Bài tập chương 2 lý thuyết tối Ưu tuyến tính

Chứng minh rằng tập phương án, tập nghiệm của bài toán quy hoạch tuyếntính là tập lồi đa diện.Lời giải Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát φu → min fiu ≥ ai i = 1, mtrong đó

KHOA TOÁN - TIN HỌC

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

LÝ THUYẾT TỐI ƯU TUYẾN TÍNH

Giảng viên: TS Phạm Duy Khánh

Trợ giảng: Quách Tấn Phát

TP.HCM, 2024

Danh sách thành viên nhóm 1

STT Họ và tên MSSV Phân chia công việc

1 Lê Quốc Bảo 48.01.101.005 Bài tập 1

2 Phạm Hữu Dư (Nhóm trưởng) 48.01.101.009 Bài tập 1

3 Nguyễn Quang Thanh Lâm 48.01.101.035 Bài tập 1

4 Huỳnh Lai Bách Tỷ 48.01.101.101 Bài tập 1

5 Phạm Trần Út Yên 48.01.101.107 Bài tập 1

Trang 1

Khi đó P = {x ∈ Rn: Ax ≥ b} Vậy (P ) tập lồi đa diện.

3 Chứng minh tập gồm đường thằng trong Rn là tập lồi đa diện

an1x1+ an2x2+ + annxn≥ bn

−an1x1 − an2x2 + − annxn ≥ −bn

là tập lồi đa diện.

4 Chứng minh tập gồm đoạn thẳng trong Rn là tập lồi đa diện

an1x1+ an2x2+ + annxn≥ bn

−an1x1 − an2x2 + − annxn ≥ −bn

xi ≥ ci

−xi ≥ diKhi đó (P ) là đoạn thẳng có dạng

Trang 3

Bài tập 2 Chứng minh rằng tập phương án, tập nghiệm của bài toán quy hoạch tuyếntính là tập lồi đa diện.

Lời giải

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát

(φ(u) → min

fi(u) ≥ ai (i = 1, m)trong đó φ, fi : Rn → R là các hàm tuyến tính và ai ∈ R

Ta chứng minh tập phương án của bài toán là tập lồi đa diện

Gọi M = {u ∈ Rn: fi(u) ≥ ai, i = 1, m} là tập phương án của bài toán, rõ ràng M ⊂ Rn

Do fi là các hàm tuyến tính nên tồn tại vecto ci trong Rn sao cho fi(u) = ⟨ci, u⟩ Đặt ci =(ci1, ci2, , cin) với i = 1, m

Ta chứng minh tập nghiệm của bài toán là tập lồi đa diện

Gọi M∗ là tập nghiệm của bài toán quy hoạch tuyến tính

Nếu M∗ = ∅ thì theo Bài tập 2 M là tập lồi đa diện

Giả sử M∗ ̸= ∅, lúc này tồn tại số thực α sao cho

min

u∈Mφ(u) = α

Hay nói cách khác φ(u) = α với mọi u thuộc vào M∗

Mặt khác, do φ là ánh xạ tuyến tính nên tồn tại vecto t = (t1, t2, , tn) sao cho φ(u) = ⟨t, u⟩.Viết lại điều kiện φ(u) = α thành ⟨t, u⟩ ≥ α và ⟨−t, u⟩ ≥ −α, lúc này tập nghiệm được viếtbởi mô tả sau

M∗ = {u ∈ Rn : ⟨t, u⟩ ≥ α, ⟨−t, u⟩ ≥ −α và fi(u) ≥ ai, i = 1, m}

Như vậy M∗ là một tập lồi đa diện, hay nói cách khác tập nghiệm của bài toán quy hoạch tuyến

Bài tập 3 Chứng minh các phát biểu trong Nhận xét 2.5.

Lời giải

Các phát biểu trong nhận xét 2.5

a) Các siêu phẳng và các nửa không gian là các tập hợp đóng, khác rồng Một số trườnghợp đặc biệt:

n = 1: Các siêu phẳng là các điểm, các nửa không gian là các tia

n = 2: Các siêu phẳng là các đường thẳng, các nửa không gian là các nửa mặt phẳng

n = 3: Các siêu phẳng là các mặt phẳng, các nửa không gian là các nửa không gian theonghĩa thông thường trong không gian ba chiều

b) Các siêu phẳng đi qua gốc là các không gian con của Rn có số chiều n − 1

c) Một siêu phẳng là biên của nửa không gian tương ứng Vectơ a trong định nghĩa siêuphẳng vuông góc với chính siêu phẳng đó

d) Các siêu phẳng chứa các đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ nằm trong chúng Hơn nữacác siêu phẳng có phần trong là rỗng và các nửa không gian có phần trong chính là hiệucủa nó và siêu phẳng định ra nó

e) Tập lồi đa diện là giao của hữu hạn các nửa không gian

Chứng minh

a) • Các siêu phẳng và nửa không gian là các tập hợp đóng và khác rỗng

Xét tùy ý một siêu phẳng H trong Rn Khi đó H có dạng

tập đóng Ngoài ra S khác rỗng vì ta có thể thấy ngay x = d

c1, 0, , 0 ∈ H, với c1 làthành phần thứ nhất trong biểu diễn tọa độ véctơ c

• Các trường hợp đặc biệt cho từng giá trị của n

n = 1: Trong R, mỗi siêu phẳng được xác định bởi một giá trị duy nhất x = a ∈ R Cácnửa không gian có dạng x ≥ a hoặc x ≤ a, tương ứng với các tia trên R

n = 2: Trong R2, mỗi siêu phẳng có dạng ax + by = c là một đường thẳng Các nửa khônggian có dạng ax + by ≥ c hoặc ax + by ≤ c chính là các nửa mặt phẳng trên R2

n = 3: Trong R3, mỗi siêu phẳng có dạng ax + by + cz = d là một mặt phẳng Các nửakhông gian có dạng ax + by + cz ≥ d hoặc ax + by + cz ≤ d chính là các nửa không gian R3

b) Một siêu phẳng đi qua gốc trên Rn có dạng

3 Đóng dưới phép nhân với vô hướng:

Giả sử x ∈ H, tức là ⟨a, x⟩ = 0., và lấy c ∈ R tùy ý Ta cần chứng minh cx ∈ H

Ta có

⟨a, cx⟩ = c⟨a, x⟩ = 0

Do đó, cx ∈ H

Tiếp theo ta chứng minh số chiều của H là n − 1

Giả sử phương trình siêu phẳng có dạng

⟨a, x⟩ = a1x1+ a2x2+ · · · + anxn = bvới a = (a1, a2, , an) ∈ Rn là vector pháp tuyến và b ∈ R

Để tìm chiều của H, ta cần xác định số vectơ độc lập tuyến tính tối đại để tạo thành H

Vì a ̸= 0 nên tồn tại ít nhất một thành phần của a khác không Giả sử ak ̸= 0 ta có thểgiải phương trình theo xk

xk = b − a1x1− a2x2− · · · − ak−1xk−1− ak+1xk+1− · · · − anxn

akĐiều này cho thấy rằng xk có thể được biểu diễn như một hàm tuyến tính của các biếncòn lại x1, x2, , xk−1, xk+1, , xn

Do đó, trong H, có n − 1 biến tự do (các thành phần xi không bị ràng buộc bởi phươngtrình), tức là có n − 1 vectơ cơ sở Hệ cơ sở này tạo thành một không gian con có số chiều

n − 1

c) Xét một nửa không gian S = {x ∈ Rn : ⟨a, x⟩ ≥ b}, trong đó a ∈ Rn\ {0} và b ∈ R.Biên của S chính là tập hợp các điểm thỏa phương trình ⟨a, x⟩ = b, tức là siêu phẳng

H = {x ∈ Rn : ⟨a, x⟩ = b}

Vectơ a được định nghĩa trong phương trình siêu phẳng ⟨a, x⟩ = b là vectơ pháp tuyến

Để chứng minh vectơ a vuông góc với mọi vectơ trong siêu phẳng H, ta xét hai điểm

x, y ∈ H Khi đó, ⟨a, x⟩ = ⟨a, y⟩ = b Khi đó

⟨a, x − y⟩ = ⟨a, x⟩ − ⟨a, y⟩ = b − b = 0

Điều này chứng tỏ rằng vectơ x − y vuông góc với vectơ a, nghĩa là a vuông góc với mọivectơ thuộc siêu phẳng H

d) • Các siêu phẳng chứa các đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ nằm trongchúng

Xét hai điểm x, y ∈ H, trong đó H là siêu phẳng Đường thẳng xy được xác định bởi

A = {x + t(x − y) : t ∈ R} Ta cần chứng minh rằng mọi điểm trên đường thẳng này đềuthuộc H

Vì x, y ∈ H, nên ⟨a, x⟩ = b và ⟨a, y⟩ = b Với mọi t ∈ R, ta có

⟨a, x + t(x − y)⟩ = ⟨a, x⟩ + t⟨a, x − y⟩ = b + t(b − b) = b

Do đó, x + t(x − y) ∈ H với mọi t ∈ R, chứng minh đường thẳng xy thuộc siêu phẳng H

Rõ ràng mỗi Si được xác định như trên chính là một nửa không gian Do đó ta có thể nói

P là giao của hữu hạn các nửa không gian

□Trang 7

Bài tập 4 Chứng minh Nhận xét 2.7(b):

Tập lồi đa diện, siêu phẳng, nửa không gian là các tập lồi

Lời giải

• Chứng minh nửa không gian là tập lồi

Để thuận tiện trong việc trình bày ta kí hiệu nửa không gian {x ∈ Rn : ⟨a, x⟩ ≥ b} (trong đó

a ∈ Rn là véctơ khác không và số thực b) là H

Lấy hai điểm bất kỳ x, y ∈ H và bất kỳ λ ∈ [0, 1] Ta chứng minh λx + (1 − λ)y ∈ H

Ta có ⟨a, λx + (1 − λ)y⟩ = ⟨a, λx⟩ + ⟨a, (1 − λ)y⟩ = λ ⟨a, x⟩ + (1 − λ) ⟨a, y⟩ (tính chất của tích

vô hướng)

Vì x, y ∈ H nên ⟨a, x⟩ ≥ b và ⟨a, y⟩ ≥ b Hơn nữa, λ ∈ [0, 1] nên λ ≥ 0 và 1 − λ ≥ 0 Từ nhữngđiều này ta suy ra được λ ⟨a, x⟩ + (1 − λ) ⟨a, y⟩ ≥ λb + (1 − λ)b = b hay ⟨a, λx + (1 − λ)y⟩ ≥ b.Vậy λx + (1 − λ)y ∈ H

Do đó ta có điều phải chứng minh

• Chứng minh tập lồi đa diện là tập lồi

Xét bổ đề sau: "Giao của hữu hạn các nửa không gian là tập lồi"

Chứng minh bổ đề: Xét họ {Hi}ni=1 là họ hữu hạn các nửa không gian Ta chứng minh

Lấy hai điểm bất kỳ x, y ∈ H và bất kỳ λ ∈ [0, 1] Ta chứng minh λx + (1 − λ)y ∈ H

Vì x, y ∈ H nên x, y ∈ Hi, ∀i = 1, n Mà Hi là nửa không gian nên Hi là tập lồi với mọi i = 1, n

Do đó λx + (1 − λ)y ∈ Hi, ∀i = 1, n Suy ra λx + (1 − λ)y ∈

n

\

i=1

Hi hay λx + (1 − λ)y ∈ H Vậy

H là tập lồi Ta hoàn tất chứng minh

Quay trở lại bài tập thì theo bài tập 4(e), ta có tập lồi đa diện là giao của hữu hạn các nửakhông gian Do đó áp dụng bổ đề trên ta suy ra được tập lồi đa diện là tập lồi

• Chứng minh siêu phẳng là tập lồi

Để thuận tiện trong việc trình bày ta kí hiệu siêu phẳng {x ∈ Rn : ⟨a, x⟩ = b} (trong đó a ∈ Rn

là véctơ khác không và số thực b) là Q

Lấy hai điểm bất kỳ x, y ∈ Q và bất kỳ λ ∈ [0, 1] Ta chứng minh λx + (1 − λ)y ∈ Q

Ta có ⟨a, λx + (1 − λ)y⟩ = ⟨a, λx⟩ + ⟨a, (1 − λ)y⟩ = λ ⟨a, x⟩ + (1 − λ) ⟨a, y⟩ (tính chất của tích

vô hướng)

Vì x, y ∈ Q nên ⟨a, x⟩ = b và ⟨a, y⟩ = b Từ đây ta suy ra được λ ⟨a, x⟩ + (1 − λ) ⟨a, y⟩ =

λb + (1 − λ)b = b hay ⟨a, λx + (1 − λ)y⟩ = b Vậy λx + (1 − λ)y ∈ Q

Do đó ta có điều phải chứng minh □

Bài tập 5 Cho Ω1 là tập con lồi của Rn và Ω2 là tập con lồi của Rp Chứng minh rằng

Ω1× Ω2 là tập con lồi của Rn× Rp

λx2+ (1 − λ)y2 ∈ Ω2 (2)

Do x1 ∈ Ω1 và x2 ∈ Ω2 nên ta có (x1, x2) ∈ Ω1× Ω2, tương tự (y1, y2) ∈ Ω1× Ω2

Từ (1), (2) ta có

(λx1+ (1 − λ)y1, λx2+ (1 − λ)y2) ∈ Ω1× Ω2hay

(λx1, λx2) + ((1 − λ)y1, (1 − λ)y2)) ∈ Ω1× Ω2hay

λ(x1, x2) + (1 − λ)(y1, y2) ∈ Ω1× Ω2Vậy Ω1× Ω2 là tập con lồi của Rn× Rp □

Trang 9

Bài tập 6 Ánh xạ B : Rn → Rp được gọi là affine nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính

A : Rn → Rp và b ∈ Rp sao cho B(x) = A(x) + b với mọi x ∈ Rn Giả sử Ω là tập con lồicủa Rnvà Θ là tập con lồi của Rp Chứng minh rằng B(Ω) là tập con lồi của Rp và B−1(Θ)

là tập con lồi của Rn

Lời giải

Gọi Ω là tập con lồi của Rn, ta chứng minh B(Ω) là tập con lồi của Rp với B : Rn→ Rp là ánh

xạ affine Ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu B(Ω) = ∅ Khi đó, theo bài tập 2 và 5 ta suy ra được B(Ω) là tập lồitrong Rp

Trường hợp 2: Nếu B(Ω) ̸= ∅ Khi đó, lấy x1, x2 tùy ý trong B(Ω) và số thực λ ∈ [0, 1] tùy

ý Lúc này, tồn tại y1, y2 thuộc Ω sao cho

B(y1) = x1 và B(y2) = x2.Mặt khác, do B là ánh xạ affine nên tồn tại một ánh xạ tuyến tính A : Rn→ Rp và b ∈ Rp saocho B(x) = A(x) + b với mọi x ∈ Rn

b phải thuộc vào B(Ω) hay λx1+ (1 − λ)x2 thuộc vào B(Ω)

Như vậy B(Ω) là một tập lồi trong Rp

Giả sử Θ là một tập con lồi của Rp, ta chứng minh B−1(Θ) là một tập lồi trong Rn Ta cũngxét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu B−1(Θ) = ∅ Khi đó, theo bài tập 2 và 5 ta suy ra được B−1(Θ) là tậplồi trong Rn

Trường hợp 2: Nếu B−1(Θ) ̸= ∅ Khi đó, lấy z1, z2 tùy ý trong B−1(Θ) và số thực λ ∈ [0, 1]tùy ý Để chỉ ra λz1+ (1 − λ)z2 ∈ B−1(Θ) ta chứng minh B(λz1+ (1 − λ)z2) ∈ Θ Thật vậy

B(λz1+ (1 − λ)z2) = A(λz1+ (1 − λ)z2) + b

= λA(z1) + (1 − λ)A(z2) + b

= λ (A(z1) + b) + (1 − λ) (A(z2) + b)

= λB(z1) + (1 − λ)B(z2)Mặt khác vì z1, z2 ∈ B−1(Θ) nên B(z1), B(z2) ∈ Θ, mà Θ là một tập lồi nên

λB(z1) + (1 − λ)B(z2) ∈ Θhay

B(λz1+ (1 − λ)z2) ∈ Θ

Vậy ta có điều phải chứng minh □

Bài tập 7 Cho Ω1, Ω2 ∈ Rn lồi và λ ∈ R Chứng minh rằng Ω1+ Ω2 và λΩ1 cũng lồi.

Từ đây theo định nghĩa của tập Ω1+ Ω2 ta suy ra được ϕu + (1 − ϕ)v ∈ Ω1+ Ω2

Vậy Ω1+ Ω2 là tập lồi

2) Chứng minh λΩ1 là tập lồi

Trường hợp 1: Nếu λΩ1 = ∅ Khi đó, theo bài tập 2 và 5 ta suy ra được λΩ1 là tập lồi.Trường hợp 2: Nếu λΩ1 ̸= ∅ Khi đó, lấy hai điểm bất kỳ u, v ∈ λΩ1 và bất kỳ ϕ ∈ [0, 1] Tachứng minh ϕu + (1 − ϕ)v ∈ λΩ1

Vì u, v ∈ λΩ1 nên tồn tại x1, x2 ∈ Ω1 sao cho

u = λx1, v = λx2.Khi đó ϕu + (1 − ϕ)v = ϕ(λx1) + (1 − ϕ)(λx2) = λ [ϕx1+ (1 − ϕ)x2]

Đến đây thì do Ω1 là tập lồi và x1, x2 ∈ Ω1 nên ϕx1 + (1 − ϕ)x2 ∈ Ω1

Từ đây theo định nghĩa của tập λΩ1 ta suy ra được ϕu + (1 − ϕ)v ∈ λΩ1

Trang 11

Bài tập 8 Kiểm tra tính lồi, lồi đa diện của các tập hợp sau:

a) M1 = {(α + β, 1 − α + β) | α ∈ [0, 1], β ≥ 0}

b) M2 = {(α − β, 1 − α + γ) | α ∈ [0, 1], β, γ ≥ 0}

Lời giải

a) Rõ ràng M1 ⊂ R2

• Kiểm tra tính lồi:

Lấy hai điểm bất kỳ x, y ∈ M1 và bất kỳ λ ∈ [0, 1] Ta đi kiểm tra λx + (1 − λ)y ∈ M1 haykhông?

Ta có x, y ∈ M1 nên x = (α1+ β1, 1 − α1+ β1) và y = (α2+ β2, 1 − α2+ β2), trong đó α1 ∈[0, 1], α2 ∈ [0, 1], β1 ≥ 0 và β2 ≥ 0

Vậy (α3+ β3, 1 − α3+ β3) ∈ M1 hay λx + (1 − λ)y ∈ M1

Điều này chứng tỏ M1 là tập lồi

• Kiểm tra tính lồi đa diện:

Ta nhận thấy (x, y) ∈ M1 khi và chỉ khi tồn tại α ∈ [0, 1] và β ≥ 0 sao cho

Khi đó λx + (1 − λ)y

Vậy (α3− β3, 1 − α3+ γ3) ∈ M2 hay λx + (1 − λ)y ∈ M2.

Điều này chứng tỏ M2 là tập lồi

• Kiểm tra tính lồi đa diện:

Xét tập M3 = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 1, y ≥ 0} Ta chứng minh M2 = M3

Lấy (x, y) ∈ M2 tùy ý Khi đó (x, y) = (α − β, 1 − α + γ), với α ∈ [0, 1], β ≥ 0 và γ ≥ 0 nào đó

Ta nhận thấy α − β ≤ 1 và 1 − α + γ ≥ 0 (theo tính chất của bất đẳng thức) Do đó (x, y) ∈ M3.Vậy M2 ⊂ M3 (1)

Lấy (x, y) ∈ M3 tùy ý Khi đó x ≤ 1 và y ≥ 0 Chọn α = 1 ∈ [0, 1], β = 1 − x ≥ 0 và γ = y ≥ 0.Vậy (x, y) có thể được viết lại như sau: (x, y) = (α − β, 1 − α + γ) Đến đây rõ ràng (x, y) ∈ M2

Do đó M3 ⊂ M2 (2)

Từ (1) và (2) ta có được điều phải chứng minh

Mặt khác, M3 có thể được viết lại như sau: M3 = {z ∈ R2 | Az ≥ b}, trong đó A = −1 0

Bài tập 9 Với mỗi m ∈ R, xét họ các tập cho bởi

Am = {(x1, x2) ∈ R2 : |x1+ |x2|| ≤ 1, x1+ m ≥ 0}

(a) Biểu diễn hình học của A1 và A2

(b) Kiểm tra tính lồi của A1 và A2

(c) Chứng minh rằng Am là tập lồi khi và chỉ khi Am là tập lồi đa diện

Lời giải

(a) Biểu diễn hình học của A1 và A2

• Biểu diễn hình học của A1

A1 =





(x1, x2) ∈ R2 :

Từ đó ta có biểu diễn hình học của A1

• Biểu diễn hình học của A2

Từ đó ta có biểu diễn hình học của A2

(b) Kiểm tra tính lồi của A1 và A2

• A1 là tập lồi

Từ (1), ta nhận thấy A1 là tập lồi đa điện do đó A1 là tập lồi

• A2 không là tập lồi

Lấy hai điểm x = (−2, 1) và y = (−2, −1) thuộc vào A2 Ta nhận thấy x + y

2 = (−2, 0)không thuộc A2 vì | − 2 + |0|| = 2 > 1 Do đó A2 không là tập lồi

(c) Chứng minh rằng Am là tập lồi khi và chỉ khi Am là tập lồi đa diện

• Nếu Am là tập lồi đa diện thì hiển nhiên ta cũng có Am là tập lồi

• Ngược lại, nếu Am là tập lồi ta chứng minh lúc này m phải bé hơn hoặc bằng 1 Thậtvậy, giả sử m > 1, lấy hai điểm x = (−m, m + 1) và y = (−m, −m − 1) thuộc Am, ta có

Am =





(x1, x2) ∈ R2 :

Bài tập 10 Cho các tập hợp

P = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1},

Q = {u ∈ R2 : Au ∈ P }, Q = {Au ∈ R2 : u ∈ P },trong đó

Bài tập 11 Cho các tập hợp

P = {(x, y) ∈ R2 : max{|x, |y| ≤ 1}},

Q = {u ∈ R2 : Au ∈ P }, R = {Au ∈ R2 : u ∈ P },trong đó

A =1 1

1 0



Trong các tập P, Q, R tập nào là tập lồi đa diện? Vẽ hình minh hoạ các tập P, Q, R

Rõ ràng tập tập P là quả cầu đơn vị trong không gian (R2, ||.||∞) với chuẩn là chuẩn vôcùng, tức là

||(x.y)||∞= max{|x|, |y|}

Theo bài tập 30(b), ta suy ra P là một tập lồi đa diện

Ta có biểu diễn của tập P là:

Bài tập 12 Cho tập lồi đa diện P = {(x1, x2) ∈ R2 : 0 ≤ x1, x2 ≤ 1} Viết tập P dướidạng bao lồi của hữu hạn điểm.

Lời giải

Xét 4 điểm A = (0, 0), B = (1, 0), C = (1, 1), D = (0, 1) nằm trong P Ta chứng minh

P = co{A, B, C, D} Rõ ràng, vì P là một tập lồi đa diện nên P lồi, do đó co{A, B, C, D} ⊆ P

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh P ⊆ co{A, B, C, D} Thật vậy, lấy x = (x1, x2) tùy ý thuộc P ,

Bài tập 13 Chứng minh định lý 2.11.

a) Giao của một họ các tập lồi là tập lồi

b) Tổ hợp lồi của một họ hữu hạn các điểm của một tập lồi thì nằm trong tập lồi đó

c) Bao lồi của hữu hạn các véctơ là một tập lồi, compact

Lời giải

a) Xét họ (Si)i∈I (I là một tập chỉ số nào đó) là họ các tập lồi Ta chứng minh S = \

i∈I

Si làtập lồi

Trường hợp 1: Nếu Si = ∅, ∀i ∈ I Khi đó S =\

Vậy tổng kết các trường hợp, ta luôn có giao của một họ các tập lồi là tập lồi

b) Để thuận lợi trong việc chứng minh ta sẽ viết lại phát biểu này dưới dạng một mệnh đề, cụthể như sau: "Cho tập lồi S ⊂ Rn và các điểm xi ∈ S, i = 1, n Khi đó, với λ1, λ2, , λn là các

số thực không âm có tổng bằng 1, ta có điểm

Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ∈ N∗ và k ≥ 2), nghĩa là cho x1, x2, , xk là các điểm trong

S và λ1, λ2, , λk là các số thực không âm có tổng bằng 1 Khi đó, điểm

k

X

i=1

λixi ∈ S Ta chứngminh mệnh đề đúng với n = k + 1

Xét x1, x2, , xk, xk+1là các điểm trong S và λ1, λ2, , λk, λk+1 là các số thực không âm có tổngbằng 1

Khi đó, ta phân tích điểm

Đến đây ta đã chứng minh được mệnh đề đúng với n = k + 1

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề ta đưa ra đúng với mọi n ∈ N∗ Hoàn tất chứngminh

c) • Bao lồi của hữu hạn các véctơ là một tập lồi

Để thuận tiện trong việc trình bình ta kí hiệu Q là bao lồi của hữu hạn các véctơ x1, x2, , xn

(ở đây x1, x2, , xn là các véctơ được lấy bất kỳ trong Rn)

Lấy hai véctơ bất kỳ y, z ∈ Q và bất kỳ λ ∈ [0, 1] Ta chứng minh λy + (1 − λ)z ∈ Q

Vậy ta có điều phải chứng minh

• Bao lồi của hữu hạn các véctơ là một tập compact

Để thuận tiện trong việc trình bình ta kí hiệu Q là bao lồi của hữu hạn các véctơ x1, x2, , xn

(ở đây x1, x2, , xn là các véctơ được lấy bất kỳ trong Rn) (∗)