Sử dụng lý thuyết Đại số tuyến tính Để giải một số bài toán trong hình học giải tích, cực trị của hàm nhiều biến và bài toán về dao Động

Thông tin chung: - Tên đề tài: Sử dụng lí thuyết đại số tuyến tính để giải một số bài toán trong hình học giải tích, cực trị của hàm nhiều biến và bài toán về dao động.. Mục tiêu: + Trìn

BAO CAO TONG KET

DE TAI KHOA HOC VA CONG NGHE CAP TRUONG

TEN DE TAI TIENG VIET: =

SU DUNG Li THUYET DAI SO TUYEN TINH DE GIAI MOT

SO BAI TOAN TRONG HINH HOC GIAI TICH, CUC TRI CUA HAM NHIEU BIEN VA BAI TOAN VE DAO DONG

TEN DE TAI TIENG ANH:

USING LINEAR ALGEBRA THEORY TO SOVLE SOME PROBLEMS FOR ANALYTIC GEOMETRY, EXTREME OF MULTIVARIABLE FUNTIONS AND PROBLEM OF

VIBRATION

Xác nhận cúa tổ chức chủ trì Chú nhiệm đề tài

T HIỆU TRƯỞNG (ý, họ tên)

Nguyễn Thị Huệ

% È€S.TS Vũ Ngọc Pi

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2021

2

CHU NHIEM DE TAI

Họ và tên: Nguyễn Thị Huệ Học vị: Thạc sỹ

Địa chỉ cơ quan: Khoa KHCB, Điện thoại di động: 0976909891

Trường ĐH Kỹ Thuật Công Nghiệp E-mail: nguyenthihue@tnut.edu.vn

DANH SACH THANH VIEN THAM GIA NGHIEN CUU DE TAI

Nội dung nghiên cứu | Chữ

T Ho va tén Don vi cong tac Erriietrghprdi tài ký

1 | Pham Thi Minh | Khoa Khoa Học Cơ |Nghiên cứu vê ứng |

Hạnh Bản, Trường DH Kỹ | dụng của dạng toàn

Thuật Công Nghiệp |phương khi giải các

bài toán tìm cực tri cua

2 |Hoàng Thanh |Khoa Khoa Học Cơ | Nghiên cứu ứng dụng

Nga Bản, Trường ĐH Kỹ | của trị riêng, véc to

Thuật Công Nghiệp | riêng khi giải các bài

toán dao động

_ TRUONG DAI HOC

KY THUAT CONG NGHIEP

Don vi: Khoa KHCB

THONG TIN KET QUA NGHIEN CUU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Sử dụng lí thuyết đại số tuyến tính để giải một số bài toán trong

hình học giải tích, cực trị của hàm nhiều biến và bài toán về dao động

- Mã số: T2020-B23

- Chủ nhiệm: Th§ Nguyễn Thị Huệ

- Cơ quan chủ trì: Đại học Kỹ thuật Côngnghệp = ˆ aes `

- Thời gian thực hiện: 09/2020 - 09/2021

2 Mục tiêu:

+ Trình bày ứng dụng lí thuyết đại số tuyến tính để giải một số bài toán trong

hình học giải tích, cực trị của hàm nhiêu biến và bài toán về đao động

+ Cung cấp tài liệu về môn học Đại số tuyến tính và hình học giải tích cho giảng

viên và sinh viên trường Đại học Kĩ thuật Công nghiệp Thái Nguyên, giúp giáo

viên và sinh viên hiểu rõ hơn ứng dụng của lí thuyết đại số tuyến tính

3 Kết quả nghiên cứu:

Dựa trên việc nghiên cứu các tài liệu liên quan, đề tài đã trình bày ứng dụng lí

thuyết đại số tuyến tính để giải một số bài toán trong hình học giải tích, cực trị

của hàm nhiều biến và bài toán về dao động Kết quả đã được công nhận trong

sản phẩm bài báo khoa học

4 Sản phẩm

- Sản phẩm đào tạo: không

- - Sản phẩm khoa học: 01 bài báo cấp quốc gia

- Sản phẩm ứng dụng: không

5, Hiệu quả và khả năng áp dụng

- Kết quả nghiên cứu đã đáp ứng được mục tiêu nghiên cứu của dé tai: Trinh bay

ứng dụng lí thuyết đại số tuyến tính để giải một số bài toán trong hình học giải tích, cực trị của hàm nhiều biến và bài toán về dao động

- Làm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên

6 Khả năng áp dụng và phương thức chuyền giao kết quả nghiên cứu

Kết quả của đề tài có thể dùng làm tài liệu về môn học Đại số tuyến tính và hình học giải tích cho giảng viên và sinh viên trường Đại học Kĩ thuật Công nghiệp Thái Nguyên, giúp giáo viên và sinh viên hiểu rõ hơn ứng dụng của lí thuyết đại

số tuyến tính và môi quan hệ chặt chế giữa các học phần toán, cũng như môi liên

hệ giữa các học phân toán với các môn học khác như vật lý, cơ học

THAI NGUYEN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Faculty of Fundamental Science

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

Project title: Using linear algebra theory to solve some problemis for analytic

geometry, extreme of multivariable functions and problem of vibration

Code number: T2020 — B23

Coordinator: MSc Nguyén Thi Huệ

Implementing institution: Thai Nguyen University of Technology

Duration: from September 2020 to September 2021

2 Objectives:

+ Presenting the application of linear algebra theory to solve some problems in

analytic geometry, extreme of multivariable functions and problem of vibration

+ Providing reference document about Linear algebra for lecturers and students

at Thai Nguyen University of technology, helping them understand more about

the role and significance of Linear algebra theory

3 Research results:

Based on studying relevant documents, author presented the application of

linear algebra theory to solve some problems for analytic geometry, extreme of

multivariable functions and problem of vibration The results are published in

journal of science

4 Products:

- Scientific achievement: 01 article published in national journal

5 Effects:

- The results of research sastify the objective of project: presenting the

application of linear algebra theory to solve some problems in analytic

geometry, extreme of multivariable functions and problem of vibration

- Provide reference document for lecturers and students

6 Applicability and Transferred Method of the research results

The results of the topic can be used as a document on the Linear Algebra

and Analytic Geometry subject for lecturers and students at Thai Nguyen

University of Technology, helping teachers and students better understand the

application of linear algebra theory and the close relationship between math

courses, as well as the relationship between math courses and other subjects

such

MUC LUC

IL MỞ ĐẦU -~~-~~~~~=======================rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrmrmmrrrerrrer 9

1 TONG QUAN VẤN ĐÈ NGHIÊN CỨU -~~ =~~~==~¬“=~=========== 9

2 TÍNH CÁP THIẾT CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU -~ -~~~- 9

3 TEN THUNEEEEEEE 9

1 TOM TAT DE TAI - dieneeoeonsgiSBf “ 9

| 2, UNG DUNG ĐỊNH THỨC ĐỂ GIẢI MỘT SÓ BÀI TOÁN TRONG HÌNH

HỌC GIẢI TÍCH -~ ~ -~~-===-==============r========r==rrrrrrrrerrrerreerr 10

; 2.1 Định thức của ma trẬn -= =-=7*-=*z>-=*===z*~=rz=rerxrrrrrrrrrrrrre 10

: —77.Tinh-diện-Hchiangiio==nnnnne==== = —

9:3 Tim phuong trinh duéng thing -= -========rrrrr===rrrrrrrrrrrrmrrl2 —-

2.4 Tính thể tích của hình tứ diện và phương trình mat phang - 13

2:5 Tìm phương trình đường trồn==========ss=sz===sseertareeriseerreeezecere=rree 15

2.6 Tìm phương trình của các đường bậc hai -~-===~~~============ 16

2.7 Tìm phương trình của mặt cẦu -~~=-==~~-===~~~======r====rrr=rrrr 18 3

3 ỨNG DỤNG DẠNG TOÀN PHƯƠNG ĐỀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC |

| TRỊ CỦA HÀM NHIÊU BIỂN -~ ~~~~ 7================r======~~==r= 21 }

| 3.1 Phan loai dang toan phuong - ccc====rrrrrrrrrrr=rrrmree 21 ì

| 3.2 Giải bài toán tìm cực trị không điều kién -= - 25

| 3.3 Giải bài toán tìm cực trị có điều kiện -=============r==rrrr=r=rr a

| 4 UNG DUNG TRI RIENG VA VEC TO RIENG CUA MA TRAN DE GIAI

BÀI TOÁN DAO ĐỘNG -~ -=-~~-====>-=======r===rrmmrrrrmrrrremrr=e 35

4.1 Trị riêng và vée tổ LIỀN c cCC co aT 35

| 4.2 Ung dung tri riêng, véc to riêng trong giải hệ phương trình vi phân cấp

một tuyển tính thuần nhật hệ số Không, đổi — -s=ss=====-s==-====— - se 36

4.3 Bài toán dao động điều hoà đơn giản -~~~~~=~=~=====~~~~~=~~~~~¬ 43

| 4.4 Hệ hai vật mắc nối tiẾp -~ ===~~=~=====~===rrrrr=errrrrrrrrrrerrrer 44

— vực khác như hoá học, vật lí, kinh tế, lí thuyết mã, di truyền học Các ứng dụng

———— của đại số tuyến tính trong nhiều lĩnh vực đã được nghiên cứu bới Thiều Đình —— -

I MO DAU

1 TONG QUAN VAN DE NGHIEN CUU

Lí thuyết đại số tuyến tính được ứng dụng rộng rãi trong toán học và các lĩnh

Phong, 2016, tuy nhiên tác giả chỉ đưa ra các vấn đề một cách gợi mở Nghiên

cứu này sẽ trình bày chỉ tiết ứng dung của lí thuyết đại số tuyến tính để giải một _

số bài toán trong hình học giải tích, tìm cực trị của hàm nhiều biến và bài toán dao

2 TINH CAP THIET CUA VẤN ĐÈ NGHIÊN CỨU Học phần đại số tuyến tính là học phần toán đầu tiên mà sinh viên hầu hết các trường đại học được học Với những phần kiến thức mới so với toán phổ thông, học phần đại số tuyến tính đã góp phần cải thiện và nâng cao khả năng tu duy logic va nhan thức vấn đề của người học Đồng thời môn học cũng cung cấp những kiến thức nền tảng quan trọng đề các em lĩnh | hội kiến thức ở các mônhọc — —— ‡ khác như hình học giải tích, giải tích, cơ học, vật lí

Bài toán viết phương trình của các đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn đã

có phương pháp giải nhưng trong đề tài này sẽ đưa ra phương pháp giải theo ty hướng sử dụng định thức của ma trận và cho thấy tính hiệu quả của phương pháp

này khi tìm phương trình của các mặt bậc 2

Bài toán tìm cực trị không diều kiện và có điều kiện của hàm nhiều biến đã

có phương pháp giải trong học phần giải tích 2, tuy nhiên phương pháp đó lại có

mặt hạn chế là: với bài toán cực trị không điều kiện phương pháp giải nêu ra chỉ giải được đối với hàm 2 biến và việc xét điều kiện đủ đôi khi còn gặp khó khăn

Do đó đề tài này sẽ sử dụng lí thuyết về dạng toàn phương để đưa ra phương pháp

giải tổng quát cho 2 bài toán này Đề tài cũng trình bày ứng dụng lí thuyết về trị

riêng và véc tơ riêng để giải bài toán về dao động

I NOI DUNG

1 TOM TAT DE TAI

Đề tài hướng đến mục tiêu thứ nhất là trình bày ứng dụng lí thuyết đại số

tuyến tinh dé giải một số bài toán trong hình học giải tích, cực trị của hàm nhiều

9

biến và bài toán về dao động Mục tiêu thứ hai của đề tài là cung cấp tài liệu về

môn học Đại số tuyến tính và hình học giải tích cho giảng viên và sinh viên trường

Đại học Kĩ thuật Công nghiệp Thái Nguyên, giúp giáo viên và sinh viên hiểu rõ

hơn ứng dụng của lí thuyết đại số tuyến tính

- Đề tài gôm các mục nội dung cụ thê như sau:

a Ung dụng định thức đề giải một số bài toán trong hình học giải tích Trong phần

này trình bày ứng dụng của định thức để tính diện tích tam giác, thể tích hình tứ

diện, viết phương trình của các đường cong trong mặt phẳng tọa độ và phương

trình của các mặt bậc hai trong không gian ba chiều

b) Ứng dụng của dạng toàn phương để giải bài toán cực trị không điều kiện và có

điêu kiện của hàm hai biên và hàm ba biên

c) Ung dụng của trị riêng, véc tơ riêng trong giải hệ phương trình vi phân và

chướng minh hệ vật dao động điều hòa

2 ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐẺ GIẢI MỘT SÓ BÀI TOÁN TRONG HÌNH

HỌC GIẢI TÍCH

2.1 Định thức của ma trận

Định nghĩa Cho A = [ai]nxn Kí hiệu Mỹ là ma trận cấp (n— 1), nhận được từ A

sau khi bỏ đi hàng ¡ và cột j Định thức của ma trận vuông A, kí hiệu là det(A),

được định nghĩa đệ quy như sau:

+Véin=1:A= [an] thì det(A) = ai,

a, Ay

a, Ay

+ Với n>2: det(A}E 3 (1U a, det(M;))

2.2 Tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có toạ độ ba đỉnh là A (x,y¡), BÉ;, y;) và Cay

Xét trường hợp y¡> 0 (=1, 2, 3)

Giả sử x¡ <X; <X;¿ và (%;,J;) nằm phía trên đoạn thang nói hai diém (x, y,)

va (x), )>)- Diện tích của tam giác ABC bằng tông diện tích của hai hình thang ABED và BCEE trừ đi diện tích của hình thang ACED Do đó ta có:

Vidu 1 Tim dién tich tam giác biết toạ độ ba đỉnh của nó là: (3, 1), (2, 1), (-2, 5)

Lời giải Ta tính định thức

3

Jae

và do đó diện tích của tam giác đã cho bằng 2

Ví dụ 2 Tìm diện tích của hình bình hành ABCD biết toạ độ ba đỉnh là: A (1, 4),

Diện tích tam giác ABC bằng : „ đo đó diện tích hình bình hành ABCD bằng 5

Tương tự ta cũng có thể tính được diện tích của hình chữ nhật, hình vuông, hình

thoi nếu biết toạ độ 3 đỉnh bất kì của chúng

2.3 Tìm phương trình đường thắng

Giả sử 3 điểm (x,,y¡), (x;,y„), (x;, 7) thắng hàng, khi đó định thức trong

công thức (1) sẽ bằng 0 Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

Lời giải Áp dụng công thức (2) ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là:

Vậy phương trình đường thắng đi qua hai điểm (2,3) và (-1,2) la: x-3y+ fe 0

2.4 Tính thể tích của hình tứ diện và phương trình mặt phẳng

Công thức (1) về tính điện tích của tam giác trong mặt phẳng có thê tông quát

hóa trong không gian ba chiều, được trình bày mà không cần chứng minh như sau:

Thể tích của hình tứ diện với bốn đỉnh có toạ độ là: (xạ, yị,Z\), (X;,J;›Z;), (X;, J2›Z;)

, (X4,¥424) được tính theo công thức:

Xi—J—Z—]

1 v= +1 x Vy 2 @) Giả Vee Zl

Trong đó dấu (+) được chọn dé sao cho thể tích có giá trị đương

Vĩ dụ 4 Tính thể tích của hình tứ điện biết toạ độ bồn đỉnh của nó là (0, 4, 7), (4, 0,

Vĩ dụ 5 Tìm phương trình của mặt phẳng di qua ba diém (3, 7, 2), (1, -3, 0), (5, 4, 1)

Lời giải Áp dụng công thức (4) ta có:

2.5 Tìm phương trình đường tròn

Trong mục 2.3 và 2.4 chúng ta đã sử dụng định thức để biểu diễn phương trình

của một đường thang di qua hai điểm và một mặt phẳng đi qua ba điểm Vậy làm thế

nào để tìm được dạng định thức của một phương trình đường cong bat ki trong mặt

phẳng và phương trình của một mặt bậc hai trong không gian ba chiều Bây giò,

chúng ta sẽ chỉ ra điều này khi tìm phương trình của một đường tròn qua ba điểm

cho trước

Phương trình tiêu chuẩn của một đường tròn là (x — h}” + (y~ ky =P tacé

thể khai triển rồi nhóm lại để đưa về dạng a(x*+y’)+bx+cy+d=0 (5)

Cho x, y là các biến và giả sử (, y) nằm trên đường tròn Ta cũng giả sử rằng

(x,,y,), (;,;), (x;,y;) là ba điểm xác định nằm trên đường tròn đó Vì các điểm

này phải thỏa mãn phương trình (5) nên ta có hệ phương trình tuyến tính sau Trong

hệ phương trình này thi a, , e và đ là ẩn số, trong khi đó x, y, xị.¡, X;„ÿ¿; Xạ, 1; là

các hăng sô đã biết

a(x’? +y’)+bx+cy+d=0 a(x; + yz) +bx, +cy, +d =0

a(x; + y3) + bx, +cy, +d =0 a(x} + y;)+bx,+cy,+d=0

Vì a, b, c, d không đồng thời bằng không nên hệ phương trình này phải có nghiệm

không tầm thường Do đó phải có:

ones Sty XI NV =0 (6)

Đây là đạng định thức của phương trình của đường tròn đi qua ba điểm cho trước

Ví dụ 6 Tìm phương trình đường tròn đi qua ba điểm: (1,2), @,0), (2,3)

15

Lời giải Áp dụng công thức (6) ta có:

Tính định thức ở về trái bằng Maple, ta thu được phương trình đường tròn:

& A(x’ + y?)-20x-12y +24 =0

Vậy đường tròn đi qua ba điểm đã cho có toạ độ tâm là (3 > 3) va ban kinh bang

10

2

Bằng cách tương tự như trên, ta xây dựng được dạng định thức của phương trình

của các đường cong trong mặt phẳng và phương trình của các mặt bậc hai trong

không gian ba chiều

2.6 Tìm phương trình của các đường bậc hai

Dạng định thức của phương trình của một đường bậc hai có phương trình tổng quát

Vi du 7 Tim phuong trinh tổng quát của một đường bậc hai di qua 5 điểm: (, 0), (-

Tính định thức ở về trái bằng Maple, ta thu được phương trình của đường bậc hai là

x?— yˆ” =9 Đây là phương trình của đường hypebol

Ví dụ 8 Đề xác định quỹ đạo của một hành tỉnh quay xung quanh mặt trời, một

nhà thiên văn học thiết lập một hệ tọa độ Descartes trong mặt phẳng của quỹ đạo

với điểm gốc là mặt trời Sau đó, nhà thiên văn tiên hành quan sát vị trí của tiêu hành tỉnh trong hệ tọa độ này ở Š thời điểm khác nhau thu được tọa độ của 5 vị

trí như sau: (6,025, 0,625), (4,38; 2,125) (8,435, 2,107), (4,251; 10,137), (2,452; ộ 4,215) Hãy xác định phương trình qui đạo của hành tinh nay

Lời giải

- Theo định luật thứ nhất của Kepler: Quỹ đạo của một tiểu hành tỉnh xung quanh

mặt trời phải là một đường elip

- Phương trình tổng quát của đường elip trong mặt phẳng là

ax’ +bxy+cy’ +dx+eyt+ f =0

- Áp dụng công thức (7) ta có:

[7

y 0.625 2.125 2.107 10.137 4.215 Se

2.7 Tìm phương trình của mặt cầu

Phương trình tiêu chuẩn của mặt cầu là (x— &)}Ÿ +(y~ H}” +(z~ ƒ)” = RẺ , ta có

thể khai triển rồi nhóm lại và đưa về dang a(x? + y? +2”) +bx +cy+dz+e=0

Do đó dạng định thức của phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm (x,,,„Z,)

ety +z"

at y tz x2 +72 +Z2

Đây là mặt cầu có toạ độ tâm là 34°34" 34 ` và bán kính bằng vả 34

2.8 Tìm phương trình của mặt bậc hai

Phương trình tổng quát của một mặt bậc hai là

ax? + by? +cz” + dụ + œ2 + 2 + gx + hy + iz + k=0 Dạng định thức của phương trình của mặt bậc hai đi qua chín diém: (x,,¥,52,),

(34522) 3 (,92.21)› OVE) J 6555525) OB, 70120) Co 072) > (y 2:24);

(%¿,¿„Z¿) được cho bởi:

12

` Zameen ee ce

yo

HY VY 4% MY MA VA HM A

2 2 1y Vy 2y %2}; X¿Zy VnZq Hn Vn Z2 2.2

3 UNG DUNG DANG TOAN PHUONG DE GIAI CAC BAI TOAN CUC TRI

CUA HAM NHIEU BIEN

3.1 Phân loại đạng toàn phương

Định nghĩa [2] Dạng toàn phương @(%x, x)

1) Xác định đương nếu (x, x)> 0 Vxe V, xz0

ii) Nửa xác định dương nếu o(x, x)> 0 Vxe V, xz0

1i) Xác định âm nếu ọ(x, x)< 0 VxeV, xz0

iv) Nửa xác định âm nếu (x, x)< 0 Vxe V, xz0

v) Dấu không xác định nếu nó có thê đương cũng như âm

Dinh {ý 1[2] Gia st: Q(x, x) là một dạng toàn phương trong cơ sở trực chuẩn của

không gian Euclid n chiều với ma trận đối xứng A có các giá trị riêng A¿ (k= l, 2,

ras

Khi đó dạng toàn phương sẽ là:

1) Xác định dương khi và chỉ khi À„ > 0 voi moi I< k <n

ii) Nửa xác định dương khi và chỉ khi A, = 0 với mọi 1< k <n

1ii) Xác định âm khi và chỉ khi ÀA„ < 0 với mọi 1< k<n

iv) Nửa xác định âm khi và chỉ khi A„ < 0 với mọi 1< k <n

Không xác định dấu khi và chỉ khi có hai trị riêng trái dấu

Định lí 2 [2] (tiéu chuẩn Sylvester).Cho A là ma trận của dạng toàn phương Q

đôi với một cơ sở nào đó của V

() Q xác định dương khi và chỉ khi với mọi định thức con góc trái trên của A có

(ii) Q xác định âm khi và chỉ khi với mọi định thức con góc trái trên cua A cấp lẻ

có giá trị âm, cấp chẵn có giá trị dương

3.2 Giải bài toán tìm cực trị không điêu kiện

Xét bài toán: Tìm cục trị của hàm n biển ƒ (Xị,Xạ› ,X„)

Điểu kiện cẩn: Nêu hàm ƒ(w.x; x„)đạt cực trị tại M (xp, x9, 5x9) thi

Gy hn =O bala

Điêu kiện đủ: Nêu hàm ƒ(x,x;, ,.x„) liên tục trong lân cận s của diém

Gites 77) 2190 #ụ„ (Ị X2› X„) =Ô, k=l.n, và ƒ v(x,xs x,) (=1,m 7 =1,n)

liên tục trong s và đ?ƒ(xƒ,x;, ,x„) #0 thi:

d? f (x, x), ,X°) > 0 ham dat cực tiểu tại M

4”ƒ(ị,x$, ,xạ) <0 hàm đạt cực đại tại M

4?ƒ(x†,x}, ,x)) không xác định dau thi hàm không đạt cực trị tại M

Trường hợp đ?ƒ(,x;, x,)=0 ta chưa kết luận được tính chất của điểm M

Khi đó tại M cần xét theo định nghĩa cực trị

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm số z=6x)y”—x'y”—=xÌy` (x,y>0)

Lời giải Điểm dừng của hàm được xác định từ hệ

= d?z(M)=-144dx? — 216dxdy —162dy’

-144 a

Đây là một dạng toàn phương của các biến dx, dy có ma trận 4 -| 108 162

—144 —108

Ta thdy |4|=|-144|=-144<0, Al [0 ~162 - 11664>0 nên dạng toan

phương xác định âm theo tiêu chuẩn Sylvester

Vay ham dat cuc dai tai M va zcp= 108

+ df (x,y) =(-12x? + 2)dx? — 4dxdy + (-12y? +2)dy”

+Tai M,(0,0) = d?f(M,) =2dx? —4dxdy +2dy? day 1a biéu thite ctia dang

2 —2

toàn phương co ma tran A -| `: |

Có |4|=0 nên chưa thể kết luận về tính chất của điểm 4;(0,0) Ta cần xét:

Aƒ(M,)= ƒ(0+Ax,0+Ay)~ ƒ(0,0)0==Axf = Ay! + Ax”—2AxAy + Ay”

=—(Ax* + Ay*) + (Ax= Ay)”

Xét trong lân cận của điểm M,(0,0):

Tại những điểm M(Ax,Ap) 6 Ax = Ay #0 thi: Af(M,) =—(Ax* + Ay“) <0

23

Tại những điểm M(Ax,Ay) c6 Ay =—Ax thi:

Af (M,) = 2Ax?(2- Ax?) > 0 <> -V2 < Ax <2 nên tại những điểm M(Ax,-Ax) với —AÍ2 < Ax<AÍ2 thì Af(M,) > 0

Đo đó hàm không đạt cực trị tại Ä⁄¡(0,0)

+Tai M,(1,-1) = d?f(M,) =—10dx? — 4dxdy —10dy” day 1a biéu thite cua

+ đ?u(x,y,z) = 2dv? + 2dy? + 2đz° ~ 2dxdy

=> d’u(M) = 2dx? + 2dy’ + 2dz” ~ 2dxdy

24

el () Đây là một dạng toàn phương của các biến dx, dy, đz có ma trận 4=|-I 2 0

0 0

mamáy|4|=P|I=2>9.]4|>| ;|=3>9,|4=I' 2 0|=6>0 nên dạng

0 0 2

toàn phương xác định dương theo tiêu chuẩn Sylvester

Vậy hàm đạt cực tiểu tại M và Họp = =e

= d?u(M) = 4dx’ +3dy’ + 6dz’ — 4dxdy — 4dydz

4 2 4 -2 0

Ta thây |4|=|4|=4>0.|4¿|= 1 2 eo) 3 =8>0, |4/=|-2 3 -2|=32 nên dạng toản

phương xác định dương theo tiêu chuẩn Sylvester

Vậy hàm đạt cực tiểu tại M và Hy =4

Bài toán cực trị hàm nhiều biến cũng được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh

: 3 3 š Penner

Ta thấy |4|=|-3|=-3<0, |4| -| : i =25>0 nén dang toan phuong xac dinh 4m

theo tiéu chuan Sylvester

Vay can str dung ; đơn vị vốn và ; đơn vị lao động thì doanh nghiệp sẽ đạt sản

1 3)” 1601

I ượng lớn nhất là Quay lớn nhất l = d5 4° =

3.3 Giải bài toán tim ewe trị có điều kiện

Xét bài toán: Tùm cục trị của hàm n biến ƒ(xxs, x„) với điều kiện

Phương pháp I Tính 4?F(M\,Â,) với việc coi F(,xạ, ,x„„1) làm hàm của

n biến (x,xạ, ,x„) Nếu 4°F(Mụ, A,) #0 thì:

4?F(M,\,^4) >0 hàm đạt cực tiểu tại Mẹ

4?F(M,,2,) <0 hàm đạt cực đại tại Mo

d’F(M o›4;) không xác định dấu thì hàm không đạt cực tri tai Mo

Trường hợp đ°F(Mạ,4y)=0 ta chưa kết luận được tính chất của điểm Mụ Khi

đó tai Mo can xét theo định nghĩa cực trị

Phương pháp 2 Tính d°F(M,,A,) với việc coi F(x,,X), X,,4) làm hàm của

n+1 biến (x¡,x;, „x„,Â) Biểu thức của đ °F (M,,A,) la mot dang toan phuong

có ma trận 4=|' 1 — 3# Tiếu

+ Nếu mọi định thức con góc trái trên của A (trừ định thức con cấp 1) có giá trị

âm thì hàm đạt cực tiểu tai Mo

+ Nếu mọi định thức con góc trái trên cla A cấp lẻ có giá trị dương, cấp chẵn có

giá trị âm (trừ định thức con cấp 1) thì hàm đạt cực đại tai diém Mo

Vì định thức con cấp hai của A luôn âm nên ta có thể xét từ định thức con

cấp ba

Ví dụ 6 Tìm cực trị của hàm số z=x”+ y v6i diéu kién 3x+2y= 6

Lời giải Lap ham nhan tir Lagrange: F(x,y,A) =x" + y° + AGx+2y—-6)

Vi du 7 Tim cực trị của hàm =X+y*Z với điều kiện tận ph:

Lời giải Lập hàm Lagrange: r(x, y,z,) = x+y+z+ÃC+C : uma)

Đây là biểu thức dạng toàn phương xác định dương theo định nghĩa nên hàm đạt

cực tiêu tại M, và ucr= 9

Đây là biểu thức dạng toàn phương không xác định dấu theo định lí 1 nên hàm

không đạt cực trị tại A⁄4;

2 2

Ví dụ 8 TÌm cực trị của hàm w = x” + y? +27 voi điều kiện Na TỰ =

2 2

Loi gidi Lap ham Lagrange: FOny,2,A)ax ty 2a +2 +2 I)

Gai hé phuong trinh: