Dạy học theo hướng đổi mới là học sinh làm trung tâm, giáo viên chủ đạo; các em học sinh tự giác tích cực tìm hiểu và lĩnh hội kiến thức. Số lượng công thức và dạng toán học trong hệ thống môn Toán ở trường phổ thông là rất lớn. Vì vậy giáo viên truyền thụ kiến thức cho học sinh phải làm cho học sinh thấy được dạng toán nào là cơ bản, có những định hướng, nguyên tắc biến đổi như thế nào để học sinh thấy không có quá nhiều dạng bài tập, giáo viên có vai trò để học sinh thấy được học sinh cần nắm được đâu là bài toán cơ bản, khi học sinh gặp một bài tập khó thì bài toán đó cái gốc ban đầu là từ đâu, tư đó phát triển tư duy sáng tạo của học sinh, đối với dạng toán phương trình vô tỷ, dạng cơ bản là (1), sau khi đặt điều kiện cho hai vế không âm, bình phương hai vế của phương trình, sẽ dẫn đến các phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn, phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đều biến đổi về phương trình dạng (1). Trong quá trình dạy Toán ở trường Trung học phổ thông nói chung, dạy toán đại số lớp 10 nói riêng, tôi cố gắng truyền thụ kiến thức Toán một cách đơn giản nhất cho học sinh, trong đó cố gắng tránh sự áp đặt và truyền thụ máy móc, hướng dẫn học sinh thuộc và nhớ công thức toán mà giảm tối đa phương pháp học thuộc lòng. Học sinh không cần nhớ nhiều dạng toán, mà từ dạng toán này ta cần biết biến đổi về bài toán gốc ban đầu của nó, bài toán cơ bản nào mà ta cần hướng đến, làm sao để học sinh thấy thú vị khi giải các bài toán dù khó, nhưng khi hiểu được nguyên tắc cơ bản của nó thì bài toán trở nên đơn giản.
NỘI DUNG
THỰC TRẠNG
Kiến thức cần thiết để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai và bậc ba không phức tạp và dễ tiếp thu Học sinh có thể áp dụng các phép biến đổi tương đương dựa trên những kiến thức đại số đã được học ở các lớp dưới.
Bài tập này để rèn luyện cho học sinh khá, giỏi
1.2 GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP: a Nội dung giải pháp: Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
Dạng 1 : Giải phương trình dạng: (1)
Giải phương trình (1) bằng cách sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc biến đổi hệ quả
Giải phương trình (1) bằng phép biến đổi tương đương như sau:
Trong dạng cơ bản, g(x) là hàm số bậc nhất, giúp học sinh dễ dàng giải phương trình Tuy nhiên, khi g(x) là hàm số bậc hai và yêu cầu điều kiện không âm, việc bình phương hai vế có thể dẫn đến phương trình bậc cao khó giải, đặc biệt khi nghiệm là vô tỉ Bài viết này sẽ trình bày một ví dụ thể hiện nhiều phương pháp giải, trong đó có cách đổi biến không hoàn toàn để giải phương trình dạng (1).
Bài toán 1: Giải phương trình sau:
Vậy: S= là nghiệm của phương trình
Sử dụng máy tính ta sẽ tìm được một nghiệm nguyên
Khi đó ta thực hiện như sau:
Phương trình (1) được viết như sau: (1) Đk:
So sánh với điều kiện:
là nghiệm của phương trình Phương pháp 3: Đk:
Ta có hệ phương trình:
là nghiệm của phương trình Phương pháp 4: Đặt
là nghiệm của phương trình
Nhận xét về các phương pháp giải bài toán 1 cho thấy: Phương pháp 1, mặc dù quen thuộc với học sinh, nhưng khi bình phương hai vế sẽ dẫn đến phương trình bậc cao, gây khó khăn nếu nghiệm là vô tỷ Phương pháp 2 cho phép tìm nghiệm nguyên bằng máy tính và chuyển đổi bài toán thành phương trình tích, là một cách hay sẽ được trình bày trong toán 2 Phương pháp 3 yêu cầu đặt ẩn phụ để chuyển đổi bài toán thành hệ phương trình đối xứng loại hai, nhưng quá trình này có thể phức tạp Cuối cùng, phương pháp 4, hay “phương pháp đổi biến không hoàn toàn”, giúp giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ và tạo ra một phương trình theo ẩn phụ, từ đó giải theo ẩn chính và đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai một ẩn, giúp giải ngắn gọn và dễ dàng mà không cần kiến thức lớp 12.
Bài toán 2: Giải phương trình sau
Vấn đề cần giải quyết là biến đổi phương trình 7 = 8 – 1 thành 7 = 6 + 1 Khi áp dụng biến đổi này, hệ số của t và 2 sẽ có dấu trái ngược nhau, giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn để giải quyết.
Vậy: là tập nghiệm của phương trình.
Bài toán 3: Giải phương sau:
(*) Để hệ số của t 2 và x 2 trái dấu ta sẽ tách: 4= 12 – 8 hay 8 = 12 – 4
Khi đó phương trình (1) có dạng:
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:
Bằng cách sử dụng ẩn phụ, chúng ta có thể chuyển đổi về một phương trình ẩn mới, giúp việc giải quyết trở nên đơn giản hơn Dưới đây, tôi sẽ trình bày thêm một số bài toán tương tự để minh họa cho phương pháp này.
Bài toán 4: Giải phương trình sau:
Bài toán 5: Giải phương trình:
(*) Để phương trình (1) giải bằng phương pháp trên ta tách:
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:
Bài toán 6: Giải phương trình:
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là :
Bài toán 7: Giải phương trình:
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:
Bài toán 8: Giải phương trình:
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:
Bài toán 9: Giải phương trình:
Phương trình (1) trở thành hệ phương trình:
Phương trình (1) là bài toán gốc cần biến đổi thành hệ đối xứng loại 2 Tuy nhiên, bài toán này có thể được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn thông qua phương pháp đổi biến không hoàn toàn.
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:
Bài toán 10: Giải phương trình:
Vậy: Tập nghiệm phương trình là:
Bài toán 11: Giải phương trình:
Khi đó phương trình (1) có dạng:
Vậy: Tập nghiệm phương trình là:
Dạng 2 : Dạng nhiều căn bậc hai:
Phương pháp giải: Đặt điều kiện cho các căn có nghĩa:
Chuyển các vế của phương trình về dạng không âm, sau đó áp dụng phép biến đổi tương đương bằng cách bình phương hai vế để đưa phương trình về dạng cơ bản đã được biết đến và có thể giải dễ dàng.
Đối với phương trình dạng (1) là hàm số bậc hai, chúng ta có thể sử dụng ẩn phụ để chuyển đổi về dạng (1) với hàm số bậc nhất, từ đó áp dụng phương pháp giải đã được nêu.
Bài toán 1: Giải phương trình:
So sánh với điều kiện: Vậy x = 8 là nghiệm của phương trình
Bài toán 2: Giải phương trình
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:
Sử dụng máy tính ta tìm được một nghiệm nguyên x = 1 Khi đó chúng ta thực hiện như sau:
Phương trình (1) được viết lại như sau:
Sau đó số 3 được tách một cách hợp lý sao cho sau khi nhân lượng liên hợp phương trình đưa được về phương trình tích có nghiệm x = 1
(2) Đk: phương trình (2) vô nghiệm
Vậy: là nghiệm của phương trình
Bài viết sẽ nhận xét về hai phương pháp giải phương trình chứa nhiều căn Ở phương pháp thứ hai, tôi sẽ trình bày cách sử dụng máy tính để tìm nghiệm nguyên, sau đó biến đổi về dạng phương trình tích Mặc dù có nhiều cách giải khác nhau, phương pháp này sẽ giúp đơn giản hóa việc giải các bài toán chứa nhiều căn bậc hai Tôi sẽ giới thiệu một số bài toán, trong đó cách giải bằng cách nhẩm nghiệm nguyên, sau đó nhân với lượng liên hợp, sẽ giúp đưa về phương trình tích.
Bài toán 3: Giải phương trình
Với là nghiệm phương trình:
Vậy: là nghiệm của phương trình
Bài toán 4: Giải phương trình:
Sử dụng máy tính chúng ta có là nghiệm của phương trình:
Vậy nghiệm của phương trình là:
Bài toán 5: Giải phương trình:
Sử dụng máy tính ta được là nghiệm của phương trình, khi đó:
Phương trình (1) được biến đổi như sau:
Vậy nghiệm của phương trình là
Bài toán 6: Giải phương trình:
Sử dụng máy tính ta được và là nghiệm của phương trình Khi đó ta biến đổi:
Vậy nghiệm của phương trình là và
Bài toán 7: Giải phương trình:
(1) Giải: Đk của phương trình là:
Vậy tập nghiệm phương trình là:
Bài toán 8: Giải phương trình:
Ta có x = 0 là nghiệm của phương trình
Vậy nghiệm của phương trình là:
Bài toán 9: Giải phương trình:
Sử dụng máy tính chúng ta được là nghiệm của phương trình, khi đó ta biến đổi:
Vậy nghiệm của phương trình là:
Dạng 3 : Phương trình chứa ba căn bậc hai trong đó có một căn bậc hai là tích của hai căn bậc hai còn lại, ở dạng toán này chúng ta có các cách giải khác nhau, ở dạng bài tập này tôi trình bày theo nhiều cách giải sau đó sẽ đưa ra cách giải mà thông thường học sinh thường lựa chọn và đưa ra nhận xét để nhận dạng bài tập dạng này:
Khi sử dụng phương pháp đặt, ta biểu thị căn bậc hai còn lại theo một biến số, từ đó chuyển đổi phương trình ban đầu thành phương trình bậc hai Sau khi giải phương trình bậc hai này, ta có thể quay lại và áp dụng cách đặt để tìm giá trị của ẩn số.
Bài toán 1: Giải phương trình:
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:
Bài viết này nhận xét hai cách giải phương trình, trong đó cách giải 1 yêu cầu tìm điều kiện của ẩn phụ, điều này có thể gây khó khăn cho học sinh khối 10 Ngược lại, cách giải 2 cho phép chuyển đổi phương trình có hai ẩn thành phương trình một ẩn mà không cần điều kiện phức tạp Qua việc đặt ẩn phụ, bài toán có thể được đơn giản hóa từ phương trình chứa ba căn bậc hai thành phương trình chứa hai căn bậc hai, và sau đó biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai một ẩn Tôi sẽ trình bày cụ thể một số phương trình dạng này theo cách giải 2.
Bài toán 2: Giải phương trình:
Với ta có: vô nghiệm Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:
Bài toán 3: Giải phương trình:
Vậy phương của trình là:
Bài toán 4: Giải phương trình:
Bài toán 5: Giải phương trình:
Tập nghiệm của phương trình phụ thuộc vào điều kiện thực hiện các giải pháp cho học sinh có học lực khá trở lên, giúp họ dễ dàng tiếp thu các phương pháp giải bài tập Nhờ những phương pháp này, học sinh có thể giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn một cách ngắn gọn và hiệu quả Quan hệ giữa các giải pháp và biện pháp này đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập.
Thông qua các phương pháp mà tôi trình bày, học sinh sẽ nhận thấy rằng mỗi bài toán có thể được giải quyết bằng nhiều cách khác nhau Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể, việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp sẽ giúp tối ưu hóa quá trình học tập và nâng cao hiệu quả giải quyết vấn đề.
Mặt mạnh: Thông qua phương pháp giải một số dạng toán học sinh sẽ giải được một dạng bài tập tương đối khó
Mặt yếu: Các dạng bài tập chỉ phù hợp với học sinh khá, giỏi, học sinh trung bình, yếu khó tiếp thu