Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Một cách xây dựng khái niệm và các tính chất của hàm ở trường phổ thông trung học

Một tương ứng T giữa tập hợp A và tập hợp B là một quy tắc cho mỗiphần tử x thuộc A ứng với một tập hợp con Tx của B.. TƯƠNG UNGA ` Tả ký hiệu TCX là một tập con của B được cấu thành bởi

BỘ GIAO ĐỤC - DAO TAO FRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP.HCM

Chuyên nganh: TOÁN GIẢI TÍCH

Giáo viên hướng dan: TS LE THỊ THIÊN HƯƠNG

Sinh viên thực hiệu: LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

THÀNH PHO HỒ CHÍ MINH

§ _ 2000

Lei ⁄2(4i “Đáu

qh"s.e Ằ.Ằ -.x*xư *} ẰẴTẨVẰ—~Y C4 AP AP Gf APMP AO APD MP AD Ap a aD Rp aD apap ap ap ae

LOZ 02 ‹ĐcỀ⁄

“X ach duh a ham x6 đâu lac nở ger han dang Mee yingday a

phe thing trang hor bi ubitng khdi neem geds lick ve bein, dl ein thébl che hoc uwh khe

vate cúc tritting dat hoe, caw dding thebe cde hhét hinh đế, Áÿ thet od xÁế/ br che inh

win khoa lodn các đường ua pham Tuy nhiin, ở trating phi thing, whibu hoc sinh

gap ÁÁ¿ khan khi ib the các Khdé mềm mdi sì hhd đườm tang mày, So tinh ue

fham me AÂẨm lém cúc đường đêm day nhitny bhdi nidm dé thing thal dy dd sà

chinh súc, gây ted nyat cho vite hor lodn cao củi Trang théa lain mày, ching te

mudn trinh bey cich wiy dung cúc hhdé “êm tren sức mic dé ling qual hin, whung

cửu of gang ddim Ááo lin ut pham Thew ching tii, cá thé ding khbo (sân dé yidng

day che hoc inh các lip chu yin dac best lis dink hurting cho các em lidp lac nghiin cite

xiw nễ bodn ở bide dad hee.

Kha latin yom nim phin

Phan ( sứy dáng các khdé nitm vb (ương dng, bac ybm.: dink nyhia (ương

wing, d8 th; cia đương tng, (ương ting ngpnee we hep thanh cửa hai đương sng Pay lacác kién thite chutin bi dé xy dáng mit khdé mdm quan trong, dé la him — dnÁ sự.

Vhdn # niu dink nyhta him — dnh sa, din duh, đoàn drh, song dah, deh

re ngeve cia mil song dunk vi hodn se cia mol lisp hop

Oiphdn $, sau bhi cây dung ÁÁd, nibon hoon — dnb xa ling qudl, ching đôi

tl tring hap mắng của nb le him Zố vd ÁmÁ wa hl rối ub dang ching dé dink nyhia

phuving brink vir bit phering tvinh.

Khde sát etch trinh bay khdi nidm ham sé đền đục trong các stch yido thea

hitn nay, (ong phdn 4 ching Ui dé monk dan ub dang dink nghia sự (Âm tue oda ham trong thing yan ling gual (6ê, ua dé mới han chi sào thing gian dink chain

RR Hin la, hoc inh phi thing có thé hits dượt denh nghia nay nit ode hink sẽ

Áẩu didn C ÍÄÀm giip ode om Am sổ dink nyhia, cheng tee da dp dung nb wre vibe

Kho whl ue eon tac oda mit vố Ấm cơ bain

Phan 5 trinh bay bhdi niềm gti han của him sé theo link than teeny tet

phn ¿

[ ae ae ae ee a a i a ae re a a a ornare |

Quang 3

Lai Adi “2u

QL PLP ELBA LOD DD PD LDP LOD DPM PP BMD AP PD EP aD OP PE

Khe chon dé tie cho khéa latin, ching lor “XÃ, ấu hor unk dew lrang &

~Á»ự hebin thee ny hi ode om È „a4 km thuda ti hen freng wer hor fadn cao wif

Tuy hide, “ty chi la ahitng ý bib hd quan tin Meu get ther ur ot mabe dp 4

dany cấm pheit cá hin pan thir ngheem mee dah yea chink rắc denver Ching fit rll

Troy qud trink horn think thed lain, ching đốc dé day CH Li The

Thien Hramny tin link huing din, Fs Nguytn Anh Fudin dov bin thie vi che

whitng nhiin xét gay bda Kin gái đếm hui đến 2 lang bidl om sin vắc cấm đổi.

Chin think vim on Quy Thhy Cs thute Khoa Toda dac bist be Tk

Gide Tich, da (âx link ging day ching lit suit bin nitm hoe

Min cảm on cúc ban hoe thie 96 dé ding tiêm vd gidp dé đài trong gad trink

hoe lip

Tp HO Chi Mink thing § nam 2000

và Tht Bato Thitn Founy

We de oe oe ba À4 6á be he te te cân lớn tote hr sức cán he “hr cửn cứ cán hr tr tet tr te br cán te tr tr tr cán đÀ,

Trang 4

Một tương ứng T giữa tập hợp A và tập hợp B là một quy tắc cho mỗi

phần tử x thuộc A ứng với một tập hợp con T(x) của B

Phan tử x là đối (hay là biến) và T(x) là ảnh của x qua tương ứng T

A là tập hợp nguồn B là tập hup đích (Xem H.1)

Tập hợp A’ = (x/ x e A và T(x) # ØJ là tập xác định Ta có: A CA.

Tập hợp B’ = (y/ y € T(x) vax € A } là tập giá trị Tu có: B CB.

Ta cũng có: B’ = (T(xJ/x e A} (Bo = UT(x)) Ta nói Bˆ được cấu thành bởi

Cho tập con X của A: X c A

MT ko ái co cm LƠ ee PA VỤ An VU SP VU SP SH MO MƯ S0 SẼ MM hs nh cv, 60 ee dơ dần em sp |

# TƯƠNG UNG

A

`

Tả ký hiệu TCX) là một tập con của B được cấu thành bởi những ảnh T(x)

với mọi phần tử x thuộc X

Mỗi phan tử y của tập hợp B ta cho ứng với tập hợp các tọa độ thứ nhất

của các cặp theo y trong đồ thị G (ta ký hiệu là C(y)) Như vậy ta cũng xác

định được một tương ứng giữa tập hợp B và tập hợp A: Tương ứng này gọi

là tương ứng ngược của tương ứng T.

Ký hiệu: T”

Và TÌ;:yeB-+>T!\y)=hc,Cty)

(he,Cly): tập hợp các tọa đô thứ nhất của các cập theo y trong đồ thị G)

Chú ý: Những y nào của B không có trong các cặp của G thì tương ứng ngược

T'y)›=Ø.

Tap hợp nguồn là B; Tập hợp dich là A.

Tap xác định là B”: Tập giá trị là A (Xem H.4a và H.4b)

VI Hợp thành của hai tương ứng.

Cho một wong ứng f giữa hai tap hợp A và B và một tương ứng g giữa hai tập

yr TƯƠNG UNG

2" Đồ thị G cua T là tip con của AxA = ÀA (Xem H.7b)

3" Khi Tix) = x ta nói rằng x là bắt biển Xét những cắp (x:x) nằm trên đường

chéo D cúa ÀA` Những phan tử bất biến là he, (gO ĐI.

2.1.2 Định nghĩa H.& Đồ thi hàm

Nếu A’ = A, ta nói rằng B

Ặ2.7‹« iM

>>

V Song ánh.

2.4.1 Định nghĩa

Nếu hàm f vừa là đưn ánh, vừa là toàn ánh, thì f được gọi là song

anh Xem H.16a và H.16b)

1" Cho một ham f và đồ thi G của nó ( Xem H.18) Cly) (tập hợp các cap theo

y trong G), trong trường hợp tổng quát, có thé chứa nhiều hơn một phần tử là

tập hợp f'(y) Nói cách khác f”, chỉ là một tương ứng, không phải là một hàm

$2 HAM

Tương ứng ngược 1 mỗi sổ y > 0 cho ứng với hài số đổi + yy và =vy:AÍ

vậy C' không phải là một hàm

I Không phái là mot hàm

3" Nếu hàm f là một don ánh thì Cty) chỉ chứa mot phần tử (x.y) duy nhất.

Do đó, y là ảnh bởi f của một phan tử duy nhất x: F ty) =x

Vay nếu hàm f là đơn ảnh, thì tương ứng ngược ['” là một hàm.

VI Ánh xạ ngược của một song ánh.

Cho mot song ảnh f từ A đến B.

VH Hợp thành của hai hàm.

Dễ dàng suy ra các kết quả sau.

1° Hợp thành của hai hàm là một hàm.

2” Hợp thành của hai toàn ánh là một toàn ánh.

3” Hợp thành của hai đơn ánh là một đơn ánh.

4° Hựp thành của hai song ánh là một song anh,

VIIL Hoan vi của một tập hợp.

2.8.1 Định nghĩa

Mỗi song ánh f từ tập hợp A vào chính nó gọi là một hoán vị của A.

Mỗi hoán vị f có một hoán vị ngược f' Hoda vị giữ nguyên các phan tử của A

là hoán vị đồng nhất Ký hiệu I.

,

en À em Re tien mm Án viêm ee ee KH ĐO SH SH TẾ vớ SẾ sẾ n9 s9 ý te to te te ide be bo te cof

Trang 14

Cho f và g là hai ánh xạ từ E vào R,

Ta gọi tổng của ánh xạ f và ánh xạ g là ánh xạ s được định nghĩa bởi:

Định nghĩa trên vẫn phù hợp trong trường hợp f và g là những hàm số với

những x thuộc giao của các tập xác định của f và g.

$s HAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRINH

Cho hai ánh xa f và g từ E vào R.

Phép nhân ánh xạ f và ánh xạ g là ánh xa x được định nghĩa bởi:

Định nghĩa trẻn phù hợp trong trường hợp [ và g là những ham, với x thuộc

vào phần giao các tập xác định của f và g.

Cho trước một phan tử b của R, ta di tìm tất cả các phần tử của E có ảnh

là b Ta nói rằng ta đi giải phương trình f(x) = b.

Goi f' 1a tướng ứng ngược của £.

Vậy, giải phương trình f(x) = b đồng nghĩa với việc xác định f(b).

VL Các phương trình tương đương.

Hai phương trình là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

(Đây là một quan hệ tương đương, vì quan hệ này thỏa mãn tính phản xa đối

cứng và bắc cầu.

Hai phương trình tương đương cùng thuộc vào một lớp tương đương, và một

phương trình có thể được thay thế bằng một phương trình tương đương Việc

này được áp dụng trong quá trình giải một phương trình cụ thể).

VIL Phương trình f(x) = g(x)

Cho các ánh xa f và g từ E vào R Một phương trình có thể được biểu diễn

đưới dang:

fix) = g(x).

Giải phương trình trên là đi tìm tập hợp S các phần tử của E có cùng ảnh

bởi f và g S là tập nghiệm của phương trình trên.

Cho hai ánh xa f và g từ E vào R.

Ta xét hai phương trình sau:

2° Tuy nhiên, nếu phương trình g(x) = 0 không có nghiệm trong E ta có thể

nhân g(x) vào phương trình f(x) = 0.

f!(A) là tập nghiệm của bất phương trình Các phần tử của f(A) là một

nghiệm cụ thể của bất phương trình.

#z HAM SO VÀ PHƯƠNG TRINH

â `" ẽ.ẽ cố - U â

1° Trong trường hựp A = R”(Ú0) (hay A = RỲ):

ta giải bất phượng trình f{x) > 0 (fix) z0)

2" Chu hai hàm xổ F và gy Ta có hai dang bất phương trình sau:

(x) > gin)

huy = (x) 2 g(x)

3° Hai bat phương trình tương đương nếu chúng có cùng tap nghiệm

Tư«ng tự VIL: (fix) = g(x) + h(x)] © [f(x) - h(x) > ø(x)]

Tướng tư VII:

Nếu œ>f [f(x) > g(x)| ©> [œf(x) > œg(x)]

Nếu œ<f [f(x) > g(x)] <> [œf{x) < œg(x)]

4° Để giải bất phương trình tích có dang: [(x)g(x) > 0, ta phải xét dấu E(x).g(x)

và suy ra nghiệm của bất phương trình.

u là ẩn xố mới Vậy việc giải E, quy về giải E¿ sau đó là giải các phương

trình f(x) = u với mỗi u là nghiệm của Ey

Ví du: Giải phương trình 3.2”* - 3.3` ~ 8 = 0) (1) trong N

Ta đặt u = 3` phương trình (1) trở thành

3u` ~ 3u ~ 8 =0 có nghiệm duy nhất u = 2 trong N

bây giờ giải phương trình 2” = 2 © x = I

Một phần tử œ của E là nghiệm của hệ nếu nó là nghiệm của cả hai phương

trình (nghỉa là f(a) = Ö và g(a) = 0

$3 HAM SO VÀ PHƯƠNG TRÌNH

I" Cho hẻ phương trình:

(x)=Œ (E¿)

gx)=0 (E;)

Nếu a và b là các phần tử eda R thì phương trình at(x) + bự(x) = 0 (E) là một

tổ hựp tuyến tính của hệ phương trình trên Nếu œ là nghiệm của hệ thì

alla) + bự œ) =O xuy ra ở là nghiệm của E

là tương đương nếu ab’ ~ ba’ = 0

That vậy gọi S và S” là các tập nghiệm tương ứng.

Vậy hai hệ © và 5” là tướng đương.

Vì ab` ~ ba’ <0 nên tạ có: |

$s HAM SO VÀ PHƯƠNG TRINH

=>aeSs

»

$s SU LIÊN TỤC

nh

$4 SỰ LIEN TỤC

L Lân cân.

Một khoảng (ø;§) là một lan cân của x„ nếu từ có œ <x, < 8.

Trên tia x'Õx, lấy các điểm Ata), Bí8i và Mux) Nếu (a:B) là một lân cận V

vủa X„ thì điểm M, thuốc đoạn AB (Xem HỆ 9a)

Vị dụ: (5:2), 1-10" tn")

La hai lần cin của điểm x, =)

pL La PA gee——! =| là lân can của x, =!

100 100

(œ.B) - gọi là | khoảng mở (lần cận mit)

|œ.B| — gọi là | khoảng đóng (một đoạn!

(œ:8| hay [œ:8! là các nứa đoạn.

Khi x, = a, khoảng (x„;ƒ) là một lân cận phải của xạ (Xem H I9b)

Khi x, = 6, khoảng (ơ;x,) là một lân cận trái của x„ (Xem H.19c)

š g A B ‹ v y à B 8

M, Mạ

H.19b, H.19¢.

Với € là số dương cho trước V = (x,, - £: x, + £) là một lân cận tâm x,, bán

kính z Mọi điểm x thuộc V đều thủa mãn bất đẳng thức: |x - x, |< V được

gọi là lân cận có tâm (Xem H.19u)

Khoảng (œ;+) là lân cận của điểm x, = +;

khoảng (~s;œ) là lân cận của điểm x, = -œ.

Vi dụ; (0;+%) là một lân cận cua +“

(~;~5) là một lân cân của <x.

Franyg 23

Hàm F là liên tục tại điểm x, nếu với mọi lân cận W của y, cho trước đều

tồn tại một lân cận V của x, (V & U,) sao cho ảnh của V qua f, f(V), được

chứa trong W (Xem H.30)

Xu

Hàm f là liên tục trên khoảng (œ,B) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc

khoảng (œ,j).

Ghi chú

Định nghĩa trên có thể phát biểu cho các ln cận có tâm Khi W là lần cân tâm y, =

fix), bán kính e V là Lin cin tâm x,, bán kính n thì đính nghĩa trên trở thành:

Hàm số f liên tục tại x, nếu, với mọi bán kính e của lân cận W tâm

Yo = £(x,) cho trước, luôn tồn tại một lân cận V tâm x, bán kính rị sao cho

anh f(V) của nó chứa trong W.

Hay ta phát biểu dưới dạng tương đương sau:

Hàm số f là liên tục tại x, nếu với mọi số dương e cho trước, luôn tồn tại

một số đương 7 sao cho:

Ix-x,l <q=Ìf(x)-y„Ì <e.

II Những tín it của các hàm li

Chúng ta chấp nhận các kết quả sau,

Tổng của các hàm liên tục tại x, là một hàm liên tục tại X,.

Tích của các hàm liên tục tại x, là một hàm liên tục tại x,.

Nếu các hàm fg liên tục tại x, và nếu g(x,) # 0 thì hàm © là liên tục tại x,.

g

LV Sự liên tục của hàm hằng.

Cho hàm hằng f như sau:

F: xeRo>y=f(x)=aeR

Hàm f xác định tại mọi x € R va f(x.) = y, =a.

kị .aaaa tee ee tmnt LÔ de te me de ne ae nee ee te de de te te de me le to có iede bbe áp bo io i

Trang 24

$4 SỰ LIÊN TỤC

1" ẽ.ẽ.ẽ oe ‹ “.

“ ”

Cho trước một lần cin W = (ơ:) của y, = a Ta xét một lần cận V =A nào

do của x„ ảnh của V qua Ê &V) = fa} co W.

Vi vậy, ham hằng Ê: x —> a liên tục trên R.

V Sư liên tục của hàm tuyến tính.

Cho hàm tuyến tỉnh F:

I xKe€R->y=f(x)=ux+bsR

Hàm { vắc dịnh tại mọi x 6 R và

|: `„€ R => yu,= Í(x,)=ax,+b e R

Cho trước một lần cản W của y,,

W=(y -œ; v„ + 8) với a, 8 là hai số dương cho trước,

Nếu a>, ta xét lân cận V của x,

Vay x — ax" cũng liên tục.

Vậy, Tất cả các hàm đa thức x — a„x” + + ax + ay đều liên tục trên R.

S2 ằẶ ng ằ 02v He Tiến nh Hiện SH ee vn điển dn án cm ám Đền k kẽ sẽ áo lẶ

Trang 25

$3 GIỚI HAN

§5 GIGI HAN

L “x tiến về x,,”.

Cho trước một lân cận tùy ý V của x,, nếu có thể lấy tất cả những điểm x

của lân cận này trừ x, thì ta nói rằng x tiến về x,.

Định nghĩa chỉ ra rằng vó thể lấy tất cá vác điểm x (trừ x.) trong mọi lân cận

củu x„ Nếu x, =0 và moi lân cin V có dang [0.0] thì x tiến vẻ x, bởi những

giả trị dương, hay “Xx tiến về O'S ta định nghĩa tướng tự cho “x tiến về 0 *,

IL Giới ia một hàm số.

Cho hàm L:

L xeR+y=fxisR

Giả sử Ê xác định trên một lân can U của x,.ưừ điểm x

Ta nói fix) có giới hạn À khi x tiến về x, (hay fix) tiến về A khi x tiến về x,), nếu cho trước một lân cận W nào đó của A, tồn tại một lân cận V của x,

f(x) có giới hạn A khi x tiến về x„ nếu với mọi số dương e cho trước, tồn tại

số đương n sao cho:

Ix-x, | <n= |fix)-Al <e

LH Giới han và liên tục.

So sánh định nghĩa của sự liên tục và giới hạn của hàm số, ta thấy hàm số f là

liên tục tại x, nếu f xác định tại x, và lim f(x) = f(x.)

LV Tính chất của giới hạn.

Ta chấp nhân các kết quả sau đây

Nếu giới hạn của f(x) và g(x) khi x tiến về x, lan lượt là: lim FÍx}=^À và

Với lân cận W =[M; 400) của A = +20 cho trước.

Xét lân cận V = (- 2; mai của X,, = -, Khi đó

Với mọi W = [M: +20) (M >0) của A = +00

Xét V= Ga là lân cận phải của x, =0

Wevwess +:

M Suy ra

$5 GIỚI HAN

; | lim =—

¡ hạn ở vô cùng của dat

Ví dụ: cho đa thức f(x) = ax’ + bxỶ + cx + d(a #0)

Ta có f(x)=ax ke —+—: BE Bế]

>

te de ww be to or lo Mh

$5 GIỚI HAN

Vậy, giới han ở vô cùng của một da thức bắc n,

| ` * "

PC) = an te + Haye + a là giới hạn của dang có bậc cao nhất a,x”

X Giới hạn của t(x)= ***°_ khi x ở vô cùng.

Tai Điệu Tham Khao

>

Tat Litu Tham ¿da

[1| C BREARD

Mathématique (Classes de Premiére CD), Editions de L“Ecule 1967.

{2} PHAN ĐỨC CHÍNH - NGO HỮU DŨNG - HAN LIEN HAI

Đai Số 10, Nhà Xuất Ban Giáo Duc 199%

[3| PHAN ĐỨC CHÍNH - NGO HỮU DŨNG ~ HAN LIEN HAI

Giải Tích If, Nhà Xuất Bin Giáu Dục, 1998

(4| TRAN VAN HAO - PHAN TRƯỜNG DAN

Đại Số và Giải Tích 1! Nhà Nuất Ban Giáo Dục, 1996

(5J HOANG TỤY

Giải Tích Hiện Dai tập 3, Nhà Xuất Ban Giáo Dục, 1978.

FT 2022 0ôôÔ0ô0A ee ee 0Ô ÔÔôÔÔ0ÔÔôÔôÔôÔc - o

Trang 32