Luận văn thạc sĩ Toán học: Các điểm xoắn hữu tỉ của đường cong Elliptic trên trường hữu tỷ

Chúng tôi lựa chọn để tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tim hiểu và giới thiệu một số các kiến thức cơ bản về “Ly thuyết về các đường cong Elliptic” cùng với việc mô tả

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

HỨA THỊ HẠ PHƯƠNG

TRUONG HUU TY

LUẬN VAN THAC SĨ TOÁN HOC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

HỨA THỊ HẠ PHƯƠNG

CÁC DIEM XOAN HỮU TỶ CUA

DUONG CONG ELLIPTIC TREN

TRUONG HỮU TY

Chuyên ngành: Hình hoc va tôpô

Mã số: 604610

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC

Tién si Phan Dan

Thanh phd Hồ Chí Minh — 2012

LỜI CÁM ƠN

re oa ` ` ˆ ` a ° * of 2 L ñ

Voi việc hoàn thành Luận văn nay, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của minh tới TS Phan Dân — người đã định hướng cho tôi lựa chon để tài va hướng dan trong suốt quá trình thực hiện.

Tôi cũng xin chân thanh cam ơn:

1 Ban chủ nhiệm Khoa và Quý Thay trong tổ Bộ môn Hình học, Khoa

Toán — Tin của Trường Đại học Sw phạm Thanh pho Ho Chi Minh đãgiúp tôi hoàn thành tat cá các học phan của khóa học Cao học, giúp tôi

nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học

tập hữu ích, giúp tôi hoàn thành việc tiếp cận nội dung các học trình vàđịnh hướng dé tài cho luận văn tối nghiệp.

2 Ban Giám hiệu, Phong Sau Dai học, Phòng Tổ chức-Hành chính,

Phòng Kế hoạch- Tài chỉnh Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hà Chí

Minh, Ban Giám hiệu trường THPT Nguyễn Hữu Cau huyện Hóc Môn

thành phó Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập.

3 Các đông nghiệp, các ban cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ vatạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tối nghiệp này.

Thành Phé Hỗ Chí Minh, 06/2012

Tác giả

Hứa Thị Hạ Phương

Dy, MB pM Gia rn OB sngoninoiigtiioiiitit3i104001610180038315800083019300331000006060023160600024 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2s s5 222£222EE22ExeZSerzxtrzrrrcrsrc 3

4 Myc dich mghi@n citui cs.ccssscsssessscassessscassessscassscssvessscasvesssensssansscsssaasseasaeaireas 3

1.3 Tổng quan vẻ đường cong elliptic 2222 ©+2222+z2E2zz+ecxzecczzecrr 16

1.4 Đường cong elliptic trên trường hữu han ÏF4 .- - -<<c<<<<ee 18

1.5 Đường cong elliptic trên trường số thực Roi esseesssessscssscsssesseessesssecssncessesen 191.6 Đường cong elliptic trên trường số phức Ÿ - ::::52:s55sscssscssees 20

Chương 2:CAC DUONG CONG ELLIPTIC DẠNG WEIERTRASS TREN @ 25

2.1 Tổng quan về các đường cong dang Weiertrass trên (Ú -c5-cs2 25

2.1.1 Đường cong affine và đường cong xạ ảnh -s-Ă << 25

2.1.2 Phương trình Weiertrass dang đài và ngắn -.-5-cccsccsccec 252.1.3 j — bất biến của đường cong eÌÌiptiC 5°55sZ2cxscrsecrrseree 262.2 Các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên (ÿ 27

DPM) (Cãc:định lý :egBÄN::-::::::::::e:ss::siiscssitiiniiisiz211221122101211293123252265352333825352 27

2.2.2 Nhóm các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ - .:-5c2-ccsccccccscccccec 302.2.3 Sự phân bố của các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ - - 30

2.2.4 Hang đại số va hai bài toán cơ bản -csSsccsSE1 26211111 cczcree 302.3 Mô ta chung vẻ luật nhóm và các j — bắt biến của một số họ đường cong 34

2.3.1 Luật nhóm và một số phương pháp xác định điểm hội - c2 342.3.2 Các j— bất biển của các họ y2 = x3 — px,y2 = x3 — p2 (p nguyên

es 44

2.4 Mô ta các nhóm con xoắn của một số họ đường cong elliptic - 44

2.4.1 Các thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỳ -2-©-s©27see- 452.4.2 Các nhóm xoắn của họ y2 = x3 — px,y2 = x3 — p2 (p nguyên tố) 532.4.3 Nhóm con xoắn của họ y2 = XB + 2x2 — 3x -5c2-5222 56

DAA '(áe(fBhitöánchoiBängZ:Í-::::::::s:::s:ssz:sciitiiiiieiiiiiiiiiiaiisiie 57

KET B0 :=ẢäẰ 61Phile.4:BANGTINH TOA sssecasioessascsaccasccanecaacsasaanisnsasssnssssnpeannecansaosaaneaaaceians 62Phụ lục B: CHU KY @1 VÀ @2, THUAT TOÁN AM = GM - :-52:5552- 65

TÀI LIEU THAM KHAO w.0 ccccccceccceccsscsesscsesessesesscsesecsesessvscsevareecerecesvarsecarsesevevaneeeee 72

Idean 7 của đa tạp V.

Vanh các đa thức biến X trên trường K

Bậc của đa thức /.

Biệt thức cua đường cong elliptic E.

j — bat biến của đường cong elliptic E

Nhóm các điểm hữu tỷ của đường cong elliptic E.

Nhóm các điểm hữu tỷ có bậc hữu hạn chia hết n Nhóm con xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic E.

Số các diém hữu tỷ của đường cong elliptic E.

Điểm ở vô tận Ø của đường cong elliptic E.

Không gian xạ ảnh n chiều trên trường K

Ký hiệu Legendre.

PHAN MO DAU

1 Lý do chọn đề tài

Trong Lịch sử phát triển của Toán học có rất nhiều giả thuyết và nhiều bài toán

mở mà sự ton tại suốt một thời gian dài đã từng làm cho nhiều thé hệ các nhà Toánhọc đôn nhiều công sức và niềm say mê nghiên cửu va đặc biệt hon lả hau hếtnhững bài toán đó đều có cách đặt van dé và mô tả rất đơn giản — chẳng hạn như bàitoán chia ba một góc bằng thước và compa, bài toán tô màu bản đô, các bài toán của

Hilbert, bài toán chứng minh Định lý lớn Fermat, Riêng bài toán chứng minh

Định lý lớn Fermat (còn được gọi là Định lí Fermat-Wiles) là một trong những vấn

đề thời sự của Toán học trong suốt ba thé ky qua và mới được giải quyết trọn vẹn

vào năm 1994 bởi Wiles và Taylor có lẽ là vấn đề thuộc loại thú vị và được các

nhà khoa học quan tâm nhiều nhất Dây là một Bài toán thuộc về lĩnh vực Lýthuyết số nhưng đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoahọc Điều đặc biệt là trong quá trình tìm kiểm lời giải cho giả thuyết Fermat, người

ta đã phải sử dụng tới rất nhiều kiến thức và kỹ thuật cũng như phương pháp nghiêncứu của rất nhiều ngành khoa học khác nhau như Lý thuyết số, Đại số giao hoán,Giải tích, Giải tích phức, Hình học, Hình học Đại số, Lý thuyết Galois và trong

số đó có sự đóng góp rat quan trọng của ngành Hình học Đại số Lý thuyết vẻ các

da tap, các đường cong đại số và các điểm hữu tỷ trên chúng, các ham elliptic, cácdạng modular là các khái niệm rất quan trọng và các kết quả nghiên cứu có liên quan là những tiệm cận theo nhiều hướng khác nhau của lời giải bài toán Fermat.

Chúng tôi lựa chọn để tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tim

hiểu và giới thiệu một số các kiến thức cơ bản về “Ly thuyết về các đường cong

Elliptic” cùng với việc mô tả sự phân bố của nhóm các điểm xoắn hữu tỷ trên

chúng.

Trong phạm vi đề tài, chúng tôi sẽ xét các đường cong Elliptic trên trường các số

hữu tỷ được mô tả dưới dạng Welerstrass.

Vì vậy dé tai được mang tén:

“Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên trường hữu ty”

2 Lịch sử của van dé

Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu vấn đề “Các điểm hữu tỷ của đường congElliptic trên Q”, cũng như phương pháp giải quyết van dé nêu ra trong Luận văndựa trên một số kết quả sau đây:

a) Một là: Xuất phát từ một kết quả rất thú vị vẻ tính chất tách trực tiếp một

nhóm aben hữu hạn sinh bất kỳ (nghĩa là các Z-modun hữu hạn sinh)

thành phần xoắn và không có xoắn của nó, và mỗi một phần đó là tổng trực tiếp của các nhóm aben cyclic không thê tách được.

b) Hai là: Sự tiếp cận các phương pháp mô tả cấu trúc nhóm các điểm hữu

ty (và nhóm con xoăn của nó) của đưởng cong Elliptic trên Q , nhờ vào:

- Định lí Mordell-Weil khăng định rằng tập các điểm hữu tỷ trên một

đường cong elliptic là một nhóm aben hữu hạn sinh,

- Định lí Mazur mô ta cau trúc của nhóm con các điểm có cap hữu hạn

trong nhóm các điểm hữu tỷ.

- Định lý Nagell-Lutz mô tả đặc trưng của nhóm các điềm xoắn hữu tỷ của họ các đường cong Elliptic dang Weierstrass: yÌ= xÌ+Ax+B với A,

B là các số nguyên Từ kết quả này ta nhận được một thuật toán xác định các điểm xoắn hữu tỷ.

c) Ba là: Các kết qua và phương pháp mô tả luật nhóm của nhóm các điểm

hữu tỷ trên các đường cong Elliptic.

Nhìn qua có vẻ như người ta có thé “năm bat” ngay được nhóm các điểm hữu tỷ

vì chúng có cách mô tả tường minh và chỉ có hữu hạn phan tử Tuy nhiên sự thực

hoàn toàn khác xa với điều đó, vì những khó khăn gặp phải ngay cả khi sử dụngthuật toán tìm kiếm mô tả các điểm xoắn bằng các phần mềm máy tính.

Luận văn của chúng tôi tập trung giải quyết một số van đề về: xác định nhóm cácđiểm xoắn hữu tỷ trên một số họ đường cong trên Q được cho dưới dạng Weicrstrass Một số kết quả nghiên cứu thuộc hướng nảy đã vả đang tiếp tục được phát trién trong thời gian gần đây bởi nhiều tác giả trong và ngoài nước.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu mô tả cau trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên một số họ đườngcong Elliptic đưới dang Weierstrass trên trường các số hữu tỷ (Định lý Mordell- Weil).

- Xét một số họ các đường cong có phương trình dang: yŸ = x° —px, với p là số

nguyên tô, nham mục đích là mô tả nhóm các diém xoăn hữu tỷ trên chúng.

- Phân loại và xác định nhóm con xoắn của các diém hữu tỷ trên một số họđường cong có phương trình dang: y* = x° - p”, với p là số nguyên tô

- Xét đường cong y* = xỶ + 2x” - 3x và giải quyết bài toán mô tả nhóm con cácđiểm xoắn hữu tỷ.

- Trinh bày chỉ tiết các thuật toán xác định nhóm con xoắn các điểm hữu tỷ

của đường cong Elliptic trên Q thông qua mối liên hệ với các kết quả nghiên cứucác họ đường cong trên trường hữu han và các đường cong trên trường số phức

ngoài phương pháp xác định trực tiếp bang cách sử dụng định lý Nagell-Lutz.

5 Phuong pháp nghiên cứu

Cơ sở xuất phát cho việc thực hiện các nội dung được bản tới trong luận văn này

là dựa trên sự kết hợp các kết quả cơ bản (đã trình bày ở trên) về:

- Cau trúc của các nhóm aben hữu hạn sinh

- Cau trúc của nhóm các diém hữu tỷ (Định lý Mordell-Weil)

và sử dụng các công cụ nghiên cứu cơ bản của Đại số - Lý thuyết số để xác định và

mô tả các đôi tượng cân quan tâm.

Xuyên suốt nội dung, các Định If Nagell-Lutz và Định lí Mazur được dùng đểxác định các điểm xoắn trên một số họ đường cong đặc biệt, với các j-bất biên trên

các họ đường cong này Đây là một trong những hướng nghiên cứu và các phương

pháp được dùng khá phô biến trong việc nghiên cứu các đường cong Elliptic trongthời gian gần đây, đã và đang được sử dụng và phát triển bởi nhiều tác giả trong

nhiều năm gần đây, gắn liền với các Thuật toán máy tính và Lý thuyết mã hóa thông

tin Các phương pháp nghiên cứu và các kỳ thuật cũng như các thuật toán được đùng trong Luận văn này dựa trên những công cụ nghiên cứu đã được sử dụng trong [2] [3] [13].

mA + ˆ x

6 Cau trúc luận văn

Luận văn bao gồm 2 chương

Chương I: Kiến thức cơ bản.

Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công

bồ trong nhiêu tài liệu về các chuyên ngành Toán:

- Các định lí cơ bản mô tả sự tách trực tiếp các nhóm aben hữu hạn sinh

- Các đa tạp xạ anh, afin.

- Các khái niệm, các kết quả nghiên cứu cơ bản về đường cong cllipuc trên

các trường số Q, R, C va Fy

Chương 2: Các đường cong Elliptic dang Weierstrass trên Q

- Tổng quan về các đường cong dang Weierstrass trên Q Các j-bat biến

- Các Dinh lí co bản mô tả về cầu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ, các điểm

xoắn hữu tỷ của các đường cong Elliptic trên Q: Định lý Mordell-Weil, Định lý

Nagell-Lutz và Định lý Mazur.

- Các điểm hữu tỷ, xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q

a ` x a : Z ES xà ` # 2 3

- Mô ta chung về luật nhóm, các j-bat biên của các ho yˆ = x =px,

vỶ =XỶ - pỶ, với p là số nguyên tô

Trong luận van sẽ đưa ra các két luận về:

- Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q, với một số họ các

đường cong Elliptic cụ thé va đưa ra sự mô tả chung về luật nhóm, các j-bất biểntrên chúng.

3

- Nhóm con xoắn của các họ y” = x° -px, y= xỶ - p”

Ín của v2 2

- Nhóm con xoắn của y* = x* + 2x” - 3x

Trong Luận văn này cũng giới thiệu nội dung cơ bản và ứng dụng của các Thuật

toán Doud, Schoof,

Chương I.

KIÊN THỨC CƠ BẢN

1.1 Nhóm aben hữu hạn sinh

Trong phan này sẽ giới thiệu một số kết quả quen biết về các nhóm aben hữu hạn

sinh,

+ “ ‘ + JA ^ ° £ 2 `.

Định nghĩa 1.1.1 Mot nhóm aben A được gọi là hữu hạn sinh nêu ton tại hữu han

các phan tứ qy, , dạ € A sao cho với moi x € A, ton tai các số nguyên K\ị, , Ky

thỏa x = Dit, kaj.

Dinh nghĩa 1.1.2 Cho A là một nhóm aben Nhóm con xoắn của A, kí hiệu T(A),

là tập :

T(A) = {a € A: 3n € N na = 0}.

Định nghĩa 1.1.3 Mới nhóm aben A được gọi là không có xoắn nếu T(A) = {0}

Định nghĩa 1.1.4 Z” =Z@ 62 (tông cian bản ) được gọi là nhóm aben tự

do hạng n.

Bồ đề 1.1.5 Cho A là một nhóm aben, khi đó A{T(A) là không có xoắn

Định nghĩa 1.1.6 Cho A là một nhóm aben và B,C là các nhóm con của A Ta nói

A là tong trực tiếp trong của B và C, kí hiệu A =B @C, nếu A=B+C và

BOC = {0}, rong đó B + € = {b+c: b€B,c€(C}.

Dinh lý 1.1.7 Néu A là nhóm aben hữu han sinh không có xoắn mà có một tập sinh

có lực lượng bé nhất với n phan từ thì A đăng cau với nhóm aben tự do có hạng n.

Chứng mình Ap dụng phương pháp quy nạp trên số phan tử sinh nhỏ nhất của A.Nếu A là một nhóm xyclic (nghĩa là nhóm được sinh bởi một phan tử khác 0 duy nhất của nhóm) khi đó A = Z Giả sử mệnh dé đúng với tat cả những nhóm abenhữu han sinh không có xoắn với tập sinh nhỏ nhất có ít hơn n phần tử Giả sử A là

không có xoắn và {ay, ,@,} là tập sinh nhỏ nhất của A Nêu T(A/{a,)) = {0) thì

A/(a,) là không có xoắn và sinh bởi n — 1 phan tử, khi đó (a,) = Z Nếu T(A/(a,)) không là nhóm tam thường thì sẽ có nhóm con B của A sao cho T(A/(a,)) =B/{a,) Do đó với bat kỳ phần tử b € B\{0}, tồn tại một số nguyên i € Z\{0} saocho ib € (a) Suy ra tôn tại j € Z sao cho ib = ja, Ta định nghĩa ƒ:B — Q:b >j/¡ và ƒ(0) 0 Khi đó, dé thấy kerf = {0} và ta có ƒ là một đơn ánh Suy ra

B = f(B) Nếu P là nhóm hữu han sinh thì B là nhóm cyclic Giá sử B=

(bhị, ,b„) Khi đó, ƒ(B) = (ƒQG);), , f(bm„)) = Visite im/im) là nhóm con

của nhóm cyclic và do đó cyclic Nếu B = A thì A là nhóm tự do sinh bởi một phan

tử Nếu không, ta sẽ có A/B = (ã;, ,ã„) = (8;, ,ãän) và A/B = (A(a,))/(B{(a,}) = (A(a;))/T(A(a¡)) Như vậy A/B là nhóm không có xoắn và được sinhbởi nhiều nhất n — 1 phan tử, do đó theo quy nạp nó là nóm aben tự do có hạng

m<n Suy ra A = BOZ”, từ đó B = A/ZTM và B là nhóm hữu han sinh.

Dinh lý 1.1.8 Cho A là một nhóm aben hữu han sinh Khi đó A % T(A) ® A/T(A).

Chứng minh Gia str A = (ay, ,@,) Khi đó A/T(A) = (Ay, ,aạ„) Vi vay

A/T(A) là nhóm hữu han sinh Cho (#;, ,#„) là một tập sinh nhỏ nhất củaA/T(A) Nếu ä€ A/T(4) thì ã=ŸƑ',k,š, với mọi k¿€Z Dẫn đến a—

thị kị#i € T(A) Do đó, A = (xị, ,xm) + T(A) Hơn nữa, vì A/T(A) là không

có xoắn nên (x4, , Xm) ñ T4) = {0} Suy ra A = (x¡, ,x„) ® T(4).

Hệ quả 1.1.9 Mãi một nhóm aben hữu hạn sinh đều là tổng trực tiếp Của mot

nhóm hitu hạn và một nhóm aben tự do có hạng hữu hạn.

1.2 1.2 Da tap affine và đa tạp xạ ảnh

Trong phan này, ta sẽ mô tả một số đối tượng cơ bản được nghiên cứu trong hìnhhọc đại số Ta sẽ dùng K dé ký hiệu một trường bat kỳ và K đóng đại số của K từđây về sau

V, = {P € Ag: ƒ(P) = 0 với mọi ƒ € J}.

Định nghĩa 1.2.1.2 Mér tap đại số (affine) là một tập bat kỳ có dạng V, Nếu V là mot tập dai số thì idean của V được định nghĩa bởi

I(V) = (fF € K{X}: ƒ(P) = 0 với mọi P € V}.

Một tập đại số được xác định trên nếu idean / (V) của nó được sinh bởi các đathức trong K[X] Ta ký hiệu tập này bởi V/K Nếu V được xác định trên K, thì tậpcác điểm K — hữu ty của V là tập hợp

Định nghĩa 1.2.1.4 Một tập đại số affine V được gọi là một da tap affine nếu 1(V)

là một idean nguyên tô trong KX)

Chú ý là nếu V được định nghĩa trên K thì sẽ không đủ nếu ta chỉ kiểm tra

I(V/K) có nguyên tổ trong K[X] hay không Ví dụ, xét idean X? — 2XỶ trong

Định nghĩa 1.2.1.5 Cho V là một da tạp Chiêu của V, ký hiệu bởi dim(V), là bậc

siêu việt của R(V) trên KR.

Ví dụ 1.2.1.6 Chiều của AZ là n, vì K(AZ) = K(X,, ,X_) Tương tự, nêu

V € AZ được cho bởi phương trình đa thức khác hing

FfƠ, X„) = 0,

thì dim(V) =n—1.

Dinh nghĩa 1.2.1.7 Cho V là một da tạp, P EV và fy, 1 fin € K[X] là tập các

phan tứ sinh của ly Khi đó, V là không kỳ di (hoặc tron) tai P nếu ma trận 1m X

of of

2y, (P) =" = gi Œ) = 0.

1.2.2 Da tạp xạ ảnh

Định nghĩa 1.2.2.1 Không gian xa ảnh n chiều trên K, ký hiệu PTM hay Py, là tậptất cả các bộ (n + 1 ) phần tử

(Xụ, ,Xp+¡) € Anh

sao cho ton tại ít nhất một phan ne x, khác 0.

Hai bộ (x4, 6X4) và Cy, Yanai) được gọi là tương đương nếu ton tại một số

2 € K\{0} sao cho x; = Ay, với moi i Một lớp quan hệ tương đương

{(Ax;, AXn4+ 1 ): A = \{0))

open +s Ũ a 2 i :

được ký hiệu bởi [xạ: : Xa+v] và Xy, os May được gọi là các toa độ thuần nhất của

một điểm trong ?" Tập các điểm K = hữu tỳ trong P” là tập

f(AXy, AX ng) = ATF (Xp, Xana) với mọi A € K.

Một tdean Ï C K[X ]ià thuần nhất nếu nó được sinh bởi các đa thức thuần nhất

Với mỗi idean thuần nhất / ta liên kết một tập con của Py bởi quy tắc

V, = {P € Pz: ƒ(P) = 0 với mọi ƒ € J thuần nhất}

Định nghĩa 1.2.2.4 Moi tap đại so xạ ảnh là tập bắt kỳ có dang V, với một idean |

thuần nhất Nếu V là một tập đại số xạ ảnh thì idean thuân nhất của V, ký hiệu là

I(V), là idean của K[X] sinh bởi

{f € KLX]: f là thuần nhất và f (P) = 0 với mọi P € V).

Một như vậy được định nghĩa trên K, ký hiệu là V/, nếu idean /(V) của nóđược sinh bởi các đa thức thuần nhất trong K[X] Nếu V được định nghĩa trên K thìtập các điểm - hữu tỷ của V là tập

V(K) =Vn PR.

Ví dụ 1.2.2.5 Một đường trong P? là một tập đại số cho bởi phương trình tuyến

tính

aX + bY +cZ=0

với a,b,c € Ï không đồng thời bằng 0 Nếu giả sử c # 0 thì một đường như vậy

được định nghĩa trên một trường bat kỳ chứa a/c va b /c Một cách tông quát hon, một siêu phang trong P” được cho bởi phương trình

GIẤt + - + anyyẤn¿ = 0với các a; € không dong thời bằng 0

Nhận xét 1.2.2.6 Một diém của PgR có dạng [x;: :x„+¡] với x; € @ Nhân với

một số hữu tỷ A € thích hợp, ta có thé loại bỏ mẫu số và các nhân tử chung khỏicác x; Nói cách khác, mỗi P € PH có thé viết đưới dang tọa độ thuần nhất thỏa

Xyy 0) Xng, EZ và gcdx, ,Xn+¡) = 1.

Nhu vay, nếu một idean của tập V/Q được sinh bởi các đa thức thuần nhất

Í /„ © Œ[X] thì việc mô tả V(@) tương đương với việc tìm nghiệm của phương

trình thuần nhất

NÓ Ấn‡i) = = fn(Ấh, Ăn+v) = 0

với các SỐ Xị, ,Xu+¡ nguyên td cùng nhau

Định nghĩa 1.2.2.7 Một tập đại số xạ ảnh được gọi là một da tạp xạ ảnh nêu ideanthuần nhất I(V) của nó là một idean nguyên to trong KX].

Rõ ràng Pz có thé chứa nhiều thành phần giống với AR Ching hạn, với mỗi

0 <¡<ïn, ta có phép nhúng sau

dig sg Xu) th [Bị ss png 1:8 acs Sai

Ta ký hiệu H; là siêu phăng trong Pz xác định bởi X; = 0,

Chú ý là các tập hợp Uạ, , Un phủ toàn bộ PZ, do đó một đa tạp xạ ảnh V bat kỳ sẽ

được phủ bởi VN Uạ, ,V ñ Uạ, với mỗi tập hợp như vậy là một đa tạp affine

thông qua một ánh xạ ở; thích hợp Quy trình thay thé đa thức ƒ(Xạ, ,X„) bởi

đa thức /ƒ(, ,W,_;,1,Y,; ,Yạ) được gọi là nghịch thuân nhất hóa

Trong đó, d = deg (ƒ) là số nguyên nhỏ nhất sao cho ƒ* là một đa thức Ta nói ƒ*

là thuân nhất hóa (homogenization) của f tương ứng với X;

Dinh nghĩa 1.2.2.8 Cho V C Ap là một tập đại số affine với idean I(V) Ta có thể

xem V nhự là tập con của PE thông qua

Vc AR 7.

Bao đóng xạ anh của V, ký hiệu là V, là một tập đại số xạ ảnh với idean thuần nhất

I(V) sinh bởi

(F(X): fF e1@))

Dinh ly 1.2.2.9

(a) Cho V là một da tap xạ ảnh Khi dé, V là một da tạp xả anh và V = V n ABR.

(b) Cho V là một đa tạp xa anh Khi đó, VO At là mot da tap affine, và ta có

VNAzR hoặc V=VNAR.

(c) Nếu một da tap affine (xạ ảnh) V được định nghĩa trên KK, thi ¥ (tương ứng

vn Ap) cũng được định nghĩa trên KK.

Từ Định lý 1.2.2.9, ta suy ra mỗi đa tạp affine có thê được xác định bởi một đa

tạp xạ ảnh duy nhất Thực tế, vì ta cảm thấy dễ đàng hơn về mặt ký hiệu khi làmviệc với tọa độ affine, ta sẽ thường nói rằng «cho V là một đa tap xa ảnh » và viếtxuống một phương trình không thuần nhất nao đó Khi đó, ta hiểu ngầm rằng V là

một đóng xạ ảnh của một đa tap affine W tương ứng Các điểm trong tập V\W

được gọi là điểm ở vô tận trên V

Ví dụ 1.2.2.10 Cho V là một đa tạp xạ ảnh xác định bởi phương trình

chính trong đẻ tài này.

Định nghĩa 1.2.2.11 Cho V/IK là một da tạp xạ ảnh và chọn Ap c PE sao cho

V NAR # © Chiều cia V là chiều của V N Ap

Định nghĩa 1.2.2.12 Cho V là mot da tap xa ảnh và P €V, Chon 4" CP” với

P€ưt" Khi đó, V là không kỳ di (hoặc trơn) tai P nếu V n A” không kỳ di tại P

1.3 Tổng quan về đường cong elliptic

Trong phần này ta sẽ xem xét các khái niệm và định lý về một đường cong

elliptic trên trường bất kỳ.

Định nghĩa 1.3.1 Đường cong elliptic E trên trường K được được định nghĩa bởi

phương trinh

Y?Z + a,XYZ + a3Z? = X32 4+ a,X?Z + a,XZ* +4523, a, EK Vi (1.1)

Như đã nhận xét ở trên, dé thuận tiện về mặt ký hiệu, ta sẽ viết sử dung phương

trình affine không thuần nhất

y2 + aixy ta, =x? + ayx? + dạxX +d¿, a; EK Vi (1.2)

dé thay thé cho phương trình (1.1), và ngầm hiểu rằng E là một đa tạp trong không

gian xạ ảnh PZ Cha ý là phương trình (1.2) nhận được thông qua phép biến đổi

x = X/Z và y = Y/Z, và được gọi là phương trình Weiertrass.

Chú ý là đường cong elliptic được định nghĩa bởi phương trình (1.1) chỉ có diy

nhất một điểm ở vô tận là [0: 1: 0] (tương tự Ví dụ 1.2.2.10) Ta ký hiệu điểm này

là Ø Như vậy, tập hợp tat cá các điểm của E trong trường sẽ là

E() = {(x, y) € K? thỏa phương trình Weierstrass}U{0},

Ta ký hiệu số các điểm trong E() là #E().

Khi char(K) # 2, phép thế y —› 2y + ayx+a¿ đưa phương trình Weierstrass

(1.2) về dạng đơn giản hơn là

y* = 4x} + b;x° + 2byx + bạ, (1.3)

trong đó,

by =a? +4a;, bạ = 2q; + ad, be = a3 + 4d.

Và khi char(K) # 2,3, phép thé (x,y) > C2, 25) đưa phương trình (1.3) về

Phương trình (1.4) được gọi là phương trình Weierstrass dạng ngắn.

Định nghĩa 1.3.2) Cho E la đường cong eliptic trên trường K được định nghĩa bởi

phương trình Weierstrass dạng ngắn (1.4)

Biểu thức A = A(E) = 4A3 + 27B? được gọi là biệt thức của E.

Đường cong elliptic E được gọi là không kỳ di nếu A # 0 Nếu A = 0, ta nói đường

cong elliptic E là kỳ dj.

Ví dụ 1.3.3 Xét đường cong elliptic E: y? = x3 + 2x? — 3x Lan lượt thực hiệc

các phép biến đôi như trên, ta sẽ đưa E về phương trình Weierstrass dang ngắn Ta

CÓ ay = a3 = Ú,qd¿ = 2,a, = —3,a, = 0 Suy ra by = 8, by = —6, bạ = 0 Do đó,

cạ = 208,c, = —2240 Vay phương trình Weiertrass dang ngắn của E là y* =

x? — 5616x + 120960 với A(E) = —31345665638 = —215314,

Ta sẽ chỉ tập trung nghiên cứu đường cong elliptic không ky dị từ đây về sau Do

đó, khi nhắc đến một đường cong elliptic và không đề cập gì thêm nữa thì ta sẽ

ngâm hiệu đường cong này là không kỳ di.

1.4 Đường cong elliptic trên trường hữu hạn F,

Trong phan này và các phan tiếp theo của chương nảy, ta sẽ lần lượt xem xét mộtcách khái quát các đường cong elliptic trên trường hữu han Fo, trường số thực R vàtrường số phức C, Nội dung của phan này sẽ chủ yếu giới thiệu một phương pháp

đơn giản dé tính số điểm trên một đường cong elliptic trên trường hữu hạn, nhằm hỗ

trợ cho các thuật toán ở chương sau dé tính nhóm xoắn trên một đường cong elliptic

E trên trường hữu tỷ @ Thuật toán Schoof, một phương pháp phức tap hơn và do

đó hiệu qua hon, sẽ được giới thiệu ở chương sau (Mục 2.3.1) sau khi ta đã có các

khái niệm cần thiết

Định lý 1.4.1 (Hasse) Cho E là một đường cong elliptic trên trường hữu han Fo,

' +1, néu t* = x (mod p) có nghiệm £ # 0 (mod p)

(=) =4-1, nếut? =x (mod p) không có nghiệm t

0, néux = 0 (mod p)

Ta tong quát hóa ký hiệu này cho một trường hữu han bat kỳ F,, với q lẻ, bang cách

định nghĩa cho một x € Fy,

Ví dụ trên minh họa cu thé cho một phương pháp đơn gián dé tính số điểm trên một

đường cong elliptic trên trường hừu hạn Thuật toán này chỉ hừu hiệu khi ta có q

tương đối nhỏ Vì vậy, để cho hoàn thiện, ta sẽ giớt thiệu một thuật toán phức tap hơn nhưng có thẻ ứng dụng hiệu qua cho mọi g ở chương sau Cụ thẻ hơn, đó là

thuật toán Schoof được đưa ra ở Mục 2.3.1.

1.5 Đường cong elliptic trên trường số thực R

Ở Phan 1.3, ta đã bàn về đường cong elliptic E trên một trường bat kỳ IK Câuhỏi đặt ra là E có hình dạng như thé nào Nói chung, ta không thé vẽ d6 thị của Etrên một trường bat kỳ Nhưng khi K là trường các số thực R, đô thị của E có một

trong các dạng căn bản sau

Hình 1.2: Đường cong elliptic kỳ dị.

1.6 Đường cong elliptic trên trường số phức C

Ở phan này, ta sẽ xem xét cau trúc của đường cong elliptic E trên trường số phức

£ Định lý quan trọng nhất được xem xét là định lý về sự tương ứng giữa cau trúcnhóm của một đường cong elliptic trên trường số phức với một vòng xuyến Kiếnthức trong phần này là nên tảng cho thuật toán Doud được giới thiệu ở chương sau

ding dé xác định cau trúc nhóm xoăn cua # trên Ø.

Định nghĩa 1.6.1 Một tập con LC © được gọi là một dan (lattice) nếu có hai

vector 6,0; € Ê độc lập tuyển tính trên R và

L = #@ + Zw, = {mw, + nw: m,n € 3}.

Tập hợp F = {t,a, + ty@;: 0 S tị,ty < 1} được gọi là miền cơ bản của dan L

Hình 1.3: Dàn L và miễn cơ bản F

Định nghĩa 1.6.2 Cho L là một dan của C.

Ham @ Weierstrass được định nghĩa bởi

I Nếu k > 2, Gy hội tụ tuyệt đối.

2 Hàm Weierstrass hội tự tuyệt doi và đều trên tập compact C\LU{0}.

Như vậy, định nghĩa trên của hàm @ Weierstrass và chuỗi Eisenstein là có nghĩa.

Hơn nữa hàm g có mốt số tính chat căn bản sau:

Định lý 1.6.4 Hàm @ Weierstrass thỏa mãn các tính chất sau

! @(Z) = @(—?) với mọi z € E.

2 P(z +w) = @(2) với mọi œ € L và z EC.

Tính chất (1) trong định lý trên nói rằng @ là một hàm chin Và theo tinh chất

(2),

es + w,) = @(Œ)

§(Z + W2) = @(2) `

Do đó, ta nói hàm @ Weierstrass là ham chu kỳ đôi.

Từ Dinh lý 1.6.3, ta dé dang tinh được đạo ham của ham @ Weierstrass là

ga 2 2

0'@=-5-) cay:

@wEL ard

Các định lý tiếp sau đây cho thay mối liên hệ giữa ham “9 Weierstrass va đạo hàm

o' với lý thuyết về đường cong elliptic.

Định lý 1.6.5 Hàm @ Weierstrass thỏa mãn phương trình

Như vay, (1.6) là một đường cong elliptic không ky di.

Trong chương sau, ta sẽ đưa ra một quy tắc thực hiện phép toán giữa các điểm

trên đường cong elliptic trên trường Q Thông qua phép toán này, ta sẽ có E(Ø) là

một nhóm abel Quy tắc này trên thực tế có thé áp dung cho đường cong elliptic trên

một trường bat kỳ K Khi K = £, ta có £(€) là một nhóm abel Hai định lý sau nêu

lên mỗi liên hệ đại số giữa một đường cong elliptic và một vòng xuyến.

Định lý 1.6.7 Cho L là một dàn và (E): y? = 4x3 — gox — gz là một đường cong

elliptic Khi do,

@:C/L > E(€)

z+ ((2),ø@'(2))

0% 0

là một dang cấu nhóm

Và ngược lại, ta có định lý sau:

Dinh lý 1.6.8 Giả sử (E):y? = 4x3 — Ax — B là một đường cong elliptic trên £.

Khi đó ton tại một dan L C € sao cho

ga(L)=A, g;(L) = B.

Và ton tại mor đăng cấu nhóm C/L=E.

Nhận xét 1.6.9 Từ Dinh lý 1.6.8, ta nói rằng E(€) là một vòng xuyến vì sự tương

ứng giữa E(£) và C/L, trong đó C/L tương đương tôpô với một vòng xuyên (xem

Hình 1.4).

b

Hình 1.4: C/L là một vòng xuyến.

Chương 2.

CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG

WEIERTRASS TREN Q

Trong chương nay, ta sẽ xem xét chỉ tiết đường cong elliptic trên trường hữu ty

{ Ba định lý cơ bản của chương này là định lý Mordell, định lý Mazur va định lý

Nagell — Lutz Ba định lý này sẽ làm nền tảng cho các thuật toán được giới thiệutrong chương này ding dé tính các điểm xoắn cũng như xác định cấu trúc nhómxoắn E(@),„ Các thuật toán này sẽ được minh họa thông qua các ví dụ cụ thẻ Cuốicùng, ta sẽ xác định cấu trúc nhóm xoắn, tính hạng đại số và xem xét các j — batbiến của một số (họ) đường cong elliptic cụ thé

2.1 Tổng quan về các đường cong dang Weiertrass trên (Ở

2.1.1 Đường cong affine và đường cong xạ ảnh

Trên các mặt phang affine, mặt phẳng xạ ảnh trên trường K người ta có thê

xây dựng khái niệm đường cong phăng affine và đường cong phăng xa ảnh dùng

công cụ đa thức vả các tập không diém của các đa thức với một sự trình bày chặt chẽ và chỉ tiết Trên cơ sở đó người ta đưa ra định nghĩa các đường cong Elliptic.Tuy nhiên điều đó không thuộc phạm vi nội dung của Luận văn này Chúng ta sẽtiếp cận phương pháp trình bảy các nội dung về đường cong Elliptic theo lược đồđơn giản hon, bắt đầu từ mục 2.1.2 sau đây

2.1.2 Phương trình Weiertrass dang dai và ngắn

Vẻ thực chất, một đường cong Elliptic là một đa tạp xạ ảnh có chiều 1 Tuy

nhiên dé thuận tiện cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu va các thuật toán tính

toán chúng ta sẽ sử dụng các đường cong Elliptic theo nghĩa mô tả bởi định nghĩa

trực tiếp như sau:

Phương trình Weiertrass dạng dai của một đường cong Elliptic trên một trường

K bat kỳ được định nghĩa bởi

yr + đyxy + dạ = x + d;x? + d„x +dy, a C KVi.

Khi char(IK) # 2,3, ta luôn có thẻ đưa phương trình trên về dang

yˆ=xÌ+Ax+B, A,B€K,

thông qua phép biến đổi (x,y) > ( (x — 3a‡ — 124;), (y — a:yx — a3)) Chi

ý là phép biến đôi này là song hữu tÿ Do đó, đường cong elliptic định nghĩa bởiphương trình Weiertrass dang ngắn sẽ đăng cầu với đường cong elliptic ban dau

Nội dung của chương nay quan tâm đến trường hữu tỷ @ và vì char(Q) # 2,3 ta sẽcha yếu sử dụng phương trình Weierstrass dạng ngắn trong chương nảy

2.1.3 j - bất biến của đường cong elliptic

Định nghĩa 2.1.3.1 Cho E la đường cong eliptic trên trường KK được định nghĩa

bởi phương trình Weierstrass dang ngắn (1.4)

44 =1728 44

4A3+27B2 hy

Biểu thức j = j(E) = 1728 được gọi là j - bat bién của E.

Dựa trên định nghĩa j-bat biến của E:y? = x3 + Ax + B, nếu ta thực hiện phépbiến đồi

x>|Èx, yE> Hy,

với € K\{0}, thì ta nhận được một đường cong mới E':y2 = x"? + A’x’ + BY,

với

A'=kUA, — B'=@B.

Do đó, j(E’) = j(E) Điều thú vị là mệnh đề nghịch đảo cũng đúng.

Định lý 2.1.3.2 Cho (E):y? = x? + Ax + B và E':y'? =x +A'x'+B' là các

đường cong elliptic trên trường KK, với các j — bat biến lần lượt là j và j’ Giá sử

j =j' Khi đó, ton tại số w € R\{0} sao cho A’ = u$A,B' = u®B Đông thời phép biển đổi x > 2x’, y => nẦy' biển E thành E'.

Định nghĩa 2.1.3.3 Hai đường cong elliptic E và E” trên trường K được gọt là

đăng cấu néu ton tại một đẳng câu nhóm $:E — E' (trên K)

Chú ý là Dinh lý 2.1.3.2 cho chúng ta biết khi nào hai đường cong elliptic là

đẳng cầu trên một trường đại số đóng K Tuy nhiên, nếu ta làm việc với một trườngkhông dai số đóng thì có thê có hai đường cong elliptic với cùng một j - bat biếnnhưng không đăng cau Trường hữu tỷ @ mà chúng ta quan tâm là một trường như

vậy Và trên thực tế, ta có thê xây dựng một ví dụ cụ thê minh họa cho mệnh đề vừa

nêu Ví dụ này sẽ được xem xét ở Mục 2.2.4.

2.2 Các điểm hữu tỷ và xoắn hữu ty của đường cong elliptic trên Q

2.2.1 Các định lý cơ bản

Định lý 2.2.1.1 (Mordell-Weil) Cho E là đường cong elliptic trên Khi đó, E(Q)

là nhóm abel hữu han sinh.

Định lý Mordell — Weil căn bản nói rằng t6n tại một tập gồm hữu han các điểmcủa £(@) ma nếu thực hiện quy tắc nhóm trên các điểm này, ta sẽ có được tất cảcác điểm khác của E(Q).

Định lý 2.2.1.2 (Mazur) Cho E là một đường cong elliptic trên trường Q Khi đó,

nhóm con xoăn của E(Q) là một trong các dang sau:

En với 1 < n Š 10 hoặc n = 12,

#;@®52¿y với 1 <?n <S 4.

Nhận xét 2.2.1.3 Với mỗi nhóm như trong định lý Mazur, có vô hạn các đường

cong elliptic E(Q) nhận nhóm đó làm nhóm xoắn con Bảng dưới đây minh họa cácđường cong elliptic trên @ ứng với 15 trường hợp trên Tính toán cụ thé của các kết

quả trong bảng này sẽ được đưa ra trong Mục 2.4.4.

y`=x?—2

y2 =x? +8 y2 =x? +4 y? = x3 + 4x

y? + 5xy — 6y = x3 — 3x?

y? + 17xy — 120y = x? — 60x”

Bang 2.1: Nhóm xoăn và đường cong elliptic trong ứng

Định lý 2.2.1.4 (Nagell-Lutz 1) Cho (E):y? = x? +Ax+B là đường cong

elliptic với A,B € B Cho P = (x,y) € E(Q) Giả sử P có bậc hữu hạn Khi đó,

x,y €Z Nếu y # 0 thì y|4A3 + 27B?

Đề thuận tiện trong việc tính toán, ta thường thay thé điều kiện y|44? + 27B?bằng y?|443 + 27B? Cơ sở đề ta có thê thực hiện phép thay thé trên là định lý sau

Định lý 2.2.1.5 (Nagell-Lutz 2) Cho (E):y? = x)Ồ+Ax+B là đường cong

elliptic với A,B € 3# Cho P = (x,y) € E(Q) Giá sứ P có bậc hữu hạn Khi đó,

x,y €? Nếu y # 0 thì y?|4A3 + 27B?.

Nhắc lại là ta luôn có thé đưa một đường cong elliptic với phương trìnhWeiertrass dạng đài trên Ợ về một đường cong elliptic có phương trình Weiertrassdang ngắn Ví dụ 1.3.3 nói rằng việc biển đôi về phương trình Weiertrass dang ngắnkhông phải lúc nào cũng là tôi ưu Vì vậy, dé thuận tiện cho việc tính toán nhómxoắn trực tiếp trên các dang đường cong elliptic với phương trình Weiertrass dang

dai, ta thưởng sứ dụng dang mạnh hơn của định lý Nagell - Lutz như sau

Định lý 2.2.1.6 (Định lý Nagel - Lutz dạng mạnh) Cho (E):y? = x7 + ax* +

bx +c là đường cong elliptic với a,b,c € # Cho P = (x,y) € E(Q) Giả sứ P có

bậc hữu hạn Khi đó, x,y € # Nếu y # 0 thì

y?| — 4a%c + a?b? + 18abc — 4b? — 27c”.

Định lý trên sẽ được sử dụng để xác định cấu trúc nhóm xoắn của đường cong

elliptic y? = x? + 2x? — 3x trong Phan 2.4.3.

Hệ quả 2.2.17 Cho E là đường cong elliptic trên Q Khi đó, nhóm con xoắn của

2.2.2 Nhóm các diém hữu tỷ và xoắn hữu tỷ

Định lý 2.2.2.1 Cho (E):y? = x3 + Ax + B trên trường Q và n là một số nguyên.

Các tập hợp

E(@)[n] := {P € E(Q): nP = 0),

E@ue = | ]£(@Im

née

là các nhóm con của E(Q).

Định nghĩa 2.2.2.2 Nhóm E(Q),„ được gọi là nhóm xoắn của E trên trường Q.

Moi điểm trong E(Q),o được gọi là điểm xoắn.

Nhu vậy nhóm xoắn E(Q),,, của E là tập hợp tất cả các điểm trong E(Q) có bậchừu hạn Việc tìm j - bất biến va xác định cấu trúc nhóm xoắn E(Q),,, của một

đường cong elliptic sẽ là trọng tâm nghiên cứu của đề tài này.

2.2.3 Sự phân bố của các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ

Nhờ định lý Nagell-Lutz người ta có thê biết được về mặt lý thuyết là phảikiểm tra tập các điểm hữu tỷ trong các cặp đôi (x,y) nào Tuy nhiên trong thực tế bàitoán không đơn giản như vậy Chỉ riêng nhóm con xoắn của nhóm các điểm hữu tỷ

dù đã được mô tả triệt dé về cau trúc tong quát nhờ định lý Mazur nhưng với các bàitoán cụ thé thì phải xử lý chỉ tiết hơn nhờ vào các kết quả nghiên cứu và công cụcủa Ly thuyết nhóm Nội dung đó chỉ được minh họa qua một số thí dụ ở phân sau,không đi sâu vào chi tiết kỹ thuật.

2.2.4 Hạng đại số và hai bài toán cơ bản

Từ định lý Mordell - Weil và định lý về cau trúc các nhóm abel hữu hạn sinh ta

suy ra là

E(Q) = #'@E()

Trong đó, r € Zz được gọi là hang đại số của E.

Hai bài toán cơ bản trong lý thuyết đường cong elliptic là

1 Xác định nhóm con xoắn E(),„„.

Trước hết, ta sẽ tính tat cả các điểm hữu tỷ trên E: y? = x3 — 4x Dé làm được nhưvậy, ta can định lý sau

Định lý 2.2.4.1 Cho E:y? = (x — e,)(% — e2)(x — @), với @+,e¿,e € B Khi đó

(e„, 0) ++ (@; — &1, (ez — @)(@; — 62), e; — €3),

(e;, 0) + (e3 — €1,€3 — €2, (đ; — €:)(€3 — #;))

là một đồng cau Kernel của phép dong cấu này là 2E(Q).

Ta sẽ sử dụng định lý trên để chứng minh mệnh đề sau

Mệnh đề 2.2.4.2 Cho E:y? = x3 — 4x trên Q Khi đó,

Chứng minh Chú ý là E:y° = x3 — 4x = x(x — 2)(x + 2) Đặt x = au?,x — 2 =

bu?,x +2 = cw? với a,b,c € Z# là các số bình phương tự do (không chứa ước số

bậc 2) và u,v,w € @ Khi đó y* = abc(uvw)* Suy ra abe € Z° Ta sẽ chứng

minh a,b,c € {+1,+2} Giả sử pla với p là một số nguyên tô lẻ Vì a là số nguyênbình phương tự do, p? + a Gọi k là số mũ cao nhất của p sao cho p*|x thì ta có k lẻ

vì x = au? Nêu k < 0 thì k cũng lả số mũ cao nhất chia hết mẫu số của x + 2 Suy

ra y2 chia hết đúng cho p3* Nhưng điều này vô lý vì 3k là số lẻ Nếu k > 0 thì p|x Do đó, p + (x + 2) Suy ra k cũng là số mũ cao nhất sao cho p*|y? Nhưngđiều này vô lý vì k lẻ Vậy a không chia hết cho số nguyên tổ p lẻ nào Tương tự

cho b,c Tiếp theo, chú ý là x + 2 > x > x ~ 2 và x(x — 2)(x + 2) = y? > 0 Do

đó, x + 2 = 0 Từ đó suy ra c > 0 Vì abe = 0, ta suy ra a,b cùng dấu Vì abe là

số chính phương, ta chỉ cần xét các trường hợp

(a,b,c) €

{(—1,—1,1), (1,1,1), (—1, 2,2), (1,2,2), (—2,—1,2), (2,1,2),(—2,—2,1), (2,2,1)}.

Ta sẽ chứng minh rằng các trường hợp (—1,—1,1), (1,2,2), (2,1,2),(—2,—2,1)

không thể xảy ra Định nghĩa $:£(Q) — (0/(0*)?)@(0/(0*3?)@(0/

(Q*)*): (x,y) > (a,b,c) Khi đó, theo Dinh lý 2.2.4.1, ó là một đồng cầu nhóm

và

ó(0) = (1,1,1), (0,0) = (—1,—2,2), @(—2,0) = (—2, —1,2), @(,0) = (2,2,1).

Gia sử (a, b,c) = (—1,—1,1) Khi đó tôn tại một điểm P € E(@) sao cho @(P) =

(—1,—1,1) Bây giờ ta tính

@(P + (0,0)) = 6(P)@(0,0) = (—1,—1,1)(—1,—2,2) = (1,2,2).

Nhung ta đã chi ra trước đó là không có điềm nào của E tương ứng với điểm

(12/22) Vậy, trường hợp này không xảy ra Tương tự, ta loại (1,2,2), (2,1,2),(—2,-2,1) Vay còn lạ 4 trường hợp là

(1,1,1), (—1,—2,2), (2,2,1), (—2, —1,2) tương ứng với 4 điểm

0, (0,0), (2,0), (—2,0) trên đường cong clliptic E Suy ra

E(Q)/2E(Q) = {0, (0,0), (2,0), (—2,0)).

Sử dụng định lý Nagell — Lutz, ta tính được

E(Q)or = E(@)[2] = {Ø, (0,0), (2,0), (—2,0)}

Vậy, E(Q) = {0, (0,0), (2,0), (—2,0)}.

Ta rút ra từ mệnh dé trên một hệ qua quan trọng sau

Hệ quả 2.2.4.3 Hang đại số của E:y? = x? — 4x trên Q bằng 0

Chứng minh Sử dụng thuật toán Nagell - Lutz, ta tính được E(Q),,, = E(Q) =

{O, (0,0), (2,0), (—2,0)} Theo định lý Mordell — Weil, E(@) = 2” @E(Q),,, Vậy,

r=0.

Nhắc lai là hai đường cong elliptic trên trường đại số đóng K với cùng một j —bat biến sẽ đăng cau với nhau Tuy nhiên, nêu K # K, điều đó có thẻ không đúng nữa Trên trường Q, ta có ví dy minh họa cụ thẻ như sau

Vi dụ 2.2.4.4 Xét hai đường cong elliptic E: y* = x? — 4x và E':y° = xỶ — 25x

trên @ Dễ thấy, j(E) = j(E") = 1728 Theo Mệnh dé 2.2.4.2, #E(Q) = 4< ©œ Bang cách kiểm tra trực tiếp, ta có điêm (4,—6) € E'(@) có bậc vô hạn Vậy.

#E'(Q) = œ Suy ra E # E'.