+ Hệ thức: Đường cao - hình chiếu của cạnh góc vuông h” =b -c Trong tam giác vuông, bình phương độ dài đường cao bằng tích độ dài hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyện.. Dầu h
Trang 2LUYEN THI VAO LOP 10
Trang 3
MẠNH TƯỜNG - PHẠM VĂN VƯỢNG
TRAN VAN LUC - NGUYEN XUAN SON - CAO THẺ ANH
Trang 4Thi
Ho
Cal
nhé cầu che che
Trang 5
hấp dẫn, bám sát câu trúc đề thi vào lớp 10 THPT, THPT chuyên của tỉnh Thanh Hóa và
Š Với nhiều năm kinh nghiệm trong giảng dạy, chuyên môn giỏi và luôn luôn mong
thức khoa hoc va tong hợp nhất cũng như các bài thi minh họa vào lớp 10 THPT va
THPT chuyên của tỉnh; được sự động viên, khuyến khích của thây giáo Trần Mạnh
Tường - Trưởng phòng GDÍTTH - Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa, chúng tôi đã hoàn thành ý tưởng, biên soạn thành công bộ sách Luyện thi vào lớp 10 (gồm Đại số và Hình học)
_ Nhóm tác giả chúng tôi gồm:
Nhà giáo Trần Mạnh Tường (Mạnh Tường) - Chủ biên
Thây giáo Phạm Văn Vượng - Giáo viên Trường THCS Nhữ Bá Sỹ, huyện Hoăng Hóa Thây giáo Trần Văn Lực - Phó Hiệu trưởng Trường THCS Minh Khai, thành phố Thanh Hóa
Thầy giáo Nguyễn Xuân Sơn - Chuyên viên Phòng Giáo dục và Đảo tạo huyện
— Ngoài ra còn có các thây, cô giáo đã nhiệt tình góp ý, bô sung đó là:
Cô giáo Nguyễn Thị Ngọc - Giáo viên Trường THCS thị trấn Cẩm Thủy, huyện
cho việc dạy và học ở các trường THCS, đặc biệt trong việc ôn tập, rèn luyện kỹ năng
cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục của tỉnh Thanh Hóa
Bộ sách được biên soạn gồm có hai tập:
Tập 1: Đại số - Các Chuyên đê trọng tâm theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2016; Tập 2: Hình học - Các chuyên đê trọng tâm theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018
5
Trang 6Sau 2 năm xuất bản, bộ sách được đông đảo các thầy cô giáo, các em học sinh đón
nhận Đề đáp ứng các nội dung trong bộ sách bám sát chương trình Giáo dục phô thông
2018, trong lần tái bản, bô sung này, chúng tôi bổ sung kiến thức mới ở tất cả các chuyên
đề và bám sát cầu trúc mới nhất về đề thi vào lớp 10 THPT và THPT chuyên tỉnh Thanh
Hóa (cả Đại số và Hình học) Ngoài các dạng toán cơ bản, nâng cao, chúng tôi đã lựa
chọn đưa vào sách một số dạng toán ở mức độ khá, trung bình khá trong chương trình thi
vào lớp 10 THPT, phù hợp cho học sinh ở vùng cao, vùng sâu, vùng xa Đặc biệt, đôi với
phân giải các bài toán thực tế liên quan đến Đại số, giải bất phương trình Vi-ét; các bài
toán thực tế liên quan đến Hình học, các bài hình học phăng về tứ giác nội tiếp, tiếp
tuyến được đánh giá là khó tiếp cận với một số học sinh, nhóm tác giả chúng tôi cố gắng
biên soạn đơn giản hóa, giúp các em dễ hiểu và có thể áp dụng làm bài một cách dễ dàng
Trong mỗi tập sách, tác giả đã hoàn thiện các đạng toán đi kèm những bài tập mẫu
và những bài tập luyện thi, giúp các em học sinh có thê tự học, áp dung làm bài tập luyện
thi hiệu quả nhất Hệ thống bài tập được sắp xếp từ dé dén khó và những bài toán mang
tính tư duy cao Chúng tôi mong đây sẽ là bộ sách ôn thi chất lượng, trọng tâm, trọng
điểm góp phan quan trong nâng cao chất lượng dạy và học ở các trường THCS và đạt kết
quả cao trong kỳ thi tuyên sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên các năm
Cuốn sách ra đời dựa trên nhu cầu học tập của các em học sinh và tham khảo của
các thay, cô giáo, các bậc phụ huynh Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, tri tué cua
đội ngũ biên soạn, song không thể tránh khỏi những hạn chế, khiếm khuyết Vì vậy,
nhóm biên soạn rất mong nhận được những lời nhận xét từ bạn đọc, các thay, CÔ g1áo và
các em học sinh để cuốn sách được hoàn thiện hơn trong lần tái bản
Xin trân trọng giới thiệu tác phẩm Luyện thi vào lớp 10, tập 2: Hình học Cúc
chuyên đề trọng tâm theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 và chúc các thầy, cô
giáo cùng các em học sinh đạt được kết quả cao nhất trong các kỳ thi sắp tới! |
Nhom tac gia
Trang 7CHU DE 3: HINH KHONG GIAN - TOAN THUC TE VE HINH KHONG GIAN 105
PHAN II: DAP AN CHU DE 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRƠNG TAM GIÁC VUÔNG 127 CHỦ ĐỀ 2: ĐƯỜNG TRÒN - ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP L- CC c CC C01 n1 21HYn ng SH ng nào 134
CHU DE 3: HÌNH KHÔNG GIAN - TOÁN THỰC TÉ VỀ HÌNH KHÔNG GIAN 239
Trang 8car chi
AC đưc
Trang 91 Hệ thức liên hệ cạnh - đường cao, hình chiếu trong tam giác vuông
Cho AABC vuông tại A, đường cao AH Khi đó
cạnh huyền BC =a, cạnh øÓc vuông AB =c, có hình
AC=b, có hình chiêu lên cạnh huyền là CH=b'
đường cao AH =h
+ Hệ thức: Cạnh góc vuông - cạnh huyền
(Định lý Pitago)
aˆ =B +c? (Trong tam giác vuông, bình phương độ dai cạnh huyện bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông)
+ Hệ thức: Cạnh góc vuông - cạnh huyện - hình chiếu của cạnh góc vuông
cẴ=a.c), b =ab’ (Trong tam giác vuông, bình phương độ đài mỗi cạnh góc vuông băng tích độ dài cạnh huyền với hình chiếu của cạnh ØÓC vuông đó lên cạnh huyền)
+ Hệ thức: Đường cao - hình chiếu của cạnh góc vuông
h” =b -c (Trong tam giác vuông, bình phương độ dài đường cao bằng tích độ dài
hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyện)
+ Hệ thức: Đường cao - cạnh góc vuông - cạnh huyền
b-c=a-h(Trong tam giác vuông, tích độ dài hai cạnh góc vuông băng tích độ dài
cạnh huyên với đường cao tương ứng)
2 Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn
Ví dụ 1: Cho 14BC vuông tại 4, với góc nhọn Ö thì
Chú ý: Giá trị si? và cos của một góc nhọn luôn nhỏ hơn Í @ì ong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
Trang 10sin B=cos C cos B=sinC
tan B=cot C cot B=tanC
=
Zz
=
4 Hệ thức giữa cạnh huyện và cạnh góc vuông
Cho AABC vuông tại 4, cạnh huyễn ø và hai cạnh góc vuông là b, c như hình bên
_ Định H 1: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc
vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc
côsin góc kê
+ b=a.sin B hoặc b= a.cos C
5 Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông
Cho AABC vuông tại 4, cạnh huyền z và hai
cạnh góc vuông là ?, c như hình bên
Định lí 2: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc
vuông băng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc doi
hoặc côtang góc kê
+ b=c.tan B hoặc b =c cof C
+ c=b.tanC hoặc c=b.cot B
AC,
10
Trang 11
Ví dụ 2: Một cần cầu đang nâng một khối øỐ trên sông Biết tay cầu AB có chiều
lay 2 dai la 16 m va nghiéng m6t géc 42 so với phương nam ngang (hinh vé bén) Tinh chiéu
dài BC của đoạn dây cáp (Kêt quả làm tròn đên hàng phân 10)
Giải
AB=16m,BAC= 42 Theo định lí về hệ thức về
cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:
sn
ị Bài 1: (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Yên Bái năm học 2022 - 2023)
| ngọn núi (hình vẽ) Biết rằng chiều cao AB cua toa nha 1a 70m, phương nhìn AC tạo với
| phuong ngang géc 30°, phwong nhin Bc tao voi phuong ngang géc 15°30' Ngon nui đó
| c6 chiéu cao bao nhiéu so véi mat dat? (Lam tron đến số thập phân thứ nhất)
Bai 2: (Trich dé thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2024 - 2025) Một người quan sát từ vị trí C của một ngọn hải đăng cách một khoảng CC? =80 m
so với mực nước biến, nhìn điểm 4(vị trí chiếc thuyền) dưới một góc so với phương ngang là 4Cx=15° và nhìn điểm ø (chân ngọn hải đăng) dưới một góc so với phương thăng đứng là BCH =10° (tham khảo hình vẽ bên dưới) Khoảng cách từ 4 đến Ø là bao nhiêu mét? (Làm tròn kêt quả đên chữ sô thập phân thứ nhât)
Bai 3: (Trich dé thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Phước nam hoc 2024 - 2025)
C
Cho tam giác 4øC đường cao 4⁄ (HeBC) và đường trung tuyến 4AZ Biết `
AH =6cm; HC =8cemva BE (DeBC và EeAC) Tính độ dài các đoạn thăng
AC, BC, AM và diện tích tam giác ⁄4772⁄
ll
Trang 12Bai 4: (Trich dé thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Cao Bằng năm học 2024 - 2025)
Cho tam giác 4C vuông tại 4 có các cạnh 4ø=6cm; ø#C =10cm
a) Tính độ dài đoạn thăng 4C
b) Kẻ đường cao 4H Tính độ dài đoạn thắng 4H
Bài 5: (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Hải Đương năm học 2024 - 2025)
Hai người đứng trên bờ hồ tại các diém 4 va B cách
nhau 200m quan sát một điêm C trên cái cây phía bờ bên
kia Dùng giác kê, người tại 4 đo được C48 =45°, người
tai B do duoc CBA=60° (tham khảo hình vẽ bên) Hỏi
điêm C đó cách diém 4 bao nhiêu mét (Làm tròn kêt quả
đên chữ sô thập phân thứ nhât)
Bài 6: (7rích đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Đồng Tháp năm học 2023-2024)
Cho hình chữ nhật 4øCD có 48=4cm, 42=3 cm và O là giao điểm hai đường
chéo Kẻ đường cao 4 của tam giác 48D (H e8) Tính độ dải các đoạn thang BD,
AH và OH
- Bài 7: (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Lào Cai năm học 2023-2024)
Cho A ABC vuông ở A, có đường cao AH Biết ABC =60°, độ đài BC =40cm
a) Tính độ dài cạnh AB
b) Gọi điểm J thuộc đoạn thăng AC sao cho HK vuông goc voi AC Tính độ dài
đoạn HK
Bài 8: (Trich dé thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Long An năm học 2023-2024)
a) Cho tam giác 4øC vuông tại 44, đường cao 4z Biết A
đo góc C (Két qua lam tron đến độ)
b) Dé xác định chiều cao của một tòa tháp cao tầng (hinh
về bên), một người đứng tại điểm C cách chân tháp một khoảng
cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế là OC = 1m (Két
quả làm tròn đên hàng don vi)
Bài 9: (7 rich dé thi tuyén sinh lop 10 tinh Tra Vinh nam hoc 2023-2024)
_ Thang cuốn ở siêu thị giup khách hàng di chuyén từ tang nay sang tang khác tiện lợi
Biết răng thang cuốn được thiết kế có độ nghiêng SO VỚI mặt phăng ngang là
36 (BAH = 36° | và có vận tốc là 0,5m/s Một khách hàng đã di chuyển băng thang
dos
20 _ trôi
ma cua
Tin nan
ma
dén
ngh
Trang 13cuốn từ tầng một lên tầng hai theo hướng 4z hết 12 giây Tính chiều cao (BH) cia
thang cuốn? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
B h
Bai 10: (Trich dé thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Đồng T hap nam hoc 2018-2019)
Nham tiép tuc day manh phong trao xay dung truong học Xanh - Sạch - Đẹp, trường THCS A đã thiết kế một ` khuôn viên để trồng hoa có dạng hình tam giac vudng
MN =6 M, MK =8 m, MH 1 NK Nha trudng tréng hoa °®
mười giờ dọc theo các đoạn NK, MH Tinh d6 dai cac doan NK, MH Biét chi phi trong hoa mudi gid la
20.000 đồng trên mỗi mét chiều dài Tính tổng chỉ phí để
trông các luống hoa mười gid do
Bài 12: Bóng trên mặt đất của một cây đài 25m ⁄
Bài 13: Đề đo chiều rộng AB của một con sông
mả không phải băng ngang qua nó, một người đi từ A
đến C đo được 4C = 50m và từ C nhìn thấy B với góc
nghiêng 62? với bờ sông Tính bề rộng của con sông
13
Trang 14Bài 14: Hai ngư dân đứng ở một bên bờ sông
cách nhau 150m cùng nhìn thấy một cù lao trên sông
với các góc nâng lần lượt là 30° va 40° Tinh
khoảng cách từ bờ sông đến cù lao
Bài 15: Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải
leo lên và xuống một con đốc, xem hình minh họa bên dưới Biết đoạn thắng dài 762m,
a) Tính chiêu cao h của con dôc
b) Hoi ban An dén truong lúc may gid? Biét rang toc dé trung binh len đốc là 4km/h
và tốc độ trung bình xuống đốc là 19km/h
Bài 16: Một chiếc thang dài 3”, cần đặt chân thang cách
chân tường một khoảng bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập
phân thứ hai) để nó tạo với mặt đất một góc “an toàn” 65 (tức là
đảm bảo thang chắc chắn khi sử dụng)
Bài 17: Tính chiều cao của một
ngọn núi cho biết tại hai điểm cách nhau
1km trên mặt đất người ta nhìn thay dinh
núi với góc nâng lần lượt là 4° và 3°
Bài 18: Một cây tre cao 9m bị gió bão làm gãy
ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gôc 3m Hỏi
điểm gãy cách gôc bao nhiêu?
Trang 15_ điện trên bờ là 5 tỷ đồng, dưới nước là 13 tỷ đồng
Anh Bình đứng tại vị trí Á cách một đài kiểm soát không lưu 50 m và nhìn thây đỉnh C của đài này dưới một góc 55°
so với phương nắm ngang (như hình vẽ bên dưới) Biết khoảng cách từ mắt của anh Bình đến mặt đất bằng 1,7 m Tính chiều
cao BC của đài kiếm soát không lưu (Làm tròn đến chữ số
Bai 19: (Trich dé thi tuyén sinh lop 10 TP Cân Thơ năm học 2019-2020)
Bài 20: (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh An Giang năm học 2022-2023)
Một chiếc đu quay có bán kính 75 em, tâm của vòng quay ở độ cao 80m so với mặt đất Thời gian thực hiện mỗi vòng quay là 30 phút Nếu một người
vào cabin ở vị trí thập nhất của đu quay thì sau 10 phút
người đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất (giả sử
đu quay quay đều)?
Một tỉnh dự định làm đường điện từ điểm 4 trên
bờ biển đến điểm ø trên một hòn đảo ø cách bờ một khoảng BB'=2km, 4 cách Ð' một khoảng
AB'=3km (hình vẽ) Biết chỉ phí làm Ikm đường
làm đường điện theo đường gấp khúc ACð thì chỉ phí thấp nhất (coi bờ biển là đường thẳng)
Bài 22: Một chiếc thang dai 3,5m Can dat
chân thang cách chân tường một khoảng cách bang
bao nhiêu đê nó tạo được với mặt đât một góc “an
toàn” là 70” (hang không bị đồ khi sử dụng) Kết
Trang 16Bài 23: Một gia đình làm cầu thang có độ dốc
là 36” so với phương ngang Chiều cao từ sàn nhà
tới trần nhà là 3,6zw Tính chiều dài AB cia mat |
cầu thang (Làm tròn đến hàng đơn vị)?
Bài 24: Bậc cửa nhà bác Nam cao 55cm Đê đưa
xe máy vào nhà,bác can dat mét chiéc cau sat dé dat xe
, " v i ` ¬ ah > 0 „sẻ
sao cho góc giữa mặt câu và mặt đât khoảng 30" Hỏi
mat cau dai bao nhieu cm?
Bài 25: Một chiếc máy bay bay lên Đường bay
lên tạo với phương nắm ngang một góc 25” Sau 5
phút máy bay bay lên dat d6 cao 1a 10565 m Hoi vận
tốc trung bình của máy bay 1a bao nhiéu km/h?
Bai 26: Mét chiéc tau ngầm đang ở trên
đường thăng tạo với mặt nước một góc 20°
Một lúc sau, tàu ở độ sâu 300m so với mặt
nước biển Hỏi tàu đã di chuyên bao nhiêu mét
(làm tròn đến chữ số hàng don vi)
Bài 27: Lúc 10 giờ sáng, bóng của một cột cờ trên
san do duoc dai 12m Tinh chiều cao của cột cờ, biết tai
thời điểm đó thì tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một
øóc khoảng 40 (làm tròn đến mét)
Bài 28: Tính chiều cao của một cột thap (lam tron
đến mét) biết răng lúc tia sáng của mặt trời tạo với
phương nằm ngang của mặt dat một góc 51°, thì bóng
_ của nó trén mat dat dai 48 m
Trang 17góc tạo bởi tia năng mặt trời với mặt đât là bao nhiêu
Bài 29: Tại một thời điểm trong ngày, tia nắng mặt trời hợp
với mặt đất một góc bằng 55” Một tòa nhà có bóng xuống mặt
đường một đoạn có độ dài 36m Tính chiều cao của tòa nhà
Bài 30: Một ngôi nhà cao 12m Khi tia nang mat trời
tạo với mặt đất một góc 60” thì bóng tòa nhà trên mặt đất
/ 60°
Bài 31: Tượng đài “Ba mũi tên đồng” - tượng đài
chiến thắng Ngoc Héi cao 10m Tai một thời điểm trong
ngày bóng của tượng đài trên mặt đất dài 8m Hỏi lúc đó
Bài 32: Một câu thủ sút bóng bị va vào góc trên bên phải của câu môn và dội ngược
trở lại Biêt câu môn cao 2,44m và khoảng cách từ vị trí sút bóng đên chân cầu môn là
25m Tính góc tạo bởi đường đi của bóng so với mặt đất (Số đo góc làm tròn đến độ)
C BAI TAP TRAC NGHIỆM
Câu 1: [Tuyển sinh 10 Cần Thơ, 2018-2019]
Cho tam giác 4BC vuông tại 4 có 4B=5 cm, 4C =l12 cm và BC =13 cm Giá trị
Câu 2: [Tuyến sinh 10 Phú Thọ, 2018-2019]
Cho tam giác 4BC vuông tại 4 Khang định nào sau đây đúng?
e
my
A cos B = 22 B cos B= AL OF cos B = 22 D cos B= 2S
Cau 3: [Tuyén sinh 10 Yén Bái, 2018-2019]
Cho tam giác 4C vuông tại 4 Hệ thức nào sau đây đúng?
A sin 8= 22, B sinB= C tan B= 42, D cos B= 22
17
Trang 18Cau 4: [Tuyển sinh 10 Yên Bái, 2018 - 2019]
Khang dinh nao sau day sai?
A cos35°>sin 40° B sin35° > cos 40°
Câu 5: [Tuyén sinh 10 Yén Bai, 2018-2019]
Cho tam giác 44BC vuông tại 4, đường cao 4H Hệ thức nào day sai?
Câu 6: [Tuyên sinh 10 Hưng Yên, 2018 - 2019]
Cho tam giác 4BC vuông tại 4, đường cao AH Biết BH =3,2cm;BC =5cm thì độ
Câu 10: [Tuyền sinh 10 Phú Yên, 2018-2019]
Cho tam giác 45C vuông tại 4, đường cao 4H (hình
Trang 19hi độ
la:
Cau 11: [Tuyén sinh 10 Yén Bai, 2018 - 2019]
Một cái thang dài 4em đặt dựa vào tường, biết góc giữa
thang và mặt đất là 60° Khoảng cách đ từ chân thang đến
Câu 12: [Tuyén sinh 10 Thai Binh, 2018-2019] ©
Cho tam giac ABC vuông tại Ả và AB=2A5a, AC =5V3a Ké AK vuông Øóc
với BC, với K năm trên cạnh BC Tính 4K theo a
a B AK =——a C AK = D ak 5457 ,
CAu 13: [Tuyén sinh 10 Phu Yén, 2018-2019]
— Cho tam giác 4BC vuông tại 4, đường cao AH Biết AH =2, HC =4 Đặt
Câu 14: [Tuyén sinh 10 Yén Bái, 2018-2019]
Cho xOy =45° Trén tia Oy lay hai diém A, B sao cho AB= V2 cm Tinh do dai hình chiếu vuông góc của đoạn thăng 4Ö trén Ox
l
Câu 15: [Tuyền sinh 10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho tam giác 4C vuông tại 4, đường cao 4H và đường trung tuyén 4M (H ,M c BC) Biết chu vi của tam giác là 72 cm và 4M — 4H = 7cm Tính diện tích Š của tam giác 4BC
A S=48 cm’ B S=108 cm’ C S=148 cm’ D S=144 cm’
Câu 16: Cho tam giác 48C vuông tại 4, chiều cao
AH Chon cau sai
Trang 20Câu 19: Cho zø;b là hai góc nhọn bất kì a<b
Cau 20: Tinh gia tri cua x trén hinh vé
Trang 21Câu 25: Cho tam giác A4BC vuéng tai A co AC=14cm, BC=17 cm Khi do
: Câu 27: Cho tam giác A4BC vuông tại A cd BC= ABA2 , biết đường cao 4H =10
i Dién tich tam giác vuông đó là:
Ộ E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên 4B, AC Giá trị của biểu thức
àm | Câu 31: Cạnh bên của tam giác A4BC cân tại 4 dài 20 cm, góc ở đáy 50° Độ dai
| cạnh đáy của tam giác cân la (Két quả làm tròn đên chữ sô thập phân thứ nhât)
Trang 22ki hiéu 1a (O;R) 1a hinh gém tat cd cdc diém cach diém O mét
khoảng bang R
A là một điểm của đường tròn (O) thì ta viết A e (O)
CHU DE 2 |
DUONG TRON - DUONG TRON NGOAI TIEP
VA DUONG TRON NOI TIEP
A- KIEN THUC CAN NHO
1 Mở đầu về đường tròn
1.1 Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R (R >0),
Kí hiệu (O;R) hoặc (O)
Khi đó còn nói đường tròn (O) đi qua điểm A hay điểm A năm trên đường tròn (O)
“Trên hình vẽ ta thấy:
- Điểm A nằm trên đường tròn (O)
- Điểm C nằm trong đường tròn (O)
- Điểm B nằm ngoài đường tròn (0)
Tổng quát:
- Điểm M nằm trên đường tròn (O;R) nếu OM=R
- Điểm M nam trong đường tròn (O;R) nêu OM<R
- Điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) nêu OM>R
1.2 Đối xứng tâm
Hai diém M và M' gọi là đôi xứng tâm với nhau qua a # # Nụ
điểm I (hay qua tâm I) nếu I là trung điểm của đoạn thắng MM’
1.3 Đối xứng trục
Hai điểm M và M' gọi là đôi xứng trục với nhau qua d
đường thắng d (hay qua trục đ) nếu d là đường trung trực
(ha
AC
Trang 23
1.4 Tầm và trục đơi xứng của đường trịn
T - Đường trịn là hình cĩ tâm đối xứng, tâm của đường trịn là tâm đối xứng của nĩ
ẫ - Đường trịn là hình cĩ trục đối xứng, mỗi đường thắng qua tâm của đường trịn là
- Đường trịn cĩ một tâm đối xứng, nhưng cĩ vo số trục đối xứng
2 Cung và dây của một đường trịn 2.1 Khái niệm dây và đường kính của đường trịn
1 - Đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý của một đường trịn gọi M
= Ja mot day MN (hay day cung MN) cua duong tron (QO)
: - Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường ụN
2.2 Gĩc ở tâm, cung và so do của một cung
* Khải niệm gĩc ở tâm và cung trỏn Cho hai điểm 4 và 8 cùng thuộc một đường trịn
Hai điểm ấy chia đường trịn thành hai phan, mỗi phân gọi
là một cung trịn (hay cung) Hai điểm 4 và B là hai mút (hay đầu mút) của mỗi cung đĩ
Gĩc ở tâm là gĩc cĩ đỉnh trùng với tâm của đường trịn
Ki higu AmB va AnB goc o tam AOB
Chu y:
- Khi gĩc 40B khong bet thi cung nam trong gĩc
AOB goilacung nho AmB Ki higu AB
- Cung cịn lại, AnB gọi là cung lớn
- Khi gĩc 4Oø bẹt thì mỗi cung 4 được gọi là một nửa đường trịn
M' - Ta cịn nĩi gĩc 4ø chăn cung 48 hay cung 4Ø bị chăn bởi gĩc AOB
* Cách xác định số đo của một cung
Số đo của một cung được xác định như sau:
- Số đo của nửa đường trịn băng 180”
- Sơ đo của cung nhỏ băng sơ đo của gĩc ở tâm chăn cung đĩ
M - Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo của cung nhỏ cĩ chung hai mút
- So đo của cung 48 được kí hiệu sđ 4Ø (hình vẽ trên)
23
Trang 24Chú ý:
- Cung có sô đo ø còn gọi là cung ø', cá đường tròn được coi là cung 360
- Một điểm coi là cung Ơ
- Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nêu chúng có cùng sô đo
3 Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
3.1 Độ đài của cung tròn
Công thức tính độ dài của cung tròn (O; R)
C=7d=27R
(da la duong kinh cia dudng tron, C 1a dé dai cua duong tron)
Độ dài ! của cung n° trên đường tròn (Ø;R) là /= Tạo n.R
3.2 Hình quạt tròn và hình vành khuyên
a) Định nghĩa
1) Hình quạt tròn là phân hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kinh di
qua hai đầu mút của cung đó (Hình a)
A
2) Hình vành khuyên (còn gọi là hình vành khăn) là phần nằm giữa hai đường tròn
có cùng tâm và bán kính khác nhau (còn gọi là hai đường tròn đồng tâm) (Hình b)
(S, dién tich hinh vanh khuyén; 2, r : ban kinh cua hai đường tròn đồng tâm)
4 Vị trí tương đối của đường thắng và đường tròn
Trang 253) đ<R: (O) và a có hai điểm chung Ta ndi (O) va a ct nhau
b) d=R: (O) va a chỉ có 1 điểm chung là 7 Ta nói (O) và a tiếp xúc nhau tại
7, 1 là tiếp điểm, ø là tiếp tuyến
c) 2>: (O) và a không có điểm chung Ta nói (O) va a không giao nhau
4.2 Dầu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Định lý 1: Nếu một đường thắng đi qua một điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điêm đó thì đường thắng ây là một tiêp tuyến của đường tròn
4.3 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Định lý 2: Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn
- Điểm P cách đều hai tiếp điểm
- PO là tỉa phân giác của góc tạo bởi hai tiếptuyến ? O
- OP la tia phan giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiêp diém
Nhận xét: Bảng tóm tắt vị trí tương đối của hai đường tròn phân biệt (Ó;R) và
(O';R') voi R>R'
BANG TONG KET
Vị trí tương đối | Số điểm chung Hệ thức liên hệ Hình ảnh
Trang 26Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh
chứa hai dây cung của đường tròn đó Cung nằm bên trong gọi là
cung bị chăn
6.2 Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp
bằng nửa sô đo của cung bị chắn
6.3 Hệ quả: Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp băng nhau chăn các cung băng nhau
Trang 27tam giác nội tiêp đường tròn
Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi đó tam øiác gọi là
- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của Ữ
- Bán kính là khoảng cách từ giao điểm của ba đường trung trực đến một điểm bắt kì của tam giác
8 Đường tròn nội tiếp một tam giác
Đường tròn tiép xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác Khi đó tam giac được
gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn
- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của
ba đường phân giác trong
_~ Bán kính bằng khoảng cách từ giao điểm đó đến một
9 Tứ giác nội tiếp
9.1 Định nghĩa
Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là
tứ giác nội tiêp đường tròn (hoặc đơn giản là tứ giác nội
9.2 Tinh chat
® Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp, tông số đo hai góc đối nhau bang 180°
9.3 Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật và hình vuông | Hình chữ nhật và hình vuông là các tứ giác nội tiếp Đường tròn ngoại tiếp của chúng có tầm là giao diém của hai đường chéo va bán kính băng một nửa độ dài đường chéo
10 Một số chương trình cũ được dùng trực tiếp nhưng không có trong chương trình 2018 (Chương trình phô thông mới)
- Ta có thể chứng minh trực tiếp bằng cách thêm hình vẽ vào trong đề bài, đôi khi đề
10.1 Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây ~ Bản chất là tam giác cân thì đường trung tuyến suy ra đường cao xuất phát từ đỉnh cần hoặc đường cao là đường trung tuyên xuất phát từ đỉnh cân
_27
Trang 28e
Định H 1: Đường kính đi qua trung điểm của 1 dây, đường kính
vuông góc với dây
Chứng minh:
Do đó đường cao OI đồng thời là trung tuyén Vay IC=ID ¡ D ã |
Định li 2: Duong kinh vudng góc một dây đi qua trung điểm day @ ay B 1 nhậi
_trong chương trinh 2016 nên học sinh và giáo viên nhớ chứng mình cho vào trực tiếp bài - ị
e Góc BAx hoặcBAy có đỉnh là tiếp điểm, một cạnh là tia ' cac tiếp tuyên và cạnh còn lại là dây cung được gọi là góc tạo bởi tia j pho
e BAy= 3 sd AB (số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cao cung bằng nửa số đo của cung bị chăn)
e Tính chât: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội
Ta có: BA L Ax (tính chất của tiếp tuyến ) > BAx = 907
Ta lại có A AOB cân tại O (OA = OB =R)
28
Trang 29- Chứng minh tứ giác có 2 góc đối bù nhau
- Chứng minh tứ giác có góc ngoài băng góc trong của đỉnh đối diện
- Chứng minh tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới hai góc băng nhau
* Nếu trong bài có sử dụng tính chất trên, ta có thể đưa về tam giác đồng dang (g.g)
sau đó đưa về tam giác dong dang (c 8.C) từ đó ta làm các bài toán bình thường
* Nếu trong đề bài chứng mình là tứ giác nội tiếp bằng 1 trong 3 dấu hiệu trên mà
_ các-góc không phải là góc vuông thì ta còn cách sửa lại đề cho phù hợp chương trinh
phổ thông mới
Vi du:
Cho tam giac ABC(AB < AC) co ba géc nhon ndi tiép duong tròn (O) Cac duong cao BE,CD va AK cat nhau tai H
a) Chứng minh tứ giác 4DHF nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh 4B.4E= 4D.AC = AK.AH
c) Gọi G, J lân lượt là giao điểm của các tia BD và CE với (O); các tiếp tuyến tại
: _ ð và C của đường tròn (O) cat duong thang ED lan lwot tai M va L; tia LG cat (O) tai N
Trang 30Theo chương trình cũ Theo chương trình mới
Mà hai góc này ở vị trí đôi nhau nên tứ giác
ADHE tội tiếp
a) Do BD,CE là hai đường cao nên ADH = AEH =90°
Xét AAEH(E = 90°) co canh huyén AH a
nên 3 điểm E, A, H có tâm đường tròn
nằm trung điểm cạnh huyền AH, suy ra
3 điểm A, E,H năm trên đường tròn | ˆ
AEH = AKB =90°; BAK chung
= AAEH s AAKB (g.g)
—> AE _ AH AB.AE = AH.AK
AAHD œ AACK (g.e)—> AD.AC = AH.AK
Vay AB.AE = AD.AC = AH.AK (dpem)
DCL = ABC (cùng chin AC)
Suy ra LDC = DCL => ALDC can => LC = LD
Taco ALCG ~ ALNC(g.g)
=> LC’ = LG.LN => LD* = LG.LN
= ALDG “” ALND (c.g.c)
=> LGD = LDN
—> NDM = NGB = NBM
Suy ra tứ giác BMND ni tiếp c) Ta ch BEC=BDC=90" nén 4
diém B, E, D, C cung năm trên đường
tròn đường kính BC do tứ giác 8EDC
Trang 31- Chỉ cân bổ sung ý c) là kẻ OP vuông góc AC và chứng mỉnh thêm ý
LCQ = = COG thì bài toán trở nên bình thường
- Ở ví dụ trên, không cân định lí đảo (Chứng minh tứ giác có 2 góc đỗi bù nhau; Chứng minh tứ giác có góc ngoài băng góc trong của đỉnh đối diện; Chứng minh tứ giác
có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) mả ta chuyền về chứng minh tam giác đồng dạng
3l
Trang 32Đề chứng minh một tứ giác nội tiếp ta thường dùng một trong các cách sau: kín
1 Chứng minh các đỉnh của tứ giác cùng cách đều điểm I một khoảng băng R thì tứ uc
2 Nhận xét Nếu tam giác có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì _
— 3, Cho tam giác 4BC vuông tại 4 Chứng minh rằng điểm 4,B,C thuộc đường |
tron duong kinh BC
4 Cha y: - Duong kinh vuéng goc voi mot day thi di qua trung diém dây @ ay i
_- Đường kính đi qua trung điểm một dây thì vuông góc với i
Chú ý: Tứ giác nội tiếp thường gặp đó là tứ giác có hai góc đối là góc vuông hoặc
tứ giác có hai đỉnh kê cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, có các đường cao 41D,BE,CƑ cắt nhau tại # Chứng - tín minh các tứ giac AEHF,CDHE, BFHD, AEDB, BFEC,CDFA nội tiếp _— hiệ
Giải
32
Trang 33—= AAEH vuông tại E và AAFH vuông tại F |
—=AAEH và AAFH cùng nội tiếp đường tron
— AD | BC tai D,BE | AC tai E= ADB =90”, AEB = 90”
—>AA1DB vuông tại D và A4EB vuong tai E
=> AADB và A4EB cùng nội tiếp đường tròn đường kính 4ø (định lý)
>4 diém 4,E,D,B thuộc đường tròn đường kính 45
—= Tứ giác 4EDB nội tiếp đường tròn đường kính 48
+) Chứng minh tương tự cũng có các tứ giác BFEC, CDFA nội tiếp
Vi du 2: Cho tam giac ABC nhon, vé nwa duong tròn tâm @ đường kính 5C cắt hai
cạnh 48, 4C lân lượt tại F và E Gọi H là giao điêm của BE,CE Chứng minh tứ giác
AFHE lội tiếp
Phân tích: Từ hình vẽ, nhận biết tứ giác AFHE có AFH=AEH=90, muôn vậy ta
can chi ra BE 1 AC tại E và CF.L AB tại F băng việc sử dụng góc nội tiêp chăn nửa đường tròn, từ đó dùng hai đỉnh kê của một tứ giác dưới hai góc băng nhau để chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp
Giải _ Xét đường tròn (O) ta có BFC= BEC =90' (góc
nội tiếp chắn nửa đường tròn)
—> BA | FC tai F va BE | AC tai E
=> AFC =90° va AEB=90° hay AFH=90° va AEH = 90°
Nén 4 dinh A, F, H, E nam trén đường tròn đường
kính AH—= Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiép (dau ; \
Vi du 3: Cho dudng tron (O;R) Ti diém năm ngoài đường tròn (O) vẽ hai
tiếp tuyên MA, MB toi duong tron (4,B là các tiếp điểm) Chứng minh tứ giác
MAOB nội tiếp
33
Trang 34Phân tích: Từ hình vẽ, nhận biết tứ giác M4OB có MAO = MBO=90', muôn vậy ta
can chi ra MA LOA tai 4 va MB LOB tai 5 từ tính chat tiếp tuyên của đường tròn, từ
đó dùng hai đỉnh kể của một tứ giác dưới hai góc bằng nhau để chứng minh tứ giác MAOB
nội tiếp
Giải
Ta có MA, MB lần lượt là tiếp tuyến tại 4 và
B của đường tròn (Ó) (giả thiệt)
=> MA 104 tại 4 (tính chat) va MB 1 OB tai
B (tinh chat)
— MAO =90° va MBO = 90°
Nên 4 dinh A, M, B, O nam trén đường tron
duong kinh MO
= Tứ giác MAOB nội tiếp (dấu hiệu nhan biét) (dpem)
Ví dụ 4: Cho đoạn thắng MB, điểm 4 nằm giữa và ø Vẽ đường tròn (O)
đường kính 4B Từ M kẻ đường thắng d vuông góc với A⁄B tại M , lây điểm tùy ý
trên đ sao cho N4 và NB lần lượt cat (O) tai £ và Chứng minh các tứ giác MNEA,
MNBE nội tiếp
M<
Giải - Xét đường tròn (O), ta có AEB= AFB=90) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác MNFA có XA⁄4=90' (do
dđLMB tại M) và NEA=90 (do NFA kể
bù với AFB=90)—= NMA= NFA=90'
Nên 4 đỉnh N, M, A, E năm trên đường
tròn đường kính NÀ
_= Tứ giác MNFA nội tiếp (dẫu hiệu
nhận biết) (đpem)
Xét tứ giác MNBE có NEB=90” (do
AEB=90 và A thuộc NE) và NMB =90”
(do dL MB tai M) = NEB= NMB=90°
Nên 4 đỉnh M,N, B, E nằm trên đường tròn đường kính NB
=> Tứ giác MNBE nội tiếp (dẫu hiệu nhận biết) (đpcm)
Ví dụ 5: (7 rích đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Lam Dong nam hoc 2019 - 2020)
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyên AB(B là tiếp điểm) và cát
tuyên ACD không đi qua tâm O (C nam giữa A và D) Gọi E la trung điểm của CD
Chứng minh ABOE là tứ giác nội tiếp
- Đường kính di qua trung điểm một dây vuông góc với dây ây
- Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách tổng hai góc đôi băng 1800
tỨ g
_ chín
điển (M
Trang 35Suy ra OEC = ABO = 90°
Nên 4 dinh A, B, O, E nam trên đường tròn đường kính AO
Suy ra tứ giác ABOE nội tiếp
BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 2.1 |
- Bài 2.1.1: Cho nửa đường tròn tâm O duong kinh 48 =2R Diém M di chuyén
trén nia dwong tron (M khac 4 va B) C la trung diém cua day cung AM Duong
thang d là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại B Tia AM cắt d tại điểm N Chứng minh:
Bài 2.1.2: Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính 45 cố định Gọi C là điểm
chính giữa cung 4Ø và 4⁄4 thuộc cung 4C; 8X⁄ cắt ÓC tại D Chứng minh tứ giác AMDO nội tiếp
Bài 2.1.3: Cho đường tròn (O;R) đường kính 4Ø Trên đường tron (O) lây hai
điểm € và D nằm khác phía 48 sao cho AC= 4D Trên cung nhỏ BC lây điểm M
( khác Ð,C) Gọi 7,K lần lượt là giao điểm của CD với 48 và 41⁄ Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp
Bai 2.1.4: Cho tam giác 4BC có A >90” Vẽ đường tròn (@) đường kính 48 và đường tròn (@') đường kính AC Đường thắng 4# cắt đường tròn (O') tại điểm thứ
hai Z, đường thắng 4C cắt đường tròn (Ø) tại điểm thứ hai F Chứng minh tứ giác
Bài 2.1.5: Trên nửa đường tròn (Ó;#) đường kính 4ð, lây điểm C (C4 <CB) Ha
CH vuông góc với 4Z tại z7 Đường tròn đường kính CH cat AC va BC thứ tự tại
M,N Chứng minh tứ giác AMNB là tứ giác nội tiêp
Bai 2.1.6: (Trich dé thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Lào Cai năm học 2017-2018)
Cho hinh vuông ABCD, gọi M va N lần lượt là trung điểm của BC và CD, gọi E
là giao điểm của AM va BN Chứng minh tử giác ADNE nội tiêệp đường tròn
_ 33
Trang 36Bài 2.1.7: Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O E [a |
điểm chính giữa cung nhỏ BC Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho EM=EC (M
khác C); N là giao điểm của BM với đường tròn tâm O(N # B) Goi I la giao điểm
của BM v6i AE,K là giao điểm của 4C với EN Chứng minh tứ giác EKMI nội tiếp
Bài 2.1.8: Cho hai đường tròn (Ó;R) và (Ør) tiếp xúc ngoài tại A (R>r)
Goi 3
BC là tiếp tuyên chung ngoài của hai đường tròn này (với Ðe (0),C c(Ø')) Tiếp tuyến
chung tại 4 của hai đường tròn (O) va (0) cắt đoạn thẳng BC tại M Gọi E là giao _ |
điểm của AB với OM va F la giao diém cia AC véi O’M Ching minh :
OEF+00'F =180"
Bài 2.1.9: Cho tam giác 4BC nhọn có đường tròn (Ó) nội tiếp và tiệp xúc với ba cạnh
BC,AC, AB lan luot tai D,E,F Goi M 1a trung điểm của DF,K 1a hinh chiêu của B
lên đường thăng 2E Chứng minh các điểm 8, ⁄,K , D cùng thuộc một đường tròn
Bài 2.1.10: Cho tam giác 4BC nhọn và có 84C =60°,4B > 4C Gọi Ó và #7 lần
lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC Chứng minh:
BOC = BHC
Bai 2.1.11: Cho tam gidc nhon ABC (AB < 4C) nội tiếp đường tròn (@) Trên cạnh
AC lây các diém M va N sao cho 4B=AM va BN=CN (N nằm giữa 4 và M)
Gợi 7 là tâm đường tròn nội tiêp tam giác ABC Đường thắng AI cắt đường tròn (O)
tại D Chứng minh AMI= CBI;DMN+DBN =180/
Bài 2.1.12: Cho nửa đường tròn (Ó) đường kính BC Điểm 4 di động trên nửa
đường tròn sao cho 4 khác B và khác C Trên cạnh BC lây hai điểm D,E sao cho
BD=BA và CE=CA Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác 4C
Chứng minh răng: [AB = IEC
Bài 2.1.13: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và 84C<60” nội tiếp trong đường
tròn (O) Trên đoạn thắng O4 lây điểm 7 (4< !O), đường thắng qua 7 vuông góc Ở4
cắt các cạnh 4Ø, 4C lần lượt tại ⁄ và N Chimg minh BMN + BCN =180°
Bai 2.1.14: Œ rich dé thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Thái Nguyên năm học 2019 - 2020)
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (B,
C là tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của OA và BC
a) Chimg minh OB* = OH.OA
b) EF là một dây cung của (O) đi qua H sao cho A, E, F khong thăng hàng Chứng
minh OAE = OFE
Bai 2.1.15: (Trich dé thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Lạng Sơn năm học 2019 - 2020)
Cho tam giác 48C có ba góc nhọn (AB<AC) và nội tiếp đường tròn (0) Vẽ đường:
cao 4H (H BC) Từ H kẻ HM vuông góc với AB (M e 4B) và kẻ HN vuông góc với
Trang 37AC (NeéAC) Vẽ đường kính 4E của đường tron (O) cat MN tai I Tia MN cat dudng
tron (O) tai K
a) Chứng minh tứ giác 4MNN nội tiếp b) Chứng minh 4A⁄.4B = AN.AC
c) Chứng minh tứ giác CE7N nội tiếp và tam giác 4HK cân
Bai 2.1.16: (Trich dé thi tuyén sinh lop 10 tinh Đồng Nai năm hoc 2018 - 201 9)
Cho đường tròn (Ó) đường kính 4ð Lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C khác 4
và 8, biết C4< CB Lây điểm Ä⁄ thuộc đoạn Oð, với M khác Ó và 8 Đường thắng đi qua _ điểm M⁄ vuông góc với 4? cắt hai đường thắng 4C và BC lần lượt tại hai điểm D và H
a) Chứng minh bốn điểm 4, C, H, M cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm
của đường tròn này
b) Chứng minh MA.MB = MD.MH C) Gọi È là giao điệm của đường thăng 8D với đường tròn (Ó), E khác 8 Chứng minh ba diém A, H, FE thang hang
d) Trén tia đối của tia BA lây điểm N sao cho MN = AB Goi P va Q tuong ứng là
hình chiêu vuông góc của điêm M trén BD va N trên 4D Chứng minh bôn diém D, OQ, H,
P cùng thuộc một đường tròn
Bài 2.1.17: (Trích đê thi tuyên sinh lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2021 - 2022) Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O; E là điểm chính giữa cung nhỏ BC
a) Ching minh CAE = BCE
b) Goi M 1a diém trén canh AC sao cho EM=EC(M khac C);N là giao điểm
cua BM v6i duong tron tam O (N khac B) Goi J 1a giao điểm của BM với AE; K là giao điêm của 4C với EN Chứng minh tứ giác K7 nội tiệp
Bài 2.1.18: Cho đường tròn tâm Ó nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh
AB, AC lần lượt tại D và E Gọi 7 là tâm đường tròn nội tiêp tam giác 4DZ
_a) Chứng minh 4,7,O thăng hàng và 7 thuộc đường tròn (O)
b) Cac phân giác trong của các góc B va C cat đường thắng DE lần lượt tại M
và N Chứng minh tứ giác tam giác BC vuông |
Bai 2.1.19: (Trich dé thi tuyén sinh lop 10 TP H6 Chi Minh nam hoc 2019 - 2020)
Cho tam giác ABC c6 AB< AC néi tiép dudng tron (0) Hai duong tron BD va
GE của tam giác ABC cắt nhau tại ï Đường thắng AH cắt BC va (O) lan lượt tại F_
và Z (K = A) Gọi L là hình chiếu của D lên A5
a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp và B7? — BL- BA
b) Gọi 7 là giao điểm của KD và (O), (J = K ) Chimg minh rang BJK = BDE
c) Gọi 7 là giao điểm của B7 và ED Ching minh: BIL = BAJ va I latrung diém ED
— 37
Trang 38Dang 2.2 Cac bai toán tính toán
A KIEN THUC CAN NHO
1 Các công thức tính diện tích
2
AABC đều có › độ đài cạnh bằng a thì điện tích là S = ve 1
AABC vuông tại A thi $=, AB AC
Diện tích hình vuông độ dài cạnh bang ala S=a’
: Diện tích hình chữ nhật có chiều rộng băng a, chiều đài băng b là S=a-P Ề
Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích độ dài hai đường chéo Lm
Diện tích hình quạt tròn bán kính R và góc ở tâm bằng n là S= a lic
2 Các công thức liên quan tính toán độ dài, số đo góc
- Tam giác ABC đêu có độ đài cạnh bằng a thì độ dài
đường cao bằng a3,
Trang 39+) Liên hệ cạnh góc vuông - cạnh huyễn - đường cao: AB- AC = BC: AH
| Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: Xét ø là góc nhọn trong một | tam giác vuông Khi đó ta có các tỉ số lượng giác của góc nhon a 1a sina,cosa, tana ,
cotz được xác định như sau:
Chu vi của tam giác băng tổng độ dài ba cạnh của tam giác
Chu vi của đường tròn tâm Ớ, bán kính R la 27R
Từ O vẽ OM L BC (MeBC) nên M là trung điểm của
BC (quan hệ đường kính và dây cung), mà ABOC cân tại
O nên OM đồng thời là phân giác của BOC, suy ra
BOM = 60°
Ta co BM=OB-sinBOM va OM=OB.-cosBOM (lién
hệ cạnh - góc trong tam giác vuông)
Ví dụ 2: (Trích dé thi tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Phú Thọ năm học 2020 - 2021)
Cho AABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác BAC cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn (O) tại M Gọi K là hình chiếu của M trên AB, T là hình chiều
a) AKMT la tử giác nội tiếp b) MB? = MC? = MD.MA
39
Trang 40ee
c) Khi đường tròn (O)}va B; C cố định, điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì tổng
4B „ 4C có giá trị không đổi
Nên 4 đỉnh A, K, M, C nằm trên đường tròn đường kínhAM Í
=> AKMT là tử giác nội tiếp
b) Xét (Ó) ta có:
MAB là góc nội tiệp chắn cung BM;MAC 1a goc ndi
tiếp chắn cung M⁄C
Lại có M4 ia tia phan giac cua BAC = MAB = MAC
=> sd BM =sd CM (hai góc nội tiếp bang nhau chắn hai cung bằng nhau)
Ta có: MBC là góc nội tiếp chắn MC 7
=> MAB = MBC = MBD (hai góc nội tiếp chắn hai cung băng nhau)
Xét AMAB va AMBD ta co:
AMB chung ; MAB = MBD (cmt) => AMAB ® AMBD (g-g)
c) Dat BAM =CAM =a Xét AAKM va AATM cò:
AM chung; KAM =TAM = AAKM = AATM (canh huyén - goc nhon)
—> MK = MT (hai canh tuong tng)
Giả sử 4B < AC, khi do ta có:
Cun:
tròr
AM
