LỜI NÓI ĐẦULuận văn này trình bày về tích phân của dạng vi phân trên xích các hình hộp kỳ dị, bao gồm ba chương: Chương | chuẩn bị về dang vi phân, bắt đầu bằng việc về các ánh xạ k-tuyế
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Luận văn này trình bày về tích phân của dạng vi phân trên xích
các hình hộp kỳ dị, bao gồm ba chương:
Chương | chuẩn bị về dang vi phân, bắt đầu bằng việc về các ánh
xạ k-tuyến tính phản đối xứng từ đó định nghĩa dạng vi phân Cuối chương trình bày về ảnh ngược của dạng vi phân qua một ánh xạ khả
vi liên tục, đây chính là cơ sở để định nghĩa tích phân của dang vi
phân.
Chương 2 mở đầu bằng việc phát biểu lại công thức đổi biến
trong tích phân bội Tiếp theo trình bày về các hình hộp kỳ dj Từ đó định nghĩa tích phân của dạng vi phân trên các hình hộp kỳ di, mà
trong trường hợp đặc biệt tích phân của dang vi phân bậc một trên hình
hộp kỳ dị một chiéu, tức đường cong, chính là tích phân đường, tích phân của dang vi phân bậc 2 trên hình hộp kỳ dị 2 chiều, tức là mặt cong, chính là tích phân mat, Chương 2 kết thúc bằng sự khẳng định
rằng tích phân của dạng vi phân không phụ thuộc cách tham số hóa.
Mục đích của chương 3 là trình bày định lý Stokes hiện đại Ty
định lý này, ta dễ dàng thấy các định lý cổ điển như Green,
Gauss-Ostrogradski, Stokes cổ điển là các trường hợp đặc biệt
Mặc dù trong luận văn này, định lý Stokes chỉ được trình bày trên
các xích kỳ dj, nhưng nó cũng là phần mở đầu cho tích phân trên đa
tạp Đó là hướng mở rộng của luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn thay Lê Hoàn Hóa đã tận tình hướng
dẫn em hoàn thành luận văn này Nhân dịp này, em cũng xin được tỏ
lòng biết ơn tất cả thdy cô trường Dai Học Sư Phạm, đặc biệt là các thay cô khoa Toán đã dạy dỗ em trong suốt những năm đại học.
Lần dau tiên nghiên cứu khoa học, không thể tránh những thiếu
sót, kính mong quý thầy cô chỉ dạy thêm.
Trang 3Chương 2: TICH PHAN CUA DẠNG VI PHÂN 17
1 Hi hộp Kỹ để goi gác i46 (toi sáGssss¿e 18
Trang 4Chương 1: DANG Vi PHAN l
Chương I
DANG VI PHAN
GVHD:PTS.Lé Hoàn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương
Trang 5Chương I: DANG VI PHAN 2
Trước khi tính tích phân của dang vi phân trên xích các hình hộp kỳ dị, ta
cin có những khái niệm về dạng vi phân Do đó, mục đích của chương này là
nhằm giới thiệu về các dạng vi phân, bất đầu bằng việc trình bày về các hàm đa
tuyến tính phản đối xứng sau đó định nghĩa các dạng vi phân.
1 ĐẠI SỐ NGOÀI
1.1 Hàm đa tuyến tính đối xứng
# Dinh nghĩa
Cho k, n là hai số tự nhiên, k < n, ánh xạ f: R"x R"s 2 R® (k lần) —>R là
k tuyến tính nếu f tuyến tính theo mỗi biến khi (k-1) biến còn lại cố định, nghĩa là:VỚi vị , Voy vụ © R”, ta có ;
HL ECV 5, V2u Vị + Vị peony Vu) = Ê (Vy, V2¿ ,V;„ ,Vy) + L(V), V2¿ , Vị ones Ve)
2V £ (V1, Vạ, , ÀV;, Vy) = AF (Vy, Vạ„ V;„ ,Vy), VOI MOIA E R.
Ký hiệu : L* (R", R) là không gian các ánh xa k tuyến tính.
Trên L* (R”, R) ta định nghĩa :
Với f, g e LỲ (R”,R), a © R thì f +g và af thuộc L* (R",R) định bởi :
(Fg) (Vì, Vạ, Và) = Ê (VỊ, V2 yee Vad + 8V, V2 „ ,Vy)
(af) (Vụ, Va, Vvỳ = af (Vị, Vạ, ,Vy).
1.2 Hàm đa tuyến tính phản đối xứng
# Định nghĩa
Hàm k ~ tuyến tính f, f ¢ L* (R°, R), được gọi là phản đối xứng nếu :
£ (Vụ, V2, vVị vá VỊ vá Vi) == Ê (VI, V2 yeee Vj se2 VỊ peeve Vid
với VỊ, V2, , Ve € R’, Isi<j Sk.
Tập hợp tất cả các hàm k-tuyến tinh phản đối xứng trên R° là không gian
vectd con của L* (R”,R), ký hiệu là A* (R”).
Nếu f e A*(R®) thì f (vụ, Vạ, V; yey Y;„ Va) = 0 mỗi khi tổn tại i<j mà v, = v,
Thật vậy, ta có:
f(V\, Vạ, vV¿v Vị pene Vụ) = - £ (VỊ, V2, VVi gery Vi grees Vy)
do đó (Vị, Vạ, ,Vị „ , Vị„ , Vy) =O.
1.2.1 Biểu thức của ham k-tuyến tính phản đối xứng
Cho {¢), ©; e„} với e, = (0,0, ,1,0,0) (thành phan thứ i bằng 1) là cơ sở
chính tắc của R°.
GVHD:PTS.Lê Hoàn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương
Trang 6Chương I: DANG VI PHAN 3
Đặt p, : R° OR, i = 1,2, ,1, Py = (Xị, Xz„ Xu ,Xụ) = Xj là phép chiếu thành
phần thứ i , thì p, là ánh xạ tuyến tính (có n phép chiếu)
Cho f € A* (R") và vị, vạ, vụ € R” định bởi
Vị = (i1, 82, y địa) = App ©ị + Ai2€2 + + Bn Se
V2 = (82, 822, Aan) = 82¡ ©¡ + Aq? C2 + + Any ©„
Vic = (x1, 8ụ2, , Aen) = Ags ©¡ + Ayn C2 + + đạn Cy Đặt A = [ay), i= 1/2, ,k; j = 1,2, 0 là kx n ma trận
Ta có : f (Vị, Vạ, , VY) = ate (1) 326 ( -âto ey f (Cpa) + Once os Coens)
Tổng vế phải được lấy theo mọi ánh xa o: (1,2, ,.k} —> {1,2, ,0}
Nếu o không đơn ánh, suy ra tổn tại i <j sao cho ơ (i) = ơ (j), do f là ánh
xạ k-tuyến tính phản đối xứng nên : f (,„,,®.„„;„ ,8„„) = Ö
Do đó, trong tổng trên ta chỉ xem các số hạng ứng với o đơn ánh Khi đó,
(ơ (1),ơ (2), ,ơ(k)) là một chuyển vị của ơ (1,2, ,k) = {j\, jz ded
Với mỗi tập con S = {jt, j; „ ie / jn < ja < < jy} chứa k phẩn tử, theo thứ
tự, của {1,2, ,n}, xem ma trận vuông k x k, A, là ma trận con của ma trận A gồm
các cột jj, jo, j theo thứ tự, đặt det (A,)là định thức của ma trận A,.
f (€ø (ty €s (2-.-› ®ơ @)) = & (Ø) f É, 18), 8), )
Vậy nếu đặt : e, =(e, Oj, yey ), ta CÓ :
= 819 1) day ++ - áo ay £ (ge) »Gaeg vn» Pog = đetA,.f (€,)
Vậy : f(v, vạ, Vs) = 3` detA,f(e,)
Tổng vế phải lấy theo tất cả các tập con S chứa k phan tử phân biệt của
tập (1,2, n].
Đặt p, A P,, ^ ^ p, là làm k tuyến tính phản đối xứng định bởi :
với Vị, Vạ „ , Ve € R” cho bởi :
Vị = (011,8i2, -v8in) = 8¡¡€¡ + A12€¿ + Bin Ce
GVHD:PTS.Lé Hoàn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương
Trang 7Chương I: DANG VI PHAN 4
V2 = (821, 822, ,32a) = Agye) + A202 + + 82a Cy
Vụ = (Akt, Dxay -skn) = âx¡ Cyt Av2©2 + + Bin Cy
Dat A = [ay], i= 1,2, , k, j = 1,2 ,n là kx n ma trận, ta định nghĩa :
Pap, AAP, (Vị, V+, ,Vy) = det [ A, Ay Ay, ]
Trong ao A,A, Aj, là ma trận vuông kk, gồm k cột
A, ,Aj,. -vAj, của ma trận A,
1.2.2 Định ly (1,1.2.2)
Với k, n là hai số tự nhiên, k < n, không gian A* (R") các hàm k tuyến tính
phản đối xứng trên R", có số chiéu là :
Vy = AyyOy + AygOa t+ + AynO,
với §= tin +k see ke! ji <h< „ò< jk}.
Đặt f Í®,, ,@, ®, )= a, thì f= So apap, AAP,
Giả sử f = AT
Tổng số ở vế phải, các số hạng tương ứng với S # S’ đều triệt tiêu, trừ số
hang Pj, ^ Py, ^ ^ Py, Bacon) =1
Vay f (e, e, e,.) =a, =0
với mọi S* = (j"1,.j"2 wn i’x/j'1 <i'2< <i}
Vậy suy ra các phẩn tỬ prap a AP,.,l<ji<jz¿< <j¿< nlàm
Trang 8Chương I: DANG VI PHAN 5
Ví đụ :
1.Trong không gian A' (R”) = L (RÌ, R) Có dim A! (R3) =3.
Cơ sở của A’ (R”): py, pa, Pa
-Với fe A‘ (R”), f= ap + bpạ+ cp, với a, b,c e R,
với x © RỶ, x = (xj, X2, Xạ) thi:
f(x) = (ap; + bp2 + cps ) (Xj, X2, Xạ)
= apy (Xj, Xz, Xs) + Dp (Xj, Xz, X3) + CPs (Xị, Xa, Xã)
= ax; + bxX2 +CXạ.
2.Không gian A? (R°) có số chiéu là C? =3
Cơ sở là p¡A P2, Pì A Pì , D2A P3
Với f A? (RÌ), f= apiA pa+ bpiaps + CPzA P›
Với x,y e RÌ, x= (XỊ, Xa, Xà), V= (Ys Y2 Y3)
f (x,y) = ap; A p¿(X,Y) + bp; A pa(X,Y) + €P+A ps (x,y)
a + X; + 'h X; nh X;
ee ¥ Ys > Ys
=a (XiY2— X21) + (Xia — Xa¥D + (XY3 — Xã Y2)
3.Trong không gian A” (R°) thi dim A’ (R*) = C} =1
Cho 2 số tự nhiên k, | sao cho k +1 <n và f e A‘(R"), g e A(R").
Ta định nghĩa tích ngoài của f và g, kí hiệu f x g, là hàm k + l tuyến tính
phản đối xứng trên R°, xác định như sau :
Với f= pa 8, Ð, A Py A A P,.E= 2) by Py A Py, A.A Dự,
Trong đó:
S} = [Tu ae je) <j`):< <j`v Hà tập hợp con của (1,2, ,n} thi:
fig= » 8yÐy' Ð, A Pị, AAPL A Py A Py A.A By,
GVHD:PTS.Lê Hoàn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương
Trang 9Chương I: DANG V1 PHAN 6
Tổng số vế phải được lấy theo mọi tập S chứa k phẩn tử, S’ chứa | phdn
tử trong {1,2, ,.n} Nếu SOS’ # Ø thì số hạng tương ứng triệt tiêu.
4i) (af)x g=afxg với mọi a c R.
i) Giả sửf= 2, asPpA Py A.A P 6= 2 bs P;, A PỊ, A A Py
h=), Ce Py A Pp A A Dy
Trong đó S = (jy, jay oes jue / ji <ja< <i Ì, S’ = {i's cred k/ jJi<j'2< J's),
Se (jas aed p/ J r<i''2< « <j''p } là các tập con của ( 1,2, ,n}
Ta có :
(f‹g)xh = (2 aby PA Py A A PAP, Ap A.A Py > Cer Py A Pp Á -^ Pie
5
= >3 Dy Cy PL AP) A.«A PL AP, AP) AeA Py A Pp A Pp And De
= 3 A,Ð, A Ð,, A.A Dlx p> byte Pp A Pp, A A Py A Pp A Pp A A Pp,
su? Ady P, AP) Awe APL AP, AP, A A Py
= (-1) È Ady ĐA D,, Aw ADL Pp APL AP, Ave A Pp
=(-1) 5) ade Py, A P, A Pị, Ao APLAR), Avs A Py,
fxf=2abp,a p,A p, ap, #0
2.fe A*(R"), nếu k lẻ thì f „ f =0
Thật vậy, theo 2i của tính chất trên.
GVHD:PTS.Lê Hoàn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương
Trang 10Chương I: DANG VỊ PHAN 7
2 DANG VI PHAN
Cho D là tập mở trong R" , f: D + R khả vi tai mọi x e D Vi phân của f
tại x định bởi df(x) = FS wax,
Đặt a(x) -2 vi= 1,2, 0 , dX = (AX), , dx.) € R* thì
df(x) = , a, (x) dx; Với x cố định, thì df (x) là hàm tuyến tính theo biến dx từ
Trong đó p, : R® => R là phép chiếu thành phần thứ i, a, : DR, i=1,2, ,.n
Với mọi h = (hị,hạ, ly) € R" thì
o(xy(h)= 2, aG)pđ)= 2, a(x) hy.
int i=)
Vi dụ : :
D là tập mở trong R°, f : D ~> R khả vi trên D với x e D, đạo hàm f(x) e L (R*, R)
th vi phân của f tại xà: df (x)= P(x) (dx) = xpd,
‹
Nếu đặt h = dx, thì df(x)(h) = f(x)(h) => 2 cw,
Vậy nếu f khả vi trên D thì vi phân df là một dạng vi phân bậc 1 trên D.
Tuy nhiên, không phải một dạng vi phân bậc 1 trên D đều là vi phân của hàm f
(x) = 3 A/#MP, A Pi, A ¬-A Py
trong đó S = ÍÏ, jas jx/ jy <j2< <ju } là tập con của {1,2, ,0)
Với x cố định thi (x) e A* (R® ) là hàm k tuyến tính phản đối xứng.
Nếu với mọi S, a, : D — R thuộc lớp C? (D), ta nói œ là dạng vi phân thuộc lớp C? (D).
GVHD:PTS.Lê Hoàn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương
Trang 11Chương !: DẠNG VI PHAN 8
Với x € D, vụ, V„ ,vy cho bởi ;
Vị = (Arty Apa, Ate) „ V2= (32t, 8224 32a), Vie = (3ï, âx2, , Bice)
Đặt A = [ay], i= 1,2, n là k › n ma trận với
S = [jt, Jx du’ jt < Ja< <j¿ }, là tập con của {1,2, n}, đặt A, là kx k ma trận
con của A gồm các cột A,,Aj,, Aj, (theo thứ tự),
Với u, ve RÌ,u =(0¡, Us, us) ,V=(V¿, Vạ, Vạ)
thì c(x) (u,v) = a(x)p; A po (u,V) + b(x)p¡^ ps (u,v) + C(X)p2 ps (u,v)
2.3 Vi phân của dạng vi phân
Cho D mở trong R", ta quy ước dạng vi phân bậc 0 là hàm f: D> R.
Cho f : D — R là hàm khả vi, f là dạng vi phân bậc 0, khi đó vi phân của f, df là dạng
vi phân bậc 1 trên D, định bởi, với x e D, x e R", u= (uj, u¿, ,U„),
thi df (x) (u) = > S wou,
Trang 12Chương I: DANG VI PHAN 9
3.1 Dink nghia :
Cho D là tập mở trong R", œ là dạng vi phân bậc k trên D, k Sn, thuộc lớp
C'(D) có dang: @(x)= Fo a(x)P, A Py A ^ Py VOUS = (ji, janie! ju <ja< <x),
là tập con của (1,2, ,n}, a, € CỶ (D), ta định nghĩa :
Vi phân của dang vi phân œ là dạng vi phân bậc (k+1) trên D định bởi :
da(x) = Da da, (x) x(P, ^ PỊ, Aww P,,)
trong đó da, (x) = >= wp, là vi phân của a,(x).
ki
Ta gọi de(x) là vi phân của dang vi phân @
2.3.2 Định lý (1, 2.3.2)
Cho D là tập mở trong R”, f : D > R là hàm khả vi trên D và œ là dang vi
phân bậc k trên D Giả sử f và œ thuộc lớp C? (D)khi đó ta có :
Trang 13Chương I: DANG Vì PHAN 10
= 2, (df) a,(X)xÐ, A Py A APL + » f(x)da,(x)xP, A Py A ^ Py
= py a(X)df‹P, A P, A ^ P„+ » f(x)da,(X)xÐ, A P, A ^ Py
4i) GiảsỬ œ; (x) = > 8, (X) Ppa Py A.A Py
@2 (x) = x by (X) Py A Py, Av A Dy, Thi @; (x) x @2(x) = p> a/(X) by (X)P, A Py Aww A PLA Py A Pp And Pp
đ (@¡ x @;)(X) = » d(a,(X)) Ðạ(X)xÐ, A Py AA Pl A Py A Py, A.A Dy +
¬ » a, (x) d(by (X))xÐ, A Pi A A PL AP, A Pp A A Dy,
= da; x @2 + (-1)* » A(X) Py A Pj AeA Py A Py xdby(x) xÐ,, A Py, A ^ Py,
= đ@y x (0+ + (-1)* ` daw
5ï) đổ = Ông,
Giả sử œ(x) = 5” Ms (X)P, AP A ^ Py,
S = (js, je - k (Ji <Ja< <jv } là tập con của {1,2, ,n)
Ta có dø@(x) = 3` đa, (x) xP, ^ Py A ^ Py
s
Do da, (x) là dạng vi phân bậc1, nên theo 4i, ta có :
Po = 5%) da (xP apy va Py C1)’ S) đay(X) xđ(P, apy A ^ Py)
GVHD:PTS.Lé Hoàn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương
Trang 14Chương 1: DANG VI PHAN 1]
=0+0= Ôn my
Do dỔa, (x)=0, đ(P, A Pp, A A P,) =0
Vậy định lý được chứng minh.
Ví dụ :
1 œ là dang vi phân bậc | trên tập mở D, D c RỲ
có dạng : w(x) = a(x)p; + b(X) p; + € (x)p›, a,b,c e CỶ (D) vi phân của w(x) là :
-| oa a §
do(X) = 2c, GÓP +5 OOP, tác 009, p+
ab ob 8b oe oc œ
+ (Zoe, + ax, OOP + mx, oop, > Pp, (Zeon, +, GÓP, + Tủ) xP,
ab ða ôc, ôa a ab
dœ(x) = ($2 e, x PiAP2 (320) xPIAPa + [$2 e»): P2APs
int OX, tet OA; et ÔN
Trang 15Chương I: DANG VI PHAN 12
2.4 Dạng đóng - dạng khớp
2.4.1 Định nghĩa :
œ là dạng vi phân bậc k21 trên một tập mở D c R” được gọi là dạng đóng
nếu dw = 0.,„„.„,„ © được gọi là dạng khớp nếu tổn tại dang vi phân 9 bậc k -1
sao cho đÔ = œ
* Nhận xét :
Nếu @ là dang vi phân khớp thì hiển nhiên œ là dạng đóng,
do do = 40 =
0, „.„-Vấn để đặt ra : Mọi dạng đóng đều là dạng khớp ? Tổng quát, câu trả lời là
không đúng ngay cả trong trường hợp dạng vi phân bậc 1 trong R’ Tuy nhiên,
nếu D thỏa mãn một số tính chất đặc biệt thì một dạng đóng trên D sẽ là dang
khớp.
2.4.2 Định nghĩa :
Tập mở D trong R* được gọi là tập hình sao nếu tổn tai xo € D sao cho với moi
x € D, đoạn thẳng [xo, x] = {(1-t)xo + tx, t e [0,1]} chứa trong D.
Hiển nhiên, nếu D lồi thi D là tập hình sao
2.4.3 Bổ đề Poincaré Cho D là tập mở hình sao trong R" , khi đó mọi dạng đóng trên D đều là
đạng khớp.
Chứng minh
Ta có thé gid sử 0,, eD và với moi x € D, đoạn thẳng [0,x] = (t,te[0,1]}
chứa trong D.
Ta sẽ thiết lập ánh xa f: A*(R°, R) > ATM' (R®, R) cho tương ứng mỗi œ là
dang vi phân bậc k, f(w) là dạng vi phân bậc (k-1) thỏa mãn.
FOs„.„y}= Ô<„-„; và @ = f(deo) + df(@) khi đó thì nếu œ là dạng đóng thì œ
Trong đó dấu a trên p, nghĩa là bỏ p,
Đồng nhất thức œ = f(deœ) + df(w) được tính trực tiếp như sau :
GVHD:PTS.Lê Hoàn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương
Trang 16df(w) + f (dw) = zn t* 'seot+ {fs t'x oat] Py AP, AA Py
~ y|ÌTew=eoa| Py, A Dy, A.A Py
=
Vậy định lý được chứng minh.
2.5 Anh ngược của dang vi phân
2.5.1 Định nghĩa
Cho D là tập mở trong R°, V là tập mở trong RTM và f : D —›V khả vi liêntục, f = (fj, fo, , f„) với mọi x e D, f (x) e L (R°, R”)
Đặt Œ' (V), Œ (D) là không gian các dạng vi phân bậc r trên V và D theo
thứ tự Khi đó 0 (V), Q' (D) là không gian vectơ hữu hạn chiều trên R
Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tinh f* : OF (V)—> QF (D) như sau :
với œ(y) = ø(y)Q, A Q, A A Q, € G (V) thi:
Trang 17Chương I: DẠNG Vi PHAN : 14
ii Cho D, V là tập mở trong R, f: D-> Vkhả vi liên tục,
f = (fy, f;, ,f,) ChQ (Y) = E(Y) Pi^P2A A Pa thì
ii Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp œ € NF (V), 8 EN" (V) có dạng:
oy) =a (y)Q, Ag, A.A GQ) ;8(y)=b(y) Gy A Gy, A ^ GQ,
Khi đó (œ x )(y) = a (y) b(y) GQ) AG) AA GAG, A Gy ÁA.:A Gy
Ta có f° (coxO)(x) =a (f(x)) b(f(x)) f°, (x) x + f'„ (x)xf',(X) x + TO)
=f (@) x f (6).
Trường hợp @, 6 là dạng vi phân tổng quát, công thức vẫn đúng do tuyến tính của f.
iii, — @(Y) =6(Y)P(AP2A A Pa t4 CÓ :
f (œ)(x) = gC F(x) F(x) x Fox) x x F'„ (x) ă
af, at Trong đó f; (x) = x, OF +5, OOP: tot BOOP,
Suy ra: f )(x) x f'2(X) x x f',(x) = det f'(X)PILAP2A A Pn
Vay f° (@)(x) = g(f(x)) det f (x)piapra a Ps
iv, Giả sử œ(z) = a(z) II, a II, A A II, voill,: RXR định bởi
Cho f: R? + RỶ, f(u, v) = (u + v, cosu, vsinu)
a @; là dang vi phân bậc | trong RỶ,
(0¡ (X,Y,Z) = XQi - YZq = Zq)
Ta có : f (@;) (u,v) = f'(xq, — YZQ2 — 2h)
GVHD:P7S.Lê Hoàn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương
Trang 18Chươag : DẠNG VI PHAN 15
= x (f(u,v)) f; (u,v) - yz (f (u,v))f; (u,v) —z (f (u,v)) f3 (u,v)
Suy ra
f (@,)(u,v) = (u+v)(p; + p2) — vsinu cosu (- sinu p,) — V sinu(vcosu p; + sinu p;)
Vậy f (@,)(u,v) = (u + v + vsinÖu cosu + v’sinu cosu)p; — (u+v+vsin2u)p;.
b @;(X,y,Z) = ©ÏQiA G2 — YZ¡ A Qà + XG24 Qs
Ta có :
f ` (@;)(u,v) = e*(f(u,v))(qi of (X))s (qaef'(x)) — yZ(f(u,v))(qiefF (x) « (q»ff(X)) +
+ x (f(u,v))(Q; sfŸ()) + (q»ef(x))
= e*“Ý (Py + pa) « (- sinu Pi) ~ V sinu cosu (pi +p2) x (V cosu p¡ + sinu p2)+
+ (u+v) (- sinu p;) « (Y cosu p; + sinu px)
=e°**(sinu pạ A Ð;) — V sinu cosu (sinu p;A p; - Y cosu pA p;) + (u+v)(- sin Ẩu py pr).
= [e°** sinu — v sin*u cosu + v sinu cos*u ~ (u+v) sin*u) p; A Pa.
Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp
Với w(y) = g (y)q:
Vậy suy ra f(de) = d(f(w))
Giả sử công thức đúng với mọi 1< r < k
GVHD:PTS.Lê Hoàn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương
Trang 19Chương I: DANG VỊ PHAN 16
Cho œ là dang bậc k, @ = @ x n bậc của 6 x n nhỏ hon k và bậc của 6 là r
Cho D là tập mở trong R", f:D->R" khả vi bậc 2 liên tục, và ánh xa ngược
f!: f(D)—›D khả vi bậc 2 liên tục Giả sử mọi dạng đóng trên f(D) là dạng khớp,
khi đó mọi dạng đóng trên D cũng là dạng khớp.
Chứng minh
Cho œ là dang đóng trên D, dm = 0
Do (f')”(d@) = d((f')*(@)), nên (f")"(@) là dang đóng trên f(D)
Vậy tổn tai dang n trên f(D) để (f”)”(œ) = dy
Xem ( (n) là dang vi phân trên D
Ta có : œ = (f„f) (@) = f(Œ)ˆ(e)] =f dn)
= d(f(n))
suy ra œ là dạng khớp.
Vậy hệ quả được chứng minh.
GVHD:PTS.Lê Hoan Hóa SV: Nguyễn Hòng Khương
Trang 20Chương 11:TÍCH PHAN CUA DẠNG V1 PHAN
Trang 21Chương II:TÍCH PHAN CUA DẠNG Vi PHAN 18
Trong chương này, ta sẽ thường xuyên sử dung định lý về sự đổi biến trong
tích phân bội Do đó, ta sẽ phát biểu lại định lý đó ở đây.
Định lý : Cho D là tập mở trong R°, g : D -> R° đơn ánh, khả vi liên tục va
detg'(x) # 0 với mọi x c D, khi đó đối với mọi hàm khả tích f : g(D) + R thì
fi f(x) dx = J (f,gXXx)|det g'(x)}du
1, HÌNH HỘP KỲ DỊ :
1.1 Định nghĩa :
Cho p, n là hai số tự nhiên, n 2 p, tập I? = [ay, by) x (a2, bạ} x « [a;, bạ],
a, < by, i= 1, 2, p là hình hộp trong R° Hình hộp kỳ dị p- chiéu trong R" là một
ánh xạ liên tục c : IŸ => R°.
Nếu ánh xạ c khả vi liên tục, ta nói c là hình hộp kỳ dị p-chiểu khả vi Trong
phần này ta giả sử c là hình hộp kỳ dj khả vi
1.2 Hình hộp kỳ dị thông dụng :
1.2.1 Đường cong trong R" :
Hình hộp kỳ dị 1-chiểu c : (a, b] => R" là đường cong trong R°,
c(t) = (x(t),X;(t), Xa(t)) với t e [a, b] Tập c[a,b] = (c(t) œ R” /t e [a,b]} là đường cong ảnh của c c(a) là điểm đầu, c(b) là điểm cuối Khi t thay đổi từ a đến
b, c(t) đi chuyển trên đường cong ảnh từ điểm đầu c(a) đến điểm cuối c(b).
Vectơ c'(0 (1) = (0 = (x¡`(Q, x¿`(9, «++» Xe'(t)) là vectơ vận tốc tại t.
Nếu c'(t) # 0,, thì đường cong ảnh của c tiếp xúc tại điểm c(t) với đường qua c(t)
có vectd chỉ phương c'(t) [e(Đ|,= í Lewy là vận tốc số tai t.
Nếu c(a) = c(b) ta nói (c) là đường cong kín Nếu c đơn ánh trên [a,b], ta
nói c là đường cong Jordan.
Một đường cong kín không tự cất, nghĩa là không tổn tại a St, <t, $b sao cho c(t) = c{t), là đường cong Jordan Nếu (c) là đường cong Jordan thì chiéu dài
b
của (c) cho bởi Kc) = fj c(t) ||, dt.
Cho @ : [a, ð] —> [a,b] là phép đổi biến t = o/s), nghĩa là @'(s) # 0 với mọi
s € (a, ð] (khi đó ~"(s) > 0 với mọi s hoặc @ˆ(s) < 0 với mọi s).
Khi đó c¢.@ : [a, B) > R” là đường cong trong R° có tính chất :
Đường cong ảnh c{a, b] = cạo (œ,Ð}.
Trang 22Chương 11:TÍCH PHAN CUA DANG VỊ PHAN 19
Nếu @'(s) > 0 với mọi s thì chiéu chuyển động của c(t) và co@(s) trên đường
cong ảnh cùng chiều, từ điểm đầu c(a) = c;o(œ) đến điểm cuối c(b) = c„0(B)
Nếu @'(s) < 0 với mọi s thì chiểu chuyển động của c(t) và c„o(s) trên đường
cong ảnh ngược chiéu : điểm đầu của (c) c(a) = c„œ(0) điểm cuối của c„p, điểm
cuối c(b) = c;@(œ) điểm đầu của cạo
(Cop)"(s) = €(@ (s)).@'(s) nên "(9 và (c„@)'(s) cùng chiều nếu @*(s) > 0,
ngược chiéu nếu @'(s) < 0.
1.2.2Mặt cong trong R` :
Hình hộp kỳ dị 2-chiểu trong RỶ, c : IỶ -> RỶ với (u, v) e I’,
c(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) là mặt cong trong RẺ.
Tập ảnh c{?) = {c(u,v) e RỶ/ (u,v) € IÝ) là mặt cong ảnh của (c) Nếu
khử u.v giữa x, y, z ta được phương trình @(x, y, z) = 0 là phương trình Descartes
của mặt cong ảnh.
*Tích vecta trong R’ : Cho a = (aj, a9, ay), b = (bạ, bạ, bạ) thuộc RỶ, tích vectơ của
a và b, ký hiệu axb (theo thứ tự) là phẩn tử của RỶ định bởi :
axb = (ab; — asbạ, ayÐby — abs, aby — a;by)
*Tinh chất :
VY aub=-b:a
2i/ a x b trực giao với a, b, nghĩa là <a, axb> = 0, <b, axb> = 0
3i/ det (a,b, axb) = fax bj.
Từ đó nếu asb # 0,, thì bộ ba vectơ a, b, axb (theo thứ tự) là một cơ sở theo chiểu |
thuận trong R’, nghĩa là nếu đứng theo hướng axb thì chiéu quay từ a đến b ngược
Giả sử vectơ ee O,, thì =.= là vectơ pháp tuyến của mặt (c)
tại điểm c(u,v)
Do c khả vi liên tục, I liên thông và
bộ ba 2 AX là một tam diện thuận, nên vectd ee luôn hướng về
một phía của mặt (c).
GVHD: PTS Lê Hoàn Hóa “cường Cai Ze Su Sham) sv: Nguyễn Hing Khương
tT? — — ~
