tình

 Tích phân xác định là một khái niệm cực kì mạnh mẽ trong việc tính thể tích vật thể tròn xoay, thậm chí là cả diện tích bề mặt

 Thông qua phần mềm GeoGebra, chúng em còn hạn chế về việc là chưa thể viết được phương trình của hàm f(y) mà chỉ viết được phương trình của hàm f(x), sau

đó cho nó quay quanh trục Oy

Lời cuối cùng, chúng em xin cảm ơn, cô Lê Nguyễn Hạnh Vy đã tạo điều kiện cho chúng

em có cơ hội cùng nhau làm việc, cùng nhau tìm hiểu về chủ đề trên, để có thể hoàn thành bài báo cáo một cách tốt nhất Cảm ơn quý đọc giả đã dành thời gian để đọc bài báo cáo của chúng em



Tài liệu tham khảo

[1] James Steward (2012) Calculus Early Transcendentals 7th Edition, Cengage

[2] Nguyễn Đình Huy (2013) Giải tích 1, NXB Đại học Quốc gia TPHCM

[3] Nguyễn Đình Huy (2022) Giải tích 1, NXB Đại học Quốc Gia TPHCM