Luận văn thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức tính phân dạng gronwall và ứng dụng

Trong số nhiều kết quả thuộc chủ dé nay, bất đẳng thức Bellman [3] quen thuộc sau: Giả sử xứ va kứ là các hàm liên tục không âm với r> a... Trong thời gian qua nhiều tác giả đã thiết lập

Ssp BO GIAO DUC VA DAO TAO

1h a) Cod sae

TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HỒ CHÍ MINH

x Cee

NGUYEN MINH KHAI

BAT DANG THỨC TÍCH PHAN DANG GRONWALL

LOI CAM ON

Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn TS Trần Minh Thuyết, người đã tận tâm

hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.

Xin trân trọng cảm ơn Quý Thay, Cô thuộc khoa Toán —Tin trường Đại học

Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa Học Tự Nhiên và phòng sau Đại học đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá

trình học tập

Xin trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Thành Long, Th.S Võ Giang Giai, Cử

nhân Phạm Thanh Sơn đã đọc luận văn và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích.

Xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Cao học Giải tích khoá 13, đã động viên

và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.

Vì kiến thức của học viên còn nhiều hạn chế nên trong luận văn có thể có

những thiếu sót Kính mong quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp giúp đỡ.

Nguyễn Minh Khải

Chương0 PHAN MỞ ĐẦU

Vào năm 1919, Gronwall đã phát biểu và chứng minh kết quả sau:

Nếu +:|z,œ+h|—> R liên tục, thỏa

0<) < fla +bu(s\|ds, Vtela,a+h],

thi

u(t)Sahe“, Wtela,a+hl,

trong đó, các hằng số thực a,b, k= Ova @ >0 là cho trước.

Đây là kết quả đầu tiên để nghiên cứu nhiều bất đẳng thức tích phân dạng

Volterra Dang bất đẳng thức nay là công cụ cần thiết trong việc đánh giá tường

minh cho các ẩn hàm Từ khi bất đẳng thức nay xuất hiện nó đã được quan tâm nghiên cứu ở nhiều khía cạnh khác nhau Trong số nhiều kết quả thuộc chủ dé nay, bất đẳng thức Bellman [3] quen thuộc sau:

Giả sử xứ) va kứ) là các hàm liên tục không âm với r> a.

Nếu a là một hằng số, a >0.và

0<xứ)<a + [ k(swu(s)đs, Wrea,

thi

xứ) < aero fio Wrea.

Dễ thấy rằng kết quả của Bellman tổng quát hơn kết quả của Gronwall Vì

lí do nay mà tại sao các bất đẳng thức thuộc loại nay được gọi là “bat đẳng thức

Gronwall - Bellman” hay “bất đẳng thức Gronwall” Các bất đẳng thức thuộc

loại Gronwall cung cấp một công cụ cần thiết để nghiên cứu lý thuyết phương

trình vi phân, phương trình và bất phương trình tích phân các loại (xem

Gronwall [9] và Guiliano [10]) Một số ứng dụng của kết qua nay để nghiên cứu

tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến có thể tìm thấy trong Bellman [3] Một số ứng dụng vào lý thuyết tổn tại và duy nhất

của phương trình vi phân có thể tìm thấy trong Nemyckii-Stepanov [14], Bihari

[4], và Langenhop [11] Trong thời gian qua nhiều tác giả đã thiết lập nhiều bất

đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall theo hai hay nhiều biến độc lập Dĩ

nhiên, các kết quả như vậy còn có thể áp dung vào việc nghiên cứu lý thuyết

các phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình tích phan Volterra.

Hầu hết các vấn dé trình bày trong luận văn nay là các kiến thức đã được

biết hay đã được nghiên cứu nên nội dung luận văn không có gì mới Tuy nhiên các kiến thức và kết quả trình bày trong luận văn được hệ thống lại một cách cơ

bản Hơn nữa các chứng minh trong luận văn được trình bày chỉ tiết hơn và có

những giải thích rõ ràng mà trong các tài liệu khác không chứng minh hoặc bỏ

qua.

Luận văn nay ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn

được chia thành 4 chương

Chương | các kiến thức chuẩn bị.

Chương 2 chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall cho hàm theo hai biến độc lập, mà những tích phân nay đều tổn tại trên miền xác định của chúng.

Trong chương 3 chúng tôi giới thiệu một số dạng bất đẳng thức tích phân

thuộc loại Gronwall liên quan đến tích phân lặp mà hàm « trong bất đẳng thức Gronwall được thay thế bởi ham wu’, và hằng số a được thay thế bởi hàm a

không âm, không giảm Tùy theo giá trị p thay đổi mà chúng tôi thu được các

kết quả đánh giá địa phương hay toàn cục, bằng các phương pháp xử lý khác

nhau

Trong chương 4 chúng tôi giới thiệu một số bất đẳng thức tích phân khác

đối với hàm cho ham theo hai biến độc lập Các bất đẳng thức tích phân nay có

thể áp dụng như là công cụ đánh giá tính bị chận và chứng minh sự duy nhất

nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng,

Chương! CÁC KIẾN THỨC CHUAN BỊ

Trong chương nầy chúng tôi trình bày và chứng minh một số bổ để sẽ được

áp dụng trong các chương sau

Bổ đề 1.1 (Gronwall)

Nếu u:[œ,œ+h]->R liên tục, thỏa

0<) < fla +bu(s\\ds, Wrela,at+h),

thi

u(t)sahe”, Grelaath], a,b, h>=0.

Chiing minh

Dat vit) = (a +bu(s))ds, Viza.

Khi đó (a) =0, OS u(t) < vữ)

Hay

w(n=atbult) s ứ + bv(t) v{†)—bw(f) <a

{vere | =eTM (v(t) bv) < ae".

Tích phan trên (z,z], ta được

Vậy bổ để 1.1 được chứng minh.

Chương 1 Các kiến thức chudn bị

Tích phân hai vế trên [z,z], ta được

u(t) Š vt) S đe° , Wee.

Vay bổ dé 1.2 được chứng minh.

Chương 1 Các kiến thức chudn bị

Bổ dé 1.3

Cho bit) là ham liên tục, f(t) là hàm khả tích, vit) la hàm khả ví trên

|œ,>) thỏa

w{Œ) <b(1)vŒ)+ ƒ() Vi>ứ, v(#đ) = tụ.

Khi đó

WN Š vụ cxf foro] + Í f(s)exp J b(rìd rủ Vr>ơ.

Chứng mình

Nhân hai vế bất đẳng thức w') < b()»ứ)+ £() bởi ex -| bode), ta được

vea{ [oer] = Bo(0esg|-[bœe) <Š /00ew| [oct],

hay

49es|-J=ozÌÌ- f6)ew -Ï se]

Lấy tích phân hai vế từ ø đến ¿, ta được

viper fren ~ v(#z) Š {/eew|-Íew la

Do đó

ví) < rapese| [sex] | /eoee|-[senvr Jeol facet la

ví)< vayero{ [ser]+[7eoep|Ïsew: «fovea

v(t) Š vụ «| [pc + | /&ee| fovea Vrea.

Vậy bổ để 1.3 được chứng minh.

Chương 1 Các kiến thức chudn bị

Bổ đề 1.4

Cho u(x, y), a(x, y), b(x, y) là những hàm liên tục không âm với mọi x, ve Ñ

(i) Giả sử a(x, y) là hàm không giảm theo x, không tăng theo y, với mọi x,y 6 Ñ,

u(x, y) Sax, ve jae]

Oy

Vậy (i) được chứng minh,

ii Đặt a (x,y)=a(x,y)te>0, €>0

Ta có

u(x,yY)Ša (x.Y)+ [ fo(s,nu(s,ndtds, xyER,.

Chia hai vế cho a,(x,y) ta được

uC,y) u(s,t)dids <14too Ụ

a{(x,y) a, ue v

<l+ jje r) u(s,t)dtds a,a ia)

Đặt v(x,y)=l+ [Í»o.o u(s.t)dids.

ast)

u(x y) a(x, y)

u(x,y)Sa(x, ses ffotsyaa}

Vậy (ii) được chứng minh.

Bổ dé 1.4 được chứng minh.

Chương 1 Các kiến thức chadn bị

Chương2 BAT DANG THỨC TÍCH PHAN CHO HAM HAI BIẾN

vứ) < Jkeoseoepl forse Ja, Wrea.

Chuong 2 Đất đẳng thức tich phan che ham hai biến

u(t) S a()+ MØÏs69169exp [oe ers, Vi >a.

Phần (i) được chứng minh.

u(t) Salt) + barf coker | boride Wis B.

Phần (ii) được chứng minh.

W(x.y)<W(x)W (y), Vx,veKÑ,.

Giả sử a(x.v), f(x,y) là hàm không giảm theo biến x, trên x >0.cho trước

œ >0, nếu u(x y) thỏa

Chương 2 Bat dang thức tích phân che ham hai biến

(x, y)Š a(x, v)+ b(x, y)fets, Y)u(s, y) ds

+ƒ(x,y)H llÍeeoweo jas, Vx2a20, y20, (2.1)

G"' la hàm ngược của G, với mọi x >0, y >0,

G(C)+ [[aœ.ow ( p(s.f) f(s,f)}dtds thuộc miễn xác định của G`.

Oy

Chú thích

Hàm G xác định bởi (2.5) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0,+0), do đó

tồn tại hàm ngược G' xác định trên một khoảng tương ứng.

u(x y) S z(x, y) + Ð(x, vifets, y)w(s, yids (2.7)

Ta có z(x,y) là hàm liên tục không âm theo biến x20 Cố định y 20

trong (2.7) áp dung (i) của bổ dé 2.1 vào (2.7), ta được

ứ(X, Y) Š z(x, y)+ (x, y) Í z(s, y)c(s, vera for y)cứ, a

Hơn nữa z(x,y) là hàm không giảm theo x >0, ta được

u(x, y) Š z(x,y) ply, Y), (2.8)

trong đó p{ x,y) được xác định bởi (2.3) từ (2.6), (2.8) ta được

u(x, y) S pla, y)[ a(x, y) + f(x y)H (v(x, y))], (2.9)

và v(x, y)= [[ao.ow (u(s.t))dtds.

Đặt r(x, y) là vế phải của (2.10), khi đó

Chương 2 Đất đẳng thức tich phân che ham hai biến

r(Ô, y) = r(x,%®}) = [Íac.ow ( p(s,r)a(s.f))4r đs = €.

<W(H(ra.y)))[a4(.0W (pan fan)ae (2.11)

Chia 2 vế của (2.11) cho W(H (r(x, y))), ta được

r(x y)

W[H)) + " W(H (r(x, y))) jaœo (p(x,r) ƒ(x,r)) dt (2.12) 2.12

Từ (2.5) và (2.12), ta được

G,(r(x.y))< [40W (pG,)ƒ(x0))ár (2.13)

Đặt x =s trong (2.13), sau đó lấy tích phân theo s từ 0 đến x, ta được

G({r(x, y))< G(r(0, y)) + [[aœ.ow ( p(s.f) ƒ(s.r)) drah.

u{x, y) Š a(x, y)+ b(x, yyfets y)u(s, yds

+ƒ(@,y)H [ facs.ow (sn) vx e[0,/],Vy>0 (2.15)

G" là hàm ngược của G và với mọi x,y > 0,

Chương 2 Bat dang thức tích phân che ham hai biến

G(Ê)+ | [4(s.DW (p(s.:)ƒ (5.2) eds thuộc miền xác định của G"'

Chú thích

Hàm G xác định bởi (2.19) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0,+), do đó

tổn tại hàm ngược G ” xác định trên một khoảng tương ứng.

u(x, y) < z(x, y) +(x, y)[ c(s, y)w(s, yids, (2.21)

Ta có z(x,y) là hàm liên tục không âm theo biến x20 Cố định ye R,

trong (2.21) áp dụng (ii) của bổ dé 2.1 vào (2.21), ta được

LỤ £

u(x, Y) S £(x, y) +b, yf z(s, y)e{s, reno for we, vars

Hơn nữa z(x,y) là hàm không tăng theo xe R_, ta được

với p(x, y) được xác định bởi (2.17), từ (2.21), (2.22), ta được

(x, Y)< PO, y)[acx, y)+ SQ, y)H (v(x, y))] (2.23)

và v(x,y)= [[aœ.ow (u(s,t))dtds,

Chú ý rằng W là ham ting, từ (2.23) ta được

v(x, v) Š [[a4G.W(PG.9[aG.9 + f(s,t)H (v(s,£)) |) drds.

Chương 2 Đất đẳng thức tich phân che ham hai biến

Từ (2.24) và r(x,y) là hàm không tăng theo ye R,, v(x, y) Šr(x, y) va

—r,(x.y)= [ao.ow (POLO SOLOW (H (v(x.1)))de

< facow (BO F(x, O)W (A (r(x0))dt

<W(H (r(x, y))) [dow (PON LO,0) de (2.25)

Chia 2 vế của (2.25) cho W(H (r(x, y))), ta được

N (x,y) < t ¬

oe? W(H(r(x.y))) | (60) (BinjG.0)44 (2.26) EF |4(x.:]W(P@ .f)) đt 2.26

Tích phan (2.26) và từ (2.19), ta được

-G (x.y)< [a.ow (POX f(x.t)) dt (2.27)

Đặt x=s trong (2.27), sau đó lấy tích phân theo s từ x đến %, ta được

Chương 2 Bat dang thức tích phân che ham hai biến

G(r(x, y))< G(r(%, 9))+ Í [4(s.ÐW(PG,)f(s.0) đá:

Do G' là hàm tăng, ta có

r(x, Y) <G" [© +FJacow pessoa ! (2.28)

Từ (2.23), (2.28) va v(x, y) < r(x, y), ta được

u(x, y) S BO, yfacx, y)+ fo yA [G"(GO)

+] facs,ow (7(s.1F(5,0))dtds)]}, xe|0,/], y>0.

Định lý 2.2 được chứng minh @

Định lý 2.3

Cho t(x, Y), ax, Y), bly) c(X, Y), FOL v) là những hàm liên tực không âmtrên x,y 20

Hàm L: R` -> R_ liên we thỏa điều kiện

0< L(x, y,t)— L(x, v.v) < M(x, uy) (uv), VAx,y>0,w>v>0, (2.29)

trong dé M (x, y, v) là hàm thực liên tực không âm trên x, y,v 20.

Hàm ở: R, > R, liên tục và tăng ngặt, 6(0)=0, hàm ngược ó ` của ó thỏa điều kiện ó `(uv) < ở ` (w)6 `(v) với mọi uve R,.

Giả sử a(x.y), f(x,y) là không giảm theo xeR., cho œ>0 cố định, nếu

Khi đó

u(x, y) € nt y) a(xyy)+ f(x, y)@(eŒ@ Y)

ceo ff (s.t, p(s,a(s,t)) go" (nso sean)a vs yeR,,(2.31)

u{x, y) € z(x,y) + Đ(%, y) [ c(s, yu(s, yds (2.35)

Ta có z(x,y) là hàm liên tục không âm theo xe#, Cố định ye R_ trong

(2.35) và sử dụng (i) của bổ dé 2.1 vào (2.35), ta được

(x, ) € £(x, y) + Đ(x, | z(s, Wels, reno for yye(r, a

Hơn nữa z(x,y) là hàm không giảm theo xe R_, ta được

u(x, Y) S #(x, y)p(+, Y), (2.36)

với p(x, y) là hàm xác định bởi (2.32) Ta suy từ (2.34), (2.36), rằng

u(x Y) px, y)(atx, y)+ ƒŒx, y)d(v(x, y))) (2.37)

Chương 2 Bat dang thức tích phân che ham hai biến

trong đó e(x,y) là hàm liên tục không âm, không giảm theo xe, và không

tăng theo y #,, như trong (2.33)

Áp dung (i) của bổ dé 1.4 vào (2.38), ta được

x

v(x, y) S e(x, sel ff (s.!, p(s,)a(s,t))øð ˆ (pso/(s9/42 (2.39)

ay

Sử dụng (2.37) vào (2.39), ta được

u(x, y) Š pla, face yì+ /(+x, vidle(xy, y)

coo fi (s.t p(s.f)a(s.))ø ` (ge2/G2/4/), Vx,yeR,.

lv

Định lý 2.3 được chứng minh #

Chương 2 Bat dang thức tích phân che ham hai biến

Định lý 2.4

Cho u(x, Y), a(x, Y), b(x, v), c(x, y), Ƒ(x, y) là các hàm thực liên tực không

âm xác định cho mỗi x,y €R

Hàm L: R` > R, là hàm liên tục thỏa điều kiện

0< L(x,y,)— L(x, v.v) < M(x, y.v)ố '(wu—v), Vx,y>0,>w20.

trong đó M (x, y,w) là hàm thực liên tục không âm xác định trên x, y,v = 0

Hàm :R, > R, liên tục, tăng ngặt với $(0)=0, ở” là hàm ngược của ở

thỏa điều kiện 6 `(w-v) S @ ` (Q6 `{v), với mọi uve R,.

Giả sử a(x,y) f(x,y) là không tăng theo xeR,, cho B>0 cố định, nếu

ham u(x, y) thỏa

i)

u(x, y) S a(x, y) + b(+x, yyfets, y)u(s, yds

+f (x, oy ffetonatsn) it} Bx yeR,, x= B, (2.40)

Khi do

u(x y) S p(x y){a(x, y) + f(x, y)đ[e(x y)

xexp( {fa (s.t.p(s.0a(,Ð)}đ ` (pOs.O£(s,0)dtds}, Vx, y 20, (241)

trong đó

= & ‘

P(x, yy =14+ B(x, yofets, sera foe y)cŒ, vr a (2.42)

e(x, y=] Í L(s,1, p(s,Na(s,0))dtds (2.43)

Chiing minh

Đặt

Chương 9 Bất đẳng thức tích phân che ham hai biến

z(x, y)= a(x, y)+ f(y, ov I Ustad) (2.44)

Từ (2.40), ta được

u(x Y) S z(x, y) + b(x, vIÍ cœ, you(s, yds (2.45)

Ta có z(x,y) là hàm liên tục không âm theo xe R, Cố định ye R, trong (2.45) và sử dung (i) của bổ dé 2.1 vào (2.45), ta được

ũ £

u(x, vy) Š z(x, y) + Đ(x, y) Í z(s, ye(s, »en|Ísœ y)cŒứ, var is

Hơn nữa z(x,y) là hàm không tăng theo xe R_, ta được

với P(+x, y) là hàm xác định bởi (2.42) Ta suy từ (2.44), (2.46) rằng

u(x, y) < P(x, yÌ(a(x, y)+ FO, y)Ø(»(x, 3))}, (2.47)

v(x, y) <£(x,y)+ | fm (5.1, p(s, Dals,))o' (p(s,Of (8,0 w(s,Odtds, (2.48)

trong đó e(+x, y) là ham liên tục không âm, không tăng theo x,y € R,, như trong

(2.43)

Ap dụng (ii) của bổ dé 1.4, ta được

v(x, y)<£(x, self (s.r.P(s.)a(s,))ø ` (nsay7csn ya} (2.49)

Sử dụng (2.47) vào (2.49), ta được

u(x, ) € px, y){a(x, yt FO, y)Ø[e(x y)

xexp( ffm (st, p(s, Da(s, OO" (p(s.0 f(s, O)dtdsy] }, VWxy20.

Dinh lý 2.4 được chứng minh @

Chuong 2 Bat dang thức tích phân che ham hai biến

Chương 3 MỘT số DẠNG BAT DANG THỨC GRONWALL

1 Trường hợp p>

Dinh ly 3.1

Cho u(t), b(t), alt), k(t.s), hựt,s,r) là những ham liên tục không âm với moi

œStsssơstsj Giả sử a(t) là hàm không giảm trên |z,Ø], cho p>l cố

định, nếu ham u(t) thỏa

u(t) Š a()+ Íb(s)w? (sds + [fo rou" (r)drds

+f [ [n(G5.r.ø)u! (o\dedrds, Vrela, Bl 3.1)

v(t) = b(u" (0) + FRC, rye" (de + [ [hứ,t,ø)ef (z)dơáz

< b(r)u”({r}+ [tứ r)[a(r) + vir] dr~ f fac, t,o) [a(o) + v(ø)]? dadt

< b(t)[a(s) + vi)’ +[adŒ) + vin] Í kứ,r)dr + [ale + vO]! [ [hứ, t,o dedr

vứ) + a(T) š aero | RA], astsT.

Thay +=7, ta được

v(t) + a(t) <a0ep| [Re (3.5)

Lấy mũ p-1 hai vế của (3.5), ta được

[vi ray] s arena fi p~ Rods]

Bit)[vit)+ a()]”” < Ba (ossp| Ít- HRs

R(t) < Bit)a”TM (ero for _ Hees]

(p-I)RWO<(p-)BiHaTM (ero fer - nec.

Hay

Zit) <(p Bia" ero ÏZ604)

trong đó

Z()=(p~1)#().

2| zL J Ze0e | = Zew|- Í Zs <(p-NB ha" (1) (3.6)

Lấy tích phân hai vế của (3.6) từ ø đến 1, ta được

I -e|~ Í Zs < [(p-I)B()a’"(s)ds

1 ~exo| fc - Datos) < Ít -1)B(s)aTM (s)ds

Chương 3 Mét số dang bất dang thức Gronwall

Cho u(t), b(t), kít,s), (là những hàm liên tục không âm với mọi

œ<r<s<t<Ø Giả sử o(t) là hàm không giảm trên [œ,@] p>1, a >0 là hang

số, nếu u(t) thỏa

u(†) Sơ} \« + [5e (š)ds + [Jac 9820046), Wre [z B] (3.8)

8, = wo c[z,./]:(p =1a?" | B,(s)o” '(s)exp(o(s)}ds < ì

Chương 3 Mét số dang bất đẳng thức Gronwall

< b(r)u°(t)+ Í Kt, ro" (Ola, + VOY de

<b(t\ø" (Đa, + vi] +07 (Đ[a, +O]! [ kứ,z)dr

<Ø*(f)[a, + vứ)]Ÿ lo + fee ou |

= B, (0| oa, h 70) (a,o(t) + ơ()v()).

Do dé

VO < œR()z() + R(t)\ơ(t)v(), (3.11)trong đó

Rt) = B,(Đ[ơ0)(a +) |", BQ) =b0) + [ kứ,r)ár.

Ap dụng bổ dé 1.3 vào (3.11), ta được

v(t) Š Vụ cx foros + ÌaReletoep| [Rte eters}

a

fa, | Ro)zeesl Í RG)o()4:]ác

Chương 3 Mét số dang bất đẳng thức Gronwall

Chú ý rằng

ÍReoơtoesp [8tr la = «| | Resist —], wạ = w{ø) = 0, ta được vứt) + 4, Sa, exo foro Ros (3.12)

Nhân hai vế (3.12) cho øứ), sau đó lấy mũ p—I, ta được

[ow (vinta) ] so” (nar cof p- hack]

BDL oO (Wr) +4, Ne <B.(0)ø*ˆ'(pa" cx fer - Hoc Ro Rứ) < B(Qe” (har ex Ítp- DơGJ8G04:)

(p—ID)RŒ) 4 (p~—1)B,()\ø" (al cx foo ¬ Horners

| -eo(- cio) = z0Z00ew|-Ï z(92634] <(p=1B,()a?'ø”(1).(3.13)

trong đó

Z(t) =(p~DR(t)

Lấy tích phân hai vế của (3.13) từ ø đến :, ta được

" ex -| z692604) S Ítp=)B,(s)aƑ 'ø*(s)ds

exo -focrzcos > 1 ~(p~1)a£” | B,(syo"(s)ds

exo{ [oer ~ Na) >zI1=(p-1)a?" | B,(s)ø"(s)ds

a

! 1 prt

sơ|-[toReoa) > [ —(p—la?” | B, 0" (as

Chương 3 Méi số dang bất đẳng thức Gronwall