Skkn cấp tỉnh phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trong dạy học chủ Đề hệ thức lượng trong tam giác và chủ Đề hàm số bậc hai Ở lớp 10

Theo đó, để đánh giá năng lực MHH toán học cần chútrọng: lựa chọn những tình huống trong thực tiễn làm xuất hiện bài toán toán học, từ đó đòi hỏi HS phải xác định được mô hình toán học g

SÁNG KIẾN

Đề tài:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC

HAI Ở LỚP 10 Lĩnh vực: Toán học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 4

SÁNG KIẾN

Đề tài:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC

HAI Ở LỚP 10 Lĩnh vực: Toán học

Nhóm tác giả: 1 Ngô Quang Vân

2 Đinh Thị Hiền

3 Nguyễn Thị Hương Đơn vị: Trường THPT Quỳnh Lưu 4

MỤC LỤC Trang

3 Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu 4

I Một số khái niệm và thuật ngữ liên quan đến đề tài. 5

II Thực trạng về việc dạy học mô hình hóa trong dạy … 7

1 Một số biểu hiện của năng lực mô hình hóa … 11

1.1 Biểu hiện 1: Sử dụng các mô hình toán học … 11

1.2 Biểu hiện 2: Giải quyết các vấn đề toán học … 13

2 Một số giải pháp góp phần phát triển năng lực … 15

2.1 Giải pháp 1: Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi từ … 15

2.2 Giải pháp 2: Rèn luyện kỹ năng sử dụng mô hình … 22

2.3 Giải pháp 3: Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi … 30

2.4 Giải pháp 4: Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các … 33

3 Kế hoạch bài dạy chủ đề hàm số bậc hai và … 36

4 Đánh giá hiệu quả của các giải pháp đã đề xuất … 36

5 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của … 37

3 Nội dung thực nghiệm 41

Nghị quyết 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 của Quốc hội về đổi mới

chương trình sách giáo khoa phổ thông cũng đã xác định mục tiêu đổi mới Đó là:” Đổi mới CT, SGK GDPT nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng

và hiệu quả GDPT; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hoà đức trí thể mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh”.

Tất cả các môn học trong nhà trường đều có vai trò nhất định trong việc hình

thành và phát triển NL đặc thù, riêng đối với môn Toán có thể phát triển được các

NL như: tư duy và lập luận toán học; mô hình hóa toán học MHHTH); giải quyết vấn đề toán học; giao tiếp toán học; sử dụng công cụ và phương tiện toán học [2].

Trong số những NL này, MHHTH là NL đã được nhiều quốc gia trên thế giới đềcập đến từ hai thập niên trước (như: Mĩ, Đức, Pháp, Anh, Trung Quốc, Nga,…) và

là NL quan trọng của HS phổ thông

Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) xác định năng lực môhình hóa (MHH) toán học là một trong những thành tố cốt lõi của năng lực toánhọc cần hình thành và phát triển cho học sinh (HS), trong đó chỉ ra thành phần vàbiểu hiện của năng lực cũng như định hướng lựa chọn phương pháp và công cụ đểđánh giá năng lực này Theo đó, để đánh giá năng lực MHH toán học cần chútrọng: lựa chọn những tình huống trong thực tiễn làm xuất hiện bài toán toán học,

từ đó đòi hỏi HS phải xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phươngtrình, bảng biểu, đồ thị,…) cho tình huống xuất hiện trong các bài toán thực tiễn,giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập, thể hiện vàđánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tiễn và cải tiến được mô hình nếu cách giảiquyết là không phù hợp

Để thực hiện được quá trình đánh giá một cách hiệu quả, điều cần thiết làgiáo viên sử dụng các tình huống học tập mà qua đó HS có cơ hội hoạt động, trảiqua quá trình MHH để giải quyết vấn đề từ đó bộc lộ những hành vi, biểu hiện củanăng lực Những hành vi mà HS biểu hiện chính là cơ sở chính xác nhất để đánh

giá năng lực của các em Để làm được điều này, tình huống học tập cần có một sốđặc điểm nhất định mới có thể hỗ trợ cho việc đánh giá năng lực HS.

Xuất phát từ việc đổi mới của chương trình giáo dục phổ thông cũng như yêucầu đổi mới về phương pháp dạy học nhằm giúp học sinh học tốt hơn, nắm bắt cáckiến thức về hệ thức lượng trong tam giác và hàm số bậc hai một cách sâu sắc hơn

nên chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực mô hình hóa Toán học của học

sinh trong dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác và chủ đề hàm số bậc hai ở lớp 10”.

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng các thành tố của năng lực mô hình hóa và đề xuất các biện phápnhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh khi học chủ đề kiếnthức hệ thức lượng trong tam giác và chủ đề hàm số bậc hai

3 Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Học sinh khối 10 cấp trung học phổ thông

- Các bài toán về ứng dụng của hệ thức lượng trong tam giác, hàm bậc hai và vậndụng tư duy về mô hình hóa toán học vào để giải quyết vấn đề của bài toán

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài sẽ làm rõ các vấn đề sau:

- Cơ sở lí luận và thực tiễn của năng lực mô hình hóa Toán học

- Các thành tố của năng lực mô hình hóa Toán học

- Để phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh ta cần phải thựchiện những biện pháp nào?

- Kết quả thực nghiệm ra sao?

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học giáo dục, tàiliệu giáo dục học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn toán làm cơ sở để đềxuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh

4.2 Quan sát, trao đổi: Thực hiện việc trao đổi với giáo viên và học sinh,tham khảo các tài liệu để đề xuất các thành tố của năng lực mô hình hóa Toán họccho học sinh

4.3 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượnghọc sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài

5 Dự báo những đóng góp mới của đề tài

Đề tài đề xuất các giải pháp ứng dụng toán học vào giải quyết các bài toánthực tế và từ các bài toán thực tế giải quyết các vấn đề của toán học.

Đề tài đã xây dựng được các thành tố của năng lực mô hình hóa Toán họcnhằm giúp học sinh kiến tạo kiến thức

Đề tài đề xuất các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học hệ thức lượng trong tam giác và hàm số bậc hai

Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trung học phổ thông

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

I Một số khái niệm và thuật ngữ liên quan đến đề tài.

1 Năng lực toán học

Năng lực toán học là một loại hình năng lực đặc thù gắn liền với môn học Cónhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học Hiệp hội GV Toán Mỹ mô tả “ Nănglực toán là cách thức nắm bắt và sử dụng nội dung kiến thức toán” Theo Blomhoi

&Jensen (2017): “ Năng lực toán học là khả năng sẵn sàng hành động để đáp ứngthách thức toán học của các tình huống nhất định” Theo Niss (1999): “ Năng lực toánhọc như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt cáctình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoàicủa toán học”

Theo Trần Kiều (2014): “ Các năng lực cần hình thành và phát triển cho ngườihọc qua dạy học môn toán trong trường phổ thông Việt Nam là: năng lực tư duy toánhọc, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực suyluận toán học, năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ, năng lực giao tiếp toánhọc, năng lực sử dụng công cụ phương tiện toán học, năng lực học tập độc lập và hợptác các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giaothoa với nhau

2 Mô hình và mô hình hóa

Mô hình: Theo Swetz và Hartzle (1991) mô hình là một hình mẫu dùng để minhhọa mô tả hình dáng cấu trúc, phương thức hoạt động của sự vật, hiện tượng hay mộtkhái niệm thông qua mô hình ta có thể khám phá đối tượng mà không cần dùng đếnvật thật hoặc không dùng trực tiếp được vật thật trong thực tế như đo chiều cao củamột ngọn núi hay tòa tháp…

Về mặt nhận thức mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, ra đời nhờ quá trìnhtrừu tượng hóa các đối tượng cụ thể hay nói cách khác đối tượng nghiên cứu đã được

lý tưởng hóa

người ta phải tạo ra nó từ tình huống thực tiễn, quá trình tạo ra mô hình chính là mô

hình hóa Mô hình hóa là thay thế đối tượng gốc bằng một mô hình nhằm thu thập cácthông tin quan trọng về đối tượng bằng cách tiến hành các nghiên cứu thực nghiệm

trên mô hình Gierre (1998) cho rằng mô hình hóa là mô tả một tình huống trong thực

tế nhằm mục đích giải quyết một vấn đề hoặc câu hỏi trong tình huống đó Mô hìnhhóa vừa là cách làm việc, vừa là cách suy nghĩ Nó bao gồm một quá trình lặp đi lặplại, đòi hỏi sự sáng tạo và phát minh trong đó kiến thức Toán học, Khoa học và Kỹthuật được áp dụng để mô tả tình huống mới Trên phương diện dạy học mô hình hóađược biết đến như một phương pháp dạy học, cung cấp cho học sinh hiểu khái niệmcủa vấn đề, giúp học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tìnhhuống thực tế Mô hình hóa giống như một phương pháp nghiên cứu khoa học, giúphọc sinh biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vựckhác nhau Đây chính là môi trường để học sinh khám phá các kiến thức toán học vàphát triển năng lực mô hình hóa Toán học

3 Toán học hóa và mô hình hóa Toán học

Toán học và mô hình hóa toán học đóng vai trò quan trọng trong hoạt độngtoán học Do vậy ngoài mục tiêu phát triển những năng lực chung theo chươngtrình GDPT 2018 môn toán ở bậc THPT cần góp phần hình thành và phát triển một

số năng lực toán học như năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tính toán và nănglực mô hình hóa toán học

Để đáp ứng được các vấn đề này giáo viên cần giúp học sinh thấy được sựphản ánh thực tế của toán học trong đời sống con người từ đó các em sẽ hứng thútích cực và chủ động hơn trong học tập

Trong chương trình GD môn toán cấp THPT Đại số lớp 10 có bài Hệ thứclượng trong tam giác và Đồ thị hàm số bậc hai có nhiều bài toán có nội dung liên

hệ với thực tiễn, khai thác bối cảnh thực tế trong các bài toán như thế, việc vậndụng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác và đồ thị hàm số bậc hai vào giảiquyết vấn đề thông qua quá trình “Toán học hóa” tỏ ra khá hiệu quả và đem lạinhiều hiệu ứng tích cực đối với người học

là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ Toán học (các đồ thị, phương trình,

hệ phương trình, hàm số, các kí hiệu Toán học,…) để biểu diễn mô tả đặc điểm củamột sự vật, hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu

Nguyễn Danh Nam (2016), đã đưa vào quan điểm của Edward và Hasmson (2001)

để đưa ra khái niệm mô hình hóa Toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực

tế sang một vấn đề Toán học thông qua việc thiết lập và giải quyết các mô hìnhToán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế

4 Năng lực mô hình hóa là gì?

Năng lực mô hình hóa toán học là năng lực gắn liền với cấu trúc mô hình hóa,

tức là chuyển đổi tình huống “ thực tiễn” dưới dạng toán học, xây dựng mô hình toán

học từ các tình huống thực tiễn dựa trên các công cụ toán học, giải thích các mô hìnhtoán học theo nghĩa “thực tế”.

Năng lực mô hình hóa toán học được xem như là khả năng vận dụng kiến thứctoán học vào thực tiễn hay khả năng áp dụng hiểu biết toán học để chuyển một tìnhhuống thục tiễn về dạng toán học

Năng lực mô hình hóa toán học là khả năng quan sát tình huống thực tiễn, lựachọn và xác định các giả thiết, câu hỏi, mối quan hệ phù hợp để “phiên dịch” sangngôn ngữ toán học, giải bài toán bằng các thuật toán và kiểm chứng lời giải trong môitrường ban đầu, phân tích và so sánh những mô hình đã có để tìm những mô hình phùhợp hơn Năng lực MHHTH được Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm

2018 mô tả thông qua 3 việc ( hay hành động, thành tố,…): Xác định được mô hìnhtoán học ( gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị …) cho tình huống xuấthiện trong bài toàn thực tiễn; Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hìnhđược thiết lập; Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiếnđược mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp Dạy học phát triển năng lực

MHHTH phải thực hiện dạy HS các hoạt động MHHTH theo nghĩa các hoạt động

trong quá trình MHHTH Có thể thấy chương trình Giáo dục phổ thông môn Toánnăm 2018 môn Toán đã nói đến 3 loại việc MHHTH cũng ứng với 3 loại hoạt động

mô hình hóa: Loại thứ nhất : Hoạt động chuyển mô hình từ tình huống thực tiễn thành

mô hình toán học; Loại thứ hai: Hoạt động trên mô hình toán học; Loại thưc 3: Là giảithích kết quả từ mô hình toán học vào tình huống thực tiễn và có thể cải tiến mô hìnhtoán học

Vì vậy khi dạy học theo hướng phát triển năng lực MHHTH cần chú ý thiết kếđược các hoạt động MHHTH và tổ chức cho học sinh thực hiện các hoạt động đó thì

có thể coi là thực hiện dạy học theo hướng phát triển năng lực MHHTH

II Thực trạng về việc dạy học mô hình hóa trong dạy học hiện nay.

1 Mục đích điều tra

Biết được:

- Khả năng ứng dụng toán học của học sinh trong thực tế

- Học sinh có hứng thú gì khi ứng dụng toán học vào thực tế

- Học sinh nhận biết được tầm quan trọng của toán học trong thực tế

- Năng lực sử dụng mô hình hóa của học sinh khi giải các bài toán trong thực tế như thế nào?

2 Nội dung điều tra.

Học sinh truy cập vào đường link và trả lời câu hỏi trắc nghiệm như sau:

Câu hỏi 1. Theo em Toán học có ứng dụng như thế nào đến thực tiễn cuộc sống ?

C. Ít ứng dụng D. Không có ứng dụng.

Câu hỏi 2. Khi học các bài toán có ứng dụng trong thực tế em cảm thấy thế nào?

A. Rất hứng thú B. Hứng thú

C. Bình thường D. Không hứng thú

Câu hỏi 3. Nếu có bài toán yêu cầu em đo chiều cao của ngọn núi em làm thế nào?

A. Đoán mò ( ước lượng)

B. Nhận dạng được tình huống

C. Biết chuyển đổi về mô hình toán học nhưng chưa giải quyết được

D. Biết chuyển đổi và sử dụng mô hình toán học để giải quyết

Câu hỏi 4. Nếu có bài toán yêu cầu đo chiều cao lớn nhất của một quả bóng đáđược đá từ mặt đất lên, biết chuyển động của quả bóng là một đường parabol emlàm thế nào?

A. Đoán mò

B. So sánh nó với vật cố định xung quanh ( ước lượng)

C. Biết chuyển đổi về mô hình toán học nhưng chưa giải quyết được

D. Biết chuyển đổi và sử dụng mô hình toán học để giải quyết

Câu hỏi 5. Khi yêu cầu sử dụng mô hình toán học vào giải quyết các tình huốngthực tiễn Bản thân em đã sử dụng được ở mức độ nào trong các mức độ sau:

A. Không biết

B. Mới nhận dạng được

C. Biết chuyển sang mô hình toán học

D. Chuyển sang mô hình toán học và giải quyết được bài toán

3 Đối tượng điều tra

Học sinh lớp 10, Trường THPT quỳnh lưu 4

4 Phương pháp điều tra

Giáo viên chuyển đường link cho học sinh trả lời câu hỏi trắc nghiệm và khảosát các học sinh lớp 10 của trường THPT Quỳnh Lưu 4

5 Tập hợp số liệu điều tra.

Qua kết quả khảo sát ở câu hỏi 1 này chúng ta dễ dàng nhận thấy đa số học sinhđều nghĩ rằng Toán học ít ứng dụng trong thực tiễn chiếm tỷ lệ 61,2%

Ở câu hỏi 2 chúng ta nhận thấy hầu hết học sinh có hứng thú và rất hứng thú khihọc các bài toán có ứng dụng trong thực tế chiếm tỷ lê 86,8% nghĩa là các em đangmong muốn Toán học phải gần gũi hơn, đơn giản hơn và có nhiều ứng dụng hơntrong thực tế

Trong câu hỏi 3 khi hỏi đến 1 bài toán cụ thể có ứng dụng trong thực tếdường như các em nghĩ rằng không thể thực hiện được việc đo chiều cao của ngọnnúi nên các em đoán mò hoặc nhận dạng được tình huống hoặc biết chuyển đổi về

mô hình toán học nhưng chưa giải quyết được chiếm 82,2%

Ở câu hỏi 4 cũng vậy điều này minh chứng cho chúng ta thấy việc học toánđang còn xa rời với thực tiễn số học sinh biết chuyển đổi và sử dụng mô hình toánhọc để giải quyết còn ít chiếm tỷ lệ 17,8%

Trong câu hỏi 5 chúng tôi muốn tìm hiểu về mức độ vận dụng toán học vàothực tế thì các em lựa chọn phương án không biết hoặc mới nhận dạng được chiếm

tỷ lệ 65,1%

6 Nguyên nhân của những thực trạng.

- Trong dạy học Toán ở nước ta từ trước tới nay có tình trạng chuộng cách dạy nhồinhét, luyện trí nhớ, dạy kỷ thuật để giải những bài toán khó không mẫu mực xa rờithực tế

- Việc dạy học Toán trong nhà trường hiện nay đang rơi vào tình trạng coi nhẹ thực

hành và ứng dụng Toán học trong cuộc sống không thực hiện phương châm “Học điđôi với hành”.

- Do áp lực và cách đánh giá trong thi cử và đề ra hầu như các ứng dụng ngoài toánhọc không được hoặc có ít đề cập đến

7 Những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học nhằm phát triển năng lực

mô hình hóa Toán học trong dạy học hệ thức lượng trong tam giác và hàm số bậc hai ở trường THPT Quỳnh Lưu 4.

7.1 Thuận lợi:

- Trường học có cơ sở vật chất thuận lợi ( máy chiếu, ti vi….), học sinh có khả năngtiếp thu tốt

- Ban giám hiệu nhà trường luôn tạo điều kiện cho giáo viên được nghiên cứu

- Có giờ ngoại khóa và có thời gian tổ chức hoạt động cho học sinh

- Giáo viên có nhu cầu đưa thực tiễn vào giảng dạy

- Các công cụ máy tính và các phần mềm hỗ trợ dạy học được đưa vào sử dụng

7.2 Khó khăn:

- Các bài toán vận dụng vào tình huống thực tiễn được đưa vào thi cử rất ít

- Việc chọn nội dung, những câu hỏi, tình huống thực tiễn là khó

- Nội dung kiến thức không có nhiều ví dụ, mô hình thực tiễn

- Khả năng liên hệ Toán học với thực tế còn nhiều hạn chế

CHƯƠNG II: CÁC GIẢI PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HỆ THỨC

LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ HÀM SỐ BẬC HAI

1 Một số biểu hiện của năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh trong ứng dụng của hệ thức lượng và hàm số bậc hai.

1.1 Biểu hiện 1: Sử dụng các mô hình toán học bao gồm: công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế.

Mô hình hoá Toán học là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán họcbằng các ngôn ngữ toán Ngôn ngữ và các công cụ toán là các biến số, kí hiệu,phương trình, bảng biểu, đồ thị, công thức….Sau khi phát hiện được bản chất củatình huống và phát biểu lại tình huống theo ngôn ngữ riêng của mình, học sinh cầnlàm công việc tiếp theo là đặt biến, ẩn cho các đại lượng, tìm phương trình, côngthức hoặc đồ thị… biểu diễn mối liên hệ của các biến Thông qua các hoạt động

đó, học sinh được phát triển các thành tố năng lực: Năng lực sử dụng ngôn ngữ tựnhiên và ngôn ngữ toán học, năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm, năng

lực xây dựng mô hình hoá toán học, năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh môhình….

Mô hình Toán trong hệ thức lượng bao gồm: định lý cosin, định lý sin, côngthức tính diện tích, bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác, phương pháp tìmcạnh, góc khi cho các yếu tố khác…

Mô hình Toán trong hàm số bậc hai: đồ thị hàm số, bảng giá trị, bảng biếnthiên, các tính chất như đỉnh, trục đối xứng, giao với trục hoành, trục tung…

Ví dụ 1. Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là cácthành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên Dựatheo các khoảng cách đã cho trên hình vẽ, tính khoảng cách giữa Châu Đốc vàRạch Giá

Phân tích:

- Khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá chính là độ dài đoạn thẳng Vậyyêu cầu của tình huống thực tiễn chính là tính độ dài cạnh

- Để tính độ dài ta cần gắn vào tam giác, có thể chọn các ,

- Nếu xét tam giác thì mới có độ dài cạnh và vậy cần tìm thêm số

đo một góc nữa mới giải quyết được bài toán

- Xét tam giác đã có độ dài ba cạnh, vậy ta có thể sử dụng hệ quả định lícôsin để tính số đo góc , tương tự áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác tính số đo góc , từ đó suy ra góc

- Vậy tam giác đã có 2 cạnh và một góc xen giữa, từ đó sử dụng định lícosin trong tam giác để tính cạnh Bài toán đã được giải quyết

Lời giải

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác , ta có:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác , ta có:

?

104 km

49 km

56 km Long Xuyên L

Suy ra

Áp dụng định lí côsin cho tam giác , ta có

.Vậy khoảng cách từ Rạch Giá đến Châu Đốc khoảng

Ví dụ 2. Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống.Hình ảnh dưới đây minh hoạ quỹ đạo của quả bóng là một phần của cung paraboltrong mặt phẳng toạ độ , trong đó là thời gian ( tính bằng giây) kể từ khi quảbóng được đá lên và là độ cao ( tính bằng mét) của quả bóng Giả thiết rằng quảbóng được đá từ mặt đất Sau khoảng , quả bóng lên đến vị trí cao nhất là Hỏi sau bao lâu thì quả bóng chạm đất kể từ khi đá lên ?

Lời giải

Gọi hàm số bậc hai biểu thị theo thời gian là

Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ mặt đất, nghĩa là , do

đó Sau , quả bóng lên đến vị trí cao nhất là nên ta có hệ

Vậy hàm số bậc hai là

Để quả bóng chạm đất trở lại khi độ cao , tức là

1.2 Biểu hiện 2: Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập.

Từ mô hình được thiết lập, học sinh tiến hành giải quyết các vấn đề bằngcông cụ toán học Để giải quyết được học sinh cần nắm vững các tri thức Toán, và

có thể sử dụng nhiều cách giải quyết khác nhau cho mỗi tình huống thực tế Thôngqua việc xây dựng mô hình, giải quyết mô hình toán, học sinh sẽ hình thành vàphát triển các năng lực như giải quyết vấn đề toán học, năng lực tư duy và lập luận Đồng thời quá trình này cũng sẽ tạo cơ hội cho các em học sinh làm việcnhóm, thảo luận trao đổi với bạn bè, thầy cô góp phần phát triển năng lực giao tiếptoán, năng lực sử dụng các công cụ phương tiện tóán học Đây đều là những nănglực cốt lõi mà chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018 hướng đến

Ví dụ 3. Trong Vật lí ta biết rằng, khi một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu, góc ném hợp với phương ngang một góc , nếu ta bỏ qua sức cản củakhông khí và gió, vật chỉ chịu tác động của trọng lực với gia tốc trọng trường

, thì độ cao (so với mặt đất) của vật phụ thuộc vào khoảng cách theophương ngang (tính đến mặt đất tại điểm ném) theo một hàm số bậc hai cho bởi

công thức Như vậy quỹ đạo chuyển động của vật làmột phần của đường Parabol Hãy xác định:

a) Các hệ số của hàm bậc hai này

b) Độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được

c) Giả sử vận tốc ban đầu không đổi từ kết quả câu b) hãy xác định góc ném α

để độ cao lớn nhất của vật đạt gía trị lớn nhất

d) Một quả bóng được đá từ mặt đất lên cao với vận tốc ban đầu vàgóc đá so với phương ngang là Khi quả bóng ở độ cao thì khoảngcách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng bằng bao nhiêu ?(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Do đó học sinh sử dụng công thức tính toạ độ đỉnh để mô tả yêu cầu tình huống: Toạ độ đỉnh của đường Parabol là:

Vậy độ cao lớn nhất của vật là

c) Theo ý b) khi không đổi thì độ cao lớn nhất của vật phụ thuộc vào đạilượng nào, nhận xét giá trị của ?

d) Phương trình quỹ đạo của quả bóng với vận tốc ban đầu và góc đá

so với phương ngang bằng là:

Khi đó quả bóng ở độ cao 5m nghĩa là ta có phương trình

Giải phương trình bậc hai ta có

Vậy khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng bằng

Phương pháp thực hiện: GV đưa ra tình huống trong thực tiễn có thể chuyểnsang bài toán toán học (mô hình toán học) bằng nhiều cách, nhiều phương phápkhác nhau Sau đó GV yêu cầu HS giải bài tập đó, hướng dẫn HS các cách nhìnnhận khác nhau để đưa ra các mô hình toán học khác nhau cho tình huống thực tiễn

đó Sau khi đưa ra các mô hình toán học cho tình huống thực tiễn đó thì so sánh đểnhận xét về ưu điểm, nhược điểm của từng cách chuyển đổi đó, đưa ra lời giải tối

ưu nhất

Ví dụ 1. Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau An nói: tớ đọc ở một tài liệu nóirằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (Tham khảo hình ảnh) có dạng mộtparabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là và chiều cao của cổng tính từ mộtđiểm trên mặt đất cách chân cổng là Từ đó tính ra chiều cao củacổng là

Hình ảnh: Cổng parabol của trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổngparabol mà bạn nói tính ra không chính xác

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đạihọc Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Phân tích: Gặp tình huống thực tiễn này, hình ảnh thực tiễn có hình dạng là mộtparabol và yêu cầu của tình huống là tính chiều cao của nó Khi đó cần nghĩ đến môhình hóa toán học nào liên quan đên tình huống thực tiễn đó, làm thế nào để chuyển tìnhhuống sang bài toán toán học, có thể chọn lựa mô hình hóa nào để giải quyết tìnhhuống thực tiễn đặt ra Qua đó rèn luyện được năng lực chuyển đổi từ tình huống thựctiễn sang mô hình toán học và giải quyết được tình huống thực tiễn của HS

dương của trục chưa khoảng cách giữa hai chân cổng

khoảng cách giữa hai chân cổng, trục chưa khoảng cách giữa hai chân cổng

, trục chưa khoảng cách giữa hai chân cổng và trục chứa chiều cao củacổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng là

Hình minh hoạ giáo viên hướng dẫn học sinh

Hình minh hoạ học sinh đang tích cực hoạt động nhóm

Lời giải:

Gọi phương trình của parabol cần tìm là

+ Hướng thứ nhất:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó một chân cổng bên trái trùng với gốc tọa

độ và chân bên phải cũng nằm trên trục hoành

x y

4 m 3,5 m

2,93 m

2,93 m -0,5 m y

O

Vì đi qua ba điểm nên ta có hệ phương trình:

Lập bảng biến thiên của hàm số

Như vậy chiều cao của cổng Bách khoa Hà Nội là

Do đó kết quả của bạn An tính được chiều cao là chưa chính xác

+ Hướng thứ ba: Sản phẩm nhóm 1

Hình minh hoạ học sinh trình bày bài làm của nhóm

Ngoài ví dụ điển hình nêu trên, giáo viên có thể rèn luyện thêm nhiều cáctình huống thực tiễn khác Một số tình huống thực tiễn liên quan đến mô hình hoá

sử dụng hàm bậc hai như:

- Phương trình chuyển động của vật chuyển động thẳng biến đổi đều

Trong đó là toạ độ ban đầu của vật, là vận tốc ban đầu của vật và a là gia tốccủa vật Như vậy là một hàm số bậc hai của thời gian

- Phương trình chuyển động của vật ném xiên

Trong đó là khoảng cách vật bay được theo phương ngang tính từ mặt đất tạiđiểm ném, là độ cao so với mặt đất của vật Như vậy quỹ đạo chuyển độngcủa một vật ném xiên là một Parabol

Tương tự, đường đi của quả bóng khi được cầu thủ đá lên không trung, quỹ đạocủa viên đạn pháo khi bắn ra khỏi nòng pháo, tia lửa hàm, hạt nước bắn lên từ đàiphun nước… đều có dạng đường Parabol

- Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi cho trước A cũng là một hàm sốbậc hai theo một kích thước dài (hoặc rộng)…

Ví dụ 2. Trong khi khai quật ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được mộtchiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếcđĩa này

a) Sử dụng thước đo độ dài và dụng cụ đo góc các em hãy xác định bán kính củachiếc đĩa?

b) Giả sử các nhà khảo cổ lấy ba điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc

hình vẽ) Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả được làm tròn tới hai chữ sốsau dấu phẩy)

Phân tích: Gặp bài toán này, học sinh không thể dùng công cụ để đo trực tiếp

bán kính của chiếc đĩa Khi đó cần nghĩ đến các mô hình toán học là các hệ thức lượngtrong tam giác, mô hình toán học nào có thể chọn lựa để giải quyết tình huống thực tiễnnày, qua đây rèn luyện được năng lực chuyển đổi từ tình huống thực tiễn sang mô hìnhtoán học và giải quyết được tình huống thực tiễn của học sinh

đo đo độ dài các cạnh Sử dụng công thức Hêrông tính diện tích củatam giác , từ đó tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

góc đối diện cạnh đó Sử dụng định lí sin để tính : bán kính đường tròn ngoại

Hướng thứ ba: Trên cung tròn của đĩa lấy ba điểm bán kính đĩa là bánkính đường tròn ngoại tiếp tam giác , nên ta có thể dựng hai đường trung trựccủa hai cạnh Giao điểm hai đường này chính là tâm đường tròn, đo khoảng cách từtâm này đến điểm chính là bán kính đĩa.

Cách thức thực hiện:

- Giáo viên chuẩn bị ba tấm bìa carton có hình dạng tương tự chiếc đĩa cỗ hìnhtròn, giao nhiệm vụ cho ba nhóm tìm bán kính chiếc đĩa theo các hướng khác nhau

- Nhóm thực hiện yêu cầu củ thể ý b).

Hình ảnh hoạt động của các nhóm sau khi nhận nhiệm vụ

Hình ảnh sản phẩm thu được của các nhóm sau khi hoạt động

2.2 Giải pháp 2: Rèn luyện kỹ năng sử dụng mô hình toán học để giải bài toán.

Mô hình toán học của tình huống thực tiễn là công cụ đắc lực giúp conngười nghiên cứu khám phá các tình huống mà họ mô tả Bởi vậy, trong dạy họctoán, cần tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của mô hình, quen dầnvới việc sử dụng mô hình toán học trong hoạt động thực tiễn

Bản thân mô hình cũng là một bài toán nên có thể khai thác, phục vụ chomục đích dạy học Mặt khác, trong quá trình khai thác các chức năng của mô hình

mới có điều kiện phát hiện ra điều còn tồn tại để điều chỉnh, làm cho mô hìnhthực sự “tốt” hơn trong điều kiện có thể thực hiện được, có thể đạt được nhiềumục đích trong dạy học, đồng thời góp phần đưa toán học xâm nhập sâu rộng vàotrong cuộc sống.

Phương pháp thực hiện:

- Khai thác các bài toán trên một số mô hình nhằm rèn luyện cho học sinh nắm

chắc công cụ này trong việc vận dụng vào thực tiễn

- Tổ chức cho học sinh hoạt động sử dụng mô hình để dự đoán, ước tính kết quảcủa tình huống trong thực tiễn

- Tổ chức cho học sinh biến đổi mô hình theo dụng ý của mình nhằm phát triển trítuệ cho người học, đồng thời rèn luyện kĩ năng điều chỉnh mô hình, góp phần giúphoạt động toán học xâm nhập sâu rộng vào tình huống thực tiễn

- Tổ chức cho học sinh trải nghiệm thực tế qua vận dụng các mô hình toán học vào

đo đạc, tính toán và xử lý các số liệu thu thập được Bước đầu giúp học sinh làmquen với ứng dụng thực tiễn của các mô hình Toán học

Ví dụ 1. Các vật liệu xây dựng đều có hệ

số giãn nở Vì thế, khi đặt dầm cầu, người

ta thường đặt cố định một đầu dầm, đầu

còn lại đặt trên một con lăn có thể di động

được nhằm giải quyết sự giãn nở của vật

liệu Hình ảnh bên minh họa một dầm cầu được đặt ở hai bên bờ kênh, giới hạn bởihai cung parabol có cùng trục đối xứng Người ta thiết kế các thanh giằng nối haicung parabol đó sao cho các thanh giằng theo phương thẳng đứng cách đều nhau

và cách đều hai dầm Tính tổng độ dài của tất cả các thanh giằng theo phươngthẳng đứng

Phân tích bài toán:

- Chọn hệ trục toạ độ phù hợp với tình huống thực tế

- Từ các thông số đã đo được ta có thể xác định toạ độ của các điểm thuộc đồ thị

và đỉnh của Parabol tương ứng

- Phương pháp tìm hàm số bậc hai khi biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm và toạ độđỉnh

- Độ dài các thanh giằng tương ứng với giá trị hàm số Cách tìm giá trị hàm số khibiết đối số

Lời giải

Mô hình hóa Toán học (Mô hình phương trình Parabol) :

GV hướng dẫn học sinh chuyển đổi từ vấn đề của tình huống thực tiễn dưới dạng

mô hình hóa Toán học là các phương trình Parabol.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên, trong

đó hai điểm nằm trên trục hoành và gốc tọa

độ là trung điểm của đoạn thẳng Gọi

phương trình của Parabol ở phía trên là

.Gọi phương trình của Parabol ở phía trên là

Giải bài toán trên mô hình Toán học đã thiết lập được:

HS giải quyết bài toán trên mô hình hóa Toán học quen thuộc đó là việc tìm các hệ

số của hàm số bậc hai và từ đó giải quyết được vấn đề thực tiễn.

Vì đi qua ba điểm nên ta có hệ phương trình:

phương trình Parabol vào giải quyết bài toán thực tiễn, từ đó giúp các em nắm vững các kiến thức lý thuyến và biết sử dụng nó trong cuôc sống sau này.

Ví dụ 2 (Tìm độ nghiêng của tháp nghiêng Pisa)

Tháp nghiêng Pisa nổi tiếng có chiều cao là feet Góc nâng nhìn từ điểm cách chân tháp một khoảng feet lên đỉnh của tháp có số đo là Tìm

số đo góc và tìm khoảng cách từ đỉnh của tháp đến đường thẳng

Lời giải

Mô hình hóa Toán học (Mô hình biểu diễn hình học):

Mô hình hoá tình huống trên bằng hình vẽ như sau:

Như vậy bài toán thực tiễn thực chất là bài toán giải tam giác HS cần nắmvững hệ thực lượng trong tam giác vuông, tam giác bất kỳ, kĩ năng xác định cạnh,

Q

0

123 ft 184,5 ft

R

Học sinh có thể sử dụng các mô hình toán học khác nhau để giải quyết bàitoán, qua đó rèn luyện các năng lực: năng lực xây dựng mô hình Toán và năng lựclàm việc với mô hình Toán cho học sinh.

Giải bài toán trên mô hình Toán học đã thiết lập được:

Cách 1: Theo định lí cosin, ta có:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

Gọi là chân đường cao kẻ từ đến Ta có

Vậy khoảng cách từ đỉnh của tháp đến đường thẳng là:

Cách 2: Áp dụng định lí sin ta có

Vậy khoảng cách từ đỉnh của tháp đến đường thẳng là:

biểu diễn hình học, từ đó đưa về sử dụng các công cụ hình học cho tam giác vào giải quyết bài toán thực tiễn, từ đó giúp các em nắm vững các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác và biết sử dụng nó trong cuôc sống sau này.

Ví dụ 3. Nhảy bungee là một trò chơi mạo hiểm Trong trò chơi này, người chơiđứng ở vị trí trên cao, thắt dây an toàn và nhảy xuống Sợi dây này có tính đàn hồi

và được tính toán chiều dài để nó kéo người chơi lại khi gần chạm mặt đất (hoặcmặt nước)

Chiếc cầu trong hình bên có bộ phận chống đỡ dạng parabol Một người thực hiện

cú nhảy bungee từ giữa cầu xuống với dây an toàn Người này cần trang bị sợi dây

an toàn dài bao nhiêu mét? Biết chiều dài của sượi dây đó bằng một phần bakhoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước

Vì thuộc parabol của hàm số nên ta có hệ phương trình:

Khi đó phương trình parabol cần tìm là

Giải bài toán trên mô hình Toán học đã thiết lập được:

-80 -60 -40 -20

80 60 40 20

46,2m

C

F

B A

E

D

Ta có

Khoảng cách từ vị trí nhảy đến mặt nước là

riêng và Toán học nói chung rất phổ biến trong thực tiễn.

Ví dụ 4. Một ô tô đi từ và nhưng giữa và là một ngọn núi cao nên ô tôphải chạy thành hai đoạn đường từ đến và từ đến , các đoạn đường nàytạo thành tam giác có và góc , biếtrằng cứ đường ô tô phải tốn lít dầu Diezen

a) Tính số dầu ô tô phải tiêu thụ khi chạy từ đến mà phải qua

b) Giả sử người ta khoan hầm qua một núi và tạo ra một con đường thẳng từ đến thì ô tô chạy trên con đường này tiết kiệm được bao nhiêu tiền so với chạyđường cũ biết rằng lít dầu giá nghìn đồng

Lời giải

Mô hình hóa Toán học (Mô hình biểu diễn hình học):

Mô hình hoá tình huống trên bằng hình vẽ như sau:

Giải bài toán trên mô hình Toán học đã thiết lập được:

a) Tổng quãng đường ô tô phải đi từ đến mà phải qua là

.Vậy số lít dầu mà ô tô phải tiêu thụ là lít

b) Giả sử có con đường chạy thẳng từ đến , khi đó:

Vậy quãng đường rút ngắn được khi đi ô tô theo con đường thẳng (không đi

Số tiền tiết kiệm được là (nghìn đồng)

đường AC Đồng thời, nó cho thấy một thực tế rằng nếu trong quy hoạch giao thông sử dụng các công nghệ tiên tiến hiện đại để tạo ra các con đường thẳng nối giữa các thành phố, các tỉnh hay các địa điểm khác nhau sẽ giúp giảm chi phí đi lại, tiết kiệm thời gian, tiết kiệm nhiên liệu từ đó giúp giảm khí thải từ phương tiện giao thông, giảm tai nạn giao thông Có thể nêu ví dụ cụ thể như: Đuờng hầm Hải Vân, các cây cầu bắc qua sông, đường hầm vượt sông Sài Gòn, đường bay vàng

Hà Nội Sài Gòn, mang lại hiệu quả kinh tế rất cao.

Ví dụ 5. Cột cờ Lũng Cú là cột cờ Quốc gia, nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi làđỉnh núi Rồng (Long Sơn) thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang,cách cực Bắc Việt Nam khoảng Thời nhà Lý, cột cờ Lũng Cú chỉ đượclàm bằng cây sa mộc Ngày nay, cột cờ có độ cao bao gồm bệ cột cao

và cán cờ cao Chân cột cờ có mặt phù điêu bằng đá xanh môphỏng hoa văn của mặt trống đồng Đông Sơn và những họa tiết minh họa các giaiđoạn qua từng thời kì lịch sử cuả đất nước, cũng như con người, tập quán của cácdân tộc ở Hà Giang Trên đỉnh cột là Quốc kì Việt Nam có diện tích , biểutượng cho dân tộc ở nước ta Từ chân bệ cột cờ và đỉnh bệ cột cờ bạn Nam đođược góc nâng (so với phương nằm ngang) tới một vị trí dưới chân núi lần lượt là