Phần thứ nhất: Đại sốI.
Trang 1Phần thứ nhất: Đại số
I Biến đổi đồng nhất
*Bài 2: Cho a là nghiệm của phơng trình: x2 - 5x + 1 = 0
Tính giá trị biểu thức:
a
− + ữ+ + ữ− + ữ
*Bài 3: Cho các số a, b ∈ R thoả mãn
(a - 3) (b - a) + (a - b) (b - 3) + (a -3) (3 - b) + 3 = 0
Tính giá trị biểu thức: (a b− )2 + −(a 3)2 + −(b 3)2
*Bài 4: Cho x2 + y2 = 1 và x4
a + y4 1
b = a b
+ Tính :
a + b
*Bài 5: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau thoả mãn ab + ac + bc = 1
a b b c c a
*Bài 6: Cho a + b + c = 0; a, b, c ∈ Q
Chứng minh rằng: M= 12 12 12
Ta có: 12 12 12
a +b +c =
a b c ab bc ac a b c abc a b c
+ +
Vậy M là bình phơng của một số hữu tỷ
*Ví dụ 2 : Cho abc = 1, biết biểu thức sau đợc xác định
ab a +bc b +ca c
Giải:
ab a +bc b +ca c
1
abc ac c+abc abc ac +ca c
ca c ca c ca c ca c
+ +
*Bài 5 : Cho x,y,z đôi một khác nhau Tính giá trị của biểu thức :
M =
(y z z x xy) ( ) (+ z x x y) (yz ) (+ x y y z) (xz )
y z− ; b =
y
z x− ; c =
z
x y−
ta có : (a+1)(b+1)(c+1) = (a-1)(b-1)(c-1) nên M = ab+bc+ca = 1 )
Bài 5 Chứng minh rằng không thể có các số nguyên a,b,c,d nào thoả mãn đẳng thức :
Giải :
Trang 2Bài 5 :
Giả sử ta có các số nguyên a,b,c,d thoả mãn các đẳng thức đã cho Phân tích vế trái của đẳng thức đã cho thành nhân tử , ta có
Vế trái của (1) là số lẻ → vế trài của (1) là tích hai số lẻ → a là số lẻ
Tơng tự ta có : b,c,d là số lẻ nên a,b,c,d, là số lẻ
Hiệu (abcd - a ) là một số chẵn Mâu thuẫn (1)
Bài 6 Chứng minh rằng đa thức x10y10 + 1 không thể viết đớc dời dạng f(x).g(y) với f(x) và g(y)
là các đa thức với hệ số đều là số nguyên
Giải Bài 6 : Giả sử
x10y10 + 1 = f(x).g(y) = (a0x10 + a1x9 + … + a10 )( b0y10 + b1y9 + … + b10) (1)
Trong đó a10b10 = 1 nên a10 = b10 = 1 hoặc a10 = b10 = -1
Giả sử a10 = b10 = 1 thì x10y10 + 1 = f(x).g(y) = (a0x10 + a1x9 + … + 1)( b0y10 + b1y9 + … + 1)
(2)
V.Bất đẳng thức , bất phơng trình ,cực trị đại số
Bài 1: Cho x ≥ 2; y≥ 2
Chứng minh rằng: (x + y) (x2 + y2) ≤ x5 + y5
Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
b a
c a c
b c b
a c
c b
b a
a
+
+ +
+ +
≤
≤ +
+ +
+
3 1
1
Bài 3: Chứng minh rằng:
4006
2001 )
2002 2001
( 4003
1
) 4 3 ( 7
1 )
3 2 ( 5
1 )
2 1
(
3
1
<
+ +
+ +
+ +
+ +
Bài 4: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6 Chứng minh rằng:
512
729 1
1 1
1
+
+
+
c
a b a
Bài 5: Cho abc = 1; a3 > 36,
Chứng minh rằng:
3
2
a + b2 + c2 > ab + bc + ca Bài 6 : Chứng minh rằng
Nếu x, y, z ≥ 0 thì x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y) ≥ 0
Bài 7: Cho a, b, c ∈ [0;2] có a + b + c = 3 CMR: a2 + b2 + c2 < 5
Bài 8: Cho các số thực dơng a , b , c thoả mãn abc = 1
a b c +b c bc +c a ac
Bài 9: CMR nếu x, y ∈ Â+ thì một trong hai bất đẳng thức sau là sai:
1
xy ≥ 2 2
1
x x y+ ≥
1
x x y
Trang 3Bài 10: Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng:
3
+ + +
≥
+ +
+ +
c
b a b
a c a
a
b
Bài 11: Chứng minh rằng: Mọi a, b, c, d, p, q > 0 ta có:
qa pc
q p qc pb
q p qb pa
q p c b
+ + +
+ + +
+
≥ +
1
Bài 12 : Cho x, y thay đổi sao cho 0 ≤x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 4
Tìm Max của P = (3 – x) ( 4 – y) (2x + 3y)
Bài 13: Tìm GTLN và GTNN của xy với x, y là nghiệm của phơng trình:
x4 + y4 – 3 = xy (1 – 2xy)
Bài 14: Giải bất phơng trình: (x+1) (x+2) (x+3) (x+ − ≥4) 3 0
H
ớng dẫn giải
Bài 1: Vì x ≥ 2; y≥ 2 => x2 + y2 ≥ 4 => 2
2
2 2
≥ +y x
=> 2
2
2 2
2
x y
x+ ≤ + +
=>
2 2
2
3
x y
x+ ≤ +
=> 2.(x+ y)(x2 +y2)2 ≤(x3 +y3)(x2 + y2)≤ x5 + y5
Bài 2: Ta có :
2
1
+a
a
a + b + c ≤
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
a b c
Đặt a+b= x ; b+c =y ; c+a = z ta có
2
9 1 1
≥
− +
− +
−
<=>
≥
+ + +
z y x z y
Bài 3: Xét
2
2
n
S
+
) 2 ( 2 2
2 1 4 4
2 1
4 4
2 1
2
2 + + = − + => < +
−
<
+
−
<
n
n S
n n
n n
với n = 2001 ta có:
Trang 42001 2003
2001 2003
2 1
2S2001 < − = =>S2001 <
+
+
1
1 1
1 1
c b
a
c b a c a c b b a c
b
+
+
3 3
3 3 2 2 2
1 1 1
3 3
+
= +
+ +
≥
abc c
b a c b a abc
Theo bất đẳng thức cosi:
3
a b c
abc
+ +
≤ ữ = => ≤ => ≥
Vậy
512
729 8
1 1
3
=
+
≥
3
a
b c ab bc ac
+ + > + +
<=>
3
2
a + b2 + c2 – a(b+c) – bc > 0
<=>
3
2
a + (b + c)2 – a(b+c) – 3bc > 0 (*)
Thay bc =
a
1
ta đợc:
(*) <=>
3
2
a + (b + c)2 – a(b+c) –
a
3 > 0
<=> a( b + c)2 – a2 (b + c) +
3
3
a - 3 > 0
Đặt b + c = x ta có: ax2 – a2x +
3
3
a - 3 > 0 Với mọi x
Điều này tơng đơng: ∆ = a4 – 4a (
3
3
a - 3) < 0
<=> a4 - 12 0
3
<
+ a a
<=> 12a (36 – a3) < 0 đúng vì a3 > 36
Bài 6:- Do vai trò bình đẳng của x, y, z nên có thể giả sử z ≥ y ≥ x
Khi đó: x(x - y) (x - z) ≥ 0 (1)
Mặt khác: z (z - x) ≥ y(y - z)
Do vậy: z (z - x) (z - y) ≥ y(y - x) (z - y)
⇒ z (z - x) (z - y) + y(y - z) (y - x) ≥ 0 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ đpcm
Trang 5Bài 7: - Do a, b, c ∈ [0;2] nên (2 - a) (2 - b) (2 - c) ≥ 0
⇔ 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ac) - abc ≥ 0
⇔ 2 (ab + ac + bc) ≥ 4 + abc ≥ 4
⇔ (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) ≥ 4
⇔ (a2 + b2 + c2) < 5 Dấu "=" xảy ra khi a, b, c có một số bằng 2; một số bằng 0; một số bằng 1
Bài 8 :Ta có: (a3 - b3) (a2 - b2) ≥ 0 ⇔ (a5 + b5) ≥ a2 b2 (a + b)
Do đó :
2
a b ab ≤a b a b ab cì =a b c
Tơng tự: 5 bc5
a +b +ab <
a
a b c+ + (2)
5 ca5
c +a +ac <
b
a b c+ + (3) Từ (1) ; (2) và (3) ta có điều cần chứng minh
Bài 9 :- Giả sử cả hai bất đẳng thức đều đúng khi đó:
5 xy ≥ x2 + y2 và 5 x(x + y) ≥ x2 (x + y)2
⇒ 5 (x2 + 2xy) ≥ 3x2 + 2xy + 2y2
⇒ 2y2 - 2( 5 - 1)xy + (3 - 5 )x2≤ 0
⇒ 4y2 - 4 ( 5 - 1)xy + (6 - 3 5 )x2≤ 0
⇒ (2y)2 - 2 2y ( 5 - 1)x + [( 5 - 1)]2≤ 0
⇒ [2y - ( 5 - 1)x]2≤ 0
Điều này không xảy ra vì ( 5 - 1)x là số vô tỷ không thể bằng 2y khi x ,y ∈Â +
Bài10:- Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có:
2
b c c a a b bc ca ab
b c c a a b ca ab ab bc bc ca
⇔ + + ≥ + ữ ữ + + ữ ữ + + ữữ
6
b c c a a b
(Bất đẳng thức cosi cho 3 số)
Dấu bằng xảy ra khi a = b= c =1
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxi ta có:
b
q a
p qb
b
q pa a
p q
+
≤
+
= +
2 2
c
q b
p q
+
≤ +
a
q c
p q
+
≤ + 2
Trang 6Do đó ( ) ( )
+ + +
≤
+
+ +
+ +
+
c b a q p qa pc qc pb qb pa q
qa pc
q p qc pb
q p qb pa
q p c b
+ + +
+ + +
+
≥ + +
=> 1 1 1
Bài 12: Ta có: P =
6
1(6 – 2x) (12 – 3y) (2x + 3y)
3
3
6 3
3 2 3 12 2 6
P
P≤ 36
Pmax = 6 <=>
=
=
⇔
≤
≤
≤
≤
+
=
−
=
−
2
0 4
0
3 0
3 2 3 12 2 6
y
x y
x
y x y x
Bài 13: Ta có: x4 + y4 – 3 = xy ( 1- 2xy)
<=> xy + 3 = x4 + y4 + 2x2 y2
<=> xy + 3 = (x2 + y2)2
Do (x2 + y2)2 ≥ 4x2y2 do đó:
xy+ 3 ≥ 4x2y2
Đặt xy = t ta có: 4x2y2 – xy – 3 ≤ 0
hay 4t2 – t – 3 ≤ 0 <=> 1
4
Vậy (xy)max = 1 khi x = y = ± 1
(xy)min =
4
3
− khi x = y = ±
2 3
Bài1 4: Ta có:
+ + + + − ≥ ⇔ + + + + − ≥
Đặt x2 +5x +4 = t thì x2 +5x +6 = t +2
3
t
t t
t
≥
≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≤ −
Với t≤ −3 ta có: x2+5x+8
2
x
≤ ⇔ + ữ + ≤
Với t ≥1 ta có:
2
Bài tập chung của chơng bát đẳng thức
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
Trang 7a) P =
1
1503 2004
2 +
+
x x
b ) P =
2
x
x
x − +
Bài 7: Cho 0 < x < 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
) 1 (
1 4
2
2
x x
x
− +
Bài 8: Cho 0 ≤x, y, z ≤ 1
Tìm max và min của: P = x + y + z – xy – yz – xz (Pmax = 1; Pmin = 0)
< P = (1 – x) (1 – y) ( z – 1) – xyz + 1 ≤ 1)
Bài 9: Chứng minh rằng:
a) + ≥2 ∀a,b>0
c
b b
a
1
3 ) 1 (
1 )
1 (
1 )
1 (
1
+
≥ +
+ +
+
y
Bài 10: Cho 0 < a, b, c, d < 1 Chứng minh rằng ít nhất có 1 bất đẳng thức sau là sai
2a ( 1- b) > 1 3b (1 – c) > 2 8c ( 1- d) > 1 32d ( 1 – a) > 3 (Chứng minh bằng phản chứng)
Bài 11: Chứng minh rằng:
a) Với mọi a, b dơng ta có:
b a b
a+ ≥ +
4 1 1 b) Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi thì:
+ +
≥
−
+
−
+
−a p b p c a b c
p
1 1 1 2 1 1
1
Bài 12: Cho 2 số dơng a, b, c thoả mãn (a + b) (a + c) = 1 Chứng minh rằng:
a) abc( a + b + c)
4
1
≤ b) a( ab + bc + ca)
9
3 2
≤
Bài 13: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng: a4 +a2 + b4 +b2 + c4 +c2 ≤1+a2 +b2 +c2
Bài 14: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn a + b + c = 1
Bài 15: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn a + b + c = 1
Chứng minh rằng: (a + bc) (b + ca) ( c + ab)
81
64
H ớng dẫn giải:
Bài 9: a) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dơng + ≥2 . =2
a
b b
a c
b b a
Trang 8b) (1) <=> 3
) 1 (
1 )
1 (
1 )
1 (
+
+ + +
+ + +
+
x z
xyz z
y
xyz y
x xyz
) 1 (
1 1
) 1 (
1 1
) 1 (
+
+ +
+
+ +
+
+
x z
xyz z
y
xyz y
x xyz
) 1 (
1 )
1 (
1 )
1 (
+
+ + + + +
+ + + + +
+ + +
z z
z xz xyz z
y
y yz xyz y
x
x xy xyz
1
) 1 ( ) 1 (
1 1
) 1 ( ) 1 (
1 1
) 1 ( ) 1 (
+
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+
x
y x x
z
z z
x z z
y
y y
z y y
x
x
) 1 (
1 1
) 1 ( ) 1 (
1 1
) 1 ( 1
) 1 ( ) 1 (
1
≥
+
+ + +
+ +
+
+ + +
+ +
+
+ + +
+
x z
z z
x z z
y
y y
z y x
y x y
x x
áp dụng (a) cho mỗi cặp ta có điều phải chứng minh
Bài 4: a) Bất đẳng thức Cosi cho 2 số a(a + b + c) + bc ≥2 ab(a+b+c)
=> abc ( a + b + c) ≤
4 1
b) Bất đẳng thức Cosi cho 3 số dơng: a2;
2
; 2
ca bc ab ca bc
ab+ + + +
1= (a + b) ( a + c) = a2 (ab + bc + ca)
2
4
) (
2 2
ca bc ab a ca bc ab ca bc
ab+ + + + + ≥ + +
=> a2 (ab + bc + ca)2
27
1
≤ => a(ab + bc + ca)
9
3 2
≤
Bài 5:
2
2 ) )(
( ) )(
( )
1 (
2 2
2 2
2 2 2
ac a ab a c
a b a a a
a a
Bài 6: a+bc = a(a+b+c)+bc = (a+b)(a+c) ≥(a+ bc)
(Bất đẳng thức Bunhiacopxki) (Chú ý: (a + b) (a + c) = a2 + (ab + ac + bc)
Bài 17: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 (Bunhiacpxki cho 3 cặp số)
hớng dẫn: (a3 + b3 + c3)2 = a.a2 + b.b2 + c.c2 ≤(a2 + b2 + c2) (a4 + b4 + c4)
3
3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
4 4 4
=
= + +
≥ + +
+ +
≥ + +
+ +
≥ + +
+
c b a
c b a c b a
c b a c b a
c b a
Bài 18: Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh rằng:
c b
c b a
b a c
a c b b
ca b
a a
bc a
c
c
ab
+
+ +
+ +
≥ +
+ +
+
(