Luận văn thạc sĩ Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán: Công cụ đại số trong dạy - học hình học không gian lớp 11

Trang 194, 195, sách BT Hình học 11SBH11 trình bày lời giải của bài toán này như sau: AB=ABCNABD P//AB PnABC=MN PnABD=RT Phát hiện trên dẫn chúng tôi đến các câu hỏi xuất phát như sau: 1

_—— BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO |

TRUONG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

Nguyễn Văn Hiếu

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hỗ Chí Minh - 2015

Nguyễn Văn Hiếu

CÔNG CỤ ĐẠI SÓ TRONG DẠY-HỌC

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã sô: 60 1401 I1

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HUONG DAN KHOA HỌC:

TS NGUYEN AI QUOC

Thành phố Hỗ Chí Minh - 2015

Tôi xin gửi lời cam on:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phong SPH, Khoa Toán — Tin trường DHSP TP.

HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Lãnh đạo Sở GD&PT Long An, Tập thể giáo viên trường THPT Nguyễn CôngTrue đã hết lòng giúp đỡ, tao điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa học

Tôi xin cám ơn mẹ tôi và hai con của tôi, những người đã lặng lẽ lo lắng cho tôi,động viên tôi những khi tỉnh thân tôi sa sút

Cuối cùng tôi xin chân thành cam ơn các bạn bè, ân nhân, đặc biệt là ban NTD,

các bạn trong lép Didactic Toán khóa 24, những người đã cùng tôi chia sẻ vui buôn

và giúp tôi vượt qua những khó khăn trong học tập cũng như trong cuộc sống

Nguyễn Văn Hiếu

MỤC LỤC

Nội dung trang

MỞ ĐẦU

0.1) Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát - 2 s2 5z+++2sz+z+zzxz 1

0.2) Mục đích nghiÊn CUu 0 ccc eeeescesesseeeseesecesecesesceesececesseesseceaeseeeeseeeceseeeeseeeaeeaeens 3

0.3) Phạm vi lý thuyết tham ChiéU c.cceccecccccesscssessessessessessecsessessessesstesessessesseeseesesees 3

0.3.1) Thuyết nhân học trong Didactic Toán - - ¿5£ 5 +s£++£+E£E£Eezxezxezzeee 3

0.3.2) Lý thuyết tình huống - 2-2 + +E+EE£EE££EESEEEEEEEEEEEEEEEE71.211 71.22 rxe 6 0.4) Trinh bay lại câu hỏi nghiên CỨU 5 563113118351 E<1 1£ kESkk key 7

0.5) Mục tiêu nghiên cứu, phương pháp nghiên cứỨu - 5< «5< £+s£+ee++eees 7

0.5.1) Mục tiêu nghiÊn CỨU G c1 2211131113911 13 1111 111 1111 11 1111 ng ng re 7 0.5.2) Phương pháp nghién CỨU - - (2 3233213311351 E* 1E E11 1E EEkrrrkrrkrre 7

0.6) Cấu trúc của luận văn ¿- + kSx+Sx+kEEk+EEEEEEEEEEEEEEKSEEEEEEEEEEEEEEESEEEEEEkrkrrkervee 8 CHƯƠNG 1 TONG HỢP MOT SO KET QUÁ NGHIÊN CỨU VE ĐẠI SỐ VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA ĐẠI SÓ ĐÓI VỚI HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH

2.3) M6t 86 ket asÁẦẰ.4 Ả ÒỎ 71

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM

3.1) Phần dành cho giáo viên ¿- ¿- ¿+ 2+2 2E 2E2E2E1211211211211211211211211 122 e 79

3.1.1) Phân tích bộ câu hỏi 2-2-2 +2 £2EE+EE££EE£EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEErErrrerreee 80 3.1.2) Phan tich hau nghi€m 0 83

3.2) Phần dành cho học sinÌh - ¿- ¿5£ £+S£+E£2E£+EE+EEEEEEEE2EEEEE2EEEEEEEEEEEEEErrrrrrrre 87

3.2.1) Phân tích bộ câu Oi ccsccessesssessesssessesssessessesssessesssessesssessessssssessessessessseesees 88 3.2.2) Phân tích hậu nghiỆm -.- - - G222 32213213311 38131E51 E111 11 E111 re 93

3.3) Một số kết luận tt St t1 E3 SE E1EE1511111111111111511E 1111.11.11 re 104

KET LUẬN wececcccssssscssccssssssesssssssssesesssssssssssssssuscesssssusssssssssusesssssssssesssssssusesssssuissssessssesesssssseseeee 107

TÀI LIEU THAM KHẢO 22-©222++222E++2EEE11222E11112221111221E111272111222211 27111 EExxrrrrrey 109

PHU LỤC -:-2222 222 222222231122 211110 1110 00111 0111 110 1.ee 112

DANH MỤC CÁC CHỮ VIET TAT

Chữ viết tắt Viết đầy đủ

SBT6T2 Sach bai tap Toan 6 tap 2

SBT9T1 Sach bai tap Toán 9 tap 1

SBHII Sách bai tập Hình học 11

SBHIIN Sách bài tập Hình hoc 11 nâng cao

SGK Sách giáo khoa

SGHII Hình học 11 Sách giáo viên

SGHIIN Hình học 11 nâng cao Sách giáo viên

SGK6T1 Sach giáo khoa Toán 6 tap 1

SGK7T2 Sach giao khoa Toan 7 tap 2

SGKØT] Sách giáo khoa Toán 9 tập 1

SGK9T2 Sach giao khoa Toan 9 tap 2

SGV Sách giáo viên

SHII Sach giáo khoa Hình hoc 11

SHIIN Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao

THCS Trung hoc co so

THPT Trung học phô thông

MỞ ĐẦU0.1) Những ghi nhận ban đầu và câu hồi xuất phát

Nói về vai trò công cụ của đại số, theo tác giả Nguyễn Ái Quốc (2006), “ Về mặtlịch sử, đại số ra đời để giải quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công

cụ giải các bài toán thuộc các lĩnh vực khác” [19, tr I1] Đặc biệt, khi nói về ảnhhưởng của đại SỐ trong sự ra đời của Hình học giải tích (HHGT), tác giả Lê Thị HoàiChâu (2008) đã có nhận định như sau:

Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải xét đến các bài toán có liên quan đến các đường cong, mặt cong phức tạp Chính ở đây mà phương pháp tổng hợp bộc lộ những hạn chế của mình Nó khiến các nhà hình học mong muốn tìm kiếm một phương pháp tổng quát không lệ thuộc vào hình vẽ.

Vào cuối thế kỷ 16, những vật liệu cần thiết cho việc xây dựng một phương pháp đáp ứng đòi hỏi đó đã đạt đến độ hoàn hảo Cụ thể là sự phát triển của đại số đã mang lại hiệu quả không chỉ trên các số mà trên mọi loại đại lượng Xu hương ký hiệu hóa các

đối tượng nghiên cứu của Viète (1540-1603) làm cho tính toán đại số trở nên dé dàng,

rồi phương pháp đồ thị của Oresme cho phép biểu diễn tương quan giữa các đại lượng

v.v Những điều đó mang lại cho phương pháp đại số một sức mạnh mới, cho phép

thay thế những lời giải viện dẫn đến hình học trước đây bằng những lời giải thuần túy đại số, thường gọn gàng hơn Tắt cả đã sẵn sang cho toán học chuyên qua một bước tiến

quyết định , làm đảo ngược mối quan hệ đã được thiết lập cho đến lúc đó giữa đại số và

hình học [ 3, tr 34].

Có thé nói, HHGT (còn gọi là Hình học tọa độ) là đỉnh cao của việc vận dụng đại

số vào việc nghiên cứu hình học Thế nhưng, trong thê chế giảng dạy, do sự sắp xếpcủa Chương trình, không phải lúc nào các công cụ của HHGT cũng có thể tham giavào việc giải quyết các vấn đề của hình học Trường hợp Hình học không gian ở lớp

11 (HHKG11) là một vi dụ Ta đều biết, HHGT trong không gian mãi đến HKII lớp 12

mới xuất hiện, trong khi HHKGII được xem là nội dung khá khó đối với học sinh.Câu hỏi đặt ra là trong hoàn cảnh đó, đại số có thể can thiệp, hỗ trợ như thé nao trongviệc dạy và học môn hình học này? Trong lúc đi tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, chúng

tôi chú ý đên bài toán sau:

Cho tứ diện ABCD có AB L CD và AB=CD=AC=a Trên đoạn AC lây M với AM=x Qua M ta vẽ mặt phăng (P) song song với AB, CD Mặt phăng (P) cắt BC, BD,

AD lần lượt tại N, R, T Tìm x để diện tích S của tứ giác MNRT lớn nhất.

(Trích BT 3.54, sách BT Hình học 11, trang 165, 166) [14].

Trang 194, 195, sách BT Hình học 11(SBH11) trình bày lời giải của bài toán

này như sau:

AB=(ABC)N(ABD)

(P)//AB (P)n(ABC)=MN (P)n(ABD)=RT

Phát hiện trên dẫn chúng tôi đến các câu hỏi xuất phát như sau:

1/ Trong HHKGII, những loại bài toán nào cần đến công cụ đại số dé giải quyết,những công cụ đại số nào thường được vận dụng vả vận dụng như thế nào? Lợi ích của

việc vận dụng đó là gì?

2/ Học sinh thường gặp những khó khăn nào trong việc vận dụng công cụ đại số

khi giải toán HHKGI 1? Giáo viên có những biện pháp nào dé giúp học sinh khắc phục

các khó khăn đó?

Từ những ghi nhận, thắc mắc đó, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Công cụ đại

số trong dạy-học Hình học không gian lớp 11” để thực hiện việc nghiên cứu choluận văn thạc sĩ của mình.

0.2) Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là làm rõ vai trò công cụ của đại số trongviệc giải quyết các bài toán HHKGII

0.3) Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Công cụ lý thuyết được chúng tôi chọn làm cơ sở cho việc đưa ra các câu trả lờicho những van dé đã nêu thuộc phạm vi Didactic Toán mà cụ thé là Thuyết nhân họctrong Didactic Toán, Lý thuyết tình huống với khái niệm Hợp đồng didactic

Didactic Toán không chỉ là một tai liệu tham khảo tốt đối với các nhà nghiên cứu, giáo viên và sinh viên khoa Toán, mà tất cả những ai quan tam dén hoat động dạy học, từng trăn trở đi tìm cơ sở lí thuyết, công cụ hữu hiệu lí giải các hiện tượng trong giảng dạy và học tập cũng có thể có những khám phá thú vị khi tham khảo giáo trình này [1 tr 9].

Nếu chúng ta gọi đối tượng O là các tri thức đại số (những tri thức thường đượcvận dụng như những công cụ giải các bài toán trong chương trình Toán phô thông); I

là thé chế day học hiện hành ở Việt Nam thì van đề về cách tiếp cận HHKG11 thôngqua công cụ đại số liên quan đến khái niệm quan hệ thể chế R(I;O) của thuyết nhânhọc do Chevallard đặt nền móng Các câu hỏi “Những công cụ đại số nào thường đượcvận dụng và vận dụng như thế nào?”, “Học sinh thường gặp những khó khăn nào trongviệc vận dụng công cụ đại số khi giải toán HHKG11?” liên quan đến khái niệm quan

hệ cá nhân của lý thuyết này Ngoài ra, câu hỏi đó cũng có thê được giải đáp bởi kháiniệm Hợp đồng didactic trình bày bởi G Brousseau (1980)

0.3.1) Thuyết nhân học trong Didactic ToánKhái niệm về quan hệ đối với tri thức được đưa vào bởi Chevallard (1989).Chevallard đã đặt khái niệm này trong phạm vi nhân chủng học, ở đó những hiện

tượng liên quan đến việc dạy học một tri thức (toán học) được mô tả theo các mối

®Quan hệ cá nhânMột đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X

Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, Quan hệ

cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O Một con người là một cá

nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một tập hợp các moi quan hé canhân với những đối tượng mà nó biết [1, tr.315, 317]

Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân Xvới đối tượng tri thức O Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từngtồn tại), hoặc quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại)

Quan hệ thé chếChevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thé chế I với tri thức O, R(L, O), dé chỉ tậphợp các mối ràng buộc mà thé chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất hiện ởdau, băng cach nao, tôn tại ra sao, đóng vai trò gi trong I, Hiên nhiên, trong một thê

chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O) Việchọc tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điềuchỉnh mối quan hệ R(X, O) Tất nhiên, do tri thức O tổn tại trong các thé chế I khác

nhau (chăng hạn thê chế dạy học Việt Nam, thể chế dạy học Pháp) nên sẽ có mối quan

hệ khác nhau với các cá nhân X (chang hạn giáo viên, học sinh) Do đó muốn nghiêncứu quan hệ của cá nhân X với đối tượng tri thức O, cần phải đặt nó trong mối quan hệcủa thê chế I mà cá nhân X đang đứng cùng với tri thức O

Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thé chế RC, O) vaquan hệ cá nhân R(X, O)? Nhằm giải quyết vấn dé nay, Chevallard đã đưa khái niệm

tổ chức praxéologie (hay ngắn gọn hơn Praxéologie)

Khai niệm Praxéologie, Praxéologie Toán học

Trình bày về Praxéologie, Praxéologie Toán học (Tổ chức toán học), theo tác giảĐoàn Hữu Hải (2001):

Khái niệm praxéologie hình thành dựa trên 4 định đề về nhân chủng học là

Định dé 1 Toàn bộ thực tiễn của thể chế được đưa vào phân tích, theo những quan điểm khác nhau và theo những phương pháp khác nhau, bằng một hệ thống những

nhiệm vụ tương đối giới hạn và được tách ra từ dòng chảy của thực tiễn

Định đề 2 Việc thực hiện một nhiệm vụ nào đó là do vận dụng một kĩ thuật.

Định đề 3 Dé có thé tồn tại trong một thể chế, một kĩ thuật phải xuất hiện sao cho

có thê hiểu được, có thé thay được và phải được lý giải.

Định đề 4 Bất kì một yếu tố công nghệ nào cũng cần một sự lý giải.

Tương ứng với các định đề này, Chevallard đưa vào khái niệm Praxéologie Đó là

một bộ tứ được hình thành từ:

1.Các kiểu nhiệm vụ T-hiện diện trong một thé chế nào đó;

2.Ki thuật r-cho phép thực hiện các nhiệm vụ t của cùng một kiểu nhiệm vụ T;

3.Công nghệ 0-văn bản lý giải cho kĩ thuật 7;

4.Lý thuyết ©-là công nghệ của công nghệ 0.

Trong trường hợp các thành tố T, 1, 0, © của một Praxéologie mang bản chat toán học, người ta nói đến một /ổ chức toán học hay là một Praxéologie toán học |9, tr 5].

®Đánh giá một tổ chức toán học

Đánh giá các kiêu nhiệm vụ: việc đánh giá dựa trên các tiêu chuân

- Tiêu chuẩn xác định: các kiểu nhiệm vụ T, đã được nêu rõ chưa, đặc biệt đã

được thé hiện qua tập hợp số lượng mẫu đủ nhiều va sẵn có dé sử dụng chưa? Hay ngược lại, chúng chỉ được biết đến qua một vài mẫu tiêu biểu?

- Tiêu chuẩn về lý do tồn tại: lý do tồn tại của các kiểu nhiệm vu T, da duoc nói rõ chưa? Hay ngược lại, chúng dường như không có lý do gì dé tồn tại?

- Tiêu chuẩn thỏa đáng: những kiểu nhiệm vụ được xem xét có thỏa đáng với nhu cầu toán học của học sinh trong hiện tại và trong tương lai hay không? Hay

ngược lại, dường như chúng rất biệt lập với các nhu cầu toán học của học sinh?

Đánh giá kỹ thuật: Kỹ thuật được dé nghị để giải quyết kiểu nhiệm vụ T, đã

thực sự được xây dựng chưa, hay chi mới là phác thảo? Nó có dé sử dung va dé hiểu không? Nó có giải quyết được phần lớn các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ cụ thể không? Tương lai của nó ra sao và nó có thé tiến triển theo một cách thức thích hợp

hay không?

Đánh giá công nghệ: Với một thông báo được đưa ra giải thích cho kỹ thuật

thì vấn đề giải thích nó có được đặt ra hay không? Hay người ta thừa nhận thông báo này một cách hiển nhiên, đã được biết rõ? Các hình thức giải thích mà người ta đã sử

dụng có gần gũi va dé hiểu với các hình thức chuẩn trong toán học không? Cách giải

thích đó có phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện sử dụng nó không? [8, tr 12].

0.3.2) Lý thuyết tình huốngKhái niệm hợp đồng didactic (Hợp đồng dạy học)Hợp đồng didactic liên quan đến đối tượng dạy-học là một sự mô hình hóa cácquyền lợi và nghĩa vụ ngầm 4n của giáo viên va học sinh đối với đối tượng đó Theo

G Brousseau (1980), “Ta nói hợp đồng dạy học là một tập hợp những quy tắc phânchia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên đối với một tri thức

toán học được giảng dạy” [1, tr 339].

Nhu vậy, hợp đồng dạy học chi phối quan hệ giữa thay và trò về các kế hoạch,

các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm Hợp đồng dạy học

chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành vàchỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động dang được tiến hành, các phát biêu hoặc những

lời giải thích Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong

nhà trường phải trải qua.

0.4) Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

Trên cơ sở những hiểu biết có được từ Thuyết nhân học trong Didactic toán, Lýthuyết tình huống, chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi xuất phát và trình bày lại thành bacâu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Trong hình học của Chương trình Toán phô thông, công cụ đại số có những

đặc trưng cơ bản nào?

Q2: Trong HHKGII, những tổ chức toán học nao cho thấy vai trò công cụ củađại số; những công cụ đại số nào thường được vận dung; lợi ích của việc vận dụng các

công cụ đó là gì?

Q3: Trong thực tế dạy-học HHKGII, công cụ đại số thường được huy độngtrong những vai trò nào, hoc sinh thường gặp những khó khăn nao trong việc huy độngcác công cụ đại số?

0.5) Mục tiêu nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu

0.5.1) Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu vai trò công cụ của đại số trong giảitoán HHKGI l.

0.5.2) Phương pháp nghiên cứu

Dé thực hiện mục tiêu nghiên cứu nói trên, chúng tôi chọn phương pháp nghiên

cứu như sau:

- Nghiên cứu lý luận:

Chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu các luận văn, các sách chuyên khảo và tìmthêm các ví dụ minh họa trong các SGK, SBT có liên quan trong danh mục Tài liệu

tham khảo để rút ra các kết luận nhằm trả lời cho câu hỏi Q1 và góp phần hình thành

nên giả thuyết nghiên cứu

- Nghiên cứu thực tiễn:

Trong nội dung này, việc nghiên cứu được chúng tôi tiến hành như sau:

Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu Chương trình Hình học 11, SGK Hình học 11,SBT Hình học 11 nhằm trả lời cho câu hỏi Q2 Trên cơ sở đó, chúng tôi đưa ra giả

thuyết nghiên cứu và thiết lập bộ câu hỏi thực nghiệm Cuối cùng, chúng tôi thực

nghiệm bộ câu hỏi nói trên, phân tích, đánh giá kết quả thu được, kiểm tra tính thỏa

đáng của giả thuyết nghiên cứu đồng thời trả lời cho câu hỏi Q3

Nghiên cứu của chúng tôi có thé được tóm tắt trong sơ đồ sau:

Khung lý thuyết tham chiếu

Nghiên cứu đặc trưng của đại số và vai trò công cụ của đại sé

đôi với hình học trong Chương trình Toán phô thông

qua các tài liệu tham khảo.

-Xay dung gia thuyét nghiên cứu va bộ câu hỏi thực nghiệm;

-Tién hành thực nghiệm kiêm chứng giả thuyết nghiên cứu;

-Phân tích và tông hợp kêt quả thực nghiệm.

0.6) Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 5 phan:

MỞ ĐẦU:

Trong phần này chúng tôi nêu lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, khung lýthuyết tham chiếu, trình bày lại câu hỏi nghiên cứu, mục tiêu nghiên cứu, phương phápnghiên cứu và cấu trúc của luận văn

CHUONG 1-TONG HỢP MỘT SO KET QUA NGHIÊN CUU VE ĐẠI SỐ VA VAITRO CONG CU CUA DAI SO DOI VOI HINH HOC TRONG CHUONG TRINHTOAN PHO THONG:

Tim hiéu những đặc trưng cơ bản cua dai số và vai trò công cụ của đại số đối với

hình học qua một số nghiên cứu đã biết Chương này có các mục:

1.1) Đại số và vai trò công cụ của đại số đối với hình học

1.1.1) Đại số1.1.2) Vai trò công cụ của đại số đối với hình học

1.2) Một số kết luậnCHƯƠNG 2- CÔNG CỤ ĐẠI SO TRONG THE CHE DAY-HOC HÌNH HOC

KHÔNG GIAN LỚP 11:

Phân tích Chương trình hình hoc 11, SGK Hình học 11, SBT Hình học 11 hiệnhành nhằm rút ra một số nhận định về vai trò công cụ của đại sỐ trong dạy-họcHHKGII Trên cơ sở đó, hình thành giả thuyết nghiên cứu và bộ câu hỏi thực nghiệm

Chương nay có các mục:

2.1) Phân tích chương trình

2.1.1) Chương trình Hình học 11 cơ bản

2.1.2) Chương trình Hình hoc 11 nâng cao

2.2) Phân tích Sách giáo khoa va bai tập2.3) Một số kết luận

CHƯƠNG 3-THỰC NGHIỆM:

Trình bày thực nghiệm kiểm chứng những giả thuyết được rút ra ở cuối Chương

II Chương này gồm có các mục:

3.1) Phần dành cho giáo viên3.1.1) Phân tích bộ câu hỏi

3.1.2) Phân tích hậu nghiệm3.2) Phần dành cho học sinh

3.2.1) Phân tích tiên nghiệm 3.2.2) Phân tích hậu nghiệm

3.3) Một số kết luậnKÉT LUẬN:

Tóm tắt những kết quả đạt được ở chương I, chương II, chương III Đề xuấthướng nghiên cứu có thé mở ra từ luận văn này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

CHƯƠNG 1

TONG HỢP MỘT SO KET QUA NGHIÊN CUU

VE ĐẠI SO VA VAI TRÒ CÔNG CU CUA ĐẠI SO DOI VỚI HÌNH HỌC

TRONG CHUONG TRINH TOAN PHO THONG

Mục đích của chươngTìm hiểu những đặc trưng cơ bản của đại số và vai trò công cụ của đại số đối với

hình học trong Chương trình Toán phổ thông nham tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1.

Do bị hạn chế về mặt thời gian nên chúng tôi không thé thực hiện một khảo sátday đủ Chương trình và SGK Toán phổ thông Vi vậy, chúng tôi chỉ giới hạn nội dungnày trong việc tổng hợp các kết quả đã có từ một số công trình nghiên cứu đã biết về

đại số cũng như mối liên hệ giữa đại số với hình học trong lĩnh vực dạy-học và tìm ví

dụ minh họa trong một số SGK, SBT hiện hành Phân tích trong chương này được xem

là cơ sở tham chiếu cho những nghiên cứu tiếp theo

1.1) Đại số và vai trò công cụ của đại số đối với hình học

1.1.1) Đại số

Đại số là gì?

Theo D Wheeler (1996), một khó khăn trong việc định nghĩa đại số là khi chúng

ta nghĩ rằng đã hiểu hết bản chất của nó thi lại xuất hiện những khía cạnh khác cần phải được tính đến: đại số là một hệ thống ký hiệu, đại số là một tính toán, đại số là một hệ thống biểu diễn [19, tr 10].

Tìm kiếm câu trả trong các từ điển toán học chúng tôi thấy những đại ý như sau:

- Từ điển Toán học Anh-Hoa-Việt: “Đại số, một ngành của toán học qua đó cácđặc tính chung của những số được nghiên cứu bằng cách dùng các ký hiệu, thường làcác mẫu tự, dé trình bày các biến và các đại lượng chưa biết” [13, tr 16]

- Từ điển Toán học Anh-Việt: “Đại số học: Một phần của toán học, nghiên cứucác hệ thống và các tính chất của số Trong số học, ta dùng các ký hiệu hay chữ đểtượng trưng cho các ân số” [16, tr 13]

Tìm kiếm trên báo chí, chúng tôi chú ý đến câu trả lời của hai tác giả Vũ KimThủy, Hoàng Trọng Hảo trong bài “Phép toán hai ngôi là gì?”, đăng trên website củabáo Hà Nội Mới số ra ngày 15 tháng 4 năm 2012:

Đại số được xem như là ngành toán học mở rộng va trừu tượng hóa của bộ môn số

học Trong đại số, các chữ số ! được dùng dé đại diện cho các số Chang hạn như trong

biểu thức a + (a+ 1) =2 x a+ I thì chữ a đại điện cho một số bat kỳ, đó là một biểu thức đại số Nó khác với biéu thức 2 + 3 = 5 thuộc về số học [25].

Còn trong SGK, liên quan đến khái niệm đại số, trang 25, SGK Toán 7 tập 2 đang lưu hành (SGK7T2) trình bày khái niệm biểu thức đại số:

Trong toán học, vật ly, ta thường gặp những biểu thức mà trong đó ngoài các

SỐ, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có các chữ (đại

diện cho các số) Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số [5, tr 25].

Mặc dù có vài điểm khác biệt trong cách trình bày, nhưng nhìn chung các tài liệutrên đều có chung nhận định: đại số dùng các ký hiệu, chữ dé tượng trưng cho các sô

Ở một phương diện khác, đại số được xem là một ngôn ngữ:

A Bell (Bell, 1996) tự hỏi các biểu thức đại số và ngôn ngữ tự nhiên khác nhau chỗ nào Ông chỉ rõ rằng các quy trình lĩnh hội, quy trình chế tạo ra ý nghĩa tương tự nhau trong hai lĩnh vực mặc dù các biểu thức đại số có khuynh hướng dày đặc hơn và ít rườm rà hơn các phát biểu của ngôn ngữ tự nhiên (Bednarz, Kieran, Lee, 1996)

máy móc và chúng được sử dụng từ các tương đương, mà không thiết lập các tương

đương này bằng cách làm việc trên chính những khái niệm, trong khi các quy tắc cú pháp hiển nhiên bắt nguồn từ kiến thức của các khái niệm này [19, tr 10].

Ví dụ về thao tác đại số, theo nhóm tác gia Pilar Bolea, Marianna Bosch,Josep Gascón (2004), “một số đối tượng đại số như phương trình, biểu thức, công

thức, và hàm số có thể được thao tác: giải quyết, đơn giản hóa, đại diện hoặc

chuyển đổi (certain algebraic objects (equations, expressions, formulas, and

' Có lẽ ở đây hai tac gia dùng từ “chữ số” dé chỉ các chữ được dùng dé tượng trưng cho số.

(2004) ({30]); giáo trình Precalculus của nhóm tac gia Franklin D Demana, Bert K.

Waits, Gregory D Foley, Daniel Kennedy (2011) ({3I]) va giáo trình Algebra 2

Practice Workbook with Examples cua McDougal Littell (2011) ({32]).

Theo luận án tiễn sỹ của tac giả Nguyễn Ai Quốc (2006):

Nam 1842, G H F Nesselman đã phân loại sự phát triển lịch sử của phong trào

ký hiệu học đại số thành ba giai đoạn:

- Giai đoạn « hùng biện » (trước Diophante, 325-410) đặc trưng bởi việc sử dụng

ngôn ngữ thông thường dé giải quyết một số dang đặc biệt bài toán, và thiếu vắng cho việc biểu thị các biến số Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài toán mà không dùng bat kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả.

- Giai đoạn «rút âm từ» (Từ Diophante đến cuối thế ky XVI) : Diophante đã đưa vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết Đại số «rút âm từ» sử dụng một

số viết tat tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà được sử dụng

thường xuyên hơn.

- Giai đoạn «đại số ký hiệu» (Từ thời kỳ Viete trở đi): các chữ cái cũng được sử dụng để chỉ các đại lượng: do đó có thể biểu thị các nghiệm «tông quát», và sử dụng đại

số như một công cụ đề chứng minh các quy tắc tính toán.

Trong việc dạy Toán, đại số đã chiếm một vị trí quan trọng nhờ các bộ nhớ ký hiệu [19, tr 11].

Như vậy, trong giai đoạn hiện nay và nhất là trong day-hoc toán, nếu xét về mặt

hình thức thì đại số là đại số ký hiệu, là ngành toán học dùng ký hiệu để tượng trưng

cho các đại lượng Ở một nghĩa hẹp, về mặt từ-ngữ, từ đại SỐ CÓ nghĩa là đại diện cho

sô đã nói lên điêu đó.

? Tạm dịch: “Tại sao việc mô hình hóa không được bao gồm trong việc giảng dạy đại số Ở trường trung học.”

Tất nhiên, sẽ là thiếu sót nếu nói đến ngôn ngữ đại số mà chỉ xét đến mặt hìnhthức Theo tác giả Nguyễn Ai Quốc (2006), “ngôn ngữ đại số không chỉ phục vụ chobiểu đạt mà còn cho cả thao tác nữa” Điều này được nhóm tác giả Pilar Bolea,Marianna Bosch, Josep Gascón (2004) nhìn nhận với yêu cầu “Đại số phải phục vụcho việc mô hình hóa hệ thống toán học Đặc biệt, nó phải cho phép chúng ta đặt ra vàgiải quyết các van dé trong các lĩnh vực toán hoc khác (số học, hình học, vv) nơi mànếu không có đại số khó có thê đặt ra và giải quyết” [30, tr.127]

Nghiên cứu đại số trong lĩnh vực dạy và học, tác giả Nguyễn Ái Quốc cho biết:

Xuất phát từ sự phân biệt tổng quát, do Régine Douady (1984) giới thiệu, về phép biện chứng giữa hai mặt công cụ/đối tượng của một khái niệm toán học, Brigitte Grugeon (1995) đưa ra một tô chức tri thức đại số sơ cấp xung quanh hai mặt chính yếu:

Mặt công cụ: đại số được xem như là một công cụ dé giải một số bài toán nảy sinh

từ các ngữ cảnh bên trong hay bên ngoài toán học.

Mặt đối tượng: đại số được xem như một tập hợp cấu trúc các đối tượng (an SỐ,

biến số, tham sé, phương trình, bắt phương trình, hàm số, ) được trang bị các tính

chat, đặc biệt là các kiểu giải quyết mang bản chất hình thức, các kiểu biểu diễn cho phép các giải quyết này (cách viết đại số, đồ thị, ký hiệu hàm só, ) [19, tr 11].

Như với mọi khái niệm toán học, người ta làm việc trên các đối tượng của đại số thông qua các hệ thống biểu đạt (Duval, 1993) như ngôn ngữ tự nhiên, đồ thị, ký hiệu Việc dạy đại số ưu tiên cho hệ thống biểu đạt bằng ký hiệu Một hệ thống được

thiết lập qua các chữ cái và các dấu hiệu biểu diễn các phép toán (+, -, x, ) và các quan hệ giữa các biểu thức dai số (=, <, ) [19, tr 12].

Tác giả nêu ra ba đối tượng quan trọng cho nghiên cứu đại số sơ cấp là “chữ”,

“biểu thức đại số” và “dau đăng thức”:

a) Chữ Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ trong đó ông

phân biệt:

- Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số,

Chữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán,

- Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn,

- Chữ chỉ ân sô đặc thù: chữ chỉ một sô chưa biệt cân tìm,

- Chữ chỉ số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá tri,

- Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong một ngữ cảnh hàm sé [ 19, tr 12].

b) Biểu thức đại số

Biểu thức đại số sử dụng các phần tử: số, chữ và dấu hiệu phép toán thuộc về số

học [19, tr 12].

Trong số học, chuỗi số và phép toán được xem như những quy trình hướng đến

việc tạo ra một câu trả lời Ngược lại, trong đại số, bản thân các ký hiệu được viết ra (biểu thức, phương trình, hàm số) đều có ý nghĩa, độc lập với các quy trình mà chúng biểu thị trong việc giải các bài toán Sự phân biệt này gan liền với các công trình nghiên

cứu của Sfard (1991) trong đó đặt ra việc phân biệt hai quan niệm chính đối với một biểu thức đại số: hoặc theo cấu trúc, như một đối tượng, hoặc theo phép toán, như một

quy trình, đồng thời nhắn mạnh rằng, trong một hoạt động toán học, người ta nối khớp hai quan niệm này theo các yêu cầu cần thiết.

Những nghiên cứu khác cho thấy rằng hoạt động cần thiết cho việc giải các bài toán đại số đặt ra cùng lúc một cấp độ cú pháp và ba cấp độ ngữ nghĩa học (Nicaud, 1994) Việc nghiên cứu ba cấp độ ngữ nghĩa học cho phép phân tích sự tiến triển nghĩa của phép tính đại số:

- cấp độ 1: phân phối giá trị cho các biến tham gia trong một biéu thức đại số,

- cap độ 2: biến đổi một biểu thức thành một biéu thức tương đương (khai triển,

phân tích thành thừa số) băng một tính toán trực tiếp,

- cấp độ 3: tổ chức các giai đoạn của một tính toán đại số nhờ một suy luận chiến

lược.

Nicaud (1993) cho rằng “chúng ta thực hiện một việc tính toán đại số thực sự khi một phần có ý nghĩa của hoạt động nằm ở cấp độ này (cấp độ thứ 3 ngữ nghĩa học) Không có cấp độ này, đại số được sử dụng như một sự ký hiệu đơn giản”.

về phía mình, Drouhard (1992) dựa trên các khái niệm nghia, sự biểu hiện, sự giải thích và sự mở rộng nghĩa vay mượn của Frege (1971) để phân tích việc xử lý các biểu thức ký hiệu của đại sô sơ cấp và các phép biến đôi hình thức trong việc viết lại Vì

thé, hai biểu thức đại số: (x+1)? và x?2+2x+1 có cùng một biểu hiện, nhưng không cùng

một nghĩa Chang hạn, biểu thức thứ nhất cho ta thấy rằng biểu thức đó luôn dương Việc xử lý một biểu thức tùy thuộc vào nghia của nó, nhưng được thực hiện bằng cách giữ được sự biểu hiện của nó [19, tr 13].

c) Dầu đẳng thức Dấu đăng thức có một vai trò kép Nó có thể hoặc chỉ một kết quả, hoặc một quan

hệ tương đương Trong số học, nó có chức năng thông báo một kết quả, trong khi trong

đại số nó diễn đạt một quan hệ tương đương, đặc biệt là trong các phương trình Như

vậy cùng một lúc có một sự liên tục và gián đoạn giữa số học và đại số [19, tr 14].

Tìm kiếm các nội dung tương tự trong các tài liệu khác, chúng tôi nhận thấy:

Trong giáo trình Algebra 2 Practice Workbook with Examples cua McDougal

Littell (2011),

Liên quan đến đối tượng “Chữ” với vai trò chỉ biến số:

Một biến là một kí tự được sử dụng để đại diện cho một hoặc nhiều số (A variable

is a letter that is used to represent one or more numbers).

Bat ky số nào được sử dụng để thay thế một biến là một giá trị của biến (Any

number used to replace a variable is a value of the variable) [32, tr 4].

Liên quan đến đối tượng biểu thức dai số:

Một biểu thức đại số là một biểu thức có biến (An algebraic expression is an

expression involving variables).

Khi các biến trong một biểu thức đại số được thay thé bằng những con sé, kết qua

đó được gọi là giá trị của biéu thức (When the variables in an algebraic expression are

replaced by numbers, the result is called the value of the expression).

Các “hạng tử” là những phần được cộng vảo trong một biểu thức, chăng hạn như

5 và -x trong biéu thức 5-x (Terms are the parts that are added in an expression, such

as 5 and —x in the expression).

“Hệ số” là số được nhân với một biến trong một hạng tử (A coefficient is the

number multiplied by a variable in a term).

Hai biểu thức dai số là “tương đương” nếu chúng có cùng giá tri cho tat cả các giá trị của biến của chúng (Two algebraic expressions are equivalent if they have the same

value for all values of their variable(s)) (32, tr.4].

Liên quan đến đối tượng “dấu dang thức”, Algebra 2 Practice Workbook withExamples trình bày khái niệm “phương trình”:

Một phương trình là một trình bày mà trong đó hai biểu thức băng nhau (An

equation is a statement in which two expressions are equal) [32, tr.7].

Ngoài ra, giáo trình nay cũng trình bay một số khái niệm khác liên hệ với biểuthức đại số như:

- “Các hạng tử đồng dạng”:

Các hang tử đồng dang là các biéu thức có phần biến giống nhau Các hằng số như

2 và -4 cũng là các hạng tử đồng dang (Like terms are expressions that have the same

variable part Constant terms such as 2 and -4 are also like terms) [32, tr.4].

- “Lũy thừa”, “Cơ số” và “Số mũ”:

Các cơ số của một số mũ là số hoặc biến được sử dụng như một thừa 36 trong

phép nhân lặp di lặp lại Ví du, trong biểu thức 4", 4 là cơ số (The base of an exponent is

the number or variable that is used as a factor in repeated multiplication For example,

in the expression 4", 4 is the base) [32, tr 4].

Một số mũ là số hoặc biến đại diện cho số lần cơ số được sử dụng như một thừa

số Ví dụ, trong biểu thức 4", n là số mũ (An exponent is the number or variable that

represents the number of times the base is used as a factor For example, in the

expression is the exponent) (32, tr 4].

Một lũy thừa là kết qua của phép nhân lặp di lặp lại Vi du, trong biéu thức 4°=16,

16 là lũy thừa bậc hai của 4 (A power is the result of repeated multiplication For

example, in the expression 4’=16, 16 is the second power of 4) [32, tr 4].

Trong cac van đề về chữ chi biến số, biéu thức dai số, dau đăng thức ké trên, cóthể nói Algebra 2 Practice Workbook with Examples đã cụ thé hóa, chi tiết hóa nộidung tương ứng mà tác giả Nguyễn Ái Quốc đã trình bày

Còn trong giáo trình Precalculus của các tác giả Franklin D Demana, Bert K.Waits, Gregory D Foley, Daniel Kennedy (2011), chúng tôi đặc biệt quan tâm đến vấn

đề “Những thuộc tính co bản của Đại số (Basic Properties of Algebra)’ Theo giáotrình này,

“Đại số” liên quan đến việc sử dụng các chữ cái và các ký hiệu khác để đại diện

cho các số thực (Algebra involves the use of letters and other symbols to represent real

numbers).

“Biến” là một ki tự hoặc biểu tượng (ví du, x, y, t, 9) đại diện cho một số thực

không xác định (4 variable is a letter or symbol (for example, x, y, t, 0) that represents

an unspecified real number).

“Hằng” là một kí tự hoặc biểu tượng (ví dụ, -2, 0, V3, 70 đại diện cho một số thực

cụ thể (A constant is a letter or symbol (for example,2, 0, V3, 7) that repre-sents a

specific real number).

“Biểu thức dai số” là một su kết hop của các biến và hằng số liên quan đến các

phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa va căn thức (An algebraic expression is a combination of variables and constants involving addition, subtraction, multiplication,

division, powers, and roots) [31, tr 5].

Ở day, ngoai việc khang định thuộc tính cơ ban của dai số là “sử dụng các chữ

cái và các ký hiệu khác dé đại diện cho các số thực”, các vấn dé về biến, biểu thức đại

số, theo chúng tôi, được Precalculus trình bày không khác gì hai tài liệu trước Riêngviệc giáo trình này cho răng đại số liên quan đến việc sử dụng các chữ cái và các kýhiệu khác dé đại diện cho các số thực mà không đề cập đến việc dùng chữ cái và các

ký hiệu khác đại điện cho các số phức có lẽ là do trong chương trình của giáo trìnhnày, tại thời điểm xuất hiện nội dung trên chưa có khái nệm sé phic

Tim kiếm nội dung tương tự trong các giáo trình toán của Việt Nam hiện hành, chúng tôi nhận thấy:

Về biéu thức đại số, như đã nói ở trên, SGK Toán 7 tập 2 trình bày:

Trong toán học, vật lý, ta thường gặp những biéu thức mà trong đó ngoài các

SỐ, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có các chữ (đại diện cho các số) Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số.

2 đã trình bày một cách khái quát 4 vai trò quan trọng trong 6 vai trò của chữ mà tác

giả Nguyễn Ai Quốc đã nói đến đó là “Chit được gan giá trị”, “Chữ chỉ ấn số đặc thù”,

“Chữ chỉ số được khái quát hóa” và “Chữ chỉ biến số”

Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy:

Khái niệm phương trình trong SGK Đại số 10 (cơ bản):

Phương trình một ấn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x)=g(x) (1) trong đó f(x)

Khi x=2, y=3 thì hai vé của phương trình (2) bằng nhau, ta nói cặp số (x;y)=(2;3)

là một nghiệm của phương trình (2).

Tương tự bộ ba số (x;y;z)=(-1;1;2) là một nghiệm của phương trình (3) [12,tr.54].

Tương tự như SGK Đại số 10, SGK Đại số 10 nâng cao cũng trình bày khái

niệm phương trình gồm hai nội dung là “phương trình một ân” và “phương trình nhiều

ân” đồng thời bé sung khái niệm “tập xác định của phương trình”:

Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có tập xác định lần lượt là Dy và Dg.

Đặt D=D:¬D¿.

Mệnh đề chứa biến “f(x)=g(x)” được gọi là phương trình một an; x goi la ấn số

(hay an) và D gọi là tập xác định của phương trình.

Hoạt động Sản sinh:

Hoạt động này bao gồm việc hình thành các biểu thức và phương trình là những

đối tượng của đại số Tác giả đưa ra ba ví dụ đặc trưng sau của hoạt động Sản sinh:

- Phương trình một ân mô hình hóa một bài toán tình huống.

- Biểu thức khái quát hóa một quan hệ giữa các phần tử hình học hay dãy số.

- Biểu thức chứng minh các tinh chất số học.

Hoạt động Biến đổi:

Hoạt động này tập trung chủ yếu việc thay đổi dạng của một biểu thức hay một phương trình và luôn bảo đảm sự tương đương Tác giả nêu lên một số nghiên cứu về

dạng hoạt động này (chang hạn Cerulli & Mariotti, 2001 : Lagrange 2000).

Hoạt động Toàn thé/ cap độ Meta:

Trong hoạt động nay, dai số được sử dụng như một công cụ Hoạt động này bao

gồm hoạt động giải bài toán, mô hình hóa cấu trúc, nghiên cứu sự thay đồi, chứng minh,

tiên đoán mà không cần đến đại số Thực tế, theo quan điểm chương trình, các hoạt

động Toàn thé/cap độ Meta không thé tách rời với các hoạt động khác, đặc biệt là hoạt

động Sản sinh, nếu không thì sẽ làm mất đi mục tiêu của đại số [19, tr 14].

Như vậy, đại số được sử dụng như một công cụ trong Hoạt động Toàn thé/cap độMeta không tách rời với các hoạt động Khái quát (Sản sinh) và Biến đổi Do đó, trongcác phân tiép theo của luận văn này, đê nghiên cứu vai trò công cụ của đại sô trong

HHKG11, tất nhiên chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu sự hiện diện của các hoạt động

này.

Về sử dụng đại số như một công cụ, đặc biệt là trong van đề mô hình hóa, theo

nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch, Josep Gascón (2004),

Bén canh quan điểm về đại số như một số học tong quát, chúng ta cũng có thể xem hoạt động đại số cơ bản như một công cụ mô hình hóa toán học (theo nghĩa của

Chevallard 1985, 1989, 1990) Trong trường hợp này, đại sỐ không được coi là một nội

dung của riêng mình, nhưng như một công cụ cho việc mô hình hóa các hệ thống toán

học mà chúng ta gọi (Bolea et al 1998) là quá trình đại số của các tổ chức toán học

(Beside the point of view of algebra as a generalised arithmetic, we can also see

algebraic activity as essentially a mathematical modelling tool (in the sense of Chevallard 1985, 1989, 1990) In this case, algebra is not considered as a content of its own, but as a tool for modelling mathematical systems, what we called (Bolea et al.

1998) the algebraisation process of mathematical organisations.) [30, tr 127].

Còn theo nhóm tac gia Franklin D Demana, Bert K Waits, Gregory D Foley,

Daniel Kennedy (2011), trong gido trinh Precalculus,

Trong lich su, dai số đã được sử dụng để tái hiện các vấn đề với các biểu tượng

(mô hình đại số) và giải quyết chúng bằng cách giảm các giải pháp nhờ vào thao tác đại số đối với các biểu tượng (Historically, algebra was used to represent problems

with symbols (algebraic models) and solve them by reducing the solution to algebraic

ta không cần thoát ly khỏi phạm vi hình học mà vẫn tận dụng được các công cụ, kỹthuật của đại số” [2, tr.38] Do vậy, trong phạm vi luận văn này, chúng tôi cũng xemvectơ thuộc phạm vi hình hoc và do đó những công cụ toán học có hàm chứa vectơ

cũng không được xem là công cụ đại số

1.1.2) Vai trò công cụ của đại số đối với hình học

Trong nội dung này, chúng tôi thực hiện việc nghiên cứu vai trò công cụ của đại

số đối với hình học gan với van đề về mối liên hệ giữa đại số và hình học Vì theochúng tôi, nếu nghiên cứu vai trò công cụ của đại số đối với hình học mà không quantâm đến mối liên hệ phổ biến trên, về mặt triết học và phương pháp luận, đó là mộtnghiên cứu phiến diện, không nhìn thấy hết các khía cạnh của van dé

Các tài liệu mà chúng tôi chọn nghiên cứu cho nội dung này bao gồm:

1/ Lê Thị Hoài Châu (2008), Phương pháp dạy-học hình học ở trường THPT,

Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh ([2]);

2/ Nguyễn Minh Phong (2012), Mới liên hệ giữa Hình học tổng hợp và Hình học

giải tích trong dạy học Hình học lớp 12 ở Việt Nam, luận văn thạc sĩ trường Đại học

sư phạm TP.HCM ({17]):

3/ Nguyễn Vũ Hoang Trâm (2012), Nghiên cứu didactic về công cụ vecto tronghình học không gian lớp 11, luận văn thạc sĩ trường Đại học sư phạm TP.HCM.([27]);

6/ Lê Thị Thanh Tuyền (2012), Quan hệ giữa hình học và giải tích trong dạy học

số phức ở lớp 12, luận văn thạc sĩ trường Dai hoc sư phạm TP.HCM ({29))

1.1.2.1) Những kết quả nghiên cứu tri thức luận

Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu (2008), “Trong lich sử, quan hệ giữa đại SỐ, giải

tích và hình học tiến triển theo một tiến trình mà hình học giải tích giữ vai trò cực kỳ

quan trọng: sự ra đời của nó làm đảo ngược tình thế” [2, tr.29]

Chúng ta đều biết, HHGT là môn hình học mà trong đó người ta giải các bài toánhình học bằng công cụ đại số Điều này hoàn toàn trái ngược với những gi xảy ra tronghoạt động nghiên cứu toán học trước khi HHGT ra doi, thời gian đó, người ta “giải cácbài toán đại số băng hình học” [2, tr.29]

Vi dụ, dé chứng minh dang thức (a+b)”= a”+2ab+bˆ người ta vẽ 3 hình vuông cócạnh lần lượt là a, b, a+b và 2 hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt là a, bnhư “Hình 1.1”.

mu

Hình 1.1 Dùng hình học chứng minh biểu thức đại số

Khi đó, diện tích hình vuông lớn là (a+b) va, tinh theo diện tích các hình vuôngnhỏ, là a’+2ab+b’, từ đó suy ra (a+b)”= a”+2ab+b”

Tuy nhiên, cách làm trên chỉ thực hiện được khi a, b là các sỐ dương

Một ví dụ khác đó là giải các phương trình đạng ax = b bằng hình học:

Dùng phương pháp tỷ lệ, người Hy-Lạp dựng được một đoạn thăng x thỏa mãn hệ

thức a:b =c:x, trong đó a, b, c là các đoạn thắng cho trước (Hình 1.2).

a

Hinh 1.2 Giai phuong trinh bang hinh hoc

Néu lay c la doan thang đơn vi thi ta được x là nghiệm cua ax = b [2, tr 31].

Tuy nhiên, như nhận định của tác gia Lê Thi Hoài Châu mà chúng tôi đã trích

dẫn ở trên,

Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải xét đến các bài toán có liên quan đến các đường cong, mặt cong phức tạp Chính ở đây mà phương pháp tổng hợp bộc lộ những hạn chế của mình Nó khiến các nhà hình học mong muốn tìm kiếm một phương pháp tổng quát không lệ thuộc vào hình vẽ [ 3, tr 34].

Hoàn cảnh trên đã thúc day sự ra đời của HHGT

Nghiên cứu về sự hình thành HHGT trong lịch sử giai đoạn từ thế kỷ 17 đến thế

kỷ 18 thé hiện qua các công trình nghiên cứu, phát minh của Rene Descartes

(1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), tác giả Nguyễn Minh Phong (2012) có nhận xét:

- Việc chuyển đổi các khái niệm hình học và quan hệ hình học trong HHTH thành

các phương trình đại SỐ, các quan hệ đại số nhằm mục tiêu giải quyết bài toán hình học

một cách gọn gàng, tông quát hơn, giúp giải quyết một số bài toán khó của hình học Mặc dù mục tiêu của giai đoạn này là dùng phương pháp HHGT để giải toán HHTH, tuy nhiên vì HHGT giai đoạn này chưa có các khái niệm riêng của nó nên kiến thức HHTH thường xuyên được vận dung dé giải quyết bài toán HHGT.

- Mặc dù Descartes đã ý thức chuyền các bai toán hình học sang các phương trình đại số và Fermat đã chứng minh sự “tương ứng 1-1” giữa đường thang và phương trình của nó và lập được phương trình nhiều đường cong, tuy nhiên việc dùng chính phương

trình để định nghĩa các đường cong vẫn chưa thấy được đặt ra Các khái niệm hình học

của HHGT lúc này đa số đồng nhất với các khái niệm tương ứng của HHTH.

- Các quan hệ hình học trong HHGT giai đoạn này đã có bước chuyền dài sang phạm vi đại số: Descartes đã đặt tương ứng các phép dựng hình học với các phép toán

đại số và giải một bài toán hình học hoàn toàn dựa trên phép toán trên các đối tượng đại

số này Nhờ sự tiện lợi và tính tong quát của lời giải một bài toán hình học bang công cụ

đại số mà Descartes đã vui mừng tuyên bố: ông ấy đã giải được mọi bài toán hình học! [17 tr 15].

Cũng theo tác giả Nguyễn Minh Phong (2012), những thành tựu đem lại cho

HHGT từ những phát minh sau Descartes và Fermat là:

Các khái niệm hình học trong HHGT đã có một bước tiến mạnh mẽ: dùng chính phương trình để định nghĩa các khái niệm hình học Các tính chất của các khái niệm hình học có thé suy ra từ phương trình của chúng, do vậy việc vận dụng tính chất của HHTH để giải toán HHGT không còn là yêu cầu bắt buộc nữa Các quan hệ hình học trong HHGT là các quan hệ đại số Và cũng từ đây, các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của HHGT dần mang một vỏ bọc đại số đơn giản và dễ sử dụng, hầu như tách

biệt với chính khái niệm hình học, quan hệ hình học đó trong HHTH Sự tiễn triển này

tạo thuận lợi cho việc sử dụng công cụ đại số dé nghiên cứu hình học Do đó, xu hướng đại số hóa hình học trở thành một xu hướng chiếm ưu thế hoàn toàn so với xu hướng

nghiên cứu hình học trước đây [ 17, tr 16].

Tac giả Lê Thị Hoài Châu (2008) nhận định:

Xét về phương diện khoa học luận thì xem Hình học giải tích là sự sử dụng đại số

vào nghiên cứu hình học, hay dùng hình học để giải thích đại số đều được cả Tuy nhiên, Descartes và Fermat thiên về cách nhìn thứ nhất, vì, theo họ, phương pháp đại số hiệu quả hơn, tổng quát hơn phương pháp hình học, và mang lại khả năng giải mọi bài toán hình học [2, tr 35].

Như một tiếp nối nhận định của tác giả Lê Thị Hoài Châu, tác giả Nguyễn MinhPhong (2012) đưa ra nhận xét bô sung:

Ngoài ra, chúng ta còn nhận thấy rằng: với việc sử dụng các phương trình dai số,

các quan hệ dai số thì việc giải quyết một bài toán hình học trở nên dé dàng và thuận lợi

hơn Tuy vậy nó cũng bộc lộ một nhược điểm là: lời giải một bải toán hình học bằng phương pháp đại số hầu như tách rời khỏi bài toán hình học đó, chỉ còn lại một bài giải thuần túy đại số Từ đây mối liên hệ giữa HHTH và HHGT mờ nhạt tới mức khó nhận thấy mối liên hệ này [ 17, tr 17].

Ý kiến trên cũng được tác giả Lê Thị Hoài Châu thừa nhận khi nhận định vềnhững thay đổi của toán học ké từ khi HHGT ra đời: “nếu như trước kia người ta phảinhờ đến hình học dé tìm nghĩa cho các bài toán đại số thì giờ đây đại số được đánh giá

như một ngành toán học độc lập thậm chí còn được ưu tiên hơn so với hình học” [2,tr.35], “phương pháp giải tích lấn át phương pháp tổng hợp trong nghiên cứu hìnhhọc” [2, tr.39].

Những gi diễn ra làm cho chúng ta nghĩ đến một dấu chấm hết cho HHTH Thếnhưng, không phải vậy, Hình học vectơ (HHVT) đã làm thay đổi cách nhìn đó

Nói về sự khác nhau về vai trò của đại số trong HHGT và trong HHVT, tác giả

Lê Thị Hoài Châu có một nhận xét mà từ đó chúng tôi nhận ra một vấn đề khá thú vị:

Trong hình học giải tích, tác động của đại số đến hình học phải được thực hiện bằng việc chuyên bài toán hình học thành bài toán đại số thông qua trung gian là hệ trục tọa độ Với j huyết vectơ thì khác, người ta không cần thoát ly khỏi phạm vi hình học

mà vẫn tận dụng được các công cụ, kỹ thuật của đại số Nói cách khác, hình học vectơ cho phép “du nhập” các kỹ thuật của đại số vào hình học [2, tr.38].

Vấn đề thú vị mà chúng tôi muốn đề cập đến đó là HHVT với vai trò cho phép

du nhập các kỹ thuật của đại số vào hình học Hay, nói cách khác, HHVT đóng vai trò

là cầu nối giữa đại số và hình học

Việc nghiên cứu vecto góp phan mở rộng nhăn quan toán học cho hoc sinh Chang hạn như học sinh làm quen với các phép toán trên những đối tượng không phải là

số, nhưng lại có tính chất tương tự Điều đó giúp học sinh nhận thấy tính thống nhất của toán học Họ có được một mô hình về các cấu trúc đại số (nhóm, không gian vecto, )

sẽ gặp sau này Họ không chỉ biết một phương pháp cho phép đại số hóa hình học mà còn học được một phương pháp hình học hóa đại số Ví dụ, để chứng minh

(X1Y1+X2V2+X3Y3) < (x | +X2+X3)".(yityo+y3) ta có thé sử dụng bắt đẳng thức vectơ

|ä.b|=läI.|b| với ẩ=(xị; X23 x3), b=(y¡: y2; ys) [2, tr 117-118]

Đặc biệt, vai trò cầu nối giữa hình học với đại số của vectơ thé hiện trong lĩnhvực số phức đã giúp giải quyết được khó khăn nảy sinh từ tại môn đại số Điều này

được chúng tôi tìm thay trong luận van thạc sĩ “Quan hệ giữa hình hoc va Giải tích

trong dạy học số phức ở lớp 12” của tác giả Lê Thị Thanh Tuyền (2012) Theo tác giả,

Số phức ra đời trong phạm vi đại số nhằm tìm nghiệm của phương trình bậc ba Trong một khoảng thời gian dài số phức chỉ đóng vai trò là công cụ và được xem là số

ảo, số tưởng tượng Trong quá trình đi tìm sự hợp thức cho đối tượng này, các nhà toán

học đã xem xét chúng trong những phạm vi khác nhau, có khi là hình học có khi là đại

số Chính sự thay đổi đó đã đem lại kết quả to lớn, không chỉ cung cấp “nghĩa” cho khái

niệm số phức mà còn góp phần làm nảy sinh các đối tượng toán học mới như vectơ,

quaternionsẺ.

Về phương diện đại số, tuy các phép toán trên số phức được quy về tính toán trên

những số thực nhưng phép nhân hai số phức lại ân chứa một vẻ huyền bí khó hiểu và do

đó chúng cần đến sự giải thích trong phạm vi hình học [29, tr 13].

Như vậy, qua ý kiến của tác giả Lê Thị Thanh Tuyền, hình học một lần nữa lại

được cần đến trong vai trò minh họa cho một khái niệm đại số đó là số phức Hay, nhưcách nói của tác giả, hình học đóng vai trò cung cấp “nghĩa” cho khái niệm số phức

Từ các kết quả nghiên cứu tri thức luận nói trên, chúng tôi có thé nói, công cụ đại

số được đưa vào hình học thông qua hai “con đường” chủ yếu đó là HHGT và HHVT.Ngoài hai con đường này, việc vận dụng công cụ đại số vào hình học gặp rất nhiều khókhăn.

1.1.2.2) Những kết quả nghiên cứu thé chế

Y tuong về việc sử dụng hình học như một công cụ để nghiên cứu đại số cũngđược thê hiện trong Chương trình Toán phố thông Chúng tôi tìm thấy ý tưởng đó ởngay những trang đầu tiên của giáo trình đầu tiên trong Chương trình Toán THCS, nơi

mà bắt đầu có sự xuất hiện của đại số Vi dụ, ở trang 5, bài “§1 Tập hop Phần tử củatập hợp”, SGK Toán 6 tập 1 (SGK6T1) đã sử dụng các biểu tượng hình học như các

“vòng kín” và các “dấu chấm” dé minh họa cho tập hợp và các phần tử của tập hợp(Hình 1.3):

Người ta còn minh hoa tập hợp bằng một vòng kín như ở hình 2, trong đó

mỗi phần tử của tập hợp được biểu diễn bởi một dấu chấm bên trong vòng kín đó.

Hinh 2

Hình 1.3 Hình chụp ở trang 5, SGK Toán 6 tập 1

Hay như bài tập 4 ở trang 6 (Hình 1.4):

3 Quaternion được định nghĩa như là một số phức có ba thành phan ảo: q= w + xi + yj + zk.

Hinh 3 Hinh 4 Hinh 5

Hình 1.4 Hình chụp ở trang 4, SGK Toán 6 tap 1

emda

Chúng ta đều biết, một công cụ hình học khá quan trong dùng dé nghiên cứu dai

số ở trường phô thông đó là đồ thị hàm số Ở trường phổ thông, theo tác giả Trinh DuyTrọng (2009), “hàm số đã trở thành một nội dung xuyên suốt chương trình” [28, tr.17] Hay như tác giả Nguyễn Bá Kim (2006), “Hàm số là một trường hợp đặc biệt củakhái niệm hàm- một trong những khái niệm cơ bản của toán hoc; nó giữ vi trí trung

tâm trong chương trình môn toán ở trường phổ thông Toàn bộ việc dạy học toán ở

trường phổ thông đều xoay quanh khái niệm hàm số” [28, tr.19]

Bắt đầu từ lớp 7, SGK đã thực hiện việc chuyền đôi các quan hệ hình học sangquan hệ đại SỐ, trong đó xuất hiện hai khái niệm quan trọng là khái niệm đồ thị hàm số

và điểm thuộc đồ thị hàm số Mục đích của việc chuyển đôi này, tất nhiên là để dùng

đồ thị hàm số nghiên cứu một số vấn đề trong đại số Ví dụ, để khẳng định hệ phương

trình pon vô nghiệm, trang 10, SGK Todn 9 tập 2 hiện hành (SGK9T2) trình

bày sự khang định này bang cách dựa vào quan hệ song song giữa hai đường thang(Hình 1.5) Theo “Hình 1.5”, chúng tôi thấy, ở đây vị trí tương đối của hai đườngthắng là một quan hệ hình học đã được chuyền sang quan hệ đại sé: xét sự bang nhau,khác nhau của các hệ số của hàm số bậc nhất Sau đó, từ quan hệ hình học (hai đườngthăng song song), SGK9T2 đã quay lại kết luận về số nghiệm của hệ phương trình đãcho (hệ đã cho vô nghiệm) Ở đây ta còn thấy có sự chuyên đổi qua lại về vai trò công

cụ giữa đại số và hình học Đầu tiên, SGK9T2 hình học hóa đại số bằng cách biểu diễnhai đường thăng (d;), (d>) lần lượt là đồ thị của hai hàm số lấy ra từ hệ phương trình

đã cho Tiếp đó, đại số được dùng làm công cụ để nhận biết hai đường thắng song

song (băng cách dựa vào các hệ sô của các hàm sô).

Tương tự, tập nghiệm của phương trình

thứ hai được biểu diễn bởi đường thẳng

3 3

Hai đường thẳng (dị) và (dạ) có tung độ

gốc khác nhau và có cùng hệ số góc

bằng ; nên song song với nhau (h 5).

Chúng không có điểm chung Điều đó

chứng tỏ hệ đã cho vô nghiêm.

Hình 1.5 Hình chụp ở trang 10, SGK Toán 9 tập 2

Sau cùng, khái niệm hai đường thăng song song của hình học đã được dùng dé

khẳng định hệ đã cho vô nghiệm (vi (d¡), (d;) không có điểm chung).

Tuy nhiên, do những tiện lợi của việc vận dụng công cụ đại sé trong nghiên cứuhình học được rút ra từ lịch sử Toán học, xu hướng chính của chương trình Toán phôthông là xu hướng đại số hóa hình học thông qua HHGT

Về quá trình đại số hóa hình học trong HHGT ở Chương trình Toán phô thông,tác giả Nguyễn Minh Phong (2012) cho biết:

- Trong giai đoạn chuẩn bị (từ lớp 7 đến lớp 9), mối quan hệ giữa đồ thị và biểu thức giải tích của hàm số tương ứng chỉ được trình bày tường minh một chiều: một hàm

số ứng với một đồ thị của nó Do đó chưa có những tên gọi như phương trình đường thắng, phương trình parabol Việc sử dụng các biểu thức giải tích để nghiên cứu các tính chat của đường cong cũng chưa được đặt ra nhưng việc sứ dung hình vẽ dé chứng mình một số quan hệ đại số cũng đã xuất hiện cho thấy khả năng vận dụng các tính chất

của HHTH vào việc giải toán HHGT Chiều ngược lại, tức là sự tương ứng của một đồ

thị với một hàm số, mặc dù không trình bày tường minh, nhưng học sinh có thể nắm được sự liên hệ nay thông qua các bài tập Một số quan hệ hình học như quan hệ thuộc, quan hệ song song, cắt nhau, trùng nhau của hai đường thăng đã chuyền sang phạm vi đại số nhằm tạo cơ sở để đưa ra những minh họa hình học cho các đối tượng đại SỐ.

- Trong giai đoạn tường minh, đặc biệt là trong chương trình hình học nâng cao

12, đã có sự chứng minh rõ ràng về sự tương ứng 1-1 giữa một đường cong và phương trình của nó Các quan hệ hình học cũng được chuyền hắn sang phạm vi dai số dựa trên việc minh họa hình học và việc sử dụng ngầm an các tính chất của các đối tượng, các quan hệ hình học của HHTH Quan điểm của thể chế trong việc tiếp cận các khái niệm, các quan hệ của hình học giải tích tương dong với giai đoạn ba" của sự phát triển hình

Trong lịch sử Toán học, để thiết lập sự cân bang giữ hai xu hướng dai số hóa

hình học và hình học hóa đại số, HHVT đã xuất hiện như là cầu nối giữa hình học và

đại số còn trong hình học của chương trình Toán phổ thông thì sao?

Một tài liệu nghiên cứu khá chỉ tiết vấn đề này là luận văn thạc sĩ “Nghiên cứudidactic về công cụ vectơ trong hình học không gian lớp 11” của tác giả Nguyễn VũHoàng Trâm (2012) Trong tài liệu này, tác giả đã thực hiện các hoạt động nghiên cứu

- Rút ra độ lệch giữa ý định của tác giả trong SGV với tri thức cần dạy trongSGK, đặc biệt là giữa vai trò công cụ có thể có và vai trò công cụ được ưu tiên trongSGK;

Những nghiên cứu của tác giả Nguyễn Vũ Hoàng Trâm trong luận văn trên đã

* Giai đoạn “Những phát minh sau Descartes và Fermat”

> Logos: từ Hy Lap có nghĩa là lý lẽ, lập luận [27, tr 4].

® Praxis: từ Hy Lạp có nghĩa là thực hành [27, tr 4].

giúp chúng tôi có một góc nhìn khá toàn diện về những biểu hiện của vectơ trongchương trình toán THPT Cụ thé:

- Về Chương trình:

Trong chương trình hiện hành, vectơ được giảng dạy ở lớp 10 (vectơ trong mặt

phăng) và lớp 11 (vecto trong không gian) [27, tr 3].

Vectơ 7 được đưa vào với tư cách là đối tượng lẫn công cụ Là một đối tượng, khái

niệm vectơ được định nghĩa và hình thành những tính chất mà chương trình quy định.

Là một công cụ, vectơ được sử dụng để chứng minh một số tính chất khác hoặc để giải

bài tập Khi tham gia vào việc xây dựng một định nghĩa hoặc chứng minh một tính chất

toán học, vectơ có mặt trong khối logos [Ø, ©] va trở thành yếu tố công nghệ (hoặc yếu

tố công nghệ-lý thuyết) Khi được huy động để giải bài tập, vectơ có mặt trong khối praxis [T, t] và trở thành kỹ thuật (hoặc một phần của kỹ thuật) [27, tr 7].

Vai trò công cụ của vectơ được các tác giả sách Hình học 11 nâng cao xác định rõ

ràng: vectơ được đưa vào đề phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian Sách giáo viên còn giải thích ưu thế của công cụ vectơ so với các công cụ khác:

Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn gàng hơn Mặt khác, các kiến thức về

vectơ trong không gian còn dùng dé xây dựng khái niệm tọa độ trong chương trình Hình

học lớp 12, một công cụ hữu ích dé giải nhiều bài toán Hình học [27, tr.8].

- Về SGK, cụ thé là SGK Hình học 11 nâng cao:

Trong SGK có những bài tập cho thấy “ngoài quan hệ vuông góc trong khônggian, vectơ còn có thể can thiệp hiệu quả vào các quan hệ khác” [27, tr 3] Ví dụ, BT

5, trang 91, SGK Hình học 11 nâng cao:

Trong không gian cho tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x, y, z mà x+y+z=l sao cho OM =x.OA +y.OB +2z.OC với mọi điểm O.

b) Ngược lại, néu có một điểm O trong không gian sao cho:

OM =x OA +y OB +z OC, trong đó x + y +z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC)

[21, tr 91].

Thuật ngữ vectơ ở đây được hiểu là vectơ hình học chứ không phải vectơ tổng quát trong không gian vectơ trên

trường K [27, tr 7].

Bài tập này đưa ra một điều kiện cần và đủ để bốn điểm đồng phẳng phát biểu

băng ngôn ngữ vectơ.

Dưới đây là một số ví dụ về những biểu hiện đáng chú ý của vectơ trong

HHKG11 được dẫn chứng trong luận văn trên:

Vectơ tham gia vào việc chứng minh định lý về điều kiện đủ để đường thắngvuông góc với mặt phang Đây là một định ly cơ bản của quan hệ vuông góc nói chung

và là định lý thường được sử dụng nhất khi chứng minh đường thắng vuông góc vớimặt phang:

Định lý về điều kiện đủ dé đường thang vuông góc với mặt phăng: Nếu đường thắng d vuông góc với hai đường thắng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phăng (P) thì đường thăng d vuông góc với mặt phang (P) (Sách Hinh học 11 nâng cao, trang 97)

Chứng minh (theo sách Hình học 11 nâng cao, trang 96)

d tà sa x oy l ¬ + „

Gia sử a, b, d lân lượt có các vecto chỉ phương m, n, u Do đó

Lys | / m, n không cùng phương Gọi c là đường thang bat kỳ nằm

Vậy, đường thăng d vuông góc với đường thang c bat ki nằm trong mặt phẳng (P),

nghĩa là đường thang đ vuông góc với mặt phang (P) [27, tr 10].

Ở đây, kỹ thuật mà lời giải bài toán này dùng chủ yếu dựa vào các phép toáncộng, phép toán nhân của vectơ và tính chất của chúng tương tự như các phép toántrong đại số Đồng thời, các yếu tố của HHTH như hình vẽ, khái niệm đường thắngnam trong mặt phang, quan hệ vuông goc, vẫn được sử dụng trong lập luận củachứng minh này.

Một ví dụ khác, BT 6, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91:

Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC

sao cho SA = a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC”, trong đó a, b, c là các số thay đôi Chứng

minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) di qua trong tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a+b+c=3|2I, tr 91].

Lời giải mong đợi (của Sách giáo viên Hình học I1 nâng cao, trang 90)

Vi A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = a.SA’, SB=b.SB’,

SC =c.SC nên SA + SB + SC =aSA' +bSB' +cSC' Goi G là trọng tâm của tam

giác ABC thì sơ=: (34+ 5B +§C ) Vậy SG =4 SA's ® B+ SC’ Mp(A'B'C)

di qua G khi va chi khi bốn điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo bai tập 5 nêu trênŠ,

điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu “45 +1 tức là a+b+c=3 [27,tr.14].

Mặc dù trong lời giải mong đợi, yếu tố hình vẽ không được sử dụng, nhưng để

việc chứng minh được chặt chẽ, ngoài thực hiện việc tính toán, lời giải trên đã phải

vận dụng đến khái niệm mặt phẳng, vấn đề xác định một mặt phẳng, điểm thuộc mặt

phẳng khi lập luận “Mp(A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi bốn điểm G, A’, B’, C’ đồng

phăng”.

Ngoài ra, HHTH còn hiện diện trong các bai toán này thông qua ký hiệu vecto

với ý nghĩa là đoạn thăng được định hướng.

Như vậy, những dẫn chứng tiêu biểu trên, đã phần nào cho thấy vai trò củaHHVT trong việc kết nối giữa hình học với đại số trong Chương trình Toán phổ thông.Vai trò này cũng được thé hiện trong lĩnh vực số phức Theo tác giả Lê Thị ThanhTuyên (2012),

Mục đích đưa số phức vào chương trình hiện hành là nhằm hoản thiện hệ thống các tập hợp số cho học sinh phổ thông Với mục dich này thì những yêu cầu mà chương trình đặt ra đối với việc dạy học số phức khá nhẹ nhàng

Bên cạnh đó, chương trình đặc biệt nhắn mạnh về biểu diễn hình học của số phức:

Cần chú ý đến việc biểu diễn hình học số phức, đến ý nghĩa hình học của các khái

niệm liên quan đến các phép toán về số phức (số phức đối, số phức liên hợp, môđun của số phức, nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác) Điều đó giúp học sinh hiểu rõ ràng hơn về tập hợp số phức va nắm chắc chắn các khái niệm liên quan Nó còn giúp học sinh thấy được mối liên quan giữa số phức với vectơ, hình học phăng, lượng giác [29, tr 36].

Từ việc phân tích SGK Toán phổ thông (SGK Giải tích 12 nâng cao), tác giả

nhận định:

8 66

Bài Tập 5”, trang 91, SGK Hình học 11 nâng cao.

Qua việc biểu diễn hình học số phức bởi một điểm trên mặt phăng tọa độ, [V]” đã

hình thành ở học sinh hình ảnh trực quan về số phức, số phức đối và số phức liên hợp

vốn được định nghĩa hình thức bởi những biểu thức đại sé.

Ý nghĩa hình học của phép cộng và trừ hai số phức được trình bày tường minh thông qua các phép toán về vectơ.

“Trong mặt phang phức, ta đã coi điểm M có tọa độ (a, b) biểu diễn số phức z=a+bi Ta cũng coi mỗi vectơ „ có tọa độ (a, b) biểu diễn số phức z = a + bi Khi đó ta nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vectơ OM biểu diễn số phức đó Dễ thấy rằng, nếu ;;,„' theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ thì

+u` biểu diễn số phức z + 2”

„—u`' biéu diễn số phức z — z’.” ([V], trang 184).

[V] đã cung cấp một cách biéu diễn khác cho số phức là biểu diễn đưới dạng vectơ.

Cơ sở của việc biểu diễn này, như đã trình bày, là sự tương ứng giữa các đối tượng

z=a+ib <> (a,b) <> M(a,b) < OM(a,b) [29, tr 38].

Sau khi định nghĩa khái niệm argumen, [V] thực hiện việc chuyên dang đại số

z=a + bi (a, b e) sang dạng lượng giác z = r(cos@+isinø) voir là môẩun, ø là một

argumen của số phức z Kỹ thuật dùng dé chuyền đổi giữa hai dạng đại số và lượng giác được trình bày tường minh Nhu đã nêu ở chương 1, ưu điểm của dạng lượng giác so với các dạng biểu diễn khác là sự thuận lợi trong việc thực hiện phép nhân, chia, phép nâng

lên lũy thừa bậc cao hay phép khai căn.

Dé nhân (hoặc chia) hai số phức dưới dang lượng giác thì ta chỉ cần nhân (hoặc

chia) các môđun và lấy tổng (hoặc hiệu) của hai argumen tương ứng của hai số phức đã

cho Phép tính lũy thừa bậc cao và phép khai căn bậc n của số phức được thực hiện nhờ công thức Moivre [29 ,tr 39].

Tác giả kết luận:

Như vậy, khái niệm số phức trong [V] đã được tiếp cận ở cả hai phương diện:

- Trên phương diện đại SỐ: các phép tính số học trên tập số phức được thực hiện tương tự như trong số thực với chú ý =-I.

[V]: SGK Giai tich 12 nang cao (ky hiéu cua tac gia).

ví dụ trong các SGK, SBT Toán phổ thông, đặc biệt là trong chương trình toán THCS(chưa có hai môn hình học trên) đã minh họa cho câu trả lời đó.

Vị du, trong sách BT Toán 6 tập 2 (SBT6T2) có bài tập như sau:

Bài giải trên nếu diễn giải đầy đủ là:

Ta có: AK+KB = AB, suy ra: KB=AB-AK= 3cm-2,5cm=0,5cm.

Công cụ đại số trong bài giải này là gì? Đó là các phép biến đổi đại số trên biểuthức đại số (ngầm ân) AK+KB = AB Cụ thể như sau:

Trừ hai về của biéu thức AK+KB = AB cho AK, ta có: KB=AB-AK (*);

Thế AB=3 (cm), AK=2,5 (cm) vào (*) và thực hiện phép tính, ta được:

Hình 1.6 Hình chụp ở trang 68, SGK Toán 9 tap 1

Theo hướng dẫn giải ở trang 124, sách BT Toán 9 tập 1 do GS Tôn Thân chủ

biên (SBT9 T1), chúng tôi trình bay bài giải này như sau:

Với 2 bài toán trên, nêu không vận dụng công cụ đại số thì biện pháp giải quyết

sẽ là dùng thước trực tiếp đo độ dài các đoạn thăng Biện pháp này thường cho kết quảkém chính xác Hon nữa, nếu đây là bài toán thực tế (trong xây dựng, chang hạn) vớibiện pháp dùng thước đo trực tiếp, người thực hiện sẽ rất vất vã, tốn nhiều công sức và

thời gian.

Một ví dụ khác cho thấy nếu không có công cụ đại số thì cũng rất khó giải quyết

đó là BT 9, trang 104, SBT9T: “Cho tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường caoứng với cạnh huyền là 2 Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác này” [23, tr 104]

Trang 126, SBT9T1 giải BT này như sau:

Ta có hệ thức : a+b=5 (1); a.b=27(2) Giả sử a< b Từ (1) và (2) suy ra a=1; b=4 Cạnh nhỏ

5

'° Định lý 1 ở trang 65, SGK9TI