Luận văn thạc sĩ Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán: Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp mười

với sự đôi mới trong chương trình giáo duc phô thông nim 2018, trong nội dung hệ bat phương trình bậc nhất hai ân chương trình cũng đã nêu rõ các yêu cầu cần đạt khi HS học tri tri thức

Nguyễn Huỳnh Phương Thy

BOI DUONG NANG LUC MÔ HÌNH HÓA

TOAN HOC TRONG DAY HOC

HE BAT PHUONG TRINH BAC NHAT HAI AN

O LOP MUOI

LUAN VAN THAC SI KHOA HOC GIAO DUC

Thanh phố Hồ Chi Minh - 2023

Nguyễn Huỳnh Phương Thy

BỎI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA

TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC

HỆ BÁT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÁT HAI ÁN

Ở LỚP MƯỜI

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Ma: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYEN AI QUOC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn nay là công trình nghiên cứu độc lập những trích dẫn trong

luận văn déu chính xác và đáng tin cậy.

Tác giả

Nguyễn Huỳnh Phương Thy

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bảy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến với TS Nguyễn Ái Quốc, người đã tận tình hướng

dẫn, góp ý và giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến với PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Thái

Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng đã tậntình giáng dạy, truyền đạt các kiến thức quý báu trong chuyên ngành lý luận và phương pháp

giảng day bộ môn Toán Các thay cô đã đem đến các bài giảng cũng với những chi dan, giải

thích giúp các học viên hiểu rõ hơn về chuyên ngành này.

Bên cạnh đó, tôi gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau đại hoc, Khoa Toán — Tin học trường Đại

học Sư phạm Thành phố Hỗ Chi Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lời dé các học viên được học tập va hoàn thành luận văn một cách tot nhất.

Tiếp đến, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Thông, Châu

Thanh, Long An, cảm ơn cô Nguyễn Thị Ngọc Sương — giáo viên bộ môn Toán khối lớp 10,

cảm ơn tập thê lớp 10A2 đã tạo điều kiện và hỗ trợ tôi tiền hành thực nghiệm

Cuối cùng, tôi rat trân trọng sự chia sẻ của các bạn học viên cùng khóa, sự động viên của

những người thân trong gia đình đã cho tôi niềm tin, động lực đề thực hiện luận văn và hoan

thành khóa học.

Nguyễn Huỳnh Phương Thy

DANH MỤC CÁC SƠ DO

Sơ đồ 1.1: Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak - 52 52 s2£Ez2£E2z£ESz2v2xzz 13

Sơ đồ 1.2: Quy trình mô hình hóa theo Swetz và Hartzler 1991 -2 5+- 13

Sơ đồ 1.3: Quy trình mô hình hóa theo Bloom năm 2006 20 5S se: 14

Sơ đề 1.4: Quy trình mô hình hóa theo Stillman, 2007 ẶĂcScsSeeeeeiee 15

Sơ đồ 1.5: Các bước tô chức hoạt động mô hình h6a ccccecseeseeeceeseesseessesssesseeseeeseeeees 16

Bảng I.1:

DANH MỤC CAC BANG

Thang đo đánh giá NUMHHTH của nhóm tác giả Dương Hữu Tong, Nguyễn

Phú Lộc, Bùi Phương Uyên, Lê Thị Giang (20119) - S cà Scceeeeerrrerrree 21 Bang 1.2: Thang do đánh giá NLMHHTH của nhóm tác gia Chan Chun Ming Eric, Ng

Kit Ee Dawn, Widjaja Wanty, Cynthia Seto (20121 23

Bảng 1.3 Mức độ đạt được ở thành tổ 1 đối với bài toán khảo sát - 39

Bang 1.4 Mức độ dat được ở thành tô 2 đối với bài toán khảo sát 40

Bang 1.5 Mức độ đạt được ở thành tô 3 đối với bài toán khảo sát 4]

Bảng 1.6 Thông kê ý kiến của GV đối với câu hỏi khảo sát § - 5-55: 45 Bang 2.1 Thông kê các tô chức toán học liên quan đến hệ bat phương trình bậc nhất hai HtrtO ggqjaa 59 Bảng 2.2 Thong kê các tô chức toán học liên quan đến hệ bat phương trình bậc nhất hai T1 mm ˆ 70

Bang 3.1 Kết quả thực hiện của HS đổi với bài toán thực nghiệm Ì 95

Bang 3.2 Két qua thực hiện của HS đôi với bài toán thực nghiệm 2:.::;::::-:::-:::-c¿«c:o:-: 90 Bảng 3.3 Đánh giá tiêu chí | trong thang đánh giá đối với bai toản 2 100

Bảng 3.4 Đánh giá tiêu chí 2 trong thang đánh giá đối với bài toán 2 - 101

Bang 3.5 Đánh giá tiêu chí 1 trong thang đánh giá đối với bài toán 2 103

Bảng 3.6 Đánh giá tiêu chí 1 trong thang đánh giá đối với bài toán 2 103

Bảng 3.7 Đánh giá tiêu chí 1 trong thang đánh giá đối với bài toán 2 105

Bảng 3.8 Kết quả thực hiện của HS đôi với bài toán thực nghiệm 3 106

Bang 3.9 Kết qua thực hiện của HS đối với bài toán thực nghiệm 2 110

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 HS sử dụng hệ phương trình giải quyết bai toán khảo sát - 38

Hình 1.2 Trích phan giải quyết bài toán toán học (bài khảo sát) của HS 40

Hình 1.3 Ý kiến của GV đối với câu hỏi khảo sát l cc sec 44 Hình 1.4 Ý kiến của GV đối với câu hỏi khảo sát 2 . ccvcccrrcrrreee 44 Hình 3.1 Trích bai làm của HS đối với yêu cầu la 2-22-225-cccscvzccrsccrscee 96 Hình 3.2 Trích bài làm của HS đối với yêu cầu Ic ¿-2©c-2©ccsccxzccczee 97 Hình 3.3 Trích bài làm HS chưa kết luận GTLN, GTNN của hàm mục tiêu (Ie) 97

Hình 3.4 Trích bài làm HS đang tìm tọa độ các đính của miền đa Điảc (( È)( e- : 97

Hình 3.5 Trích bài làm HS xá định sai tọa độ đình của miễn đa giác (Í€)‹-:::-::: : ::-:: 98

Hình 3.6 Trích bai làm HS sử dụng hệ phương trình giải quyết bai toán 2 99

Hình 3.7 Trích bài làm HS xác định được mô hình toán học trong bai toán 2 100

Hình 3.8 Trích bài làm HS giải quyết mô hình toán học trong bài toán 2 102

Hình 3.9 Trích bài làm HS xác định sai tọa độ các đỉnh của miễn đa BI !Liii22i0i2iit2zin 103 Hình 3.10 Trích bài làm HS HS giải đáp sai tình huống -55225cccScse- 105 Hình 3.11 Trích bài làm xây dựng mô hình bai toán 3 của các nhóm 107

Hình 3.12 Trích bài làm HS giải quyết mô hình toán học trong bài toán 2 108

Hình 3.13 Trích bài làm nhóm xác định sai tọa độ đính đối với bài toán 3 108

Hình 3.14 Trích bài làm nhóm giải đáp đúng tình huéng bai toán 3 109

Hình 3.15 Trích bài làm nhóm giải đáp đúng tình hudng bài toán 3 109

Hình 3.16 Trích bài lam nhóm hoản thành giải quyết bai toán 4 - 5: 111 Hình 3.17 Trích bài làm nhóm chưa xây dựng mô hình đối với bài toán 4 11]

Hình 3.18 Trích bai lam xây dung mô hình đối với bài toán 5 - - 114

Hình 3.19 Trích bài làm nhóm 3 đối với bài toán 5 - 2-22 ©2zZcczzcrzzccsz 114 Hình 3.20 Trích bài làm nhóm giải quyết mô hình đối với bài toán 5 116

Hình 3.21 Trích bài làm nhóm không giải quyết được mô hình đối với bai toán 5 116

Hình 3.22 Trích bài làm nhóm cho lời giải đáp tình huống đối với bài toán 5 117

: Sách giáo khoa : Năng lực mô hình hóa toán học

: Hệ bat phương trình bậc nhất hai an

1.1.4 Thang do về các mức độ của năng lực mô hình hóa toán học 211.2 Chuyến hóa sư phạm vẻ cực trị của hảm mục tiÊu 525522222222ss22sccssv2 24

1.2.1 Bai toán quy hoạch tuyển SOTA (ssa c22:t221022161200621202201222102103102240220222.161:152) 24

1.2.2 Bài toán tìm cực trị của ham mục tiêu ở cấp THPT - 252 s2sc2zsszcs2 28

l3 - (Øs#ởW6ELooooaeoaaoanooa-nninniiiaiiininiiiidiiiadisiiisiiiatitaiiiidiiisgitsilisigisitisil 30

1.3.1 Thực trạng giải quyết vẫn dé thực tiễn của học sinh -5-c5-ccs<, 30

1.3.2 Thực trạng day học bồi đưỡng năng lực mô hình hóa toán học của giáo viên 42

4280, 001 008 5< 46Chương2 MOI QUAN HỆ THẺ CHE TOÁN 10 DOI VỚI HỆ BAT PHƯƠNGTRÌNH Bä€CNHẤT HAI ẤN ssssesssccassssscssstsssssssecssscsssssassssscssascssecsssasscassccssatssanssseasssesssasasss 47

2.1 Hệ bat phương trình bậc nhất hai ân trong chương trình Toán 10 hiện hành 47

2.2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ân trong SGK Toán 10 hiện hảnh 49

243 Hệ bat phương trình bậc nhất hai ân trong giáo trình Precalculus của Mỹ 62

Kết luận CHưƠ BE Êsneiioikoiibikiinniiitici110210011033013311565565340531333536563388388585533558555858535565588558855E 72

Chưwơug3 THUC NGHIỆM SƯ PHẠM c-c.coecoễeễễeoễeoVeeeeoễeeoree 74

3.1 Nôn:thìngitTG TIDHGTTE:saiainaiiini2iniaiiiaiiteiit6i1i2410021145101211121102711250134112355135808388850555) 74

3.1.1 Giới thiệu các tình huông (he ñghiỆTÏ::::czc:ccccccccoccoziiciiicitioiioooisioioioraooos: 74

SEC), Enii010i80EI0NIDONI i02 nan ann ca ẽc 77

3.2 Đối tượng thực nghi@m oo cece ecceecceeceeeceeeseeseessecssesseeseeseeeseeseesseesseeseesenseeteees 79 SiS; (PHẩn(6ñi(EningBIERisososoeananoanninrrpoarrinn-ttnntinttttdtitdnlitiatiotitsstrre 79

SiS, Biểnvả giôiif]i6ñR:6hfBE-:csscsccaiceeiosiiosiituiiieiit044066i02612164032403821884338488443841384338444 79

3.3.2 Chiến lược và cái có thé quan sát được, ảnh hưởng của biến §0

1,3:5 EliRni6hBIkIcHDlRsissasieieiiziiaiti4ii221015100233024001201123102501534066261203844032383333838188286840 94 3.4 PhânchiNậU nghiỆNĩ::-:::-::-:-:: :::-:-cc-c::ccss co ccc c2 ccoecococcocaoc 94

3.4.1 Phân tích kết quá thực nghiệm bai toán Ì 5c 5225221 s2 se —- 95

3.4.2 Phân tích kết quả thực nghiệm bải toán 2G cc-ccccccc.-ee 98

3.4.3 Phân tích kết quả thực nghiệm bài toán 3 - 5 5-55scccccrrcrrecrrs 106

3.4.4 Phân tích kết qua thực nghiệm bai toán 4 - 22 +c+zccrszrczceee 1103.4.5 Phân tích kết qua thực NAME ALCOA S: saossaoaosiaiiioaaoaioanaa-raiới-ớớớan: 113

TT ee en 118

KẾT DUI sisssicssinscsccsscsssnisannnininanainimnannnanmnnnnamnnnnmane 120TÄHLIEU ye): scccctececcecccccccectiiiccciccecocgit2102261122620262866282605265555E 121

PHỤ LỤC

MỞ ĐÀU

1 Lí đo chọn đề tài

1.1 Ghi nhận khởi đầu

Giáo đục Việt Nam đang thực hiện đổi mới từ mục tiêu chủ yếu trang bị kiến thức

sang phát trién toan điện nang lực và pham chất người học dé phủ hợp với sự phát trién,

sự thay đối trong phát triển kinh tế - xã hội theo xu hướng tồn cầu hĩa Chương trình

giáo dục phơ thơng tơng thê xác định:

Mơn Tốn ở trường pho thơng gĩp phan hình thành và phát triển các phẩm chất chủ

yếu, năng lực chưng và năng lực tốn học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năngthen chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng tốn học vào thực tiên;

tạo lập sự kết nĩi giữa các ý tưởng tốn học, giữa Tốn học với thực tiển, giữa Tốn học

với các mon học và hoạt động giáo dục khác.

(Bộ Giáo dục - Dao tạo, 2018, trang 3)

Mục tiêu giúp HS ứng dụng kiến thức Tốn học vào thực tiễn xuất hiện xuyên suốt

trong chương trình mơn Tốn 2018, tức là hướng đến việc HS nhận thấy ý nghĩa và vai

trị của kiến thức tốn trong đời sơng, phát triển khả năng giải quyết các van dé thực tếbằng cơng cụ Tốn học Đối với yếu tơ năng lực tốn hoc cho HS, chương trình đã dé ra

mục tiêu như sau:

“Hình thành và phát triển năng lực tốn học bao gém các thành tổ cốt lõi: năng lực

tr duy và lập luận tốn học; năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải quyết van détộn học; năng lực giao tiếp toản học; năng lực sử dung cơng cụ phương tiện học tốn ”

(Bộ Giáo dục - Đảo tạo, 2018, trang 6) Việc phát triển 5 năng lực tốn học ma chương trình giáo dục phố thơng năm 2018

dé cập đến sẽ phối hợp nhau giúp đạt được mục tiêu mà chương trình hướng đến, trong

đĩ năng lực mơ hình hĩa tốn học cĩ vai trỏ quan trọng trong xu hướng tăng cường tính

thực tiền trong dạy học Tốn Liên hệ thực tiễn giúp HS học tập tốn một cách tích cực,

chủ động và cĩ ý nghĩa, thúc day niềm đam mê học tốn Năng lực mơ hình hĩa tốn

học là tông hợp việc chuyên từ van dé thực tiễn sang bai toán mô phỏng, tử bài toán môphỏng sang bài toán toán học và sử dụng các mô hình toán học dé xử lý bài toán đó,

chuyên kết quả của bài toán toán học sang thực tiễn và kiểm tra tinh hợp lý của nghiệm

trước khi đưa ra kết quả bài toán thực tiễn ban đầu.

Phương trình và bat phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương

trình Toán phô thông Trong đó nội dung hệ bất phương trình bậc nhất hai ân trong

chương trình môn Toán lớp 10 có các yếu tổ như nghiệm, tập nghiệm, miền nghiệm,biêu dién miền nghiệm Với khái niệm nghiệm tập nghiệm thi HS đã được giới thiệu khi

học về phương trình (bậc nhất một ân, bậc nhất hai ân, bậc hai một ân); bắt phương trình

bậc nhất một an hay hệ phương trình (bậc nhất hai ân) Khác biệt so với các nội dung vềphương trình, bất phương trình mà HS đã được tiếp cận trước đó chính là quy tắc thựchành biểu điển miễn nghiệm thay cho các phương pháp giải biến đổi đại số Bên cạnh

đó với sự đôi mới trong chương trình giáo duc phô thông nim 2018, trong nội dung hệ

bat phương trình bậc nhất hai ân chương trình cũng đã nêu rõ các yêu cầu cần đạt khi HS

học tri tri thức này, trong đỏ có yêu cầu:

" Van dụng được kiến thức về bat phương trình, hệ bat phương trình bậc nhất hai

ẩn vào giải quyết bài toán thực tiền (ví dụ: bài toán tìm cực trị của biểu thức F = ax +

by trên mot miền da giác, )."

(Bộ Giáo dục - Dao tạo, 2018, trang 79)

Từ sự khác biệt về đặc trưng và cách giải của hệ bất phương trình bậc nhất hai ân

với bat phương trình và hệ bat phương trình bậc nhất một an cũng như yêu câu liên quan

đến thực tiễn ma chương trình đưa ra có thê nhận thấy nội dung hệ bất phương trình bậc

nhất hai an là một chủ dé khó Tuy nhiên, nội dung này chưa gây được nhiều hứng thú

với HS, HS khó vận dụng cũng như chưa khám phá được mối liên hệ giữa nội dung nayvới các tinh huỗng thực tiễn Như vậy, dé nâng cao chất lượng giảng dạy, cũng như taođộng lực và hứng thú cho HS, GV cần có các biện pháp xây dựng các tình huống đạyhọc giúp bồi dưỡng năng lực toán học của người học

Với những sự thay đổi trong mục tiêu giáo dục mà chương trình tông thé năm 2018

đưa ra, các bộ SGK cũng được biên soạn với mục đích đáp ứng được các yêu cầu đó

Một trong các yêu cầu có thé ké đến là phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS,

chúng tôi gắn việc bồi dưỡng năng lực này với tri thức hệ bat phương trình bậc nhất hai

ân, từ đó giúp HS khám phá ra ứng dụng của kiến thức hệ bắt phương trình bậc nhất hai

an trong doi sông thực tiễn Nhưng bên cạnh đó việc làm thé nao dé có thé khai thác tron

vẹn ý đồ sư phạm của SGK cũng như xây đựng các tình huống day học dé bồi dưỡngnăng lực mô hình hóa toán học cũng là một thách thức đôi với GV

1.2 Tổng quan các công trình nghiên cứu liên quan van đề nghiên cứu

1.2.1 Năng lực mô hình hóa toán học 1) Developing the Competency of Mathematical Modelling: A Case Study of

Teaching the Cosine and Sine Theorems (2019) trong Tap chi Quốc tế về Học tập, Giảng

day và Nghiên cứu Giáo dục của nhóm tác giả Dương Hữu Tong, Nguyễn Phú Lộc Bùi

Phương Uyên, Lê Thị Giang.

Công trình nghiên cứu nhằm nâng cao năng lực mô hình hóa toán học của học sinh

thông qua việc giảng dạy các định lý sin và cosin Các tác giả lựa chọn quy trình mô hình

hóa toán học gồm 7 bước , sử đụng phương pháp phân tích định tính dé đánh giá kết quảhoạt động của học sinh về năng lực mô hình toán học thông qua bảng đánh giá 6 tiêu chí

với 4 mức cấp độ tương ứng của chúng Bên cạnh đó, nghiên cứu nhằm mục đích hỗ trợ

học sinh nhận ra khả năng ứng dụng của toán học trong cuộc sống thực tiền, có khả năng

sử dụng toán học dé giải quyết các sự việc trong thé giới thực, đồng thời rèn luyện các

kỹ năng thực hảnh trong các hoạt động cá nhân và làm việc nhóm.

2) Pham Anh Lý (2012), Nghiên cứu việc day học hệ phương trình bậc nhất hai an

trong môi liên hệ với mô hình hỏa toán học, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạmThành phố Hồ Chí Minh

Tác giả tóm tắt các kết quả nghiên cứu liên quan đến mô hình hóa trong phan “co sở

lí luận”, trong đó tác giả đưa ra quy trình mô hình hóa toán học (tham khảo Nguyễn Thị

Nga, 2011) cùng với các lợi ích, khó khăn của việc dạy học mô hình hóa toán học Bên

cạnh d6,chi ra sự quan tâm đến day học mô hình hóa toán học ở Việt Nam và các nước

khác (Pháp, Úc, Mỹ, Hà Lan, Anh, Đức) Sau đó phân tích thé chế day học ở bậc đại học

va bậc trung học phô thông đối với khái niệm hệ phương trình tuyến tính trên quan điềm

mô hình hóa, từ đó xây dựng đô án day học bằng mô hình hóa với khái niệm hệ phươngtrình bậc nhất hai ân

3) Doan Nhật Duật (2014), Mô hình hóa trong dạy học khái niệm logarit ở trường

phô thông, Luận văn thạc sĩ, Đại học Sư phạm Thành phố Hỗ Chí Minh

Tác giả đã đưa vào cơ sở lý luận các khái niệm như dạy học tích cực, dạy học mô

hình hóa, dạy học bằng mô hình hóa, quá trình mô hình hóa toán học và đạy học mô hình hóa xét trên tư tưởng chủ đạo là làm rõ vai trò công cụ của khái niệm logarit; chỉ ra được

các lợi ích của day học tích hợp, tam quan trọng của day học mô hình hóa giải quyết tìnhhuồng thực tế khi liên kết với các môn khoa học khác Tiếp theo tác giả tìm ra tính ứng

dụng của khái niệm logarit trong thực tế ở các môn khoa học như Vật lý (phóng xa mứccường độ âm), Hóa học (độ pH), Sinh học (sinh trưởng của vi sinh vật) Cuối cùng, tiền

hành xây dựng đồ án day học MHH khái niệm logarit với mục đích rèn luyện kỹ nang

mô hình hóa các tình huống thực tế vào toán học.

4) Đoàn Công Thanh (2015), Mô hình hóa trong day học khái niệm vecto ở hình học

lớp 10, Luận văn thạc sĩ, Đại hoc Sư phạm Thành pho Hồ Chi Minh

Tác giả đã làm rõ các đặc trưng và lợi ích của mô hình hóa trong việc day vả học

môn Toán ở phan “co sở lí luận”, trong đó tác giả đưa ra quy trình mô hình hóa toán học(tham khảo Nguyễn Thị Nga, 2014) Tiếp đến, phân tích thẻ chế day học Toán và Vật lý

ở bậc trung học phô thông tại Việt Nam và Mỹ đối với khái niệm vecto trên quan điểm

mô hình hóa Qua các nhận xét trên, ở chương 3 tác giả đã thực hiện 2 thực nghiệm đề

chỉ ra các khó khăn của học sinh, từ đó xây dựng tiểu đồ án day học khái niệm vecto cho

học sinh lớp 10 gắn với mô hình hóa toán học thông qua tình huồng vật ly va thực tiến

5) Lê Thị Hoài Châu, Nguyễn Thị Nhân (2019), Đánh giá năng lực mô hình hóa củahọc sinh trong day học chủ dé “Tim giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số” ở lớp

12, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.

Tác giả trình bay khái niệm cơ bản như: năng lực mô hình hóa, cấu trúc của năng

lực mô hình hóa, các cách tiếp cận đánh giá năng lực mô hình hóa Giới thiệu phương pháp luận đề xây đựng một thang đánh giá năng lực mô hình hóa Sau đó tác giả trình bày thang đánh giá nang lực mô hình hóa tông quát và thang vận dụng cho chủ dé tìm

giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của ham số day ở lớp 12

6) Lê Hồng Quang (2019), Nghiên cứu về khung năng lực mô hình hóa toán học của

học sinh trung học phô thông, Tạp chí Khoa học, Đại học Sư phạm Hà Nội.

Tác giả đã dé xuất khung năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trung học phd

thông, làm căn cứ cho nghiên cứu biện pháp sư phạm nhằm nâng cao năng lực mô hình

hóa toán học của học sinh Bên cạnh đó, tác giả đã đưa ra các đề xuất như: cần có sự thay

đôi trong phương pháp dạy học một cách tích cực; học sinh có cơ hội trải nghiệm giải

quyết van dé thực tiễn, giáo viên khuyến khích, tạo động cơ học tập, học sinh cần được

bồi dưỡng nang lực mô hình hóa toán học

7) Huỳnh Thị Phước (2019), Mô hình hóa trong dạy học khái niệm xác suất ở trườngtrung học phô thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư pham Thanh phô Hồ Chí

Minh.

Tác giả tom tắt các kết quả nghiên cứu liên quan đến mô hình hóa trong phan “co sở

lí luận” như mô hình hóa toán học, năng lực mô hình hóa toán học, đông thời tác giả lựa

chọn quy trình mô hình hóa toán học (tham khảo Nguyễn Thị Nga, 2014) Sau đó tiếnhanh tìm hiều mô hình hóa trong dạy học khái niệm xác suất ở nước ta cùng với việcphân tích giáo trình Precalculus giảng day ở Mỹ Từ đó nhận thấy có những điểm giống

nhau về van đề mô hình hóa (bước kiêm định kết quả không xuất hiện) Tiếp đến, tác giả

tiễn hành thực nghiệm, xây dựng một vai tình hudng thực tế, động thời xem xét khả năng

thiết lập mô hình sơ đồ cây ở học sinh, rẻn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết mộtbai toán thực tế thông qua 4 bước của mô hình hóa

8) Hoang Phương Quynh (2020), Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho họcsinh trong dạy học đại số lớp 7, Luận văn thạc si, Trường Đại học Giáo duc, Đại họcquốc gia Hà Nội

Tác giả đưa ra chỉ tiết các yếu tô của mô hình hóa toán học, năng lực mô hình hóa

toán học làm cơ sở lí luận; phân tích, tìm hiệu các kết quả nghiên cứu của các tác giả

trong và ngoài nước, nội dung chương trình, SGK toán 7 tập 1 về mô hình hóa toán học

Sau đó dé xuất các biện pháp nhằm bồi dưỡng và phát triển năng lực mô hình hóa toánhọc cho học sinh Dựa vào các biện pháp đã xây dựng tác giả trình bày một số giáo án

nhằm phát triển nang lực mô hình hóa cho học sinh cũng như tiền hành thực nghiệm sư

phạm dé bước đầu kiểm chứng tính hiệu quả và tính khả thi của kết qua nghiên cứu

9) Nguyễn Thi Thu Thảo (2020), Phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học

sinh thông qua đạy học nội dung hàm số chương trình lớp 12, Luận văn thạc sĩ, TrườngĐại học giáo dục, Đại học quốc gia Hà Nội

Tác giả trình bày cụ thê và làm rõ được cơ sở lí luận về mô hình hóa toán học, cácbước của quá trình mô hình hóa, năng lực mô hình hóa toán học và các thành tố của năng

lực mô hình hóa Sau đó tác giá đưa ra một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa

toán học của học sinh thông qua dạy học nội dung hàm số trong chương trình lớp 12.Cuối cùng tac giá tiến hành kiêm nghiệm và đánh giá thông qua phương pháp thực

nghiệm sư phạm và xin ý kiến giáo viên.

1.2.2 Bất phương trình bậc nhất hai ân1) Nguyễn Thị Nhung (2012), Một nghiên cứu didactic về dạy học hệ bất phương

trình bậc nhất hai an, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành phô Hỗ Chi

Minh.

Tác giả tìm hiểu ứng dụng của hệ bat phương trình bậc nhất hai an qua đó hiểu được

vai trò trong việc gắn kết toán học với thực tế Tác giả tìm ra mối liên hệ giữa hệ bat

phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai an thông qua phân tích va tông hợp các

giáo trình đại học Sau đó tác giả tiến hành phân tích thực hanh giáng day của GV nhận

thay giữa tri thức cần day và tri thức được dạy không có độ lệch Đồng thời kết quả thựcnghiệm giúp tác giả tim ra sai [am của HS khi tìm phương án bat kỳ của bai toán thực tế

2) Vũ Thị Lan Anh (2020) Dạy học khám phá chủ đề bất phương trình và hệ batphương trình bậc nhất hai an ở lớp 10 Luận văn thạc sỹ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Tác giả nêu cơ sở lý luận về dạy học đặc biệt là phương pháp dạy học khám phá

trong trường học Đồng thời tìm hiểu thực tiễn day học chủ dé bat phương trình và hệ

bat phương trình bậc nhất hai ân ở lớp 10 Tiếp đến tác giả đã trình bay cơ sở lý thuyếtcủa chủ dé bat phương trình và hệ bat phương trình bậc nhất hai ân Trong chương 3, tácgiả trình bảy các lưu ý và nguyên tắc xây đựng giáo án áp dụng phương pháp dạy học

khám phá Sau đó tác giả đã soạn các tiết giáo án cho chủ đề và thực nghiệm tại lớp học

Một cách tong quan, chúng tôi nhận thấy có khá nhiều các công trình nghiên cứuliên quan đến năng lực mô hình hóa toán học gắn liền với nhiều nội dung trong chương

trình Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào liên quan đến việc bồi đưỡng năng lực mô hình

hóa toán học trong day học hệ bat phương trình bậc nhất hai ân Cùng với đó, với chủ đề

hệ bat phương trình bậc nhất hai 4n có một vai công trình đã nghiên cứu, nhưng ở khía

cạnh nghiên cứu didactic hay day học khám pha.

Qua sự đổi mới của nền giáo dục Việt Nam, xuất phát từ mục tiêu của chương trình

giáo dục phô thông môn Toán 2018 và tông quan nghiên cứu đã đi đến việc lựa chọn tên

dé tài nghiên cứu “B6i dưỡng năng lực mô hình hóa toán học trong day học hệ bat

phương trình bậc nhất hai an ở lớp Mười”, cùng với các câu hỏi khởi đầu được đặt ra:

QI: Chương trình Toán 10 đã đặt ra các yêu cầu nào đối với tri thức hệ bat phươngtrình bậc nhất hai an? Năng lực toán học cần đạt sau khi học tri thức này là gì?

Q2: Chương trình Toán 10 đã xây dựng nội dung của tri thức hệ bat phương trìnhbậc nhất hai ân như thé nao? Các dang toán nào được đưa ra trong chương trình? Cáchthiết kế nội dung hệ bat phương trình bậc nhất hai an cho phép bồi dưỡng được năng lực

mô hình hóa toán học cho học sinh như thể nào?

Q3: Học sinh có những biéu hiện cụ thé nào của các thành tổ của năng lực mô hình

hóa toán học khi giải quyết một số van đẻ thực tiễn bằng hệ bat phương trình bậc nhất

hai ân? Các biểu hiện nảy có thỏa mãn được yêu cầu cần đạt về năng lực toán học màchương trình giáo dục phô thông môn toán 2018 đã nêu trong mục tiêu không?

1.3 Xác định lại vẫn đề nghiên cứu

Qua các ghi nhận, câu hỏi khởi dau và các kết quả tìm được ở các công trình nghiêncứu liên quan, chúng tôi xác định các vấn đề nghiên cứu sau:

Dau tiên là tìm hiểu các yêu cầu cần đạt về tri thức, năng lực mô hình hóa toán học

gắn với tri thức hệ bat phương trình bậc nhất hai an.

Tiếp đến la phân tích các tô chức tri thức HBPTBNHA trong thé chế Toán 10 ở Việt

Nam trong SGK Chân trời sáng tao và thê chế day học ở Mỹ trong giáo trình Precalculus

Cuối cùng, xây dựng tình huống học HBPTBNHA qua đó bồi dưỡng NLMHHTH ở

HS Thực hiện đánh giá mức độ các biéu hiện của NLMHHTH ở HS qua thực nghiệm

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Dé tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu này trongphạm vi Didactic toán Cụ thê, chúng tôi sử dụng các khai niệm cua Thuyết nhân học

(mối quan hệ thê chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, các tô chức toán

học) và Lý thuyết tình huồng, trong đó:

- Thuyết nhân học dùng dé nghiên cứu mỗi quan hệ thé chế Toán 10 đối với đối

tượng HBPTBNHA; phân tích các tô chức toán học gắn liền với tri thức HBPTBNHA

- Lý thuyết tình huéng dùng dé phân tích mỗi quan hệ cá nhân của học sinh đối với

HBPTBNHA thông qua phân tích tiên nghiệm, các chiến lược giải có thể và các chiến

lược hiện hữu phân tích hậu nghiệm các sản phâm bài làm của học sinh trong thực

nghiệm tình hudng day học tri thức HBPTBNHA nhằm bồi dưỡng NUMHHTH của HS.

- Bên cạnh đó, sử dụng thang đánh giá mức độ của NLMHHTH được sử dung dé đo

mức độ nhận thức và đánh giá NLMHHTH của học sinh trong qua trình thực nghiệm.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đắi tượng nghiên cứu: Năng lực mô hình hóa toán học

Khách thể nghiên cứu: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ân

Doi tượng khảo sát: Học sinh lớp 10 THPT tại Thành phố Hỗ Chi Minh

Pham vi nghiên cứu:

Sách giáo khoa Việt Nam: Đại số 10; Chương II: Bắt phương trình va hệ bat phương

trình bậc nhất hai an; Bài 2: Hệ bat phương trình bậc nhất hai an.

Giáo trình Precalculus giảng đạy ở Mỹ: Chương 7: Phương trình và Ma trận; Bài

7.5: Hệ bất phương trình hai an

4 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

- Mục tiêu nghiên cứu: xây dựng tình huống đẻ bôi đưỡng NLMHHTH cho HS thôngqua day học chủ dé *Hệ bat phương trình bậc nhất hai an”, từ đó đánh giá biêu hiện cácthành tố của NUMHHTH cho học sinh trong chương trình lớp 10 ở trường THPT

- Dựa trên cơ sở lý thuyết tham chiều chúng tôi xây dựng lại các câu hỏi xuất phát

ban đầu thành các câu hỏi nghiên cứu sau:

QI: Năng lực toán học là gi? Nang lực mô hình hóa toán học là gì và bao gồm các

thành tố nào? Biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán học như thé nào?

Q2: Trong thé chế day học toán ở bac phô thông tại Việt Nam, chương trình Toán

10 đã đặt ra các yêu cầu như thế nào đối với tri thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ân?

Có các kiểu nhiệm vụ nào gắn liền với các van đẻ thực tiễn và giải quyết bằng hệ bat

phương trình bậc nhất hai ân?

Q3: Trong giáo trình Precalculus của Mỹ, tri thức hệ bat phương trình bậc nhất hai

an được giới thiệu như thé nao? Có các kiêu nhiệm vụ nào gắn liền với các van dé thực

tiễn và giải quyết bằng hệ bat phương trình bậc nhất hai an?

Q4: Các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học của học sinh lớp 10 có các biểu

hiện cụ thê như thế nào khi giải quyết các van dé thực tiễn bằng hệ bất phương trình bậcnhất hai ân? Các biểu hiện đó có đạt yêu câu cần đạt về năng lực toán học của chươngtrình giáo dục phô thông môn Toán 2018 hay không?

5, Giả thuyết nghiên cứu

Giả thuyết nghiên cứu sẽ được rút ra sau khi hoàn thành phân tích mỗi quan hệ thẻchế Toán 10 đối với hệ bat phương trình bậc nhất hai ân với các yếu tố cho phép bồi

dưỡng các thành tô của năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh,

6 Phuong phap nghién ciru

Phuong pháp nghiên cứu ly luận: Nghiên cứu va tông hợp một sé công trình, tài liệu

có liên quan đến mô hình hóa toán học, quy trình mô hình hóa toán học, năng lực, năng

lực toán hoc, nang lực mô hình hóa toán hoc, thang đánh gia nang lực mô hình hóa toán

học dé làm rõ các yếu tổ lý thuyết làm cơ sở lí luận cho đề tài.

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Phân tích chương trình phô thông môn Toán năm

2018, SGK môn Toán lớp 10 (bộ Chân trời sang tạo) và một giáo trình Precalculus ở Mỹ

để làm rõ các yêu cầu về năng lực mô hình hóa toán học, tri thức Hệ bat phương trìnhbậc nhất hai ẩn: xác định các kiêu nhiệm vụ gắn liền với các van dé thực tiễn và giải

quyết bằng hệ bat phương trình bậc nhất hai an

Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: xây dựng và tô chức tinh huéng dạy học nội

dung “Hệ bat phương trình bậc nhất hai an” nhằm bồi dưỡng NLMHHTH của HS.

7 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các một số khái niệm nên tang như: mô hình hóa toán học quy trình mô

hình hóa toán học, năng lực, năng lực toán học, năng lực mô hình hóa toán học, thang

đo nhận thức của Bloom, thang đánh giá năng lực mô hình hóa toán học.

Phân tích các thành tô và yêu cầu của nang lực mô hình hóa toán học trong chương

trình giáo đục phố thông môn Toán 2018, các yêu cầu của nội dung hệ bat phương trìnhbậc nhất hai ân

Phân tích các tô chức toán học gắn liền với hệ bat phương trình bậc nhất hai an, xác

định các kiêu nhiệm vụ gắn liền với các vấn đề thực tiễn và giải quyết bằng hệ bất phương

trình bậc nhất hai ân trong thê chế Toán 10 ở Việt Nam trong bộ SGK Chân trời sáng tạo

và thê chế day học ở Mỹ trong giáo trình Precalculus

Thiết kế và tô chức tình huồng đạy học nội dung hệ bất phương trình bậc nhất hai an

lớp 10 theo hướng bôi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho HS Thực hiện đánh

gia biéu hiện các thành tô của năng lực mô hình hóa toán học ở HS

8 Cấu trúc luận văn

Ngoai phan Me dau, Kết luận, danh mục Tài liệu tham khảo thì nội dung của luận

văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chúng tôi trình bay tóm tắt một số van dé về mô hình hóa toán học, quy trình môhình hóa toán học, năng lực toán học, NLMHHTH, các yêu cau can đạt về NUMHHTHtrong CTGDPTMT năm 2018 Từ đó, chúng tôi xem xét một thang đo dùng dé đánh giá

biểu hiện các thành tổ của NLMHHTH ở HS

Đồng thời chúng tôi thực hiện khảo sát một số giáo viên và học sinh khối lớp 10 tại

một trường trung học phô thông trên địa bàn Thành phô Hồ Chí Minh về NLMHHTH.

Chương 2 Mỗi quan hệ thê chế Toán 10 đối với hệ bất phương trình bậc nhấthai ấn

Trong chương này, mục tiêu là xem xét mức độ cho phép bồi đưỡng các thành tổ của

NLMHHTH thông qua các yếu tố có mặt trong SGK Toán 10, chang hạn các kiêu nhiệm

vụ, kỹ thuật, công nghệ, các hoạt động trai nghiém,

Cu thé, chúng tôi thực hiện phân tích chương trình giáo dục phô thông môn Toán dé

làm rõ các yêu cầu về nội dung kiến thức HBPTBNHA Sau đó, tiền hành phân tích SGK

Toán 10 (Chân trời sáng tạo) về tri thức HBPTBNHA đề xác định các kiểu nhiệm vụ gắnliền với các vấn đề thực tiễn và giải quyết bằng HBPTBNHA

Tiền hành phân tích giáo trình Precalculus của Mỹ vẻ tri thức HBPTBNHA đề từ đó

xác định các kiêu nhiệm vụ gắn với các vấn đề thực tiễn và giải quyết bằng HBPTBNHA.

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Từ kết quả của phân tích thê chế ở chương 2, chúng tôi sẽ thiết kế một thực nghiệm

bao gôm các tình hudng day học hệ bat phương trình bậc nhất hai ân đề bồi dưỡng được

năng lực mô hình hóa toản học Sau đó, phân tích các sản pham, biên bản và sử dụng

thang đo đã xem xét dé đánh giá biéu hiện các thành tô của năng lực mô hình hóa toánhọc ở HS Thực nghiệm này được tiên hành trên đối tượng HS lớp 10, khi học đến chươngIl: Bat phương trình và hệ bat phương trình bậc nhất hai an

Chương 1 CO SO LÝ LUẬN VA THUC TIEN

1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Mô hình hóa toán học

Theo Swetz và Hartler (1991), mô hình là một mẫu vật, một minh họa được sử

dụng dé mô tả cấu trúc, cách hoạt động của một sự vật, hiện tượng, khái niệm hay hệ

thong nào đó Vẻ mặt nhận thức, có thé hiểu mô hình là kết quả của quá trình tư duy, là

sản phẩm trừu tượng: hay được nghĩ theo ý nghĩa vật lý nếu nhìn về mặt trực giác

Mô hình được sử dụng trong day học Toán là các mô hình trừu tượng, dùng dé mô

tả, mình họa một hệ thống nảo đó bằng cách sử dụng các ngôn ngữ toán học như các

hình vẽ, đồ thị, hàm số, phương trình, hệ phương trình, biêu đồ

Edwards và Hamson (2001) đã đưa ra một định nghĩa mô hình hóa toán học:

“M6 hinh hóa toán học la quá trình chuyển đổi mot van dé thực té sang một van

dé toản hoc bằng cách thiế lập và giải quyét các mô hình toán hoc, thé hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tien mô hình nếu cách giải quyết không thể chap

nhận.”

Theo Lê Thị Hoài Châu (2014).

“Mo hinh hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thong ngoài toán học

nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hé thông nay”.

Cùng với đó, mô hình hóa trong day học Toán lả quá trình tao ra một mô hình nhằm

giải quyết một van đề Là quá trình giúp HS khám phá các tình huéng từ thực tiễn, từ đó

chuyển đổi một van dé thực tế sang một vấn đẻ toán học thông qua việc xây dựng các

mô hình toán học, làm việc với mô hình đó, thê hiện và đánh giá lời giải trong hoàn cảnh thực tế, cải tiền mô hình phù hợp với thực tế Mô hình toán học là phương tiện phù hợp

phát trién năng lực toán học của HS như suy luận khám phá, sáng tạo, giải quyết van đề

Vì HS trải qua quá trình tư duy giải quyết bài toán thực tiễn qua các bước mô hình hóa.

Theo Bahmaei (2011), quá trình mô hình hóa toán học đòi hỏi học sinh phải có các

kỹ năng và thao tác toán học, chăng hạn như phân tích tông hợp, so sánh, khái quát hóa

và trừu tượng hóa Từ đó học sinh có cái nhìn không bị gò bó vé van đề trong thực tế

Tức là mô hình hóa toán học là quá trình học sinh tim hiểu và khám phá các tinh huéng xuất phát từ thực tế cuộc sống bằng cách sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học Quá trình này có sự chuyên đôi giữa thực tiễn va toán học, đòi hỏi HS phải có các

kiến thức liên quan đến thực tiễn, đồng thời có sự liên kết với các kiến thức toán học dé

có thé dé dang xây dựng mô hình giúp giải quyết các tình huồng thực tiễn

1.1.2 Quy trình mô hình hóa toán học

1.1.2.1 Các loại quy trình của mô hình hóa:

a) Năm 1969, Pollak đưa ra sơ đồ mô hình hóa về sự chuyền đôi giữa toán học với

thực tiễn và ngược lại khi thực hiện mô hình hóa

So dé 1.1: Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak

)

Từ tình huống thực tiễn ban dau được chuyền đổi sang tình hudng toán học thông

qua các ngôn ngữ toán học, sử dụng các kiến thức toán học đẻ giải bài toán trong mô

hình đó, sau đó áp dung kết quả với tình huống thực tiễn ban đầu đưa ra

b) Năm 1991, Swetz và Hartzler đưa ra sơ đồ mô hình hóa như sau:

So dé 1.2: Quy trình mô hình hóa theo Swetz và Hartzler 1991

Thì giới Quis uit, kiêu và x#y M6 hình

thực tiền đựng od bed toan boc

Theo so đồ trên quy trình mô hình hóa bao gồm 4 giai đoạn sau đây:

Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiến, hiều va xây dựng tình huồng, tìm cácyêu to quan trọng có ảnh hưởng đến van dé thực tiễn

Giai đoạn 2: Lập các giả thuyết về mỗi quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ toán

học Dựa vào cơ sở đó xây dựng bai mô hình toán học tương ứng.

Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp va công cụ toán học phủ hợp với tình huống

thực tiễn dé mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình.

Giai đoạn 4: Dua ra kết qua, đối chiêu mô hình với thực tiễn va rút ra kết luận

c) Năm 2006, Bloom va Leib đưa ra sơ đồ mô hình hóa gồm 7 bước mô tả quá trìnhgiải quyết nhiệm vụ mô hình hóa Trong sơ 46 này có sự khác biệt đó là sự tách biệt giữa

mô hình tình huéng với tình huống thực tiễn và mô hình thực bởi Bloom cho rằng đây là

một giai đoạn quan trọng của quá trình mô hình hóa.

So dé 1.3: Quy trình mô hình hóa theo Bloom năm 2006

Sơ đồ trên thé hiện 7 giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Hiểu tình huồng được khám phá, xây dựng một mô hình cho tình huống,

tìm hiểu vả thiết lập mục tiêu giái quyết cho tình huồng

Giai đoạn 2: Don giản hóa tình huéng va sử dung các biến phù hợp dé đưa vào môhình thực của tình huống, lựa chọn các biển quan trọng dé mô tả tình huồng

Giai đoạn 3: Chuyên từ mô hình thực tiễn sang mô hình toán học sử dụng công cụ.

ngôn ngữ toán học đề thiết lập mô hình toán học

Giai đoạn 4: Giải quyết mô hình toán học, đưa ra kết quả toán học Phân tích môiquan hệ giữa các biến dé rút ra kết luận

Giai đoạn 5: Thẻ hiện kết quả trong ngữ cánh thực tế

Giai đoạn 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả Nếu không phù hợp tiếp tục thực

hiện chu trình lần 2 đẻ tìm kết quả phù hợp

Giai đoạn 7: Trình bày cách giải quyết

d) Nam 2007, Stillman, Galbraith, Brown đưa ra sơ đồ mô hình hóa có sự mở rộng,

cải tiễn một vai chỉ tiết Tác giả nhắn mạnh tính chất phản ánh quá trình thông qua mũi

tên hai chiều, đồng thời chú ý hoạt động nhận thức của HS xảy ra trong suốt quá trình

So dé 1.4: Quy trình mô hình hóa theo Stillman, 2007

5

A Tu ' ` *

tưece thế S—* F Lập be quá 1 Xem xét

De trp G Trak ® trích MIEI © ý nghỉ tược

bey vá =| bape chấp *— ob của bit

* qe

Trong đó:

(1) Hiểu, đơn giản hóa vấn đề thực tiễn, xây dựng lại tinh huống thực tiễn

(2) Xây dựng mô hình toán hoc, nêu các giả thiết bằng công cụ ngôn ngữ toán học.(3) Giải quyết mô hình toán học

(4) Giải thích kết quá toán

(5) So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí của kết quả

(6) Trình bày cách giải quyết (néu mô hình được chấp nhận)

(7) Lap lai quá trình (nêu mô hình không được chấp nhận).

Như vậy, hầu hết các quy trình mô hình hóa toán học được các nhà nghiên cứu đưa

ra đều gồm 4 yếu tố chính là: toán học hóa, làm việc với toán, chuyên đổi va phản ánh.Các yếu tô này mô tả các hoạt động mà HS sẽ thực hiện trong quá trình mô hình hóa

1.1.2.2 Quy trình mô hình hóa toán học

Theo Lê Thị Hoài Châu (2014), quá trình mô hình hóa toán học gồm 4 bước sau:

Bước 1: Xây đựng mô hình toán học của van đề đang xét, tức là xác định các yếu tố

có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thông và xác lập những quy luật mà chúng ta phải

tuần theo.

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét tức là diễn tả lại dưới

dang ngôn ngữ toán học cho mô hình phỏng thực tiễn Lưu ý là ứng với van đè đang xem

xét có thé có nhiêu mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tô nao của hệ thống

và môi liên hệ nao giữa chúng được xem là quan trọng.

Bước 3: Sử dụng công cụ toán học dé khảo sát, giải quyết bài toán ở bước hai

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba Ở đây người

ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình va kết qua tính toán với van đề thực tế

Nếu kết quả không thé chấp nhận được thì phải lặp lại quá trình dé tìm câu trả lời phùhợp cho bài toán ban đầu

Theo Nguyễn Danh Nam (2015) đưa ra quy trình 7 bước tô chức hoạt động mô hình

hóa trong dạy học môn Toán như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cau trúc, làm sáng tỏ phân tích, đơn giản hóa van dé,

xác định giả thuyết, tham số, biển số trong phạm vi của van đẻ thực te.

- Bước 2: Thiết lập mỗi liên hệ giữa các giả thuyết đã đưa ra

- Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ Toán học mô

tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó

- Bước 4: Sử dụng các công cụ Toán học thích hợp dé giải bài toán

- Bước 5: Hiéu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình Toán học trong hoàn

cảnh thực tế

- Bước 6: Kiêm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lý và tôi

ưu của mô hình đã xây dựng.

- Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiền mô hình hoặc xây dựng mô hình

có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn

So đồ 1.5: Các bước to chức hoạt động mô hình hóa

Theo Dương Hữu Tong, Nguyễn Phú Lộc, Bùi Phương Uyên, Lê Thị Giang (2019),

quy trình gồm 7 bước như sau:

Bước 1: Khám phá, phân tích, đơn giản hóa van dé, xác định các giả thiết của chủ

đề trong thực tế

Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các gia định hiện có

Bước 3: Sử dụng ngôn ngữ toán học xây dựng bai toán mô tả tinh huông thực tiễn

Bước 4: Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học đẻ giải quyết van đẻ.

Bước 5: Hiéu ý nghĩa và giải pháp của van đề trong các tình huống thực tế

Bước 6: Thử nghiệm mô hình, phân tích ưu điểm, hạn chế của mô hình đã xây dựng.

Bước 7: Ghi nhận, giải thích hoặc cải tiễn mô hình theo thực tế

1.1.2.3 Lựa chọn quy trình cho luận văn

Dé thực hiện các nghiên cứu của bải luận văn, chúng tôi chọn mô hình của Stillman

Ứng với mô hình nay, chúng tôi lựa chọn quy trình 7 bước trong nghiên cứu của DươngHữu Tòng, Nguyễn Phú Lộc, Bùi Phương Uyên, Lê Thị Giang (2019) đã được nêu ra

như trên với các lý do sau:

+ Thẻ hiện đầy đủ các yêu tô chính của mô hình hóa là chuyên từ van dé thực tiễn sang bài toán mô phỏng, từ bài toán mô phỏng sang bài toán toán học và sử dụng các mô

hình toán học dé xử lý bài toán đó, chuyên kết quả của bài toán toán học sang thực tiễn

va kiểm tra tính hợp lý của nghiệm trước khi đưa ra kết quả bai toán thực tiễn ban dau

+ Quy trình trình quen thuộc với chương trình Toán 9 hiện hành ở nội dung bài toán

đồ giải hệ phương trình

+ Trong nội dung hệ bất phương trình bậc nhất hai ân, SGK đưa ra một hoạt động

gan với tinh hudng thực tế sau:

“Vi dụ 4: Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh dat có điện tích

§ ha Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng Nếu trồng |

ha đậu xanh thì cần 30 ngảy công và thu được 50 triệu đồng Bác Năm can trồng baonhiêu hecta cho mỗi loại cây dé thu được nhiêu tiền nhất? Biết rằng, bác năm chỉ có thé

sử dụng không quá 180 công cho việc trong ngô và đậu xanh"

(Tran Nam Dũng (Tông chủ biên) 2022)

Lời giải mà SGK đưa ra cho ví dụ này thẻ hiện sơ nét được 7 bước trong quy trình

mô hình hóa toán học đã chọn như sau:

Bước 1: HS phân tích, xác định các giả thiết của bài toán: mảnh đất có điện tích 8

ha, I ha ngô cần 20 ngảy công và thu 40 triệu đồng: 1 ha đậu xanh cần 30 ngày công và

thu 50 triệu đồng: số ngày công không quá 180 ngày

Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả định hiện có:

+ Tông diện tích trồng ngô (x) và đậu xanh (y) không vượt quá diện tích mảnh đất

8 ha

+ Tổng số ngày công gdm số ngày công trong ngô (20x) và số ngày công trồng đậu

xanh (30y) không quá 1§0 ngày.

+ Số tiền thu về: F = 40x + 50y

Bước 3: Sử dụng kiến thức BPTBNHA với các mối liên hệ giữa các giả thiết xây

Bước 4: Biéu diễn miền nghiệm của hệ Tinh gia trị biéu thức F tại các đỉnh của miễn

đa giác dé tìm được giá trị lớn nhất của F

Bước 5: Hiểu ý nghĩa van dé trong tình huống thực tế: nếu xác định được phan đấttrồng ngô và đậu xanh hợp lý thì sẽ thu về số tiền nhiều nhất

Bước 6: Thấy được ưu điểm của mô hình: phù hợp với tỉnh huống đặt ra, giúp giải

quyết bai toán một thuận lợi, nhanh chóng

Bước 7: Ghi nhận mô hình có thể sử dụng với các tình huống tương tự trong thực tế.

1.1.3 Năng lực mô hình hóa toán học

1.1.3.1 Nang lực toán học

Trong chương trình giáo dục phỏ thông tông thé năm 2018, năng lực là thuộc tính

cá nhân được hình thành và phát triển nhờ vào các tô chat đã có được của mỗi cá nhân

và thông qua quá trinh học tập rèn luyện, từ đó con người con người sử dụng các các

kiến thức, kĩ năng và thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chi, dé thựchiện thành công một hoạt động nhất định, đạt được kết quả mong muốn

Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn gắn liền với môn học.Sau đây là một quan niệm về năng lực toan học của nhà giáo dục toán học Niss

“Nang lực toán học nhu kha năng của cá nhân để sứ dung các khái niệm toán học

trong mot loạt các tình hướng CÓ lién quan đến toán học, kế cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích) ”.

(Niss, 1999)

Niss (1999) đã xác định tám thành tô của năng lực toán học và chia thành hai nhóm

Thứ nhất bao gồm: nang lực tư duy toán học: năng lực giải quyết van dé toán học: nang

lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học Thứ hai bao gồm; năng lực biểu

diễn; năng lực sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, hình thức: năng lực giao tiếp toán học; năng

lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Tám năng lực này không hoản toàn độc lập

nhau mà có sự liên quan chặt chẽ, kết hợp với nhau; sự kết hợp này là cần thiết dé cá

nhân có thé học tập và ứng dụng toán học Năng lực môn toán còn thê hiện ở việc sử

đụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện học toán, đặc biệt là các phương

tiện khoa học công nghệ dé tìm tòi, khám pha và giải quyết van dé toán học Đối với thê

chế day học tại Việt Nam, chương trình đặt ra mục tiêu hình thành và phát triển năm

năng lực: năng lực tư duy lập luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực mô hình hóa

toán hoc, năng lực giao tiếp, năng lực sử dung công cụ, phương tiện học toán

1.1.3.2 Nang lực mô hình hóa toán học

Theo chương trình PISA, nang lực mô hình hóa toán học là năng lực gắn liên vớiquá trình mô hình hóa, tức là chuyền đỏi tình huống thực tiễn dưới dang toán học, xâydựng mô hình toán học từ các tình huống thực tiễn dựa trên các công cụ toán học; giải

thích các mô hình toán học theo nghĩa thực tế.

Theo Bloom và Jensen (2007), năng lực mô hình hóa là kha năng thực hiện day du

các giai đoạn của quá trình mô hình hóa với một tình huông cho trước Nang lực mô hình

hóa toán học là khả năng thực hiện day đủ các giai đoạn của quy trình mô hình hóa trong

day học Toán nhằm giải quyết các van đè Toán học được đặt ra.

Như vậy có thẻ hiểu năng lực mô hình hóa toán học là kha năng thực hiện day đủcác giai đoạn của quy trình mô hình hóa trong day học Toán nhằm giải quyết van đè

Toán học được đặt ra.

1.1.3.3 Các thành t của năng lực mô hình hóa toán học

Theo Bloom và Jensen (2007), năng lực mô hình hóa Toán học gồm 8 thành tố: (1)

Don giản gia thuyet; (2) Làm rõ mục tiêu; (3) Thiết lập van dé; (4) Xác định biến, tham

số, hằng số; (5) Thiết lập mệnh dé Toán học; (6) Lựa chọn mô hình; (7) Biêu diễn mô

hình thích hợp; (8) Liên hệ lại van dé trong thực tiễn

Theo chương trình giáo dục phô thông 2018 tại Việt Nam, năng lực mô hình hóa

toán học bao gồm 3 thành tổ sau;

+ Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, 46

thị ) cho tình huống xuất hiện trong bai toán thực tiền.

+ Giải quyết được những van đề toán học trong mô hình được thiết lập

+ Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế va cái tiến được mô

hình nếu cách giải quyết không phù hợp

1.1.3.4 Yêu cầu cần đạt của năng lực mô hình hóa toán họcĐối với cấp trung học phỏ thông, chương trình giáo dục phô thông môn Toán năm

2018 đã đặt ra các yêu cầu cụ thể ứng với từng thành tô đẻ hình thành va phát triển năng

lực mô hình hóa toán học như sau:

+ Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biéu, đồ

thi ) cho tình huỗồng xuất hiện trong bài toán thực tiễn: Thiết lập được mô hình

toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đỏ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị ) dé

mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn

+ Giải quyết được những van đề toán học trong mô hình được thiết lập: Giải quyết

được những vấn đẻ toán học trong mô hình được thiết lập

+ Thẻ hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô

hình néu cách giải quyết không phủ hợp: Lí giải được tinh đúng dan của lời giải

(những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn

hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh nhữngyêu cau thực tiễn (xấp xi, bổ sung thêm giả thiết, tông quát hoá, ) dé đưa đến

những bải toán giải được.

Đánh giá năng lực mô hình hoá toán học: lựa chọn những tình huống trong thực tiễn

làm xuất hiện bài toán toán học Từ đó, đòi hỏi học sinh phải xác định được mô hình

toán học (gồm công thức phương trình, bảng biéu, đồ thị ) cho tình huéng xuất hiện

trong bài toán thực tiễn; giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết

lap; thé hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tiễn và cải tiến được mô hình

nếu cách giải quyết không phù hợp

1.1.4 Thang đo về các mức độ của năng lực mô hình hóa toán học

Đề đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của HS cần dựa vào các thành tố của

năng lực cùng với các yêu cầu can đạt được đưa ra trong chương trình giáo dục phd

thông môn Toán năm 2018 Ứng với từng thành tố của năng lực cần được đánh giá theo

các tiêu chí và mức độ cụ thé thông qua một thang do

Dương Hữu Tòng, Nguyễn Phú Lộc, Bùi Phương Uyên, Lê Thị Giang (2019) đã

xây dựng thang đo với các tiêu chí và mức độ dé đánh giá NLMHHTH như sau:

Bang 1.1: Thang do đánh giá NUMHHTH của nhóm tác gia Dương Hữu Tong, Nguyén Phú Lộc Bùi Phương Uyên, Lê Thị Giang (2019)

Tiêu chí Câp độ 4 Cap độ 3 Thiết lập môi quan Xây dựng : Thể hiện hau hết |Cho thay một | Không thiết lập

hệ giữa các giả thiết | một mô hình | mối quan hệ giữa | chút liên kết giữa | được

đưa ra trong tình | hoanchinh các giả thiết | các giả thiết

huống nhưng không mô

tả đầy đủ

Chỉ

việc xây ' nhưng vẫn còn các | ngôn ngữ toán |biêu vấn để

Lựa chọn, sử dụng Hoan thành ta vân để |Sử dụng rat ít | Không thê phat ngôn ngữ toán học

để xây dựng các ' dựng van dé | lỗi nhỏ học dé trình bày | toán học hoặc

vấn đề mô tả các | toán học một vấn dé đưa ra pháttinh huống thực tế biểu sai

- Xác định kiến thức Nhận ra tất Xác định hầu hết | Xác định nhiều | Không tìm thấy

toán học cần sử ca kiến thức các kiến thức toán |kiến thức toán |bất kỳ kiến

dụng đề giải quyết toán học cần | học cần sử dụng | học cần sử dụng | thức toán họcvan dé str dung nhưng chưa đủ nhưng không | nào

xác định kiến

thức cần thiết

“Giải quyết van đề Hoàn thành | Tra lời chính xác | Giải thích chính |Không giải

toán học giải quyết khoảng 2/3 yêu |xác một phần | quyết được vấn

van dé cầu của van để | nhỏ van đề đề hoặc có giải

hoặc nhiều hơn pháp sat

Đánh giá

pháp của van đẻ đối pháp và mức độ |trả lời nhưng | cách giải quyết

Hiệu ý nghĩa, giải giải | Có xem xét câu | Không xem lại

với các tình huống phù hợp với vấn |không nhận ra | và kết quả

thực tế đẻ thực tiễn được có phủ hợp

“* H a

với van đề thực

tiền hay không

Giải đáp tình huông Trả lời chính xác | Trả lời Không thê lý

giải trả lời sai

những những câu hỏi của | câu hỏi của tình

tình huống thực | huống một cách

tiễn không hoàn hảo

Trong nghiên cứu của Chan Chun Ming Eric, Ng Kit Ee Dawn, Widjaja Wanty,

Cynthia Seto (2012), đã đưa ra các tiêu chí va mức độ dé đánh giá NUMHHTH như sau:

trong thực té trong

trình VIỆC bày công việc

Một Xem xét

biển được

Sử dụng toán học phù hợp nhưng có

lỗi trong tính toán

Phép luận khá logic

buộc trong thực tế trong

việc kiểm tra các biến sẽ

Đề xuất được chứng

minh bằng lý luận toán

học

Đưa ra đầy đủ các giả định

vả giải thích đựa trên thực

tế diễn giải nhiệm vụ

Các giả định đã nêu có liên

quan den mô hình

Bang chứng vẻ ba hoặc

nhiều ràng buộc trong thực

tế trong việc kiêm tra cácbiến sẽ tác động dé việc

giải thích và giải pháp của nhiệm vụ mô hình hóa

Ba biên được xem xét

Sử dụng toán học một cách thích hợp

Phép toán suy luận logic, tính toán rõ ràng chính xác

Đề xuất được chứng minh

bằng lý luận toán học một

cách chặt chẽ

Trong luận văn này, chúng tôi lựa chọn bảng tiêu chí và mức độ đánh giá năng lực

của Dương Hữu Tòng, Nguyễn Phú Lộc, Bùi Phương Uyên, Lê Thị Giang (2019) Bảng

tiêu chí thê hiện đầy đủ các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học, các mức độ

được phân chia chỉ tiết, rõ ràng Bên cạnh đó, các tiêu chí trên ứng với các giai đoạn

trong mô hình của Stillman đã chọn và đồng thời mô tả cụ thẻ các yếu tô trong quy trình

7 bước của nhóm tác giả Dương Hữu Tong, Nguyễn Phú Lộc, Bùi Phương Uyên, Lê Thị

Giang (2019).

1.2 Chuyén hóa sư phạm về cực trị của hàm mục tiêu

1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tinh (QHTT)

Bài toán quy hoạch tuyến tính bao gồm hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc đều làcác hàm tuyến tính Miền chấp nhận được là một tập lồi đa diện

Bài toán QHTT tổng quát

Dạng: f(x) = (c,u) — min (max)

Aue b;

Ayu = b,

Với 4; ER, b ER

Trong do: f(x) được gọi là hàm mục tiêu;

Mỗi ràng buộc loại (1), (2) và (3) được gọi là rang buộc cưỡng bức;

Mỗi ràng buộc loại (4) (5) và (6) được gọi là rang buộc tự nhiên:

Mỗi vectơ thỏa mãn mọi ràng buộc gọi là một phương án.

f(x) = (c,u) — min fC) = {c,u) — min

Au =b Au=b

u2o u>0

Có thê đưa bải toán QHTT bat kì về hoặc là dang chuan tac, hoặc là dạng chính tắc:

Mỗi ràng buộc Aju > db; có thé đưa về Aju — x„„¡ = bị với x„.;¡ =O

Mỗi ràng buộc Aju < bạ có the đưa về Aju + x„¿¡ = bị với x„;¡ =O

Mỗi ràng buộc Ayu = bạ có thé viết thành hệ các ràng buộc Ayu > b¡ và —A,w > —b,

Mỗi ân x, không có ràng buộc về dau được viết thành hiệu của hai ân mới không âm:

xj =3j'—xƒ (xf 2 0;x7 > 0)

Mỗi an x; < 0 ta đặt x; = —t; (ty = 0)

Điểm cực biên

Gia sử [ là tập lồi trong R” Điểm x ET được gọi là diém cực biên của F' nếu x

không thé biêu diễn được dưới dang tô hợp lồi thực sự của hai điểm phân biệt x', x? € F

Dé tìm điểm cực biên, đựa vào định lí sau:

M = {u € R": Au > b} trong đó A là ma trận cấp m x n là tập lồi đa điện v 6 M là

điểm cực biên của M khi và chỉ khi ton tại iq,iạ, ,íạ € {1;2; ;?n} sao cho

(q¡„, t) = b;

{ay; a;; ; a„} là độc lập tuyến tính và v là nghiệm của hệ phương trình (, = 1:2: sự”

trong đó a;, la hang thứ i, của ma tran A.

Tinh tối wu của các điểm cực biên

Định lí: Xét bài toán QHTT cho ở dang tong quát Nếu bai toán có nghiệm và tập

phương án của bai toán có ít nhất một điểm cực biên thi bài toán sẽ có nghiệm là điểm

cực biên của tập phương an.

Định lí trên được chứng minh như sau:

Trước ta, ta có định li:

“Gia sử tập loi da điện P = {x € BR": (a;,x) = b;,i = 1, ,m} là khác rồng Khi

đó, các phát biéu sau là tương đương:

(a) Tập lôi da điện P có it nhất một điềm cực biên

(b) Tập loi đa diện P không chứa đường thang

(c) Tôn tại n vecto trong họ các vecto Ay, , đạ, là độ lập tuyển tinh.”

Gọi P, Q lan lượt là tập phương án và tập nghiệm của bài toán QHTT tổng quát Khi

đó P,Q là các tập lồi đa điện khác rỗng và Q ¢ P Do P có điểm cực biên nên P không

chứa đường thăng và vì vậy Q không chứa đường thăng và @ có điểm cực biên.

Gọi x* là điểm cực biên của Q Cần chứng minh x° là điểm cực biên của P

Gia sử x” không là điểm cực biên của P Khi đó, tôn tại y,z € P và »€ [0; 1] sao

choy # x”,Z # x" vax" => y + (1 —»)z Do y # x",z # x” nên XE (0; 1) Hơn nữa, (c,y) = (c,x"), (c,z) = (c, x") và 0 = (c,x y + (1—»)2 —*x^*)

=r ((c,y} — (c,x")) + (1 —x)((c,Z) — (c,x"))

Do đó (c, y) = (c,z) = (c,x*) Vậy y,z € Q Điều này mâu thuẫn với giả thiết x*

là điểm cực biên của Q Vậy bai toán QHTT tông quát có nghiệm là diém cực biên của

tập phương án.

Phương pháp giải bài toán QHT'T — Phương pháp hình học

Chúng tôi dé cập đến phương pháp hình học vì phương pháp này chi được sử dụng

cho các bài toán QHTT với số biến là 2 hoặc 3, va tại đây chúng tôi trình bay ki thuậtgiải với bài toán 2 biến - tương đồng với kiến thức giải bài toám tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu trên miễn đa giác trong chương trình Toán 10

Bài toán được đặt ra như sau: Tim (%;; x2) sao cho f = ax, + bx, — min (max) với hệ ràng buộc ajx, + b,x; = cj, t = 1,2, ,1.

Kĩ thuật giải:

Bước I: Xác định miễn phương án

+ Dựng các đường thang q,xị + b,x; = c¡ (i = 1,2, ,m) trên hệ tục tọa độ Ox, x».

Xác định nửa mặt phẳng (kế cả bờ) thỏa mãn các bất phương trình a;x, + b¡x;¿ = Œ¡

Phần giao nhau của các nửa mặt phăng chính là miền phương án, đây là một đa giác lồi

hoặc là tập rồng.

+ Nếu miền phương án là rỗng thì bài toán không có phương án.

+ Nếu miền phương án khác rong thì tiếp tục với bước 2

Bước 2: Xác định phương án toi wu

Cách 1: Dùng đường định mức

Lay điểm M(x;; x;)Dựng vecto OM

Dựng đường thăng (A): ax, + bx; = cạ với Cp bat ki.

Tịnh tiến (A)theo cùng hướng với OM

+ Đối với bài toán tìm max: Khi (A) ở mức cao nhất va (A) vẫn còn cắt miền phương

án Khi đó tiếp điểm của miền phương án và (A) chính là phương án tối ưu

+ Đối với bài toán tìm min: Khi (A) ở mức thập nhất và (A) vẫn con cat miền phương

án Khi đó tiếp điểm của miền phương án và (A) chính là phương an tối ưu

+ Nếu không tìm được điểm tiếp xúc thì bài toán không có phương án tôi ưu

Cách 2: Xét tại các điểm cực biên (áp dụng với các bai toán QHTT có phương an toi

ưu và miền phương án là tập lỗi đa diện có đính)

+ Tim các điềm cực biên+Tinh giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm cực biên+ So sánh các giá trị và kết luận giá trị cực trị của hàm mục tiêu

1.2.2 Bài toán tìm cực trị của hàm mục tiêu ở cấp THPT

Bài toán được đặt ra như sau: Tìm giá trị lớn nhất, giá tị nhỏ nhất của hàm mục tiêu

F = ax + by với hệ ràng buộc a¡x + byy c¡,¿ = 1,2, ,m.

Ki thuật giải:

Bước 1: Xúc định miễn đa giác nghiệm

+ Dựng các đường thang a;x + b¡y = c¡ (i = 1,2, ,m) trên hệ tục tọa độ Oxy.Xác định nửa mặt phăng (kê cả bờ) thỏa mãn các bất phương trình a;x + b;y = c; Phan

giao nhau của các nửa mặt phăng chính là miền đa giác nghiệm, đây là một đa giác lôi

hoặc la tập rồng.

+ Nếu miễn đa giác nghiệm là rỗng thì bài toán không có giá trị cần tìm.

+ Nếu miền đa giác nghiệm khác rỗng thì tiếp tục với bước 2

Bước 2: Xác định bộ giá trị (x; y) dé F đạt max, min.

Xét tại các đỉnh của miền đa giác nghiệm (áp dụng với các bài toán QHTT có phương

án tối tru và miền phương án là tập lồi đa diện có đỉnh)

+ Tìm tọa độ các đỉnh của miền đa giác

+Tinh giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh của miền đa giác

+ So sánh các giá trị và kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu

Như vậy có một sự chuyên hóa sư phạm tri thức HBPTBNHA từ bậc đại học xuống

phô thông về mặt định nghĩa, các thuật ngữ, phương pháp giải Trong đó, các cụm từ

ham mục tiêu, cực trị của ham mục tiêu, bên cạnh đó nôi bật nhất là phương pháp hình

học được áp dụng phô biến trong chương trình THPT Sự chuyên hóa được thé hiện ở

các thay đổi vẻ việc sử dung miễn đa giác nghiệm, nghiệm, đỉnh của đa giác thay cho

các cụm từ miền phương án, phương án, phương án tối ưu, điểm cực biên Các phần kiến

thức liên quan đến bài toán QHTT được chuyển hóa trong nội dung HBPTBNHA củaToán 10 bao gồm: Xác định miền nghiệm của HBPTBNHA chính là xác định tập phương

án của bài toán QHTT dang chuẩn tắc ở bậc đại học; Bai toán tìm GTLN, GTNN củaham mục tiêu trên miền đa giác chính là giải bài toán QHTT trong không gian R?; Cáchxác định GTLN, GTNN của hàm mục tiêu chính là cách tìm phương án tối ưu từ phương

án cực biên ở bậc đại học.

Nội dung bài toán QHTT ở bậc đại học được xây dựng trong không gian R", như

vậy sự chuyên hóa trên nhằm mục đích cho HS tiếp cận được bải toán QHTT trong khônggian R? thông qua các khái niệm GTLN, GTNN miền nghiệm đã được HS tiếp nhậntrước đó, Cùng với đó, việc giải quyết bai toán QHTT giúp HS nhận ra sự liên kết giữa

kiến thức toán học và thực tiễn từ đó bồi dưỡng phát trién NLMHHTH theo yêu cau

chương trình đề ra.

Về nghiệm của bai toán tối wu, trong chương trình đại học có đề cập đến phương án

tôi uu xảy ra tại 1 trong các điểm cực biên thông qua các định lí và được chứng minh

tường minh Trong SGK của Việt Nam, các kết quá về nghiệm của bai toán tối wu được

phát biểu thông qua một câu dẫn và không có chứng minh cụ thé, phát biểu trình bày như sau;

“Người ta chứng minh được F đạt giá trị lon nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các

đính của đa giác `”

(Tran Nam Dũng (Tổng chủ biên), 2022)

Qua đó, ngoài việc bồi dưỡng phát triên NLMHHTH cho HS, chúng tôi mong muốn

lồng ghép vào các tình huỗng thực nghiệm các hoạt động nhằm mô tả kết quả trên Nhằmmục đích cho HS cái nhìn trực quan về các giá trị của hàm mục tiêu trên miền đa giácnghiệm, nắm va vận dụng tích cực vào các bài toán tối ưu

1.3 Cơ sở thực tiễn

Dé làm rõ cơ sở cúa luận văn, chúng tôi tiền hành điều tra thực tiễn day học của GV

trong việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học của HS cũng như thực trạng học

Toán, mức độ sử dụng mô hình hóa dé giải quyết các bài toán thực tiễn có yếu tổ toánhọc Tiên hành điều tra thực tế thông qua phiêu khảo sát với các nội dung cụ thê như sau:

1.3.1 Thực trạng giải quyết vấn đề thực tiễn của học sinh

1.3.1.1 N6i dung khảo sát

Chúng tôi tiến hành điều tra 100 HS lớp 10 ở trường THPT thông qua phiếu khảosát, mục tiêu của khảo sát là tìm hiểu thực trạng sử dung mô hình hóa toán học đề giảiquyết một bài toán thực tiễn của HS Cụ thé, qua giải quyết bài toán phải thay được thành

tô nào của năng lực mô hình hóa toán học chưa được day đủ, các biểu hiện nào chưa đạttheo yêu cầu của CTGDPTMT2018

Phiếu khảo sát thực trạng mô hình hóa toán học của học sinh

trong học Toán ở trường THPT