Chuyen de tam giac dong dang dinh li talet

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TAM DẠNG ĐỒNG DẠNG, ĐỊNH LÝ TALET GIÚP THẦY CÔ VÀ HỌC SINH ÔN THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2024-2025

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

CHỦ ĐỀ 1: ĐỊNH LÍ TA-LÉT

TA-LÉT (625-547 TCN) Thalès de Milet (Ta-lét) là một triết gia, một nhà toán học người Hy Lập sống trước Socrates,

người đứng đầu trong bảy nhà hiền triết của Hy Lạp Ông cũng được xem là một nhà triết gia đầu tiên trong nền triết học Hy Lạp cổ đại, là “cha đẻ của khoa học”

Tỉ số của hai đoạn thẳng

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo

Chú ý: Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo

Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B' ' và C'D' nếu có tỉ lệ thức

' ' ' '

AB A B

CD C D= hay ' ' ' '

A B =C D

Định lí Ta-lét Định lí

GT ∆ABC B C BC: ' ' ( 'B AB C∈ , '∈AC)

KL ' '; ' '

' '

AB = AC B B C C= ;

' '

B B C C

AB = AC

Định lí đảo

GT ∆ABC B AB C AC: '∈ , '∈

' ' ' '

B B C C=

KL B C BC' '

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Hệ quả

GT ∆ABC B C BC: ' ' ( 'B AB C∈ , '∈AC)

KL AB' AC' B C' '

AB = AC = BC

TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Định nghĩa

     ' ; ' ; ' ' ' ' A A B B C C' ' ' ' ' '

k









(k: tỉ số đồng dạng)

Tính chất

'

h =

',

h h tương ứng là đường cao của tam giác ABC và tam giác A B C ' ' '

2 ' ; '

p = S =

',

p p tương ứng là nửa chu vi của tam giác A B C và tam giác ABC; ' ' ' ',

S S tương ứng là diện tích của tam giác A B C và tam giác ABC ' ' '

Các trường hợp đồng dạng của tam giác

1 Cạnh – cạnh – cạnh

GT ∆ABC A B C,∆ ' ' ' :

' ' ' ' ' '

KL ∆ABC∆A B C' ' '

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

2 Cạnh – góc – cạnh

GT ∆ABC A B C,∆ ' ' ' :

  ' ' ' ' ; '

KL ∆ABC∆A B C' ' '

3 Góc – góc

GT ∆ABC A B C,∆ ' ' ' :

   '; '

A A B B= =

KL ∆ABC∆A B C' ' '

I CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các bài toán tính toán

Phương pháp giải

Dựa vào các đường thẳng song song suy ra các tỉ số độ dài giữa các đoạn thẳng đã biết và đoạn thẳng chưa biết

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB=15cm , M là một điểm trên đoạn thẳng AB sao cho 7

4

MA

MB =

Tính độ dài MA và MB

Giải chi tiết

4 7 4 7 4 11 11

MB

+

+ 9,55 ; 5,45

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Ví dụ 2: Tính độ dài x trong các hình sau:

Giải chi tiết a) Do DE BC nên theo định lí Ta-lét ta có: 2 3 14

b) Do DE AB BC AB⊥ , ⊥ nên DE BC

Từ đó, theo định lí Ta-lét ta có: 3 4 4,875

4 2,5

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC=15cm Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho

AK KI IH= = Qua I và K vẽ các đường thẳng EF, MN song song với BC (

, ; ,

E M AB F N AC∈ ∈ ) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF

Giải chi tiết

MK BH nên theo định lí Ta-lét ta có:

1 3

AM AK

AB = AH =

Lại có MN BC nên theo định lí Ta-lét ta có:

3

EI BH nên theo định lí Ta-lét ta có:

2 3

AB AH= =

EFBC nên theo định lí Ta-lét ta có: 2 10

3

Dạng 2: Các bài toán chứng minh

Phương pháp giải

Các bài toán chứng minh sử dụng định lí Ta-lét thường gặp là các bài toán chứng minh các đẳng thức hay chứng minh hai đường thẳng song song

- Trong trường hợp bài toán chứng minh đẳng thức, sử dụng định lí Ta-lét cho các đường thẳng song song để biến đổi hai vế của đẳng thức

- Trong trường hợp chứng minh hai đường thẳng song song, ta thường chứng minh các tỉ

lệ bằng nhau rồi dùng định lí Ta-lét đảo để suy ra các đường thẳng song song

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, từ điểm D trên cạnh BC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và AC, chúng cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F

Chứng minh rằng: AE AF 1

AB AC+ =

Giải chi tiết

Để chứng minh đẳng thức AE AF 1

AB AC+ = , ta sẽ tìm từng

tỉ số AE,AF

AB AC

Do DE AC nên theo định lí Ta-lét ta có: AE DC

AB BC=

(1)

Do DF AB nên theo định lí Ta-lét ta có: AF BD

AC BC= (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: AE AF DC BD 1

AB AC BC BC+ = + = (đpcm)

Ví dụ 2: Đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD và đường chéo AC của hình bình hành ABCD lần lượt tại E, F và I Chứng minh rằng

AF

AB AD AC

AE+ = AI

Giải chi tiết

Để chứng minh AB AD AC

AE AF+ = AI , ta sẽ tìm từng tỉ số ,

AB AD

AE AF

Kẻ BG EF G AC DH EF H AC ( ∈ ),  ( ∈ )

Gọi O là giao điểm của BD và AC

Khi đó, theo định lí Ta-lét ta có:

AF

;

AB AG AD AH

AF

2

Do BG DH E,  F nên BG DH ⇒GBO HDO = Từ đó ∆BGO= ∆DHO (g.c.g)

Suy ra GO OH= ⇒2AG GH+ =2AG+2GO=2AO AC=

Do đó,

AF

AB AD AC

AE+ = AI (đpcm)

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD ( AB CD và AB CD< ), các cạnh bên AD và BC cắt nhau tại

E

a) Tính BC biết AE=2, AD=2 và CE = 6

b) Từ điểm M bất kỳ trên đáy CD, kẻ MC DE' và MD CE C CE D DE' ( '∈ , '∈ ) Chứng minh rằng 'D E EC' 1

ED + EC =

Giải chi tiết a) Do AB CD nên theo định lí Ta-lét ta có:

1

2

b) Do D M CE'  nên theo định lí Ta-lét ta có: 'D E MC

DE = DC (1)

Do C M DE'  nên theo định lí Ta-lét ta có: 'C E DM

EC = DC (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: 'D E C E MC DM' 1

DE + EC = DC + DC = .

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG CHỦ ĐỀ 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

I CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tỉ số, diện tích

Phương pháp giải

Dựa vào tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng, tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính chu

vi, diện tích hay tỉ số chu vi, diện tích

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB=6 ,cm AC=9 ,cm BC=12cm và ∆MNP có

24 , 18 , 12

MN= cm NP= cm MP= cm

a) Chứng minh ∆ABC∆MNP

b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác trên

Phân tích đề bài

Giả thiết cho các yếu tố về cạnh mà không cho về góc nên ta định hướng chứng minh hai tam giác này đồng dạng theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh

Giải chi tiết a) Ta có: 1

2

MP NP MN= = = nên ∆ABC∆PMN (c.c.c)

b) Do ∆ABC∆PMN nên

2 1 4

ABC MNP

S AB

S∆∆ MP

 

=  =

 

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AB=4 ,cm AC=3cm

a) Chứng minh ∆HAC~∆ABC

b) Tính độ dài CH

Giải chi tiết a) Xét ∆HAC và ∆ABC có: BAC AHC = =90 ;° C chung nên

~

∆ ∆ (g.g)

b) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC ta dễ dàng

tính được BC=5cm

Do ∆HAC~∆ABC nên

3 1,8

3 5

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD ( AB CD ) có DAB DBC = và AD=5 ,cm AB=3 ,cm BC=9cm

a) Chứng minh ∆DAB~∆CBD

b) Từ câu a, tính độ dài DB, DC

c) Tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích tam giác ABD bằng 5cm2

Giải chi tiết a) AB CD ⇒ ABD BDC=

Xét ∆DAB và ∆CBD có:    DAB DBC ABD BDC= ; = nên ∆DAB~∆CBD (g.g)

b)

5 3

~

9

∆ ∆ ⇒ = = ⇒ = = ⇒BD=5,4 ;cm CD=9,72cm

c) Kẻ DH vuông góc với AB tại H

Theo giả thiết: 5 1 5 10

ABD

Từ đó: 1 ( ) 1 10. (3 9,72) 106 2

ABCD

Ví dụ 4: Cho DE BC , D là một điểm trên cạnh AB, E là một điểm trên cạnh AC sao cho

DE BC Xác định vị trí của điểm D sao cho chu vi tam giác ADE bằng 2

5 chu vi tam giác

ABC Tính chu vi của hai tam giác đó, biết tổng 2 chu vi bằng 63cm

Giải chi tiết

Do DE BC nên dễ dàng chứng minh được ∆ADE~∆ABC (g.g) với tỉ số đồng dạng

AD k AB

= Khi đó AD kAB AE kAC= , = và DE kBC= nên

CV∆ =k CV∆ (1)

Theo giả thiết chu vi tam giác ADE bằng 2

5 chu vi tam

giác ABC suy ra 2

5

k =

Vậy 2

5

AD= AB

2

5

CV

k∆ ∆ ∆ k ∆

+

18 , 45

CV∆ cm CV∆ cm

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Dạng 2: Chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh hệ thức đẳng thức sử dụng tam giác đồng dạng

Phương pháp giải

1) Đối với bài toán chứng minh tam giác đồng dạng:

- Xét xem hai tam giác cần chứng minh đồng dạng đã có cặp cạnh nào tỉ lệ chưa? Có góc nào bằng nhau chưa?

- Từ đó, định hướng chứng minh chúng đồng dạng theo trường hợp nào?

- Chứng minh các yếu tố còn thiếu để được đồng dạng theo trường hợp đã định hướng ở trên

Ví dụ: Cần chứng minh ∆ABC∆A B C' ' '

- Xem xét hai tam giác nhận thấy chúng đã có một cặp góc tương ứng bằng nhau: giả sử

 '

A A=

- Từ đó, định hướng chứng minh theo trường hợp g.g hoặc trường hợp c.g.c

- Nếu chứng minh theo trường hợp g.g ta cần chứng minh thêm một cặp góc bằng nhau

 '

B B= hoặc C C '=

- Nếu chứng minh theo trường hợp c.g.c ta cần chứng minh ' 'A B A C' '

AB = AC

- Sau đó, dựa vào giả thiết để chọn hướng chứng minh phù hợp

2) Đối với bài toán chứng minh đẳng thức

Sử dụng tam giác đồng dạng phù hợp để biến đổi từng vế của đẳng thức cần chứng minh

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Đường phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại

D Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại E

a) Chứng minh ∆DEC∆ABC

b) Chứng minh DE DB=

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Phân tích đề bài

Cần chứng minh gì? ∆DEC~∆ABC

Hai tam giác đã có gì? C chung, hai góc vuông

Ta sẽ chứng minh hai tam giác đồng dạng

theo trường hợp nào? Góc – góc

Giải chi tiết

Xét tam giác ∆DEC và ∆ABC có: C chung; CDE BAC  90= = ° nên

~

∆ ∆ (g.g)

Do ∆DEC~∆ABC nên DE CD

AB AC= (1)

Mặt khác, AD là tia phân giác của BAC nên theo tính chất đường

phân giác ta có: CD BD

AC AB= (2)

Từ (1), (2) suy ra DE BD

AB AB= hay DE BD=

Ví dụ 2: Cho tam giác ∆ABC có AB=9 ,cm AC=6cm Điểm D nằm trên cạnh AB sao cho

2

AD= cm Gọi E là trung điểm của AC Chứng minh ∆AED~∆ABC

Phân tích đề bài

Nhận xét thấy trong bài toán này giả thiết đã biết các yếu tố về độ dài, hơn nữa hai tam giác

ABC

∆ và ∆AED có A chung nên ta sẽ định hướng chứng minh theo trường hợp c.g.c

Giải chi tiết

Ta có: AE=3, AD=3, AC=6, AB=9 suy ra 1

3

AD AE

AC AB= =

Xét ∆AED và ∆ABC có: A chung, AD AE

AC AB=

⇒∆AED~∆ABC (c.g.c)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ đường cao AH của

tam giác

a) Chứng minh rằng: ∆AHB~∆CAB Từ đó suy ra

AB =HB BC

b) Kẻ HM AB⊥ và HN AC⊥ Chứng minh AM AB AN AC =

c) Chứng minh ∆AMN~∆ACB

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Giải chi tiết a) xét hai tam giác ∆AHB và ∆CAB có: ABH chung, BHA=90 ,° BAC=90°

~

⇒ ∆ ∆ (g.g)

Do ∆AHB~∆CAB nên HB AB

AB BC= , từ đó suy ra AB2 =HB BC

b) Xét ∆AHM và ∆ABH có:  chung;   90AMH AHB= = °

~

⇒ ∆ ∆ (g.g) AH AM AH2 AM AB

Xét ∆AHN và ∆ABH có: NAH chung;   90ANH AHC= = °

~

AC AH

Từ (1), (2) suy ra: AM AB AN AC =

c) Ta có: AM AB AN AC AM AN

Xét ∆AMN và ∆ABC có:  chung; AM AN

AC = AB nên ∆AMN~∆ACB (c.g.c)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC Lấy các điểm D và E trên AB,

AC sao cho DME B =

a) Chứng minh rằng ∆BDM~∆CME

b) Chứng minh rằng ∆MDE~∆DBM

c) Chứng minh rằng không đổi

Phân tích đề bài

Cần chứng minh gì? ∆BDM~∆CME ∆MDE~∆DBM

Hai tam giác đã có gì? B C = B M = Định hướng chứng minh theo

trường hợp nào? Góc – góc Cạnh – góc – cạnh

Cần chứng minh thêm gì? DMB MEC = hoặc

 

BDM EMC=

ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Giải chi tiết a) Ta có: DMC B BDM  = + (góc ngoài tại đỉnh M của tam giác BDM) suy ra B BDM DME EMC   + = +

Mặt khác, B DME = nên ta có  BDM EMC= Xét ∆BDM và ∆CME có:    BDM EMC B C= , = Suy ra ∆BDM~∆CME (g.g)

b) Do ∆BDM~∆CME (câu a) nên BD DM BD DM BD BM

CM = ME ⇒ BM = ME ⇒ DM ME=

Xét ∆MDE và ∆DBM có:  ; BD B M BM

DM ME

= = nên ∆MDE~∆DBM (c.g.c)

c) Do ∆BDM~∆CME (câu a) nên 2

4

CM = CE ⇒ = = không đổi