E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.. Nối AE cắt cạnh BC tại D... Do đó bất đẳng thức 2 đúng.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2009 – 2010
Đề chính thức Môn thi: TOÁN (chuyên)
Ngày thi: 19/06/2009 Thời gian: 150 phút Bài 1 (1,5 điểm)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
b c c a a b
< + + <
Bài 2 (2 điểm)
Cho 3 số phân biệt m, n, p Chứng minh rằng phương trình 1 1 1 0
x m x n x p+ + =
− − − có hai nghiệm phân biệt
Bài 3 (2 điểm)
Với số tự nhiên n, n 3 Đặt Sn = 3 1( 1 2) (+5 21 3)+ +(2n 1) ( 1n n 1)
Chứng minh rằng Sn < 1
2
Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c
E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC Nối AE cắt cạnh
BC tại D
a Chứng minh: AD2 = AB.AC – DB.DC
b Tính độ dài đoạn AD theo a, b, c
Bài 5 (1,5 điểm)
2
+ với mọi số nguyên dương m, n.
Trang 2GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH MÔN TOÁN CHUYÊN NĂM HỌC 2009 – 2010 Ngày thi: 19/06/2009 – Thời gian: 150 phút Bài 1 (1,5 điểm)
b c c a a b
< + + <
+ + + (với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác).
Ta có: m m k
n n k
+
<
+ , (với 0 < m < n, k > 0) (1) Thật vậy, (1) 0 < m(n + k) < n(m + k) 0 < mk < nk 0 < m < n
Áp dụng: 0 < a < b + c ⇒ a 2a
b c a b c<
0 < b < c + a ⇒ b 2b
c a a b c<
0 < c < a + b ⇒ c 2c
a b a b c<
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên : b c c a a ba + b + c <2(a b c)a b c+ + =2
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: (x y z) 1 1 1 9
x y z
+ + + + ÷≥
(x, y, z > 0) (3) (3) 3 x y y z x z
+ + ÷ + + ÷ + + ÷
Thay x = a + b, y = b + c, z = c + a vào (2):
a b b c c a
(a b c)
a b b c c a 2
b c c a a b 2+ + ≥ − = >2
Từ (3), (4) suy ra: 1 a b c 2
b c c a a b
< + + <
Bài 2.(2 điểm)
Chứng minh phương trình x m x n x p1 + 1 + 1 =0
có hai nghiệm phân biệt ( m n p)
Điều kiện xác định của phương trình: x m, n, p
Biến đổi tương đương:
(1) (x m x n− ) ( − + −) (x n x p) ( − + −) (x m x p) ( − =) 0
3x2 – 2x(m + n + p) + mn + np + mp = 0
’ = (m + n + p)2 – 3(mn + np + mp) = m2 + n2 + p2 – mn – np – mp =
1
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
Bài 3.(2 điểm)
Chứng minh S n = 3 1( 1 2) (+5 21 3) + +(2n 1) ( 1n n 1)
Trang 3Ta có: 2n 1 2 n(n 1)+ > + (2n + 1)2 > 4n(n + 1) 4n2 + 4n + 1 > 4n2 + 4n
Do đó: (2n 1) ( 1n n 1) (<2 n n 1 n(n 11 )
1
2 n 1 n n(n 1)
= 1 1 1
−
+
Cho n lần lượt lấy các giá trị từ 1 đến n, thay vào (1), rồi cộng vế theo vế các bất đẳng thức tương ứng, ta có:
Sn = 3 1( 1 2) (+5 21 3) + +(2n 1) ( 1n n 1)
1
− <
Vậy S n < 1
2, n N, n 3.
Bài 4 (3 điểm)
a) Chứng minh: AD 2 = AB.AC – DB.DC
Xét hai tam giác ABD và AEC, ta có:
¶ ¶
A =A (AD là phân giác góc A)
ABD AEC= (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó ABD AEC (g.g)
Suy ra AD AB
AC AE= AD.AE = AB.AC
Mặt khác, ABD CED (g.g),
nên BD DA
DE DC= ⇒ BD.DC = DA.DE
Từ đó: AB.AC – BD.DC = AD.AE – DA.DE = AD(AE – DE) = AD2
Vậy AD2 = AB.AC – DB.DC (1)
b) Tính AD theo a, b, c
Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
+
Suy ra
2
⇒ DB.DC =
2
a bc
b c
+ ÷
(2) Thay (2) vào (1), ta có:
AD2 = bc -
2
a bc
b c
+ ÷
b c a b c a
− + =
Vậy AD = bc b c a b c a( ) ( )
b c
Bài 5.(1,5 điểm)
2
+ , m, n N * Trước hết, ta cần chứng minh 2( )
2
+ , n N* (1)
A
E D
a
1 2
O
Trang 4Vì n N* nên bất đẳng thức (1) tương đương với:
(1) 2 1 3 2 2
−
− ≥ (2) Đặt t = 1
n (0 < t 1), ta có:
(2) ( 3− 2 t) 2+ −t 2 0≤ ( t, 0 < t 1) (3)
Biến đổi tương đương:
3− 2 t − 3− 2 t+ 3− 2 t t+ − 2 0
( 3− 2 t (t 1)) − +( 3− 2 1 t+ ) − 2 0
( 3− 2 t (t 1)) − +( 3− 2 1 t+ ) (− 3− 2 1+ +) 3 2 2 1− + 0
( 3− 2 t (t 1)) − +( 3− 2 1 (t 1)+ ) − + 3 2 2 1− + 0
3 2 2 1− + 0 ( vì 0 < t 1)
3 1 2 2+ ≤ 4 2 3+ 8 2 3 4 3 < 2 3 < 4: bất đẳng thức đúng
Do đó bất đẳng thức (2) đúng
n − ≥ −n , m N*, nên 2( )
2
+ , m, n N*
2
+ , m, n N *
Nhận xét: Dấu “=” trong bất đẳng thức không xảy ra