Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức nằm trong chương trình THPT

A. MỤC ĐÍCH, SỰ CẦN THIẾT I. SỰ CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Đất nước ta đang trên đà phát triển và hội nhập. Để đáp ứng nhu cầu công nghiệp hoá - hiện đại hoá đất nước, cùng với sự phát triển của khoa học - công nghệ, giáo dục và đào tạo được xem là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài. Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán chiếm vị trí đặc biệt quan trọng trong các môn học, nó là cơ sở của nhiều môn học khác. Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư duy biện chứng, tư duy trừu tượng, tư duy logic… Trong những năm gần đây, các bài toán về phương trình, hệ phương trình thường xuất hiện nhiều trong các cuộc thi Học sinh giỏi và Kì thi Trung học phổ thông quốc gia. Phương trình, hệ phương trình được đánh giá là bài toán phân loại học sinh đòi hỏi nhiều kĩ thuật. Trong quá trình công tác và giảng dạy tại trường THPT Mường Nhé, tôi đã được ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi và ôn tập kiến thức cho học sinh Ôn luyện Kì thi THPT Quốc gia, nhận thấy rằng kĩ năng giải phương trình, hệ phương trình của học sinh còn nhiều hạn chế, vì thế tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức nằm trong chương trình THPT nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán ở trường THPT Mường Nhé” với mong muốn cung cấp cho học sinh một phương pháp hữu hiệu để giải phương trình, hệ phương trình, đồng thời góp phần tích luỹ những kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân. Hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo trong việc ôn luyện thi THPT Quốc gia cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊM CỨU CỦA ĐỀ TÀI - Nghiên cứu để làm rõ nội dung của Kĩ thuật nhân chia liên hợp, trên cơ sở đó vận dụng vào việc giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ. - Nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình.

PHỤ LỤC

Trang

A MỤC ĐÍCH, SỰ CẦN THIẾT……… 2

1 Sự cần thiết của đề tài……….……… … 2

2 Mục đích nghiên cứu 2

B PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN……… 3

C NỘI DUNG……….3

1 Tình trạng của đề tài ……… …3

2 Nội dung đề tài ……… 3

3 Khả năng áp dụng của đề tài 24

4 Hiệu quả, lợi ích của đề tài……… 25

5 Phạm vi ảnh hưởng của đề tài……….26

6 Kiến nghị, đề xuất……… ….27

D: TÀI LIỆU THAM KHẢO………

A MỤC ĐÍCH, SỰ CẦN THIẾT

I SỰ CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Đất nước ta đang trên đà phát triển và hội nhập Để đáp ứng nhu cầu côngnghiệp hoá - hiện đại hoá đất nước, cùng với sự phát triển của khoa học - côngnghệ, giáo dục và đào tạo được xem là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dântrí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài

Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán chiếm vị tríđặc biệt quan trọng trong các môn học, nó là cơ sở của nhiều môn học khác.Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trítuệ, rèn luyện cho học sinh tư duy biện chứng, tư duy trừu tượng, tư duy logic… Trong những năm gần đây, các bài toán về phương trình, hệ phương trìnhthường xuất hiện nhiều trong các cuộc thi Học sinh giỏi và Kì thi Trung học phổthông quốc gia Phương trình, hệ phương trình được đánh giá là bài toán phânloại học sinh đòi hỏi nhiều kĩ thuật Trong quá trình công tác và giảng dạy tạitrường THPT Mường Nhé, tôi đã được ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi và ôntập kiến thức cho học sinh Ôn luyện Kì thi THPT Quốc gia, nhận thấy rằng kĩnăng giải phương trình, hệ phương trình của học sinh còn nhiều hạn chế, vì thế

tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức nằm trong chương trình THPT nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán ở trường THPT Mường Nhé” với mong muốn cung cấp cho học sinh một phương pháp hữu hiệu

để giải phương trình, hệ phương trình, đồng thời góp phần tích luỹ những kiếnthức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân Hy vọng sáng kiến kinhnghiệm này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo trongviệc ôn luyện thi THPT Quốc gia cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi

II MỤC ĐÍCH NGHIÊM CỨU CỦA ĐỀ TÀI

- Nghiên cứu để làm rõ nội dung của Kĩ thuật nhân chia liên hợp, trên cơ

B PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN Đối tượng nghiên cứu là kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình,

hệ phương trình chứa ẩn trong dấu căn trong chương trình đại số 10 Nên phạm

vi triển khai đề tài này là học sinh lớp 10 trong trường THPT Mường Nhé

C NỘI DUNG

I TÌNH TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI.

Đa số học sinh ở trường THPT Mường Nhé là người dân tộc thiểu số, nênđiều kiện học tập cũng như nhận thức của các em còn rất hạn chế Nhiều họcsinh hổng kiến thức THCS và đa số các em không có sách tham khảo, một số íthọc sinh có sách tham khảo thì lại chưa biết cách học tập với sách

Từ kinh nghiệm của Bản thân và thực tế tham gia giảng dạy, ôn thi THPTQuốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã phát hiện ra đa số các em học sinh đềurất sợ và yếu về kĩ năng giải phương trình, hệ phương trình Đặc biệt đối vớiphương trình, hệ phương trình chứa căn thức

Từ những khó khăn và hạn chế của các em học sinh nêu trên, tôi nghĩ cầnphải giúp các em có một cách nhìn tổng quát và đưa ra phương pháp giải một sốdạng toán liên quan đến phương trình, hệ phương trình mà trong đó chứa cănthức, nhằm giúp các em học sinh thay đổi tâm lý về dạng toán chứa căn thức nóichung và phương trình, hệ phương trình chứa căn thức nói riêng

II NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP.

1 MỤC ĐÍCH CHI TIẾT.

- Tổng hợp các kiến thức cơ bản liên quan đến phương trình, hệ phươngtrình phục vụ cho đề tài

- Trình bày phương pháp nhân chia liên hợp

- Vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phươngtrình chứa ẩn trong dấu căn

2 NỘI DUNG CHI TIẾT.

Để để tài đi vào thực tế và đạt hiệu quả xin đưa ra cơ sở lý luận và nộidung của phương pháp nhân chia liên hợp như sau:

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

2.1.2 Nội dung của phương pháp nhân chia liên hợp

Vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp cơ bản khi giải phương trình vô tỉcho ta kết quả nhanh gọn Mục tiêu của phương pháp này như sau:

- Giả sử nhẩm được nghiệm của phương trình là

- Nhân liên hợp một cách hợp lý sao cho xuất hiện nhân tử và đưaphương trình về dạng:

Thông thường ta chứng minh được hoặc (Với mọi x thuộc

K là tập điều kiện xác định của phương trình) Trong trường hợp khó chứng

minh phương trình vô nghiệm, đòi hỏi khéo léo xử lý phương trình bằngcông cụ bất đẳng thức, đạo hàm, …

Khi vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp giải thành thạo phương trình vô

tỉ thì kĩ thuật này là công cụ hiệu quả để giải hệ phương trình chứa ẩn trong dấucăn cho ta kết quả nhanh gọn

Ví dụ 1: Giải phương trình:

(1)

Phân tích: Dễ dàng nhẩm được là nghiệm của phương trình (1), dự đoán

có thể giải phương trình bằng phương pháp nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân

tử chung Tuy nhiên, quan sát các biểu thức chứa ẩn trong dấu căn, takhông thể nhân chia liên hợp trực tiếp Để phát hiện được biểu thức nhân chialiên hợp ta thực hiện như sau:

Xét: , cho ta được  biểu thức liên hợp

Xét: , cho ta được  biểu thức liên hợp

Xét: , cho ta được  biểu thức liên hợp

Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm

nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử

Ta có nhận xét rằng:

(*)

Ví dụ 3: Giải phương trình:

(3)

Phân tích:

Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy phương trình (3) nhận x = 1 làm một nghiệm

nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử

Vì biểu thức dưới dấu căn là tam thức bậc hai nên để xuất hiện nhân tử, ta thực hiện phân tích như sau:

Đến đây ta có hai hướng giải quyết:

Hướng 1: Bình phương hai vế…(không khả thi).

Hướng 2: Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ sau:

Giải:

Phương trình đã cho tương đương với:

Xét phương trình:

Ta đặt suy ra:

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất

Ví dụ 5: Giải phương trình sau:

Phân tích:

Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình Như vậy phương trình đã

cho có thể phân tích được về dạng

Giải: Phương trình đã cho tương đương với:

Do nên (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 6: Giải phương trình

Phân tích: Dễ nhẩm được x = 1 là một nghiệm của phương trình, bằng cách

phân tích đã nêu ở các ví dụ trên ta có thể thực hiện lời giải như sau:

Giải: ĐK:

Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1.

Ví dụ 7: Giải phương trình

Phân tích:

Ở bài này, khó là ở chỗ ta không thể nhẩm ra ngay được nghiệm của phươngtrình để dùng lượng liên hợp Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của công nghệ làchiếc máy tính Casio fx570-ES thì mọi chuyện có vẻ dễ dàng hơn!

Thật vậy, ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệmcủa phương trình là: sau đó gán hainghiệm này vào hai biến A và B

Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay khôngbằng cách tình A + B và AB, ta thu được kết quả “đẹp” sau:

Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình:

Và từ đây, ta có thể dự đoán được chính là nhân tử của phương trình

Ta viết phương trình đã cho lại thành:

Đến đây, để xuất hiện nhân tử thì

với là một hệ số Chọn = 4 thì ta được một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = 1; 2) Khi đó ta có lời giải như sau:

(*)

Ta có bảng biến thiên:

Ví dụ 9: Giải phương trình

Phân tích: Dễ dàng nhẩm được là nghiệm của phương trình nên tathực hiện nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tử chung

Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là và

Nhận xét: Với bài này, việc xuất hiện thêm các đa thức chứa trị tuyệt đối tưởng

chừng như sẽ gây cho ta thêm khó khăn trong việc giải quyết Nhưng nhờ sửdụng phương pháp nhân lượng liên hợp, bài toán đã được giải quyết nhanhchóng! Khi ấy, ta chỉ cần chuyển các biểu thức về vị trí phù hợp và sử dụngphương pháp nhân chia liên hợp là đủ

Ví dụ 10: Giải phương trình:

Giải: Đk:

Phương trình đã cho tương đương với:

hiện nhân tử chung là

2.3 KĨ THUẬT NHÂN CHIA LIÊN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN

Kĩ thuật nhân chia liên hợp đã khá hiệu quả đối với một số phương trìnhchứa ẩn trong dấu căn đã nêu ở chương 2, vận dụng kĩ thuật này ta cũng cónhững cách giải nhanh gọn đối với hệ phương trình chứa ẩn trong dấu căn Sauđây là một số ví dụ minh họa cho dạng toán này:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Quan sát phương trình (1) dễ nhận thấy:

Do đó, ta thực hiện nhân liên hợp trực tiếp phương trình (1) xuất hiện nhân tử

Giải: ĐK:

Dễ thấy phương trình (*) vô nghiệm

Với thay vào (2) ta được phương trình:

(3) ĐK:

Nhận xét: Dễ dàng nhẩm được là nghiệm của phương trình (3) Có thể

sử dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tử Khi nhân liênhợp nhiều hơn một nghiệm biểu thức có dạng thì B phải có chứa biến.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Quan sát hai phương trình trong hệ, ta gặp khó khăn trong việc nhân

chia liên hợp để xuất hiện nhân tử chung Kĩ thuật sau sẽ giúp ta “mò” được

Cho , (*) trở thành , dùng MTCT tìm được

Cho , (*) trở thành , dùng MTCT tìm được

Từ phân tích trên ta phát hiện quy luật:

Ta sẽ thêm bớt lượng tử hai vế của (1) để nhân chia liên hợp làm xuất hiện nhân

Giải: ĐK:

Để ý phương trình (1) nếu , kết hợp điều kiện thì do đó vế phảicủa (1) âm, suy ra (1) vô nghiệm

Ta phải có Vì vậy phương trình (3) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

Ví dụ 3: (TSĐH Khối B-2014) Giải hệ phương trình:

Phương trình (1) tương đương với:

TH1: Nếu thay vào phương trình (2) của hệ ta được:

TH2: Nếu , khi đó điều kiện trở thành , thay vào phương trình (2)của hệ ta được:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: và

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:

Giải:

ĐK:

Từ phương trình (1) ta suy ra

Nhận thấy không thỏa mãn hệ phương trình nên ta chỉ xét

Viết lại phương trình (1) như sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Cách 2: Ta có thể phân tích (1) về dạng tích như sau:

Xét từng trường hợp thay vào phương trình (2) ta cũng được kết quả tương tựnhư trên

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Quan sát phương trình (2) thấy rằng thỏa mãn phương trình nên

có thể phân tích (2) xuất hiện nhân tử chung

Giải: ĐK:

Từ (1) ta có:

Do đó: Thay vào (1) ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:

Nhận thấy hoặc không là thỏa mãn hệ phương trình khi đó:

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Quan sát phương trình (1), nếu x = y thì phương trình (1) được thỏa

mãn Dự đoán nhân tử chung của (1) là

Phân tích: Nhiều em học sinh sẽ dự đoán khai thác phương trình số (2), nhưng

ta rất khó khăn phân tích phương trình (2) về dạng phương trình tích Quan sát

Với , (2) trở thành

Với , thay vào (2) ta được:

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Nhận thấy rằng, rất khó để khai thác từng phương trình trong hệ,

nhưng nếu kết hợp cả hai phương trình trong hệ ta thấy:

Vế phải của hai phương trình đều là hằng số 5, nên trừ vế với vế của hai phươngtrình sẽ xuất hiện biểu thức liên hợp

Giải: ĐK:

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:

Thay vào phương trình (2) ta được:

(Nhẩm nghiệm )

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Phương trình (1) có chính là biểu thứckhông nằm trong dấu căn Điều này định hướng dùng kĩ thuật nhân chia liên hợpphân tích (1) xuất hiện nhân tử chung là .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài tập tự luyện:

Giải các hệ phương trình sau:

hiện nhân tử chung

Thế vào phương trình (2) ta tìm được

III KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI:

Với đặc điểm là trường THPT vùng sâu, vùng xa như huyện Mường Nhé

thì việc học theo lối truyền thống (thầy làm mẫu và trò làm theo) đã hình thành

từ lâu của các em học sinh vùng cao, nên việc hệ thống các kiến thức và đưa raphương pháp giải các dạng bài tập là việc làm cần thiết đối với nhà giáo nóichung và học sinh vùng cao nói riêng Điều đó đã làm giảm tải áp lực phải nhớ

nhiều của các em học sinh Do đó đề tài ‘Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức nằm trong chương trình THPT nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán ở trường THPT Mường Nhé’’ của bản thân tôi được các em học sinh trường THPT Mường Nhé

áp dụng vào thực tế học tập đạt hiệu quả cao và đa số các em rất hào hứng, tíchcực, chủ động áp dụng đề tài vào việc giải các bài tập

*> Qúa trình tổ chức áp dụng đề tài: Trước khi thực hiện đề tài Tôi ôn tập chohọc sinh các kiến thức cơ bản về nhân chia liên hợp của biểu thức chứa căn thức.Sau đó vận dụng vào giải phương trình và hệ thương trình chứa căn thức theocác bước sau:

Bước 1: Tìm tập điều kiện xác định của phương trình, hệ phương trình

Bước 2: Phân tích đề và nhẩm nghiệm của phương trình ( giả sử nghiệm ).Bước 3: Nhân liên hợp một cách hợp lý sao cho xuất hiện nhân tử và đưaphương trình về dạng:

Bước 4: Giải phương trình tích:

Thông thường ta chứng minh được hoặc (Với mọi x thuộc

K là tập điều kiện xác định của phương trình) Trong trường hợp khó chứng

minh phương trình vô nghiệm, đòi hỏi khéo léo xử lý phương trình bằngcông cụ bất đẳng thức, đạo hàm, …

*> Đánh giá của tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử đề tài: Như các thầy cô

đã biết biểu thức chứa ẩn dưới dấu căn thức rất phức tạp do đó học sinh khi gặpcác dạng toán chứa ẩn dưới dấu căn thức thì học sinh cảm thấy rất phức tạp, khó

và hầu như không muốn giải những dạng bài tập này Đặc biệt là phương trình

ẩn trong dấu căn thức không còn khó và xa vời với các em Do đó đề tài đượccác em học sinh tiếp nhận một cách tích cực, chủ động hơn rất nhều khi không

IV HIỆU QUẢ, LỢI ÍCH THU ĐƯỢC.

Đề tài đã trình bày một kĩ năng vận dụng hiệu quả đối với phương trình,

hệ phương trình vô tỉ chương trình đại số 10, ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPTQuốc gia

Thông qua những ví dụ được chọn lọc trong đề tài, ta thấy nhiều bài toángiải bằng phương pháp này cho lời giải gọn gàng, dễ hiểu và nhanh chóng, một

số bài toán còn thể hiện được tính độc đáo của kĩ thuật nhân chia liên hợp Đặcbiệt, ôn thi học sinh giỏi cho học sinh khối 10, 11 thì nhiều em còn tỏ ra thíchthú khi được tiếp nhận một kĩ thuật khá mới đối với các em

Tuy nhiên, kĩ thuật nhân chia liên hợp không phải là “chiếc chìa khóavàng” để mở cửa mọi phương trình, hệ phương trình mà nó chỉ thực sự có hiệuquả đối với một số dạng bài toán nhất định cho nên học sinh cần phải phối hợpnhuần nhuyễn nhiều phương pháp khác nhau Tôi tin tưởng rằng nếu người họcvận dụng tốt phương pháp này thì việc giải toán phương trình – hệ phương trình

sẽ thuận lợi hơn rất nhiều Với những kết quả đã làm được trong đề tài này, tôi

hy vọng rằng đây sẽ là một tài liệu tốt cho giáo viên và học sinh trong việc bồidưỡng học sinh giỏi và luyện thi môn toán kì thi THPT Quốc gia

Đề tài này còn góp phần nâng cao rất đáng kể trong công tác giảng dạy,

ôn thi THPT Quốc gia, ĐH - CĐ bộ môn Toán tại trường THPT Mường Nhé

Đề tài đã giúp các em tích cực và tự tin hơn trong hoạt động tìm kiếm hướng lờigiải cho loại bài tập liên quan phương trình, hệ phương trình chứa ẩn dưới dấu