Bài tập và Đáp Án toán kinh tế chương 2 p1

Hãy xác định mức sản lượng Q đề đạt lợi nhuận tối đa... Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại... b Bằng các đạo hàm riêng của Q, cho biết nếu doanh nghiệp - Sir dụng thêm

Chương Ïl]:

MỘTT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ

Bài 1: Cho biết hàm số sản xuất ngắn hạn Q= 10013, L> 0 và giá sản phẩm là

P= 5USD, giá thuê lao dong 14 PL=3USD Hay tim mức sử dụng lao động để đạt lợi nhuận tối đa

Giải:

= 500

=3

3

t= — =500 5-3

G8 t lĩ ¡ nhuÊn tèi @thxz

—>Zz = 300 5 -3;z =0-> 3005 —- + 0> ah = 10000(

Bài 2: Cho biết hàm tổng chỉ phí: TC(Q) = Q°-130Q? + 12Q; Q>0 Hãy xác định

mức sản lượng Q để chỉ phí bình quân nhồ nhất

Giải:

TC 2 ACnin = ø = Q* — 130Q 4+ 12 Chi phí trung bình AC min © er R O

2Q —130=0 _

Vậy mức sản lượng Q=65 chỉ phí trung bình nhỏ nhất AC„i;=12687(đvtf)

Bài 3: Cho biết hàm tổng chỉ phí TC(Q) = Q?-8Q?+ 57Q+ 2; Q>0 và hàm cầu Q=

90-2P Hãy xác định mức sản lượng Q đề đạt lợi nhuận tối đa

30

Giải:

TŒ(Q)= -8Q“+Q'+57Q+2; Q>0

Ta có: Q = 90— 2P >p=45-"

TR=P.Q=(45- Ÿ)Q=45Q—

m= TR-TC=45Q— ©-(Q3 — 8Q? +57 +2)

2

= 450 —=—~ 0Ÿ + 80? — 570 — 2

= —Q°? +2¢ — 12Q—2 7r' = —3Qˆ + 15Q — 12

Cho 7” = 0,tacó:Q=4UQ =1

7” = —6Q + 15 Với Q =4 >7r” =—9 <0

Q=1>7m '"=9>0

Vậy7r đạt cực đại tại Q = 4, khi đó 7r = 6

Don gia P = 43 ;TC = 166

Vay để đạt lợi nhuận cao nhất, xí nghiệp cần sản xuất với mức

sản lượng Q = 4 Khi đó, lợi nhuận tương ứng sé la 7,,,, = 6

Bài 4: Cho biết hàm chỉ phí là TC(Q)= 4Q° +5Q?+500; Q>0 va hàm cầu Q=

11160- P Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại

Giải:

Hàm tổng chỉ phí là TC(Q) = 4Q + 5Q” + 500

Hàm cầu Q= 11160— P — P = 11160 — Q

Hàm doanh thu 1a : TR (Q) = P*Q = (11160 — Q)*Q = 11160Q — Q2

Lợi nhuận thu được là : r(Q) = TR(Q) —- TC(Q) = 11160Q — Q? — (4Q? + 5Q? + 500)

31

z(Q) = — 4Q3 — 6Q? + 11160Q — 500

Xác định Q > 0 để 2(Q) max

ta có z'(Q) =—12Q2 —12Q + 11160

7(Q) = 0 c> —12Q —12Q + 11160 = 0 <c› Q= 30(nhận) hay Q= —31(loại)

z”(Q) =—24Q - 12 —› z”(Q=30) = -24*30 — 12= -732<0

Vậy lợi nhuận đạt cực đại tại Q=30, với 7max = 220900

Bài 5: Một công ty có hàm câu về sản phẩm và hàm tổng chỉ phí là:

3

P= 2750-— Q; TC= so-15Q?+2500Q (trong đó P là giá và Q là sản lượng)

a) Tính sản lượng và giá bán để tối đa hóa lợi nhuận? Tính và nêu ý nghĩa

của hệ số co giãn của cầu sản phẩm theo giá và sản lượng tôi ưu

b) Tìm giá bán để tối ưu hóa sản lượng bán ra mà công ty không bị thua lỗ?

Giải:

a) TR=P.Q= (2750- — s 0) 27500: =0?

7 TR- TC= 2750Q- =0? + 15Qˆ —- 25000 = 242 =0” + 2500 7(Q)=0<> =9? + = So + 250 = 0%®©Q;=200 hoặc Q;=.25/2(loai)

99 —Q 75

x''(Q)=="+—

7 ”(200)= -21,25<0

Vay Tmax dat cuc dai tai Q=200™ P= 1625

cop=Q' Œ)xo = = = HH

9” 45

€(P=1625)=-1,72

Khi san luong tang 1% thi chi phi giam 1,72%

Bài 6; Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có thể sản xuất và cung ứng cho thị trường hai loại mặt hàng với hàm tông chỉ phí kêt hợp là TC= 2Q¡?+ 3Q¡Q;+3Q”:

a) Cho biết giá tại các mặt hàng là P:=20, P;=30 Hãy xác định mức san lượng và lợi nhuận tôi ưu

32

b) Tại thời điểm tối ưu nếu tăng sản lượng mặt hang loai 1 thém 5%, tang sản lượng mặt hàng loại 2 thêm 8% thì chỉ phí biên động như thê nào?

a) TR= 20Q¡+ 30Q;

7= TR- TC= 20Q¡+30Qz-2Q;2-3Q¡Q;-3Q;2

3y

——=20—40 ôQ, Qi — 3Q2 —3

oT _ 39 60, —30

3060 30, = 01 =2

30 — 60; — 30, = 0 0; = 4

On — O° _ _ ; _ 02m

A a2Q, - 4; Boa 33 82Q; 6

AC —B*=15>0

A<0O > Tmax khi (Qi; Q;)= (2:4)

B<0

b) Crcoi= TC (Q¡)x = 4Q¡ +3; 2Q ƒ+30:0;+3QŸ = 2X = 2

Khi Q¡ tăng 1% thì chi phí tăng 0,5%

=> Khi Q; tăng 5% thì chi phí tăng 2,5%

Crcoz— TC’(Qa)x 7 = 3Q1 + 602% 557330,0,330 30x= = 1,5

Khi Q; tăng 1%% thì chi phí tăng 1,5%

=> Khi Q; tăng 8% thì chi phi tang 12%

Bài 7: Người ta ước lượng hàm sản xuất hằng ngày của một doanh nghiệp như

sau: Q= 80VK VL

33

a) Với K= 25, L=64 Hãy cho biết mức sản xuất hằng ngày của doanh nghiệp

b) Bằng các đạo hàm riêng của Q, cho biết nếu doanh nghiệp

- Sir dụng thêm một đơn vị lao động mỗi ngày và giữ nguyên mức K= 25

thì sản lượng thay đổi bao nhiêu?

- Sử dụng thêm một đơn vị vốn mỗi ngày và giữ nguyên mức L= 64 thì sản lượng thay đổi bao nhiêu?

c) Nếu giá thuê một đơn vị tư bản K=12, và giá đơn vị lao động L=2,5 và doanh nghiệp sử dụng yếu tố đầu vào nêu trong câu a) thì doanh nghiệp nên sử dụng thêm đơn vị K hay L

Giải :

a)

Q = 80VKVL

Tại K=25; L=64 mức sản xuất hàng ngày của doanh nghiệp là

Q = 80V25V64

=> Q= 1600

b)Ta có đạo hàm riêng của Q theo L là:

_ 0Q _ 80ýK

“` ôL sp

Sử dụng thêm một đơn vị lao động mỗi ngày và giữ nguyên K=25, thì sản lượng

thay đôi một lượng: AQ = ei 3 don vi

Ta có đạo hàm riêng của Q theo K:

34

Sử dụng thêm một đơn vị vốn mỗi ngày và giữ nguyên L=64 thì sản lượng thay đổi 1 lượng: AQ = —= 32 đơn vỊ

c) Lập tỷ số:

ôQ/ôK _ 80L _ 10 ŸL _ 10 64

ôQ/ôL _ ôQ/8K

——— > —

Ta thay :

Nên L tăng 1 don vi thi d6 tang Q theo K tang 3,3 suy ra ta sé chon L

Bai 8: Cho ham loi ich TU= 3xy -2x’-y’; x,y >0

a) Tại xo= 50, yu=60, nếu x tăng thêm một đơn vị và y không đổi, hỏi lợi ích thay đổi như thế nào?

b) Tính MU, tại xo=50, yọ= 60, giải thích ý nghĩa

a) ae = By 4x

MU;= — @0; 60) = 3.60 — 4.50 = —20

Nếu x tăng thêm một đơn vị và y không đổi thì lợi ích sẽ giảm 20 đơn vị

b) MU,= “= 3x — 2y

MU,(50;60) = 3.50 — 2.60 = 30

Néu y tăng thêm một đơn vị thì lợi ích sẽ tăng 30 đơn vỊ

_ TU

Bài 9: Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm cầu đối với hai loại sản phẩm là: Q¡= 1300 - Pi; Q2= 675 - 0,5P2

Và ham chỉ phí kết hợp là TC= Q:ˆ2 + 3Q¡Q; + Q22 Hãy cho biết mức sản lượng

Q¡, Q› và giá bán tương ứng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

35

Giải:

Điêu kiện vê mức sản lượng Q\, Q› > 0

Đề tiêu thụ hết sản phẩm, xí nghiệp sẽ bán với các đơn giá Pì, P2 sao cho

{ 1300 — P; = Q)

675 — 0,5P2 = Q2

P, = 1300-Q,

=p = 1350 — 2Q;

Doanh thu TR = P.Q = PQ¡ + PạQ; = 1300Q; — Q¡2 + 1350Q¿ — 2Q;?

Lợi nhuận x = TR — TC = 1300Q¡ — Q¡2 + 1350Q¿ - 2Q;?T— Q;? —- 3Q¡Q; - Q2?

© z=— 2Q¡2 — 3Q;? + 1300Q¡ + 1350Q; —- 3Q,Q>

Đề đạt được lợi nhuận tối đa: Tr„ax

Tọa độ điểm dừng tại

-”= —4Q; + 1300 — 3Q; =0

8Q1

= —6Q; + 1350 — 3Q; =0

0Q;

Qạ — 250

| , = 100

Xét tai diém dừng, ta có

A= -4<0

A=A.C~ B? = (-4).(-6) — (-3)2 = 15> 0

Vay Tmax tai toa độ diém dừng => doanh nghiệp đạt cực đại tại mức sản lượng Q¡=250 và Qz=100 ứng với mức giá Pị = 1050, Pa = 1150

Bài 10: Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản

phẩm như sau: m = 160Q, — 3Q:ˆ — 2Q,Q, — 2Q% + 120Q, — 18

Hãy tìm Q¡; Q; để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

36

Giải:

mt = 1600, — 30? — 20,0, — 202 + 120Q, — 18

Ta co:

2o, 160 — 6Q¡ — 20; ; ag?

90 = —2Q; — 4Q; + 120 Trên —4

0*n

= —2

3Q¡Q;

=0

Lợi nhuận tôi đa©> ôm — ọ = Lao: — 40; + 120 = 0

9Q;

lo: — 20

Q;= 20

x A_ 9°

Dat: A=—, = —-6<0

dQ;

pa" —-2

3Q:Q;

_ 92m — _

Ta co:

AC-B?=(—6)(—4)—-(-2)°= 20 > 0 vay doanh nghiệp đạt lợi nhuận cực đại tại

Ø, =20:Ø, =20

Bai ll: Mot hang độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm cầu đối

với hai loại sản phẩm là: Q¡ = 25 — 0,5P; Q› = 30 — P;

Và ham chi phi két hop la: TC = Q7 + 2Q:Q; + Q2 + 20 Hãy cho biết mức sản lượng

Q¡, Q¿ và giá bán tương ứng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối da

Giải:

Điêu kiện vê mức sản lượng Q¡, Q; > 0

Dé tiéu thy hét san pham, xi nghiệp sẽ bán với các đơn gia Pi, P2 sao cho

25 — 0,5P; — Q¡

37

30—Pa=Q;

Là <30- 0

P2 = 30—-Q,

Doanh thu TR = P.Q = P,Q; + P2Q; = 50Q; — 2Q,” + 30Q2 — Q.”

Lợi nhuận x = TR — TC = 50Q¡ — 2Q¡2 + 30Q¿; — Q;2— Q;2— 2Q¡Q; — Q;2— 20

> z= — 3Q¡? — 2Q;2 + 50Q¡ + 30Q; — 2Q¡Q¿ — 20

Đề đạt được lợi nhuận tối đa: Tr„a;

Tọa độ điểm đừng tại

On

30, = —6Q; +50—2Q; =0

On

2= —4Q; + 30 — 2Q; =0

Q;ạ=7

&

to = 4

Xét tai điêm dừng, ta có

A= -6<0

A=A.C — B* = (-6).(-4) — (-2)? = 20 > 0

Vay Tmax tai toa dd diém dừng => doanh nghiệp đạt cực đại tại mức sản lượng Q¡=7 và Q2=4

ứng với mức giá P=36, P›=26

Bài 12: Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm câu đối với hai

loại sản phẩm là: Q¡ = 50 — 0,5P1; Q2 = 76 — P2

Và hàm chỉ phí kết hợp là: TC = 3Q2 + 2Q:Q; + 2Q2 + 55 Hãy cho biết mức sản

lượng Q¡, Q¿ và giá bán tương ứng đề doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

GIải:

Điêu kiện vê mức sản lượng Q¡, Q› > 0

Đê tiêu thụ hêt sản phâm, xí nghiệp sẽ bán với các đơn giá Pì, P2 sao cho

{ 50 —0,5P; = Qi

38

76— Pa=Q;

mm

P; = 76 — Q›

Doanh thu TR = P.Q = P¡Q; + PạQ; = 100Q; - 2Qj7 + 76Q; - Q27

Lợi nhuận z = TR — TC = 100Q¡ — 2Q;2 + 76Q; — Q;?— 3Q;2— 2Q¡Q; - 2Qz? — 55

> = — 5Q¡2 - 3Q;2 + 100Q¡ + 76Q¿; — 2Q¡Q; — 55

Đề đạt được lợi nhuận tối đa: Tmax

Tọa độ điểm dừng tại

“ = —100; + 100 — 20; = 0

0Q1

On

5g; = —60; +76— 20; =0

Q,=8

tg, = 10

Xét tai diém dừng, ta có

A= -10<0

A=A.C — B* = (-10).(-6) — (-2)? = 56 > 0

Vay Tmax tai toa độ diém dừng => doanh nghiệp đạt cực đại tại mức sản lượng Q¡=8§ và Q2=10 ứng với giá bán là Pi=84, Pa=66

Bài 13: Cho hàm sản xuất của hãng Q = 10K®2L94, biết giá thuê một đơn vị tư bản K

bằng 0,03, giá thuê một đơn vị lao động bang 2, giá sản phẩm băng 4 Hãy xác định

mức sử dụng K, L để hãng thu được lợi nhuận tối đa

Giải:

Ta có Q = 10K93 L# => hàm doanh thu TR = P.Q = 40K?3 L94

wx = 0,03 wr = 2 => hàm chi phí TC = 0,03K + 2L

Lợi nhuận: 7= TR — TC = 40K93 L? - 0,03K - 2L

39

= (L,K) = 16K LS — 2

on _ 0.7704

< (L,K) = 12K°" L°4— 0.03

aot.K) — -9.6K® 3 L 1,6

“=(L.K) =-8,4K-171:94

0Q5

SE (LK) = 4,8K°L on — -0,7 7 -0.6

Tim điểm dừng :(_ —~ (L„K) = 16K93:95~ 2 =0 16K03 1:95 2 =0

=>

2“ 1 K)= 12K97194— 0.03 =0 K=400717

8K

Xét điểm đừng (L,K) ta có :

A=-96KÙ3I l®5<o B= 49K 17956 c=-gag 794

A =AC — BỶ > 1,4.10 !Ê> 0 nên zœ đạt cực đại tại điểm dừng (LK) = (51200;2560000)

Vậy L = 51200, K = 2560000 thi hãng thu được lợi nhuận tối đa

Bài 14 : Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm lợi nhuận của

doanh nghiệp z = 15Q¡ + 12Q; - 3Q¡0QŸ - QŸ

Hãy tìm Q1, Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

Giải :

Ta có: m= 15Qi + 12Q2 —3Q1Q2 - Q?

sor (Q1,Q2) = 15 -3Q3 -3Q7

say (QQ) = 12— 60:0;

A= 2% (QQ) =-6Q, = 207

40

—_ 9”

0Q1Q2

C= FF (Q1,Q2) = -601

( Q1,Q2) = -6Q2

Xác định điểm dừng : { 15 -3Q2 -3Q? = 0 Qi=1

12-6Q;Q;=0 > Q2=2

Qi =2

lo =l

— có điểm dừng là (Q¡,Q) = (2;1) hoặc (Q¡,Q2) = (1;2)

Voi (Qi=1

los

2

Ta cé: A= 22(Qi,Q:) =-6

B= 55,0, ( Q1:Q2) = -12

82

{ A=-6<0

A= AC -B*=-108 <0

} hàm lợi nhuận không đạt cực đại

Với cQ¡=2

foe,

Ta có:: A= —; ( Qi,Q2)= -12

807

= =(QiQ)=-6

— 9Q4Q; pe

41

82

C= 557 (QQ) =-12

A=-12 <0

lana —B? = 108 > 0

> 7 đạt cực đại tại (Q:,Q2) = (2,1)

Vậy, để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa thì (Q¡,Q2) = (2,1)

Bài 15:

Doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất:

Q = -2K” + 3KL_— 2L + 30K + 20L ; (K,L> 0)

a) Hãy xác định mức sử dụng K,L để doanh nghiệp thu được mức sản lượng cực đại

O.(K;L) =-4K +3L+30

O.(K;L)=3K —6L+20

Gọi M(K;L) là điểm dừng được xác định

Q,(K;L)= 0 3K -6L + 20=0 L= 34/3

rt M (16; 34/3)

Xét: A=Q"x (K;L) = -4 B=Q’xL(K;L)=3 C=Q(K;L)=-6

A= AC - B?=15>0

A<0 =) Q imax tai M (16; 34/3)

A>0

Vậy tại K = 1ó, L=34/3 thì doanh nghiệp thu được mức sản lượng cực đại

b) Biết giá thuê một đơn vị tư bản K bằng 4, giá thuê một đơn vị lao động bằng 22, giá

sản phẩm bằng 2 Hãy xác định mức sử dụng K,L để doanh nghiệp thu được lợi

nhuận tôi đa

42

Pg= 4; Pu,= 22; Pu = 2

Ta có :

LP, + KPx=22L+4K =TC

TR = PQ =2.(-2K* + 3KL—-2L’ +30K +20L)

=-4K* + 6KL-6L’ + 60K + 40L

Dé DN thu được lợi nhuận tối đa:

Tmax = TR -TC = -4K? + 6KL —- 6L^+ 60K + 40L — 22L —- 4K

1x (K,L) = -8K + 6L +56

m, (K,L) = 6K -12L + 18

Goi H ( K,L) là điểm đừng được xác định: (mx (K,L) =0 -8K + 6L+56 =0

{7 (KU=0 | 6K -12L+ 18=0

c { K=13_, H(13,8)

L=8

Xét : A= x (K,L) =-8 ; B=, (K,L)=6; C=, (KL) =-12

A=AC-B?=60>0 va pA<04 Qmar tai H (13,8)

Lavo

Bai 16;

Một xí nghiệp sản xuât độc quyên một loại sản phầm

Ham cau là: Ø; =300—P va hàm tổng chỉ phí 7TC(Ø) = Ø —19Ø +3330+10

Hãy xác định mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

Giải:

Với một mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn gia P sao cho Qp =Q Do đó, ta có:

On=O04 300-P=Q 6 300-Q=P

Mat khac, ta co:

Doanh thu của xí nghiệp là: 7® = P.Q = (300-Q).Q = 3000 - ơ

Doanh đạt lợi nhuận tối đa : 7„„„ = TR — TC = —Q + 18Q2 - 33Q + 10

43

Với Q>0thì mg =-3Q 2 + 36Q — 33

7ọ = 0 ® -3Q 2+ 36Q—33 =0 ©® |Q= 11 (chọn)

Q= 1 (chon)

Mat khac :

Tq =—6Q + 36

7 (11) = -30 < 0 => mrọ đạt cực đại ( thỏa yêu câu bài toán)

7 (1)= 30 >0 => zạ đạt cực tiểu ( không thỏa yêu cầu bài toán)

Vậy với Q = I1] thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa

Bài 17: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm Biết hàm cầu là Qp =

2640 — P và hàm tổng chỉ phí TC(Q) = Q2 + 1000Q + 100 Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp

Giải:

Với một mức sản lượng Q, đề bán hết sản phẩm, xí nghiệp phải bán theo đơn giá P sao cho

Óo =Q Ta có: O› =Q<>2640-P=(Q<>P=2640—Q

Doanh thu của xí nghiệp là: 7R(@)= PQE=-Ø +2640Q

Tiền thuế của xí nghiệp: 7) = Ớ/

Lợi nhuận xí nghiệp thu được:

m(Q) = TR(Q)-TC(Q) - Ot

=-Q° +26400- O° -10000-100- Ot

=-29° +(1640-AQ-100

Xác định O>0 sao cho x đạt giá trị lớn nhất Ta có:

7r' ( Q) =—4Q + 1640 —t

m' (Q)=0 ® ~4Q + 1640—t=0 ® Q=-<+410

44