Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 tìm hiểu về Ứng dụng của tích phân trong phần 6 3, james stewart, troy day biocaculus

Phân tích vấn đề: Đặc điểm của kích thước trong một quần thể: Các cá thể trong một quần thể luôn tiếp tục được thêm vào quần thể trong khi một số cá thể hiện tại đang dần chết đi.. Gọi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1

Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân trong phần 6.3,

James Stewart, Troy Day - Biocaculus

NHÓM L17_14

GVHD: TS.Trần Ngọc Diễm

ThS.Nguyễn Ngọc Quỳnh Như

Đề tài: Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân trong phần 6.3, James Stewart, Troy Day

- Biocaculus

GHI CHÚ (NẾU KHÔNG THAM

GIA)

Nhận xét của giảng viên hướng dẫn:

MỤC LỤC

1 SURVIVAL AND RENEWVAL 4

1.1 Phân tích vấn đề: 4

1.2 Lập hàm: 4

1.3 Mở rộng: 6

1.4 Ví dụ: 6

2 BLOOD FLOW 8

2.1 Giải thích các đại lượng: 8

2.2 Phân tích vấn đề: 8

2.3 Ví dụ: 10

3 CARDIAC OUTPUT 11

3.1 Giải thích các đại lượng: 11

3.2 Phân tích vấn đề: 11

3.3 Ví dụ: 13

4 KẾT LUẬN 14

1 SURVIVAL AND RENEWVAL

1.1 Phân tích vấn đề:

Đặc điểm của kích thước trong một quần thể: Các cá thể trong một quần thể luôn tiếp tục được thêm vào quần thể trong khi một số cá thể hiện tại đang dần chết đi

Suy ra: Để tính toán được kích thước quần thể ở thời điểm tương lai tại bất cứ thời

điểm, chúng ta cần quy đổi những thay đổi trong kích thước (số lượng hiện tại, tỉ lệ sinh, tỉ lệ tử, ) thành các hàm phù hợp với từng thay đổi

1.2 Lập hàm:

Ta có tại thời điểm 𝑡 = 0, số lượng cá thể tương ứng là 𝑷

Gọi hàm 𝑹(𝒕) biểu thị số lượng cá thể được thêm vào trong quần thể trong một đơn vị thời gian

Gọi hàm 𝑺(𝒕) biểu thị phần trăm các cá thể còn sống sót trong quần thể sau thời gian 𝒕

+ Ví dụ: S(5) = 0,8 biểu thị rằng sau 5 (đvtg) tính từ t = 0, còn sót lại 80% cá thể

từ thời điểm ban đầu

Ta suy ra được tích (𝑺(𝒕) ∗ 𝑷) biểu thị số lượng cá thể ban đầu còn sống sau khoảng thời gian 𝒕

Ta sử dụng tổng tích phân Riemann để tính số lượng cá thể được thêm vào trong quần

thể sau T (đvtg):

+ Chia khoảng thời gian [𝟎, 𝑻] thành 𝒏 khoảng, mỗi khoảng có độ dài ∆𝒕 =

𝑻/𝒏, lấy 𝒕𝒊 là giá trị bên phải của tất cả đoạn chia

+ Trong khoảng thời gian ∆𝒕 này số lượng cá thể được thêm vào là (𝑹(𝒕𝒊)∆𝒕)

⟹ Ta gọi hàm S(T – 𝒕𝒊) là phần trăm số lượng cá thể mới thêm vào sống sót đến thời

gian 𝑻

⟹ Số lượng cá thể được thêm vào trong khoảng chia 𝒏 còn sống sót đến thời điểm 𝑻

⟹ Tổng các cá thể được thêm vào sống sót tới thời gian 𝑻 được tính xấp xỉ là:

∑(𝑹(𝒕𝒊)∆𝒕) 𝑺(𝑻 – 𝒕𝒊)

𝑛

𝑖=1

Khi khoảng chia n tiến ra vô cực, tổng Riemann tiến dần đến tích phân:

∫ 𝑺(𝑻 − 𝒕)

𝑻 𝟎

𝑹(𝒕)𝒅𝒕

Gọi 𝑷(𝑻) là hàm để tính kích thước quần thể sau khoảng thời gian 𝑻:

𝑷(𝑻) = 𝑺(𝑻) ∗ 𝑷 + ∫ 𝑺(𝑻 − 𝒕)𝑹(𝒕)𝒅𝒕

𝑻 𝟎

1.3 Mở rộng: Tuy công thức trên áp dụng cho quần thể, nó cũng áp dụng cho các

tình huống khác như việc tính lượng thuốc còn lại trong cơ thể sau một thời gian khi

cơ thể đang loại bỏ thuốc đó

1.4 Ví dụ:

1.4.1 Một thành phố hiện có 30,000 người và số dân trong thành phố đang tăng với tỉ

lệ 2000 người / năm Nếu phần trăm số dân còn sót lại trong thành phố sau t năm được

cho bởi hàm S(t) = 1 / (t + 1), thì sau 7 năm số dân trong thành phố là bao nhiêu?

Ta áp dụng công thức như trên, với P = 30,000 , R(t) = 2000 và T = 7:

𝑃(7) = 𝑆(7) ∗ 𝑃 + ∫ 𝑆(7 − 𝑡) ∗ 𝑅(𝑡)𝑑𝑡

7 0

7 + 1 + ∫

1 (7 − 𝑡) + 1∗ 2000

7 0

𝑑𝑡

7 + 1 + 2000 ∫

1

8 − 𝑡

7 0

𝑑𝑡

7 + 1 + 2000 ( − 𝑙𝑛(8 – 7) + 𝑙𝑛(8 – 0) )

≈ 7909 người Vậy trong 7 năm tới sẽ chỉ còn khoảng 7909 người trong thành phố

1.4.2 Một loại thuốc được bơm vào cơ thể bệnh nhân với tốc độ 9 mg/h, trong khi cơ

thể người bệnh đang đào thải cùng loại thuốc sau t giờ, và phần trăm lượng thuốc còn lại trong cơ thể được tính theo công thức 𝑒−0,25𝑡 Nếu ban đầu trong cơ thể bệnh nhân

có 60 mg thuốc thì sau 8 tiếng lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân còn bao nhiêu?

Ta áp dụng công thức như trên, với 𝑃 = 60 𝑚𝑔, 𝑆(𝑡) = 𝑒−0,25𝑡, 𝑇 = 8 và

𝑅(𝑡) = 9 𝑚𝑔/ℎ:

𝑃(8) = 𝑆(8) ∗ 𝑃 + ∫ 𝑆(8 − 𝑡) ∗ 𝑅(𝑡)𝑑𝑡08

= (𝑒−0,25 ∗ 8 ) ∗ 60 + ∫ 𝑒−0,25∗(8−𝑡)∗ 9 𝑑𝑡

8 0

= 60𝑒−0,25 ∗ 8 + 9 𝑒−2∫ 𝑒0,25𝑡

8 0

𝑑𝑡

= 60𝑒−0,25 ∗ 8 + 9 𝑒−2 ∗ 4( 𝑒0,25 ∗ 8 − 𝑒0,25 ∗0)

≈ 39,24 𝑚𝑔 Vậy ước lượng sau 8 tiếng lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân còn 39,24 mg

2 BLOOD FLOW

2.1 Giải thích các đại lượng:

- 𝑣(𝑟): vận tốc máu chảy trong mạch máu (𝑚/𝑠)

- 𝑅: bán kính mạch máu (𝑚)

- 𝑙: chiều dài đoạn mạch máu (𝑚)

- 𝑃: chênh lệch áp suất máu ở hai đầu (𝑃𝑎)

- 𝑟: khoảng cách từ trục tâm đến điểm xét (𝑚)

- 𝜂: độ nhớt của máu (𝑃𝑎 𝑠)

- 𝐹: thể tích máu qua mặt cắt trên một đơn vị thời gian (𝑚3/𝑠)

2.2 Phân tích vấn đề:

Chúng ta xem dòng máu chảy trong mạch như một dòng chảy tầng, do có sự ma sát với thành mạch mà vận tốc chảy thay đổi dựa vào khoảng cách đến thành (𝑑), hay khoảng cách từ trục tâm đến điểm xét (𝑟) theo mối liên hệ: 𝑑 + 𝑟 = 𝑅

Càng sát thành mạch thì vận tốc càng tiến dần về 0, ta có định luật về dòng chảy tầng của Poiseuille: 𝑣(𝑟) = 𝑃

4𝜂𝑙(𝑅2− 𝑟2)

Để tính toán, ta chia nhỏ mạch theo các bán kính đều nhau 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑖 Diện tích tương đối của một vòng nhẫn giữa 𝑟𝑖 và 𝑟𝑖−1 là:

𝐴𝑖 = 2𝜋𝑟𝑖(𝑟𝑖 − 𝑟𝑖−1) hay 𝐴𝑖 = 2𝜋𝑟𝑖∆𝑟

Như vậy, khi ∆𝑟 đủ nhỏ thì vận tốc gần như không đổi, khi đó tổng thể tích của máu chảy xuyên qua một mặt cắt trên một đơn vị thời gian được tính theo công thức:

𝐹 ≈ ∑ 𝐴𝑖𝑣(𝑟𝑖)

𝑛

𝑖=1

= ∑ 2𝜋𝑟𝑖𝑣(𝑟𝑖)

𝑛

𝑖=1

Δ𝑟

Khi Δ𝑟 → 0 thì 𝑛 → ∞, ta được tích phân:

𝐹 = ∫ 2𝜋𝑟𝑣(𝑟)𝑑𝑟

𝑅 0

Áp dụng định luật về dòng chảy tầng: 𝑣(𝑟) = 𝑃

4𝜂𝑙(𝑅2− 𝑟2)

4𝜂𝑙(𝑅2− 𝑟2)𝑑𝑟

𝑅 0

Xét trên một đoạn mạch, chênh lệch áp suất máu không đổi, ta được:

4𝜂𝑙∫ 𝑟(𝑅2− 𝑟2)𝑑𝑟

𝑅 0

4𝜂𝑙∫ (𝑅2𝑟 − 𝑟3)𝑑𝑟

𝑅 0

4𝜂𝑙[𝑅2𝑟

2

𝑟4

4]

𝑅 0

2𝑅2

𝑅4

4)

4

8𝜂𝑙 (Định luật Poiseuille)

2.3 Ví dụ:

Một dòng máu chảy qua một mạch với bán kính 2.5𝑚𝑚, dài 20𝑐𝑚 và áp suất chênh lệch hai đầu là 380𝑃𝑎 Biết độ nhớt của máu là 0.0027𝑃𝑎 𝑠 Tính lưu lượng máu chảy qua mạch trong 1 phút Tìm vận tốc máu chảy trung bình

Áp dụng định luật Poiseuille:

4

𝜋 ∗ 380 ∗ (2.5 ∗ 10−3)4

−5 (𝑚3/𝑠)

Trong 1 phút, lưu lượng máu chảy được là:

𝑄 = 𝐹𝑡 = 1.0795 ∗ 10−5∗ 60 = 6.477 ∗ 10−4 (𝑚3) = 0.6477 (𝑙)

Ta có:

𝐹 = 𝐴𝑣 Với A là diện tích mặt cắt ngang của mạch máu:

𝐴 = 𝜋𝑅2 ≈ 1.9635 ∗ 10−5 (𝑚2) Vậy vận tốc trung bình của dòng máu là:

3 CARDIAC OUTPUT

3.1 Giải thích các đại lượng:

- Cung lượng tim (Cardiac Output): số lượng máu được bơm ra từ tim trong một đơn vị thời gian (đo bằng mL/s hoặc L/phút)

- Thể tích cuối systolic (End-systolic volume – ESV): thể tích máu còn lại trong

tỳ thất sau khi hợp tụ (systole), tức là khi tỳ thất bơm máu ra

- Thế tích cuối diastolic (End-diastolic volume – EDV): thể tích máu trong tỳ thất trước khi co bóp (diastole), tức là khi tim thả lỏng để máu từ các tỳ thất khác tràn vào

- Tần số tim (Heart rate): số lần tim co bóp trong một đơn vị thời gian (đo bằng nhịp/phút)

- Chỉ số cung lượng tim (Cardiac index): cung lượng tim chuẩn hóa theo diện tích bề mặt cơ thể Được tính bằng cách chia cung lượng tim cho diện tích bề mặt cơ thể (tính bằng đơn vị L/phút/m2)

3.2 Phân tích vấn đề:

Dựa vào chương 6.3 Biocalculus, hình 4 cho thấy sự liên kết giữa các mạch máu đối với tim của con người Quá trình hoạt động như một vòng tuần hoàn: máu trở về từ cơ thể qua tĩnh mạch, đi vào tâm thất phải của tim và được bơm qua động mạch phổi đến nơi nó tiếp nhận oxi – phổi Sau đó quay trở lại lá lách và tâm thất trái qua các tĩnh mạch phổi và ra cơ thể qua động mạch chủ

Cung lượng tim là một thước đo quan trọng cho sự hoạt động của tim và hệ tuần hoàn

Nó cho biết khối lượng máu mà tim có khả năng bơm ra trong một khoảng thời gian

cụ thể Đo lường cung lượng tim là một phương pháp quan trọng để đánh giá sự hoạt động tim mạch và xác định các vấn đề về lưu thông máu

Trong ứng dụng thực tế, để đo cung lượng tim, phương pháp phổ biến là sử dụng

phương pháp nhuộm màu Trong phương pháp này, một chất nhuộm được tiêm vào

hệ tuần hoàn và sau đó đo nồng độ chất nhuộm trong một mẫu máu Dựa trên sự thay đổi nồng độ chất nhuộm qua thời gian, ta có thể tính toán cung lượng tim bằng cách tích phân hàm nồng độ chất nhuộm theo thời gian

Một cảm biến đặt trong động mạch chủ sẽ đo nồng độ thuốc nhuộm rời khỏi tim theo

các khoảng cách đều nhau trong khoảng thời gian [0, T] cho đến khi thuốc nhuộm được loại bỏ Gọi c(t) là nồng độ thuốc nhuộm tại thời điểm t Nếu [0,T] được chia

thành các đoạn con có độ dài bằng nhau ∆𝒕 thì lượng thuốc nhuộm chảy qua điểm đo trong đoạn con từ 𝒕 = 𝒕𝒊−𝟏đến khi 𝒕 = 𝒕𝒊 xấp xỉ:

(Nồng độ thuốc nhuộm trong máu)(Thể tích máu) = 𝒄(𝒕𝒊)(𝑭∆𝒕)

Với F là tốc độ dòng chảy đang xác định Do đó tổng lượng thuốc nhuộm xấp xỉ:

𝐴 ≈ 𝑐(𝑡1)𝐹∆𝑡 + 𝑐(𝑡2)𝐹∆𝑡 + + 𝑐(𝑡𝑛)𝐹∆𝑡

Và khi n→ ∞, ta có lượng thuốc nhuộm:

𝐴 = ∫ 𝑐(𝑡)𝐹𝑑𝑡 =

𝑇 0

𝐹 ∫ 𝑐(𝑡)𝑑𝑡

𝑇 0

∫ 𝑐(𝑡)𝑑𝑡0𝑇

3.3 Ví dụ: Cho biểu đồ thể hiện hàm c(t) là hàm nồng độ thuốc nhuộm sau khi bơm

7mg thuốc nhuộm vào tim Hãy ước tính cung lượng tim

Từ đồ thị ta thấy giá trị t chạy từ 0 đến 16 Vậy 0 ≤ 𝑡 ≤ 16

Với 𝑏 = 16, 𝑎 = 0, 𝑛 = 8: ⟹ ∆𝑡 = 𝑏 − 𝑎

16 − 0

Áp dụng quy tắc Simpson: ∫ 𝑐(𝑡)𝑑𝑡

16 0

≈ 𝑆8

Ta có: 𝑆8 = ∆𝑡1

3[𝑐(𝑎) + 𝑐(𝑏) + 4 ∑ 𝑐(𝑡2𝑖+1)

𝑛−1

𝑖=0

+ 2 ∑ 𝑐(𝑡2𝑖)

𝑛−1

𝑖=1

]

= 2

3[0 + 4(6 + 6.7 + 4 + 2.1) + 2(7.4 + 5.5 + 3) + 1.7]

≈ 72.47

∫ 𝑐(𝑡)𝑑𝑡0𝑇 =

7

4 KẾT LUẬN

Tài liệu tham khảo: James Stewart, Troy Day, phần 6.3-Biocalculus: Calculus for the Life Sciences

Với sự phân công rõ ràng và cố gắng hết mình của các thành viên, nhóm chúng em đã hoàn thành đề tài được giao

Bài tập lớn này đã giúp chúng em:

- Trau dồi kĩ năng học tập và làm việc nhóm

- Có kiến thức mới để sử dụng và ứng dụng sau này

- Nâng cao tinh thần trách nhiệm của mỗi thành viên trong nhóm

- Có thêm kinh nghiệm về sử dụng phần mềm văn phòng

- Học được cách làm việc từ xa

- Có cơ hội được kết bạn và trao đổi kiến thức cùng nhau

Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến cô Trần Ngọc Diễm là giảng viên dạy phần lý thuyết và cô Nguyễn Ngọc Quỳnh Như là giảng viên dạy phần bài tập của môn này Dưới sự chỉ dẫn của cô nhóm chúng em đã giải quyết được những vướng mắc trong quá trình làm đề tài đã hoàn thành bài tiểu luận này đúng tiến độ

Tuy nhiên, do vốn kiến thức của chúng em còn hạn chế cũng như bỡ ngỡ về lần đầu làm bài tập lớn nên mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc rằng bài tâp lớn Giải Tích

1 này vẫn tồn tại một vài chỗ thiếu sót Kính mong các cô xem xét và góp ý để bài tập

lớn của nhóm chúng em hoàn thiện hơn

Nhóm L17_14 xin trân trọng cảm ơn các cô đã dành thời gian chỉ dẫn cho nhóm chúng em