Tài liệu Ôn tập cơ học lượng tử nc khóa 35

Giả sử cả 2 electron nằm ở cùng một trạng thái spin.. Viết hàm sóng trạng thái cơ bản của hệ.. Xác suất tìm thấy cả hai electron trong cùng một nửa hộp là bao nhiêu?. Viết hàm sóng trạn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ -o0o -

TÀI LIỆU ÔN TẬP MÔN CƠ LƯỢNG TỬ NÂNG CAO

Giảng viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN HOA Lớp học viên cao học: LL&PP DH BM VẬT LÝ K35

TP HỒ CHÍ MINH, 2024

Mục lục

Chương 2_Bài 10 1

Chương 2.2_Bài 8 5

Chương 2.2_Bài 10 8

Chương 3_Bài 2 9

Chương3_Bài 5 10

Chương 3_Bài 13 13

Chương 3_Bài 17 15

Lý thuyết: Chương 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 17

Chương 2_Bài 10

Đề bài: Giả sử 1 , 2 , 3 là các vectơ trạng thái của một hệ Các vectơ này lập thành một hệ đầy đủ, trực giao và chuẩn hóa Trong hệ cơ sở nói trên, một đại lượng vật lý có biểu diễn ma trận như sau:

0 1 0 1

2

0 1 0

Hãy tìm các véctơ riêng chuẩn hóa và giá trị riêng tương ứng của đại lượng này Ở đây có sự suy biến không?

Bài giải

• Tìm trị riêng

Phương trình trị riêng của toán tử F: F  =   hay F−   =I 0

  (1) với

I: Ma trận đơn vị,

1 0 0

I 0 1 0

0 0 1

: Trị riêng của toán tử F

: Hàm riêng của toán tử F

Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm khác không thì:  F −  = I  0 (2)

(2)

1

2

1

0 0 1

2



1 0 2

0

1 0

2

−

−

Khai triển định thức theo hàng thứ 3

4 5 6

1

−

−

1 3

2 3

0

1

 =





 − +  =   = 

 = −



Toán tử Fcó 3 trị riêng:

1 2 3

0 1 1

 =



  =



 = −



• Tìm các vectơ riêng tương ứng với các trị riêng:

❖ Với  =1 0

Phương trình (1) trở thành: F 0I−   =0

1

z 1

2

 

0.x y 0.z

0.x y 0.z

+

y 0

=



 

= −



Vậy không gian vectơ riêng ứng với trị riêng  =1 0 là:

1(0) (a,0, a);a R

Các vectơ riêng ứng với trị riêng  =1 0 là tất cả vectơ có dạng:

1

a (0) 0

a

 

 

 − 

 

Vì 1 , 2 , 3 là các vectơ trạng thái của một hệ Các vectơ này lập thành một hệ đầy đủ, trực giao và chuẩn hóa nên ta có thể biểu diễn vectơ riêng 1(0) như sau:

1(0) C 11 C 22 C 33 a 1 0 2 ( a) 3

1 2 3

1

2

Chọn 1

a

2

=

Do đó: 1(0) 1 1 0 2 1 3

❖ Với  =2 1

Phương trình (1) trở thành: F 1.I−   =0

1

z 1

2

 

y x 2

y z 2

  − +  =

y

x z

2



 



Vậy không gian vectơ riêng ứng với trị riêng  =2 1 là:

Các vectơ riêng ứng với trị riêng  =2 1 là tất cả vectơ có dạng:

2

b (1) 2b

b

Vì 1 , 2 , 3 là các vectơ trạng thái của một hệ Các vectơ này lập thành một hệ đầy đủ, trực giao và chuẩn hóa nên ta có thể biểu diễn vectơ riêng 2(1) như sau:

2(1) C 11 C 22 C 33 b 1 2b 2 b 3

1 2 3

1

2

b

2

=

Do đó: 2(1) 1 1 2 2 1 3

❖ Với  = −3 1

Phương trình (1) trở thành: F ( 1).I− −   =0

  hay F+I  =0

z 1

2

 

y x 2

y z 2

  + +  =

y

x z

2

−



 

 = − = −



Vậy không gian vectơ riêng ứng với trị riêng  = −3 1 là:

Các vectơ riêng ứng với trị riêng  =2 1 là tất cả vectơ có dạng:

3

c

c

 − = −  

Vì 1 , 2 , 3 là các vectơ trạng thái của một hệ Các vectơ này lập thành một hệ đầy đủ, trực giao và chuẩn hóa nên ta có thể biểu diễn vectơ riêng  −3( 1) như sau:

3( 1) C 11 C 22 C 33 c 1 2c 2 c 3

1 2 3

1

2

c

2

=

Do đó: 3( 1) 1 1 2 2 1 3

Kết luận:

Đại lượng vật lý F có 3 vectơ riêng chuẩn hóa là:

o 1(0) 1 1 0 2 1 3

o 2(1) 1 1 2 2 1 3

 = + + tương ứng với trị riêng  =2 1

o 3( 1) 1 1 2 2 1 3

 − = − + tương ứng với trị riêng  = −3 1

Ở đây không có sự suy biến

Chương 2.2_Bài 8

Đề bài: Hai electron bị giam trong một hộp một chiều có cạnh là a Giả sử cả 2 electron nằm ở

cùng một trạng thái spin Bỏ qua tương tác Coulomb giữa chúng

a Viết hàm sóng trạng thái cơ bản của hệ

b Xác suất tìm thấy cả hai electron trong cùng một nửa hộp là bao nhiêu?

Bài giải

a Viết hàm sóng trạng thái cơ bản của hệ

• Trong hố thế một chiều có cạnh là a, thế năng có dạng:

( ) 0 0 ( x a )

= 





• Hàm sóng của một hạt chuyển động trong hố thế một chiều có dạng:

( )

n



  (n = 1, 2…)

Trong đó, hàm Ψ của hệ hai hạt electron khi bỏ qua tương tác Coulomb được viết dưới dạng tích của các hàm sóng  chỉ phụ thuộc vào các tọa độ và hàm  chỉ phụ thuộc vào các spin của chúng

• Hàm sóng của hệ hai hạt electron trong hố thế một chiều khi bỏ qua tương tác Coloumb được viết dưới dạng:

a x , x S ,S2, 1z 2z x x 1, 2 S ,S1z 2z

• Hàm sóng toàn phần của hệ là phản đối xứng đối với phép hoán vị hạt Do hai hạt có cùng trạng thái spin nên hàm spin  là đối xứng vậy hàm tọa độ  phải là hàm phản đối xứng

- Hàm tọa độ của hệ được viết dưới dạng:

a 1 2 n 1 m 2 n 2 m 1

1

2

- Hàm sóng của hệ được viết dưới dạng định thức Slater:

( )

( ) ( )

n 1 1 m 1 1

1 2

n 2 2 m 2 2

1

x , x

Hoặc

( )

( ) ( )

n 1 1 m 1 1

1 2

n 2 2 m 2 2

1

x , x

- Khai triển định thức ta có hàm sóng của hệ hạt trong hố thế một chiều:

a 1 2, 1z 2z n 1 m 2 n 2 m 1 1 2

1

2

a 1 2, 1z 2z n 1 m 2 n 2 m 1 1 2

1

2

Ở trạng thái cơ bản thì n = 1, m = 2, hoặc m = 1, n = 2

b Xác xuất tìm thấy cả hai electron trong cùng một nửa hộp là bao nhiêu?

• Ta đặt:

( )



( )



( )



( )



• Xác suất tìm thấy cả hai hạt trong nửa hố thế là:

a a a a

2 2 2 2 2

2

1 2 1 2 1 2

0 0 0 0

a a

2 2

2 2 2 2

1 2

0 0

a a a a a a

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

1

2

A B 2AB.CD C D dx dx

A B dx dx C D dx dx 2 AB.CD dx dx



• Ta đặt:

a a a a a

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 2 1 1

0 0 0 0 0

a a

2 2 2

0 0

n

I A B dx dx B dx A dx B dx sin x dx

a

a

0







Tương tự ta có:

a a

2 2

2 2

1 2

0 0

1

4

( )

1 2 2 1

a a

2 2

2 1 1 1

0 0

a a

2 2

0 0

a

2

0

K 2 AB.CD dx dx 2 BD dx AC dx

BD dx sin x sin x dx

2



( )

a 2 0

a a

2 2

2

0 0

a 2

2 2

0

a 2 0

2 BD dx 2





= + + = + − 

- Khi m và n cùng chẵn hoặc cùng lẻ K 0 P 1

2

 =  =

- Khi m và n không cùng chẵn hoặc cùng lẻ:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

cos m cos n

4 n m

P

= −



= −

− 2( ) 2













Với (1): Khi n lẻ, m chẵn (2): Khi n chẵn, m lẻ

Chương 2.2_Bài 10

Đề bài: Trạng thái cơ bản của nguyên tử heli thực không suy biến Tuy nhiên, hãy xét nguyên

tử heli giả định, trong đó 2 electron được thay bởi 2 hạt đồng nhất spin 1 và cũng có điện tích

âm Hỏi khi đó trạng thái cơ bản có bậc suy biến là bao nhiêu? Bỏ qua các lực phụ thuộc spin

Bài giải

Với nguyên tử Heli ở trạng thái cơ bản, electron có spin là 1

2 nên nó tuân theo nguyên lí loại

trừ Pauli Hàm sóng toàn phần là hàm phản đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt bất kì

1 1 1 1 1 2

2 2 2 2

1

- Do tọa độ là hàm đối xứng nên spin phải là hàm phản đối xứng

- Năng lượng của hệ E = E1+ E2 = 2E1

Theo nguyên lí loại trừ Pauli → Chỉ có một mức năng lượng ứng với một vectơ trạng thái của

hệ: không suy biến

Theo đề bài, với nguyên tử Heli giả định (spin = 1, không tuân theo nguyên lí loại trừ Pauli)

Hàm sóng:  =  s s s

( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1s 1s 2 1s 1s

2 1s 1s

2 1s 1s 1s 1s 1s 1s 0 0



+ − + − +

















+ +







→ Có 6 vectơ trạng thái ứng với một giá trị năng lượng, vậy bậc suy biến là 6

Chương 3_Bài 2

Đề bài: Dao động tử điều hoà 1 chiều chịu tác dụng của nhiễu loạn

H 1 = bx Trong đó b là hằng số thực

a Hãy tính độ dịch năng lượng của trạng thái cơ bản đến bậc thấp nhất khác 0

b Hãy giải bài toán một cách chính xác và so sánh với kết quả nhận được ở câu a

Bài giải

a Các mức năng lượng không nhiễu loạn của dao động tử điều hoà đều không suy biến nên

bổ chính năng lượng bậc 1 cho mức cơ bản:

( ) 1

0 1

Bổ chính bậc 2:

( )

1

0

n 0 0 n n 0 0 n 0 n

Ta có:

1

2 0

1 x 0

2

1 x 2

0











− =  −  = −

Suy ra:

( ) 2 2 2

 −    

b Giải một cách chính xác:

2

2 2

2m 2

Xét

Biểu thức trở thành:

2

2

2 2

Đặt:

2



Suy ra:

2 2

2



Đây là Hamiltonian của dao động tử điều hòa với tọa độ X và xung lượng P có tần số ω, năng lượng có gốc tính dịch một đoạn bằng

2

2

1 b

2 m

−



Do đó:

( )

0

So sánh với câu a, ta thấy nhiễu loạn chỉ gây bổ chính bậc 2 khác 0, các bậc khác đều bằng 0

Chương3_Bài 5

Đề bài: Một electron ở quỹ đạo p đặc trưng bởi vector trạng thái n, = 1,m =  1,0 (bỏ qua spin) chịu tác dụng của thế ( 2 2)

V =  x − y ( là hằng số) xem V là nhiễu loạn, hãy tìm trạng

thái năng lượng bậc không Không cần tính độ dịch chuyển năng lượng một cách chi tiết, hãy cho biết suy biến ban đầu có bị loại bỏ không?

Bài giải

Hàm Hamilton:

2 2 2

o

−

Trạng thái năng lượng bậc không (không nhiễu loạn)

Phương trình Schodinger:

o

−

Đặt Ψ R Y= ( ) (r  , )

Giải phương trình (2) theo phương pháp phân li biến số, ta thu được kết quả:

Zr na

r nl nl

o

2Zr

na

−

2 1 L

n 1

+ +

Trong đó:

1 3

2 2

3

nl 4

o

Z C

=  

2

o

o 2

2me

−

=  là bán kính Bohr thứ nhất

2 2

me Z

E

2 n

−

= , n = 1, 2, 3,

Với trường hợp n, = 1,m =  1,0 , ta suy ra n = 2 Trạng thái kích thích thứ nhất

Năng lượng ứng với trạng thái kích thích thứ nhất:

p 2 2 2

me Z me Z E

Tương ứng với 3 trạng thái:

( ) o

3

Zr 2

2a

3

o o

4 2

−

 

  

( ) o

3

Zr 2

2a i i

2

o o

211 e sin e f r sin e

8

−

 

  

( ) o

Zr 2

2

o o

1 Z Zr

8

−

−  − 

 

  

Ở mức năng lượng bậc không ứng với trạng thái kích thích thứ nhất, ta có 3 trạng thái, suy biến bậc 3

Áp dụng lí thuyết nhiễu loạn có suy biến:

Phương trình:

( )

( )

( )

1

1

1

210 V 210 E 211 V 211 210 V 21 1

21 1 V 210 21 1 V 211 21 1 V 21 1 E

2

4 2i 2

0 0

4 2 0

211 V 21 1 f r dr cos2 e d sin sin d

f r dr I 21 1 V 211

− 





4 2 0

f r dr I 21 1 V 211



Tính:

o

a

7 2

o

a

−

 

 

n 1 0

n!

I e e dr

a

 −

+

Thay các phần ma trận vào phương trình ở trên:

( )

( )

( )

( )

( )

1

1

1

2

2

3

 =   =    =     

 



Năng lượng của electron ở quỹ đạo p khi chịu tác dụng của nhiễu loạn:

( )

( )

( )

2

4 2

p

4 2 1

p 2

2

4 2

p

me Z 15 a E

me Z E

8

me Z 15 a E

 



=





 



Nhận xét: Hình cho thấy các mức năng lượng bị tách ra làm ba mức sát nhau ứng với ba hàm

sóng do đó suy biến bị khử hoàn toàn

Chương 3_Bài 13

Đề bài: Một hạt có khối lượng m chuyển động 1 chiều có thế năng:

cho x 0 V(x)

F.x cho x > 0



= 



Trong đó F là hằng số thực dương Dùng phương pháp biến phân để đánh giá năng lượng trạng thái cơ bản của hạt

Bài giải

Ta chọn hàm thử:

2 2 x 2

0 , x < 0

−

 = 

Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có: *

0

  =     =

( )

2

4 2

p

a

me Z 15 E

 

( )

2

4 2

p

a

me Z 15 E

 

( )

4 2 1

me Z E

8

−

=

2 2

2 x

0A e− dx 1

Sử dụng công thức tích phân Poisson:

2 2

2 x 2

1/4 0

2

Toán tử Hamilton:

2 2 2

2m x

 (3)

Năng lượng trung bình của hạt:

ˆ

| H | ˆH

|

=

  và   = | 1

2 2

2 2

2 0

2

4 2 2 x 0

2 4 3 2

3

2 4 3 2

2

2m x 2

2m



 −  −  −







( )

2

2 2

2 F 1 2 F

4 4m









 

2 2

ˆ

ˆH

Cực tiểu hóa năng lượng trung bình theo 

ˆH 0 x



=



( )

3 2

1 3 2

F

2mF

5

 

  =   

Thay giá trị của (5) vào (4) ta được:

2 3

0 min

2 2 m

= =      (6) Vậy giá trị năng lượng ở trạng thái cơ bản của hạt là:

1

2 3 0

2 2 m

=   

Chương 3_Bài 17

Đề bài: Dao động tử điều hoà nằm ở trạng thái cơ bản khi t < 0, khi t ≥ 0, dao động tử chịu tác

dụng của lực (không phải là lực thế!) đồng nhất hướng theo trục x

t /T 0

F(t) = F e−

a Dùng lý thuyết nhiễu loạn đến bậc 1, hãy tính xác suất tìm thấy dao động tử ở trạng thái kích thích thứ nhất khi t > 0 hãy chỉ ra rằng xác suất không phụ thuộc thời gian ở giới hạn t → 

b Có thể tìm thấy dao động tử nằm ở trạng thái kích thích cao hơn không?

Bài giải

I Cơ sở lý thuyết

- Dao động tử điều hòa: ( ) dV x ( )

F x

dx

= −

- Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian: i H

t



 = 



II Áp dụng

a Lực tác dụng theo trục x:

V

x



= − = −  = −  = −



- Toán tử nhiễu loạn:

t T 0

−

- Hàm Hamilton: H = H0 + V

- Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian:

0

t



  = +  

n n n

x, t C t x, t

- Giải phương trình (1) ta thu được hệ số khai triển

n m n m n

dt

dt



mn

t

Phép gần đúng bậc nhất:

, mn

t i t

m 0 m n

1

i



, mn

t i t

m 0 m n

i

Xác suất tìm thấy dao động tử ở trạng thái kích thích thứ 1 (m = 1) khi t > 0:

, mn

2

2 t i t

m 2 0 m n

1

Với

t T

−

, ,

mn

2 t

2 t i t

m 2 0 0 mn

1

−

  



, , mn

2 t

2 t i t

1 0 T ,

m 2 0 mn

F

−



Trong đó:

n: trạng thái ban đầu (n = 0); m: trạng thái sau (m=1)

Yếu tố ma trận của x được xác định bằng biểu thức:

1

1 2 2

mn n 1,n

mn 10

2m

x x 1 x 0

2m

+





, , mn

2

2 t i t 2

1 0 T , 0

−



Khi

mn

T

1 Ti

− 

2 2 2 2

m

C

2 2 2

1 0

Kết luận: Xác suất tìm thấy dao động tử ở trạng thái kích thích thứ nhất không phụ thuộc thời

gian t

b Yếu tố ma trận x được xác định bằng công thức:

( )

1

1 2 2

1

1 2 2

mn

2m

2m









 →  +







mn

n 1

m n 1

n

2 m

→ = +













 →  +





Khi t < 0: dao động tử ở trạng thái cơ bản n = 0

2 1

mn m

2 1

mn m

Kết luận: Vậy chỉ có thể tìm thấy dao động tử ở trạng thái kích thích thứ nhất (m = 1) và

không thể tìm thấy dao động tử ở trạng thái kích thích thứ hai, thứ ba hay cao hơn

Lý thuyết: Chương 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG

TỬ