Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.. a, Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC.. b, Gọi trực tâm của tam giác ABC ,hãy xác định vụ trí của M để có thể
Trang 1Sở GD&DT Lào Cai
Trờng THPT Số 1 Bảo Yên
Kỳ Thi Chọn HSG Cấp Trờng Lớp 12 THPT
Năm học 2006-2007
Môn thi: Toán
(thời gian lam bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: Chứng minh rằng :
c b a a
c c b b
a
1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
1
Với a,b,c>0;a.b.c=1
Câu 2: Cho hệ phơng trình :
m x
m
y
x
m
my
2
1 2
2
2
2 3
a, Giải hệ phơng trình khi m=1
b, Giải và biện luận hệ phơng trình theo m
Câu 3: Cho 2 dãy số u n và v n xác định nh sau:
1, u1 1
1 u 2n 1 , n N
1 u , n N u
a, Chứng minh rằng dãy số v n là một cấp số cộng Xác định số hạng đầu và công
sai của cấp số cộng đó
b, Tính v1v2 v m với m N* theo m từ đó suy ra công thức tính u n theo n
Câu 4: Tìm các hàm số f,g thỏa mãn :
4 3 6 1
3
1 2 3
2
x g
x
f
x x
g
x
f
Câu 5: Cho tam giác cân ABC, AB=AC Một điểm M thay đổi trên đơng thẳng
vuông goc với mặt phẳng (ABC) tại A (m không trùng với A)
a, Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC
b, Gọi trực tâm của tam giác ABC ,hãy xác định vụ trí của M để có thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn nhất
Trang 2Sở GD&DT Lào Cai
Trờng THPT Số 1 Bảo Yên
Kỳ Thi Chọn HSG Cấp Trờng Lớp 12 THPT
Năm học 2005-2006
Môn thi: Toán
(thời gian lam bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6 điểm)
Cho hệ phơng trình :
3 2
1 2 2 2
x
a y x
a, Giải hệ phơng trình với a=2
b, Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) ma xy nhỏ nhất
Câu 2 : (4 điểm)
Cho 3 36 , 1
a b c a
Chứng minh rằng :
a b2c2 abbcca
2 3
Câu 3: (4 điểm)
Tìm hàm f(x), biết rằng:
2
4 2
1
x x
x
x 0
Câu 4: (6 điểm)
Cho hình chóp tam giác DABC, N là một điểm nằm trong tam giác ABC Các đ-ờng thẳng qua M song song với AD,BD,CD theo thứ tự cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD),(ABD) tại A',B',C'
a, Gọi N là giao điểm của DA' và BC.Chng minh rằng: A,M,N thẳng hàng
b, CMR:
AD
MA V
V
ABCD
c, CMR:
CD
MC BD
MB AD
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trong ABC
Trang 3Sở GIáO DụC Và ĐàO TạO Kì THI HọC SINH GIỏI CấP TỉNH LớP 12 THPT
LàO CAI NĂM HọC : 2002-2003
Đề THI MÔN TOáN
(Thời gian làm bài : 180 phút,không kể thời gian giao đề)
Đề CHíNH THứC
Câu 1:(3 điểm):
1.Giải hệ ph ơng trình :
0 4
0 2
3
2 2
2 2
y x
y x xy y
x
2 Tìm giá trị của tham số m để ph ơng trình 4 x 4 1 x x 1 x m 0 có
ngiệm duy nhất
Câu 2: (3 điểm) Cho cac số thực x,y thỏa mãn 2 2 1
y xy
a-Chứng minh rằng 1
3
1
b-Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức Ax4 y4 x2y2
Câu 3:(4 điểm): Cho dãy số a , n b n có các số hạng
, 0 ,
0 a bb
a b
a 1 , 1
2 , với mọi giá trị n 0 , 1 , 2
Chứng minh rằng :
a- a n b n với mọi giá trị n 0 , 1 , 2
b- Các dãy số a , n b n có giới hạn và giới hạn của 2 dãy bằng nhau
Câu 4:(4 điểm): Cho hàm số y =f(x) có tập xác định và tâp giá trị là R, hàm số y=f(x)
thỏa mãn điều kiện 1 2 f x f 2 x 2fxa với a là một số d ơng không phụ thuộc
vào x.Chứng minh rằng :
a- 1
2
1
f x với mọi x thuộc R
b- y=f(x) là hàm tuần hoàn
Câu 5:(5 điểm): Cho hình chóp A.BCD có các điểm I trên AB, J trên AC, K trên AD
thỏa mãn
3
1 ,
2
1
AC
AJ AB
AI
,Thể tích của hai hình chóp A.BCD và A.IJK bằng nhau
a- Tìm tỉ số .
AD AK
b- Một điểm M nằm trong hình chóp A.BCD, nối AM, BM, CM, DM lần l ợt
cắt các mặt đối của hình chóp tại A', B', C', D' Xác định vị trí của điểm M trong hình
chóp A'.B'C'D' để biểu thức
MD
MD MC
MC MB
MB MA
MA
Q ' ' ' ' có giá trị nhỏ nhất Câu 6: (1 điểm) Cho tam giác cân ABC đỉnh A , góc ở đáy B=C= thỏa mãn
1 sin sin
Xác định tỷ số giữa bán kính đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
và chu vi tam giác ABC
Trang 4
Sở GIáO DụC Và ĐàO TạO Kì THI CHọN HọC SINH GIỏI CấP TỉNH LàO CAI LớP 12 THPT
Đề CHíNH THứC
NĂM HọC : 2005-2006
Đề THI MÔN TOáN
(Thời gian làm bài : 180 phút,không kể thời gian giao
đề.)
Bài số 1:(5 điểm)
1) Chứng minh rằng :
c b a a
c c b b
a
1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
1
Với a,b,c>0;a.b.c=1
2) Giải hệ phơng trình :
2 4
5 4
9
y x y x
y x y x
Bài số 2:(4 điểm)
1) Tìm n Z sao cho phơng trình : n2 5 27tgx n2 5 3 sinx n 9x 0 có nghiệm
0 ; 2
x
2) Cho phơng trình : 3 27 2 12 2005
nghiệm thực của phơng trình sau:
4( 3 27 2 12 2005
12 54
3 27
3ax ax x ,với aR, a 0
Bài số 3:(3 điểm)
Cho dãy u n đợc xác định nh sau:
2
1
1
n
u
R u
với n N* Tìm limu n
Bài số 4:(4 điểm)
Tìm các hàm số f :R Rthỏa mãn điều kiên : fxf y xxy f x ; x,yR
Bài số 5: (4 điểm)
Cho tứ diện ABCD Gọi I,J thứ tự là trung điểm của BC và AD.Lấy G bất kì thuộc IJ sao cho E BC ; FAD thỏa mãn IE=IG; JE=JG Gọi M là giao điểm của
đờng tròn ngoại tiếp tam giác GEF và đờng phân giác của góc EGF Tìm quỹ tích
điểm M
Hết
Trang 5Sở GIáO DụC Và ĐàO TạO Kì THI CHọN HọC SINH GIỏI CấP TỉNH
LớP 12
LàO CAI TRUNG HọC PHổ THÔNG
NĂM HọC : 2006-2007 Đề THI MÔN TOáN
(Thời gian làm bài : 180 phút.)
Đề CHíNH THứC
Câu 1:(5 điểm):
1.Giải ph ơng trình :
1 1
2 3
x
2.Giải hệ ph ơng trình :
x t t
t z z
z y y
y x x
2 2 2 2
2 2 2 2
Câu 2: (3 điểm)
Cho dãy số u n Xác định nh sau
u
u u
1 2
1 0
3
1
Chứng minh rằng là dãy có giới hạn? Tìm giới hạn đó?
Câu 3:(4 điểm):
Cho hàm số f(x) thỏa mãn tính chất sau
2007 11
2007 10
x khi x
f f
x khi x
x f
Chứng minh rằng :f(1)=f(2)=f(3)= =f(2007)=1998
Câu 4:(4 điểm):
Cho đ ờng tròn tâm O có hai đ ờng kính AB và CD không vuông góc Gọi
M là gjao điểm của AC và tiếp tuyến của đ ờng tròn tâm O tại B MO cắt BC
tại N,MD cắt đ ờng tròn tâm O tại điểm thứ hai là P Chứng minh rằng : A ,N
,P thẳng hàng
Câu 5:(4 điểm):
1.Trong một tam giác đều có cạnh bằng 1 lấy 17 điểm tùy ý không thuộc các
cạnh của tam giác Chứng minh rằng tồn tại hai điểm trong 17 điểm trên có
khoảng cách không lớn hơn
4
1
2 Giả sử n là một số nguyên n 2.Chứng minh rằng nếu a1;a2; ;a n là n số
d ơng thỏa mãn : a1 a2 a n 1
1
1
1 1
2 1
2
2 1
1
a a
a a
a a
a a
n n
Trang 6Sở GIáO DụC Và ĐàO TạO Kì THI CHọN HọC SINH GIỏI CấP TỉNH LớP 12
LàO CAI TRUNG HọC PHổ THÔNG
Đề CHíNH THứC
NĂM HọC : 2007-2008
Đề THI MÔN TOáN
(Thời gian làm bài : 180 phút.)
Câu 1:(3 điểm):
a) (1,5 điểm) Giải hệ phơng trình :
xyzt z
y t x
t z y x
t z y x
t z y x
2 252 50 12
2 2 2 2
3 3 3 3
2 2 2 2
b) (1,5 điểm) Giải phơng trình nghiệm dơng: 11 1 1
z y x
Câu 2: (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số f:R R thỏa mãn đẳng thức:
x f y x y f x f y
f 2 2 x,yR
Câu 3:(4 điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O.Đờng phân giác của góc C cắt đ-ờng tròn ở điểm R ,các đđ-ờng trung trực của 2 cạnh BC và CA theo thứ tự cắt CR ở P
và Q.Gọi trung điểm của CB và CA lần lợt là S vàT Chứng minh rằng hai tam giác QRT và PRS có diện tích bằng nhau
Câu 4:(4 điểm):
Cho a>0 và dãy U n xác định bởi :
3
4 1
1 3 3 1
1
n
U
a U
Chứng minh rằng dãy U n có giới hạn và tìm giới hạn đó
Câu 5:(3 điểm):
Cho tập hợp 10 số có hai chữ số.Chứng minh rằng tập hợp đó có ít nhất 2 tập hợp con không giao nhau, mà tổng những phần tử trong chúng bằng nhau
Câu 6:(3 điểm):
Cho a,b,c là các sồ thực dơng.Chứng minh rằng:
c b a c b a a
c
c
b
b
.Hết
Trang 7Dự KIếN ÔN TậP
(Cảm ơn sự Giảng dạy tận tỡnh của thầy To n v thàn và th àn và th ầy Phạm Đại An-Bộ mụn
toỏn tin của trường THPT số 1 Bảo Yờn)
Một số: Đề thi HSG cấp tỉnh (Lào Cai) 2005-2006:
1.Giải hệ phơng trình :
a,
3 3
3 3
3 3
3
3
3
x z
z
z y
y
y x
x
b,
2006 2005 1
1 1
1
2007 2006 1
1 1
1
2006 3
2 1
2006 3
2 1
x x
x x
x x
x x
2.Cho đa thức P(x) bậc 4, đa thức P(x) có hệ số cao nhất là 1
Biết rằng : P(1)=10
P(2)=20
P(3)=30
Hãy xác định : P(10)+P(-6)
3 Cho dãy số :U0 U1 1
1
2 1
1
n
n n
U
U
U với n=1,2,3
a, Chứng minh rằng các số hạng của dãy số đều là các số nguyên
b, Xác định số hạng tổng quát của dãy số U n theo n
4.Cho hàm số : f :Z Z thỏa mãn các điều kiện
a.f f n n
b.ffn2 2n
c.f o 1
Hãy xác tính gá trị : f 1 ?;f 3 ?
5.Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn với AB<AC Điểm D là chân đờng cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A Một đờng thẳng đi qua điểm D cắt AC của tam giác ABC tại I (I A;I C) Điểm D nằm trên đờng thẳng sao cho AE vuông góc với
BE E D Điểm F nằm trên tia đối của IA sao cho AF vuông góc với CF Gọi M,N lần lợt là trung điểm của đoạn BC ,EF
a, Chứng minh rằng :ABC~AEF
b, Chứng minh ANMN