Luận văn thạc sĩ Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán: Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa cho học sinh lớp 12 qua dạy học bài toán tối ưu theo chương trình giáo dục phổ thông 2018

chúng tôi lựa chọn chủ đề: Vậndụng hệ bat phương trình bậc nhất dé giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tinh nằm trong chuyên đẻ: Ứng dụng toán học dé giải quyết một số bài toán tô

Phạm Hữu Nga Anh

BÒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA CHO HỌC SINH

LỚP 12 QUA DẠY HỌC BÀI TOÁN TÓI ƯU

THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHÓ THÔNG 2018

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DUC

Thành phố Hồ Chi Minh - 2024

Phạm Hữu Nga Anh

BOI DUONG NĂNG LUC MÔ HÌNH HÓA CHO HỌC SINH

LỚP 12 QUA DẠY HỌC BÀI TOÁN TÓI ƯU THEO CHUONG TRÌNH GIAO DUC PHO THONG 2018

Chuyên ngành : Lí luận va phương pháp day học bộ môn Toán

Mã số : 8140111

LUẬN VĂN THAC SĨ KHOA HỌC GIÁO DUC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC:

PGS.TS LE THI HOAI CHAU

Thành phố Hồ Chi Minh - 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng

dan của PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy.

Tác gia

Phạm Hữu Nga Anh

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS Lê Thị Hoài

Chau, người đã hướng dan và chi day tận tinh dé tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin vô cling cảm ơn: PGS.TS Lê Thái Bao Thiên Trung, TS Vũ Như Thu Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng đã giảng day nhiệt tinh, truyền

đạt cho tôi những kiến thức chuyên ngành Didactic Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn:

Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau Đại học, ban chủ nhiệm và tất cả thầy

cô giảng viên khoa Toán — Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hỗ Chị Minh đã

tạo mọi thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập.

Thay, Cô trường THPT Lương Thế Vinh thuộc quận | Thanh phố Hỗ ChíMinh đã tạo điều kiện cho tôi tiền hành thực nghiệm can thiết cho luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình vì đã luôn ủng hô giúp đỡ tôi

trong SuỐt quá trình học tập.

Phạm Hữu Nga Anh

MỤC LỤC Lời cam đoan3

Chương 2 CƠ SỞ THỰC TIEN VÀ MOT SO BIEN PHAP BOI DUONG

NANG LUC MO HINH HOA TOAN HOC CHO HOC SINH THONGQUA DẠY HỌC BAI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TINH 17

5:1, Dini hin ìiifc bái toán QHIT vice ssscccsesscessssssssassseccseccsessossscosssssrvsncicesssersseds 17

2.2 Bài toán QHTT trong chương trình lớp 10 hiện hanh - 23

2.3 Bài toán QHTT nhìn từ cách tiếp cận theo quan điểm mô hình hóa trong sách

giáo khoa toán 10, bộ sách chân trời sáng tạo - se seise, 24 2.4 Bài toán quy hoạch tuyến tính ở lớp 12 chương trình 2018 35 2.5 Một số biện pháp bồi đưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh 36 I0 ca -1+‹ÄđŒdŒđäAÃH., HBHĂ 39

Chương 3 THỰC NGHIỆM SU PHẠM - ccicccccceeo 40

la co nan 41

3.2 Phân tích tiên nghiệm St HH HH 57 3:3) IPRGN itch RSW DENIS ML sccsscssesssssccsiecisssessoassavesvasancsvesaiocssveassvassaussanssnaiieaticensians 60

Tiểu kết chương 3 ecceececseesssessveesvessvesseeenseesvossvsssvsssvsssessuessurssuessuessuseatssueenseereseeees 90

KET LUẬN ¿- (21 HS 121121122111 111 1101 1111 0011 1101 11 1 n1 se, 9]

Chương 4 MỘT SỰ TIẾP NÓI HƯỚNG NGHIÊN CỨU - 93

4.1 Một sự mở rộng của hướng nghiên cứu - 5á nhe, 93 ALLY Co sởi7TUậN::::::::::::::::2seni22iiEi0121111211221212113112531353383536523385353338523855853235353 93 4.1.2 Dé xuất một thang đánh giá 22-22-2222 3022172117112 51122111 112 95 4.2 Vận dụng thang đánh giá vào phân tích hiệu quả của các tình huống thực

ñlilỆÏf:::-::::::c¿c:c-ccsci25020250225350351221304321351565504655635885856513534886615535886802815633588ã6358 99

ote ce 102TÀI LIEU THAM KHẢO 22222222222 22221122E232222212221112112 2222222 e2 103

Dn dd IV 106

DANH MỤC CÁC TU VIET TAT

Bài tập

Giá trị lớn nhất

Giá trị nhỏ nhất

DANH MỤC CAC BANG

Bảng 1.1 Cấu trúc của NL MHH của tác gia Maa (2006, trl17-118) 13

Bảng 2.1 Thống kê các tô chứa toán học liên quan đến bat phương trình, hệ bat phương tinh bậc nhất hai ẳn - 5 22221225122 12 EU H22 xe, 34 Bảng 3.1 Bang thông kê các biến va dự kiến các chiến lược cho các bài toán 59

Bảng 3.2 Thống kê số nhóm giải theo các chiến lược trong bài toán 1 61

Bảng 3.3 Thống kê số nhóm giải theo các chiến lược trong bài toán 2 67

Bang 3.4 Thong kê số nhóm giải theo các chiến lược bài toán 3 73

Bảng 3.5 Thống kê số nhóm giải theo các chiến lược trong bài toán 4 78

Bảng 3.6 Thống kê số nhóm giải theo các chiến lược trong bài toán 5 85

Bang 4.1 Bang tiêu chí đánh giá rubrlC c2 1 11 hy re 94

Bảng 4.2 Thang đánh giá NL MHH toán học gắn với nội dung bài toán QHTT 96

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 3.1 Trích bài làm của HS nhóm Í l - - - 656263 <k sex se 6l

Hình 3.2 Trích bài làm của HS nhóm 3 co 62 Hình 3.3 Trích bài làm của HS nhóm 6 - (na se, 63 Hình 3.4 Trích bài làm của HS nhóm Í c.c.c.- 64 Hình 3.5 Trích bài làm của HS nhó Ê ii sccssessssssssessociscosssessessssessesssvosveessseesisesseess 65 Hình 3.6 Trích bai làm của HS nhóm 4 - ceeecteeeseeeseeesesecneeeaeeeaeeees 66

Hình 3:7 Trích bài làm của HS nhóm 7 iiscissssssssssisssssssssossssssssassssssseasveasseacseasseess 68

Hình 3.8 Trích bài làm của HS nhóm Ì Ì - ¿(c5 Sc 1+1 S2, 69

Hình 3.9 Trích bài làm của HS nhóm 3 -Ặ 2Ặ Ăn SSStSSsreeerercee 70

Hình 3.10 Trích bài làm của HS nhóm ÌI Ì <1 Si 74 Hình 3.11 Trích bài làm của HS nhóm l SH Ss tre 75

Hình 3.12 Trich bài làm của HS nhóm 2 ::csssccsssessssssvosssesvesssvesvesvesossecessesssvseseess 77

Hình 3.13 Trích bài làm của HS nhóm 7 - - SĂ HH HH cư 79 Hình 3.14 Trích bài làm của HS nhóm 7 St seneeeerrerrrerrrxee 80 Hình 3.15 Trích bài làm của HS nhóm 7 Án say 83 Hình 3.16 Trích bài làm của HS nhóm 2 -.- -Ă Server 85 Hình 3.17 Trích bai làm của HS nhóm 4 - 5c 1S se, §6

Hình 3.18 Trích bài làm của HS nhóm lÔ Án HH ng cey 87

Hình 3.19 Trích bài lam của HS nhóm 11 - - +55 << c<<xsz=ssz=es $9

MỞ ĐÀU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Phát triển năng lực mô hình hóa là một trong những mục tiêu đổi mới giáo đục.

Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 4 tháng 1] năm 2013, Hội nghị Ban chấp hành trung

ương 8 khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục và đào tạo đã đưa ra

nhiệm vụ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của giáo dục,

đào tạo theo hướng coi trọng phat triên pham chat, năng lực của người học” Theo đó

Bộ Giáo dục và Dao tạo đã xây dựng chương trình GDPT theo định hướng tiếp cận

nang lực Đối với chương trình GDPT môn toán 2018, một trong những mục tiêu

quan trọng của việc dạy học toán là giúp học sinh hình thành và phát triển năng lực

toán học đặc thù, gồm 5 thành phan cốt lõi sau:

1 Năng lực tư duy và lập luận toán học;

Năng lực mô hình hóa toán học;

Năng lực giải quyết van đề toán hoc:

Năng lực giao tiếp toán học;

wr YN Nang lực sử dung công cu, phương tiện học toán.

Trong năm thành phần cốt lõi trên, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến năng lực mô

hình hóa toán học (NL MHHTH) Các nhà nghiên cứu vẫn thường gọi tắt MHHTH

là mô hình hoá (MHH), NL MHHTH là NL MHH Cách nói tắt này từ đây cũng sẽ

được chúng tôi sử dụng trong luận văn.

Giải thích cho sự quan tâm nảy, chúng tôi xuất phát từ nguồn gốc của Toán học.

Kẻ từ lúc bắt đầu, Toán học vốn được sinh ra từ những vấn đề của thực tiễn Càngphát triển (và phát triển theo hướng tiên đề hóa, hình thức hóa) Toán học ngày càng

có nhiều ứng đụng trong cuộc sông Những kiến thức và kĩ năng toán học bắt nguồn

từ cuộc sông va quay trở lại giúp con người giải quyết các van đề của cuộc sông một

cách có hệ thông và chính xác, góp phan thúc đây xã hội phát triển Chúng tôi nhận thấy rằng NL MHH là một công cụ cần thiết trong việc xây dựng các tỉnh huống đạy học giải quyết các bài toán thực tế Mỗi học sinh khi được bồi dưỡng về NL MHH sẽ

hiểu biết nhiều hơn về mdi liên hệ giữa toán học và cuộc sống, nâng cao kỳ năng vậndụng toán học vào việc giải quyết các tình huéng thực tế từ đó học sinh khắc sâu

kiến thức va có thái độ tích cue, yêu thích đối với việc học Toán, kéo theo sự phát triên các năng lực khác ở HS như suy luận khám phá, sáng tạo giao tiếp toán học, giải quyết vấn đề.

1.2 Lựa chọn của chúng tôi về đổi tượng tri thức toán học

Nội dung chương trình toán phô thông 2018 chú trọng tinh ứng dung, gắn kết với

thực tiễn, gắn với xu hướng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học, đời sống xã hội

và những van đề cấp thiết có tính toàn cầu (như biến đôi khí hậu, phát triển bền vững,

giáo dục tài chính ) mà bài toán tôi ưu gan liên với việc giải quyết các van dé này.

Đáp ứng hưởng đôi mới nội dung chương trình 2018 chúng tôi lựa chọn chủ đề: Vậndụng hệ bat phương trình bậc nhất dé giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tinh

nằm trong chuyên đẻ: Ứng dụng toán học dé giải quyết một số bài toán tôi ưu ở lớp

12 Nội dung chuyên dé liên quan đến 2 chủ dé: Vận dụng hệ bất phương trình bậc

nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính và Vận dụng đạo hàm đểgiải quyết một số bai toán tối wu trong thực tiễn đặc biệt là trong kinh tế Trong khuôn

khổ của luận văn nay chúng tôi chỉ nghiên cứu chủ dé Vận dụng hệ bat phương trình

bậc nhất đề giải quyết một số bài toản quy hoạch tuyến tính Đề ngắn gọn trong trình

bày, chúng tôi gọi chủ dé nay là “quy hoạch tuyến tinh” (QHTT).

Quan sắt các sách giáo khoa viết theo chương trình 2006, chúng tôi thấy nội dung ứng dụng bat phương trình bậc nhất dé giải các bài toán tối ưu không được đưa vao giảng đạy cho ban cơ bản mà chỉ yêu cầu cho học sinh học theo chương trình nâng

cao Tiếp tục xem xét chương trình 2018, chúng tôi thấy đây là nội dung bắt buộc ở

lớp 10, nhưng lại nằm trong chuyên đẻ tự chọn ở lớp 12 Chúng tôi tự hỏi: Đâu là lí

do của những lựa chọn này? Phải chăng giải quyết các bai toán quy hoạch tuyển tính

là một nội dung khó với học sinh? Khó khăn được thê hiện qua những biểu hiện nào

của học sinh trong quá trình giải quyết bài toán? Tinh huống day học nao có thé giúphọc sinh vận dụng kiến thức này đề giải quyết các bài toán thực tế tốt hơn?

Đa số các trường THPT tại TP.HCM chọn bộ sách Chân trời sáng tạo dạy học

Toán, vì vậy chúng tôi đã bắt đầu nghiên cứu của minh bằng việc phân tích sơ bộ nội

dung mà chúng tôi quan tâm, xem nó được trình bày ra sao trong bộ sách này Theo

quan sát ban dau cia chúng tôi, CT và SGK toán 10 sử dụng phương pháp đồ thị khi

giải hệ bất phương trình và giải bài toán tìm cực trị của biéu thức F(x, y)=ax+by trên một miền đa giác, thế nhưng việc giải thích cho cách làm này không được đề

cập Liệu rằng học sinh đã thấy thuyết phục khi thực hiện cách làm này? Nếu chưathực sự thuyết phục thì liệu chúng ta có thể xây đựng một tình huống dạy học giúphọc sinh hiéu van dé một cách thuyết phục hơn ở chương trình lớp 12 hay không?

Sự kết hợp với quan điểm mô hình hóa toán học (MHHTH) vào day học bài toán

quy hoạch tuyến tính, liệu có giúp học sinh thuận lợi hơn trong việc nghiên cứu chúng

hay không? Việc bồi đưỡng NL MHH thông qua dạy học bài toán tối ưu đang được chương trình phố thông lớp 12 đề cập đến mức nào? Chúng tôi hy vọng sẽ xây dựng một số tỉnh huéng day học đáp ứng được mức độ cần đạt của chương trình, từ đó có

thé bồi dưỡng thêm NL MHHTH cho học sinh,

Những câu hỏi ban đầu cùng với những mong muốn nêu trên là lí do dẫn chúng

tôi đến quyết định chọn tên đề tài nghiên cứu là: *Bồi đưỡng năng lực mô hình hóa

cho học sinh lớp 12 qua day học bai toán tối ưu theo chương trình giáo dục phé thông

2018."

1.3 Tổng quan các công trình nghiên cứu có liên quan

Với chủ đề đã chọn, chúng tôi tìm hiểu và tóm lược một số kết quả liên quan trực

tiếp đến hai từ khóa trong đề tài nghiên cứu của mình là NL MHH và bài toán QHTTtrong chuyên dé ứng dụng toán học dé giải quyết một số bài toán tối ưu ở lớp 12

gia Nguyễn Thị Thu Thảo với nghiên cứu phát triển năng lực mô hình hóa toán

học của học sinh thông qua day học nội dung ham SỐ chương trình lớp 12 Nhóm

các tác giả đã trình bày các khái niệm liên quan đến MHH, MHHTH, NL

MHHTH, những lợi ích va khó khăn của việc day học mô hình hóa toán học cùng

với các tình huồng dạy học bing MHH và phương pháp đánh giá Tác gia Nguyễn Thị Nhân (2019) đã bàn về đánh giá năng lực mô hình hóa trong day học bai toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ở lớp 12 Đây là một nghiên cứu

rất gần với dé tai ma chúng tôi lựa chọn

GO nước ngoài, chúng tôi tìm thay khá nhiều công trình nghiên cứu vẫn dé van dé

MHH Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến 2 nội dung sau: các khái niệm, cầu trúc của

NL MHH và thang đánh giá NL MHH Cấu trúc của NL MHH đã được bàn đến bởi

nhiều tác giả, chăng hạn như Maaf (2006) và nhóm tác giả Koyuncu, Guzeller, Akyuz

(2017) Các tác giả cung cấp những kiến thức liên quan đến việc phân tích cầu trúc

NL MHH thành các NL thành phần và đề xuất một số tiêu chí đánh giá NL MHH.Chúng tôi sẽ dựa trên các phân tích này dé xây đựng thang đánh giá của mình Thang

đánh giá NL MHH là một xu hướng nghiên cứu khác Chang han, Matthias Ludwig

và Binyan Xu (2009) đã dé xuất sáu cấp độ để đánh giá NL MHH Sáu cấp độ này

mô tả biêu hiện cụ thé của HS khi tiến hành quá trình MHH

b) Vẻ vấn dé bài toán QHTTCác tải liệu trong nước, chúng tôi nghiên cứu các giáo trình đại học liên quan đến

Quy hoạch tuyến tinh của các tác giả Nguyễn Đức Phuong, Nguyễn Dinh Tùng, Bùi Minh Trí dé có thé làm rõ được các bai toán thực tế dan đến bài toán quy hoạch tuyến tính và ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính Trong quá trình tìm kiếm

từ khóa lí thuyết tối ưu hay quy hoạch tuyến tính, các tài liệu tìm được hau hết là giáo

trình giảng dạy ở bậc đại học Xét thấy bản chất các bài toán tối ưu mà chúng tôi

hướng tới sử dụng kiến thức của hệ bat phương trình bậc nhất một ân nên chúng tôi

đã nghiên cứu các tài liệu liên quan đến nội dung nảy như: Nguyễn Thị Nhung (2012),

Một nghiên cứu Didactic về dạy học hệ bat phương trình bậc nhất hai ân, các kỹ thuậtđược nhắc đến thông qua các ứng dụng, có hai phương pháp giải được tác giả đề cậpđến là phương pháp hình học và phương pháp đơn hình, trong đó phương pháp hình

học được trình bày dưới dang các bước thực hiện mà chưa có sự lí giải Các kết quả

nghiên cứu quan trọng có liên quan như: CT và SGK 2006 đã đặt trọng tâm vảo các

kĩ thuật đại số (KTĐS) trong khi đó học sinh chủ yếu sử dụng kĩ thuật hình học

(KTHH) đẻ giải các hệ BPT bậc nhất 2 ân mà nhóm tác giả đưa ra; HS ít sử dụng

KTHH mà chủ yếu sử dụng KTĐS hoặc máy tính bỏ túi dé tìm tọa độ các đỉnh của

đa giác nghiệm của hệ bất phương trình Cách tìm đáp án cho bài toán thực tế như SGK trình bày không đem lại cách hiéu đúng cho HS vẻ việc tìm phương án tối ưu

(PATU) mà tổng quát là tìm một phương án (PA) thỏa mãn yêu cầu của bài Kết quả

thực nghiệm ở chương 4 giúp chúng tôi tim ra sai lam của HS khi tìm phương án bat

kỳ của bài toán thực tế, sai lầm này có thé giải thích là do chướng ngại về didactic:thê chế chọn đạy học mô hình hóa nhưng triển khai không nhất quán đã làm kiến thức

trở nên mơ hỗ, dé dẫn đến sai làm cho HS;

Tran Thị Mỹ Dung (2008) — Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học

hệ bất phương trình tuyến tính ở lớp 10, Phạm Lý Anh (2012), Nghiên cứu việc đạy

hệ phương trình bậc nhất hai an trong mdi quan hệ với mô hình hóa toán học, trong

những luận văn này, tác giả đã nghiên cứu sự xuất hiện và vai trò của hệ bất phương

trình bậc nhất hai an trong các giáo trình đại học cũng như các tô chức toán học xoay

quanh khái niệm nay Vết của các tô chức toán học nay trong chương trình toán học

ở bậc phổ thông cũng được làm rõ, van đề MHH cũng được sách giáo khoa quan tâm

thé hiện trong bài toản kinh tế; chỉ rõ những đặc trưng trong day học hệ phương trình

tuyến tinh trong mối liên hệ với MHH, so sánh kiêu nhiệm vụ “Giai bai toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình” trong thé chế day học ở bậc phô thông va đại học và xây dựng đồ án dạy học qua các bước của quá trình MHH.

Ở nước ngoài, chúng tôi tham khảo các giáo trình dạy học bài toán tối ưu ở cả

bậc đại học và trung học Chúng tôi tham khảo sách Sách IGCSE Mathematics Core and Extended chương trình cambridge của Mỹ dé tìm hiệu vẻ tình huéng day học nội dung bai toán tối ưu Chúng tôi tham khảo giao trình của tác giả D G Luenberg and

Yinyu Ye (2007), Robert J Vanderbei (2007) dé tìm hiểu rõ tình huồng nảy sinhbài toán ti ưu, các phương pháp giải bài toán và cách chứng minh Chúng tôi sửdụng những kết quả này cùng với thé chế day học bài toán téi ưu ở Việt Nam làm

cơ sở để xây dung các tinh huồng day học

1.4 Câu hỏi nghiên cứu ban đầu

- Nhóm câu hỏi thứ nhất:

Trước những sự đôi mới của chương trình GDPT 2018 theo định hướng tiếp cận năng

lực; chú trọng tính ứng dung, gắn kết với thực tiễn, chúng tôi nhận thay chủ dé Vận

dụng hệ bat phương trình bậc nhất dé giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

tạo ra sự gắn kết giữa toán học và thực té mà từ đó có thé bồi đưỡng NL MHH ở học

sinh Từ những ghi nhận trên đã dẫn chúng tôi đến các câu hỏi: NL MHH là gì? Vấn

dé mô hình hóa được chương trình (CT), SGK quan tâm đến mức độ nào?

~ Nhóm câu hỏi thứ hat:

Ngoài ra, theo quan sát sơ bộ về SGK, chúng tôi nhận thấy cách tìm đáp án cho bài

toán thực tế như SGK lớp 10 trình bày là tìm tọa độ các đỉnh của đa giác nghiệm của

hệ bất phương trình không đem lại cách hiéu đúng cho HS vẻ việc tìm PATU bêncạnh đó PATU tối ưu luôn là kết qua của bài toán thực tế, chưa thẻ hiện rõ được biểuhiện liên hệ kết quả toán học trong ngữ cảnh thực tế, kiểm chứng hay giải thích được

tính đúng sai của lời giải Ghi nhận trên hướng chúng tôi đến câu hỏi: SGK 10 đã dé

cập đến cách giải nào cho bài toán QHTT? Tình huống dạy học nào có thé dap tngđược mức độ cần đạt của chương trình mà từ đó có thé bôi đưỡng thêm năng lực mô

hình hóa toán học cho học sinh lớp 12?

1.5 Lợi ích và tính cần thiết thực hiện dé tài

Về mặt lí luận, dé tai nghiên cứu cơ sở lí luận cho việc xây dựng kiến thức, thiết

kế các tình huống, bài toán bồi dưỡng năng lực MHHTH của học sinh trong việc day

học chuyên dé “Ung dụng toán học đề giải quyết một số bài toán tối ưu”.

Về mặt thực tiễn, nghiên cứu các bài toán tôi ưu giúp cho giáo viên bô sung thêm

về mặt phương pháp, có thêm lựa chọn khi xây dựng bài tập trong chuyên đề cần dạy,

đảm bảo phát huy tính tích cực và năng lực toán học ở học sinh.

2 Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Với chủ đề đã chọn, chúng tôi sử dung các lí thuyết didactic toán, cụ thé là thuyếtnhân học với các khái niệm quan hệ thé chế, quan hệ cá nhân, tô chức toán học, líthuyết tình huồng Chúng tôi sẽ giải thích ngắn gọn cho sự lựa chọn này:

- _ Thuyết nhân học: quan hệ thé chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học giúp

chúng tôi phân tích chương trình (CT) và sách giáo khoa (SGK) lớp 10 của bộ

sách Chân trời sáng tạo đưới góc nhìn của MHH, nhằm trả lời cho câu hỏi: van đề

mô hình hóa được CT, SGK quan tâm đến mức độ nào? SGK 10 đã dé cập đến cách giải nào cho bài toán QHTT? Cách học sinh tiếp cận bài toán tôi ưu cùng các kiều nhiệm vụ liên quan trong sách giáo khoa như thé nào?

- Lí thuyết tình huồng: xây dựng các tình huống dạy học bài toán tối ưu liên quan

đến thực tiễn nhằm mục đích bồi dưỡng NL MHH của HS Giải quyết câu hỏi:

Tình huồng day học nào có thẻ đáp ứng được mức độ can đạt của chương trình

mà từ đó có thê bồi dưỡng thêmNL MHHTH cho học sinh?

3 Đối tượng và phạm ví nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Một số bải toán quy hoạch tuyến tính; năng lực mô hình

hóa toán học

Phạm vi nghiên cứu:

- Ching tôi nghiên cứu các yêu cầu cần đạt của chương trình giáo dục phô thông

môn toán 2018 trong chuyên đẻ cho học sinh lớp 12

- Ching tôi nghiên cửu cách tiếp cận tri thức bài toán tối ưu trong bộ sách chân trời

sáng tạo toán 10 chương trình hiện hành của Việt Nam.

- Ching tôi tiên hành thực nghiệm trên lớp I1 tại trường THPT Lương Thế Vinh

4 Xác định lại câu hoi nghiên cứu

Câu hỏi nghiên cứu: với mục tiêu đã đề ra và trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi đặt ra các câu hỏi nghiên cứu như sau:

Câu hồi 1: NL là gi? NL MHH là gì? Cau trúc của NL? Cau trúc của NL MHH?Câu hỏi 2: Liên quan đến van đẻ hình thành phát trién NL MHH cho HS qua

dạy học bài toán quy hoạch tuyến tính, các thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm có những đặc trưng gì?

Câu hỏi 3: Những tình huống dạy học nào để bồi dưỡng NL MHH gắn với chủ

dé lí thuyết tối ưu? Những NL thành phan nào của NL MHH can quan tâm khi xâydựng tình huông ?

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phuong pháp nghiên cứu lí luận: phân tích, tông hợp một số công trình đã có đề

làm rõ phạm vi lí thuyết của dé tài.

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: phương pháp phân tích sách học sinh Toán 10,

chương trình toan lớp 10, lớp 12.

- Phuong pháp thực nghiệm: Xây dựng một hình huống dạy học và thực nghiệm trên

học sinh lớp 12 Phân tích rõ tình huống giúp học sinh phát triển năng MHH toán học ở biểu hiện nào?

- Phuong pháp thống kê toán học: Phân tích và xử lí các số liệu sau khi điều tra

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu hệ thông lí thuyết về NL và NL MHH.

Nghiên cứu NL MHHTH cua học sinh thông qua day học bài toán QHTT trong

chương trình lớp 12 ở trường phô thông.

Đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng NL MHHTH của học sinh thông qua dayhọc chủ dé ứng dụng toán học dé giải quyết một số bai toán tối ưu

7 Cấu trúc luận văn

Cầu trúc của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn Chúng tôi nghiên cứu và tông hợp tài

liệu liên quan đến MHH vả NL MHH dé trả lời cho câu hỏi 1

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm bôi đưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 12 thông qua day học bài toán quy hoạch tuyến tính Kết quả đạt được trong chương | sẽ là cơ sở tham chiều nghiên cứu trả lời cho câu hỏi 2 Câu hỏi

2 liên quan đến việc nghiên cứu quan hệ thé chế Chúng tôi nghiên cứu CT và SGK

dé chỉ rõ cách trình bay của bài toán QHTT dưới góc nhìn của MHH va những TCTH gắn với bài toán, cùng với nội dung của chương | đề từ đó dé xuất một số biện pháp

sư phạm bôi dưỡng NL MHH.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Dựa trên kết quả nghiên cứu được ở chương

2 về các kết quả nghiên cứu được từ CT, SGK va các biện pháp bồi dưỡng NL MHHchúng tôi dé xuất một số tình huồng day học bài toán QHTT giúp học sinh bồi dưỡng

NL MHH Kết thúc chương này cũng đông nghĩa với việc chúng tôi trả lời được câu

hỏi 3.

Chương 1 CƠ SO LÝ LUẬN

1.1 Mô hình hóa

Nghiên cứu về MHH xuất hiện khá lâu trong giáo dục, tuy nhiên được đánh dau

rõ nét từ nghiên cứu của Pollak vào năm 1970 Tiếp theo là các nghiên cứu nồi bật

của các tác gia Swetz và Hartzler (1991), Blum W-Galbraith, P.L-Henn, H-W-Niss

(2007), Kaiser, Gaimme, Brown (2007), Matthias Ludwig - Binyan Xu (2009) MHH được biết đến như một phương pháp day học, cung cấp cho học sinh hiéu khái niệm của van đẻ, giúp học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết van đẻ cụ thẻ dựa trên tinh

huồng thực tế MHH còn giống như một phương pháp nghiên cứu khoa hoc, giúp học

sinh biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác

nhau.

O Việt Nam, việc nghiên cứu về MHH, NL MHH và việc phát triên NL MHH cho học sinh đã được các tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012), Lê Thị Hoài Châu

(2012, 2014), Nguyễn Danh Nam (2016) quan tâm nghiên cứu Theo Lê Thị Hoài

Châu (2014), mô hình toán học (a sự giải thích bằng toán học cho mot hệ thong ngoàitoán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thông này Quá trình

tô hình hóa toán học là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài

toán học, giải quyết van dé trong mô hình do, rồi thé hiện và đánh giả lời giải trongngữ cảnh thực tế, cải tiễn mô hình nếu cách giải quyết không thể chap nhận Nguyễn

Danh Nam (2016), đã dựa vào quan điểm của Edwards và Hamson (2001) dé đưa ra

khái niệm MHHTH là quá trình chuyên đôi một vẫn đẻ thực tế sang một van dé Toánhọc thông qua việc thiết lập và giải quyết các mô hình Toán học, thé hiện và đánh giá

lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thé chap nhận Nói cách khác, MHHTH chính là quá trình giải quyết van đẻ thực tế bằng công

cụ và ngôn ngữ Toán học Van đề của tình huống thực tiễn được chuyên đôi sang van

dé Toán học phù hợp và ngược lại

Như vậy, có thẻ nói MHHTH được hiểu là việc sử dụng các công cụ toán học để

mô tả va giải quyết các tình huỗng thực tiễn bằng công cụ toán học, thê hiện các tinh

huống đó dưới dang ngôn ngữ toán học Quá trình chuyển đổi giữa tình huống thựctiễn va tình huống toán học tuân theo một quy trình nhất định với những quy tắc đặc

biệt dé xây dựng giả thuyết toán học đề từ đó học sinh có thé dé dàng nhìn nhận các

van đề thực tiên MHHTH là một hoạt động phức tạp chuyên đôi giữa toán học vàthực tiễn theo cả hai chiêu, vì vậy đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhautrong các lĩnh vực toán học khác nhau, đồng thời có kiến thức liên quan đến tình

huống thực tiễn.

1.2 Lợi ích của mô hình hóa

Cùng với những lí do đã trình bày ở mục chọn đề tải, chúng tôi muốn khăng định

lại MHH giữ vai trò rất quan trọng trong việc học toán và ứng dụng toán học dé giải

quyết những van đẻ thực tiễn bởi những lí do sau:

MHH toán học cho phép HS hiểu được mối liên hệ giữa toán học và cuộc song

môi trường xung quanh va sự kết nỗi với các ngành khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn.

MHH toán học trang bị cho học sinh kĩ năng sử dụng toán học như công cụ giải

quyết van đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán học HS sẽ thấy được

tính hữu ích và can thiết của toán học cũng như việc học toán Kỹ năng sử dụng

toán học vào giải quyết những tình huồng thực tế không phải do năng khiếu hay

thiên bam mà đó là kết quả của sự học tập và rèn luyện.

MHH toán học tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn điện va đa dạng của toán học, giúp HS thấy được một phân lịch sử của sự phát trién văn hóa nhân loại.

Các nội dung toán học có thẻ được hình thành củng cố bởi những ví dụ thực tiễn,điều này giúp HS khắc sâu kiến thức đồng thời có thái độ tích cực yêu thích đối

với việc học toán.

MHH toán học là một phương tiện thích hợp cho việc phát trién các năng lực toán

học cho HS như suy luận, khám phá, sáng tạo giao tiếp toán học, giải quyết vấn

đề.

1.3 Quy trình mô hình hóa toán học

Theo Lê Thị Hoài Chau (2019), các bước của quá trình MHH được tóm lược bởi sơ dé sau:

MÔ HÌNH THỰC TIỀN PHẠM VI NGOÀI TOÁN HỌC

Hệ thông hay tình huỗng ngoài toán học

Câu hỏi liên quan đến hệ thông Câu trả lời

(Bài toán thực tiễn) cho bài toán thưc tiền

(1) Rút gọn hệ thông

(giữ lại những thông tin thỏa đáng)

MÔ HINH PHONG THỰC TIỀN

Bài toán phỏng thực tiển

PHAM VI PHÒNG THỰC TIEN

(2) Phát biểu van dé bing ngôn ngữ

toán học đã lựa chọn

MÔ HÌNH TOÁN HỌC PHẠM VI TOÁN HỌC

Cau tra lời cho bai toán

- (3) Giải bài toán Câu trả lời

Bài toán todnhoc {— | chobảitoán toin hoc

Sơ a6 Quá trình mô hình hóa

Sơ đồ trên được cụ thé hóa qua 4 bước mô hình hóa như sau:

Bước 1 Xây dựng mô hình phỏng thực tiên của van dé, tức là xác định các yếu

tổ có ý nghĩa quan trong nhất trong hệ thông và xác lập những quy luật mà chúng ta

phải tuân theo.

Bước 2 Xây dựng mô hình toán học cho van đề đang xét, tức là điển tả lạiđưới dang ngôn ngữ toán học cho mô hình phòng thực tiên Lưu ý là ứng với vấn đẻ

dang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tổ nào của hệ thống và mới liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng.

Bước 3 Sử dung các công cụ toán học dé khảo sát và giải quyết bài toán hình

thành ở bước hai.

Bước 4 Phân tích và kiêm định lại các kết quả thu được trong bước ba O day,

người ta phải xác định mức độ phà hợp của mô hình và kết qua tinh toán với van dé

thực tế Nếu kết quá không thể chấp nhận được thì phải lặp lại quá trình để tìm câu tra lời phù hợp cho bài toán ban dau.

1.4 Năng lực mô hình hóa và cau trúc của năng lực mô hình hóa toán học

a) Năng lực mô hình hóa Nang lực trong chương trình giáo dục phô thông tông thé năm 2018 (tr.37) là

"thuộc tính cá nhân được hình thành phát triển nhờ tô chat sẵn có và quá trình họctập rèn luyện, cho phép con người huy động tập hợp các kiến thức, kĩ năng và thuộc

tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chi, thực hiện thành công một loại

hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong điều kiện cụ thé”;

Trong chương trình Giáo dục phô thông 2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã xác

định rõ NL MHH là một trong những năng lực đặc thù can hình thành cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường phô thông Trước đó đã có nhiều tác giả định nghĩa

khác nhau về NL MHH: Trích theo Cao Thị Hà, Nguyễn Xuân Dung (2023), Blum và

Jensen (2007) cho rằng, NL MHH là kha nang thực hiện day da các giai đoạn của quá trình mô hình hóa trong một tình huống cho trước; Các tác giá Nguyễn Thị Nga (2014),

Lê Thị Hoài Châu (2014), Nguyễn Danh Nam (2015) đều cho rằng NL MHH là khả

năng áp dụng những hiểu biết toán học dé chuyên một tình huồng thực tiễn về dang toán học Những quan điểm này khá phù hợp với quan điểm về NL MHH được quy định trong Chương trình Giáo dục phô thông 2018.

Kết luận: Bồi dưỡng NL MHH cho học sinh trong dạy học Toán là tổ chức cho người

học thực hiện tốt quy trình mô hình hóa một tình huéng thực tiễn tương thích với kiến

thức Toán học mà người học cân lĩnh hội.

b) Câu trúc của năng lực mô hình hóa Trích theo Lê Thị Hoài Châu (2019), theo Blum và Kaiser (1997) thi NL MHH

liên quan đến "tiêu chi cần đạt trong quá trình MHH” Do đó, họ cho rằng các NLthành phần của NL MHH là:

- Hiểu vấn đề thực tế và xây dựng mô hình phỏng thực tế:

- Biết thiết lập mô hình toán học từ mô hình thực tế:

- Biết giải quyết vấn đề toán học trong mô hình toán học;

Biết phiên dịch kết qua toán học xuất hiện trong tình huồng thực tế thành giải pháp khả thi cho tình huồng.

Nhiều tác giả khác như Kaiser, Maab (2006), Lingefjrad (2004) tán thành với

ý kiến trên và tim cách chi tiết hóa những biểu hiện cụ thé của mỗi NL thành phần

qua một tập hợp các kĩ năng như:

Nhận diện và đơn giản hóa các thông tin được cho;

Kiêm soát quy trình MHH

“Trích theo Nguyễn Thị Nhân tác giả MaaB (2006, trÍ I7-I 18) đã chi tiết hóa cácthành tố của mỗi năng lực thành phần qua bảng sau:

Bảng 1.1 Cấu trúc của NLU MHH của tác giả Maaf (2006, tr117-118)

Các NL thành phần của

NL MHH

Dua ra các giả định cho van đề và đơn giản hóa

tình huồng;

NL hiểu van dé thực tế và Nhận ra số lượng các yếu tố ảnh hưởng đến tình

thiết lập mô hình phỏng huống, đặt tên cho nó và xác định các biến chính;

thực tế Xây dựng mối quan hệ giữa biến;

NL thiết lập mô hình toán

học từ mô hình phỏng thực

r

ˆ

te,

Tim kiếm thông tin có sẵn và phân biệt giữa thông

tin có liên quan và không liên quan;

Toán học hóa sô lượng biên có liên quan va quan

hệ giữa chúng.

Cac NL thành phan của ã

Các NL con của từng NL thành phân

NL MHH

Đơn giản hóa sô lượng biên có liên quan và số

lượng quan hệ của chúng nếu can thiết và dé giảm bớt

sé lượng và độ phức tap;

Chọn các ký hiệu toán học thích hợp và biểu diễncác tình huống bang đồ thị hoặc biêu đô

Sử dụng các chiên lược như phân chia vân đê

NL giải quyết các câu hỏi thanh các vấn đề nhỏ, thiết lập quan hệ hoặc van dé

toán học trong mô hình tương tự, xem xét lại van dé, xem van đề ở dạng khác,toán học thay đổi số lượng hoặc có san dit liệu

Sử dung kiến thức toán học dé giải van đề;

Giải thích các kết quả toán học trong mỗi tình

huống toán hoc;

NL giải thích kết quả toán Khái quát hóa các giải pháp đã phát trién cho một

học trong tỉnh huống thực — tỉnh huồng đặc biệt;

tế Trình bày giải pháp cho một van dé bằng cách sử

dụng ngôn ngữ toán học thích hợp vả / hoặc chia sẻ về các giải pháp:

Kiem tra va phan ánh về tim thay các giải pháp:

Xem xét một số phan của mô hình hoặc lặp lại quá

Suy nghĩ về các cách giải quyết vấn đề khác hoặcnếu được có thé phát triển giải pháp khác;

Đặt câu hỏi chung cho mô hình.

Trích theo Cao Thị Hà, Nguyễn Xuân Dung (2023, tr24), tác giả Blum và Jensen

(2007) cho rằng Các thành tô của NL MHH Toán học bao gồm:

1) Don gián giả thuyết:

2) Làm rõ mục tiêu;

3) Thiết lập van dé;

4) Xác định biến, tham số, hằng số;

5) Thiết lập mệnh dé Toán học:

6) Lựa chọn mô hình;

7) Biểu dién mô hình thích hợp;

8) Liên hệ lai van dé trong thực tién;

Theo chương trình Giáo đục phô thông 2018 các NL thành phan của NL MHHgồm:

- Xác định được mô hình toán học (g6m công thức, phương trình, bang biéu, đô

thị, ) cho tinh huồng xuất hiện trong bải toán thực tiễn:

- _ Giải quyết được những van đề toán học trong mô hình được thiết lập;

- _ Thẻ hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế va cải tiễn.

Tương ứng với ba thành phan nêu trên thì chương trình cũng đã xác định những

biểu hiện cụ thé đôi với HS trung học phô thông:

- Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình

vẽ, bảng biểu, đồ thị, ) đề mô tả tinh huéng đặt ra trong một số bài toán thực

tiễn;

- _ Giải quyết những van đề toán học trong mô hình được thiết lap;

- Li giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính

toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách

đơn gián hóa, cách điều chỉnh những yêu cau thực tiễn (xap xi, bỗ sung thêm giảthiết tông quát hóa, ) dé đưa đến những bai toán giải được

Kết luận: Dựa trên những kết qua tông hợp được, chúng tôi đưa ra những lựa chọn là

cở sở lí luận dé xây dựng nội dung cho những chương kẻ tiếp như sau:

- NL MHH toán học ở học sinh sẽ được hình thành thông qua 4 bước của quy

trình MHH theo tác giả Lê Thị Hoài Châu (2019),

- NL MHH gồm 3 NL thành phan theo chương trình Giáo dục phô thông 2018

Tiểu kết Chương 1

- Ở chương nay chúng tôi đã tìm hiểu cơ sở lý luận về NL MHH va vai trò quan

trọng của MHH trong việc day học toán.

- Mô hình hóa toán học lả quá trình tạo ra mô hình toán học, sử dụng các công

cụ toán học dé dién tả một hình huống thực tiễn đưới dang ngôn ngữ toán học nhằm hướng tới giải quyết một van trong thực tiễn.

- Cá nhân mỗi học sinh khi tham gia vào quá trình mô hình hóa sẽ hiểu biết nhiều hơn về mỗi liên hệ giữa toán học va cuộc sống, nâng cao kỹ năng vận dụng

toán học vào việc giải quyết các tình huống thực tế, từ đó học sinh khắc sâu kiến thức

và có thái độ tích cuc, yêu thích đối với việc học Toán Tham gia vào quá trình MHH

sẽ kéo theo sự phát trién các năng lực khác ở HS như suy luận, khám phá, sáng tạo,

giao tiếp toán học, giải quyết vấn dé

- Để bồi đưỡng NL MHH toán học cho học sinh, giáo viên cần tỏ chức cho

người học thực hiện tốt các quy trình mô hình hóa một tình huỗng thực tiễn tương thích với kiến thức toán học mà người học cần lĩnh hội Dựa trên những kết quả đã tông hợp được chúng tôi lựa chọn quy trình mô hình hóa của tác giả Lê Thị Hoài

Châu gồm 4: Bước I: Xây dựng mô hình trung gian của van đề Bước 2: Xây dựng

mô hình toán hoc; Bước 3: Giải quyết van dé toán học trong mô hình toán học đã

thiết lập; Bước 4: Thẻ hiện, đánh giá lời giải trong mô hình thực tế, cải tiến lời giải

nếu cách giải quyết không phù hợp

- Từ những điều chúng tôi tông kết trên cho thấy MHH thật sự cần thiết với HS

Vì vậy, trong luận văn này, chúng tôi tiến hành việc tìm biểu việc dạy học chủ dé

“Vận dụng hệ bat phương trình bậc nhất dé giải quyết một số bài toán quy hoạch

tuyến tinh” tronng mối liên hệ với mô hình hóa toán học trong Chương trình lớp 12,Chương trình lớp 10, SGK toán 10 ở Việt Nam Dựa trên cơ sở đó chúng tôi sẽ đề

xuất một số tình huỗng dạy học chủ dé “Van dụng hệ bất phương trình bậc nhất đẻ giải quyết một số bai toán quy hoạch tuyến tính” ở lớp 12 nhằm bồi dưỡng NL MHH cho học sinh Điêu này sẽ được thê hiện trong chương 2 của luận văn.

Chuong 2 CO SO THUC TIEN VA MOT SO BIEN PHAP

BOI DUONG NANG LUC MÔ HÌNH HOA TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH THONG QUA DAY HỌC BAI TOÁN

QUY HOẠCH TUYEN TÍNH

Từ những cơ sở lý luận được trình bảy ở chương | chung tôi nghiên cứu bai toán

QHTT trong các giáo trình dạy đại học Chúng tôi nhận thấy bài toán QHTT xuất

hiện ở lớp 10 và lớp 12 trong chương trình phô thông 201§ Liên quan đến bải toán

QHTT và NL MHH chúng tôi phân tích các yêu cầu cần đạt ở lớp 10, 12 trongchương trình 2018, và các kiều nhiệm vụ xuất hiện trong SGK toán 10 bộ sách Chântrời sáng tạo Chúng tôi lựa chọn bộ sách Chân trời sáng tạo dé nghiên cứu vi phan

lớn các trường cap 3 tại TP.HCM phan lớn lựa chọn bộ sách nay dé giảng day Điều này, giúp chúng tôi xây dựng một số biện pháp dạy học giúp bồi dưỡng năng lực

MHH toán học ở học sinh lớp 12.

2.1 Tìm hiểu tri thức bài toán QHTT

Dé giải một bài toán QHTT chúng ta có khá nhiều phương pháp giải, chang han

như: phương pháp hình học, phương pháp đơn hình, phương pháp điểm trong, phương

pháp ellipsoid, Tuy nhiên, do mục đích nghiên cứu ở đây là tìm cơ sở tham chiếu

cho việc phân tích CT, SGK sau này, chúng tôi chỉ chọn phân tích phương pháp hình

học.

Phương pháp hình học không có ý nghĩa nhiều đối với các bài toán có nhiều ràngbuộc và an số Tuy nhiên, việc sử dụng phương pháp hình học cũng là một cách đềchứng minh các tính chat của bài toán QHTT, cho ta ý tưởng dé xây dựng các phương

pháp khác dé giải bài toán có nhiều ràng buộc và an số như phương pháp đơn hình.

Lưu ý rằng phương pháp hình học chỉ dùng cho bải toán QHTT có số biến là 2 hoặc

3, hay những bài toán QHTT có thể đưa vẻ dạng 2, 3 biến Do sự tương đồng trong lời giải bài toán 2 biến và 3 biến, chúng tôi sẽ chỉ trình bày cách giải cho trường hợp

thứ nhất

Qua quá trình phân tích và tông hợp tài liệu là giáo trình giảng day Dai học của

tác giả Nguyên Đức Phương, Nguyễn Đình Tùng, Bui Minh Trí dưới đây là phan trình bày ngắn gọn những tri thức liên quan của bài toán QHTT:

a) Biểu dién hình học bài toán QHTT hai biến

Xét bai toán QHTT chuân tắc 2 biến

+ Tập phương án của bài toán tối ưu nằm trong góc phân tư thứ nhất.

+ Tập nghiệm tối tru của bài toán là một tập hữu hạn các phan tử

Sau đó, xác định vectơ pháp tuyến của nó: ở, =(d,.đ,;) (= 1.m).

Nửa mặt phẳng D = a,x, +4,,x, <b,, i=1,m_ nằm về phía ngược

hướng với ñ, (¡ =l,m)

Nửa mp D* =a,,x, +4,,x, >b,, i=1,m nằm về phía cùng hướng với

n, (= lim), kế cả biên của H,.

Một cách khác dé xác định nửa mat phing (1) ta thường thay tọa độ của

một điểm đặc biệt nào đó như O(0:0) (hoặc (0:1) (1:0) ) vao bất phương

trình đạx, +đ„x; $b, i=l,m Nếu biểu thức đó đúng thì nửa mặt phẳng chứa

điểm đã chọn là nửa mặt phẳng phải tìm, còn nếu biểu thức đó sai thì phải lấy

nửa mặt phăng còn lại.

+Miễn rang buộc ?, xác định bởi hệ rang buộc là giao của của m nửa mặt phẳng.

se D=Ø, khi các nửa mat phăng không có điểm chung, bai toán vô nghiệm

© Dv, Dlà miễn lôi giới hạn gọi là đa giác lồi, bài toán có một phương

án tối ưu là một đỉnh của miền đa giác hoặc bài toán có vô số phương ántôi ưu, khi đó có hai phương án tối ưu là hai đính của miền đa giác

se D+, Dlà miền lỗi (khúc lỗi) không giới hạn (miền nghiệm không bị

giới hạn), bài toán có một phương án tối ưu la phương án cực biên hoặc

có vô số phương án tôi ưu hoặc bài toán không có lời giải (F(x, y) không

bị chặn).

+ Tập hợp các điểm x mà tại đó hàm mục tiêu nhận cùng một giá trị

C4, +¢,%, =@ là một đường thăng vuông góc với giá của vectơ € gọi là đường

mức Với mỗi giá trị # thay đôi ta có các đường mức song song.

i, 7 {ees}

OX, +0.%, =a

b) Y nghĩa hình học của vecto hàm mục tiêu Ham mục tiêu ƒ(X)=c,x,+c;¿x, có thé biểu diễn dưới dạng tích vô hướng của hai vecto:

>

ƒ(X)={cx) với €=(G,,¢,), t= (4.4, ) €

Xét phương trình đường thăng: c,x¡ +c;x, =# với ae | :

Ta thấy: khi œ thay đôi, sẽ xác định trên mặt phẳng tọa độ Ox,x, các đường thing

song song với nhau (vì cùng nhận # =(¢,,c,) là vectơ pháp tuyến), gọi là các đườngmức (mức giá trị œ) Mỗi điểm x = (xx, ) e€ D, sẽ nam trên đường mức với gia trị

bằng £=c,X,+c€,x;.

Khi dich chuyên song song các đường mức theo hướng vecto pháp tuyến thì giá

trị đường mire sé tăng Ngược lại, khi dich chuyển theo hướng ngược lại thì giá trị

đường mức sẽ giảm Từ đó ta có thé giải bài toán QHTT hai biến theo phương pháp

hình học.

c) Tính chat của tập phương án chap nhận được

Định nghĩa: Doan thăng nói hai điểm x, và x, được định nghĩa

{xe J"lx=Ax, +(1-A)x,, 0<2<«1}

Nếu A=0, X=%X,; A=1, X=X, và x, và x,được gọi là hai điểm biên của đoạn

thăng.

Những điểm thuộc đường thăng 0< A < 1 được gọi là các điểm nằm trong đường thăng.

xX, SCX

x = Ax; +(1—A)x2

Định lý: Cho x, va x, là hai phương án chấp nhận được của bài toán quy hoạch

tuyến tính, và x= 2x, +(1—Â)x;, 0< Â <1 là điểm thuộc đoạn thăng nỗi hai điểm +,

và x, Khi đó:

i) x cũng là phương án chap nhận được

ii) — Nếu cx, =cx, thi cx =cx, =cx,

iii) — Nếu cx, <ex, thi ex <cx,

Chứng minh.

Vi x, va x, là hai phương an chấp nhận được của bài toán quy hoạch tuyến tinh

nên x, và x,thoa các ràng buộc Ax, <b, Ax, Sb.

¡Với x =Ax, +(1—2)x,, O<A <1 thuộc đoạn thắng nối hai điểm

x, Va 1;, ta có:

Ax = A(Âx,+(I~Â)%;}

ii =AAx, +(1-2) Ax,

<Ab+(1-2)b=b

Tức là Ax Sb Suy ra xlà phương án chap nhận được

li Tir (i) ta có x là phương án chấp nhận được, giá trị hàm mục

ex =c(Ax,+(1-A)x,)

=Acx, +(1-A)cx,

<Acx, +(I— Ä}cx; =cx,(dpem)

d) Thuật toán giải bài toán QHTT hai biến theo phương pháp hình

học.

Bước 1: Xác định miền ràng buộc

Biểu diễn các điều kiện rang buộc của bai toán lên mặt phăng tọa độ Xác địnhmiễn ràng buộc D

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến n =(¢,¢,); Vẽ đồ thị đường mức

C4, +Ox, =a với đe Ì',

Bước 3: Dịch chuyên song song các đường mức theo hướng của vectơ n= Gối) (đối với bải tìm giá trị lớn nhất) hoặc ngược hướng của vectơ n= (c,„€;) (đối với bai

tìm giá trị nhỏ nhat), cho tới vị trí giới hạn (vj tri mà đường mức vẫn còn cắt miền D , nhưng néu tiếp tục dich chuyên sẽ không cat D nữa).

Bước 4: Diễm (hoặc nhiều điểm) của Ð nằm trên giao điểm của đường mức ở vị

trí giới han với D, là lời giải của bai toán.

Xx, 20

với điều kiện

Giải

Biểu diễn các điều kiện ràng buộc của bài toán lên mặt phẳng toán độ x,Ớx,,, ta

được miễn rang buộc là tứ giác OABCD

2.2 Bai toán QHTT trong chương trình lớp 10 hiện hành

Trong chương trình toán 10 hiện hành, các bài toán tối ưu tuyến tính nằm trong chương II: Bat phương trình và hệ bat phương trình bậc nhất hai ân.

Bài toán quy hoạch tuyến tính được đưa vào với tên gọi là bài toán tìm cực trị

của biêu thức F(x, y)=ax+by trên một miễn đa giác Day là một gợi ý về dang baitap ứng dụng của hệ bất phương trình nhằm giúp học sinh: “Van dụng kiến thức vềbat phương trình, hệ bat phương trình bậc nhất hai an vào giải quyết bài toán thựctiễn” Yêu cầu nảy được đưa ra sau khi học sinh đã nhận biết được bat phương trình

và hệ bat phương trình bậc nhất hai ân biểu diễn được nghiệm của bất phương trình

và hệ bat phương trình bậc nhất hai an trên mặt phẳng tọa độ Như vậy chương trình

đã đưa ra bài toán tìm cực trị của biểu thức F(x, y) =ax+by trên một miễn đa giácnhư một chủ ý nhằm nhắn mạnh tính ứng ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhấthai ân trong thực tế, cho học sinh thấy sự xuất hiện của hệ bất phương trình bậc nhấthai ân trong một bài toán QHTT

Chúng tôi nhận thấy việc chương trình lựa chọn phương pháp hình học dé giải

quyết bài toán là phủ hợp cho trường hợp bài toán có 2 ân vì nó đem lại hình ảnh

trực quan cho miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ân

2.3 Bài toán QHTT nhìn từ cách tiếp cận theo quan điểm mô hình hóa trong

sách giáo khoa toán 10, bộ sách chân trời sáng tạo.

Chúng tôi sẽ tiếp tục phân tích SGK dé làm rõ hơn về kỹ thuật giải hệ bat phươngtrình bậc nhất hai an và ứng đụng của bat phương trình bậc nhất hai an trong giải các

bài toán QHTT Tuy nhiên phương trình, bat phương trình bậc nhất hai an đã có

nhiều nghiên cứu thành công, trong một số trường hợp cần thiết chúng tôi sẽ trích dan

lại Trọng tâm chúng tôi sẽ di phân tích bai toán QHTT va vấn dé mô hình hóa được

chương trình và SGK dé cập.

Chung tôi chọn phân tích SGK Toán 10 tập 1 bộ sách Chân trời sáng tạo vì phan lớn các trường cấp tại TPHCM lựa chọn bộ sách này dé dang day, trong đó có trường

THPT Lương Thể Vinh là ngôi trường chúng tôi dir kiến sẽ tiền hành thực nghiệm.

Trong chương II Bat phương trình và hệ bat phương trình bậc nhất hai ân gồm 2

Đài:

- Bài 1 Bất phương trình bậc nhất hai ân

- Bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ân.

Mục tiêu của chương: Học xong chương này, học sinh có thê:

- _ Nhận biết được bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ân.

- Biểu điễn được miền nghiệm của bất phương trình và hệ bat phương trình bậc

nhất hai ân trên mặt phăng tọa độ.

- Van dụng được kiến thức về bat phương trình và hệ bat phương trình bậc nhất

hai ân vào giải quyết các bải toán thực tiễn (ví dụ bải toán tìm giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất của biêu thức F = ax +y trên một miền đa giác ) a) Phân tích bài 1: Bat phương trình bậc nhất hai an.

Mở đầu bài 1: SGK đã đưa ra hoạt động khám phá:

Bạn Nam đẻ đành được 700 nghìn đồng Trong một đợt ủng hộ các bạn học sinh ở

vùng bị bão lụt, Nam đã ủng hộ x tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng, y tờ tiền có mệnh

giá 50 nghìn đồng từ tiền dé danh của mình.

a) Biéu diễn tong số tiên ban Nam đã ủng hộ theo x và y.

b) Giải thích tại sao ta lại có bat đăng thức 20x + 50y < 700.

Giải

a) Biéu thức biêu diễn tông số tien bạn Nam đã ủng hộ: 20x+50y

b) Vì tông số tiền Nam có thé quyên góp phải nhở hơn số tiền Nam dédành được là 700 nghìn đồng nên 20x + 50y < 700

Hoạt động này nhằm nhắc lại phương pháp giải bài toán bang cách lập phương

trình: Việc lập các phương trình chỉ là việc dịch các giả thiết bằng lời thành cácphương trình, dé từ đó gợi mở cho học sinh giải bài toán bằng cách lập hệ phương

Với cách định nghĩa nay, SGK dang dé cap dén dé thi khi dién ta tập nghiệm của

bat phương trình bậc nhất hai ấn Day cùng là bước dau tiên dé chuẩn bị cho KTHH

trong việc giải quyết các KNV liên quan đến bài toán QHTT có cơ hội hình thành và

phát triển.

Tiếp theo SGK đưa ra nhận xét: *Mỗi phương trình ax+by +c =0 (a,b không

đông thời băng 0) xác định một đường thăng A Đường thắng A chia mặt phẳng Oxy

thành hai nửa mặt phăng, trong đó một nửa (không kế bờ A) là tập hợp các điểm

(x,y) thỏa mãn đx+by+€ >0 nửa còn lại (không kế cả bờ A) là tập hợp các điểm

(x,y) thỏa mãn av+by+c<0,”

Nhận xét trên là công nghệ va các bước biéu điền miền nghiệm là kĩ thuật dé giảicác KNV liên quan đến bất phương trình bậc nhất hai ân Điều này chứng tỏ được

KTHH đã được xuất hiện ngay từ trong phan lí thuyết một cách ngầm an.

Các tô chức toán học gắn với bất phương trình bậc nhất hai an và KTHH:

Kiểu nhiệm vu Tueạ: “Xde định miền nghiệm của hệ bất phường trình bậc nhất

Xét gốc toa độ O(0; 0) Ta thấy O¢ A va

0—2.0— 1 <0 Do dé, miễn nghiệm của

bat phương trình là nửa mặt phang không

ké bờ A, không chứa gốc toa độ O (miễn

không gạch chéo trên Hình 1).

b) Về đường thăng A: x + y- 1 = 0 đi qua

hai điểm A(1; 0) và (0; 1).

Xét gốc toa độ (0; 0) Ta thay O ¢ A và 0+0— <0.

Do đó, miễn nghiệm của bat phương trình là

nửa mặt phăng kẻ cả bờ A, chứa gốc toa độ O (miền không gạch chéo trên Hình 2).

9, Biểu diễn miễn nghiệm của các bắt phương trình sau:

a) 2x +y—2 <0; b)x—y—2>0 Hình 2

“sếp, Biểu dién miễn nghiệm của hai bat phương trình sau trên cùng một mặt phẳng toa độ Oxy:

a)y>2; bì x44.

Kĩ thuật:

- Vẽ đường thăng A:ax+by+c=0;

- Xét một điểm Äf( xạ y„} không thuộc A

Nếu ax, + by; +¢ <0 thì nửa mặt phăng (không ké bờ A) chứa điểm M

là miền nghiệm của bat phương trình ax+by +c <Oax+by +c <0

Nếu ax, + by, +e > 0 thì nửa mặt phẳng (không kẻ bờ ) không chứa điểm

M là miền nghiệm của bất phương trình ax+by+c <0

Với các bất pa,b ax+by+c>0 phương trình dạng hoặc thì miền

nghiệm là nửa mặt phăng kẻ cả bờ

Công nghệ:

Định lí: *Mỗi phương trình ax+by +c =0 ( không đông thời bang 0) xác định

một đường thăng A Đường thăng A chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phăng,

trong đó một nửa (không ké bờ) là tập hợp các điểm (x,y) thỏa mãn v+by+c >0

nửa con lại (không kẻ cả bờ A) là tập hợp các điểm (2, y) thỏa mãn ax+by+c <0

b) Phân tích bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ân

Đề dẫn dắt từ bài 1 sang bài 2, SGK đã đưa ra hoạt động:

» Một người nông dân dự định quy hoạch x sảo dat trong cả tim va y sảo dat trồng cả chua.

Biệt răng người đó chỉ có tôi đa 9 triệu dong để mua hạt gidng va giá tiên hạt giông cho

mỗi sao đất trong cả tím là 200 000 dong, mỗi sào đất trông cả chua là 100 000 dong.

a) Viết các bat phương trình mô ta các điều kiện rang buộc đỗi với x, y.

b) Cặp số nào sau đây thoả mãn đồng thời tat cả các bắt phương trình nêu trên?

(20; 40), (40;20), (-30; 10).

Bài toán tìm nghiệm chung của ba bat phương trình 0,2x + 0,Ly = 9 < 0; x 20 và y > 0 là bài

toán tìm nghiệm của hệ sau:

0,2x+0,ly-9<0 x20

v>0.

Hoạt động này nhằm ôn lại cách lập bất phương trình bậc nhất hai ân và cách xác

định một điểm cho trước có phải nghiệm của bất phường trình hay không, từ đó đưa

ra định nghĩa hệ bat phương trình và nghiệm của hệ bat phương trình bậc nhất hai an

ẨÝ n.i?ptcqữigajNfữfBlifgfiGi@awirqqgdue

nhất hai an x, y Mỗi nghiệm chung của tat cả các bat phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bắt phương trình đã cho.

Trên mặt phẳng toa độ Oxy, tập hợp các điểm (x,; y,) có toa độ là nghiệm của hệ bat

phương trình bậc nhất hai ân được gọi là miễn nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Tiếp theo SGK đưa ra cách xác định miền nghiệm của hệ bat phương trình bậcnhất hai an dựa trên cách xác định miền nghiệm của bat phương trình bậc nhất hai an

kèm theo vi dụ.

Đề biểu diễn miền nghiệm của hệ bắt phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng

toa độ Oxy, ta thực hiện như sau:

~ Trên cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bắt phương trình của hệ.

~ Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bat phương trình.

Ví dụ 2

1€U đicn miễn nghiệm cua hệ: 2x—y+2 <0

Giải

Biểu diễn từng miễn nghiệm của mỗi bất

phương trình trên mặt phang Oxy.

Miễn không gạch chéo (kê cả bờ) trong Hình 2

là phan giao của hai miễn nghiệm của hai bat

phương trình và cũng là phần biểu diễn miền

nghiệm của hệ bat phuong trinh da cho.

Ví dụ 3

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bat phương trình:

3x+y<6

x+y<4 x>0

v>0.

Giải

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bat

phương trình trên mặt phăng Oxy.

Miền không _ gạch chéo (miền tứ giác

OABC„ bao gom cả các cạnh) trong Hình 3

là phan giao của các miền nghiệm va cũng

là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bắt

phương trình đã cho.

Công nghệ: Định nghĩa miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ân.

Trong VD3, SGK đã đưa ra chú ý: “Miền mặt phẳng tọa độ bao gồm một đa giáclỗi và phần nằm trong đó được gọi là miền đa giác Chang han, ta có miền đa giác

trong Vi dụ 3 là miền tứ giác OABC."

Sau đó SGK tiếp tục đưa ra thực hành 2, với cùng kiêu nhiệm vụ với VD3 mà

miễn nghiệm của bat phương trình cũng là một miền đa giác nằm ở góc phan tư thứ

nhỏ nhất của biéu thức F = ax+by trên một miền đa giác Điều này tạo nên sự liền

mạch cho nội dung kiến thức vừa tránh việc dùng đến thuật ngữ QHTT, có lẽ thuật

ngữ ngày vượt qua tri thức phỏ thông hoặc không cần thiết

SGK tiếp tục đưa ra nhận xét:

- "Hệ bat phương trình giúp ta mô tả được nhiều bài toán thực tế dé tìm ra cách

tối wu.”

- "Người ta chứng minh được F đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong

các đỉnh của đa giác”

Các nhận xét trên là công nghệ dé giải quyết các KNV liên quan đến bài toán tìm

giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức F = ax+by trên một miền đa giác.

Kiểu nhiệm vụ Tabp: Tauy được đưa ra nhằm giúp HS chuẩn bị các bước giải bài

toán QHTT, nằm trong bước giải quyết vấn đề toán học trong của của quá trình MHH

TH.

Kiểu nhiệm vụ Tpazu: “Tim phương án tôi ưu cho bài toán thực te”

Ví dụ 4 trang 36 SGK.

Ví dụ 4

Bác Năm dự định trong ngô và đậu xanh trên một mảnh dat có diện tích 8 ha Nếu trong

| ha ngô thi cần 20 ngày công va thu được 40 triệu đồng Nếu tròng | ha đậu xanh thì cần

30 ngày công và thu được 50 triệu dong Bác Năm cân trong bao nhiêu hecta cho mỗi loại

cây đẻ thu được nhiều tiên nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thẻ sử dụng không quá 180 ngày

công cho việc trồng ngô và đậu xanh.

Giải

Goi x là số hecta dat trong ngô và y là số hecta dat tròng dau xanh.