Luận văn thạc sĩ Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán: Dạy học khái niệm dãy số nhìn từ quan điểm dạy học tích hợp

Chúng tôi giới hạn nghiên cứu trên đối tượng tri thức này và đặt câu hỏi xuất phát như sau: Với những ràng buộc của thể chế hiện hành doi với khái niệm dãy số, làm thé nao dé dạy học phù

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Thạch Lương

DẠY HỌC KHÁI NIỆM DAY SO

NHÌN TỪ QUAN DIEM DẠY HỌC TÍCH HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016

——————————————==——=—=——ễ——¬

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dân nêu

trong luận văn đêu chính xác và trung thực

LỜI CẢM ƠN

Tôi trân trọng dành những dòng đầu tiên để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã luôn động viên, tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng trân trọng gửi lời cảm ơn đến:

“ PGS TS Lê Thị Hoài Châu, người đã truyền đạt cho chúng tôi những tri

thức về Thuyết nhân học trong Didactic, với sự nghiêm khắc nhưng day nhiệt

tình của cô, chúng tôi đã luôn nỗ lực trong học tập và nghiên cứu.

¢ TS Vũ Như Thư Hương, sau chuyên đề Hợp đồng Didactic cô còn đành một

buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp tôi các kỹ năng cần thiết về tin học khi

trình bày một luận văn, xử lí hình ảnh,

s* PGS TS Lê Văn Tiến, TS Tăng Minh Dũng, TS Nguyễn Thị Nga

Mỗi thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp cho chúng tôi về những nội dung còn mới mẻ của chuyên ngành Didactic Toán Từ đó, thầy cô đã truyền cho chúng tôi niềm say mê, hứng thú đối với chuyên ngành này.

“+ GS Hamid Chaachoua, GS.Annie Besot về những góp ý quý báu cho luận

văn.

Và tôi cũng chân thành cảm ơn:

s* UBND tỉnh Đồng Nai, Sở GD ĐT tinh Đồng Nai, Ban Giám Hiệu trường

THPT Nhơn Trạch đã tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi được tham gia khóa

học.

s* Phòng Sau Dai Học, Khoa Toán- Tin trường DH Sư Pham TP HCM đã tạo

điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây.

s* Các bạn trong lớp cao học - Didactic toán khóa 25 về những chia sẻ, động

viên nhau để hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi không thể quên công ơn của những người thân trong gia đình, cácđồng nghiệp trong tổ Toán của tôi, mọi người đã tạo điều kiện tốt, giúp tôi yên tâm

hoàn thành khóa học.

Nguyễn Ngọc Thạch Lương

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU 22CLC2EH E2 HH eo l

Chương 1 NHỮNG ĐỊNH HUONG CUA NOOSPHERE VIET NAM

CHO CHUONG TRINH MÔN TOÁN TRONG

¡090620710101 6

1.1 Chuyên từ day học nội dung sang hình thành năng lực cho học sinh 6

1.2 Vị trí của môn toán trong xu hướng day học tiếp cận năng lực 8

II) vài(i0i 117 9

1.4 Kết luận chương l 2 22+222+++cSEEEECEEEEECE22111222111 271112111 11

Chương 2 DAY SO TRONG DAY HỌC TOÁN BAC THPT 13

2.1 Phân tích Sách giáo khoa IMỹ, - Sàn H HH HH HH gi, 13 2.1.1 Phần bài HOC sssesssssssssssesssssssseseesestsesssssssnnnssssssssssssssssssssssssssseeeeeeeeeeeeeeeeees 13 2.1.2 Tóm tắt phần bai học của SGK Mỹ, -¿-©2z22+ecccrveerrrree 24 2.2 Các tổ chức toán học trong SGK Mỹ, -2 ©2+222+evcvxerrrrxeerrrrecee 25 2.3 2.2.1 Kiểu nhiệm vụ 7;: Tìm số hạng thứ k của dãy số khi đã biết công 00019150:11Ẽ0.007/ 37 2007077 26

2.2.2 Kiểu nhiệm vụ 7,: Tìm số hang thứ k của dãy số khi biết công thức tinh a, bang truy hồi -2 ©2¿+2E+++22E++++EEEEetrrxerrrrrkere 28 2.2.3 Kiểu nhiệm vụ 7¿: Tìm công thức tính a, theo n khi biết được vài số hạng đầu của dãy -¿¿+2++e+2EEEetEEEAEtEEEEErrrrkkrrrrrkrree 31 2.2.4 Kiểu nhiệm vụ 7,: Tìm công thức tinh a, bằng truy hồi 32

2.2.5 Một số dang bài tập khác -2c¿+2EEEetEEEEECEEEEECEEELkrrrrrrrerrree 33 Day số trong Sách giáo khoa toán 11 (cơ bản) Việt Nam - 35

2.3.1 Phan bài học - + +Sk‡EkSEEEEEESEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEELrrkrrkrerkee 36

2.3.2 Tóm tắt phần bài học của SGK11CB và nhận xét - 44

2.4 Các tô chức toán học trong SGK11CB cơ bản Việt Nam 45

ca na 48

2.5.1 Phần bài học của SGKCBI1 của Việt Nam -c-csecee+zxe¿ 48 2.5.2 Phần bài tập của SGKCBII của Việt Nam 5 +c<csscseses 48 Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM -2ccc++ccczrxeecccee 51 3.1 Đối tung thurc MGHIEM 0 10121177 51

3.2 NOi dung thurc nghigM 01177 51

3.2.1 Thue nghigm 1 oe 51

3.2.2 Thue nghiém 2 oo 53

3.3 Phan tich nii3i6 2i 55

3.3.1 Tổ chức thực nghi@m cceccceecsesssseessseessseesssessseessseessseessseessssessseessseeesseees 55 3.3.2 Phân tích tiên nghiệm thực nghiệm ] 5-5 555 5+<+s+s>s<+sss2 56 3.3.3 Phân tích tiên nghiệm thực nghiệm 2 ¿5555252 5+s+s++sz+ss+2 58 3.4 Phan tich 0i: 8i) 64

3.4.1 Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm - 555 5s<+s+s+s<s<ss2 64

3.4.2 Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 2 5-5-5 ++s£+£+x+>sesxsx2 70

3.5 Kết luận chương 3 2 22¿-+2E++2EELE2221112271111221112211122111.02111T1 co76

TÀI LIEU THAM KHAO - 22-252 2SE+££9EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE2211E1.ecrrrved 79

PHỤ LỤC

DANH MỤC CAC KÝ HIỆU, CAC CHU VIET TAT

SGK VN : Sách giáo khoa Việt Nam

SGK11CB : Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 cơ bản

Bang 2.1.

Bang 3.1.

Bang 3.2.

Bang 3.3.

Bang 3.4.

Bang 3.5.

Bang 3.6.

Bang 3.7.

Bang 3.8.

Bang 3.9.

Bang 3.10.

Bang 3.11.

Bang 3.12.

Bang 3.13.

Bang 3.14.

Bang 3.15.

Bang 3.16.

DANH MUC CAC BANG

Bảng so sánh một số tô chức toán học của SGKCBI1 và SGK Mỹ 49

Thống kê các câu trả lời cá nhân của học sinh trong câu hỏi 1.1 64

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh về dãy 1,2,3 trong 000820110757 65

Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1.2 65

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh về dãy số 4 trong câu 0000 66

Thống kê các câu tra lời của học sinh trong câu hỏi 1.3 66

Thống kê các câu trả lời theo nhóm hoc sinh về day số 5 trong câu i00 67

Thống kê các câu tra lời của học sinh trong câu hỏi 1.4 - 67

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong câu hỏi I 4 68

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong câu hỏi 2.3 68

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 1 70

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 2 71

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 3 72

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 4 73

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 5 74

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 6 75

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 7 76

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài và các câu hói xuất phát

Dự định “đổi mới căn bản và toàn diện” giáo dục Việt Nam hứa hẹn sẽ mangđến một cuộc cải cách giáo dục lớn Những bài viết của các thành viên “bd phậnthường trực đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo duc phổ thông và bồi dưỡngnhà giáo, can bộ quản lý cơ sở giáo dục” [16, tr.5] Của Bộ Giáo dục va Dao tạo laymốc thời gian “sau 2015” dé nói về thời điểm thực hiện sự đổi mới Tuy nhiên, thoiđiểm dự kiến bắt đầu áp dụng chương trình mới đến nay vẫn chưa xác định

Đối với việc xây dựng chương trình mới, các thành viên bộ phận thường trực

và các nhà nghiên cứu thuộc Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam sẽ giữ vai trò chủ

đạo Chúng tôi sẽ gọi họ là những nhà hoạch định chương trình mới và gọi tắt là NHĐCT Vì vậy, phân tích những quan điểm của họ thể hiện qua các bài viết cho

những hội thảo tô chức tại các trường Đại học Sư phạm Trọng điểm sẽ làm rõnhững định hướng đổi mới giáo dục phố thông nói chung và bộ môn Toán nói riêng

Chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông từ lớp 1 đến lớp 12 hiện hành được triển khai theo Nghị quyết số 40 của Quốc hội năm 2000 đã áp dụng trên phạm vi toàn quốc từ năm 2002 đến nay là 12 năm.

Chương trình, sách giáo khoa hiện hành cơ bản đã làm xong nhiệm vụ của

mình trong giai đoạn vừa qua; đáp ứng được những yêu cầu về đổi mới theo tinh thần Nghị quyết 40 của Quốc hội X Tuy nhiên, trước yêu cầu phát triển

nguồn nhân lực chất lượng cao phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại

hóa đất nước; trước sự phát triển nhanh chóng của khoa học — công nghệ và khoa học giáo dục; trước những đòi hỏi hội nhập quốc tế, chương trình và sách giáo khoa hiện hành đã bộc lộ một số hạn chế, bất cập.

Điều đó đòi hỏi phải xây dựng chương trình và biên soạn sách giáo khoa với những đổi mới căn bản, toàn diện về mục tiêu, nội dung, phương pháp và hình thức dạy học, thi, kiểm tra, đánh giá chất lượng giáo dục và quản lý, thực hiện

chương trình [16, tr.5].

Chúng tôi thấy rằng NHĐCT đề cao và chú trọng phát triển năng lực của họcsinh, trong đó đề xuất ra phương án dạy học tích hợp trong chương trình, sách giáokhoa sau năm 2015 dé phát trién năng lực của học sinh.

Mục đích của dạy học tích hợp là để hình thành và phát triển năng lực học sinh Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách lnh hoạt, có

tổ chức hợp lý các kiến thức, kỹ năng với thái độ, giá trị động cơ, nhằm đáp ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một bối cảnh nhất định Phương pháp tạo ra năng lực

Làm cho quá trình học tập gần gũi với cuộc sống của các em Các chủ điểm được xây dựng từ những nội dung gắn liền với cuộc sống.

Ghép được những kiến thức và kỹ năng có liên quan/ gần nhau của các môn

học.

Giảm số môn học và giảm tải cho học smh.

Có điều kiện hình thành và phát triển năng lực của học sinh [4, tr.25].

Từ đó, chúng tôi đã đặt ra những câu hỏi xuất phát sau đây:

Những quan điểm nào về dạy học tích hợp theo các NHĐCT được dé cập?Quan điểm nào có thể phù hợp với dạy học bộ môn Toán?

Khái niệm dãy số là một trong ba đối tượng cơ sở của giải tích (gồm số thực,

dãy, hàm số) Ngoài ra, đối tượng này cũng xuất hiện như là một công cụ trongnhiều ngành khoa học khác nhau: vật lý, hóa học, sinh học va kinh tế học Chúng tôi

giới hạn nghiên cứu trên đối tượng tri thức này và đặt câu hỏi xuất phát như sau:

Với những ràng buộc của thể chế hiện hành doi với khái niệm dãy số, làm

thé nao dé dạy học phù hợp với quan điểm dạy học tích hợp của các NHĐCT?

2 Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan tới vấn đề nghiên cứu

Hiện nay, ở Việt Nam, các công trình nghiên cứu về khái niệm về dãy sốkhông nhiều Đặc biệt là nghiên cứu dạy học theo quan điểm tích hợp Chúng tôi

tìm được một công trình nghiên cứu có liên quan:

- - Diệp Văn An Lạc (2011), một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy học ở

trường THPT, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

Tác giả đã trình bày nghiên cứu khái nệm cấp số nhân ở cấp độ đại học và phân tích mối quan hệ thể chế với các đối tượng cấp số nhân ở chương 2, chưa có vận

dụng dạy học tích hợp.

- _ Lê Minh Hải (2013), đấy số trong dạy học toán ở phổ thông, Luận văn thạc

sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh.Tác giả đã nghiên cứu các tri

thức bác học về khái niệm dãy số thông qua các giáo trình Toán ở bậc đại học détim hiểu cách trình bày khái niệm dãy số, các cách cho dãy số và các khái niệm liênquan Tác giả phân tích mối quan hệ thé chế đối với đối tượng dãy số và các tô chứctoán học có liên quan trong giáo trình toán THCS và THPT Tác giả phân tích mốitương quan giữa dãy số và hàm số trong chương 2 Chúng tôi nhận thấy tác giả chưa

dé cập đến quan điểm dạy học tích hợp

Từ những ghi nhận ban đầu như trên, chúng tôi quyết định chọn dé tài nghiên

cứu cho luận văn thạc sĩ của mình là: “Day học khái niệm dãy số nhìn từ quan

điểm dạy học tích họp”

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Dé đạt được các mục tiêu nghiên cứu đã được đề ra, chúng tôi sẽ vận dụng các

công cụ của lý thuyết sau:

- Các yếu tố lý thuyết về dạy học tích hợp được trình bày bởi các NHĐCT

Chúng tôi sẽ trình bay trong chương 1, cơ sở lí luận của luận văn.

- Thuyết nhân học trong didactic toán dé phân tích các sách giáo khoa

- Lý thuyết tình huống để xây dựng và phân tích thực nghiệm

4 Mục tiêu nghiên cứu và các câu hỏi nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài: xây dựng một tình huống dạy học khái niệm dãy số thỏa mãncác ràng buộc của thể chế hiện hành và phù hợp với quan điểm về dạy học tích hợpcủa các NHDCT.

Từ mục tiêu này chúng tôi phát biểu các câu hỏi nghiên cứu sau:

CHI: Theo các NHDCT, tại sao nên thực hiện day học tích hợp? dạy học tích hợp là gì và có những đặc trưng gì? Các hình thức dạy học tích hợp nào phù hợp với dạy học Toán?

CH2: Trong SGK toán Việt Nam hiện hành, dãy số được trình bày như thế nào nếu nhìn từ quan điểm tích hợp như các NHĐCT?

5 Phương pháp nghiên cứu

Dé đạt được mục tiêu nghiên cứu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên

cứu

e Phuong pháp phân tích- tổng hợp:

- Phan tích quan diém tich hợp của các NHĐCT Việt Nam, dé trả lời cho các

câu hỏi: dạy học tích hợp là gì, các kiểu tích hợp, các hình thức dạy học tích

hợp nao phù hợp với dạy học Toán?

e Phuong pháp phân tích— so sánh:

- Để làm rõ những đặc trưng của thể chế Việt Nam về việc dạy học khái mệm

dãy số, chúng tôi sẽ phân tích so sánh SGK Việt Nam với một quyên sáchgiáo khoa nước khác Quyên sách được chon là quyền:

James Stewart-Rothard Redline-Saleem Watson (2013), Precalculus Mathematics for Calculus (sixth edition), Cengage Learning.

Phân tích so sánh này được thực hiện bang công cụ của thuyết nhân hoc trong

didactic liên quan đến CH2.

e Phuong pháp thực nghiệm

- _ Xây dựng và phân tích các tình huỗng dạy học bằng các công cụ của lí thuyết

tình huống dé trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đặt ra sau khi phân tích thé

chê.

Chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu được sơ dé hóa như sau:

Phân tích quan điểm dạy học

tích hợp của các NHĐCT

Phân tích giáo trình Phân tích SGK toán của

Precalculus < ? Viét Nam

—S

Nghiên cứu thực nghiệm

Hình 0.1 Sơ đồ phương pháp nghiên cứu

Chương 1.

NHỮNG ĐỊNH HƯỚNG CUA NOOSPHERE VIỆT NAM

CHO CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN TRONG TƯƠNG LAI

Chương này đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu sau CH1: Theo các NHDCT, tại sao nên thực hiện dạy học tích hop? Dạy học tích hop là gì và có những đặc trưng gì? Các hình thức dạy học tích hợp nào phù hợp với dạy học

Toán?

1.1 Chuyén từ day hoc nội dung sang hình thành năng lực cho học sinh

Định hướng tông quát của những nhà hoạch định chương trình mới là chuyển

từ việc dạy học những nội dung của tri thức môn học cụ thể sang hình thành các

năng lực cho học sinh.

Chuyên nền giáo dục chú trọng mục tiêu truyền thụ kiến thức một chiều hiện

nay sang nền giáo dục chú trọng hình thành, phát triển toàn diện năng lực và phâm chất người học [16, tr.6].

Hòa chung với định hướng này, việc dạy học môn Toán cũng được yêu cầuthay đổi sao cho có thé phát triển năng lực của học sinh

Chương trinh môn toán của trường phd thông Việt Nam sau 2015 được xây dựng theo định hướng phát triển năng lực người học Những năng lực chung cần được hình thành và phát triển ở người Việt Nam trong giai đoạn tới bao gom: năng lực tư duy, năng lực thu thập và chế biến thông tin, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tự học, năng lực tự

quản lý bản thân (tất nhiên những năng lực này không hoàn toàn độc lập với

nhau) Đây cần được xem là điểm xuất phát cho việc xác dinh mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học, cách thức đánh giá kết quả học tập môn toán trong trường phô thông [9, tr.25].

Như vậy, một loạt thuật ngữ liên quan đến năng lực xuất hiện Câu hỏi đầu

tiên: thế nào là năng lực?

Từ nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực, tác giả Đinh Quang Báo (2014)tóm lại như sau:

Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hop một cách linh hoạt, có

tổ chức hợp lý các kiến thức, kỹ năng với thái độ, giá trị động cơ, nhằm đáp

ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một bối cảnh (tình huống) nhất định [2 tr.38].

Tác giả cũng đề cập đến mối quan hệ giữa năng lực và kiến thức, kĩ năng

(những thành tố cơ bản của mục tiêu dạy học hiện hành).

Ở Việt Nam, thuật ngữ “năng lực” có thể được hiểu theo các nội hàm khác nhau Theo một số quan điểm khá thống nhất thì năng lực được hiểu theo nghĩa

“competency”, nghia là: Sự tong hợp tất cả các yếu tố kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác dé thực hiện một loại công việc nào đó [2, tr.40].

Như vậy, việc dạy học nhằm hình thành năng lực và đánh giá năng lực học sinh nhất thiết phải gắn với những tình huống có ý đồ sư phạm cụ thé Ngoài ra, tri thức môn học được mô tả dưới dạng kiến ¿hức và kĩ năng cũng cần phải được xác

định rõ.

Các NHĐCT cũng cô gắng đưa ra các kiểu năng lực cần hình thành cho học sinh

trong giáo dục phổ thông Tuy nhiên điều này đến nay vẫn chưa có sự thống nhất.Tham khảo những năng lực chung (hay năng lực cốt lõi) ở một số quốc gia nóitiếng Anh, các tác giả Đinh Quang Báo và Lê Huy Hoàng (2014) cho rằng:

Việc xác định hệ thống các năng lực chung cho giáo dục phổ thông không giống nhau giữa các quốc gia do sự khác nhau về điều kiện kinh tế, chính trị, văn hoá, trình độ phát triển Tuy nhiên, trong bối cảnh toàn cầu hoá và sự gia tăng của nền kinh tế tri thức, có một số năng lực thường được nhiều quốc gia

dé cập trong chương trình đào tạo như: năng lực sử dụng ngôn ngữ (literacy

competency); năng lực tính toán (numeracy competency); năng lực tư duy sang tạo và phản biện (creative and critical thmkmg competency); năng lực hợp tác

(collaborative competency); năng lực giải quyết van đề (problem solving competency); và năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thong (ICTs

competency) [3, tr I3].

Chúng tôi sẽ chọn lựa các kiểu năng lực trong trích dẫn trên để tham chiếucho nghiên cứu của mình và hiểu về chúng trong một tình huống dạy học xác địnhnhư sau:

- Nang lực ngôn ngữ : kha năng van dụng một cách phù hợp ngôn ngữ ma

đặc biệt là kí hiệu và thuật ngữ khoa học để trình bày ý kiến nhằm thuyếtphục người khác và dé soạn thảo câu trả lời cho tình huống đặt ra

- Nang lực tính toán : khả năng thực hiện nhanh và chính xác các phép tính,

đặc biệt là các ước lượng cần thiết dé giải quyết tình huống đã cho

- Nang lực tư duy sáng tao và phản biện: khả năng đưa ra các phản biện và đề

nghị cải thiện một cách hợp lí cho vấn đề đặt ra.

- Năng lực hợp tác: khả năng phối hợp tốt với các thành vên trong nhóm để

phân chia công việc và thống nhất nhằm đưa ra sản phẩm trả lời cho tình huống đặt ra.

- Nang lực giải quyết van dé: kha năng giải quyết các van dé đặt ra trong tình

huống

Lưu ý rằng: van dé là một bài toán chưa thé giải quyết ngay bằng quy trình ma chủthé đang có, nó đòi hỏi chủ thể phải bổ sung hay tổ chức lại kiến thức của mình mới

có thé giải quyết bài toán

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông: khả năng sử dụng

hợp lí và hiệu quả các công cụ của công nghệ như máy tính bỏ túi, thiết bịtrình chiếu, các phần mềm máy tính phù hop

Các NHĐCT cũng đồng ý rằng dù có thể gọi tên các năng lực một cách khác

nhau, nhưng chúng thường không được thể hiện một cách độc lập mà đan xen với nhau Chăng hạn, khi giải quyết một vấn đề đặt ra bằng phương pháp và kĩ thuật toán học thì chủ thể phải huy động các năng lực khác như: hợp tác để tìm cách giải quyết van dé, sử dụng ngôn ngữ hợp lí dé phản biện ý kiến của người khác và đề

nghị cải thiện, tính toán chính xác và sử dụng công nghệ dé thực hiện các khảo sát

hay đo lường.

1.2 Vị trí của môn toán trong xu hướng dạy học tiếp cận năng lực

Ghi nhận đầu tiên của chúng tôi là việc dạy học Toán có thé góp phần hìnhthành tất cả các năng lực chung đã nêu, đặc biệt đối với việc phát triển ba năng lực :tính toán, tư duy sáng tạo và phản biện, giải quyết van dé

Ý kiến tích hợp các môn học hiện hành ở bậc trung học thành những mônhọc mới theo từng lĩnh vực được đề ra, chăng hạn: bậc trung học cơ sở sẽ có môn

khoa học tự nhiên tích hợp từ các môn Vật lý, Hóa học, Sinh hoc và Dia lí Tuy

nhiên, đối với môn Toán, các nhà hoạch định chương trình mới vẫn đang thiên về ý

kiến để môn học này riêng biệt như hiện tại Một phần lí do có thể được tìm thấy

trong bài viết của tác giả Đỗ Đức Thái (2013)

Truyền thống của Việt Nam luôn coi môn toán là môn học chiếm vị trí quan trọng trong các môn học ở nha trường phố thông Toán học được xem là cần thiết không chỉ vì cung cấp nền tang cho việc học các môn học khác hoặc la công cụ để giải quyết các vấn đề trong đời sống thực tế, mà còn bởi lẽ nó đóng gop nhiều nhất cho sự phát triển trí tuệ của mỗi cá nhân học sinh [15, tr.2].

Vấn đề rèn luyện khả năng mô hình hóa toán học được dé cao cho chương trình Toán sau 2015, tác giả Trần Kiều (2013) gọi đó là “năng lực mô hình hóa toán

học”.

Năng lực mô hình hóa toán học từ các tình huống thực tiễn giả định hoặc tình huống thực trong cuộc sống Đây là năng lực cần phải được quan tâm nhiều hơn nữa đối với các trường phố thông ở nước ta [9, tr.3].

Ta có thể xem năng lực mô hình hóa là một trường hợp đặc biệt của năng lực giải quyết vấn đề khi tình huống đặt ra có tính thực tiễn.

Như vậy, môn Toán van sẽ đứng độc lập nhưng được yêu cầu phải day học gắn vớithực tiễn hơn Câu hỏi là làm thế nào để thực hiện điều này

Theo các NHĐCT, dạy học tích hợp là con đường để hình thành năng lựccho học sinh và hình thức dạy học này vẫn có thể thực hiện được cho môn Toán khi

đứng độc lập trong chương trình mới.

năng mới; phát triển được những năng lực cần thiết, nhất là năng lực giải quyết van đề trong học tập và trong thực tiễn cuộc sông [4, tr.25].

Theo các tác giả này, dạy học tích hợp đang được thực hiện phố biến trên thế gidi.

Qua nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa của 17 nước và một số tai liệu do

UNESCO tổng hợp cho thấy: xu hướng chung của các nước đều vận dụng quan điểm tích hợp vào xây dựng chương trình Ở tiêu học thường tích hợp ở mức

độ cao (tích hợp hoàn toàn) Sau đó giảm dần từ trung học cơ sở đến trung học phổ thông (tích hợp bộ phận) [4, tr.25].

Nhóm nghiên cứu trình bày các hình thức dạy học tích hợp:

Có bốn hình thức chính:

a) Tích hợp trong nội bộ môn học

Là môn học độc lập, một số nội dung của các phân môn trong môn học đó

được tích hợp lại với nhau Ví dụ phân môn Hình, Lượng, Đại trong môn Toán

có những nội dung được tích hợp thành chủ đề tích hợp.

Xây dựng môn học mới với cách tiếp cận những vấn đề từ cuộc sống thực và

có ý nghĩa đối với học sinh mà không xuất phát từ các khoa học tương ứng với

các môn học Ví dụ môn Khoa học có những chủ đề như Vật chất, Sự sông

[4 tr.26-27].

Như vậy, nếu môn Toán vẫn đứng độc lập trong chương trình mới và với

mong muốn dạy học gắn với thực tiễn, ta có thé tổ chức dạy học tích hợp phối hợpgiữa hai quan điểm: tích hợp trong nội bộ môn học và tích hợp liên môn Khi đó,

cần thiết kế các tình huống tích hợp sao cho các kiến thức của nhiều phân môn của

Toán được huy động.

Tác giả Dinh Quang Báo (2014) nhấn mạnh về sự cần thiết phải có tình

huống tích hợp cũng như phải xác định rõ kỹ năng và nội dung tri thức môn họctrong việc hình thành năng lực.

Năng lực = Kỹ năng x Nội dung x Tình huống tích hợp Như vậy, dựa vào bảng trên, giáo viên hay người soạn chương trình thiết kế các tình huống tích hợp, hoạt động huy động vận dụng kiến thức, kỹ năng từ các nguồn để giải quyết van đề có ý nghĩa [2, tr.40].

Trong trang trước của bài viết, tác giả Đinh Quang Báo (2014) đã đưa ra mẫu

về một bảng thé hiện mối liên hệ giữa kỹ năng và nội dung tri thức môn học như

sau:

Mỗi môn học lập được ma trận quan hệ giữa hệ thống kỹ năng (KN) và nội dung (ND) kiến thức dưới dạng bảng như sau:

[2 tr.39].

Từ ý kiến của các tác giả đã phân tích, xu hướng đối với dạy học môn Toán của

chương trình mới đó là tích hợp trong nội bộ môn học và tích hợp liên môn với tình

huống tích hợp chứa các vấn đề “có ý nghĩa”:

- Hoặc các van đề của nội tại bộ môn Toán nhưng khi giải quyết có thé huy

động kiến thức của nhiều phân môn khác nhau,

- _ Hoặc các van đề phỏng thực tiễn (hay từ thực tiễn)

Môn toán vẫn sẽ độc lập trong chương trình mới cho nên hình thức tích hợp

phù hợp là tích hợp trong nội bộ môn và tích hợp các kiến thức liên môn (hay từthực tiễn) Như vậy, giáo viên cần xây dựng mới hay áp dụng các tình huống dạyhọc đã có sao cho khi học sinh giải quyết chúng họ phải huy động nhiều chủ đềkhác nhau của nội bộ môn toán hoặc các kiến thức của môn học khác ngoải toánhoặc kiến thức thực tiễn

Chương 2.

DAY SO TRONG DẠY HỌC TOÁN BAC THPT

Mục tiêu của chương là trả lời cho các cau hỏi

Trong SGK toán Việt Nam hiện hành, dãy số được trình bày như thế nào nếu

nhìn từ quan điểm tích hợp như các NHDCT?

Để làm rõ hơn câu hỏi nghiên cứu trên, trước tiên, chúng tôi tiễn hành phân

tích một quyền SGK Precalculus của Mỹ đã lựa chọn từ nhận định của Nguyễn Thị

Nga (2013):

Theo nghiên cứu của Werner Blum (1993), ở các nước như Mỹ, Úc, Đức,

Canada và Anh có rất nhiều tài liệu về dạy học mô hình hóa được chính thức phát hành ở tất cả các cấp độ từ tiểu học đến trung học phổ thông và đại học Trong các tài liệu này, người ta xây dựng những ví dụ, những tình huống cụ thể

để hỗ trợ cho giáo viên trong việc triển khai dạy học mô hình hóa [11, tr.6].

Dạy học bằng mô hình hóa là một hình thức dạy học tích hợp và hoàn toàn thỏa mãn quan điểm về tích hợp liên môn của NHDCT Chúng tôi định hướng phân

tích SGK Mỹ với các câu hỏi sau:

Trong SGK Mỹ đã chọn, khái niệm dãy số được định nghĩa như thế nào? Cácnội dung về day số trong SGK được thể hiện như thế nào nếu nhìn từ quan điểmtích hợp? Có những tổ chức toán học nào liên quan đến khái niệm dãy số? Những tôchức toán học này phù hợp với quan điểm dạy học tích hợp như thế nào?

2.1 Phân tích Sách giáo khoa Mỹ

2.1.1 Phần bài học

a Dinh nghĩa dãy số

Chúng tôi thấy rằng dãy số được dé cập nằm ở chương 12 — dãy số và chuỗi

số (SEQUENCES AND SERIES) trong sách giáo khoa “Precalculus” của Stewart

và các tác giả (2013) trang 783 sau khi đã học xong chương hàm số (chương 2)

Mở đầu phần bài học, dãy số được mô tả là một danh sách các số cùng với các ví dụ

thực tế trong vật lý và kinh tế:

Dãy số là một danh sách các số được viết bởi một trật tự xác định Ví dụ chiều cao của một trái bóng dang nảy lên chạm đến sau một lần nảy thì gọi là dãy só.

Day thứ tự này là một mẫu xác định, việc miéu tả mẫu đó cho phép chúng ta dự

đoán được chiều cao của quả bóng đạt được sau bat kì nảy lên nảo

Lượng tiền có trong tài khoản ngân hàng vào cuối mỗi tháng, việc cảm có cho

vay hay là lượng tiền của một niên khoản đều là những dãy số Công thức sinh

ra những dãy số này xuất phát từ nén kinh tế của chúng ta, chúng cho phép ta mượn tien để mua những ngôi nhà mơ ước gần với thời điểm tốt nghiệp hơn là nghi hưu Ở chương này chúng ta sẽ nghiên cửu những điều nay có những áp

dụng của day số [17, tr.783].

Sự vô han cia "danh sách” gắn với diy số được nhấn mạnh và đặt van dé

cho việc tìm cách mô tả danh sách vô hạn này:

Đại khái một day số là một danh sách vô han các số Các số trong dãy thường

được viet là a,,œ,,œ,, Các dấu chấm có nghĩa là danh sách còn tiếp tục mãi.Một ví dụ đơn gần là dãy

Bạn có the nghĩ một cách khác đẻ mô tả mẫu hình trên, cụ the là “ban đi từ một

số đến số tiếp theo bang cách thêm 5”, Cách tự nhiền để mô tả dãy số như the

này được vất bằng công thức truy hồi.

đ =a ¡+5

Bắt đầu với a; = 5 Thử thay thế n=1, 2 ,3, lần lượt vào công thức dé thấy được chúng tạo ra các số trong dãy như thé nào Trong phần này chúng ta sẽ xem những cách khác nhau đã đề cập được sử dụng để mô tả dãy số cụ thé như thế nào? [17,tr.784].

Từ những ví dụ thực tế và mô tả đại số SGK chính thức định nghĩa dãy số thông qua khái niệm hàm số như sau:

Một dãy số là một hàm số f có miền xác định là tập hợp các số tự nhiên Các số hạng của dãy được xác định bằng gia tri của ham sé.

Các nghĩa của dãy số được đề cập: một danh sách các số (thường là vô hạn

và có thể mô tả băng công thức); một hàm số có tập xác định là các số tự nhiên.

Nhiều hiện tượng thực tế có thể được mô tả bằng dãy số như: chiều cao của quả bóng sau mỗi lần nay, số tiền có trong một tài khoản ngân hàng mỗi thang

b Xác định công thức biểu diễn số hạng thứ n theo n

Công thức tìm số hạng thứ n cua (a,) theo n của một day số xuất hiện như một phương tiện để xác định một dãy SỐ, nghĩa là xác định được danh sách các SỐ.

Đây là một ví dụ đơn giản về dãy:

2, 4, 6, 8, 10,

Chúng ta có thé viết một dãy bang cách này nếu các số hang của dãy đã rõ

ràng Dãy này chứa các số chăn Tuy nhiên, để chính xác hơn, chúng ta cần chỉ

rõ tiễn trình tim tất cả các số hạng của dãy Điều này có thể được thực hiện nếu

cho công thức xác định số hang a, — số hạng thứ n của dãy Trong trường hợp

này

a, =2n

Day số có thé viết như sau

a 4, 6, 8, S 3n,

Ist 2nd 3rd 4th ath

term term term term term

Chú ý công thức an = 2n cho biết tất cả số hạng của day [ ] [17, tr.784-785].

SGK cũng làm rõ mối liên hệ giữa công thức a„ theo ø với định nghĩa dãy số bằng hàm số:

Một cách khác, có thé viết day số bang cách sử dung kí hiệu hàm số:

a(n) =

Vi vậy a(1) =2, a(2) = 4, a(3) =6 [17, tr.784].

Việc tìm các số hạng của dãy từ công thức tổng quất cho trước được đặt ra:

Vi dụ 1 Tim các số hạng của dãy số.

Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy xác định bởi mỗi công thức

số hạng thứ n của dãy Dé tìm số hang thứ 100, ta sẽ thay n = 100 Chúng ta

a) Chúng ta nhận thấy rằng các tử số của các phân số là các số lẻ và mẫu số l

các số chăn Số chăn có dạng 2n, và số lẻ có dạng 2n-1 (số lẻ khác với số chan

la I don vi) vì vậy dãy số được cho bởi 4 số hạng đầu được cho bởi

Ban nén kiém tra lai công thức xác dinh đúng với các sỐ hạng đã cho [17, tr.786].

c Xác định dãy số bằng công thức truy hồi

Công thức truy hồi được giới thiệu như một cách để xác định dãy số khikhông (hay khó) tìm được công thức trực tiếp đề tính a„ theo n

Một vài dãy không xác định được bằng những công thức đơn giản như những

ví dụ trên Số hạng thứ ø phụ thuộc vào một vài hoặc tất cả các số hạng đằng trước nó Một dãy số định nghĩa theo cách này được gọi là truy hồi Dưới đây

Công thức định nghĩa dãy số này là truy hồi Nó cho phép ta tim số hạng an thứ

n nếu biết trước số hạng đứng trước an.¡ Như vậy, chúng ta có thé tim được

số hạng thứ hai khi biết số hạng thứ nhất, số hạng thứ ba từ số hạng thứ hai, số

hang thứ tư từ số hạng thứ ba, và tiếp tục như vậy Ké từ khi biết số hạng thứ

nhất a¡=l, chúng ta tiến hành như sau.

Vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi cho thấy khả năng viết các chương trình để

xác định các số hạng từ công thức truy hồi.

Sau khi trình bay dãy truy hồi, giáo trình còn giới thiệu dãy đặc biệt là day Fibonacci và trình bày những hiện tượng trong tự nhiên tương ứng với dãy số này.

Vi dụ 4: Day Fibonacci

Tim 11 số hang dau của dãy truy hồi biết F =1,F,=l và F.=F_,+F,.,.”

Giải: Dé tìm F, chúng ta cần tìm hai số hang đẳng trước Ƒ„, và Ƒ„

Từ #;,F;, chúng tôi tiến hành như sau

E=F+h=l+I=2 F,=F,+ F, =2+1=3

Fo=F,+ F, =3+2=5

Rõ ràng với những gi xảy ra ở trên Mỗi số hạng đơn giản là tổng của hai số

hạng phía trước nó, nên chúng ta có thé dé dàng viết được bao nhiêu số hạng

mà chúng ta muốn Dưới dây l 11 số hạng đầu của day:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, [17, tr.787-788].

Dãy số cũng xảy ra trong nhiều ứng dụng số khác của tự nhiên (hình 5 và hình 6) Trong thực tế, rất nhiều hiện tượng hoạt động giống như dãy Fibonacci Một tờ báo toán học tên Fibonacci Quarterly đã dành toàn bộ thời gian dé

nghién cứu điêu nay.

FIGURE 6 Fibonacci spiral Nautilus shell

d Day số được biểu diễn bang cách liệt kê và đồ thị

Ý nghĩa — dãy số là danh sách các số - được củng cố bằng cách liệt kê các sốhạng của day Ngoài ra, hành vi của hàm số có thé được quan sát dé dang hơn thôngqua biểu dién đồ thị của nó:

Hình ảnh của một dãy số nhờ vẽ đồ thị các phần tử của nó thường rất hữu ích.

Vì dãy số là một hàm số mà miền xác định của nó là các số tự nhiên, chúng ta

có thé vẽ dé thị của nó trên mặt phăng Đề-các Trong trường hợp này, đồ thị

Terms are decreasing

Đặc trưng của đồ thị day số cũng được SGK nay rut ra: “Đồ thi của mọi day

số bao gém các điểm đơn độc nghĩa là không nói kết với nhau” (17, tr.785]

SGK đề cập đến máy tính cầm tay như một công cụ đề tìm các số hạng đầu tiên củadãy số, đồng thời có thé biểu diễn đồ thị dãy sé

Máy tính đồ thị rất hữu ích trong việc phân tích dãy số Để làm việc với dãy số trên máy TI-83, chúng tôi để máy tính ở chế độ Seq (chế độ dãy) như hình

3(a) Nếu chứng ta nhập dãy số uw, = như ví dụ 1(c), chúng ta có thé sử

e Tong riêng phản (Partial sums) của dãy

Định nghĩa khái niệm tong riêng phan của dãy số được trình bay theo tiễn

trình “Déi tượng > công cụ” và đi theo con đường suy điễn.

Đầu tiên SGK phát biéu tường minh định nghĩa khái niệm tông riêng phan

Tinh tổng riêng phan của một dãy Cho dãy sé 4,0,3 goo

5, là tổng riêng phần thứ nhất, S, là tông riêng phan thứ hai, và như the S,

gọi là tong riêng phần thứ n Day S,,5,,5,, 8,, được gọi là dãy các tong riêng phan [17, tr.789].

Như vậy SGK quan tâm đến một dãy đặc biệt lập từ một dãy số By Az, âx, ân,

Đồ là day S;, S;, S,, - có tén gọi là đãy các tong riêng phan

Ví dụ 5: Tìm tông riêng phan của day sé.

Tim tong riêng 4 số hạng dau và tong riêng n số hạng của day số cho bởi

2 4 8 #16 16

nw nN

Chú ý rằng gi tri của mỗi tong riêng phan, với mẫu số là lũy thừa của 2 va tử

số nhỏ hơn mẫu số 1 đơn vi Nói chung tông riêng phan thứ n R;

FIGURE 7 Graph of the sequence a,

and the sequence of partial sums S,

[L7 tr.789].

Nhận xét:

Minh họa bằng đồ thị các dãy số xác định bởi a, (gọi tat là dãy a,) và day

các tông riêng phan S, trong ví dụ 5 này cho thấy: dãy a, giảm, nhưng dãy S, tăng

£ Ký hiệu Sigma

Tiếp nỗi dãy các tông riêng phần, SGK giới thiệu kí hiệu tông Sigma

Cho day số đ,.4; đ,,đ,

Chúng ta có thé viet tông của n số hang đầu bằng kí hiệu tong hay kí hiệu

sigma, Kí hiệu này có nguồn gốc từ chữ Hy Lạp 5” (Chữ cái đầu của sigma

tương ứng với S nghĩa là '\ông") Ký hiệu sigma được cho như sau:

Vi du về việc sử dung kí hiệu Sigma dé rút gọn các tong cũng được trình bay

Ví dụ 8: Viet tông dưới dang ký hiệu Sigma

Viet các tông sau dưới dạng ký hiệu Sigma

2.1.2 Tóm tat phần bài học của SGK Mỹ

- Day số xuất hiện với hai ý nghĩa:

e Danh sách các số

¢ Hàm số với miền xác định là tập các số tự nhiên

- Day số được biéu diễn bằng các cách sau:

© Liệt kê các số hạng (đi kèm hay không đi kèm) với biéu điễn đỏ thị,

° Bằng công thức xác định a, theo n,

e Bang công thức truy hồi

- Một day số đặc biệt liên kết với một day số cho trước được quan tâm đó là day

các tông riêng phản Kí hiệu sigma xuất hiện như một công cụ rút gọn các tongriêng phân

Chúng tôi nhắc lại quan điểm vé dạy học tích hợp của các nhà định hướng

chương trình mới Việt Nam;

Day học tích hợp là giáo viên tô chức, hướng dẫn dé học sinh biết huy động

tong hợp kiến thức, kỹ năng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau nhằm giải quyết

có hiệu quả các nhiệm vụ học tập; thông qua nó hình thành những kiến thức kỹ

năng mới, phát triển được những năng kre cần thiết, nhật là năng lực giải quyết

van đẻ trong học tập và trong thực tiễn cuộc sông [4, tr.25].

Chiều theo quan điểm nay thì phan bài học của SGK Mỹ không giới thiệu các

khái niệm từ các tình huéng có van đẻ, như vậy không gợi ý cách tổ chức day học

tích hợp Tuy nhiên SGK dang phân tích chứa đựng những yếu tổ cho phép tô chức

day học tích hợp Những yếu tô đó là:

- Xem xét đối tượng diy số ở khía cạnh số và đỏ thị.

- Sử dụng máy tính bỏ túi dé biéu điển hay tìm các số hạng của day

- Giới thiệu một số hiện tượng thực tế liên quan đến dãy số, nhất là day

Fibonacci

Chúng tôi sé tiến hành phân tích các tô chức toán học được xây dựng quanh đỗi

tượng day số dé trả lời cho câu hỏi: có các tô chức toán học nào liên quan đến khái

niệm day số ma việc dạy học chúng thê hiện quan điểm tích hợp?

2.2 Các tô chức toán học trong SGK Mỹ

Chúng tôi giới hạn chỉ mô hình hóa những tô chức toán học có các nhiệm vụthể hiện quan điểm tích hợp Nghĩa là những kiểu nhiệm vụ mà khi giải quyết chúng

cân phải huy động nhiều kiến thức của phân môn khác nhau trong nội bộ môn toán

và (hay) huy động kiến thức của nhiều lĩnh vực khác ngoài toán.

Định nghĩa dãy số như một hàm số và cách xác định các số hạng của dãy số khi biết

công thức tinh số hang a, theo n

Những bài toán thực té ứng với kiểu nhiệm vụ này

71 Lãi suất kép: Julio gửi 2000 $ vào tai khoản tiết kiệm với Bi suất kép

2,43% môi năm Tổng số tiền sau n tháng được cho bởi day

A= 2000{ 140004)

” 12

a) Tim sáu số hang dau của day.

b) Tim tong số tiền trong tải khoản sau 3 nim

a) Tim 6 số hang dau của day.

b) Tìm số tien lãi có ấy tích lũy được sau 5 của cô ấy nam [17, tr 793]

Lời giải của chúng tôi

73 Dân số của một thành phố Một thành phố được thành lập năm 2004 với

số đân là 35000 Dân số được kì vọng tăng với tỉ lệ 2% mỗi năm Dân số n năm

sau 2004 được cho bởi đãy.

Nhận xét về những bài toán thực tế ứng với kiều T;:

- Để giải quyết các bai toán này, ngoài kiến thức toán học xoay quanh kiều

nhiệm vụ T;, các yeu tố kinh tế như lãi suất kép, tiền lãi, ti lệ tăng dân SỐ

can được huy động.

- Câu hỏi a trong ba bai toán không phải là tình hudng có van đề vì nó chi là

một nhiệm vụ tính toán thuần túy với công thức tính số hạng thứ 7 theo n đã

cho Tuy nhiên câu hói b trong từng tình hudng, đòi hỏi học sinh phải kết nỗi

số hạng thứ k cụ thẻ của dãy số đã cho với câu hỏi thực tế đặt ra

2.2.2 Kiéu nhiệm vụ 7,: Tìm số hạng thứ k của day số khi biết công thức tinha„ bằng truy hồi

Ví dụ: Bài 13-18 Tìm 5 số hang đầu của day cho bằng phương pháp truy bài.

13.a, =2(a,_,-2) và a, =3

a

14.4 = = và a,=-8

15.a, =2a,_,+1 và a, =1

16.4, = va a, =1

l+a,,

17, a, =a,.,+a4,_, va a, =l,a, =2

18 a4, =d4,,+a,,+a,, VÀ a, =a, =a, =1[17, 792].

Ki thuật +,,: Tinh &—1 số hạng dau của day số: a,:đ;:d;: :đ, ,

Thế vào công thức truy hỏi tinh a,

Ví dụ: Tìm 5 số hạng dau của dãy truy bồi được xác định bởi.

Bài 13 Cho a, = 2(a,_,-2) và a, =3 [17, tr.792].

Lời giải mong doi.

a, = 2(a, =2) =2(3-2) = 2

a, = Aa, =2) = 2(2-2)=0

a, = 2(a, =2) =2(0-2)=-4

a, = 2(a, - 2) = 2(-4-2) = -12

Vậy 5 số hang đầu của day là: 3, 2, 0, -4, -12

Chúng tôi tim thấy một kĩ thuật khác dé giải quyết kiểu nhiệm vụ nay là str

dung máy tính TI-83 mà kĩ thuật giải đã được trình bày trong phan lý thuyết của

SGK Precalculus, chúng tôi trình bảy lại kĩ thuật như sau:

Kĩ thuật r,,: Mở máy tinh cầm tay TI-83

Nhập dữ liệu ứ,

Nhập di liệu công thức số hạng tong quát u,

Nhập số k, dé tìm số hang thứ k

Yếu tố lí thuyết : Định nghĩa day số như một hàm số và cách xác định các số hạng

của day định nghĩa bằng truy hỏi

Những bài toán thực tế ứng với kiểu nhiệm vụ này

74 Trả một món nợ Margarita mượn chú của cô ấy 10000 $ va đồng ý trả góp mỗi tháng là 200 $ Chú cửa cô tính lãi suất là 0,5% mỗi tháng trên số tiền

nợ còn lại.

a) Chứng tỏ rằng số tiền nợ A, còn lại sau n tháng được cho bằng truy hồi với

A, =10000 và

Á_=1,0054,,—200

b) Tim số tiền nợ còn hi của cô ấy sau 6 tháng [17, tr.794].

Lời giải của chúng tôi

a) Sau tháng thứ nhất, cô ấy đã trả 200Š và còn nợ lại A; = I,005.10000- 200

75 Nuôi cá Một người nuôi cá có 5000 con cá tra ở trong hồ Số cá tra tăng

8% mỗi thang, và người đó thu hoạch 300 con cá mỗi tháng,

a) Chứng tỏ ra rằng số lượng cá P sau n tháng được cho bởi công thức truy

hồi với P, =5000 và P =1,08P,, -300

b) Hỏi có bao nhiêu con cá trong hồ sau 12 tháng [17, tr.794].

Bài này có thê giải tương tự bài 74 nên chúng tôi không trình bày lời giải của mình.Nhận xét về những bài toán thực tế ứng với kiểu T;:

Các kiên thức ngoài toán học liên quan đến lĩnh vực kinh tế và nuôi trông Ở

câu a trong mỗi bài toán SGK yêu cau giải thích sự phù hợp của các công thức truy

hoi đã cho

2.2.3 Kiểu nhiệm vụ 7;: Tìm công thức tinh a, theo n khi biết được vài số hạng

đầu của day

Ví dụ: 25-32 Tìm số hạng thứ n của day số khí biết vài số hạng đầu cửa day.

- Xem xét mẫu hình các số đã cho có gì đặc biệt

- Dy đoán một công thức của a, theo n

- Thử lại xem công thức này có thỏa các số hạng dau tiên đã cho không Nếu

thỏa, chấp nhận công thức a, Nếu không, tìm một công thức tính a, theo n

khác.

Yếu tố lí thuyết:

- Định nghĩa day số như một danh sách các sô

- Ngoài ra, cần các nhiệm vụ được cho phải tôn trọng một quy tắc hợp đồng:

tôn tại duy nhất một công thức a, “ dé thay” thỏa các số hạng đã cho

Bài toán thực tế ứng với kiểu nhiệm vụ này

76 Giá nhà Gií nhà trung bình ở Orange County tang 6% mỗi nim Trong

năm 2002, giá trung bình một ngôi nhà Bi 240000$ Gọi ? i gi nhà trung

năm thứ 2 sau năm 2002.

a) Tìm công thức của dãy P.

b) Tim giá nhà trung bình vào năm 2010 [17, tr.794].

Chúng tôi dự kiến lời giải như sau:

a) Các công thức có thé xuất hiện sau khi quan sát một số trường hợp dau tiên

P, =240000(1+0,06)"

P = 240000(1, 06)"

b) Giá trung bình của ngôi nha vào nam 2010 là

P, = 240000(1 + 0,06)* = 251764, 8449

Nhận xét:

Kiến thức ngoài toán học thuộc lĩnh vực kinh tế và học sinh phái dựa vào

ngữ cảnh kinh tế dé liệt kê những số hang đầu tiên của diy nhằm tìm ra công thức

tông quát

2.2.4 Kiểu nhiệm vụ 7,: Tìm công thức tinh a, bằng truy hồi

Những nhiệm vụ thuộc kiểu này chỉ xuất hiện trong các bài toán thực tế:

77 Tăng lương Mot nhân ven mới ban hàng được hira hen Em việc với tức

lương $30000 một nam và được tăng $2000 mỗi năm Gọi S, R tiền hrơng của

anh ấy sau n năm làm vite.

a) Tìm một công thức truy hồi của S,.

b) Tim lương của người đó sau khi anh ta Am viée được Š năm [ L7, tr 794].

Lời giải dự kiến của chúng tôi

Ngoài ra còn 2 bài toán thực tế mà chúng tôi sẽ không đưa ra lời giải như sau:

78 Nong độ của một dung dịch Một nha sinh vật học đang có gắng tìm nông

độ muối tối ưu nhằm làm tăng trưởng một số loài động vật thân mềm Cô ta bắt đầu với dung dich có 4g/L muỗi va tăng nòng độ 10% mỗi ngày Gọi Co là nòng độ mudi ban đầu và C, là nồng độ mudi sau n ngày

(a) Tần một công thức truy bồi xác dinh Cy.

(b) Tim nong độ muỗi sau 8 ngày [17, tr.794].