Luận văn thạc sĩ Hình học và tôpô: Phép chiếu phủ, nhóm cơ bản và một số ứng dụng vào lý thuyết nhóm

Nội dung của luận văn gôm 4 chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị có liên quan đến phép chiều phủ và nhóm cơbản; tính nhóm cơ bản của đường tròn, mặt cầu, không gian xạ anh.. Chương 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

Nguyễn Phương Anh

PHÉP CHIEU PHỦ, NHÓM CƠ BẢN VÀ MOT SO

UNG DỤNG VÀO LY THUYET NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh — 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

Nguyễn Phương Anh

PHÉP CHIEU PHỦ, NHÓM CƠ BẢN VÀ MOT SO

ỨNG DỤNG VÀO LÝ THUYÉT NHÓM

Chuyên ngành: Hình học và tôpô

Mã số: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC:

TS NGUYEN THÁI SƠN

Thành phó Hồ Chi Minh - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng

dẫn của TS Nguyễn Thái Sơn Luận văn này trình bày lại các khái niệm, tínhchất và hệ quả trong tài liệu “Differential geometry and topology” của tác giả

Mehrdad Shahshahani với các chứng minh được viết một cách chi tiết và cụ thẻ

1.2 Không gian phủ ch HH TT TH HH TH TH tr hư 7

1.3 Cấu trúc của không gian phủ 55 222222222221122121211211121111211122112222222222222222222E2.crrrrrrrrrrrrie 8

1.4 Định lí van Kampen cong ghe 11 1.5 NhOm dong co sẽ ốố 21 Chương 2 NHÓM TỰ DO VÀ NHÓM CON CUA §/.(2,#) òcccce 24 Chương 3 DỊNH LÍ HUREWICZ VÀ NHÓM NÚT 222222222222222222222222222222222ec 36 3.1 Nhóm cơ bản va nhóm đồng điều thứ nhắt -22222cccccvvccvvccvvvccrrrrrrrrrrrrrrrrrree 36 3:2 Định! Hurewiez và đa thức Alexander: sca sccssssssssssissssscssscssscsssessssssasasesesesesasasssasssessasscasesisosaead 40 3:3:NGUHIHR NUYỂN GggaaannteoeingitiitotttiiitGiTG1110100010G0000301000080113G1810G18013003101010800108018000880Ggii 46

Chương 4 NHÓM CON ROT RAC CUA $/(2,E) VÀ $L(2/Ÿ) 51

4.1 Phép biển đổi hyperbolic và phép biến đổi đường tà hành

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Tên hình vẽ Trang

Biếu diễn con đường đóng đồng luân với ƒ

1.2 Một phân hoạch của / x/ | * |

3 3,

1

13 15

Nut hinh xuyén K,, va K,, 18

j

+

3 Quan hệ dong điêu giữa f và g 37

Quan hệ đông điêu giữa ƒ - g và ƒ +g

MO DAU

Tôpô đại số là một nhánh của toán học sử dung các công cụ của đại số để

nghiên cứu các không gian tôpô Mục tiêu cơ bản của nó là tìm các bất biến đại

số dé phân loại các không gian tôpô Tôpô đại số xây dựng và sử dụng các hàm

tử từ phạm trù các không gian tôpô vào phạm trù đại số, mà ở đây là phạm trù

các nhóm Có hai hàm tử đơn gián và quan trọng mà ta đề cập đến là nhóm cơbản và nhóm đồng điều Nhóm cơ bản có mỗi quan hệ gần gũi với nhóm cácđồng điều của nó Tuy nhiên, ta sẽ xây dựng nhóm cơ bản một cách độc lập.Trong việc xây dựng này, ta sẽ thu được những kĩ thuật đăng sau công cụ đại số

này.

Mặc dù Tôpô đại số sử dụng đại số để nghiên cứu các bài toán tôpô nhưng

công việc ngược lại đôi khi cũng có thê thực hiện được.

Tôpô đại số là một ngành học kết hợp những kiến thức của tôpô đại cương và

lý thuyết nhóm, hơn nữa, là các vấn dé chuyên sâu của Đại số và Giải tích Do

vậy, những van dé mà ngành học này đưa ra đều mang tính mới mẻ, thú vị và

được rat nhiều người quan tâm đến.

Nội dung của luận văn gôm 4 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị có liên quan đến phép chiều phủ và nhóm cơbản; tính nhóm cơ bản của đường tròn, mặt cầu, không gian xạ anh Trong luậnvăn này, chúng tôi chú ý trình bày nhóm cơ bản của không gian §$Ì\K - nút

trong S°.

Chương 2: Sử dụng kiến thức nhóm cơ bản dé thiết lập một số tính chất cơ bản

của nhóm tự do và nhóm con của S(2, 8).

Chương 3: Trình bày về mối quan hệ giữa nhóm cơ bản và nhóm đồng điều thứ

nhất thông qua định lí Hurewicz, nhờ đó mà ta có thé xây dựng một bat biến của

nút - đa thức Alexander — một công cu quan trong trong việc phân loại các nút.

Chương 4: Nghiên cứu một sô tính chât cơ bản của nhóm con rời rạc của

SL(2,R) và SL(2,C).

Luận van này được hoàn thành dưới sự hướng dan tận tình, nghiêm khắc của

Thay Nguyễn Thái Sơn Nhờ đó, tôi có ý thức và trách nhiệm trong việc thực

hiện Tôi xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thay kính

mền.

Tôi xin chân thành được tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy Cô trong khoa

Toán-Tin và Phòng Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm TP.HCM vì sự giảng

dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ trong suốt quá trình học tập và

thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình va bạn bè đã luôn cỗ vũ,

động viên đê tôi an tâm học tập và nghiên cứu.

Mặc dù tôi đã nỗ lực hết mình nhưng do khả năng và thời gian có hạn nên

luận văn này không thé tránh khỏi những sai sót Mong Quý Thay Cô sẽ phê bình đề luận văn được hoàn thiện hơn.

Chương 1

KIEN THUC CHUAN BI

Chương này trình bày các kiến thức chuẩn bị có liên quan đến phép chiếu

phú và nhóm cơ bản; tiếp theo đó là tính nhóm cơ bản của đường tròn, mặt cau

và không gian xạ ảnh, đặc biệt là nhóm cơ bản của phan bù cia nút Cuối

chương là phan giới thiệu vé nhóm dong điều thứ nhất dé chuẩn bị cho chương

sau.

1.1 Nhóm cơ bản

Giả thiết rang mọi không gian tôpô đều liên thông đường địa phương và mọi

ánh xạ giữa các không gian tôpô đều liên tục.

1.1.1 Định nghĩa Cho không gian tôpô X , một con đường trong X là ánh xạ

1.1.5 Định nghĩa Hai con đường đóng y và ở được gọi là tương đương đồng

luân nêu có ánh xạ liên tục G:/ x] — X sao cho:

G(t,1)=4(t)

6(0.s)=z(0)=ð(0)=z(1)=ð(I)=6(1s)

Ta kí hiệu: ?z ~ ở

Quan hệ này là quan hệ tương đương.

1.1.6 Định nghĩa Tập hợp các lớp tương đương của các con đường đóng tại x

kí hiệu là z(X,x) Mỗi phan tử của tập hợp này kí hiệu là [y], [ở]

Ta trang bị cho Z(X,x) một phép nhân như sau: [?||ö]={z - ö]

z(X x) cùng với phép nhân như trên lập thành một nhóm, được gọi là nhóm cơbản của X (với điểm gốc x)

1.1.7 Định nghĩa Một không gian tôpô được gọi là đơn liên nếu nhóm cơ bản

của nó là tầm thường.

1.1.8 Định nghĩa Một ánh xạ /:(X.x)->(Y.y) cảm sinh đồng cấu

#,:z(X.,x)—> z(Y,y) bởi #([r])=[7z] với [z] z(X.3)

1.1.9 Tính chất Nếu ƒ :(X,x) —>(Y, y) là phép tương đương đồng luân thì ƒ,

là đăng cấu Cụ thẻ hơn, một không gian co rút được thì có nhóm cơ bản là tâm

thường.

Tích tự do

Đê đưa ra ý tưởng tính nhóm cơ bản bằng cách tách không gian thành haiphan đơn giản hon, ta xét ví dụ sau Xét không gian X là hai đường tròn A và

B giao nhau chỉ tại 1 điểm, mà ta đặt là x„ Như ta đã biết z(4) là nhóm cyclic

vô hạn sinh bởi con đường đóng a đi một vòng quanh A Tương tự, 7(B) là

ban sao của % sinh bởi con đường đóng b đi một vòng quanh B Mỗi tích cácluy thừa của a và b cho ta một phan tử của z(X) Chang han, tích aÌø°a Ìba”

là con đường đóng đi quanh A năm vòng, rồi quanh B hai vòng sau đó quanh

A ba vòng theo chiều ngược lại, tiếp tục đi quanh một vòng, rồi quanh A hai

vòng Tập hợp các từ như vậy gồm các luỹ thừa của a với lũy thừa của b tạo

thành một nhóm, kí hiệu là 22 #22 Phép nhân trong nhóm này được định nghĩa

như chúng ta mong muốn, chẳng hạn là (b‘a°b’a* )(a*b 'ab°}=b'a`b°ab ‘ab’ Phan tử đơn vị là từ trồng và phan tử nghịch dao được suy ra dễ dàng, ví dụ là

(ab°a ‘b vÌ =bỶa'b”a `, Vậy mỗi từ của a và b ứng với chính xác một phan

tử trong Z(X ) nên Zz(X) là đăng cau với Z*Z, nhóm gồm các từ là luỹ thừa

của hai chữ cái a và b.

Kí hiệu đại số của tích tự do các nhóm đóng vai trò quan trọng trong việc

tính nhóm cơ bản.

1.1.10 Định nghĩa Ta kí hiệu các phần tử của nhóm G và H lần lượt là g, và

h, Tích tự do G*H là tập hợp các biéu diễn có dạng (/ là số nguyên dươngbắt kì)

Bye ih gh Mahe) Bg hy vẽ, Wg hy 8,h,

với phép nhân được định nghĩa như sau:

(s, ohh, \(h,s, sa) =8, (hh, )#, gái

Lúc đó, G* H là một nhóm.

Cho nhóm A, các đông cầu ø,: A->G và ø,:A-—>H, ta định nghĩa G*, H là

nhóm thương của G*H bởi nhóm con chuẩn tắc sinh bởi các phan tử có dang

p,(a)p,(a) ` Rõ ràng G*„ H phụ thuộc vào đồng cấu ø,.

Tổng quát hơn, tích tự do *,G, được hiểu như “phiên bản không aben” của

Tính chất đơn giản sau là hữu dụng trong việc tính nhóm cơ bản:

1.1.11 Tính chất Cho X và Y là các không gian tôpô Ta có:

l z(X xY,(x, y)) = a(X,x)x2(Y¥,y)

2 Cho X VY là không gian có được bằng cách gắn X với Y tai các điểm

xeX và yeY Ta có: z(X vY,x= y) đăng cấu với tích tự do của z(X,x) và

z(Y : vì (kết quả này là trường hợp đặc biệt của định lí van Kampen được trình

bày ở sau).

Chứng mình:

I được suy ra từ định nghĩa của các phép chiều X xY > X và X xY OY

2 có thê được thấy ngay do không có mối quan hệ nào giữa các con đường đóng

trong X và Ÿ.

1.1.12 Ví dụ

1 Nhóm cơ bản của xuyên n-chiéu.

Ta đã biết z(S')~Z (một chứng minh khác được trình bày ở phần sau) Tính

chất 1 dẫn đến nhóm cơ bản của xuyên ø-chiêu đăng câu với ?”, nghĩa là

o{ stax!) =

—

ở

2 Nhóm cơ ban của bu-két họ n đường tròn.

Bu-két n đường tròn S$’ v v S' là n đường tròn gắn với nhau tại một điểm và

———

#

———

nr } n

là nhóm tự đo F, trên n phan tử sinh.

ta CÓ z(# v.v Ể \ ~ #,*, * Do vậy, nhóm cơ bản của bu-két n đường tròn

SS

1.2 Không gian phủ

1.2.1 Định nghĩa Một bộ ba (E,p.B) được gọi là phép chiếu phủ (hay không

gian phủ) nếu p:E->, và với mỗi xe tồn tại một lân cận của x sao

cho p Ì(Ư) là hợp rời UV, với hạn chế của p xuống mỗi V, là đồng phôi lên UThớ trên b là tập hợp ø ”{b) và tập hợp này là rời rac.

Ví dụ đơn giản nhất của không gian phú là:

E=R,B=S'cC, p(t)=e"

1.2.2 Định nghĩa Cái nâng của ánh xạ f:X > B là ánh xạ f :X =>E sao

cho pf =f Tương tự, nếu ƒ:(X,x)—>(B,b) và ee p''(b) thì cái nâng của

f đến ƒ`:(X,x)—>(E.e) là cái nâng của ƒ:X —B đến E thoa ƒ (x)=e.

Lý thuyết không gian phủ phụ thuộc vào hai tính chất quan trọng mà được

giới thiệu như định nghĩa sau đây:

1.2.3 Định nghĩa

1.(Tính chất nâng đồng luân) Một bộ ba (E,p.B) với p: E> B (không nhấtthiết là phép chiếu phủ) có tính chat nâng đồng luân với không gian X , nếu chomột phép đồng luân #;Xx7-># (7={[0,1]) và ƒ(x)=F(x,0) có một cái

nâng f :X —> E thì phép đồng luân F có cái nâng F Nếu tính chất nâng đồng

luân đúng với mọi X , ta nói rằng (E.p.B) có tính chất nâng đồng luân và lúc

đó, (E p.B) được gọi là phân thé.

2.(Tính chất duy nhất nâng con đường) Một bộ ba (E.p.B) với p:E->B có

tính chất duy nhất nâng con đường nếu cho y:/ > B, và ee pˆ`( r(0)) thì luôn

có duy nhất một con đường z :7 => của z với y (0)=e

1.2.4 Định nghĩa Phép chiếu phủ (E,p,8) với E là đơn liên được gọi là

không gian phủ phô dụng của Ö.

1.3 Cấu trúc của không gian phú

Trong phan này, chúng ta tìm hiểu mối quan hệ giữa nhóm cơ bản và khônggian phủ và chủ yếu tìm hiểu cấu trúc của không gian phủ Với phép chiếu phủ

(E, p,B) luôn có ánh xạ cảm sinh của nhóm cơ bản p,: Zz(E,e)—> z(B,b) với

p(e)=b, được xác định bởi P;([z])=[pz].

1.3.1 Hệ quả p, là ánh xạ 1-1.

Chứng minh: Cho [y7] z(E.e) và giả sử rằng p;([zÌ) =ecez(B.b) P([z Ì)

là đồng luân với ánh xạ hằng b:/ ->b Nâng phép đồng luân đến E (điều này

thực hiện được vì z là cái nâng của py đến E ) Chú ý rằng, ánh xạ hang nang

đến ánh xa hằng, do vay, ta có được phép đồng luân cần tìm giữa y và ánh xa

hằng

Tính chất nâng con đường duy nhất đảm bảo rằng với bất kì con đường đóngy:I>B với y(0)=b, ta luôn có duy nhất cái nâng z':7 > E với y'(0)=e.Tuy nhiên, cái nâng z' có thé không phải là con đường đóng Một phép chiếu

phú với tính chất là với bất kì con đường đóng nào thì hoặc là mọi cái nâng của

nó là con đường đóng hoặc không có cái nâng nào là con đường đóng, được gọi

là chính qui.

1.3.2 Hệ quả P„(z( E,e)) gom các lớp đông luân của các con đường đóng

7:(LêI)—(B,b) mà cái nâng của nó đến (E,e) là con đường đóng.P„(z(E.e)} là nhóm con chuẩn tắc của Z(,b) nếu va chỉ nếu (E,p,ð) là

không gian phủ chính qui Do đó, z(B,b)/ py(z(E.e)) là một nhóm.

Chứng minh: Khang định thứ nhất là đơn giản Cho 6:1 > 8 với [ð]e z(B.b)

và y:I>E với [y]ez(E.e) Ta có thé nâng 6 thành ở ':7->E với

ở'(0)=e Nâng py thành (pz)':!7->E với (py)'(0)=6'(1) Do tính chính

qui nên (p7)' là con đường đóng Ta có 5"'(py)'d" xác định một phan tử

trong Z(E,e) và P;({ö""(pz)'3'])=[2] fzlle] chứng minh tính chuẩn tắc

của p,(z(E,e)) Ngược lại, chú ý rằng ổ:7->E với ở(0)=e và d(1)=e'

(với e'ep'(b) thì p, (z(E.e))=[pở]p,(z(E.e))[pð]”- Do đó, nếu

P„(z(E.e)) là chuẩn tac thì các lớp đồng luân của các con đường đóng mà cái

nâng của chúng đến (E.e') là con đường đóng thì (E,p,8) là không gian phủ

chính qui.

1.3.3 Định nghĩa Một nhóm [ tác động gián đoạn thật sự (bên trái) lên không

gian X nếu với mỗi xeX có một lân cận của x sao cho Với mọi

ezyreT, Uz(U)=Ø.

Chú ý rang, IP tác động gián đoạn thật sự thì X ->F\X là phép chiếu phủ.Bây giờ, ta chứng minh rằng mọi không gian phú chính qui đều có đạng này.Cho không gian phủ, đặt ['=z(,b)/ p;(z(E.e)) Cho yeTva y':1 Blacon đường đóng với y'(0)=y'(1)=b biểu diễn y Với xe E, cho Â:7—>E là

con đường với A(0)=e và A(1)=x Gọi y" là cái nâng của z' với y"(0)=e

và L(x.y'):1 > E là cái nâng của pA với L(x.7(0)=7"(1) Định nghĩa

y(x)=L(x.y’)(1) Ta kiểm tra định nghĩa này là hợp lí, nghĩa là, việc chọn biều

diễn cho y trong z{(B,b), chọn con đường đóng 7` biéu diễn phần tử của nhóm

cơ bản và chọn con đường 2:7 —>E không ảnh hướng đến giá trị của v(x).Chang han, nếu chúng ta thay 2 bởi con đường khác là A" thi AT'A xác định

một phan tử trong Z(E,e) và vì vậy cái nâng của p2""2 với điểm đầu y"(1) là

con đường đóng (do giả thiết chính qui trên (E,p,B)) Hơn nữa, cái nângL(x,y') và ở của pA và pA' với L(+x,7')(0)=ở(0)=z*(1) có cùng các đầumút ở(1) = ở'(1) Tương tự, ta chứng minh định nghĩa độc lập với việc chọn conđường đóng biểu diễn ye Tác động của T là gián đoạn thực sự vì nếue#zT thì z(x)< p'(p(x)) và là khác x

1.3.4 Hệ quả Mọi không gian phủ chính qui đều có dạng £—>I\E với nhóm

I tác động gián đoạn thực sự trên E Ngược lại, nếu nhóm T tác động gián

đoạn thực sự trên E thì p:E=>I\E=ð là không gian phủ chính qui, va

Z(B,b)! p,(Z(E.e)) đăng cấu với F Ở đây, e € p'(b) là một điểm bắt kì

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh đăng cấu z(B,b)/ P,(z(E.e)) =I trongchiều ngược Xét ánh xạ @:Zz(,b)—>I được xác định bởi @([ở])=z” vớiở'{I)=z(e) và ở' là cái nâng của ổ thoả 6'(0)=e Rõ ràng, Ø là hợp lí vàtoàn ánh Ta cần chứng minh @ là đồng cau Giả sử @([2])= z" ” Cái nâng củacon đường đóng Ad với (Ad)'(0) =e, là con đường 7(2')ở' với Â' là cái nâng

của A thoả 2'(0)=e Do vậy, Ø@([2đ])=(zz}` =z''z"=ø([2])o(2])- Vi

hạt nhân của Ø là p,(z(E.e)) (hệ quả 1.3.2), ta có điều phải chứng minh

1.3.5 Tính chất Nhóm cơ bản của đường tròn S đăng cầu với nhóm các số

nguyên 2.

Chứng minh: Ta có: ? tác động gián đoạn thật sự lên K bởi tác động

ZxR—K được cho bởi (n,r}>n+r Do vậy, nhóm cơ bản của đường tròn

S'=Z\R là Z.

1.3.6 Tinh chất Nhóm cơ bản của không gian xạ ảnh RP" dang cau với 2/2

Chứng minh: Ta có: 2/2 tac động gián đoạn thật sự lên S$" bởi tác động

#42xS" +S" được cho bởi (#Il.x)> +x Do vay, nhóm cơ bản của không

gian xạ ảnh RP” =(Z/2)\S" là 2/2.

1.4 Định lí van Kampen

Một công cụ quan trọng nhất dé tính nhóm cơ bản đó chính là định lí van

Kampen được giới thiệu sau day.

1.4.1 Định lí Nếu X là hợp của các tập mở liên thông đường A, mà mỗi tậpđều chứa điểm gốc xạ X và nếu mỗi giao A, OA, là liên thông đường thì

đồng cấu ®:* Z(A,)—>z(X) là toàn ánh Nếu thêm điều kiện mỗi giao

A, OA, OA, là liên thông đường thì hạt nhân của q® là nhóm con chuẩn tắc N

được sinh bởi tất cả các phần tử có dang i,,(@)i,,,(@) ' với we ZÍ(A, Ag),

i„:z7(A,A,]}->z(A,) và do đó {® cảm sinh đẳng cấuz(X)x*„z(A,)/N.

Chứng mình:

* Đầu tiên ta chứng minh ® là toàn ánh

Xét con đường đóng tại điểm gốc x, là ƒ:I->X, ta luôn có một phân hoạch

O=s5, <5, < < s„ =1 của J sao cho f([s, NT: A, với ¡ =l,m Nghĩa là, vì

ƒ là liên tục, với mọi s7 luôn có lân cận mở V, trong J sao cho ƒ(V,)c A,

với A, nào đó Chúng ta có thê lấy V, là một khoảng mà bao đóng của nó quaánh xạ f nằm trong A, Do tính compact của J nên sẽ có hữu hạn khoảng như

trên phủ / Những đầu mút của các tập hữu hạn này xác định một phân hoạchcan tìm của J

Kí hiệu A, chứa f([s,,.s,]) là A, và đặt / là con đường thu được bởi hạn chế

ƒ xuống [s,,.s,].Do đó, ƒ là f,- ƒ,- - /„ với ƒ là con đường trong 4,.Vì

A OA,,, là liên thông đường nên chúng ta có thé chọn con đường ø, trong

AOA, từ x, đến ƒ(s,)e A OA,, Xét con đường đóng

(⁄.-s.)'(e -.-9:)-(&: -,-#3)- (6„¡- fa) đồng luân với ƒ Con đường

đóng này là hợp nối của các con đường đóng mà mỗi con đường đóng nằm trong

A, Do đó, | 7] thuộc anh của ® Vậy ® là toàn ánh

ox Ag

Hình 1.1 Biểu diễn con đường đóng đồng luân với ƒ

* Đề chứng minh hạt nhân của ® là N, ta giới thiệu một vài thuật ngữ.

Nhân tử hoá của phan tử [ ƒ ]= z(X) là tích [f] [ 6] với:

+ Mỗi f, là con đường đóng trong A, nao đó tại điểm gốc x, và [/]s z(A,)

là lớp đồng luân của ƒ,

+ Con đường đóng f là đồng luân với Sirf, trong X

Nhân tử hoá của [ ƒ ] là một từ trong *, 7(A,,), có thê không bị lược bỏ, mà ảnh

của nó qua ® chính là [ f ] Việc chứng minh ® là toàn ánh chi ra rằng mỗi

Sự địch chuyển đầu tiên không làm thay đổi phan tử của * z(A,) được xác

định bởi nhân tử hoá Sự dịch chuyên thứ hai không làm thay đổi ảnh của phan

tử nay trong nhóm thương @=*„z(A, )/ N , bởi định nghĩa của ý Do vậy nhân

tử hoá tương đương cho ta cùng một phan tử trong Q

Nếu chúng ta chứng minh được rang bất kì hai nhân tử hoá của [ ƒ] là tương

đương thì ánh xạ @ > z(X) cam sinh bởi ® là đơn ánh Do đó, hạt nhân của

® chính là N.

Cho [/;] /,] và [A } / | là hai nhân tử hoá của [f] Hai con đường

f- fy và fio ff là đồng luân, vì vậy có F:1xJ—>X là phép đông luân

từ ƒ- -ƒ/ đến ƒ,- -ƒ/ Lúc đó sẽ tồn tại các phân hoạch

O=5, <5, < <5, =1 và 0=ï, <f,< <f, =l sao cho ảnh của hình chữ nhật

R, =[5,.1.5,]*[t)14, | qua F năm trong một tập A,, mà chúng ta kí hiệu là A,.

Các phân hoạch này có được bằng cách phủ / x7 bởi hữu hạn các hình chữ nhật

[a,b]x[c,d] mà ảnh của mỗi hình chữ nhật nằm trong một tập A, Do tínhcompact nên việc phân hoạch 7x7 bởi hợp của tất ca các đường nằm ngang vađường thăng đứng chứa các cạnh của những hình chữ nhật này Chúng ta có thê

giả sử rằng s-phân hoạch chia nhỏ phân hoạch cho ta tích / - : f, Và tao: Ê

Vì Ƒ biến một lân cận của R,, thành A, ta có thê xáo trộn các cạnh thăng đứngcủa hình chữ nhật &,, vì vậy mỗi điểm của /x/ năm trong ít nhất ba tập R, Ta

có thé gia sử có ít nhất ba hàng gồm các hình chữ nhật nên ta có thé thực hiệnviệc xáo trộn này chỉ trên các hình chữ nhật ở hàng giữa, còn hàng trên và cuối

thì van giữ nguyên Đặt tên lại thành các hình chữ nhật mới là #,,#, ,„„, sắp

nơi >

xếp chúng như hình 1.2

Hình 1.2 Một phan hoạch của 7 x7

Nếu z là con đường trong 7 x/ đi từ cạnh bên trái đến cạnh bên phải, hạn chế

Fl, là con đường đóng tại x, vì F biến cả hai cạnh trái và phải của ƒ x7

thành Đặt y, là con đường chia r hình chữ nhật &,,R,, ,.R, từ các hình chữ

nhật còn lại Do đó, z„ là cạnh nằm dưới và Zz„ là cạnh nằm trên của x7 Ta

băng qua từ 7, đến on bằng cách day từ bên nay sang bên kia hình chữ nhật

R

rel

Gọi các góc của R, là các đỉnh Mỗi đỉnh v với F{(v)# x„ đặt øg, là con đường

tỪ x, đến F(v) Ta có thé chọn g, nằm trong phan giao của hai hay ba tập Á;ứng với R, chứa r vì ta có thé giả sử rằng phần giao của hai hay ba tập A, là

liên thông đường Nếu ta chèn vào F |, các con đường gg, tại các đỉnh liên

tiếp như trong chứng minh ® toàn ánh thi ta sẽ nhận được một nhân tử hoá của

[ Ä bằng cách xét con đường đóng ứng với đoạn thăng nằm ngang và thắng

đứng giữa các đỉnh kề nhau như nó nằm trong A, cho một trong các R, chứa

đoạn thăng Việc chọn khác mà vẫn chứa R, làm thay đổi nhân tử hoá của

[F Ä với một nhân tử hoá tương đương Hơn nữa, nhân tử hoá kết hợp với các

con đường liên tiếp y, và y,_, là tương đương vì việc day y, băng qua R,_, den

Y,, thay đôi F I dén F |, bởi phép đồng luân bên trong A, ứng với Ñ Ta

có thé chọn tập A, này với tat cả các đoạn thing của y, và 7„„ trong Ẩ,

Ta có thé sắp xếp lại dé nhân tử hoá kết hợp với z„ là tương đương với nhân tử

hoá [⁄] | f,| bang cách chọn con đường g, cho mỗi đỉnh v dọc theo cạnh thấp

hơn của 7x7 dé không chỉ nằm trong hai tập A, ứng với &, chứa vy mà còn

nằm trong A, với ƒ, chứa v trong miền xác định của nó Trong trường hợp v làđiểm cuối chung của hai con đường liên tiếp ƒ ta có F(v)=x,, vì vậy khôngcần chọn ø, Trong trường hợp tương tự, ta giả sử nhân tử hoá kết hợp với 7

cuối cùng là tương đương với [A Jen fr || Vì nhân tử hoá kết hợp với tat cả các

y, là tương đương, ta kết luận rằng các nhân tử hoá [ /,] [ /,] và [A ] | # | là

tương đương.

1.4.2 Hệ quả (van Kampen với hai không gian con) Gia sử X =A,t2A, với

A,, A, và AOA, đều khác rỗng, mở và liên thông đường Ta có:

z(A VA,,x) = 2(A,,x) © a Ayrv4y,2) 2(A,,x)

với bat kì điểm gốc xe A, A,.

1.4.3 Tính chất Nhóm cơ bản của mặt cau:

Cho $" ={xeï8"" ;|x|= 1} là n-mặt cầu Với ø>2, ta có z(S") là tam thường.

Chứng minh: Chú ý rang không gian con U =|x=(xv.x x,)e 9" : Xụ # 1} là

đồng phôi với Š" Tương tu, V =|lw=(ia s,Ìe See 2 #-1} la đồng phôi

với RB” Do đó, U và V là các tập mở co rút được và phần giao của chúng là

liên thông đường: nó co rút biến dạng thành {x, =0} = $””, là liên thông đường

khi z—1 >0 Do hệ qua, ta được nhóm cơ bản của mặt cầu S" là tầm thường với

n>2.

Nút là phép nhúng trơn của đường tròn S' trong # hay S* Chúng ta sử

dụng nút với nghĩa phép nhúng của đường tròn lẫn với ảnh của nó Đề phân biệt

các nút khác nhau, ta xem xét phần bù của nút trong không gian mong muốn.Nhóm cơ bản của phan bù của nút là bất biến Nhóm cơ bản của phan bù của nút

K được gọi là nhóm của nút K hay nhóm nút.

1.4.4 Tính chất Đồng nhất S* với compact hoá một điểm của ï#” (chăng hạn

là qua phép chiếu nôi) và K c 8Ì Khi đó, z(S°\ K) ~z(R`\K).

Chứng minh: Viet S*\ K như là hợp của R°\ K và một qua cầu mở B Trong

đó, B có được bằng cách compact hoá một điềm cùng với phần bù của quả cau

đóng lớn trong ÈÌ chứa K Ta có và Bo( R? \K) đều đơn liên,

Bo(R*\K) là đồng phôi với §° xR Ap dụng định lí van Kampen, ta suy ra

phép nhúng R*\ K > S°\K cảm sinh đăng cau trên Z.

Sau đây chúng ta giới thiệu một lớp các nút mà được biết đến như nút hình

xuyến Chúng ta bắt đầu với việc mô tả sự phân tích S*, điều nay đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu da tạp 3-chiéu.

14.5 Tinh chat Xét S§° với phép nhúng chuân:

S= {x =(x,,% 4%, IL = 1| ,

Khi đó, S* là hợp của hai hình xuyén đặc với phan giao là một hình xuyến

Chứng minh: Xét hai tập con U và V của $”:

U =|xe8"lệ +a‡>2} và v=lxes'bệ +3 <2}

5 =

>

Đông nhất R* với CỶ với trục toa độ z, và z, được cho bởi z, =x, +ix, và

z, =X, tix, Ta có: U và V là các hình xuyến đặc Thật vậy, do U là bó đường

221 5 a acid ‘ =<i va thé (trên diém z,) là đường trònF

“2

<“

tròn với cơ sở là đĩa ¬ z,|

{all =1-I2,/} Do vậy, U=S'xD là hình xuyến đặc Hon nữa

UAV “|(e-5)!lŸ ==" af} là xuyến Vì vay, SẺ là hợp của hai hình

xuyến đặc với phần giao là một hình xuyén

1.4.6 Định nghĩa Cho m>1 và z >1 là hai số nguyên tố cùng nhau Nút được

gọi là nút hình xuyên với tham số (m,n) và được kí hiệu là K,„„ cho bởi phép

1.4.7 Tính chất Nhóm của nút hình xuyên K „„ là đăng cầu với nhóm thương

của nhóm tự do trên hai phân tử sinh #, và š, bởi quan hệ &" =.

Chứng minh dựa vào định lí van Kampen và tính chất 1.4.4.

Chứng mình: Đặt U =U\K,,,, V =V\K,,,, và xeU AV Đơn giản dé thayring A=U AV 1a tương đương đồng luân với đường tròn Do vậy,

Z(A,x)* Cũng do Uva V' là các hình xuyén đặc với nút K,„„ mà nút này

nằm trong biên chung của chúng Do vậy, U và V` đều tương đương đồng luân

“

với đường tròn Dat 7, ¢, và é, lân lượt là các phân tử sinh của nhóm cơ bản

của A, U và V', mà chúng đều có điểm gốc là x Kí hiệu i, và i, lần lượt là

phép nhúng của A vào U và W' Sau khi thay một hay có thé nhiều hơn cácphần tử sinh bởi nghịch đảo của nó, ta có được

Đề thấy được điều này, ta chú ý rằng A quay quanh (tương ứng V )

m (tương ứng n) lần Điều cần chứng minh được suy ra từ định lí van Kampen.

Có nhiều cách đẻ tính nhóm cơ bản của nút Những phương pháp này chochúng ta cách biểu diễn của nhóm cơ bản theo thuật ngữ phan tử sinh và quan

hệ Một phương pháp như thé là biêu diễn Wirtinger của nhóm cơ bản của nút

Ví du sau đây đóng vai trò quan trọng trong biểu diễn Wirtinger Thuật toán

được giải thích rõ ràng bởi ví dụ sau và được áp dụng cho các trường hợp khác.

Ví dụ: Xét nút ba lá như hình 1.4.

Hình 1.4 Nút ba lá với các đường chui

Ta có thé gia sử rằng ngoại trừ đường chui thì nút nằm trong mặt phẳng z=0

Đường chui là cung có dang LÍ với đáy đưới nằm trong mặt phẳng z=—l Chú

ý rằng K,,+{z=-l} gồm 3 đoạn thăng rời nhau mà ta kí hiệu là A,,4,,A:.Nút ba lá được dán tên x,.x„,x, Ta có thé giả sử đoạn x, đi ngang qua A, Détính nhóm nhóm của nút K,;, ta biêu diễn R°\K,,=X UY, VY, VY,UZ và

áp dụng định lí van Kampen.

Cụ thé hơn, đặt X =Í(x.y.z)lz>z—I}\K,; và w=(v,.v;,v;)e X với v, lớn Ta

có: z(X,v)*~E

Đặt các Y, là các hộp cubic đặc nhỏ trong nửa không gian z<—l được dán với

X sao cho ¥ OX là hình chữ nhật trong mặt phăng z=—l mà trong phần

trong của nó chứa 4, Đặt L, là đoạn thing nối v với Y\X Giả sử rằng

LOL, ={v} với i#j Đặt Y=¥UL, ta có: Z(Y,v)={e} va

z(¥,X,v)=Z Ap dụng định lí van Kampen cho không gian X UY, và tính

các phần tử sinh cho các con đường đóng như trên, ta nhận được quan hệ

Ca a =e.

Tiếp tục dọc theo đường cong và dán Y, với Y,, ta nhận được hai quan hệ sau:

Bat kì hai quan hệ nào cũng suy ra được quan hệ thứ ba Cuối cùng, đặt

Z =Í(x.y,z)lz<=I}\(#W,t2Y,t2Y,) và M là một dai nam trong X, nối v với

Z Xét Z=Z UM Hiển nhiên, z(Z,v)={e}= z(Z A(X VY, VY, 2Y,),y)

Do vay, ta kết luận nhóm co bản của nút ba lá K >; là nhóm thương của nhóm tự

do trên 3 phan tử sinh bởi các quan hệ (1.1)

Chú ý: Cách làm được trình bày trong ví dụ trên được dùng cho bat kì nút nào

dé nhận được biêu diễn của nhóm cơ bản của phan bù của nút theo thuật ngữphan tử sinh và quan hệ Thực tế là chúng ta vẽ một sơ đồ phăng của nút nhưmột đa tạp với các đường chui Ta định hướng nút và đặt tên x,,x„ cho mỗi

đoạn giữa hai đường chui liên tiếp Với cung x, có dạng LÌ, ta kí hiệu là phần

tử sinh ¢, của nhóm cơ bản Quanh mỗi đường chui, ta vẽ hình chữ nhật địnhhướng Với mỗi giao của các cạnh hình chữ nhật và đoạn thang x, ta viết (trongcấp cyclic) ¢, và ễ; như cạnh cua hình chữ nhật và x, thiết lập cặp vectơ định

hướng đương và âm Điều này cho ta các quan hệ.

Biéu diễn Wirtinger trình bay nhóm cơ bản bởi ø phan tử sinh ế và n—1 quan

1.5.3 Định nghĩa Mot n-don hình trong không gian X là ánh xa liên tục

ơ:A"->X Đặt 3 (X) là tập hợp tat cả các n-don hình Định nghĩa nhóm

xích kì dị thứ n là S,(X) Đây là nhóm của các tông hình thức hữu hạn > n,6,

với n,cZ và ø,c>„(X) Với n>0, định nghĩa ê,:S, =>S,, là ánh xạ

Z-tuyến tính sao cho

1.5.5 Định nghĩa Đồng điều kì dị thứ ø của X là nhóm aben

H,(X)= Kerê, ! Imô,

Các phần từ của KerØ, được gọi là n-chu trình, các phản tử của Imé,_, được

gọi là n-bờ Do bổ dé, ta thấy ngay n-bờ là ø -chu trình và đồng điều thứ n là

nhóm của 7 -chu trình môđun n -bờ.

Chúng ta sẽ chỉ dé cập đến nhóm đồng điều thứ nhất Tôn tại một đồng phôiI—>A' được cho bởi thm, +(1—1)v, Do đó, con đường y:1 > X xác định

I-đơn hình 7 Với z(0)=z(I) 7 là 1-chu trình.

Chương 2

NHÓM TỰ DO VÀ NHÓM CON CUA SL(2,Z)

Trong chương này, chúng ta sứ dụng kiên thức của nhóm cơ ban đề thiết lập

mot SỐ tính chat của nhóm tự do va nhóm con của

SL(2,Z)= 16

Cc

b Ìlaa —bc =l]:a,b.c.de zÌ.

d}

Ta dùng kí hiệu I thay cho SL(2,Z) trong chương nay.

Mục đích của ta là nghiên cứu cầu trúc của nhóm con của F F tác động lên mặtphăng hyperbolic ?(={z=x+y Cl y>0} bởi phép biến đổi tuyến tính hữu ti,

cụ thé là

az+b cz+d

vel, zh 7(z)=

2.1 Tinh chất Cho [ là nhóm con của T thì

7 :?í 2M =I \H

là phép chiều phủ nếu I tác động tự do (hay tác động không có điềm bat động)

tức là, y(z)=z với ye và ze?{ dẫn đến z=id

Chứng minh: Tinh chat này được suy ra từ hệ quả 1.3.4

Chú ý: T° không tác động tự do lên H vì -id(z)=z với zeH.

Van dé là chúng ta cần trình bày cau trúc của I`\ ?{

2.2 Tính chất Nhóm con không xoắn của F tác động tự do lên #1

Chứng minh: Nhắc lại rang nhóm con xoăn của nhóm aben A là nhóm con của

A gồm tất cả các phan tử xoắn của nó (các phan tử có cấp hữu hạn), nhóm conkhông xoắn là không có phan tử xoắn nao khác đồng nhất

1 & ã

Ma tran r„ “[ "| e[ tac động boi phép biên đôi song song lên x-tryc Do

vậy có một phan tử z trong mỗi quỹ đạo của [voi IRe(z)|<=- Hơn nữa, với

Js r và r„ Chúng ta chứng minh rằng F là mién cơ

ban cho tác động của T lên ?( với nghĩa:

1.Mọi quỹ đạo của I` đều có giao với R:

2.Hai điểm của F không thuộc cùng quỹ đạo I’ nêu chúng không năm trên biên

củal,

Điêu này được chứng minh băng cách thay răng với [ A va zc?(,

c a

Im(z{(z))= Ea và F(z) OE là những điểm thuộc quỹ đạo của z dưới T

với phan ảo cực đại Sự tương đương của những điềm biên của E dưới tác động

+1+iV3 là điểm bat động bởi ma trận @ và Py -| ) và các ma tran nay

chỉ có định những điểm của T trong E, Điều này dẫn đến I'\?{ là mặt cầu mà

bỏ đi điểm vô hạn Phép chiếu ?ý —>Iˆ\?{ là ánh xạ phủ ngoài các điểm T{¡) và

(is 5 } Cụ thé hon, e# ye có điểm bat động nếu và chi nếu y là liên

hợp, trong F, với w hay p, Điều này dẫn đến nhóm con không xoắn của Ï tác

động tự do lên ?í.

Rat khó đề thiết lập trực tiếp sự xoắn của nhóm con không xoắn của [ mà

không nhận ra được nó như là nhóm cơ bản của một mặt mà ta sẽ giới thiệu sau

đây.

2.3 Dinh lí Nhóm cơ bản của một mặt giống ø

Chứng minh: Nhắc lại rang mô hình của mặt giống g là mat cầu với g tay

nắm; hình 2 ứng với g =3

Hình 2 Mô hình của mặt giống ø =3

Ta sẽ dùng định lí van Kampen dé chứng minh định lí này Ta biết rằng với

g=1, 2(M,,x)=Z* Ta có thể biểu diễn M,=X UY theo cách X và Y là

đồng phôi với xuyén, bỏ đi một đĩa nhỏ và A=X AY là đường tròn Ta có

z(X.x) ~ aly, y)=F,, nhóm tự do trên 2 phần tử sinh Thực tế, ta có thé biểudiễn X như một hình vuông bỏ đi một đĩa ở giữa và sau đó là đồng nhất các

cạnh Việc mở rộng cái dia ra toàn bộ phan trong của hình vuông, ta thay rang

biên của hình vuông, với việc đồng nhất các cạnh, là hình số 8, là co rút biến

dạng của X.

Cho fa,,b,} (tương ứng {«,,b,}) là các phần tử sinh của z(X,x) (tương ứngZ(Y.y)) tương ứng với các con đường đóng của hình số § Phần tử sinh củaa(A,x) như là phần tử của 7(X,x) (tương ứng Z(Y,y)) là aba,'b' (tương

ứng a,b,a,'b,') Do vậy, 7(M,,x) là nhóm thương của F,, với các phần tử sinh

{a,,b,.a,,b,} và quan hệ a,b,a, 'b,'a,b,a;'b,' =e.

Nếu ta bỏ đi một đĩa nhỏ từ M , thì mặt thu được là M, cùng kiểu dong luân với

bu-két gồm 2g đường tròn mà ta kí hiệu là B,, Điều này dé thay bằng việc mởrộng các đĩa nhỏ dé phần bù của chúng trở thành một hình một chiêu Nhóm cơ

ban của B,, là F,, (do ví dụ 1.1.12) Hơn nữa, từ việc biểu diễn của M,, ta

thay rằng nếu A kí hiệu cho biên của M thì ảnh của phần tử sinh của z(A,x)

(x4) trong z(M,) cảm sinh bởi phép nhúng của Á trong M., la

tpt tpt — aba, b, aba bo =e.

se

Với điều nay, ta dé dang tính nhóm co bản của M, và a(M " là đăng cấu với

nhóm thương của nhóm tự do E, với các phần tử sinh Ía,.b, z,.b,} bởi

!

F ê Int 1 =

quan hệ aba, b, a,b,a by =e.

xg

Từ chứng minh nay, ta cũng suy ra được: nhóm cơ ban của một mặt có được

bang cách bỏ đi n >0 điểm phân biệt từ M, là nhóm tự do trên 2g +n —1 phần

tử sinh.

Ta sẽ sử dụng kiến thức này dé giải quyết một van dé đại số sau:

2.4 Hệ quả Nhóm con không xoắn của SL(2,Z) là nhóm tự do

Chứng minh: Vì nhóm con không xoắn T =T tác động tự do lên ?, F làđăng cầu với nhóm cơ bản của M, Rõ ràng, Ä, đồng phôi với đa tạp có đượcbằng cách bỏ đi một vài điểm của một mặt định hướng compact Mà nhóm cơ

bản của mặt này là tự do.

2.5 Tinh chất Nhóm con đồng dư chính mức ,

ría)=|z-° jive tna}

e,f neZ Ta có ad —be—mN =1 với meZ nào đó và vì vậy, (c,d,N)=1 Do

đó có neZ (mà ta sử dụng cho n như ở trên) thoả (c,d +nN)=(c.đ')=l Ta

có det y =ad =bc=ad' =bc + N(ed —f£)=lI+(m+ed'~ £)N Vì (c.đ')=1

nên có e,f e2, (mà ta sử dụng cho e,ƒ như ở trên) thoả m= fe—ed Do đó, detyz =1 nên y € SL(2,Z).

R ab x £ ; k

Ma trận r-( ile [E là hạt nhân của R, nêu va chỉ neu

Cc 4

a=ImodN, b=0mod N, c=0mod N, d =lmod N hay y=/ modN.

Ta có P(N) là nhóm con chuẩn tắc và @, p, ¢ P(N), nó là tự do bởi hệ qua

Ánh xa này là song ánh do định lí về số du Trung Hoa và hơn nữa, nó cũng là

đồng cấu Do đó, ta có:

|s(2.Z„) =Í SL(2,2, Ke

Chú ý rang, với p là số nguyên tố thì \GL(2,Z,,.) =(p* -1)(p' - p) vì mỗi ma

trận như vậy có p” —1 cách chọn cột thứ nhất và p’ — p cách chon cho cột thứ

hai Đông cau det :GL(2,Z ») —2 „ là toàn ánh với hạt nhân SL(2,Z ») va

|SL(2,2,, _(r`=!(`~?) _ at -4 |

p-\ p Bang cách chứng minh quy nạp theo a EN, ta được:

2.8 Tinh chất Cho các số nguyên đương N và N’, kí hiệu (N,N) là bội

chung nhỏ nhất của chúng thì nhóm được sinh bởi P(N) và P(N) là

rút gon mod p ta nhận được quan hệ

a’ +1=0 mod p hay a* —a+1=0 mod p.

Chúng ta biết răng nếu =12& —L thì cả hai phương trình đều vô nghiệm va vì

vậy, với p như vậy, nhóm con T,(p) là tự đo.

2.10 Tinh chất Chỉ số của P(N) trong P là [T:T,(N) |= NTI l +4),

pi p

Chứng minh: Ta giới thiệu nhóm

Với beZ thì ma trận R yer ,(N) biên thành b Vì vậy, nó là toàn ánh.

a Jer ,(N) nam trong hạt nhân của ánh xạ nếu và chi nếu