Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1

Viết đoạn code tính diện tích và vẽ miền D giới hạn bởi parabol, tiếp tuyến của parabol tại y = y0 và trục Ox.. Chứng minh lại công thức tính diện tích miền D bằng tích phân xác định..

Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM

Bộ môn Toán ứng dụng

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1

Đề tài 8

Cho parabol x − a = (y − b)2, 2 hằng số a,b và giá trị y0

nhập từ bàn phím Viết đoạn code tính diện tích và vẽ

miền D giới hạn bởi parabol, tiếp tuyến của parabol tại y

= y0 và trục Ox.

Yêu cầu:

1 Chứng minh lại công thức tính diện tích miền D bằng tích phân xác định.

2 Đoạn code tính đúng, vẽ hình xong với 2 VD cụ thể.

MỤC LỤC

III Chứng minh công thức tính diện tích bằng tích

IV Ứng dụng Matlab và các ví dụ cụ thể 6

II.CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Yêu cầu đề bài:

1) Chứng minh lại công thức tính diện tích miền D bằng tích phân xác định

2) Đoạn code đảm bảo tính đúng, vẽ hình xong với 2 VD cụ thể

Input:

- Cho parabol x − a =( y −b)2

- 2 hằng số a, b và giá trịy0 nhập từ bàn phím

- Tính diện tích và vẽ đồ thị miền D giới hạn bởi parabol, tiếp tuyến của parabol tại y = y0

và trục Ox

Cơ sở lý thuyết và thuật toán:

Bước 1: viết hàm x =f ( y )

- x =( y −b)2+a

Bước 2 : viết công thức tiếp tuyến tại tiếp điểm

y0:

- x tt =f '

(y0).(y − y❑ 0 )+ x0

Bước 3 : Tính diện tích miền D :

- Nếu y0 > 0 thì diện tích tính theo công thức

∫

0

y0

¿x − x tt∨ ¿¿

- Nếu y0 < 0 thì diện tích tính theo công thức

∫

y0

0

|x − x tt|

Bước 4 :

- Vẽ đồ thị và tiếp tuyến trên cùng một hệ trục tọa độ

III CHỨNG MINH LẠI CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MIỀN D BẰNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH.

Cho hàm số y =f ( x ) xác định, liên tục, không âm

trên đoạn [a,b] Xét hình thang cong AabB là hình

giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x ) trên [a,b], các đường thẳng x = a, x = b và trục hoành

Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia x0 , x1 , x2 , x n−1 , x n được chọn tùy ý sao cho x

0 ≡ a < x1 < x2 < x i−1 < x i < < x n−1 < x n ≡ b Đặt

∆ x i =x i − x i −1 (i = 1,2, ,n) Từ các điểm chia x i (i = 1,2, ,

n) ta dựng các đường thẳng x = x i , như thế ta đã chia

hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ

(i=1, 2, ,n) Chọn các điểm ξ❑i ∈[ x i −1 ; x i] Thay

mỗi hình cong nhỏ P i−1 x i−1 x i P i bằng một hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao là f (ξ i) Diện tích các hình chữ nhật là: f(ξ1) ∆ x1, f(ξ2) ∆ x2, … , f(ξ n) ∆ x n

Tổng các diện tích của n hình chữ nhật biểu diễn

gần đúng diện tích cần tìm S của hình thang cong AabB đã cho:

S ∑n f(ξ) ∆ x

Ta thấy nếu số đoạn chia càng nhiều sao cho độ lớn

của các đọan chia càng nhỏ thì tổng∑

i=1

n

f(ξ i) ∆ x i càng gần giá trị đúng S

Từ đó ta có thể nói rằng khi chuyển giới hạn n→∞ sao cho Δx i →0 (i =1,n) thì giá trị giới hạn của tổng

∑

i=1

n

f(ξ i) ∆ x ichính là diện tích cần tìm S của hình thang cong

đã cho:

S= lim

max ∆ x i → 0∑

i=1

n

f(ξ i) ∆ x i(1)

Mà theo định nghĩa tích phân xác định ta có:

∫

a

b

f ( x) dx=lim

d → 0∑

k=1

n

f(ξ k) ∆ k(2)

Từ (1) và (2) ta được công thức tính diện tích miền D:

S= ∫

a b

f ( x) dx

IV.ỨNG DỤNG MATLAB VÀ CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ

Lệnh Matlab

syms y a b y0

a=input( 'a= ' );

b=input( 'b= ' );

y0=input( 'y0= ' );

x=(y-b)^2+a;

x1=expand(x)

xdh=diff(x);

tt=subs(xdh,y,y0)*(y-y0)+subs(x,y,y0)

if y0 >0 dt=int(abs(x-tt),0,y0)

end ;

ezplot(t,0*t,[-30,30]);

hold on

ezplot(tt,y,[-30,30]);

hold on

ezplot(x1,y,[-30,30]);

grid on

hold on

CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ:

Ví dụ 1 : Khảo sát hàm x −1=(y − 2) 2 và y 0 = 3

>> De8

a= 1

b= 2

y0= 3

x1 =

y^2 - 4*y + 5

2*y - 4

dt =

9

Ví dụ 2: Khảo sát hàm x+2=(y+3) 2 và y0=−5

>> De8

a= -2

b= -3

y0= -5

x1 =

y^2 + 6*y + 7

tt =

- 4*y - 18

dt =