Điều khiển phi tuyếnDựa trên nội dung các video đã chọn, đây là nội dung chi tiết của từng video: Video "Các vấn đề về lý thuyết điều khiển" Video này trình bày tổng quan về các khái niệ
Trang 1Điều khiển phi tuyến
Dựa trên nội dung các video đã chọn, đây là nội dung chi tiết của từng video:
Video "Các vấn đề về lý thuyết điều khiển"
Video này trình bày tổng quan về các khái niệm cơ bản trong lý thuyết điều khiển
tự động, bao gồm:
Mô hình hệ thống: Hệ thống được mô tả bằng mô hình động, với đầu vào
điều khiển (u) và các nhiễu loạn bên ngoài Ví dụ như một chiếc xe ô tô, đầuvào điều khiển có thể là độ quay vô lăng, đạp ga hoặc phanh, còn nhiễu loạn
là gió hoặc ổ gà trên đường
Điều khiển vòng hở (Feedforward Control):
o Sử dụng bộ điều khiển fit forward để tạo ra tín hiệu điều khiển dựa
trên tín hiệu tham khảo mong muốn, mà không cần đo các trạng thái hiện tại của hệ thống
o Ví dụ, để xe tự lái theo đường thẳng với tốc độ nhất định, ta có thể tácđộng một góc lái cố định bằng 0 và một độ nhấn ga nhất định
o Để thiết kế bộ điều khiển fit forward, cần hiểu rõ mô hình động học
của hệ thống dưới dạng toán học
o Tuy nhiên, hệ thống điều khiển fit forward rất dễ bị mất điều khiển
bởi các nhiễu loạn bên ngoài Ví dụ, xe có thể đi lệch hướng nếu có sựxuất hiện bất thường của xe khác hoặc người đi bộ
Điều khiển vòng kín (Feedback Control):
o Đo lường các trạng thái ngõ ra của hệ thống và đưa về bộ điều khiển
để tính toán và điều chỉnh hệ thống
o Khi hệ thống bị lệch khỏi vị trí mong muốn do nhiễu loạn, tín hiệu phản hồi sẽ được sử dụng để đưa hệ thống về trạng thái mong muốn
o Điều khiển phản hồi có thể thay đổi động lực học của hệ thống,
tức là thay đổi phương trình toán học của hệ thống
Điều này có thể làm cho hệ thống ổn định hơn hoặc kém ổn định hơn
Các thuật toán điều khiển hồi tiếp (feedback): Có nhiều loại, bao gồm:
o Điều khiển hồi tiếp tuyến tính: PID, điều khiển hồi tiếp trạng thái đầy đủ
o Điều khiển phi tuyến: On-off, trượt, thích nghi, tối ưu (LQR), dự đoán(MPC), và điều khiển thông minh
o Việc lựa chọn thuật toán điều khiển phụ thuộc vào hệ thống đang
sử dụng và mong muốn về tín hiệu ngõ ra.
Trang 2 Ước lượng trạng thái (State Estimation):
o Việc đo lường trạng thái ngõ ra thường bị ảnh hưởng bởi nhiễu
o Khả năng quan sát (observability) cho phép ước lượng các trạng thái của hệ thống mà không cần đo lường trực tiếp
o Các thuật toán lọc có thể được sử dụng để ước lượng trạng thái và giảm nhiễu
Mô phỏng, phân tích và kiểm định hệ thống: Sử dụng các công cụ mô
phỏng để đánh giá hiệu năng, tính ổn định và các yếu tố khác của hệ thống
Mô hình toán học: Xây dựng các mô hình toán học cho hệ thống, bộ điều
khiển và bộ đánh giá trạng thái
Video "Why Nonlinear Control"
Video này giải thích lý do cần nghiên cứu hệ thống điều khiển phi tuyến:
Mô hình tuyến tính hóa:
o Mô hình tuyến tính hóa gần đúng cho hệ thống phi tuyến chỉ chính xác trong phạm vi hoạt động hẹp
o Mô hình phi tuyến thực tế được mô tả bằng phương trình ẋ = f(x), trong đó f(x) là một hàm phi tuyến của x
o Mô hình tuyến tính hóa được thực hiện bằng cách khai triển Taylor và
bỏ qua các số hạng bậc cao
o Khi hệ thống hoạt động xa điểm cân bằng, mô hình tuyến tính hóa trở nên kém chính xác
Các phi tuyến cứng (hard nonlinearities):
o Một số phi tuyến, như bão hòa (saturation), vùng chết (dead zone), độ trễ (backlash) và trễ (hysteresis) không thể được xấp xỉ tuyến tính
o Những phi tuyến này rất phổ biến trong các hệ thống vật lý thực tế
o Các phi tuyến cứng có thể gây ảnh hưởng nghiêm trọng đến sự ổn định của hệ thống điều khiển
Xử lý độ bất định:
Trang 3o Các kỹ thuật điều khiển phi tuyến có thể dễ dàng xử lý các độ bất định.
o Đôi khi, các phi tuyến được thêm vào một cách có chủ ý để xử lý độ bất định, ví dụ như bộ điều khiển on-off
Video "Types of nonlinearities"
Video này phân loại các loại phi tuyến:
Phi tuyến vốn có (Inherent nonlinearities):
o Là các phi tuyến có sẵn trong hệ thống vật lý và không thể loại bỏ
o Ví dụ: Lực hướng tâm tỉ lệ với bình phương vận tốc, ma sát Coulomb
là một hàm phi tuyến của vị trí và vận tốc
Phi tuyến chủ ý (Intentional nonlinearities):
o Là các phi tuyến được thêm vào hệ thống điều khiển một cách có chủ ý
o Ví dụ: Bộ điều khiển on-off và điều khiển thích nghi
Phi tuyến liên tục (Continuous nonlinearities):
o Ví dụ: Bình phương của một biến, căn bậc hai, phép nhân các biến
o Trong các hệ thống chất lỏng, tốc độ dòng chảy tỉ lệ với căn bậc hai của mức chất lỏng
Phi tuyến không liên tục (Discontinuous nonlinearities):
o Ví dụ: Vùng chết, bão hòa, và on-off
o Các phi tuyến không liên tục thường khó xử lý hơn do không thể xấp xỉ tuyến tính và có thể gây ảnh hưởng nghiêm trọng đến ổn định của hệ thống.
Video "Linear Systems vs Nonlinear Systems"
Trang 4Video này so sánh giữa hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến:
Hệ thống tuyến tính:
o Được mô hình hóa bằng các phương trình vi phân tuyến tính
o Nguyên lý chồng chất (superposition) luôn đúng
Nếu nhân đầu vào với một hệ số, đầu ra cũng được nhân với hệ
số tương ứng
Đầu ra của tổng các đầu vào bằng tổng các đầu ra tương ứng
o Có một điểm cân bằng duy nhất
o Tính ổn định không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu và đầu vào
o Nếu đầu vào là hình sin, đầu ra cũng là hình sin
Hệ thống phi tuyến:
o Nguyên lý chồng chất có thể không đúng
o Có thể có nhiều điểm cân bằng
Ví dụ: Con lắc có hai điểm cân bằng (vị trí thẳng đứng và vị trí lộn ngược)
o Các điểm cân bằng của hệ thống phi tuyến có thể là các điểm riêng biệt (isolated), trong khi điểm cân bằng của hệ thống tuyến tính có thể
là một đường hoặc một mặt phẳng
o Đáp ứng có thể không tỷ lệ với đầu vào Ví dụ, hệ số tăng và giảm củađáp ứng có thể khác nhau
o Tính ổn định có thể phụ thuộc vào điều kiện ban đầu và đầu vào.
Tóm lại, các video này cung cấp một cái nhìn tổng quan về lý thuyết điều khiển, hệthống phi tuyến, các loại phi tuyến, và sự khác biệt giữa hệ thống tuyến tính và phi tuyến, giúp người xem hiểu rõ hơn về các khái niệm cơ bản và ứng dụng của chúngtrong thực tế
Dựa trên nội dung các video đã chọn, đây là nội dung chi tiết của từng video, được trình bày một cách chi tiết hơn:
Video "NCS - 02b - Limit Cycles"
Video này giới thiệu về một hiện tượng quan trọng trong hệ thống phi tuyến gọi là
chu kỳ giới hạn (limit cycle).
Hệ thống tuyến tính:
Trang 5o Trong hệ thống tuyến tính, nếu các giá trị riêng (eigenvalues) là số
ảo thuần túy, đáp ứng của hệ thống sẽ là dao động.
o Biên độ của các dao động phụ thuộc vào điều kiện ban đầu.
o Các dao động này không mạnh mẽ (not robust), nghĩa là khi có sự không chắc chắn (uncertainties) hoặc nhiễu loạn (disturbances),
các giá trị riêng có thể dịch chuyển sang bên trái hoặc bên phải, dẫn đến dao động bị suy giảm hoặc tăng lên
o Trong thực tế, hệ thống tuyến tính không thể duy trì dao động bền vững (sustained oscillations), mà sẽ hoặc suy giảm về 0 hoặc tăng
đến vô cùng
Hệ thống phi tuyến:
o Hệ thống phi tuyến có thể có dao động bền vững mà biên độ không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu.
o Video đưa ra ví dụ về một phương trình vi phân phi tuyến, mô tả một
hệ thống khối lượng-lò xo-giảm chấn với hệ số giảm chấn phụ thuộc vào vị trí Phương trình này có thể biểu diễn các mạch điện với điện trở phi tuyến
o Khi mô phỏng phương trình này trong Matlab với các điều kiện ban đầu khác nhau, đáp ứng của hệ thống cuối cùng hội tụ về một dao động tuần hoàn với biên độ cố định, gần bằng 2
o Các dao động này cũng mạnh mẽ (robust) đối với các nhiễu loạn.
o Trong một số trường hợp, dao động là mong muốn, ví dụ như trong các bộ tạo dao động (oscillators)
o Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp khác, dao động là không mong muốn, ví dụ như trong các hệ thống cơ học và mạch điện, gây ra hư hỏng và tổn thất năng lượng
o Cơ chế duy trì dao động: Nếu biên độ dao động tăng lên do nhiễu
loạn, hệ số giảm chấn sẽ tăng lên, làm giảm dao động Ngược lại, nếu biên độ giảm xuống, hệ số giảm chấn sẽ giảm, làm tăng dao động, giúp duy trì dao động ổn định
Video "NCS - 03a - Bifurcation and Chaos in Nonlinear Systems"
Video này giới thiệu về hai hiện tượng khác trong hệ thống phi tuyến là phân nhánh (bifurcation) và hỗn loạn (chaos).
Phân nhánh (Bifurcation):
o Phân nhánh là hiện tượng thay đổi số lượng các điểm cân bằng (equilibrium points) của hệ thống khi một tham số của hệ thống thay đổi.
o Video đưa ra ví dụ về một phương trình phi tuyến có tham số α Khi α
> 0, phương trình có một điểm cân bằng tại x = 0 Khi α < 0, phương trình có ba điểm cân bằng
Trang 6o Sự thay đổi này được minh họa bằng một đồ thị, trong đó trục hoành
là giá trị của tham số α và trục tung là các điểm cân bằng Đồ thị này
có dạng chữ "ngã ba" và được gọi là phân nhánh ngã ba (pitchfork bifurcation).
o Video đưa ra ví dụ về một hệ thống phi tuyến được mô phỏng trong Matlab Khi đầu vào thay đổi một chút (từ biên độ 6 xuống 5.99), đáp ứng của hệ thống thay đổi đáng kể
o Tương tự, một thay đổi nhỏ trong điều kiện ban đầu cũng gây ra sự thay đổi lớn trong đáp ứng
o Hệ thống hỗn loạn là hệ thống tất định (deterministic), nghĩa là nếu điều kiện ban đầu giống nhau, kết quả sẽ luôn giống nhau,
nhưng sự thay đổi nhỏ trong điều kiện ban đầu sẽ dẫn đến kết quả rất khác nhau
Nội dung khóa học: Video cũng giới thiệu về nội dung khóa học về hệ
thống phi tuyến, bao gồm:
o Các phương pháp phân tích: Phân tích mặt phẳng pha (phase plane
analysis), phân tích hàm mô tả (describing function analysis), và lý thuyết ổn định Lyapunov
o Các phương pháp thiết kế bộ điều khiển: Tuyến tính hóa phản hồi
(feedback linearization), điều khiển trượt (sliding mode control), và điều khiển backstepping
o Tài liệu tham khảo: Sách "Nonlinear Systems" của Hassan Khalil và
"Applied Nonlinear Control" của Slotine
Video "NCS - 04 - Phase portraits for linear systems"
Video này giới thiệu về phân tích mặt phẳng pha (phase plane analysis), một
phương pháp để phân tích hệ thống phi tuyến, bắt đầu với các hệ thống tuyến tính bậc hai
Mặt phẳng pha (Phase plane):
o Mặt phẳng pha là một đồ thị trong đó trục hoành là một trạng thái (x1)
và trục tung là một trạng thái khác (x2) của hệ thống Trong trường hợp hệ thống cơ học, x1 có thể là vị trí và x2 là vận tốc
Trang 7o Quỹ đạo (trajectory): Quỹ đạo là đường cong biểu diễn sự thay đổi
của các trạng thái của hệ thống trong mặt phẳng pha theo thời gian, cho một điều kiện ban đầu nhất định
o Bức tranh pha (phase portrait): Bức tranh pha là tập hợp các quỹ
đạo của hệ thống cho nhiều điều kiện ban đầu khác nhau trong mặt phẳng pha
o Bức tranh pha cho phép phân tích hành vi định tính (qualitative behavior) của hệ thống, tức là hình dạng và xu hướng của đáp ứng,
thay vì các giá trị số chính xác
o Ưu điểm của phương pháp này là có thể xử lý các phi tuyến cứng (hard nonlinearities).
o Nhược điểm là chỉ áp dụng cho hệ thống bậc hai.
Ví dụ hệ thống khối lượng-lò xo:
o Video đưa ra ví dụ về một hệ thống khối lượng-lò xo, có thể được mô
tả bằng một phương trình vi phân bậc hai
o Nghiệm của phương trình này là các hàm sin và cosin Khi vẽ đồ thị
giữa vị trí (x) và vận tốc (x'), ta thu được một đường tròn.
o Bán kính của đường tròn phụ thuộc vào điều kiện ban đầu.
o Đây là một cách để vẽ bức tranh pha, và cũng có thể sử dụng Matlab
để vẽ bức tranh pha
Phân tích hệ thống tuyến tính bằng bức tranh pha:
o Hành vi định tính của hệ thống tuyến tính có thể được xác định dựa trên các giá trị riêng (eigenvalues) của ma trận hệ thống.
o Nếu giá trị riêng là số ảo thuần túy, đáp ứng là dao động.
o Nếu giá trị riêng là số phức, đáp ứng là dao động suy giảm.
o Nếu giá trị riêng là số thực và bằng nhau, đáp ứng là suy giảm tới
hạn
o Nếu giá trị riêng là số thực và khác nhau, đáp ứng là quá suy giảm.
o Tuy nhiên, video tập trung vào việc phân tích hành vi định tính của hệthống tuyến tính bằng bức tranh pha
Các dạng bức tranh pha của hệ thống tuyến tính:
o Nút (Node): Các quỹ đạo hội tụ về điểm cân bằng hoặc phân kỳ ra xa
điểm cân bằng mà không có dao động Có hai loại: nút ổn định và nút không ổn định
o Tiêu điểm (Focus): Các quỹ đạo xoắn ốc và hội tụ về điểm cân bằng
hoặc phân kỳ ra xa điểm cân bằng Có hai loại: tiêu điểm ổn định và tiêu điểm không ổn định
o Tâm (Center): Các quỹ đạo là các đường tròn hoặc elip xung quanh
điểm cân bằng, biểu diễn dao động không suy giảm
Trang 8o Yên ngựa (Saddle): Một số quỹ đạo hội tụ về điểm cân bằng, trong
khi các quỹ đạo khác phân kỳ ra xa điểm cân bằng
o Các dạng bức tranh pha khác nhau tương ứng với các giá trị riêng khác nhau của ma trận hệ thống.
Ví dụ con lắc: Video cũng mô tả hành vi định tính của con lắc bằng bức
o Tiêu điểm (Focus): Quỹ đạo xoắn ốc hội tụ (tiêu điểm ổn định) hoặc
phân kỳ (tiêu điểm không ổn định)
o Nút (Node): Quỹ đạo hội tụ (nút ổn định) hoặc phân kỳ (nút không ổn
o Video xem xét lại ví dụ con lắc và phân tích bức tranh pha của nó
o Vị trí cân bằng ở dưới (0,0) là một tiêu điểm ổn định.
o Vị trí cân bằng ở trên (π, 0) là một điểm yên ngựa.
o Các vị trí cân bằng khác (2π, 0), (-π, 0), (-2π, 0), tương ứng với các vòng quay của con lắc và có hành vi tương tự
o Phương trình trạng thái của mạch là phi tuyến
o Mạch có ba điểm cân bằng, một là điểm yên ngựa, hai là nút ổn định.
o Số lượng điểm cân bằng này xuất hiện từ phương trình bậc 5 của
hệ thống, nhưng chỉ có 3 nghiệm thực.
Trang 9 Ví dụ phương trình Van der Pol:
o Video giới thiệu về phương trình Van der Pol, một phương trình vi phân phi tuyến bậc hai
o Bức tranh pha của phương trình này cho thấy một chu kỳ giới hạn (limit cycle).
o Chu kỳ giới hạn (limit cycle) là một quỹ đạo kín mà các quỹ đạo lân
cận sẽ hội tụ hoặc phân kỳ ra xa
o Trong trường hợp này, các quỹ đạo từ các điều kiện ban đầu khác nhau cuối cùng đều tiến đến một quỹ đạo cố định.
o Chu kỳ giới hạn ổn định (stable limit cycle) là quỹ đạo mà các quỹ đạo lân cận hội tụ về nó Ngược lại, chu kỳ giới hạn không ổn định (unstable limit cycle) là quỹ đạo mà các quỹ đạo lân cận phân kỳ
o Chu kỳ giới hạn mạnh mẽ (robust) với các nhiễu loạn.
Tóm lại, các video này cung cấp cái nhìn sâu sắc về các hiện tượng đặc trưng của
hệ thống phi tuyến, bao gồm chu kỳ giới hạn, phân nhánh và hỗn loạn, và cách sử dụng bức tranh pha để phân tích các hệ thống này
Video 5: "NCS - 07a - Method of isoclines for phase portraits"
Phương pháp Isoclines:
o Isocline: Là tập hợp các điểm trong mặt phẳng pha có cùng độ dốc tiếp tuyến của quỹ đạo.
o Phương pháp này là một cách để vẽ bức họa pha bằng cách xác định
các isoclines và sau đó vẽ quỹ đạo dựa trên độ dốc tiếp tuyến tại các isoclines này
o Độ dốc tiếp tuyến được xác định bởi dx₂/dx₁ = f₂(x₁,x₂)/f₁(x₁,x₂).
o Quy trình bao gồm việc xác định các đường đẳng dốc (isoclines), sau
đó sử dụng độ dốc của đường đẳng dốc để phác thảo các quỹ đạo
Trang 101. Chọn các giá trị khác nhau cho α.
2. Vẽ các isoclines tương ứng trên mặt phẳng pha
3. Tại mỗi isocline, vẽ các đường tiếp tuyến có độ dốc tương ứng
4. Kết nối các đường tiếp tuyến để tạo thành các quỹ đạo của hệ thống
o Ví dụ cụ thể: Vẽ isoclines cho các giá trị α = 0, 1, -1, ∞ và các độ dốc
tiếp tuyến tương ứng
o Phác thảo quỹ đạo: Vẽ quỹ đạo dựa trên độ dốc tiếp tuyến của các
isoclines
Video 6: "NCS - 08 - Jacobian linearization and near equilibrium point
behavior of nonlinear systems"
Tuyến tính hóa Jacobian:
o Một phương pháp để phân tích hành vi của hệ thống phi tuyến gần điểm cân bằng bằng cách tuyến tính hóa hệ thống.
o Hạn chế của bức họa pha: Chỉ áp dụng cho hệ thống bậc hai, khó vẽ.
o Tuyến tính hóa giúp có thể sử dụng các công cụ phân tích hệ thống tuyến tính (ví dụ: giá trị riêng).
Taylor Series Expansion:
o Sử dụng khai triển Taylor để xấp xỉ hàm phi tuyến bằng một hàm
tuyến tính gần điểm cân bằng.
o Ma trận Jacobian: Chứa các đạo hàm riêng của hàm phi tuyến, đánh
giá tại điểm cân bằng
o Tính ma trận Jacobian cho hệ thống mạch diode tunnel
o Đánh giá ma trận Jacobian tại các điểm cân bằng khác nhau
o Phân tích tính ổn định của hệ thống gần các điểm cân bằng dựa trên
giá trị riêng của ma trận Jacobian
Hạn chế:
Trang 11o Phương pháp tuyến tính hóa Jacobian chỉ cung cấp thông tin về hành
Video 7: "NCS - 09a - Index theorem for prediction of limit cycles"
Định lý Index (Chỉ số) để dự đoán chu kỳ giới hạn:
o Mục đích: Để xác định liệu có tồn tại chu kỳ giới hạn trong một hệ
thống phi tuyến hay không
o Định lý Index: Nói rằng tổng số chỉ số của các điểm cân bằng bên
trong một chu kỳ giới hạn phải bằng +1
o Chỉ số: Một đặc tính của điểm cân bằng, có thể là +1 (nút, tiêu điểm,
tâm) hoặc -1 (điểm yên ngựa)
o Điều kiện cần: Nếu tổng số chỉ số của các điểm cân bằng bằng 0 hoặc
khác 1, thì không thể có chu kỳ giới hạn nào tồn tại trong hệ thống
o Ví dụ khác: Một số hệ thống được phân tích để xác định liệu có tồn
tại chu kỳ giới hạn hay không
o Kết luận: Định lý Index có thể giúp xác định sự không tồn tại của chu
kỳ giới hạn, nhưng không đảm bảo sự tồn tại của chúng.
Video 8: "NCS - 10 - Basic Concept of the Describing Function Analysis"
Phân tích hàm mô tả:
o Mục đích: Phân tích sự tồn tại của chu kỳ giới hạn trong hệ thống phi
tuyến
o Hạn chế của các phương pháp khác: Bức họa pha chỉ dành cho hệ
thống bậc hai, định lý Index và Bendixson chỉ có thể dự đoán sự không tồn tại của chu kỳ giới hạn
o Ứng dụng: Phân tích hàm mô tả áp dụng cho hệ thống có dạng: phần
tuyến tính (hàm truyền) và một phần phi tuyến