Hực hành phương pháp tính và matlab báo cáo thực hành tuần 6

Tính gần đúng đạo hàm của y tại x = 0.7 bằng cách áp dụng công thức Taylor Code:... Code: hàm main Code: hàm function langrange... Tính chính xác kết quả đạo hàm.. So sánh với 2 kết quả

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Họ và tên: Đỗ Minh Nhật

MSSV:22200115

Lớp:22DTV2

THỰC HÀNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH VÀ MATLAB

GVPT: Nguyễn Mai Minh Kha

BÁO CÁO THỰC HÀNH TUẦN 6

Câu 1: Cho hàm số: y(x) = arcsin (x) với các giá trị tại:

x = [0.1 0.3 0.5 0.7 0.9]

y = [0.1002 0.3047 0.5236 0.7754 1.1198]

a Tính gần đúng đạo hàm của y tại x = 0.7 bằng cách áp dụng công thức Taylor

Code:

2

- Kết quả:

syms x; %lệnh tạo đa thức

y = @(x) asin(x); %đa thức đề bài

%fx = @(x) x^3*sin(x)+x*cos(x);

h=1e-4; %h là số rất bé gần bằng 0

%a=0;

%b=1;

%N=10;

xa = [0.1 0.3 0.5 0.7 0.9]; %mảng x đề bài

ya = [0.1002 0.3047 0.5236 0.7754 1.1198]; %mảng y đề bài

x=0.7;

%syms x;

y1=(y(0.7+h)-y(0.7))/h %câu a sử dụng công thức taylor

%subs(diff(y(x)),0.7) %câu c

%result = subs(diff(lagrange(xa,ya,x)),0.7) %câu b

%tichphan = tichphanhinhthang(fx,a,b,N);

%tichphanS = tichphanSimpson(fx,a,b,N);

b Tính gần đúng đạo hàm của hàm số: y = arcsin (x) tại x = 0.7 bằng cách dùng đa thức nội suy Lagrange

Code: hàm main

Code: hàm function langrange

syms x;

y = @(x) asin(x);

xa = [0.1 0.3 0.5 0.7 0.9];

ya = [0.1002 0.3047 0.5236 0.7754 1.1198];

x=0.7;

syms x;

result = subs(diff(lagrange(xa,ya,x)),0.7) %câu b gọi ra hàm function

lagrange sử dụng làm diff để đạo hàm và subs để tìm ra kết quả với

x=0.7

function ketqua = lagrange(xa, ya, x) % hàm function lagrange ở

tuần trước

n = length(xa);

ketqua = 0;

for i = 1:n

L_i = 1;

for j = 1:n

if j ~= i

L_i = L_i * (x - xa(j)) / (xa(i) - xa(j));

end

end

ketqua = ketqua + ya(i) * L_i;

end

end

4

- Kết quả:

c Tính chính xác kết quả đạo hàm So sánh với 2 kết quả gần đúng ở trên và nhận xét

- Code:

syms x;

y = @(x) asin(x);

%fx = @(x) x^3*sin(x)+x*cos(x);

h=1e-4;

%a=0;

%b=1;

%N=10;

xa = [0.1 0.3 0.5 0.7 0.9];

ya = [0.1002 0.3047 0.5236 0.7754 1.1198];

x=0.7;

syms x;

%y1=(y(0.7+h)-y(0.7))/h %câu a

subs(diff(y(x)),0.7) %câu c

%result = subs(diff(lagrange(xa,ya,x)),0.7) %câu b

%tichphan = tichphanhinhthang(fx,a,b,N);

%tichphanS = tichphanSimpson(fx,a,b,N);

- Kết quả:

- Sai số giữa kết quả đạo hàm chính xác và kết quả đạo hàm taylor là:

|10 ∗ 51

1 2

51 − 1.4004| = 1.1991 ∗ 10

−4

- Sai số giữa kết quả đạo hàm chính xác và kết quả đạo hàm lagrange là:

|10 ∗ 51

1 2

17083

12000| = 0.023303

- Nhận xét: phương pháp đạo hàm taylor sẽ cho ra kết quả gần đúng nhất và ít sai số hơn phương pháp lagrange

6

Câu 2: Viết function tính gần đúng tích phân của một hàm số f(x) bất kỳ trong khoảng [a,b] sử dụng công thức hình thang với N đoạn con bằng nhau

function y = tichphanhinhthang(fx,a,b,N)

Áp dụng tính gần đúng tích phân của hàm số f(x) = x^3sin (𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) trong khoảng [0,1] với N = 10

- Code: hàm main

- Code: hàm function tichphanhinhthang.m

syms x; %lệnh tạo đa thức

%y = @(x) asin(x); %đa thức đề bài

fx = @(x) x^3*sin(x)+x*cos(x);

%h=1e-4;

a=0; %giá trị biên bên trái của khoảng [0;1] là 0

b=1; % giá trị biên bên phải của khoảng [0;1] là 1

N=10; %số phần tử muốn lấy trong khoảng [0;1]

%xa = [0.1 0.3 0.5 0.7 0.9];

%ya = [0.1002 0.3047 0.5236 0.7754 1.1198];

%x=0.7;

%syms x;

%y1=(y(0.7+h)-y(0.7))/h %câu a

%subs(diff(y(x)),0.7) %câu c

%result = subs(diff(lagrange(xa,ya,x)),0.7) %câu b

tichphan = tichphanhinhthang(fx,a,b,N); %gọi hàm function

%tichphanS = tichphanSimpson(fx,a,b,N);

function y = tichphanhinhthang(fx,a,b,N)

M=0; %khởi tạo giá trị của tổng ban đầu là 0

h=(b-a)/N; %bước nhảy trung bình trong khoảng [0;1]

for i=1:1:(N-1) %lặp từ i=1 đến N-1

M = M+fx(a+i*h); %tổng fx(a+i*h) với i từ 1 đến N-1

end

y = (h/2)*(fx(a) + fx(b) +2*M); %công thức tích phân hình thang

fprintf('result hinh thang=%.5f\n',y) %in ra kết quả với thập phân 5 số

end

- Kết quả:

Câu 3: Viết function tính gần đúng tích phân của một hàm số f(x) bất kỳ trong khoảng [a,b] sử dụng công thức Simpson với với N đoạn con bằng nhau

function y = tichphanSimpson(fx,a,b,N)

Áp dụng tính gần đúng tích phân của hàm số f(x) = x3sin (𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) trong khoảng [0,1] với

N = 10

8

- Code: hàm main

syms x;

%y = @(x) asin(x);

fx = @(x) x^3*sin(x)+x*cos(x);

%h=1e-4;

a=0;

b=1;

N=10;

%xa = [0.1 0.3 0.5 0.7 0.9];

%ya = [0.1002 0.3047 0.5236 0.7754 1.1198];

%x=0.7;

%syms x;

%y1=(y(0.7+h)-y(0.7))/h %câu a

%subs(diff(y(x)),0.7) %câu c

%result = subs(diff(lagrange(xa,ya,x)),0.7) %câu b

%tichphan = tichphanhinhthang(fx,a,b,N);

tichphanS = tichphanSimpson(fx,a,b,N); %gọi hàm function

- Code: hàm function tichphanSimpson.m

- kết quả:

function y = tichphanSimpson(fx,a,b,N)

C=0; %khởi tạo chẵn = 0

L=0; %khởi tạo lẻ = 0

h=(b-a)/N; %tính bước nhảy trung bình trong khoảng [0;1]

for i=1:2:(N-1) %lệnh for lặp từ i=1 đến N-1 với bước nhảy là 2 để i luôn lẻ

L=L + fx(a+i*h); %tổng fx(a+i*h) với i luôn lẻ

end

for i=2:2:(N-1) %lệnh for lặp từ i=2 đến N-1 với bước nhảy là 2 để i luôn chẵn

C=C + fx(a+i*h); % tổng fx(a+i*h) với i luôn chẵn

end

y=(h/3)*(fx(a) + fx(b) +4*L +2*C); %công thức tích phân simpson

fprintf('result simpson=%.5f\n',y) % in ra kết quả với sau dấu chấm 5 chữ số thập phân end

10

Câu 4:

a Tính chính xác tích phân của hàm số f(x) = x3sin(x) +𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) trong khoảng [0,1] So sánh với giá trị gần đúng ở câu 2 và câu 3 rồi nhận xét Gợi ý: tìm hiểu lệnh integral

- code:

- Kết quả:

fun = @(x) x.^3.*sin(x)+x.*cos(x);

q = integral(fun,0,1);

fprintf('result=%.5f\n',q)

b Viết chương trình tính sự chênh lệch của 2 phương pháp hình thang và Simpson so với tích phân chính xác integral ở ba trường hợp N = 1, N = 10 và N = 50 (in ra chi tiết giá trị chênh lệch) Từ đó rút ra kết luận phương pháp nào có độ chính xác cao hơn?

- code: hàm main

- Ta sử dụng lại function tichphanhinhthang.m và tichphanSimpson.m ở bài 2, 3 cho bài này

fun = @(x) x.^3.*sin(x)+x.*cos(x); %đa thức đề bài để tính tích tích

q = integral(fun,0,1); %lệnh tính tích phân cận từ 0 đến 1

fprintf('result tich phan chuan=%.5f\n',q) %in ra kết quả tích phân chuẩn thập phân 5 chữ số

syms x;

fx = @(x) x^3*sin(x)+x*cos(x); %khởi tạo đa thức đề bài

a=0; %cận trái = 0

b=1; %cận phải = 1

N=10; %số mẫu

tichphan = tichphanhinhthang(fx,a,b,N); %gọi hàm function hình thang

tichphanS = tichphanSimpson(fx,a,b,N); %gọi hàm function Simpson

o=abs(q-tichphanhinhthang(fx,a,b,N)); %công thức tính sai số tích phân chuẩn với

hình thang

k=abs(q-tichphanSimpson(fx,a,b,N)); %công thức tính sai số tích phân chuẩn với

simpson

fprintf('ket qua chenh lech giua tich phan chuan va tich phan hinh thang la: %.5f\n',o)

%in ra kết quả sai số với thập phân 5 chữ số

fprintf('ket qua chenh lech giua tich phan chuan va tich phan simpson la: %.6f\n',k)

%in ra kết quả sai số với thập phân 6 chữ số

12

- Với N=1, kết quả:

- Với N=10, kết quả:

- Với N=50, kết quả:

- Nhận xét: ta thấy được thứ tự độ chính xác tính tích phân như sau:

+ Tích phân chuẩn > tích phân Simpson > tích phân hình thang

+ Ta nhận thấy được khi ta lấy mẫu càng lớn (N càng lớn) thì độ chính xác của các phương pháp càng cao