Tìm a để hàm số có hai cực trị mà đường thẳng nối hai điểm cực trị đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R= 13.. Gọi M là trung điểm A’B’.. Mặt phẳng P qua
Trang 1SỞ GD&ĐT NINH BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180’
Đề này gồm: 05 câu; 01 trang
Câu 1: ( 5 điểm)
1 Cho hàm số:
9
2
2
2
+
+ +
=
x
a x x
y Tìm a để hàm số có hai cực trị mà đường thẳng nối hai điểm cực trị đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R= 13
2 Tìm k để phương trình: k x4+3x2 +4 =5x2 +3x+10 có nghiệm thực.
Câu 2: ( 4 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
= +
−
= + +
8 )
1 1
( 5
6 )
1 1
( 5
2 2
2 2
y x y
y x x
2 Cho A, B, C là 3 góc trong 1 tam giác Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
C B
A
F =sin +sin + 3sin
Câu 3: ( 2 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó mỗi số đều có mặt đúng 3 số chẵn và
3 số lẻ mà mỗi số lẻ đều có mặt đúng hai lần
Câu 4: ( 6 điểm)
1 Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M là trung điểm A’B’ Mặt phẳng (P) qua BM
đồng thời song song với B’D’ Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối có thể tích là
V1, V2 ( Trong đó V1 là thể tích khối chứa A) Tính tỉ số
2
1
V
V
F = .
2 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ SB, SB ⊥ SC, SC ⊥ SA và SA=a, SB=b, SC=c Gọi
M là một điểm nằm trong tam giác ABC Đặt MA=x, MB=y, MC=z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2 2
2 2
2
c
z b
y a
x
Câu 5: ( 3 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: F =a2 +b2 +c2+abc
-
Hết -MÃ KÍ HIỆU
Trang 2SỞ GD&ĐT NINH BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180’
Đề này gồm: 05 câu; 01 trang
Câu 1: ( 5 điểm)
1 ( 3 điểm) Cho hàm số:
9
2
2
2
+
+ +
=
x
a x x
y Tìm a để hàm số có hai cực trị mà đường thẳng nối hai điểm cực trị đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác nội tiếp
đường tròn bán kính R= 13
* D=R
2
) 9 (
9 ) 18 ( 2 '
+
+
−
−
−
=
x
x a
x
y y'=0⇔ x2 +2(a−18)x−9=0(*)
Thấy với mọi a hàm số luôn có hai cực trị A(x1; y1); B(x2;y2) ( Với x1; x2 là nghiệm
phương trình (*))
0,5 đ
* Khi đó toạ độ A, B thoả hệ:
=
−
− +
+
+ +
=
0 9 ) 18 ( 2
9 2
2
2 2
x a
x
x
a x x y
* Do hoành độ A, B thoả phương trình y’=0 nên ta có:
(4x+1)(x2 +9)−2x(2x2+x+a)=0
x
x x
a x x
2
1 4 9
2
2
+
+ +
(Vì x=0 không là cực trị của hàm số)
0,5 đ
* Từ (1) và (2) thấy toạ độ A, B thoả:
x
x a
x
x y
9
1 18
1 2
) 9 ) 18 ( 2 ( 9
1 1
+
=
−
− + +
+
Vậy đường thẳng qua A, B có phương trình: y x a
9
1 18
1 +
=
0,5 đ
* Để cực trị tạo với hai trục toạ độ một tam giác thì: a≠0
Khi đó gọi M, N lần lượt là giao điểm của (AB) và hai trục Ox và Oy thì:
) 9
; 0 ( );
0
;
2
* Tam giác OMN nội tiếp được đường tròn bán kính R= 13 khi:
13 2 81 4
2
2
⇔
0,5 đ
* Giải phương trình (3) ta có
5
18
±
=
Vậy
5
18
±
=
a thoả yêu cầu bài toán
0,5 đ
2 ( 2 điểm) Tìm k để phương trình: k x4 +3x2 +4=5x2 +3x+10 có nghiệm
thực
MÃ KÍ HIỆU
Trang 3k (x2 +x+2)(x2 −x+2) =4(x2 +x+2)+(x2 −x+2)
* Vì (x2 +x+2)(x2 −x+2)>0,∀x nên đưa phương trình về dạng:
2
2 2
2
2 2
2
+ +
+
− +
+
−
+ +
=
x x
x x x
x
x x k
Đặt
2
2
2
2
+ +
+
−
=
x x
x x
∈
7
32 9 , 7
32 9
t
0,5 đ
Khi đó ta có phương trình: k
t
t+4=
Xét hàm số
t t
y= +4 có ' =1− 42 <0
t
y
∈
∀
7
32 9 , 7
32 9
0,5 đ
Vậy phương trình có nghiệm khi:
7
32 9
( )
7
32 9 ( − ≤k ≤ y +
32 9
) 32 37
( 7 32
9
) 32 37 ( 7
+
+
≤
≤
−
Câu 2: ( 4 điểm)
1 ( 2 điểm) Giải hệ phương trình:
= +
−
= + +
8 )
1 1
( 5
6 )
1 1
( 5
2 2
2 2
y x y
y x x
* Thấy (0,y) và (x,0) đều không là nghiệm của hệ 0,5 đ
* Biến đổi hệ về dạng:
−
= +
+
=
⇔
= + +
= +
−
y x y
x
y x y
y x
x y
x
5
8 5
6 2
5
8 5
6 2 5
8 1
1
5
6 1
1
2 2 2
2
2 2
0,5 đ
* Nhân theo vế hai phương trình trong hệ ta có:
2 2 2
2 2
2
4 2 2 4
2 2
2
2
4 0
) 4
)(
4
(
0 9 32
16 25
64 25
36
4
x y y
x y
x
y y x x
y x
y
x
=
⇔
=
− +
⇔
=
− +
⇔
−
=
* Thay vào hệ ta được các nghiệm:
−
=
=
=
=
5 2 5
1
; 2
1
y
x y
x
0,5 đ
2 ( 2 điểm) Cho A, B, C là 3 góc trong 1 tam giác Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: F =sinA+sinB+ 3sinC
2
cos 2 cos 2 sin 3 2
cos 2 sin
2 cos
; 1 2 cos
0≤ A−B ≤ C > nên F C 3sinC
2 cos
* Xét hàm số: 3sinC
2
C 2cos
2 sin )
(
Trang 4
−
=
=
⇔
= +
−
−
⇔
=
) ( 2
3 2
sin
) ( 3
1 2
sin 0
3 2
sin 2 sin 3 2 0
)
(
L C
TM
C C
C C
f
* Do: f(0)=2; f(π)=0
* Với góc C thoả mãn:
3
2 2 sin 3
6 2
cos 3
1 2
3
6 4 3
2 2 3 3
6 2 )
f
*Vậy:
3
6 4 )
(C max =
3
6 4
max =
F
* Dấu đẳng thức khi:
=
=
B A
C
3
1 2 sin
( Chú ý: Luôn tồn tại hai tam giác ABC cân đỉnh C với
3
1 arcsin
=
3
1 arcsin
−
=π
0,5 đ
Câu 3: ( 2 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó mỗi số đều có
mặt đúng 3 số chẵn và 3 số lẻ mà mỗi số lẻ đều có mặt đúng hai lần
Xét hai trường hợp:
* Số được chọn không có số 0:
+ Chọn 3 số chẵn trong tập {2;4;6;8} vào 6 vị trí : C43.C92.C72.C52
+ Chọn 3 số lẻ trong tập {1;3;5;7;9} vào 3 vị trí còn lại: 3 C! 53
0,5 đ
Vậy trường hợp này có: C43.C92.C72.C52.3!.C53 0,5 đ
* Số được chọn chứa số 0:
+ Chọn vị trí cho 2 số 0: C82
+Chọn 2 số chẵn vào 4 vị trí tiếp theo: C42.C72.C52
+Chọn 3 số lẻ vào 3 vị trí còn lại: 3 C! 53
Vậy trường hợp này có: C82.C42.C72.C52.3!.C53
0,5 đ
Vậy có tất cả: C28 C24 C27 C52 3 ! C35 + C34 C29 C27 C25 3 ! C35 số 0,5 đ
Câu 4: ( 6 điểm)
1 ( 3 điểm) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M là trung điểm A’B’ Mặt
phẳng (P) qua BM đồng thời song song với B’D’ Biết mặt phẳng (P) chia khối
hộp thành hai khối có thể tích là V1, V2 ( Trong đó V1 là thể tích khối chứa A)
Tính tỉ số
2
1
V
V
F = .
Hình vẽ:
Trang 5
C
N
M
D
B
C'
A'
B' D'
A
*Gọi N là trung điể A’D’ Khi đó (P)≡BDNM)
Thấy BM∩DN∩AA’=I
Khi đó: V1=V(A’MNABD); V2=V-V1 (Với V là thể tích hình hộp)
0,5 đ
* Ta có:
4
1 ) ' ' ' (
) (
) D' B' A' (
) '
D B A S
AMN S
A
V
MN IA V
0,5 đ
* Mà:
6
1 ) D' B' AA'
V
V
nên có: V IA MN V
24
1 ) '
* Lại có:
8
1
'
) (
) '
ID IB IA
IN IM IA IABD
V
MN IA
V
0,5 đ
*Vậy: V IABD V
3
1 )
* Do đó: V V V V
24
7 24
1 3
1
24
17
1
2 = − = Vậy:
17
7
2
1 =
V
V
0,5 đ
2 ( 3 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ SB, SB ⊥ SC, SC ⊥ SA và SA=a,
SB=b, SC=c Gọi M là một điểm nằm trong tam giác ABC Đặt MA=x, MB=y,
MC=z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 22 22
c
z b
y a
x
* Hình vẽ:
a
b
c
x M"
S A
B
C
M H M'
* Gọi V là thể tích hình chóp SABC Khi đó ta có:
V(MSBC)+V(MSCA)+V(MSAB)=V
0,5 đ
Trang 6⇔ ( )+ ( )+ ( ) =1
V
MSAB V
V
MSCA V
V
MSBC V
Gọi M’, N’, P’ là hình chiếu vuông góc của M lên các mặt (SBC), (SCA), (SAB)
thì ta có:
'+ '+ '=1
c
MP b
MN a
MM
(1)
*Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC) dễ dàng chứng minh được:
12 12 12 12
SC SB
SA
* Mặt khác có: SM2 =SM'2+MM'2=MM"2+MM'2
* Vậy: SM2 =x2 −(a−MM')2 +MM'2=x2 −a2 +2aMM'
hay:
a
MM a
x a
1
2
2 2
2
+
−
0,5 đ
* Tương tự có:
b
MN b
y b
1
2
2 2
2
+
−
c
MP c
z c
1
2
2 2
2
+
−
0,5 đ
* Cộng (3), (4), (5) và áp dụng (1) và (2) ta có:
2
2 2
2 2
2 2
2
1
SH
SM c
z b
y a
x
* Do SM ≥SH nên 2 2
2 2
2 2
2
≥ + +
=
c
z b
y a
x
Dấu đẳng thức xảy ra khi M≡H
0,5 đ
Câu 5: ( 3 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: a+b+c=1 Tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: F =a2 +b2 +c2 +abc
* Do
4
) 1 ( 2
0 1
0 ,
c b
a ab c
b
a
c
b
+
≤
≤
⇒
= +
+
≥
0,5 đ
* Biến đổi F ta có:
2 2
2 2
2 2
2 b c abc (a b) 2ab c abc (c 2 )ab c ( 1 c)
a
*Xét hàm F(ab) là hàm bậc nhất theo ẩn t=ab Vì 0≤c≤1 nên (c-2)<0
* Tìm GTLN: Ta có: F(ab)≤F(0)=c2 +(1−c)2 ≤1 ( Với 0≤c≤1)
Vậy GTLN của F=1 khi (a,b,c)=(0;0;1) và các hoán vị của nó 0,5 đ
* Tìm GTNN:
4
1 4
) 1 ( )
−
ab
*Xét hàm g(c)=c3+4c2 −3c+2( Với 0≤c≤1) Ta có
27
40 ) 3
1 ( ) (c ≥g =
g
* Vậy: GTNN của
27
10
=
F khi
3
1
=
=
=b c a
0,5 đ
